Ako su brojevi relativno prosti. §3

Ključne riječi: teorija brojeva, predavanja, međusobno prosti brojevi.

Definicija. Za cijeli brojevi a i b se kaže da su relativno prosti ako je (a, b) = 1.

Dva broja a i b su međusobno prosti ako i samo ako postoje cijeli brojevi u i v takvi da je au + bv = 1.

Neka je X = ( x n | n = 1, 2,...) proizvoljan striktno rastući niz prirodnih brojeva (ili, ako želite, X proizvoljan podskup prirodnih brojeva, poredanih prirodno). Označimo sa ξ(N; X) broj članova niza X koji ne prelazi N.

Definicija. Broj se naziva (gornja asimptotička) gustina niza X = (x n | n = 1, 2,...) u skupu N.

Primjer 1. Neka je x n = 2n, gdje n prolazi kroz N, niz svih parnih brojeva. Očigledno je da

Inače, ovo se dobro slaže s našim intuitivnim idejama da postoji polovina parnih brojeva.

Primjer 2. Neka je x n =2 n, gdje n prolazi kroz N, geometrijska progresija. Intuitivno je jasno da je takvih brojeva u prirodnom nizu malo, jer što se u prirodnom nizu ide dalje u šumu, to su potencije dvojke manje uobičajene. Koncept gustine potvrđuje ovaj osjećaj: ξ (2 k; ( x n )) = k, i lako je provjeriti da je

Gustina je vjerovatnoća slučajnog odabira broja iz prirodnog niza koji pripada datom nizu.

Slično definiciji gustine niza, možemo definisati gustinu skupa parova prirodnih brojeva. Neka postoji proizvoljan skup X uređenih parova prirodnih brojeva. Označimo sa ξ (N ; X) broj parova iz skupa X čija svaka komponenta ne prelazi N. Korisno je razmišljati o parovima brojeva iz skupa X kao koordinatama tačaka koordinatna ravan, tada je ξ (N ; X) jednostavno broj tačaka skupa X koje padaju u kvadrat ((x, y) | 0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

Definicija. Broj

naziva se (gornja asimptotska) gustina skupa parova X u skupu N 2 .

Primjer 3. Neka je X skup svih parova prirodnih brojeva čija je prva komponenta striktno veća od druge. Skup X odgovara tačkama prve četvrtine koordinatne ravni, koje leže ispod simetrale y = x. Gustoću takvog skupa je lako izračunati:

Neka je X skup svih uređenih parova (u, v) prirodnih brojeva takvih da je (u, v) = 1, tj. skup svih parova međusobno prostih brojeva.

Teorema (Cesaro). Vjerovatnoća odabira para međusobno prostih brojeva iz N je jednaka 6/π 2, tačnije Dokaz. Pretpostavimo odmah da postoji vjerovatnoća p da su slučajno odabrani prirodni brojevi a i b međusobno prosti. Neka je d ∈ N. Neka P(S) označava, kao i obično, vjerovatnoću događaja S. Razlog: R

$p$ se naziva prostim brojem ako ima samo $2$ djelitelje: $1$ i sebe.

Razdjelnik prirodni broj$a$ je prirodan broj kojim je originalni broj $a$ djeljiv bez ostatka.

Primjer 1

Pronađite djelitelje broja $6$.

Rješenje: Moramo pronaći sve brojeve kojima je dati broj $6$ djeljiv bez ostatka. Ovo će biti brojevi: $1,2,3, 6$. Dakle, djelitelj broja $6$ će biti brojevi $1,2,3,6.$

Odgovor: $1,2,3,6$.

To znači da da biste pronašli djelitelje broja, morate pronaći sve prirodne brojeve kojima je dati broj djeljiv bez ostatka. Lako je vidjeti da će broj $1$ biti djelitelj bilo kojeg prirodnog broja.

Definicija 2

Kompozitni Oni nazivaju broj koji ima i druge djelitelje osim jedinice i samog sebe.

