Sådan ganges forskellige tal med forskellige grader. Egenskaber for naturlige eksponenter

Det er klart, at tal med potenser kan tilføjes, ligesom andre mængder , ved at tilføje dem én efter én med deres tegn.

Så summen af a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen af a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds samme grader af de samme variable kan lægges til eller trækkes fra.

Så summen af 2a 2 og 3a 2 er 5a 2.

Det er også indlysende, at hvis du tager to felter a, eller tre felter a, eller fem felter a.

Men graderne forskellige variabler og varierende grader identiske variabler, skal tilføjes ved deres tilføjelse med deres tegn.

Så summen af en 2'er og en 3'er er summen af en 2'er + en 3'er.

Det er indlysende, at kvadratet af a, og terningen af a, ikke er lig med to gange kvadratet af a, men to gange terningen af a.

Summen af a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraktion grader udføres på samme måde som addition, bortset fra at fortegnene for det subtraherede skal ændres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Multiplikation af grader

Tal med potenser kan ganges, ligesom andre størrelser, ved at skrive dem efter hinanden, med eller uden et multiplikationstegn mellem dem.

Så resultatet af at gange a 3 med b 2 er a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det sidste eksempel kan bestilles ved at tilføje de samme variable.
Udtrykket vil have formen: a 5 b 5 y 3.

Ved at sammenligne flere tal (variable) med potenser, kan vi se, at hvis to af dem ganges, så er resultatet et tal (variabel) med en potens lig med summen grader af vilkår.

Så en 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = en 5.

Her er 5 potensen af resultatet af multiplikation, lig med 2 + 3, summen af ledpotenserne.

Så a n .a m = a m + n.

For et n tages a som en faktor lige så mange gange som potensen af n er lig;

Og et m, tages som en faktor lige så mange gange som magten af m er;

Derfor, grader med samme stilke kan ganges ved at lægge eksponenterne sammen.

Så a 2 .a 6 = a 2 + 6 = en 8. Og x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Multiplicer (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multiplicer (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regel gælder også for tal, hvis eksponenter er - negativ.

1. Så a -2 .a -3 = a -5. Dette kan skrives som (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y-n.y-m = y-n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Hvis a + b ganges med a - b, er resultatet a 2 - b 2: dvs

Resultatet af at gange summen eller forskellen af to tal er lig med summen eller forskellen af deres kvadrater.

Hvis summen og forskellen af to tal hæves til firkant, vil resultatet være lig med summen eller forskellen af disse tal i fjerde grad.

Altså (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inddeling af grader

Potenstal kan divideres, ligesom andre tal, ved at trække fra divisoren eller ved at placere dem i brøkform.

Så a 3 b 2 divideret med b 2 er lig med 3.

Eller:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Et 5 divideret med et 3 ligner $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Men dette er lig med en 2. I en række tal
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
ethvert tal kan divideres med et andet, og eksponenten vil være lig med forskel eksponenter for delelige tal.

Når man dividerer grader med samme base, trækkes deres indikatorer fra..

Så y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil sige $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

Og a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Det vil sige $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reglen gælder også for tal med negativ gradernes værdier.
Resultatet af at dividere en -5 med en -3 er en -2.
Også $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 eller $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Det er nødvendigt at mestre multiplikation og division af potenser meget godt, da sådanne operationer er meget udbredt i algebra.

Eksempler på løsning af eksempler med brøker indeholdende tal med potenser

1. Formindsk eksponenter i $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Svar: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Formindsk eksponenterne i $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Svar: $ \ frac (2x) (1) $ eller 2x.

3. Formindsk eksponenterne a 2 / a 3 og a -3 / a -4 og bring dem til fællesnævneren.
a 2 .a -4 er en -2 første tæller.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den anden tæller.
a 3 .a -4 er en -1, den fælles tæller.
Efter forenkling: a -2 / a -1 og 1 / a -1.

4. Formindsk eksponenterne 2a 4 / 5a 3 og 2 / a 4 og bring dem til fællesnævneren.
Svar: 2a 3 / 5a 7 og 5a 5 / 5a 7 eller 2a 3 / 5a 2 og 5 / 5a 2.

5. Gang (a 3 + b) / b 4 med (a - b) / 3.

6. Gang (a 5 + 1) / x 2 med (b 2 - 1) / (x + a).

7. Gang b 4 / a -2 med h -3 / x og a n / y -3.

8. Divider a 4 / y 3 med a 3 / y 2. Svar: a/å.

9. Divider (h 3 - 1) / d 4 med (d n + 1) / h.

Hver aritmetisk operation bliver nogle gange for besværlig at skrive, og de forsøger at forenkle det. Det plejede at være det samme med additionsoperationen. Folk var nødt til at udføre flere tilføjelser af samme type, for eksempel for at beregne prisen på hundrede persiske tæpper, hvis pris er 3 guldmønter hver. 3 + 3 + 3 +... + 3 = 300. På grund af besværligheden mente man at reducere rekorden til 3 * 100 = 300. Faktisk betyder rekorden "tre gange hundrede", at du skal tage et hundrede tredobler og læg det sammen. Multiplikationen slog rod og vandt generel popularitet. Men verden står ikke stille, og i middelalderen blev det nødvendigt at udføre multiplikation af samme type. Jeg husker en gammel indisk gåde om en vismand, der bad om følgende mængde hvedekorn som belønning for sit arbejde: han bad om et korn til det første felt på skakbrættet, to til det andet, fire til det tredje, otte for den femte og så videre. Sådan opstod den første potensmultiplikation, fordi antallet af korn var lig med to potensen af celletallet. For eksempel vil der på den sidste celle være 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 korn, hvilket er lig med et tal på 18 tegn langt, hvilket i virkeligheden er meningen med gåden.

