Kvadratne jednadžbe. Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Nastavljajući temu “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Pogledajmo sve detaljno: suštinu i notaciju kvadratne jednadžbe, definiramo prateće članove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednačina, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata, i naravno daćemo vizuelno rešenje praktičnim primerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njene vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednačina napisana kao a x 2 + b x + c = 0, Gdje x– varijabla, a , b i c– neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednačine nazivaju i jednačinama drugog stepena, jer je u suštini kvadratna jednačina algebarska jednačina drugog stepena.

Dajemo primjer koji ilustruje datu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. Ovo su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent na x, A c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodeći koeficijent je 6, drugi koeficijent je − 2 , a slobodni termin je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada su koef b i/ili c su negativni, tada se koristi kratki oblik forme 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Razjasnimo i ovaj aspekt: ako su koeficijenti a i/ili b jednaka 1 ili − 1 , onda možda neće eksplicitno učestvovati u pisanju kvadratne jednačine, što se objašnjava posebnostima pisanja navedenih numeričkih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 vodeći koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Na osnovu vrijednosti prvog koeficijenta, kvadratne jednačine se dijele na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Redukovana kvadratna jednačina je kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1. Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta, kvadratna jednadžba nije redukovana.

Navedimo primjere: redukovane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, od kojih je vodeći koeficijent 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovana kvadratna jednačina, u kojoj se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka neredukovana kvadratna jednačina može se pretvoriti u redukovanu jednačinu dijeljenjem obje strane s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednačina će imati iste korijene kao i data nereducirana jednačina ili također neće imati korijena uopće.

Razmatranje konkretnog primjera će nam omogućiti da jasno demonstriramo prijelaz sa nereducirane kvadratne jednadžbe na redukovanu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Neophodno je prevesti originalnu jednačinu u redukovani oblik.

Rješenje

Prema gornjoj shemi, obje strane originalne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6. Tada dobijamo: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobija jednačina ekvivalentna datoj.

odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uslov je neophodan za jednačinu a x 2 + b x + c = 0 bila upravo kvadratna, budući da je u a = 0 ona se u suštini transformiše u linearnu jednačinu b x + c = 0.

U slučaju kada su koef b I c su jednake nuli (što je moguće, kako pojedinačno tako i zajedno), kvadratna jednačina se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba- takva kvadratna jednačina a x 2 + b x + c = 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b I c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba– kvadratna jednačina u kojoj svi numerički koeficijenti nisu jednaki nuli.

Hajde da raspravimo zašto se tipovima kvadratnih jednačina daju upravo ova imena.

Kada je b = 0, kvadratna jednadžba poprima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratna jednačina se piše kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. At b = 0 I c = 0 jednačina će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednačine koje smo dobili razlikuju se od potpune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s promjenljivom x, ni slobodni član, ni oboje. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednačine – nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – nepotpune kvadratne jednačine.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućava razlikovanje sljedećih tipova nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 = 0, ova jednačina odgovara koeficijentima b = 0 i c = 0 ;
a · x 2 + c = 0 na b = 0;
a · x 2 + b · x = 0 na c = 0.

Razmotrimo sekvencijalno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednačine a x 2 =0

Kao što je gore pomenuto, ova jednačina odgovara koeficijentima b I c, jednako nuli. Jednačina a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednačinu x 2 = 0, koji dobijamo dijeljenjem obje strane originalne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očigledna činjenica je da je korijen jednačine x 2 = 0 ovo je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može objasniti svojstvima stepena: za bilo koji broj p, nije jednako nuli, nejednakost je tačna p 2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p 2 = 0 nikada neće biti postignuto.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednačinu a x 2 = 0 postoji jedinstveni korijen x = 0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednačinu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednačini x 2 = 0, njegov jedini korijen je x = 0, tada originalna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Ukratko, rješenje je napisano na sljedeći način:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Rješavanje jednačine a x 2 + c = 0

Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b = 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Hajde da transformišemo ovu jednačinu tako što ćemo pomeriti član s jedne strane jednačine na drugu, promeniti predznak u suprotan i podeliti obe strane jednačine brojem koji nije jednak nuli:

transfer c na desnu stranu, što daje jednačinu a x 2 = − c;
podijelite obje strane jednačine sa a, završavamo sa x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, shodno tome i rezultirajuća jednačina je ekvivalentna originalnoj, a ta činjenica omogućava izvođenje zaključaka o korijenima jednačine. Od toga kakve su vrijednosti a I c vrijednost izraza - c a zavisi: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 I c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = − 2 I c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije nula jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti tačna.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednačine x 2 = - c a biti broj - c a, jer - c a 2 = - c a. Nije teško razumjeti da je broj - - c a također korijen jednačine x 2 = - c a: zaista, - - c a 2 = - c a.

Jednačina neće imati druge korijene. To možemo demonstrirati koristeći metodu kontradikcije. Za početak, definirajmo oznake za korijene pronađene iznad kao x 1 I − x 1. Pretpostavimo da jednačina x 2 = - c a također ima korijen x 2, što se razlikuje od korijena x 1 I − x 1. To znamo zamjenom u jednačinu x njene korijene, transformiramo jednačinu u poštenu numeričku jednakost.