Primjer prostog broja bi bio broj $13$, primjer kompozitnog broja bi bio $14.$

Napomena 1

Broj $1$ ima samo jedan djelitelj - sam broj, tako da nije ni prost ni složen.

Koprosti brojevi

Definicija 3

Međusobno prosti brojevi to su oni čiji je gcd jednak $1$.To znači da da biste saznali da li su brojevi relativno prosti, morate pronaći njihov gcd i uporediti ga sa $1$.

Pairwise coprime

Definicija 4

Ako su u skupu brojeva bilo koja dva međusobno prosta, onda se takvi brojevi nazivaju parno jednoznačan. Za dva broja, koncepti "koprosti" i "parno koprosti" se poklapaju.

Primjer 2

$8, $15 - nije jednostavno, ali relativno jednostavno.

6, 8, 9 $ - uzajamno primarni brojevi, ali ne parno relativno prosti.

$8, 15, 49$ su u paru relativno prosti.

Kao što vidimo, da bi se utvrdilo da li su brojevi relativno prosti, potrebno ih je prvo razložiti u proste faktore. Hajde da obratimo pažnju na to kako to ispravno uraditi.

Primena faktorizacije

Na primjer, hajde da faktoriziramo broj $180$ u proste faktore:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Koristimo svojstvo moći, onda ćemo dobiti,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Ova notacija dekompozicije na osnovne faktore naziva se kanonskom, tj. da bi se broj faktorirao u kanonskom obliku, potrebno je koristiti svojstvo potencija i predstaviti broj kao proizvod potencija sa iz različitih razloga

Kanonsko proširenje prirodnog broja u opštem obliku

Kanonsko proširenje prirodnog broja u opšti pogled ima oblik:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

gdje su $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ prosti brojevi i eksponenti stepeni - prirodni brojevi.

Predstavljanje broja kao kanonske dekompozicije na proste skupove olakšava pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva i djeluje kao posljedica dokaza ili definicije koprostih brojeva.

Primjer 3

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva $180$ i $240$.

Rješenje: Razložimo brojeve u jednostavne skupove koristeći kanonsku dekompoziciju

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, zatim $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, zatim $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Hajde sada da pronađemo gcd ovih brojeva, za to biramo stepene sa istu osnovu i onda sa najmanjim eksponentom

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Hajde da komponujemo algoritam za pronalaženje GCD uzimajući u obzir kanonsku faktorizaciju u proste faktore.

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja koristeći kanonsko proširenje, trebate:

faktor brojeve u proste faktore u kanonskom obliku
birajte potencije sa istom bazom i najmanjim eksponentom potencija uključenih u proširenje ovih brojeva
Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 4

Odredite da li su brojevi $195$ i $336$ prosti, međusobno prosti brojevi.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

Vidimo da se gcd ovih brojeva razlikuje od $1$, što znači da brojevi nisu relativno prosti. Takođe vidimo da svaki od brojeva uključuje faktore, pored $1$ i samog broja, što znači da brojevi neće biti prosti, već će biti složeni.

Primjer 5

Odredite da li su brojevi $39$ i $112$ prosti, međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Koristimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

Vidimo da je gcd ovih brojeva jednak $1$, što znači da su brojevi relativno prosti. Takođe vidimo da svaki od brojeva uključuje faktore, pored $1$ i samog broja, što znači da brojevi neće biti prosti, već će biti složeni.

Primjer 6

Odredite da li su brojevi $883$ i $997$ prosti, međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Koristimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

Vidimo da je gcd ovih brojeva jednak $1$, što znači da su brojevi relativno prosti. Također vidimo da svaki broj uključuje samo faktore jednake $1$ i sam broj, što znači da će brojevi biti prosti.

$p$ se naziva prostim brojem ako ima samo $2$ djelitelje: $1$ i sebe.

Delitelj prirodnog broja $a$ je prirodan broj koji dijeli originalni broj $a$ bez ostavljanja ostatka.

Primjer 1

Pronađite djelitelje broja $6$.