Operationen med at hæve til en potens slog ret hurtigt rod, og det blev også hurtigt nødvendigt at foretage addition, subtraktion, division og multiplikation af potenser. Sidstnævnte er værd at overveje mere detaljeret. Formlerne til at tilføje grader er enkle og nemme at huske. Derudover er det meget let at forstå, hvor de kommer fra, hvis potensdriften erstattes af multiplikation. Men først skal du forstå den grundlæggende terminologi. Udtrykket a ^ b (læs "a i b potensen") betyder, at tallet a skal ganges med sig selv b gange, og "a" kaldes gradens basis, og "b" kaldes potenseksponenten . Hvis gradernes basis er ens, så er formlerne afledt ganske enkelt. Konkret eksempel: find værdien af udtrykket 2 ^ 3 * 2 ^ 4. For at vide, hvad der skulle vise sig, bør du finde ud af svaret på computeren, før du starter løsningen. Efter at have hamret dette udtryk ind i en hvilken som helst online lommeregner, en søgemaskine, indtastet "multiplikation af grader med forskellige baser og det samme" eller en matematisk pakke, vil outputtet være 128. Nu vil vi skrive dette udtryk: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 og 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Det viser sig, at 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Det viser sig, at produktet af grader med samme grundtal er lig med grundtallet hævet til en potens lig med summen af de to foregående grader.

Du tror måske, at dette er et uheld, men nej: ethvert andet eksempel kan kun bekræfte denne regel. Generelt ser formlen således ud: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Der er også en regel om, at ethvert tal i nulgraden er lig med én. Her bør vi huske reglen om negative potenser: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Det vil sige, hvis 2 ^ 3 = 8, så er 2 ^ (- 3) = 1/8. Ved at bruge denne regel kan vi bevise ligheden a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) kan annulleres, og der er kun én tilbage. Deraf er reglen om, at kvotienten af grader med samme grundtal er lig med denne basis i en grad, der er lig med kvotienten af eksponenten for udbyttet og divisoren: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Eksempel: Forenkle udtrykket 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Multiplikation er en kommutativ operation, derfor skal du først tilføje multiplikationseksponenterne: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Det næste trin er at håndtere division med en negativ eksponent. Det er nødvendigt at trække divisorens indeks fra udbytteindekset: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Det viser sig, at operationen af division med negativ grad er identisk med operationen af multiplikation med en lignende positiv eksponent. Så det endelige svar er 8.

Der er eksempler, hvor ikke-kanonisk multiplikation af grader finder sted. At multiplicere grader med forskellige baser er meget ofte meget vanskeligere, og nogle gange endda umuligt. Der skal gives flere eksempler på forskellige mulige teknikker. Eksempel: forenkle udtrykket 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Det er klart, at der er en multiplikation af potenser med forskellige grundtal. Men det skal bemærkes, at alle baser er forskellige grader af tripletten. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Ved at bruge reglen (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), bør du omskrive udtrykket i en mere bekvem form: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Svar: 3 ^ 11. I tilfælde, hvor der er forskellige grunde, fungerer reglen a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n for lige indikatorer. For eksempel, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Ellers, når der er forskellige baser og indikatorer, er det umuligt at lave en fuld multiplikation. Nogle gange er det muligt delvist at forenkle eller ty til hjælp fra computerteknologi.

Første niveau

Graden og dens egenskaber. Omfattende vejledning (2019)

Hvorfor er der behov for grader? Hvor vil de være nyttige for dig? Hvorfor skal du bruge tid på at studere dem?

For at finde ud af alt om grader, hvad de er til, hvordan du bruger din viden i hverdagen, så læs denne artikel.

Og selvfølgelig vil viden om grader bringe dig tættere på med succes at bestå OGE eller USE og komme ind på dit drømmeuniversitet.

Lad os gå ... (Lad os gå!)

Vigtig note! Hvis du i stedet for formler ser volapyk, skal du rydde cachen. For at gøre dette skal du trykke på CTRL + F5 (på Windows) eller Cmd + R (på Mac).

FØRSTE NIVEAU

Eksponentiering er den samme matematiske operation som addition, subtraktion, multiplikation eller division.

Nu vil jeg forklare alt på menneskeligt sprog ved hjælp af meget enkle eksempler. Vær opmærksom. Eksemplerne er elementære, men de forklarer vigtige ting.

Lad os starte med addition.

Der er ikke noget at forklare. Du ved allerede alt: vi er otte. Hver har to flasker cola. Hvor meget cola er der? Det er rigtigt - 16 flasker.

Nu multiplikation.

Det samme cola-eksempel kan skrives anderledes:. Matematikere er snedige og dovne mennesker. De lægger først mærke til nogle mønstre, og finder derefter på en måde, hvorpå de hurtigt kan "tælle" dem. I vores tilfælde lagde de mærke til, at hver af de otte personer havde det samme antal colaflasker og fandt på en teknik kaldet multiplikation. Enig, det anses for nemmere og hurtigere end.

Så for at tælle hurtigere, nemmere og uden fejl, skal du bare huske multiplikationstabel... Du kan selvfølgelig gøre alt langsommere, hårdere og med fejl! Men…

Her er multiplikationstabellen. Gentage.