Za x 1 I − x 1 pišemo: x 1 2 = - c a , i za x 2- x 2 2 = - c a . Na osnovu svojstava numeričkih jednakosti, oduzimamo jedan tačan pojam jednakosti od drugog, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Koristimo svojstva operacija s brojevima da prepišemo posljednju jednakost kao (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je proizvod dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz navedenog proizilazi da x 1 − x 2 = 0 i/ili x 1 + x 2 = 0, što je isto x 2 = x 1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očigledna kontradikcija, jer je u početku bilo dogovoreno da je korijen jednačine x 2 razlikuje se od x 1 I − x 1. Dakle, dokazali smo da jednačina nema korijene osim x = - c a i x = - - c a.

Hajde da sumiramo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a, koja:

neće imati korijene na - c a< 0 ;
imaće dva korena x = - c a i x = - - c a za - c a > 0.

Navedimo primjere rješavanja jednačina a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana kvadratna jednačina 9 x 2 + 7 = 0. Potrebno je pronaći rješenje.

Rješenje

Pomerimo slobodni član na desnu stranu jednačine, tada će jednačina poprimiti oblik 9 x 2 = − 7.
Podijelimo obje strane rezultirajuće jednačine sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednačina nema korijen. Zatim originalna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korena.

odgovor: jednačina 9 x 2 + 7 = 0 nema korena.

Primjer 4

Jednačinu treba riješiti − x 2 + 36 = 0.

Rješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela sa − 1 , dobijamo x 2 = 36. Na desnoj strani nalazi se pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvadimo korijen i zapišemo konačni rezultat: nepotpuna kvadratna jednačina − x 2 + 36 = 0 ima dva korena x=6 ili x = − 6.

odgovor: x=6 ili x = − 6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednačina, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristićemo metod faktorizacije. Faktorizujmo polinom koji se nalazi na lijevoj strani jednačine, uzimajući zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju originalne nepotpune kvadratne jednadžbe u njen ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova jednadžba je, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednačina x = 0 I a x + b = 0. Jednačina a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imaće dva korena x = 0 I x = − b a.

Pojačajmo gradivo primjerom.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednačine 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Rješenje

Izvadićemo ga x izvan zagrada dobijamo jednačinu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednačina je ekvivalentna jednačinama x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednačinu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Ukratko napišite rješenje jednačine na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

odgovor: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formula za korijene kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 · a, gdje D = b 2 − 4 a c– takozvani diskriminant kvadratne jednačine.

Pisanje x = - b ± D 2 · a u suštini znači da je x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bilo bi korisno razumjeti kako je ova formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Suočimo se sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Hajde da izvršimo nekoliko ekvivalentnih transformacija:

podijelite obje strane jednačine brojem a, različito od nule, dobijamo sljedeću kvadratnu jednačinu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
Odaberimo cijeli kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Nakon toga, jednačina će dobiti oblik: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
Sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobijamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
Konačno, transformiramo izraz napisan na desnoj strani posljednje jednakosti:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dakle, dolazimo do jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentne originalnoj jednačini a x 2 + b x + c = 0.

Rješenje takvih jednadžbi smo ispitali u prethodnim paragrafima (rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućava da se izvede zaključak o korijenima jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

sa b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
kada je b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednačina je x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je očigledan jedini korijen x = - b 2 · a;

za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, vrijedit će sljedeće: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , što je isto kao x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , tj. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisustvo ili odsustvo korena jednačine x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a samim tim i originalne jednačine) zavisi od predznaka izraza b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napisano na desnoj strani. A znak ovog izraza je dat znakom brojioca, (imenik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminanta kvadratne jednačine i slovo D se definiše kao njena oznaka. Ovdje možete zapisati suštinu diskriminanta - na osnovu njegove vrijednosti i predznaka mogu zaključiti da li će kvadratna jednadžba imati realne korijene i, ako ima, koliki je broj korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednačinu x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepišimo ga koristeći diskriminantnu notaciju: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Hajde da ponovo formulišemo naše zaključke:

Definicija 9

at D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
at D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
at D > 0 jednadžba ima dva korijena: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 ili x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na osnovu svojstava radikala, ovi korijeni se mogu zapisati u obliku: x = - b 2 · a + D 2 · a ili - b 2 · a - D 2 · a. A, kada otvorimo module i dovedemo razlomke do zajedničkog imenioca, dobijamo: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućavaju određivanje oba realna korijena kada je diskriminanta veća od nule. Kada je diskriminanta nula, primjena obje formule će dati isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, ako pokušamo koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom da uzmemo kvadratni korijen negativnog broja, što će nas odvesti izvan opsega realnih brojeva. Sa negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednačinu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali to se općenito radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva to obično znači traženje ne kompleksnih, već realnih korijena kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije upotrebe formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminanta i uvjeriti se da nije negativna (inače ćemo zaključiti da jednačina nema realnih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednost korijena.