Rješenje: Moramo pronaći sve brojeve kojima je dati broj $6$ djeljiv bez ostatka. Ovo će biti brojevi: $1,2,3, 6$. Dakle, djelitelj broja $6$ će biti brojevi $1,2,3,6.$

Odgovor: $1,2,3,6$.

Definicija 2

Kompozitni Oni nazivaju broj koji ima i druge djelitelje osim jedinice i samog sebe.

Primjer prostog broja bi bio broj $13$, primjer kompozitnog broja bi bio $14.$

Napomena 1

Broj $1$ ima samo jedan djelitelj - sam broj, tako da nije ni prost ni složen.

Koprosti brojevi

Definicija 3

Međusobno prosti brojevi to su oni čiji je gcd jednak $1$.To znači da da biste saznali da li su brojevi relativno prosti, morate pronaći njihov gcd i uporediti ga sa $1$.

Pairwise coprime

Definicija 4

Ako su u skupu brojeva bilo koja dva međusobno prosta, onda se takvi brojevi nazivaju parno jednoznačan. Za dva broja, koncepti "koprosti" i "parno koprosti" se poklapaju.

Primjer 2

$8, $15 - nije jednostavno, ali relativno jednostavno.

$6, 8, 9$ su međusobno prosti brojevi, ali ne i parno prosti brojevi.

$8, 15, 49$ su u paru relativno prosti.

Kao što vidimo, da bi se utvrdilo da li su brojevi relativno prosti, potrebno ih je prvo razložiti u proste faktore. Hajde da obratimo pažnju na to kako to ispravno uraditi.

Primena faktorizacije

Na primjer, hajde da faktoriziramo broj $180$ u proste faktore:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Koristimo svojstvo moći, onda ćemo dobiti,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Kanonsko proširenje prirodnog broja u opštem obliku

Kanonsko proširenje prirodnog broja u opštem obliku ima oblik:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

gdje su $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ prosti brojevi, a eksponenti prirodni brojevi.

Predstavljanje broja kao kanonske dekompozicije na proste skupove olakšava pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva i djeluje kao posljedica dokaza ili definicije koprostih brojeva.

Primjer 3

Pronađite najveći zajednički djelitelj brojeva $180$ i $240$.

Rješenje: Razložimo brojeve u jednostavne skupove koristeći kanonsku dekompoziciju

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, zatim $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, zatim $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Hajde sada da pronađemo gcd ovih brojeva, za to biramo stepene sa istom bazom i najmanjim eksponentom, tada

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Hajde da komponujemo algoritam za pronalaženje GCD uzimajući u obzir kanonsku faktorizaciju u proste faktore.

Da biste pronašli najveći zajednički djelitelj dva broja koristeći kanonsko proširenje, trebate:

faktor brojeve u proste faktore u kanonskom obliku
birajte potencije sa istom bazom i najmanjim eksponentom potencija uključenih u proširenje ovih brojeva
Pronađite proizvod brojeva pronađenih u koraku 2. Rezultirajući broj će biti željeni najveći zajednički djelitelj.

Primjer 4

Odredite da li su brojevi $195$ i $336$ prosti, međusobno prosti brojevi.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

Primjer 5

Odredite da li su brojevi $39$ i $112$ prosti, međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Koristimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

Primjer 6

Odredite da li su brojevi $883$ i $997$ prosti, međusobno prosti brojevi.

Rješenje: Koristimo kanonsku faktorizaciju za faktorizaciju:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

U ovom članku ćemo govoriti o tome šta su koprosti brojevi. U prvom pasusu formulišemo definicije za dva, tri ili više relativno prostih brojeva, navodimo nekoliko primera i pokazujemo u kojim slučajevima se dva broja mogu smatrati prostima u odnosu jedan prema drugom. Nakon toga prelazimo na formulaciju glavnih svojstava i njihove dokaze. U posljednjem paragrafu ćemo govoriti o povezanom konceptu - parnim prostim brojevima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta su koprosti brojevi

I dva cijela broja i njihov velika količina. Prvo, uvedemo definiciju za dva broja, za koja nam je potreban koncept njihovog najvećeg zajedničkog djelitelja. Ako je potrebno, ponovite materijal posvećen tome.