Og en anden, smukkere:

Hvilke andre smarte tælletricks har dovne matematikere fundet på? Ret - hæve et tal til en magt.

At hæve et tal til en magt

Hvis du skal gange et tal med sig selv fem gange, så siger matematikere, at du skal hæve dette tal til femte potens. For eksempel, . Matematikere husker, at to til femte grad er. Og de løser sådanne problemer i deres hoveder - hurtigere, nemmere og uden fejl.

Alt du skal gøre er husk, hvad der er fremhævet i tabellen over talmagter... Tro mig, dette vil gøre dit liv meget lettere.

Forresten, hvorfor kaldes anden grad firkant tal, og den tredje - terning? Hvad betyder det? Det er et meget godt spørgsmål. Nu vil du have både firkanter og terninger.

Livseksempel #1

Lad os starte med en firkant eller anden potens af et tal.

Forestil dig en kvadratmeter-for-meter pool. Poolen er i dit landsted. Det er varmt, og jeg vil rigtig gerne svømme. Men ... en pool uden bund! Det er nødvendigt at dække bunden af poolen med fliser. Hvor mange fliser har du brug for? For at bestemme dette skal du kende området af bunden af poolen.

Du kan blot tælle med fingeren, at bunden af bassinet består af meter for meter terninger. Hvis du har en flise meter for meter, skal du bruge brikker. Det er nemt ... Men hvor har du set sådanne fliser? Flisen er mere tilbøjelig til at være cm for cm. Og så vil du blive tortureret af "fingertællingen". Så skal du formere dig. Så på den ene side af bunden af poolen vil vi montere fliser (stykker) og på den anden side også fliser. Hvis du multiplicerer med, får du fliser ().

Har du bemærket, at vi ganget det samme tal med os selv for at bestemme arealet af bassinbunden? Hvad betyder det? Når det samme tal er ganget, kan vi bruge "eksponentierings"-teknikken. (Selvfølgelig, når du kun har to tal, multiplicerer du dem stadig eller hæver dem til en potens. Men hvis du har mange af dem, så er det meget lettere at hæve til en potens, og der er også færre fejl i beregningerne. eksamen, dette er meget vigtigt).
Så tredive i anden grad vil være (). Eller du kan sige, at tredive kvadrat vil være. Med andre ord kan anden potens af et tal altid repræsenteres som et kvadrat. Omvendt, hvis du ser et kvadrat, er det ALTID anden potens af et tal. Et kvadrat er en repræsentation af anden potens af et tal.

Eksempel nr. 2 fra det virkelige liv

Her er en opgave til dig, tæl hvor mange felter der er på skakbrættet ved at bruge kvadratet af tallet ... På den ene side af cellerne og også på den anden side. For at tælle deres antal skal du gange otte med otte eller ... hvis du bemærker, at skakbrættet er en firkant med en side, så kan du firkante otte. Du får celler. () Så?

Livseksempel nr. 3

Nu terningen eller tredje potens af tallet. Den samme pool. Men nu skal du finde ud af, hvor meget vand der skal hældes i denne pool. Du skal beregne volumen. (Mængder og væsker måles i øvrigt i kubikmeter. Overraskende nok, ikke?) Tegn et bassin: Bunden er en meter stor og en meter dyb og prøv at udregne, hvor mange kubikmeter for meter der kommer ind i dit bassin.

Peg finger og tæl! En, to, tre, fire ... toogtyve, treogtyve ... Hvor meget blev det til? Ikke tabt? Er det svært at tælle med fingeren? Så det! Tag et eksempel fra matematikere. De er dovne, så de bemærkede, at for at beregne poolens volumen skal du gange dens længde, bredde og højde med hinanden. I vores tilfælde vil puljens volumen være lig med terninger ... Nemmere, ikke?

Forestil dig nu, hvor dovne og snedige matematikere er, hvis de også forenklede dette. De reducerede alt til én handling. De bemærkede, at længden, bredden og højden er ens, og at det samme tal ganges med sig selv ... Hvad betyder det? Det betyder, at du kan drage fordel af uddannelsen. Så hvad du engang talte med din finger, gør de i én handling: tre i en terning er lig. Det er skrevet sådan her:.

Det er kun tilbage husk gradertabellen... Medmindre du selvfølgelig er lige så doven og snu som matematikere. Hvis du kan lide at arbejde hårdt og lave fejl, kan du fortsætte med at tælle med fingeren.

Nå, for endelig at overbevise dig om, at graderne blev opfundet af ledige og snedige mennesker for at løse deres livsproblemer og ikke for at skabe problemer for dig, er her et par eksempler mere fra livet.

Livseksempel nr. 4

Du har en million rubler. I begyndelsen af hvert år tjener du endnu en million på hver million. Det vil sige, at hver million af dine i begyndelsen af hvert år fordobles. Hvor mange penge vil du have om år? Hvis du nu sidder og “tæller med fingeren”, så er du et meget arbejdsomt menneske og .. dum. Men højst sandsynligt giver du et svar om et par sekunder, for du er klog! Så i det første år - to gange to ... i det andet år - det skete var to mere, i det tredje år ... Stop! Du har bemærket, at tallet ganges med sig selv én gang. Så to til femte potens er en million! Forestil dig nu, at du har en konkurrence, og de millioner vil blive modtaget af den, der regner hurtigere ... Er det værd at huske graderne af tal, hvad synes du?