Gornje rezonovanje omogućava formulisanje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednačine a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći diskriminantnu vrijednost;
kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
za D = 0, pronađite jedini koren jednačine koristeći formulu x = - b 2 · a ;
za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminanta nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a, ona će dati isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a.

Pogledajmo primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednačina

Dajemo rješenja na primjerima za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Moramo pronaći korijene jednačine x 2 + 2 x − 6 = 0.

Rješenje

Zapišimo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a = 1, b = 2 i c = − 6. Zatim nastavljamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji ćemo zamijeniti koeficijente a, b I c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Tako dobijamo D > 0, što znači da će originalna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x = - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobijamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Pojednostavimo rezultirajući izraz tako što ćemo uzeti faktor iz predznaka korijena, a zatim smanjiti razlomak:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

odgovor: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Rješenje

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Sa ovom vrijednošću diskriminanta, originalna jednačina će imati samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odgovor: x = 3,5.

Primjer 8

Jednačinu treba riješiti 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Rješenje

Numerički koeficijenti ove jednačine će biti: a = 5, b = 6 i c = 2. Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da originalna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena, izvodeći radnje sa kompleksnim brojevima:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 ili x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i ili x = - 3 5 - 1 5 · i.

odgovor: nema pravih korena; kompleksni korijeni su sljedeći: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

U školskom planu i programu ne postoji standardni zahtjev da se traže kompleksni korijeni, stoga, ako se prilikom rješavanja utvrdi da je diskriminanta negativna, odmah se zapisuje odgovor da nema pravih korijena.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Korijenska formula x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) omogućava da se dobije još jedna formula, kompaktnija, koja omogućava pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom za x ( ili sa koeficijentom oblika 2 · n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Hajde da pokažemo kako je ova formula izvedena.

Suočimo se sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednačine a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Nastavljamo prema algoritmu: određujemo diskriminanta D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a zatim koristimo korijen formulu:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a · c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D"). Tada će formula za korijene kvadratne jednadžbe koja se razmatra sa drugim koeficijentom 2 · n poprimiti oblik:

x = - n ± D 1 a, gdje je D 1 = n 2 − a · c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1, ili D 1 = D 4. Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očigledno je da je predznak D 1 isti kao i znak D, što znači da znak D 1 može poslužiti i kao indikator prisustva ili odsustva korijena kvadratne jednačine.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe sa drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:

naći D 1 = n 2 − a · c ;
na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
kada je D 1 = 0, odrediti jedini korijen jednadžbe koristeći formulu x = - n a;
za D 1 > 0, odrediti dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednačinu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Rješenje

Drugi koeficijent date jednačine možemo predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim prepisujemo datu kvadratnu jednačinu kao 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdje je a = 5, n = − 3 i c = − 32.

Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Rezultirajuća vrijednost je pozitivna, što znači da jednačina ima dva realna korijena. Odredimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvršiti proračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljivanje oblika kvadratnih jednačina

Ponekad je moguće optimizirati oblik originalne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je očigledno pogodnije za rješavanje od 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe vrši množenjem ili dijeljenjem obje strane određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednačine 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, dobivenu dijeljenjem obje strane sa 100.

Takva transformacija je moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu međusobno prosti brojevi. Tada obično dijelimo obje strane jednadžbe najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njenih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednačinu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Odredimo GCD apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podijelimo obje strane originalne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednačinu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se oslobađate razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, oni se množe sa najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoži sa LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednačine gotovo uvijek riješimo promjenom predznaka svakog člana jednačine, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) obje strane sa −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, možete preći na njenu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Formula za korijene kvadratnih jednadžbi, koja nam je već poznata, x = - b ± D 2 · a, izražava korijene jednačine kroz njene numeričke koeficijente. Na osnovu ove formule, imamo priliku da navedemo druge zavisnosti između korena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimenljivije formule su Vietin teorem:

x 1 + x 2 = - b a i x 2 = c a.

Konkretno, za datu kvadratnu jednačinu, zbir korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a proizvod korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, gledajući oblik kvadratne jednadžbe 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, moguće je odmah utvrditi da je zbir njenih korijena 7 3, a proizvod korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih veza između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbir kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u vidu koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo pogledati ono što se zove kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina?

Bitan!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalna snaga u kojoj je nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Bitan! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

“a”, “b” i “c” su dati brojevi.

“a” je prvi ili najviši koeficijent;
“b” je drugi koeficijent;
“c” je slobodan termin.

Da biste pronašli “a”, “b” i “c” potrebno je da uporedite svoju jednačinu sa opštim oblikom kvadratne jednačine “ax 2 + bx + c = 0”.

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratnim jednačinama.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a = 5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearnih jednadžbi, za rješavanje kvadratnih jednadžbi koristi se posebna metoda. formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

dovesti kvadratnu jednačinu u opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”. To jest, samo “0” treba da ostane na desnoj strani;
koristite formulu za korijenje:

Pogledajmo primjer kako koristiti formulu za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 − 3x − 4 = 0

Jednačina “x 2 − 3x − 4 = 0” je već svedena na opći oblik “ax 2 + bx + c = 0” i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, samo se trebamo prijaviti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Odredimo koeficijente “a”, “b” i “c” za ovu jednačinu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Može se koristiti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

U formuli “x 1;2 =” radikalni izraz se često zamjenjuje
“b 2 − 4ac” za slovo “D” i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta je detaljnije obrađen u lekciji „Šta je diskriminant“.