Definicija 1

Dva takva broja a i b bit će međusobno prosti, čiji je najveći zajednički djelitelj jednak 1, tj. GCD (a, b) = 1.

Iz ove definicije možemo zaključiti da će jedini pozitivni zajednički djelitelj dvaju međusobno prostih brojeva biti jednak 1. Samo dva takva broja imaju dva zajednička djelitelja - jedan i minus jedan.

Koji su neki primjeri koprostih brojeva? Na primjer, takav par bi bio 5 i 11. Imaju samo jedan zajednički pozitivni djelitelj, jednak 1, što potvrđuje njihovu međusobnu jednostavnost.

Ako uzmemo dva prosta broja, onda će u odnosu jedan prema drugom oni u svim slučajevima biti međusobno prosti, ali se takvi međusobni odnosi formiraju i između složenih brojeva. Postoje slučajevi kada je jedan broj u paru relativno prostih brojeva složen, a drugi prost, ili su oba kompozitna.

Ova izjava je ilustrovana sljedećim primjerom: kompozitni brojevi- 9 i 8 čine relativno prost par. Dokažimo to tako što ćemo izračunati njihov najveći zajednički djelitelj. Da bismo to učinili, zapisujemo sve njihove djelitelje (preporučamo da ponovo pročitate članak o pronalaženju djelitelja broja). Za 8 to će biti brojevi ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, a za 9 – ± 1, ± 3, ± 9. Od svih djelitelja biramo onaj koji će biti zajednički i najveći - to je jedinstvo. Prema tome, ako je GCD (8, − 9) = 1, tada će 8 i - 9 biti međusobno prosti.

Koprosti brojevi nisu 500 i 45, jer imaju još jedan zajednički djelitelj - 5 (pogledajte članak o kriterijima djeljivosti sa 5). Pet je veće od jedan i pozitivan je broj. Drugi sličan par bi mogao biti - 201 i 3, jer se oba mogu podijeliti sa 3, kao što je naznačeno odgovarajućim znakom djeljivosti.

U praksi je vrlo često potrebno odrediti relativnu jednostavnost dva cijela broja. Otkrivanje ovoga može se svesti na pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja i njegovo poređenje s jedinicom. Također je zgodno koristiti tablicu prostih brojeva kako ne biste pravili nepotrebne proračune: ako se jedan od datih brojeva nalazi u ovoj tablici, onda je djeljiv samo s jednim i sam po sebi. Pogledajmo rješenje za takav problem.

Primjer 1

Stanje: saznati da li su brojevi 275 i 84 međusobno prosti.

Rješenje

Oba broja jasno imaju više od jednog djelitelja, tako da ih ne možemo odmah nazvati relativno prostima.

Najveći zajednički djelitelj izračunavamo pomoću Euklidovog algoritma: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

odgovor: pošto je GCD (84, 275) = 1, onda će ovi brojevi biti relativno prosti.

Kao što smo ranije rekli, definicija takvih brojeva može se proširiti na slučajeve kada nemamo dva broja, već više.

Definicija 2

Cijeli brojevi a 1, a 2, …, a k, k > 2 će biti međusobno prosti kada imaju najveći zajednički djelitelj jednak 1.

Drugim riječima, ako imamo skup nekih brojeva s najvećim pozitivnim djeliteljem većim od 1, onda svi ovi brojevi nisu međusobno inverzni jedan prema drugom.

Uzmimo nekoliko primjera. Dakle, cijeli brojevi − 99, 17 i − 27 su relativno prosti. Bilo koji broj prostih brojeva će biti međusobno prost u odnosu na sve članove populacije, kao u nizovima 2, 3, 11, 19, 151, 293 i 667. Ali brojevi 12, − 9, 900 i − 72 neće biti relativno prosti, jer će pored jedinice imati još jedan pozitivni djelitelj jednak 3. Isto vrijedi i za brojeve 17, 85 i 187: osim jednog, svi se mogu podijeliti sa 17.