Det virkelige liv eksempel nr. 5

Du har en million. I begyndelsen af hvert år tjener du to mere for hver million. Fantastisk, ikke? Hver million tredobles. Hvor mange penge vil du have om år? Lad os tælle. Det første år - gange med, så resultatet med et andet ... Det er allerede kedeligt, fordi du allerede har forstået alt: tre gange ganges med sig selv. Så den fjerde potens er lig med en million. Du skal bare huske, at tre til fjerde potens er eller.

Nu ved du, at ved at hæve et tal til en magt, vil du i høj grad lette dit liv. Lad os tage et kig på, hvad du kan gøre med grader, og hvad du har brug for at vide om dem.

Begreber og begreber ... for ikke at blive forvirrede

Så lad os først definere begreberne. Hvad synes du, hvad er eksponent? Det er meget enkelt - dette er det tal, der er "øverst" af tallets potens. Ikke videnskabeligt, men forståeligt og let at huske ...

Nå, samtidig med det sådan gradsgrundlag? Det er endnu enklere - dette er tallet, der er under, i bunden.

Her er en tegning for at være sikker.

Nå, i generelle vendinger, for at generalisere og huske bedre ... En grad med en base "" og en indikator "" læses som "i grad" og skrives som følger:

Antalsgrad med naturlig eksponent

Du har sikkert gættet nu: fordi eksponenten er et naturligt tal. Ja, men hvad er det naturligt tal? Elementære! Naturlige tal er dem, der bruges til at tælle, når man opstiller objekter: en, to, tre ... Når vi tæller objekter, siger vi ikke: "minus fem", "minus seks", "minus syv". Vi siger heller ikke: "en tredjedel" eller "nulpunkt, fem tiendedele." Det er ikke naturlige tal. Hvilke tal tror du, det er?

Tal som "minus fem", "minus seks", "minus syv" refererer til hele tal. Generelt omfatter hele tal alle naturlige tal, tal modsat naturlige tal (det vil sige taget med et minustegn) og et tal. Nul er let at forstå - det er når der ikke er noget. Hvad betyder negative ("minus") tal? Men de blev først og fremmest opfundet for at angive gæld: Hvis du har rubler på din telefon, betyder det, at du skylder operatøren rubler.

Alle brøker er rationelle tal. Hvordan tror du, de er opstået? Meget simpelt. For flere tusinde år siden opdagede vores forfædre, at de manglede naturlige tal til at måle længde, vægt, areal osv. Og de fandt på rationelle tal... Interessant, ikke?

Der er også irrationelle tal. Hvad er disse tal? Kort sagt en uendelig decimalbrøk. Hvis du for eksempel dividerer en cirkels omkreds med dens diameter, får du et irrationelt tal.

Resumé:

Lad os definere begrebet en grad, hvis eksponent er et naturligt tal (det vil sige et heltal og positivt).

Ethvert tal i første potens er lig med sig selv:
At kvadrere et tal er at gange det med sig selv:
At kube et tal er at gange det med sig selv tre gange:

Definition. At hæve et tal til en naturlig potens betyder at gange tallet med sig selv gange:
.

Kraftegenskaber

Hvor kom disse egenskaber fra? Jeg vil vise dig nu.

Lad os se: hvad er og ?

A-priory:

Hvor mange faktorer er der i alt?

Det er meget enkelt: Vi tilføjede multiplikatorer til multiplikatorerne, og det samlede beløb er multiplikatorer.

Men per definition er det graden af et tal med en eksponent, altså som det kræves for at bevise.

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning:

Eksempel: Forenkle udtrykket.

Løsning: Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel nødvendigvis skal have samme baser!
Derfor kombinerer vi graderne med basen, men forbliver en separat faktor:

kun for produktet af grader!

Det kan du i intet tilfælde skrive.

2.det vil sige -te potens af et tal

Ligesom med den forrige egenskab, lad os vende os til definitionen af graden:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv én gang, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "indstilling af indikatoren". Men du bør aldrig gøre dette i alt:

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive?

Men det er trods alt ikke sandt.

Grad med negativ base

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvad eksponenten skal være.

Men hvad skal grundlaget være?

I grader med naturlig rate grundlaget kan være ethvert nummer... Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige.

Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have positive og negative tal?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? EN? ? Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men negativt er lidt mere interessant. Vi husker jo en simpel regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med, virker det.

Bestem selv, hvilket fortegn følgende udtryk skal have:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Klarede du dig?

Her er svarene: I de første fire eksempler er forhåbentlig alt klart? Vi ser bare på basis og eksponent og anvender den passende regel.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud til: det er lige meget, hvad basen er lig - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt.

Medmindre basen er nul. Fundamentet er ikke lige, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så let!

6 eksempler at træne

Parsing af løsningen 6 eksempler

Hvis vi ignorerer den ottende grad, hvad ser vi så her? Vi husker 7. klasses programmet. Så husk? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater! Vi får:

Lad os se nærmere på nævneren. Det ligner meget en af multiplikatorerne i tælleren, men hvad er der galt? Forkert rækkefølge af vilkårene. Hvis de skulle vendes, kunne reglen anvendes.

Men hvordan gør man det? Det viser sig at være meget nemt: her hjælper den lige grad af nævneren os.

Vilkårene er magisk omvendt. Dette "fænomen" kan anvendes på ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan frit ændre tegnene i parentes.

Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Hel vi kalder de naturlige tal modsat dem (det vil sige taget med tegnet "") og tallet.

positivt heltal, men det er ikke anderledes end naturligt, så ser alt ud nøjagtigt som i forrige afsnit.

Lad os nu se på nogle nye sager. Lad os starte med en indikator lig med.