Pogledajmo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku prilično je teško odrediti koeficijente “a”, “b” i “c”. Hajde da prvo svedemo jednačinu na opšti oblik “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada kvadratne jednadžbe nemaju korijen. Ova situacija se događa kada formula sadrži negativan broj ispod korijena.

Problemi kvadratne jednačine se izučavaju iu školskom programu i na univerzitetima. One znače jednačine oblika a*x^2 + b*x + c = 0, gdje je x- varijabla, a, b, c – konstante; a<>0 . Zadatak je pronaći korijene jednadžbe.

Geometrijsko značenje kvadratne jednačine

Graf funkcije koji je predstavljen kvadratnom jednadžbom je parabola. Rješenja (korijeni) kvadratne jednadžbe su točke presjeka parabole sa apscisom (x). Iz toga slijedi da postoje tri moguća slučaja:
1) parabola nema tačaka preseka sa osom apscise. To znači da se nalazi u gornjoj ravni sa granama gore ili donjem sa granama nadole. U takvim slučajevima, kvadratna jednadžba nema realnih korijena (ima dva kompleksna korijena).

2) parabola ima jednu tačku preseka sa Ox osom. Takva tačka se naziva vrh parabole, a kvadratna jednačina u njoj dobija svoju minimalnu ili maksimalnu vrednost. U ovom slučaju, kvadratna jednadžba ima jedan pravi korijen (ili dva identična korijena).

3) Poslednji slučaj je interesantniji u praksi - postoje dve tačke preseka parabole sa osom apscise. To znači da postoje dva realna korijena jednačine.

Na osnovu analize koeficijenata potencija varijabli mogu se izvući zanimljivi zaključci o položaju parabole.

1) Ako je koeficijent a veći od nule, onda su grane parabole usmjerene prema gore; ako je negativan, grane parabole su usmjerene prema dolje.

2) Ako je koeficijent b veći od nule, tada vrh parabole leži u lijevoj poluravni, ako ima negativnu vrijednost, onda u desnoj.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe

Prenesimo konstantu iz kvadratne jednadžbe

za znak jednakosti, dobijamo izraz

Pomnožite obje strane sa 4a

Da biste dobili potpuni kvadrat na lijevoj strani, dodajte b^2 na obje strane i izvršite transformaciju

Odavde nalazimo

Formula za diskriminanta i korijene kvadratne jednadžbe

Diskriminant je vrijednost radikalnog izraza.Ako je pozitivan, onda jednačina ima dva realna korijena, izračunata po formuli Kada je diskriminanta nula, kvadratna jednadžba ima jedno rješenje (dva podudarna korijena), što se lako može dobiti iz gornje formule za D = 0. Kada je diskriminanta negativna, jednačina nema realnih korijena. Međutim, rješenja kvadratne jednadžbe nalaze se u kompleksnoj ravni, a njihova vrijednost se izračunava pomoću formule

Vietin teorem

Razmotrimo dva korijena kvadratne jednadžbe i konstruirajmo kvadratnu jednačinu na njihovoj osnovi. Sama Vietina teorema lako slijedi iz notacije: ako imamo kvadratnu jednačinu oblika tada je zbir njegovih korijena jednak koeficijentu p uzetom sa suprotnim predznakom, a proizvod korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu q. Formularni prikaz gore navedenog izgledat će kao Ako je u klasičnoj jednadžbi konstanta a različita od nule, tada trebate podijeliti cijelu jednadžbu s njom, a zatim primijeniti Vietin teorem.

Raspored kvadratne jednačine na faktoring

Neka je zadatak postavljen: čini kvadratnu jednačinu. Da bismo to učinili, prvo rješavamo jednačinu (pronađimo korijene). Zatim, zamjenjujemo pronađene korijene u formulu proširenja za kvadratnu jednadžbu, što će riješiti problem.

Problemi kvadratne jednačine

Zadatak 1. Pronađite korijene kvadratne jednadžbe

x^2-26x+120=0 .

Rješenje: Zapišite koeficijente i zamijenite ih u diskriminantnu formulu

Korijen ove vrijednosti je 14, lako ga je pronaći pomoću kalkulatora ili zapamtiti uz čestu upotrebu, međutim, radi praktičnosti, na kraju članka ću vam dati listu kvadrata brojeva koji se često mogu sresti u takve probleme.
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijensku formulu

i dobijamo

Zadatak 2. Riješite jednačinu

2x 2 +x-3=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu, ispišite koeficijente i pronađite diskriminanta

Koristeći poznate formule nalazimo korijene kvadratne jednadžbe

Zadatak 3. Riješite jednačinu

9x 2 -12x+4=0.