Obično međusobna jednostavnost brojeva nije očigledna na prvi pogled, ovu činjenicu treba dokazati. Da biste saznali jesu li neki brojevi relativno prosti, potrebno je pronaći njihov najveći zajednički djelitelj i izvući zaključak na osnovu njegovog poređenja s jedinicom.

Primjer 2

Stanje: odrediti da li su brojevi 331, 463 i 733 relativno prosti.

Rješenje

Provjerimo tabelu prostih brojeva i utvrdimo da se u njoj nalaze sva tri ova broja. Tada njihov zajednički djelitelj može biti samo jedan.

odgovor: svi ovi brojevi će biti koprosti jedan prema drugom.

Primjer 3

Stanje: dati dokaz da brojevi − 14, 105, − 2 107 i − 91 nisu međusobno prosti.

Rješenje

Počnimo tako što ćemo identificirati njihov najveći zajednički djelitelj, a zatim provjeriti da nije jednak 1. Pošto negativni brojevi isti djelitelji kao i odgovarajući pozitivni, onda je gcd (− 14, 105, 2 107, − 91) = gcd (14, 105, 2 107, 91). Prema pravilima koja smo dali u članku o pronalaženju najvećeg zajedničkog djelitelja, u ovom slučaju će gcd biti jednak sedam.

odgovor: sedam je veće od jedan, što znači da ovi brojevi nisu relativno prosti.

Osnovna svojstva međusobno prostih brojeva

Takvih brojeva praktično ima važna svojstva. Hajde da ih navedemo redom i dokažemo ih.

Definicija 3

Ako cijele brojeve a i b podijelimo brojem koji odgovara njihovom najvećem zajedničkom djelitelju, dobićemo relativno proste brojeve. Drugim riječima, a: gcd (a, b) i b: gcd (a, b) će biti relativno prosti.

Ovo svojstvo smo već dokazali. Dokaz se može naći u članku o svojstvima najvećeg zajedničkog djelitelja. Zahvaljujući njemu možemo odrediti parove relativno prostih brojeva: samo trebamo uzeti bilo koja dva cijela broja i podijeliti sa GCD. Kao rezultat, trebali bismo dobiti međusobno proste brojeve.

Definicija 4

Neophodan i dovoljan uslov za međusobnu jednostavnost brojeva a i b je postojanje takvih celih brojeva u 0 I v 0, za koju jednakost a · u 0 + b · v 0 = 1 biće istina.

Dokazi 1

Počnimo s dokazivanjem neophodnosti ovog uslova. Recimo da imamo dva relativno prosta broja, označena kao a i b. Tada će, prema definiciji ovog koncepta, biti njihov najveći zajednički djelitelj jednako jedan. Iz svojstava gcd znamo da za cijele brojeve a i b postoji Bezoutova relacija a · u 0 + b · v 0 = gcd (a, b). Iz toga dobijamo to a · u 0 + b · v 0 = 1. Nakon toga, moramo dokazati dovoljnost uslova. Neka jednakost a · u 0 + b · v 0 = 1 biće tačno u ovom slučaju ako GCD (a, b) deli i a , i b , tada će također podijeliti zbir a · u 0 + b · v 0, i jedinica, respektivno (ovo se može tvrditi na osnovu svojstava djeljivosti). A ovo je moguće samo ako GCD (a, b) = 1, što dokazuje međusobnu jednostavnost a i b.

U stvari, ako su a i b međusobno prosti, onda će prema prethodnom svojstvu jednakost biti tačna a · u 0 + b · v 0 = 1. Pomnožimo obje strane sa c i dobijemo to a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. Možemo podijeliti prvi pojam a · c · u 0 + b · c · v 0 sa b, jer je to moguće za a · c, a drugi član je također djeljiv sa b, jer je jedan od naših faktora jednak b. Iz ovoga zaključujemo da se cijeli zbir može podijeliti sa b, a pošto je ovaj zbir jednak c, onda se c može podijeliti sa b.