Ethvert tal i nulgraden er lig med én:

Lad os som altid stille os selv spørgsmålet: hvorfor er det sådan?

Overvej en grad med en base. Tag for eksempel og gang med:

Så vi gangede tallet med og fik det samme som det var -. Og hvilket tal skal du gange, så intet ændrer sig? Det er rigtigt, på. Midler.

Vi kan gøre det samme med et vilkårligt tal:

Lad os gentage reglen:

Ethvert tal i nulgraden er lig med én.

Men der er undtagelser fra mange regler. Og her er det der også - dette er et tal (som en base).

På den ene side skal det være lig i en hvilken som helst grad - uanset hvor meget du gange med dig selv, vil du stadig få nul, det er klart. Men på den anden side, som ethvert tal i nulgraden, skal det være ens. Så hvad af dette er sandt? Matematikere besluttede ikke at blive involveret og nægtede at hæve nul til nul. Det vil sige, nu kan vi ikke kun dividere med nul, men også hæve det til en nulpotens.

Lad os gå videre. Ud over naturlige tal og tal hører negative tal til heltal. For at forstå, hvad en negativ potens er, lad os gøre det samme som sidste gang: gange et normalt tal med den samme negative potens:

Herfra er det allerede nemt at udtrykke, hvad du leder efter:

Nu vil vi udvide den resulterende regel til en vilkårlig grad:

Så lad os formulere en regel:

Et tal i den negative potens er omvendt til det samme tal i den positive potens. Men samtidig basen kan ikke være null:(fordi man ikke kan dividere med).

Lad os opsummere:

I. Udtryk ikke specificeret i kasus. Hvis så.

II. Ethvert tal til nulgraden er lig med en:.

III. Et tal, der ikke er lig med nul, er i negativ potens omvendt til det samme tal i en positiv potens:.

Opgaver til selvstændig løsning:

Nå, og som sædvanlig eksempler på en uafhængig løsning:

Analyse af opgaver til selvstændig løsning:

Jeg ved, jeg ved, tallene er forfærdelige, men til eksamen skal du være klar til hvad som helst! Løs disse eksempler eller analyser deres løsning, hvis du ikke kunne løse, og du vil lære, hvordan du nemt kan klare dem på eksamen!

Lad os fortsætte med at udvide cirklen af tal "egnet" som eksponent.

Overvej nu rationelle tal. Hvilke tal kaldes rationelle?

Svar: alt, hvad der kan repræsenteres som en brøk, hvor og er desuden heltal.

At forstå, hvad der er Brøkdel grad, overvej brøken:

Lad os hæve begge sider af ligningen til potensen:

Lad os nu huske reglen om "Grad til grad":

Hvilket tal skal hæves til en magt for at få?

Denne formulering er definitionen af den th rod.

Lad mig minde dig om: roden af th potens af et tal () er et tal, der, når det hæves til en potens, er lig med.

Det vil sige, at roden af th potens er den omvendte operation af eksponentieringen:.

Det viser sig at. Det er klart, at dette særlige tilfælde kan forlænges:.

Nu tilføjer vi tælleren: hvad er det? Svaret fås nemt ved at bruge grad-til-grad-reglen:

Men kan basen være et hvilket som helst tal? Roden kan trods alt ikke udtrækkes fra alle tal.

Ingen!

Husk reglen: ethvert tal hævet til en lige potens er et positivt tal. Det vil sige, at du ikke kan udtrække rødder af en lige grad fra negative tal!

Og det betyder, at sådanne tal ikke kan hæves til en brøkpotens med en lige nævner, det vil sige, at udtrykket ikke giver mening.

Hvad med udtryk?

Men det er her problemet opstår.

Tallet kan repræsenteres som andre, annullerbare brøker, for eksempel eller.

Og det viser sig, at det eksisterer, men ikke eksisterer, men det er blot to forskellige optegnelser med samme antal.

Eller et andet eksempel: en gang, så kan du skrive. Men hvis vi skriver indikatoren ned på en anden måde, og igen får vi en gene: (det vil sige, vi fik et helt andet resultat!).

For at undgå sådanne paradokser overvejer vi kun positiv radix med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturligt tal;
- et heltal;

Eksempler:

Rationelle eksponenter er meget nyttige til at konvertere rodfæstede udtryk, for eksempel:

5 eksempler at træne

Analyse af 5 eksempler til træning

Og nu den sværeste del. Nu vil vi analysere irrationel grad.

Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse af

Faktisk er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er hele tal (det vil sige, irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, hel og rationel indikator, har vi hver gang opstillet en slags "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer.

For eksempel er en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange;

...nul-graders tal- det er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige, at det endnu ikke er begyndt at blive ganget, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op - derfor er resultatet kun en slags "blankt tal ", nemlig nummeret;

...heltal negativ eksponent- det var som om, der fandt en form for "omvendt proces" sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Forresten, i videnskaben bruges ofte en grad med en kompleks indikator, det vil sige, at indikatoren ikke engang er et reelt tal.

Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

HVOR ER VI SIKKERE, AT DU GÅR! (hvis du lærer at løse sådanne eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse af løsninger:

1. Lad os starte med den allerede sædvanlige regel for at hæve en magt til en magt:

Se nu på indikatoren. Minder han dig om noget? Vi husker formlen for forkortet multiplikation, forskellen mellem kvadrater:

I dette tilfælde,

Det viser sig at:

Svar: .