Rješenje: Imamo potpunu kvadratnu jednačinu. Određivanje diskriminanta

Imamo slučaj gdje se korijeni poklapaju. Pomoću formule pronađite vrijednosti korijena

Zadatak 4. Riješite jednačinu

x^2+x-6=0 .

Rješenje: U slučajevima kada postoje mali koeficijenti za x, preporučljivo je primijeniti Vietin teorem. Po njegovom uslovu dobijamo dve jednačine

Iz drugog uslova nalazimo da proizvod mora biti jednak -6. To znači da je jedan od korijena negativan. Imamo sljedeći mogući par rješenja (-3;2), (3;-2) . Uzimajući u obzir prvi uslov, odbacujemo drugi par rješenja.
Korijeni jednačine su jednaki

Zadatak 5. Odredite dužine stranica pravougaonika ako je njegov obim 18 cm, a površina 77 cm 2.

Rješenje: Pola opsega pravougaonika jednaka je zbiru njegovih susjednih stranica. Označimo x kao veću stranu, tada je 18-x njena manja strana. Površina pravougaonika jednaka je proizvodu ovih dužina:
x(18-x)=77;
ili
x 2 -18x+77=0.
Nađimo diskriminanta jednačine

Izračunavanje korijena jednadžbe

Ako x=11, To 18's=7 , suprotno je takođe tačno (ako je x=7, onda je 21's=9).

Zadatak 6. Faktori kvadratnu jednačinu 10x 2 -11x+3=0.

Rješenje: Izračunajmo korijene jednačine, da bismo to uradili nalazimo diskriminanta

Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u korijensku formulu i izračunavamo

Primjenjujemo formulu za dekompoziciju kvadratne jednadžbe po korijenima

Otvaranjem zagrada dobijamo identitet.

Kvadratna jednadžba s parametrom

Primjer 1. Na kojim vrijednostima parametara A , da li jednadžba (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 ima jedan korijen?

Rješenje: Direktnom zamjenom vrijednosti a=3 vidimo da nema rješenja. Zatim ćemo koristiti činjenicu da s nultim diskriminantom jednačina ima jedan korijen množenosti 2. Hajde da ispišemo diskriminanta

Hajde da ga pojednostavimo i izjednačimo sa nulom

Dobili smo kvadratnu jednadžbu u odnosu na parametar a čije se rješenje lako može dobiti pomoću Vietine teoreme. Zbir korijena je 7, a njihov proizvod je 12. Jednostavnim pretraživanjem utvrđujemo da će brojevi 3,4 biti korijeni jednadžbe. Pošto smo već na početku proračuna odbacili rješenje a=3, jedino ispravno će biti - a=4. Dakle, za a=4 jednačina ima jedan korijen.

Primjer 2. Na kojim vrijednostima parametara A , jednačina a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima više od jednog korijena?

Rješenje: Razmotrimo prvo singularne tačke, to će biti vrijednosti a=0 i a=-3. Kada je a=0, jednačina će biti pojednostavljena na oblik 6x-9=0; x=3/2 i postojaće jedan koren. Za a= -3 dobijamo identitet 0=0.
Izračunajmo diskriminanta

i pronađite vrijednost a pri kojoj je pozitivan

Iz prvog uslova dobijamo a>3. Za drugu, nalazimo diskriminanta i korijene jednadžbe

Odredimo intervale u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti. Zamjenom tačke a=0 dobijamo 3>0 . Dakle, izvan intervala (-3;1/3) funkcija je negativna. Ne zaboravi poentu a=0,što bi trebalo isključiti jer izvorna jednadžba ima jedan korijen u sebi.
Kao rezultat, dobijamo dva intervala koji zadovoljavaju uslove problema

U praksi će biti mnogo sličnih zadataka, pokušajte sami smisliti zadatke i ne zaboravite uzeti u obzir uslove koji se međusobno isključuju. Dobro proučite formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi, često su potrebne u proračunima u raznim problemima i naukama.

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *U daljem tekstu “KU”. Prijatelji, čini se da u matematici ne može biti ništa jednostavnije od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka na zahtjev Yandex daje mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, a ovo je ljeto, a šta će biti tokom školske godine - zahtjeva će biti duplo više. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su davno završili školu i spremaju se za Jedinstveni državni ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe svoje pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji vam govore kako da rešite ovu jednačinu, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetitelji dolaze na moju stranicu na osnovu ovog zahtjeva; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi tema “KU”, dat ću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi c su proizvoljni brojevi, sa a≠0.

U školskom predmetu gradivo se daje u sljedećem obliku - jednačine su podijeljene u tri razreda:

1. Imaju dva korijena.

2. *Imajte samo jedan korijen.

3. Nemaju korijene. Ovdje je posebno vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

S tim u vezi, kada je diskriminanta jednaka nuli, školski kurs kaže da se dobija jedan korijen, ovdje je jednak devet. Sve je tačno, tako je, ali...