Definicija 5

Ako su dva cijela broja a i b međusobno prosta, onda je gcd (a c, b) = gcd (c, b).

Dokazi 2

Dokažimo da će GCD (a c, b) podijeliti GCD (c, b), a nakon toga će GCD (c, b) podijeliti GCD (a c, b), što će biti dokaz ispravnosti jednakosti GCD (a · c , b) = GCD (c, b) .

Pošto GCD (a · c, b) dijeli i a · c i b, a GCD (a · c, b) dijeli b, tada će također dijeliti b · c. To znači da GCD (a c, b) dijeli i a c i b c, dakle, zbog svojstava GCD, dijeli i GCD (a c, b c), što će biti jednako c GCD (a, b ) = c . Dakle, GCD (a · c, b) dijeli i b i c, dakle, dijeli i GCD (c, b).

Takođe se može reći da pošto GCD (c, b) deli i c i b, onda će podeliti i c i a c. To znači da GCD (c, b) dijeli i a · c i b, dakle, također dijeli GCD (a · c, b).

Dakle, gcd (a c, b) i gcd (c, b) se međusobno dijele, što znači da su jednake.

Definicija 6

Ako su brojevi iz niza a 1 , a 2 , … , a kće biti relativno prost u odnosu na brojeve niza b 1, b 2, …, b m(za prirodne vrijednosti k i m), zatim njihove proizvode a 1 · a 2 · … · a k I b 1 · b 2 · … · b m su takođe relativno primarni, posebno, a 1 = a 2 = … = a k = a I b 1 = b 2 = … = b m = b, To a k I b m– međusobno jednostavno.

Dokazi 3

Prema prethodnom svojstvu, možemo napisati jednakosti sljedećeg oblika: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. Mogućnost posljednje tranzicije je osigurana činjenicom da su a k i b m relativno prosti po uvjetu. To znači da je GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Označimo a 1 · a 2 · … · a k = A i dobićemo da je GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Ovo će biti tačno zbog poslednje jednakosti iz lanca koji je gore konstruisan. Dakle, imamo jednakost GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, s kojom možemo dokazati međusobnu jednostavnost proizvoda a 1 · a 2 · … · a k I b 1 · b 2 · … · b m

Ovo su sva svojstva koprostih brojeva o kojima bismo vam htjeli reći.

Koncept parnih prostih brojeva

Znajući šta su koprosti brojevi, možemo formulisati definiciju parnih prostih brojeva.

Definicija 7

Parni prosti brojevi je niz cijelih brojeva a 1 , a 2 , ... , a k , gdje će svaki broj biti relativno prost u odnosu na ostale.

Primjer niza prostih brojeva u paru bi bio 14, 9, 17 i − 25. Ovdje su svi parovi (14 i 9, 14 i 17, 14 i − 25, 9 i 17, 9 i − 25, 17 i − 25) međusobno prosti. Imajte na umu da je uslov međusobnog prostih brojeva obavezan za uparene proste brojeve, ali međusobno prosti brojevi neće biti upareni prosti u svim slučajevima. Na primjer, u nizu 8, 16, 5 i 15, brojevi nisu takvi brojevi, jer 8 i 16 neće biti međusobno prosti.

Također biste se trebali zadržati na konceptu kolekcije određenog broja prostih brojeva. Oni će uvijek biti i međusobno i parno jednostavni. Primjer bi bio niz 71, 443, 857, 991. U slučaju prostih brojeva, koncepti međusobnog i parnog prostog broja će se poklopiti.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Udžbenike matematike je ponekad teško razumjeti. Suv i jasan jezik autora nije uvijek lak za razumijevanje. A teme su uvijek međusobno povezane i međusobno povezane. Da biste savladali jednu temu, morate pokrenuti niz prethodnih, a ponekad čak i prelistati cijeli udžbenik. Tesko? Da. Preuzmimo rizik da zaobiđemo ove poteškoće i pokušamo pronaći nestandardan pristup temi. Napravimo svojevrsni izlet u zemlju brojeva. Ipak, definiciju ćemo i dalje ostaviti istu, jer se pravila matematike ne mogu poništiti. Dakle, međusobno prosti brojevi su prirodni brojevi sa zajedničkim djeliteljem jednakim jedan. To je jasno? Sasvim.