2. Vi bringer brøker i eksponenter til samme form: enten begge decimaler eller begge ordinære. Lad os f.eks. få:

Svar: 16

3. Ikke noget særligt, vi anvender de sædvanlige egenskaber ved grader:

AVANCERET NIVEAU

Fastsættelse af graden

En grad er et udtryk for formen:, hvor:

— basis af grad;
- eksponent.

Grad med naturlig eksponent (n = 1, 2, 3, ...)

At hæve et tal til en naturlig potens n betyder at gange tallet med sig selv gange:

Heltalsgrad (0, ± 1, ± 2, ...)

Hvis eksponenten er hel positiv nummer:

Erektion til nul grader:

Udtrykket er ubestemt, fordi på den ene side i enhver grad - dette, og på den anden - et hvilket som helst tal i th grad - dette.

Hvis eksponenten er helt negativ nummer:

(fordi man ikke kan dividere med).

Endnu en gang om nuller: udtryk er udefineret i tilfælde. Hvis så.

Eksempler:

Rationel karakter

- naturligt tal;
- et heltal;

Eksempler:

Kraftegenskaber

For at gøre det lettere at løse problemer, lad os prøve at forstå: hvor kom disse egenskaber fra? Lad os bevise dem.

Lad os se: hvad er og?

A-priory:

Så på højre side af dette udtryk får vi følgende produkt:

Men per definition er det magten af et tal med en eksponent, det vil sige:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle udtrykket.

Løsning : Det er vigtigt at bemærke, at i vores regel nødvendigvis skal have samme baser. Derfor kombinerer vi graderne med basen, men forbliver en separat faktor:

Endnu en vigtig bemærkning: denne regel er - kun for produktet af grader!

Det skal jeg på ingen måde skrive.

Ligesom med den forrige egenskab, lad os vende os til definitionen af graden:

Lad os omarrangere dette stykke sådan her:

Det viser sig, at udtrykket ganges med sig selv én gang, det vil sige, ifølge definitionen, er dette tallets th potens:

I det væsentlige kan dette kaldes "indstilling af indikatoren". Men du bør aldrig gøre dette i alt:!

Lad os huske de forkortede multiplikationsformler: hvor mange gange ville vi skrive? Men det er trods alt ikke sandt.

En grad med en negativ base.

Indtil nu har vi kun diskuteret, hvordan det skulle være indeks grad. Men hvad skal grundlaget være? I grader med naturlig indikator grundlaget kan være ethvert nummer .

Faktisk kan vi gange alle tal med hinanden, uanset om de er positive, negative eller lige. Lad os tænke over, hvilke tegn ("" eller "") der vil have positive og negative tal?

Vil tallet for eksempel være positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: Lige meget hvor mange positive tal vi multiplicerer med hinanden, vil resultatet være positivt.

Men negativt er lidt mere interessant. Vi husker jo en simpel regel fra 6. klasse: "minus for minus giver et plus." Det vil sige eller. Men hvis vi ganger med (), får vi -.

Og så videre til det uendelige: Med hver efterfølgende multiplikation vil tegnet ændre sig. Du kan formulere sådanne enkle regler:

også selvom grad, - antal positiv.
Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
Nul til enhver potens er lig med nul.

Bestem selv, hvilket fortegn følgende udtryk skal have:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarede du dig? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de første fire eksempler håber jeg, at alt er klart? Vi ser bare på basis og eksponent og anvender den passende regel.

I eksempel 5) er alt heller ikke så skræmmende, som det ser ud til: det er lige meget, hvad basen er lig - graden er lige, hvilket betyder, at resultatet altid vil være positivt. Medmindre basen er nul. Fundamentet er ikke lige, er det? Åbenbart ikke, da (fordi).

Eksempel 6) er ikke længere så simpelt. Her skal du finde ud af, hvad der er mindre: eller? Hvis du husker det, bliver det tydeligt, hvilket betyder, at grundtallet er mindre end nul. Det vil sige, at vi anvender regel 2: resultatet bliver negativt.

Og igen bruger vi definitionen af grad:

Alt er som det plejer - vi skriver definitionen af grader ned og deler dem ind i hinanden, deler dem i par og får:

Før vi undersøger den sidste regel, lad os løse et par eksempler.

Beregn værdierne af udtrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer den ottende grad, hvad ser vi så her? Vi husker 7. klasses programmet. Så husk? Dette er formlen for forkortet multiplikation, nemlig forskellen på kvadrater!

Vi får:

Lad os se nærmere på nævneren. Det ligner meget en af multiplikatorerne i tælleren, men hvad er der galt? Forkert rækkefølge af vilkårene. Hvis de blev omvendt, kunne regel 3 anvendes. Men hvordan gør man det? Det viser sig at være meget nemt: her hjælper den lige grad af nævneren os.

Hvis du ganger det med, ændres intet, vel? Men nu viser det sig følgende:

Vilkårene er magisk omvendt. Dette "fænomen" kan anvendes på ethvert udtryk i en jævn grad: vi kan frit ændre tegnene i parentes. Men det er vigtigt at huske: alle tegn ændrer sig på samme tid! Det kan ikke erstattes med kun at ændre én ulempe, som vi ikke ønsker!

