Zdravo, dragi prijatelji! Nastavljamo sa razmatranjem zadataka vezanih za proučavanje funkcija. Preporučujem ga, što je neophodno za rješavanje problema nalaženja maksimalne (minimalne) vrijednosti funkcije i pronalaženja maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije.

Problemi s logaritmima za pronalaženje najveće (najmanje) vrijednosti funkcije mi. U ovom članku ćemo razmotriti tri problema u kojima je pitanje pronalaženja maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcija, a u datu funkciju postoji prirodni logaritam.

Teorijska poenta:

Po definiciji logaritma, izraz pod predznakom logaritma mora biti Iznad nule. *Ovo se mora uzeti u obzir ne samo kod ovih zadataka, već i kod rješavanja jednačina i nejednačina koje sadrže logaritam.

Algoritam za pronalaženje maksimalnih (minimalnih) tačaka funkcije:

1. Izračunajte derivaciju funkcije.

2. Izjednačavamo je sa nulom i rješavamo jednačinu.

3. Dobivene korijene označavamo na brojevnoj pravoj.*Također označavamo tačke u kojima izvod ne postoji. Dobijmo intervale u kojima se funkcija povećava ili smanjuje.

4. Odredite predznake izvoda na ovim intervalima (zamjenjujući proizvoljne vrijednosti iz njih u izvod).

5. Izvodimo zaključak.

Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = ln (x–11)–5x+2

Zapišimo odmah da je x–11>0 (po definiciji logaritma), odnosno x > 11.

Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (11;∞).

Nađimo nule derivacije:

Tačka x = 11 nije uključena u domenu definicije funkcije i izvod u njoj ne postoji. Na brojevnoj osi označavamo dvije tačke 11 i 11.2. Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz intervala (11;11,2) i (11,2;+∞) u pronađeni izvod i opišemo ponašanje funkcije na slici :

Dakle, u tački x = 11.2 derivacija funkcije mijenja predznak iz pozitivnog u negativan, što znači da je ovo željena maksimalna tačka.

Odgovor: 11.2

Odlučite sami:

Pronađite maksimalnu tačku funkcije y=ln (x+5)–2x+9.

Naći minimalnu tačku funkcije y=4x– ln (x+5)+8

Zapišimo odmah da je x+5>0 (po svojstvu logaritma), odnosno x>–5.

Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (– 5;+∞).

Nađimo derivaciju date funkcije:

Nađimo nule derivacije:

Tačka x = –5 nije uključen u domenu definicije funkcije i izvod u njemu ne postoji. Označite dvije tačke na brojevnoj osi–5 i –4,75. Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz intervala (–5;–4,75) i (–4,75;+∞) u pronađeni izvod i oslikamo ponašanje funkcije na slici:

Dakle, u tački x = –4,75 derivacija funkcije mijenja predznak iz negativnog u pozitivan, što znači da je ovo željena minimalna tačka.

Odgovor: – 4,75

Odlučite sami:

Pronađite minimalnu tačku funkcije y=2x–ln (x+3)+7.

Pronađite maksimalnu tačku funkcije y = x 2 –34x+140lnx–10

Prema svojstvu logaritma, izraz pod njegovim predznakom je veći od nule, odnosno x > 0.

Razmotrit ćemo funkciju na intervalu (0; +∞).

Nađimo derivaciju date funkcije:

Nađimo nule derivacije:

Odlučivanje kvadratna jednačina, dobijamo: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.

Tačka x = 0 nije uključen u domenu definicije funkcije i izvod u njemu ne postoji. Označavamo tri tačke na brojevnoj osi 0, 7 i 10.

Os vola je podijeljena na intervale: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Odredimo predznake derivacije funkcije zamjenom proizvoljnih vrijednosti iz dobijenih intervala u pronađeni izvod i oslikajmo ponašanje funkcije na slici:

To je sve. Želim ti uspjeh!

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Pronalaženje maksimalne i minimalne tačke funkcije prilično je uobičajen zadatak u matematička analiza. Ponekad su potrebni ekstremi. Mnogi ljudi misle da riječ “ekstremum” znači najveći ili najmanju vrijednost funkcije. Ovo nije sasvim tačno. Vrijednost može biti najveća ili minimalna, ali ne i ekstremna vrijednost.

Desi se maksimum lokalno ili globalno. Lokalna tačka maksimuma je argument koji, kada je zamijenjen u f(x), daje vrijednost ne manju nego u drugim tačkama u regiji oko ovog argumenta. Za globalni maksimum, ova regija se proširuje na čitav niz valjanih argumenata. Za minimum je suprotno. Ekstremum je lokalni ekstrem - minimalna ili maksimalna - vrijednost.