Za više jasan primjer uzmimo brojeve 6 i 13. Oba su djeljiva sa jednim (jednostruko prosti). Ali brojevi 12 i 14 ne mogu biti takvi, jer su djeljivi ne samo sa 1, već i sa 2. Sljedeći brojevi, 21 i 47, također se ne uklapaju u kategoriju "koprostih brojeva": oni se mogu podijeliti ne samo za 1, ali i u 7.

Koprosti brojevi se označavaju na sljedeći način: ( A, y) = 1.

Može se reći još jednostavnije: zajednički djelitelj (najveći) ovdje je jednak jedinici.
Zašto nam je potrebno takvo znanje? Ima dovoljno razloga.

Međusobno uključeni u neke sisteme šifriranja. Oni koji rade sa Hill šiframa ili Cezarovim sistemom zamjene razumiju: bez ovog znanja ne možete stići nigdje. Ako ste čuli za generatore, teško da ćete se usuditi da poreknete: i tu se koriste relativno prosti brojevi.

Hajde sada da razgovaramo o načinima dobijanja tako jednostavnih, kao što razumete, oni mogu imati samo dva djelitelja: djeljivi su sami sobom i jednim. Recimo, 11, 7, 5, 3 su prosti brojevi, ali 9 nije, jer je ovaj broj već djeljiv sa 9, 3 i 1.

I ako A- broj je prost, i at- iz seta (1, 2, ... A- 1), onda je zagarantovano ( A, at) = 1, ili koprosti brojevi - A I at.

Ovo, prije, nije čak ni objašnjenje, već ponavljanje ili sumiranje onoga što je upravo rečeno.

Dobijanje prostih brojeva je moguće, međutim, za velike brojeve (milijarde, na primjer) ova metoda je predugačka, ali je, za razliku od superformula koje ponekad griješe, pouzdanija.

Možete raditi odabirom at > A. Da biste to učinili, y se bira tako da se broj uključi A nije podijelio. Da biste to učinili, prost broj se množi prirodnim brojem i dodaje se količina (ili, naprotiv, oduzima) (na primjer, R), što je manje A:

y = R a + k

ako npr. A = 71, R= 3, q=10, onda je, shodno tome, at ovdje će biti jednako 713. Moguća je druga selekcija, sa stepenima.

Složeni brojevi, za razliku od relativno prostih brojeva, djeljivi su sami sa sobom, s 1 i drugim brojevima (također bez ostatka).

Drugim riječima, (osim jednog) dijele se na složene i jednostavne.

Prosti brojevi su prirodni brojevi koji nemaju netrivijalne (različite od samog broja i jedinice) djelitelje. Njihova uloga je posebno važna u današnjoj modernoj kriptografiji koja se brzo razvija, zahvaljujući kojoj je disciplina koja se ranije smatrala izuzetno apstraktnom postala toliko tražena: algoritmi zaštite podataka se stalno poboljšavaju.

Najveći prosti broj pronašao je oftalmolog Martin Nowak, koji je učestvovao u projektu GIMPS (distribuirano računarstvo) zajedno sa drugim entuzijastima, kojih je bilo oko 15 hiljada. Proračuni su trajali šest duge godine. Uključeno je dva i po desetina kompjutera koji se nalaze u Novakovoj očnoj klinici. Rezultat titanskog rada i upornosti bio je broj 225964951-1, napisan na 7816230 decimalnih mjesta. Inače, rekord za najveći broj postavljen je šest mjeseci prije ovog otkrića. A znakova je bilo pola miliona manje.

Genije koji želi da imenuje broj na kojem će trajanje decimalnog zapisa "skočiti" deset miliona ima šansu da dobije ne samo svjetsku slavu, već i 100.000 dolara. Inače, za broj koji je prešao milionski broj, Nayan Khairatwal je dobio manji iznos (50.000 dolara).