Lad os gå tilbage til eksemplet:

Og igen formlen:

Så nu den sidste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som sædvanlig: lad os udvide begrebet grad og forenkle:

Lad os nu åbne parenteserne. Hvor mange bogstaver bliver der? gange med multiplikatorer - hvordan ser det ud? Dette er intet andet end en definition af en operation multiplikation: der var kun multiplikatorer. Det vil sige, at det per definition er graden af et tal med en eksponent:

Eksempel:

Irrationel karakter

Ud over oplysningerne om graderne for mellemtrinnet, vil vi analysere graden med en irrationel eksponent. Alle regler og egenskaber for grader her er nøjagtig de samme som for en grad med en rationel eksponent, med undtagelse - trods alt er irrationelle tal pr. definition tal, der ikke kan repræsenteres som en brøk, hvor og er hele tal (det er, irrationelle tal er alle reelle tal undtagen rationelle).

Når vi studerer grader med en naturlig, hel og rationel indikator, har vi hver gang opstillet en slags "billede", "analogi" eller beskrivelse i mere velkendte termer. For eksempel er en naturlig eksponent et tal ganget med sig selv flere gange; et tal i nulgraden er sådan set et tal ganget med sig selv én gang, det vil sige at det endnu ikke er begyndt at blive ganget, hvilket betyder at selve tallet ikke engang er dukket op - derfor er resultatet kun en slags af "blankt nummer", nemlig et tal; en grad med en heltal negativ eksponent er, som om der fandt en vis "omvendt proces" sted, det vil sige, at tallet ikke blev ganget med sig selv, men divideret.

Det er ekstremt svært at forestille sig en grad med en irrationel eksponent (ligesom det er svært at forestille sig et 4-dimensionelt rum). Det er snarere et rent matematisk objekt, som matematikere skabte for at udvide begrebet en grad til hele rummet af tal.

Forresten, i videnskaben bruges ofte en grad med en kompleks indikator, det vil sige, at indikatoren ikke engang er et reelt tal. Men i skolen tænker vi ikke på sådanne vanskeligheder, du vil have mulighed for at forstå disse nye begreber på instituttet.

Så hvad gør vi, når vi ser en irrationel eksponent? Vi prøver med al vores magt at slippe af med det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

Vi husker formlen for forskellen mellem kvadrater. Svar: .
Vi bringer brøker til samme form: enten begge decimaler eller begge almindelige. Vi får for eksempel:.
Ikke noget særligt, vi anvender de sædvanlige gradsegenskaber:

RESUMÉ AF AFSNIT OG GRUNDFORMLER

Grad kaldes et udtryk for formen:, hvor:

Heltalsgrad

grad, hvis eksponent er et naturligt tal (dvs. helt og positivt).

Rationel karakter

grad, hvis eksponent er negative tal og brøktal.

Irrationel karakter

grad, hvis eksponent er en uendelig decimalbrøk eller rod.

Kraftegenskaber

Funktioner af grader.

Negativt tal hævet til også selvom grad, - antal positiv.
Negativt tal hævet til ulige grad, - antal negativ.
Et positivt tal i enhver grad er et positivt tal.
Nul er lig med enhver magt.
Ethvert tal til nulgraden er lig med.

NU DIT ORD...

Hvordan kan du lide artiklen? Skriv i kommentarerne, som om du kan lide det eller ej.

Fortæl os om din erfaring med gradsejendomme.

Måske har du spørgsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarerne.

Og held og lykke med dine eksamener!

Artikler om naturvidenskab og matematik

Egenskaber for grader med samme base

Der er tre egenskaber af grader med de samme baser og naturværdier. det

Arbejde sum

Privat to grader med samme grundtal er lig med udtrykket, hvor grundtallet er det samme, og eksponenten er forskel indikatorer for de oprindelige faktorer.

Hæve magten af et tal til en potens er lig med et udtryk, hvor grundtallet er det samme tal og eksponenten er arbejde to grader.

Vær forsigtig! Regler vedr addition og subtraktion grader med samme base eksisterer ikke.

Lad os skrive disse egenskaber-regler i form af formler:

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m – n

(a m) n = a mn

Nu vil vi overveje dem med specifikke eksempler og prøve at bevise dem.

5 2 × 5 3 = 5 5 - her anvendte vi reglen; Lad os nu forestille os, hvordan vi ville løse dette eksempel, hvis vi ikke kendte reglerne:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - fem i kvadrat er fem gange fem, og terninger er produktet af tre femmere. Resultatet er produktet af fem femmere, men dette er noget andet end fem til femte potens: 5 5.

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Lad os skrive divisionen som en brøk:

Det kan forkortes:

Som et resultat får vi:

Således beviste vi, at når man dividerer to grader med de samme baser, skal deres indikatorer trækkes fra.

Men når man dividerer, er det umuligt for divisor at være lig med nul (da man ikke kan dividere med nul). Da vi desuden kun betragter grader med naturlige eksponenter, kan vi som følge af at trække eksponenter ikke få et tal mindre end 1. Derfor pålægges der begrænsninger på formlen am ÷ an = am – n: a ≠ 0 og m > n.

Lad os gå videre til den tredje ejendom:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Lad os skrive i udvidet form:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Du kan komme til denne konklusion og ræsonnere logisk. Du skal gange to i anden fire gange. Men i hver firkant er der to toere, hvilket betyder, at der vil være otte toere i alt.

scienceland.info

Grad egenskaber

Vi minder dig om, at denne lektion forstår kraftegenskaber med naturlige indikatorer og nul. Rationelle grader og deres egenskaber vil blive dækket i undervisningen i 8. klasse.

En naturlig eksponent har flere vigtige egenskaber, der gør det lettere at beregne i eksponenteksempler.

Ejendom nummer 1
Produkt af grader

Når grader ganges med de samme baser, forbliver basen uændret, og eksponenterne tilføjes.

a m · a n = a m + n, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Denne egenskab af grader påvirker også produktet af tre eller flere grader.