Po pravilu, ako matematičare zanima najveća globalno najveća vrijednost f(x), onda u intervalu, a ne na cijeloj osi argumenata. Takvi zadaci su obično formulisano frazom"pronađi maksimalnu tačku funkcije na segmentu." Ovdje se podrazumijeva da je potrebno identificirati argument u kojem nije manji nego na ostatku naznačenog segmenta. Pronalaženje lokalnog ekstremuma jedan je od koraka u rješavanju takvog problema.

Dato je y = f(x). Potrebno je odrediti vrh funkcije na navedenom segmentu. f(x) može dostići u tački:

• ekstrem, ako spada u navedeni segment,
• puknuće,
• ograničavanje datog segmenta.

Studija

Proučavanjem ove funkcije nalazi se vrh f(x) na segmentu ili intervalu. Plan istraživanja za pronalaženje maksimuma na segmentu (ili intervalu):

Sada pogledajmo svaki korak detaljno i pogledajmo nekoliko primjera.

Valjani raspon argumenata

Područje valjanih argumenata su oni x, pri zamjeni ih u f(x) ne prestaje postojati.Oblast valjanih argumenata naziva se i domenom definicije. Na primjer, y = x^2 je definiran na cijeloj osi argumenata. I y = 1/x je definiran za sve argumente osim za x = 0.

Pronalaženje preseka oblasti dozvoljenih argumenata i segmenta (intervala) koji se proučava potrebno je da bi se iz razmatranja isključio onaj deo intervala gde funkcija nije definisana. Na primjer, trebate pronaći minimum y = 1/x na intervalu od -2 do 2. Zapravo, trebate ispitati dva poluintervala od -2 do 0 i od 0 do 2, pošto jednačina y = 1/0 nema rješenja.

Asimptote

Asimptota je linija koju funkcija doseže, ali ne dostigne. Ako f(x) postoji na cijeloj brojevnoj pravoj i kontinuirano je na njoj, onda nema vertikalnu asimptotu. Ako je diskontinuirana, tada je tačka diskontinuiteta vertikalna asimptota. Za y = 1/x, asimptota je data jednadžbom x = 0. Ovo funkcija dostiže nulu duž ose argumenata, ali će je stići samo jureći u beskonačnost.

Ako na segmentu koji se proučava postoji vertikalna asimptota, oko koje funkcija teži beskonačnosti sa plusom, tada vrh f(x) ovdje nije određen. A kada bi se on odredio, onda bi se argument na kojem se postiže maksimum poklopio sa točkom presjeka asimptote i ose argumenta.

Derivati ​​i ekstremi

Izvod je granica promjene funkcije kada se argument promijeni na nulu. Šta to znači? Uzmimo mala površina iz područja dozvoljenih argumenata i pogledajte kako se f(x) mijenja ovdje, a zatim smanjite ovo područje na beskonačno malu veličinu, u ovom slučaju će se f(x) početi mijenjati na isti način kao i neki drugi jednostavna funkcija, koji se naziva derivat.

Vrijednost derivacije u određenoj tački pokazuje pod kojim kutom prolazi tangenta na funkciju u odabranoj tački. Negativna vrijednost označava da se funkcija ovdje smanjuje. Slično, pozitivan izvod ukazuje na povećanje f(x). Ovo dovodi do dva uslova.

1) Izvod u tački ekstrema je ili nula ili nedefinisan. Ovaj uslov je neophodan, ali nije dovoljan. Razlikujemo y = x^3 i dobijemo jednačinu izvoda: y = 3*x^2. Zamijenite argument “0” u posljednju jednačinu, a izvod će ići na nulu. Međutim, ovo nije ekstrem za y = x^3. Ne može imati ekstreme; smanjuje se duž cijele ose argumenta.

2) Dovoljno je da pri prelasku tačke ekstrema derivacija promeni predznak. Odnosno, f(x) raste do maksimuma, a nakon maksimuma se smanjuje - izvod je bio pozitivan, ali je postao negativan.

Nakon što se pronađu argumenti za lokalni maksimum, oni se moraju zamijeniti u originalnu jednadžbu i dobiti maksimalna vrijednost f(x).

Krajevi intervala i poređenje rezultata

Kada tražite maksimum na segmentu, morate provjeriti vrijednost na krajevima segmenta. Na primjer, za y = 1/x na segmentu, maksimum će biti u tački x = 1. Čak i ako postoji lokalni maksimum unutar segmenta, nema garancije da će vrijednost na jednom od krajeva segmenta neće biti veći od ovog maksimuma.