Ova ideja je donekle netačna. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, dobijate dva jednaka korijena, a da budemo matematički precizni, onda bi odgovor trebao pisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete to zapisati i reći da postoji jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne može uzeti, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Ovo pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c – dati brojevi, sa a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa “y” jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) i nijedna (diskriminanta je negativna). Detalji o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Pogledajmo primjere:

Primjer 1: Riješi 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = –12

*Moguće je odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Otkrili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici; ovo je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi – ovo je JEDAN BROJ, a ne dodatak.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobijamo dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent “b” ili “c” jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Oni se mogu lako riješiti bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina postaje:

Pretvorimo:

primjer:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina postaje:

Hajde da transformišemo i faktorizujemo:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja vam omogućavaju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a + b+ c = 0, To

- ako za koeficijente jednačine Ax 2 + bx+ c=0 jednakost važi

a+ c =b, To

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir kvota je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, što znači

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost važi a+ c =b, Sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ako je u jednačini ax 2 – bx + c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 +1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako u jednadžbi ax 2 + bx – c = 0 koeficijent “b” je jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” je numerički jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednačini ax 2 – bx – c = 0 koeficijent “b” jednak (a 2 – 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu “a”, tada su njegovi korijeni jednaki

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, možemo izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukupno, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Osim toga, Vietin teorem. Pogodno je po tome što se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način (preko diskriminanta) mogu provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučujem da to radite uvijek.

NAČIN TRANSPORTA

Ovom metodom koeficijent “a” se množi slobodnim pojmom, kao da mu je “bačen”, zbog čega se naziva metoda "transfera". Ova metoda se koristi kada se korijeni jednadžbe mogu lako pronaći pomoću Vietine teoreme i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako A± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Koristeći Vietinu teoremu u jednačini (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Pogledaj šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su jednake:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobit ćete samo različite nazivnike, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu x 2:

Drugi (modificirani) ima korijene koji su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako prebacimo trojku, rezultat ćemo podijeliti sa 3, itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie i Jedinstveni državni ispit.

Reći ću vam ukratko o njegovoj važnosti - MORATE MOĆI DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanata napamet. Mnogi problemi uključeni u zadatke Jedinstvenog državnog ispita svode se na rješavanje kvadratne jednačine (uključujući i geometrijske).

Nešto vredno pažnje!

1. Oblik pisanja jednačine može biti „implicitan“. Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata veličina i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Kvadratne jednadžbe. Diskriminantno. Rješenje, primjeri.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Vrste kvadratnih jednadžbi

Šta je kvadratna jednačina? Kako izgleda? U terminu kvadratna jednačina ključna riječ je "kvadrat". To znači da u jednačini Neophodno mora postojati x na kvadrat. Pored toga, jednadžba može (ili ne mora!) sadržavati samo X (na prvi stepen) i samo broj (besplatan član). I ne bi trebalo biti X na stepenu većem od dva.

U matematičkom smislu, kvadratna jednačina je jednačina oblika:

Evo a, b i c- neki brojevi. b i c- apsolutno bilo koje, ali A– bilo šta osim nule. Na primjer:

Evo A =1; b = 3; c = -4

Evo A =2; b = -0,5; c = 2,2

Evo A =-3; b = 6; c = -18

Pa razumes...

U ovim kvadratnim jednadžbama na lijevoj strani postoji full setčlanovi. X na kvadrat sa koeficijentom A, x na prvi stepen sa koeficijentom b I besplatni član s.

Takve kvadratne jednačine se nazivaju pun.

I ako b= 0, šta dobijamo? Imamo X će biti izgubljen na prvi stepen. To se događa kada se pomnoži sa nulom.) Ispada, na primjer:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

I tako dalje. A ako oba koeficijenta b I c jednaki su nuli, onda je još jednostavnije:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Takve jednačine u kojima nešto nedostaje nazivaju se nepotpune kvadratne jednadžbe.Što je sasvim logično.) Imajte na umu da je x na kvadrat prisutan u svim jednadžbama.

Usput, zašto A ne može biti jednako nuli? I umjesto toga zamijenite A nula.) Naš X na kvadrat će nestati! Jednačina će postati linearna. A rješenje je potpuno drugačije...

To su sve glavne vrste kvadratnih jednačina. Potpuna i nepotpuna.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi.

Kvadratne jednačine je lako riješiti. Prema formulama i jasnim, jednostavnim pravilima. U prvoj fazi potrebno je zadatu jednačinu dovesti u standardni oblik, tj. na obrazac:

Ako vam je jednadžba već data u ovom obliku, ne morate raditi prvu fazu.) Glavna stvar je ispravno odrediti sve koeficijente, A, b I c.

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

Izraz pod znakom korijena se zove diskriminatorno. Ali više o njemu u nastavku. Kao što vidite, da bismo pronašli X, koristimo se samo a, b i c. One. koeficijenti iz kvadratne jednadžbe. Samo pažljivo zamijenite vrijednosti a, b i c Računamo u ovoj formuli. Hajde da zamenimo sa svojim znakovima! Na primjer, u jednadžbi:

A =1; b = 3; c= -4. Evo mi to zapisujemo:

Primjer je skoro riješen:

Ovo je odgovor.

Sve je vrlo jednostavno. I šta, mislite da je nemoguće pogrešiti? Pa da, kako...