Forenkle udtrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Til stede som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Til stede som en grad.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bemærk venligst, at det i den angivne egenskab kun handlede om multiplikation af potenser med de samme baser.... Det gælder ikke for deres tilføjelse.

Du kan ikke erstatte beløbet (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståeligt hvis
antal (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 og 3 5 = 243

Ejendom nummer 2
Private grader

Når man dividerer grader med samme grundtal, forbliver grundtallet uændret, og divisorens eksponent trækkes fra udbyttets eksponent.

Skriv kvotienten som en grad
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Beregn.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruger private graders ejendom.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved at bruge egenskaberne #1 og #2 kan du nemt forenkle udtryk og udføre beregninger.

Eksempel. Find værdien af et udtryk ved hjælp af gradens egenskaber.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bemærk venligst, at vi i ejendom 2 kun talte om at dividere grader med de samme grunde.

Du kan ikke erstatte forskellen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståeligt, hvis vi beregner (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, og 4 1 = 4

Ejendom nummer 3
Eksponentiering

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen af potensen uændret, og eksponenterne ganges.

(a n) m = a n · m, hvor "a" er et hvilket som helst tal, og "m", "n" er alle naturlige tal.

Bemærk, at egenskab #4, ligesom andre effektegenskaber, anvendes i omvendt rækkefølge.

(a n b n) = (a b) n

Det vil sige, for at gange grader med de samme indikatorer, kan du gange baserne, og eksponenten kan forblive uændret.

Eksempel. Beregn.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Eksempel. Beregn.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mere komplekse eksempler kan der være tilfælde, hvor multiplikation og division skal udføres over grader med forskellige baser og forskellige eksponenter. I dette tilfælde råder vi dig til at fortsætte som følger.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Et eksempel på at hæve til en decimalpotens.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Egenskaber 5
Grad af kvotient (brøk)

For at hæve en kvotient til en potens, kan du hæve en separat dividende og en divisor til denne potens, og dividere det første resultat med det andet.

(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er ethvert rationelt tal, b ≠ 0, n er ethvert naturligt tal.

Eksempel. Præsenter udtrykket i form af privatgrader.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minder om, at kvotienten kan repræsenteres som en brøk. Derfor vil vi dvæle ved emnet at hæve en brøk til en potens mere detaljeret på næste side.

Multiplikation og division af tal med potenser

Hvis du skal hæve et bestemt tal til en potens, kan du bruge tabellen over potenser af naturlige tal fra 2 til 25 i algebra. Og nu vil vi dvæle mere detaljeret ved egenskaber ved grader.

Eksponentielle talåbner op for store muligheder, de giver os mulighed for at omdanne multiplikation til addition, og addering er meget nemmere end at gange.

For eksempel skal vi gange 16 med 64. Produktet af multiplikationen af disse to tal er 1024. Men 16 er 4x4, og 64 er 4x4x4. Det vil sige 16 gange 64 = 4x4x4x4x4, hvilket også er 1024.

Tallet 16 kan også repræsenteres som 2x2x2x2 og 64 som 2x2x2x2x2x2, og hvis vi multiplicerer, får vi igen 1024.

Og nu bruger vi reglen til at hæve et tal til en potens. 16 = 4 2 eller 2 4, 64 = 4 3 eller 2 6 på samme tid 1024 = 6 4 = 4 5 eller 2 10.

Derfor kan vores opgave skrives anderledes: 4 2 x4 3 = 4 5 eller 2 4 x2 6 = 2 10, og hver gang får vi 1024.

Vi kan løse en række lignende eksempler og se, at multiplikation af tal med potenser reducerer til tilføjelse af eksponenter, eller eksponentiel, selvfølgelig, forudsat at faktorernes grundlag er ens.

Uden at gange kan vi altså umiddelbart sige, at 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Denne regel gælder også, når man dividerer tal med potenser, men i dette tilfælde, f.eks divisors eksponent trækkes fra eksponenten for udbyttet... Således er 2 5: 2 3 = 2 2, hvilket i almindelige tal er 32: 8 = 4, det vil sige 2 2. Lad os opsummere:

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, hvor m og n er heltal.

Ved første øjekast kan det virke, hvad der er multiplikation og division af tal med potenser ikke særlig praktisk, fordi du først skal repræsentere tallet i eksponentiel form. Det er ikke svært at repræsentere tallene 8 og 16 i denne form, altså 2 3 og 2 4, men hvordan gør man det med tallene 7 og 17? Eller hvad man skal gøre, når tallet kan repræsenteres i eksponentiel form, men grundene for de eksponentielle udtryk for tal er meget forskellige. For eksempel er 8 × 9 2 3 × 3 2, i hvilket tilfælde vi ikke kan summere eksponenterne. Hverken 2 5 eller 3 5 er svaret, og svaret ligger heller ikke i intervallet mellem disse to tal.

Så er det overhovedet værd at bøvle med denne metode? Helt klart det værd. Det giver enorme fordele, især for komplekse og tidskrævende beregninger.

Indtil nu har vi antaget, at eksponenten er antallet af identiske faktorer. I dette tilfælde er minimumsværdien af eksponenten 2. Men hvis vi udfører operationen med at dividere tal, eller trække eksponenter fra, kan vi også få et tal mindre end 2, hvilket betyder, at den gamle definition ikke længere kan passe os. Læs mere i næste artikel.

Addition, subtraktion, multiplikation og division af potenser

Tilføje og trække potenser fra