Sada treba da uporedimo vrijednosti na tačkama prekida(ako f(x) ovdje ne teži beskonačnosti), na krajevima intervala koji se proučava i na ekstremumu funkcije. Najveća od ovih vrijednosti bit će maksimum funkcije na datom dijelu linije.

Za problem s tekstom "Pronađi minimalnu točku funkcije", morate odabrati najmanji od lokalnih minimuma i vrijednosti na krajevima intervala i na tačkama prekida.

Video

Funkcija i proučavanje njenih karakteristika zauzima jedno od ključnih poglavlja moderne matematike. Glavna komponenta bilo koje funkcije su grafovi koji prikazuju ne samo njena svojstva, već i parametre derivacije ove funkcije. Hajde da razumemo ovu tešku temu. Dakle, koji je najbolji način za pronalaženje maksimalnih i minimalnih tačaka funkcije?

Funkcija: definicija

Svaka varijabla koja na neki način ovisi o vrijednostima druge veličine može se nazvati funkcijom. Na primjer, funkcija f(x 2) je kvadratna i određuje vrijednosti za cijeli skup x. Recimo da je x = 9, tada će vrijednost naše funkcije biti jednaka 9 2 = 81.

Funkcije se razlikuju različite vrste: logičke, vektorske, logaritamske, trigonometrijske, numeričke i druge. Proučavali su ih tako izuzetni umovi kao što su Lacroix, Lagrange, Leibniz i Bernoulli. Njihova djela služe kao uporište moderne načine proučavanje funkcija. Prije pronalaženja minimalnih tačaka, vrlo je važno razumjeti samo značenje funkcije i njene derivacije.

Derivat i njegova uloga

Sve funkcije ovise o svojim varijablama, što znači da mogu promijeniti svoju vrijednost u bilo kojem trenutku. Na grafu će to biti prikazano kao kriva koja ili pada ili raste duž ordinatne ose (ovo je cijeli skup "y" brojeva duž vertikalnog grafikona). Dakle, određivanje maksimalne i minimalne tačke funkcije je upravo vezano za ove „oscilacije“. Hajde da objasnimo kakav je to odnos.

Izvod bilo koje funkcije se grafički prikazuje kako bi se proučile njene osnovne karakteristike i izračunala brzina promjene funkcije (tj. mijenja svoju vrijednost u zavisnosti od varijable "x"). U trenutku kada funkcija raste, grafik njene derivacije će se takođe povećati, ali u bilo kojoj sekundi funkcija može početi da opada, a zatim će se graf derivacije smanjiti. One tačke u kojima se derivacija menja iz predznaka minus u znak plus nazivaju se tačke minimuma. Da biste znali kako pronaći minimalne bodove, trebali biste bolje razumjeti

Kako izračunati derivat?

Definicija i funkcije podrazumijevaju nekoliko koncepata iz Općenito, sama definicija derivacije može se izraziti na sljedeći način: to je veličina koja pokazuje brzinu promjene funkcije.

Matematički način određivanja za mnoge učenike se čini komplikovanim, ali u stvarnosti je sve mnogo jednostavnije. Vi samo trebate slijediti standardni plan za pronalaženje derivata bilo koje funkcije. U nastavku opisujemo kako možete pronaći minimalnu točku funkcije bez primjene pravila diferencijacije i bez pamćenja tablice derivacija.

1. Možete izračunati derivaciju funkcije koristeći graf. Da biste to učinili, morate prikazati samu funkciju, a zatim na njoj uzeti jednu tačku (tačka A na slici). Nacrtajte liniju okomito do ose apscise (tačka x 0), a u tački A nacrtajte tangentu na graf funkcije. X-osa i tangenta formiraju određeni ugao a. Da biste izračunali koliko brzo se funkcija povećava, morate izračunati tangens ovog ugla a.
2. Ispada da je tangenta ugla između tangente i pravca x ose derivacija funkcije na mala površina sa tačkom A. Ova metoda se smatra geometrijskom metodom za određivanje derivacije.

Metode za proučavanje funkcije

IN školski program U matematici je moguće pronaći minimalnu tačku funkcije na dva načina. Već smo raspravljali o prvoj metodi koristeći graf, ali kako možemo odrediti numeričku vrijednost derivacije? Da biste to učinili, morat ćete naučiti nekoliko formula koje opisuju svojstva izvoda i pomažu u pretvaranju varijabli poput “x” u brojeve. Sljedeća metoda je univerzalan, tako da se može primijeniti na gotovo sve vrste funkcija (i geometrijske i logaritamske).