Najčešće greške su zabuna sa vrijednostima znakova a, b i c. Ili bolje rečeno, ne njihovim znakovima (gdje se zbuniti?), već zamjenom negativnih vrijednosti u formulu za izračunavanje korijena. Ono što ovdje pomaže je detaljno snimanje formule s određenim brojevima. Ako postoje problemi sa proračunima, uradi to!

Pretpostavimo da trebamo riješiti sljedeći primjer:

Evo a = -6; b = -5; c = -1

Recimo da znate da retko dobijate odgovore prvi put.

Pa, nemoj biti lijen. Trebat će oko 30 sekundi da se napiše dodatni red i broj grešaka će se naglo smanjiti. Zato pišemo detaljno, sa svim zagradama i znakovima:

Čini se da je neverovatno teško pisati tako pažljivo. Ali tako se samo čini. Pokušati. Pa, ili biraj. Šta je bolje, brzo ili ispravno? Osim toga, usrećit ću te. Nakon nekog vremena neće biti potrebe da sve tako pažljivo zapisujete. To će uspjeti samo od sebe. Pogotovo ako koristite praktične tehnike koje su opisane u nastavku. Ovaj zao primjer sa gomilom minusa se može riješiti lako i bez grešaka!

Ali, često kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

Da li ste ga prepoznali?) Da! Ovo nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Oni se također mogu riješiti korištenjem opće formule. Samo treba ispravno shvatiti čemu su oni ovdje jednaki. a, b i c.

Jeste li shvatili? U prvom primjeru a = 1; b = -4; A c? Uopšte ga nema! Pa da, tako je. U matematici to znači da c = 0 ! To je sve. Umjesto toga u formulu zamijenite nulu c, i uspjet ćemo. Isto je i sa drugim primjerom. Samo što ovdje nemamo nulu With, A b !

Ali nepotpune kvadratne jednadžbe mogu se riješiti mnogo jednostavnije. Bez ikakvih formula. Razmotrimo prvu nepotpunu jednačinu. Šta možete učiniti na lijevoj strani? Možete izvaditi X iz zagrada! Hajde da ga izvadimo.

I šta od ovoga? I činjenica da je proizvod jednak nuli ako i samo ako je bilo koji od faktora jednak nuli! Ne vjerujete mi? U redu, onda smislite dva broja različita od nule koji će, kada se pomnože, dati nulu!
Ne radi? To je to...
Stoga sa sigurnošću možemo napisati: x 1 = 0, x 2 = 4.

Sve. Ovo će biti korijeni naše jednadžbe. Oba su pogodna. Prilikom zamjene bilo koje od njih u originalnu jednačinu, dobijamo ispravan identitet 0 = 0. Kao što vidite, rješenje je mnogo jednostavnije od korištenja opće formule. Dozvolite mi da primetim, uzgred, koji će X biti prvi, a koji drugi - apsolutno je svejedno. Zgodno je pisati redom, x 1- šta je manje i x 2- ono što je veće.

Druga jednačina se također može jednostavno riješiti. Pomaknite 9 na desnu stranu. Dobijamo:

Ostaje samo izvući korijen iz 9, i to je to. Ispostaviće se:

Takođe dva korena . x 1 = -3, x 2 = 3.

Ovako se rješavaju sve nepotpune kvadratne jednadžbe. Ili stavljanjem X izvan zagrada, ili jednostavnim pomicanjem broja udesno i zatim izdvajanjem korijena.
Izuzetno je teško zbuniti ove tehnike. Jednostavno zato što ćete u prvom slučaju morati izvući korijen X, što je nekako neshvatljivo, a u drugom slučaju nema šta vaditi iz zagrada...

Diskriminantno. Diskriminantna formula.

Čarobna riječ diskriminatorno ! Rijetko koji srednjoškolac nije čuo ovu riječ! Izraz „rješavamo putem diskriminanta“ ulijeva povjerenje i sigurnost. Jer nema potrebe očekivati trikove od diskriminatora! Jednostavan je i bez problema za korištenje.) Podsjećam vas na najopštiju formulu za rješavanje bilo koji kvadratne jednadžbe:

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminant. Diskriminant se obično označava slovom D. Diskriminantna formula:

D = b 2 - 4ac

I šta je tako izvanredno u ovom izrazu? Zašto je zaslužio poseban naziv? Šta značenje diskriminanta? Nakon svega -b, ili 2a u ovoj formuli to ne zovu posebno... Slova i slova.

Evo u čemu je stvar. Prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe pomoću ove formule, to je moguće samo tri slučaja.

1. Diskriminant je pozitivan. To znači da se korijen može izvući iz njega. Drugo je pitanje da li je korijen dobro ili loše izvađen. Važno je šta se izvlači u principu. Tada vaša kvadratna jednadžba ima dva korijena. Dva različita rješenja.

2. Diskriminant je nula. Tada ćete imati jedno rješenje. Pošto dodavanje ili oduzimanje nule u brojiocu ne mijenja ništa. Strogo govoreći, ovo nije jedan korijen, već dva identična. Ali, u pojednostavljenoj verziji, uobičajeno je govoriti o tome jedno rešenje.