1. Potrebno je izjednačiti funkciju sa funkcijom derivacije, a zatim pojednostaviti izraz koristeći pravila diferencijacije.
2. U nekim slučajevima, kada je data funkcija u kojoj je varijabla "x" u djelitelju, potrebno je odrediti regiju prihvatljive vrijednosti, izuzimajući iz njega tačku “0” (iz jednostavnog razloga što u matematici nikada ne treba dijeliti sa nulom).
3. Nakon toga, trebali biste transformirati izvorni oblik funkcije u jednostavnu jednačinu, izjednačavajući cijeli izraz sa nulom. Na primjer, ako je funkcija izgledala ovako: f(x) = 2x 3 +38x, tada je prema pravilima diferencijacije njen izvod jednak f"(x) = 3x 2 +1. Zatim ovaj izraz transformiramo u jednadžba sljedećeg oblika: 3x 2 +1 = 0 .
4. Nakon rješavanja jednadžbe i pronalaženja “x” tačaka, treba ih nacrtati na x-osi i odrediti da li je izvod u ovim presjecima između označenih tačaka pozitivan ili negativan. Nakon oznake, postat će jasno u kojem trenutku funkcija počinje opadati, odnosno mijenja predznak od minusa do suprotnog. Na taj način možete pronaći i minimalne i maksimalne bodove.

Pravila diferencijacije

Najosnovnija komponenta u proučavanju funkcije i njenog derivata je poznavanje pravila diferencijacije. Samo uz njihovu pomoć možete transformirati glomazne izraze i velike složene funkcije. Hajde da se upoznamo s njima, ima ih dosta, ali su svi vrlo jednostavni zbog prirodnih svojstava i stepena i logaritamskih funkcija.

1. Derivat bilo koje konstante jednak je nuli (f(x) = 0). To jest, derivacija f(x) = x 5 + x - 160 će imati sljedeći oblik: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Derivat zbira dva člana: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivat logaritamske funkcije: (log a d)" = d/ln a*d. Ova formula se primjenjuje na sve vrste logaritama.
4. Derivat snage: (x n)"= n*x n-1. Na primjer, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Izvod sinusoidne funkcije: (sin a)" = cos a. Ako je sin ugla a 0,5, onda je njegov izvod √3/2.

Ekstremne tačke

Već smo raspravljali o tome kako pronaći minimalne točke, ali postoji koncept i funkcije. Ako minimum označava one tačke u kojima se funkcija mijenja iz znaka minus u plus, tada su tačke maksimuma one točke na x-osi u kojima se derivacija funkcije mijenja iz plusa u suprotno - minus.

Maksimalne točke možete pronaći pomoću gore opisane metode, ali treba uzeti u obzir da one označavaju ona područja u kojima funkcija počinje opadati, odnosno derivacija će biti manja od nule.

U matematici je uobičajeno generalizirati oba koncepta, zamjenjujući ih frazom "tačke ekstrema". Kada zadatak od vas traži da odredite ove tačke, to znači da morate izračunati derivaciju date funkcije i pronaći minimalne i maksimalne tačke.

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala rasta, opadanja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i najvažniji deo druge zadatke, posebno studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)– također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suštinski derivat,što je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako je vremena malo, onda je moguća i čisto formalna praksa primjera iz današnje lekcije.

A danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vašeg monitora.

Za što? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da je jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da ona kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, hajde da se odmah oslobodimo mogućih iluzija, posebno za one čitaoce koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnog predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje se osa siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite ose i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To je, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije raste u intervalu.

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija opada u intervalima .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, tada se poziva strogo monotono u ovom intervalu. Šta je monotonija? Shvatite to doslovno – monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Poziva se neopadajuća ili nerastuća funkcija na intervalu monotonska funkcija u ovom intervalu (stroga monotonost je poseban slučaj "jednostavne" monotonosti).

Teorija takođe razmatra i druge pristupe određivanju povećanja/smanjenja funkcije, uključujući na poluintervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, dogovorićemo se da radimo sa otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima formulacija "monotonost funkcije" će gotovo uvijek biti skrivena intervalima stroga monotonija(strogo rastuća ili striktno opadajuća funkcija).

Susjedstvo tačke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god mogu i kriju se užasnuti po ćoškovima. ...Iako posle posta Cauchy granice Vjerojatno se više ne skrivaju, već se samo lagano dršću =) Ne brinite, sada neće biti dokaza o teoremama matematičke analize - trebala mi je okolina da strože formulišem definicije ekstremne tačke. prisjetimo se:

Susjedstvo tačke naziva se interval koji sadrži ovu tačku, dok se radi pogodnosti često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . U našem konkretan primjer ovo je poenta.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . Na crtežu se nalazi tačka “a”.

Bilješka : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije neophodan. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo maleno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Tačke se zovu strogo ekstremne tačke ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumemo reč „ekstremno“? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, labavi postulati postoje i još su češći u teoriji (pod koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se smatraju!):

Tačka se zove maksimalni poen, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da prema posljednje dvije definicije, bilo koja tačka konstantne funkcije (ili " ravna površina» bilo koje funkcije) smatra se i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova razmatranja ćemo prepustiti teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmatramo tradicionalna „brda“ i „udubine“ (vidi crtež) sa jedinstvenim „kraljem brda“ ili „princezom močvare“. Kao varijanta, javlja se tip, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u tački.

Oh, i kad smo kod kraljevske porodice:
– naziva se značenje maksimum funkcije;
– naziva se značenje minimum funkcije.

Uobičajeno ime – ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

Ekstremne tačke– ovo su “X” vrijednosti.
Ekstremi– značenja „igre“.

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na “X-Y” tačke koje leže direktno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimum funkcije" nije identično izraz "maksimalna vrijednost funkcije". Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su “hladniji drugovi”. Isto tako, "minimalna funkcija" nije isto što i " minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo na određenom području. U tom smislu se nazivaju i tačke ekstrema lokalne ekstremne tačke, a ekstremi – lokalni ekstremi. Šetaju i lutaju u blizini i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi „lokalni“/„globalni“ ne bi vas trebali iznenaditi.

Sumirajmo naš kratki izlet u teoriju uz probni snimak: šta znači zadatak „pronaći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije“?

Formulacija vas podstiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuje mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve ovo utvrditi? Korištenje derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
tačke ekstrema i ekstremi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat donosi vesele vijesti da se funkcija sve više povećava domenu definicije.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste u intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencirana. Međutim, na kritičnoj tački nalaze se desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici su njihovi levoruki parnjaci.

Mislim da ti neće smetati poseban rad Provedite slično razmišljanje za arc kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz derivativne definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje dostiže minimume i maksimume (ako uopće dostigne). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Naći intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći domenu funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, i ovu akciju u određenoj meri i formalno. Ali u nizu slučajeva ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se odnosimo prema paragrafu bez prezira.

2) Druga tačka algoritma je zbog

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u nekoj tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije “modulus x”. .

Uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u tački . Klasičan primjer već istaknuto gore - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodno stanje ekstrem diktira potrebu pronalaženja sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ...Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi upravo u ovoj tački =) Općenito, ovdje bismo trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivat funkcije. Stoga, povećajmo stepen:

Primjer 2

Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcijsko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to koliko promjenljivo jedan te isti zadatak može biti preformulisan.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u tačkama.

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Ucrtavamo SVE otkrivene tačke na brojevnu pravu i intervalna metoda definišemo znakove DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmimo, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plusa” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je povezati intervale istog tipa pomoću ikone spajanja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate preračunavati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMUMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo U principu ne može biti ekstrema(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i smanjuje se za U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a u tački – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju izgled funkcionalna grafika. Osoba prosječne obuke može verbalno odrediti da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate studije s grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji fleksija grafa(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…to je skoro kao neka vrsta praznika „X u kocki“ danas....
Jaooo, ko je u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.

značenje

Greatest

značenje

Najmanje

Maksimalni poen

Minimalni poen

Problemi nalaženja tačaka funkcije ekstremuma rješavaju se korištenjem standardna šema u 3 koraka.

Korak 1. Pronađite izvod funkcije

• Zapamtite derivacijske formule elementarnih funkcija i osnovna pravila diferencijacije da biste pronašli izvod.

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

Korak 2. Pronađite nule izvoda

• Riješite rezultirajuću jednadžbu da biste pronašli nule izvoda.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

Korak 3. Pronađite ekstremne tačke

• Koristite metodu intervala da odredite predznake derivacije;
• U tački minimuma derivacija je jednaka nuli i menja predznak sa minusa na plus, a u maksimalnoj tački sa plus na minus.

Koristimo ovaj pristup da riješimo sljedeći problem:

Naći maksimalnu tačku funkcije y=x3−243x+19.

1) Pronađite izvod: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Riješite jednačinu y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Izvod je pozitivan za x>9 i x<−9 и отрицательная при −9

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije

Za rješavanje problema pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije neophodno:

• Odrediti tačke ekstrema funkcije na segmentu (intervalu).
• Pronađite vrijednosti na krajevima segmenta i odaberite najveću ili najmanju vrijednost od vrijednosti u tačkama ekstrema i na krajevima segmenta.