3. Diskriminant je negativan. Ne može se uzeti kvadratni korijen negativnog broja. Pa, ok. To znači da nema rješenja.

Da budem iskren, kada se jednostavno rješavaju kvadratne jednadžbe, koncept diskriminanta zapravo nije potreban. Zamjenjujemo vrijednosti koeficijenata u formulu i brojimo. Sve se tamo dešava samo od sebe, dva korena, jedan i nijedan. Međutim, kod rješavanja složenijih zadataka, bez znanja značenje i formula diskriminanta nije dovoljno. Posebno u jednadžbama s parametrima. Takve jednadžbe su akrobatika za Državni ispit i Jedinstveni državni ispit!)

dakle, kako se rješavaju kvadratne jednadžbe kroz diskriminant kojeg si zapamtio. Ili ste naučili, što takođe nije loše.) Znate kako pravilno odrediti a, b i c. Znate li kako? pažljivo zamijenite ih u korijen formulu i pažljivo prebrojati rezultat. Shvaćate da je ključna riječ ovdje pažljivo?

Sada uzmite u obzir praktične tehnike koje dramatično smanjuju broj grešaka. Isti oni koji su zbog nepažnje... za koje kasnije postaje bolno i uvredljivo...

Prvi sastanak . Nemojte biti lijeni prije rješavanja kvadratne jednadžbe i dovedite je u standardni oblik. Šta to znači?
Recimo da nakon svih transformacija dobijete sljedeću jednačinu:

Nemojte žuriti s pisanjem korijenske formule! Gotovo sigurno ćete pomiješati šanse a, b i c. Konstruirajte primjer ispravno. Prvo, X na kvadrat, zatim bez kvadrata, zatim slobodni član. Volim ovo:

I opet, ne žurite! Minus ispred X na kvadrat može vas zaista uznemiriti. Lako je zaboraviti... Riješite se minusa. Kako? Da, kao što smo učili u prethodnoj temi! Moramo pomnožiti cijelu jednačinu sa -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno zapisati formulu za korijene, izračunati diskriminanta i završiti rješavanje primjera. Odlučite sami. Sada bi trebali imati korijene 2 i -1.

Prijem drugi. Provjerite korijene! Prema Vietinoj teoremi. Ne boj se, sve ću ti objasniti! Provjeravam poslednja stvar jednačina. One. onaj koji smo koristili da zapišemo formulu korijena. Ako (kao u ovom primjeru) koeficijent a = 1, provjera korijena je laka. Dovoljno ih je umnožiti. Rezultat bi trebao biti slobodan član, tj. u našem slučaju -2. Imajte na umu, ne 2, već -2! Besplatan član sa tvojim znakom . Ako ne uspije, znači da su već negdje zeznuli. Potražite grešku.

Ako radi, morate dodati korijene. Poslednja i konačna provera. Koeficijent bi trebao biti b With suprotno poznat. U našem slučaju -1+2 = +1. Koeficijent b, koji je ispred X, jednako je -1. Dakle, sve je tačno!
Šteta što je to tako jednostavno samo za primjere gdje je x na kvadrat čist, s koeficijentom a = 1. Ali barem provjerite takve jednadžbe! Biće sve manje i manje grešaka.

Prijem treći . Ako vaša jednadžba ima koeficijente razlomaka, riješite se razlomaka! Pomnožite jednačinu zajedničkim nazivnikom kao što je opisano u lekciji "Kako riješiti jednadžbe? Transformacije identiteta." Kada radite sa razlomcima, greške se iz nekog razloga stalno uvlače...

Inače, obećao sam da ću pojednostaviti zao primjer s gomilom minusa. Molim te! Evo ga.

Da nas ne bi zbunili minusi, pomnožimo jednačinu sa -1. Dobijamo:

To je sve! Rešavanje je zadovoljstvo!

Dakle, da rezimiramo temu.

Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja, dovodimo kvadratnu jednačinu u standardni oblik i gradimo je U redu.

2. Ako postoji negativan koeficijent ispred X na kvadrat, eliminiramo ga množenjem cijele jednačine sa -1.

3. Ako su koeficijenti razlomci, eliminiramo razlomke množenjem cijele jednačine odgovarajućim faktorom.

4. Ako je x na kvadrat čist, njegov koeficijent je jednak jedan, rješenje se lako može provjeriti korištenjem Vietine teoreme. Učini to!

Sada možemo odlučiti.)

Riješite jednačine:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odgovori (u neredu):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - bilo koji broj

x 1 = -3
x 2 = 3

nema rješenja

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Da li sve odgovara? Odlično! Kvadratne jednadžbe nisu vaša glavobolja. Prva tri su uspjela, ali ostala nisu? Tada problem nije s kvadratnim jednadžbama. Problem je u identičnim transformacijama jednačina. Pogledajte link, od pomoći je.

Ne ide baš? Ili uopšte ne ide? Tada će vam pomoći Odjeljak 555. Svi ovi primjeri su ovdje raščlanjeni. Pokazano main greške u rješenju. Naravno, govorimo i o korištenju identičnih transformacija u rješavanju različitih jednačina. Pomaže puno!

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.