Pomaže kod mnogih zadataka teorema:

Ako na segmentu postoji samo jedna tačka ekstrema, a to je minimalna tačka, tada se na njoj postiže najmanja vrijednost funkcije. Ako je ovo maksimalna tačka, tada se tamo postiže najveća vrijednost.

14. Pojam i osnovna svojstva neodređenog integrala.

Ako je funkcija f(x X, And k– onda broj

Ukratko govoreći: konstanta se može izvaditi iz predznaka integrala.

Ako funkcije f(x) I g(x) imaju antiderivate na intervalu X, To

Ukratko govoreći: integral zbira jednak je zbiru integrala.

Ako je funkcija f(x) ima antiderivat na intervalu X, zatim za unutrašnje točke ovog intervala:

Ukratko govoreći: derivacija integrala je jednaka integrandu.

Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na intervalu X i diferencibilan je u unutrašnjim tačkama ovog intervala, tada:

Ukratko govoreći: integral diferencijala funkcije jednak je ovoj funkciji plus integracijska konstanta.

Hajde da damo striktnu matematičku definiciju koncepti neodređenog integrala.

Izraz oblika se zove integral funkcije f(x) , Gdje f(x) - integrand funkcija koja je data (poznata), dx - diferencijal x , sa simbolom koji je uvijek prisutan dx .

Definicija. Neodređeni integral zove funkcija F(x) + C , koji sadrži proizvoljnu konstantu C , čiji je diferencijal jednak integrand izraz f(x)dx , tj. ili Funkcija se poziva antiderivativna funkcija. Antiderivat funkcije određuje se do konstantne vrijednosti.

Podsjetimo da - diferencijalna funkcija i definira se na sljedeći način:

Pronalaženje problema neodređeni integral je pronaći takvu funkciju derivat koji je jednak integrandu. Ova funkcija je određena točno na konstantu, jer derivacija konstante je nula.

Na primjer, poznato je da , onda ispada da , ovdje je proizvoljna konstanta.

Problem nalaženja neodređeni integral funkcije nije tako jednostavno i lako kao što se čini na prvi pogled. U mnogim slučajevima mora postojati vještina u radu neodređeni integrali, mora postojati iskustvo koje dolazi sa praksom i stalno rješavanje primjera neodređenih integrala. Vrijedi uzeti u obzir činjenicu da neodređeni integrali iz nekih funkcija (ima ih dosta) nisu preuzete u elementarnim funkcijama.

15. Tabela osnovnih neodređenih integrala.

Osnovne formule

16. Definitivni integral kao granica integralnog zbira. Geometrijsko i fizičko značenje integrala.

Neka je funkcija y=ƒ(x) definirana na intervalu [a; b], a< b. Выполним следующие действия.

1. Koristeći točke x 0 = a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0

2. U svakom parcijalnom segmentu , i = 1,2,...,n, odaberite proizvoljnu tačku sa i ê i izračunajte vrijednost funkcije u njoj, odnosno vrijednost ƒ(sa i).

3. Pomnožite pronađenu vrijednost funkcije ƒ (sa i) sa dužinom ∆x i =x i -x i-1 odgovarajućeg parcijalnog segmenta: ƒ (sa i) ∆x i.

4. Napravimo zbir S n svih takvih proizvoda:

Zbir oblika (35.1) naziva se integralni zbir funkcije y = ƒ(x) na intervalu [a; b]. Označimo sa λ dužinu najvećeg parcijalnog segmenta: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Nađimo granicu integralne sume (35.1) kada je n → ∞ tako da je λ→0.

Ako u ovom slučaju integralni zbir S n ima granicu I, koja ne zavisi od metode particionisanja segmenta [a; b] na parcijalnim segmentima, niti na izboru tačaka u njima, tada se broj I naziva definitivnim integralom funkcije y = ƒ(x) na segmentu [a; b] i označava se tako,

Brojevi a i b nazivaju se donja i gornja granica integracije, ƒ(x) - funkcija integranda, ƒ(x) dx - integrand, x - varijabla integracije, segment [a; b] - područje (segment) integracije.

Funkcija y=ƒ(x), za koju na intervalu [a; b] postoji određeni integral koji se naziva integrabilan na ovom intervalu.

Formulirajmo sada teoremu za postojanje određenog integrala.

Teorema 35.1 (Cauchy). Ako je funkcija y = ƒ(x) kontinuirana na intervalu [a; b], zatim definitivni integral

Imajte na umu da je kontinuitet funkcije dovoljan uslov za njenu integrabilnost. Međutim, određeni integral može postojati i za neke diskontinuirane funkcije, posebno za bilo koju funkciju ograničenu na interval koji ima konačan broj točaka diskontinuiteta na sebi.

Naznačimo neka svojstva određenog integrala koja direktno slijede iz njegove definicije (35.2).

1. Definitivni integral je nezavisan od oznake integracione varijable:

Ovo proizilazi iz činjenice da integralni zbir (35.1), a time i njegova granica (35.2), ne zavise od toga kojim slovom je označen argument date funkcije.

2. Određeni integral sa istim granicama integracije jednak je nuli:

3. Za bilo koji realan broj c.

17. Newton-Leibnizova formula. Osnovna svojstva određenog integrala.

Neka funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu I F(x) je onda jedan od antiderivata funkcije na ovom segmentu Newton-Leibnizova formula: .

Zove se Newton-Leibnizova formula osnovna formula integralnog računa.

Da bismo dokazali Newton-Leibnizovu formulu, potreban nam je koncept integrala s promjenjivom gornjom granicom.

Ako je funkcija y = f(x) kontinuirano na segmentu , tada je za argument integral forme funkcija gornje granice. Označimo ovu funkciju , a ova funkcija je kontinuirana i jednakost je istinita .

Zaista, zapišimo prirast funkcije koji odgovara inkrementu argumenta i koristimo peto svojstvo određenog integrala i posljedicu iz desetog svojstva:

Gdje .

Prepišimo ovu jednakost u obliku . Ako se prisjetimo definicije derivacije funkcije i idemo do granice na , dobićemo . To jest, ovo je jedan od antiderivata funkcije y = f(x) na segmentu . Dakle, skup svih antiderivata F(x) može se napisati kao , Gdje WITH– proizvoljna konstanta.

Hajde da izračunamo F(a), koristeći prvo svojstvo određenog integrala: , dakle, . Koristimo ovaj rezultat prilikom izračunavanja F(b): , to je . Ova jednakost daje dokazivu formulu Newton-Leibniz .

Povećanje funkcije obično se označava kao . Koristeći ovu notaciju, Newton-Leibnizova formula poprima oblik .

Za primjenu Newton-Leibnizove formule dovoljno nam je znati jedan od antiderivata y=F(x) integrand funkcija y=f(x) na segmentu i izračunajte prirast ovog antiderivata na ovom segmentu. U članku o metodama integracije razmatraju se glavni načini pronalaženja antiderivata. Navedimo nekoliko primjera izračunavanja definitivnih integrala koristeći Newton-Leibniz formulu radi pojašnjenja.

Primjer.

Izračunajte vrijednost određenog integrala koristeći Newton-Leibniz formulu.

Rješenje.

Za početak, primjećujemo da je integrand kontinuiran na intervalu , dakle, integrabilno je na njemu. (Razgovarali smo o integrabilnim funkcijama u odjeljku o funkcijama za koje postoji definitivan integral.)

Iz tablice neodređenih integrala jasno je da se za funkciju skup antiderivata za sve realne vrijednosti argumenta (a samim tim i za ) zapisuje kao . Uzmimo antiderivat za C=0: .

Sada ostaje koristiti Newton-Leibniz formulu za izračunavanje definitivnog integrala: .

18. Geometrijske primjene određenog integrala.

GEOMETRIJSKE PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA

Pravougaoni S.K.	Funkcija specificirana parametarski	Polyarnaya S.K.
Proračun površina ravnih figura
Izračunavanje dužine luka ravne krive
Izračunavanje površine okretanja

Proračun zapremine tela

Izračunavanje zapremine tela iz poznatih površina paralelnih preseka:

Volumen tijela rotacije: ; .

Primjer 1. Pronađite površinu figure ograničenu krivom y=sinx pravim linijama

Rješenje: Pronalaženje površine figure:

Primjer 2. Izračunajte površinu figure ograničene linijama

Rješenje: Nađimo apscisu presječnih tačaka grafova ovih funkcija. Da bismo to uradili, rešavamo sistem jednačina

Odavde nalazimo x 1 =0, x 2 =2,5.

19. Koncept diferencijalnih kontrola. Diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Diferencijalna jednadžba- jednadžba koja povezuje vrijednost derivacije funkcije sa samom funkcijom, vrijednostima nezavisne varijable i brojevima (parametrima). Redoslijed izvoda uključenih u jednačinu može biti različit (formalno nije ničim ograničen). Derivati, funkcije, nezavisne varijable i parametri mogu se pojaviti u jednadžbi u različitim kombinacijama, ili svi osim jednog izvoda mogu biti potpuno odsutni. Nije svaka jednadžba koja sadrži izvode nepoznate funkcije diferencijalna jednadžba. Na primjer, nije diferencijalna jednadžba.

Parcijalne diferencijalne jednadžbe(PDF) su jednadžbe koje sadrže nepoznate funkcije nekoliko varijabli i njihovih parcijalnih izvoda. Opšti oblik takvih jednačina može se predstaviti kao:

gdje su nezavisne varijable, i je funkcija ovih varijabli. Redoslijed parcijalnih diferencijalnih jednadžbi može se odrediti na isti način kao i za obične diferencijalne jednadžbe. Druga važna klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi je njihova podjela na jednačine eliptičkog, paraboličnog i hiperboličkog tipa, posebno za jednačine drugog reda.

I obične diferencijalne jednadžbe i parcijalne diferencijalne jednadžbe se mogu podijeliti na linearno I nelinearni. Diferencijalna jednadžba je linearna ako nepoznata funkcija i njeni derivati ​​ulaze u jednačinu samo do prvog stepena (i ne množe se međusobno). Za takve jednadžbe, rješenja čine afini podprostor prostora funkcija. Teorija linearnih diferencijalnih jednadžbi razvijena je mnogo dublje od teorije nelinearnih jednadžbi. Opšti pogled na linearnu diferencijalnu jednadžbu n-ti red:

Gdje p i(x) su poznate funkcije nezavisne varijable, koje se nazivaju koeficijenti jednačine. Funkcija r(x) na desnoj strani se zove besplatni član(jedini pojam koji ne zavisi od nepoznate funkcije) Važna posebna klasa linearnih jednadžbi su linearne diferencijalne jednadžbe sa konstantni koeficijenti.

Podklasa linearnih jednačina su homogena diferencijalne jednadžbe - jednadžbe koje ne sadrže slobodni pojam: r(x) = 0. Za homogene diferencijalne jednadžbe vrijedi princip superpozicije: linearna kombinacija parcijalnih rješenja takve jednačine će također biti njeno rješenje. Sve ostale linearne diferencijalne jednadžbe se nazivaju heterogena diferencijalne jednadžbe.

Nelinearne diferencijalne jednadžbe u opštem slučaju nemaju razvijene metode rješenja, osim za neke posebne klase. U nekim slučajevima (koristeći određene aproksimacije) mogu se svesti na linearne. Na primjer, linearna jednadžba harmonijskog oscilatora može se smatrati aproksimacijom nelinearne matematičke jednačine klatna za slučaj malih amplituda, kada y≈ sin y.

· - homogena diferencijalna jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Rješenje je porodica funkcija , gdje su i proizvoljne konstante, koje se za određeno rješenje određuju iz posebno specificiranih početnih uslova. Ova jednadžba, posebno, opisuje kretanje harmonijskog oscilatora s cikličkom frekvencijom od 3.

· Drugi Newtonov zakon se može napisati u obliku diferencijalne jednačine Gdje m- tjelesna masa, x- njegova koordinata, F(x, t) - sila koja djeluje na tijelo sa koordinatom x u određenom trenutku t. Njegovo rješenje je putanja tijela pod djelovanjem navedene sile.

· Beselova diferencijalna jednadžba je obična linearna homogena jednačina drugog reda sa promjenjivim koeficijentima: njena rješenja su Beselove funkcije.

· Primjer nehomogene nelinearne obične diferencijalne jednadžbe 1. reda:

U sljedećoj grupi primjera nalazi se nepoznata funkcija u zavisi od dve varijable x I t ili x I y.

· Homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda:

· Jednodimenzionalna talasna jednadžba - homogena linearna jednadžba u parcijalnim derivatima hiperboličkog tipa drugog reda sa konstantnim koeficijentima, opisuje oscilaciju strune ako - otklon strune u tački sa koordinatom x u određenom trenutku t, i parametar a postavlja svojstva niza:

· Laplaceova jednadžba u dvodimenzionalnom prostoru je homogena linearna parcijalna diferencijalna jednadžba drugog reda eliptičkog tipa sa konstantnim koeficijentima, koja se javlja u mnogim fizičkim problemima mehanike, toplotne provodljivosti, elektrostatike, hidraulike:

· Korteweg-de Vriesova jednadžba, nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba trećeg reda koja opisuje stacionarne nelinearne valove, uključujući solitone:

20. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim primjenjivim. Linearne jednačine i Bernulijeva metoda.

Linearna diferencijalna jednadžba prvog reda je jednadžba koja je linearna u odnosu na nepoznatu funkciju i njen izvod. Izgleda