Beviset for Weierstrass-sætningen på grænsen for den monotone sekvens er givet. Tilfælde af begrænsede og ubegrænsede sekvenser overvejes. Det eksempel, hvori det er nødvendigt, påføring af Weierstrass-sætningen, for at bevise konvergensen af \u200b\u200bsekvensen og finde sin grænse.

Enhver monotont begrænset sekvens (x n) Det har en endelig grænse svarende til den nøjagtige temmelig grænse, sup (x n) For en ikke-salgende og præcis nedre grænse, iNF (x N) Til ikke-skudssekvens.
En hvilken som helst monotonøs ubegrænset sekvens har en uendelig grænse svarende til Infinity Plus, for inkonsekvent og minus uendelighed, for ikke-vinder-sekvens.

Beviser

1) ansigtsløs begrænset sekvens..

(1.1) .

Da sekvensen er begrænset, har den en nøjagtig øvre grænse
.
Det betyder at:

• for alle n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Her brugte vi også (1.3). Ved at kombinere med (1.2) finder vi:
på.
Siden det.
,
eller
på.
Den første del af sætningen er bevist.

2) Lad nu sekvensen er ikke-vinder begrænset sekvens:
(2.1) For alle n.

Da sekvensen er begrænset, har den en præcis nedre grænse
.
Det betyder følgende:

• for alle n udføres uligheder:
  (2.2) ;
• for ethvert positivt tal er der et nummer afhængigt af ε for hvilket
  (2.3) .

.
Her brugte vi også (2.3). I betragtning af (2.2) finder vi:
på.
Siden det.
,
eller
på.
Det betyder, at tallet er sekvensgrænsen.
Den anden del af sætningen er bevist.

Overvej nu ubegrænsede sekvenser.
3) Lad sekvensen være ubegrænset inkonsærbar sekvens..

Da sekvensen er inkonsekvent, udføres ulighederne for alle n:
(3.1) .

Da sekvensen er ubemærket og ubegrænset, er den ubegrænset på højre side. Derefter for et hvilket som helst nummer m, er der et nummer afhængigt af M for hvilket
(3.2) .

Da sekvensen er inkonsekvent, så når vi har:
.
Her brugte vi også (3.2).

.
Det betyder, at sekvensgrænsen er lig med plus uendelig:
.
Den tredje del af sætningen er bevist.

4) Endelig overveje sagen, hvornår der er ubegrænset ikke-vinder-sekvens.

Svarende til den forrige, da sekvensen ikke er ved at vinde,
(4.1) For alle n.

Da sekvensen ikke er ved at vinde og ubegrænset, er den ubegrænset på venstre side. Derefter for et hvilket som helst nummer m, er der et nummer afhængigt af M for hvilket
(4.2) .

Da sekvensen ikke vinder, så når vi har:
.

Så for et hvilket som helst nummer m er der et naturligt tal, der er afhængigt af m, så uligheder udføres for alle tal:
.
Det betyder, at sekvensgrænsen er minus uendelig:
.
Sætning er bevist.

Et eksempel på at løse problemet

Brug af Weierstrass-sætningen, bevise konvergensen af \u200b\u200bsekvensen:
, , . . . , , . . .
Efter at finde sin grænse.

Forestil dig en sekvens i form af gentagelsesformler:
,
.

Vi beviser, at den angivne sekvens er begrænset ovenfra
(P1) .
Bevis Vi udfører metodens methematiske induktion.
.
Lad ske . Derefter
.
Ulighed (P1) er bevist.

Vi beviser, at sekvensen monotont øges.
;
(P2) .
Fordi, denominator af fraktionen og den første faktor i tælleren er positiv. På grund af de begrænsede medlemmer af sekvensen ulighed (P1) er den anden faktor også positiv. derfor
.
Det vil sige, at sekvensen er strengt stigende.

Da sekvensen øges og er begrænset ovenfra, er den en begrænset sekvens. Derfor har den af \u200b\u200bWeierstrass-sætning en grænse.

Vi finder denne grænse. Angive det gennem en:
.
Vi bruger det faktum, at
.
Påfør dette til (P2) ved hjælp af de aritmetiske egenskaber af grænserne for konvergerende sekvenser:
.
Tilstanden tilfredsstiller roden.

Definition1. SEQUENCE. aftagende (ikke-head. ) Hvis for alle
uligheden udføres
.

Definition2. SEQUENCE.
hedder stigende (ulovlig ) Hvis for alle
uligheden udføres
.

Definition3. De faldende, ikke-vinde, stigende og uberørte sekvenser kaldes monotont. sekvenser, faldende og stigende sekvenser kaldes også strengt monotont. sekvenser.

Det er indlysende, at den ikke-faldende sekvens er begrænset til nedenfor, en ikke-vinder-sekvens er begrænset ovenfra. Derfor er enhver monotonøs sekvens naturligvis begrænset på den ene side.

Eksempel1. SEQUENCE.
stigninger uden faldende
formindske
opstår ikke
- Ikke-monotonisk sekvens.

For monotont sekvenser. vigtig rolle Spiller næste gang

Teorem1. Hvis en non-breaking (ikke-vinder) sekvens er begrænset fra oven (bunden), konvergerer den.

Beviser. Lad sekvensen
falder ikke og er begrænset ovenfra, dvs.
og mange
begrænset ovenfra. Ved sætning 1 § 2 eksisterer
. Vi beviser det
.

Tage
vilkårligt. For så vidt. men- nøjagtig overgrænse, der er et nummer N. sådan
. Da sekvensen er inkonsekvent, så for alle
vi har, dvs.
, så
for alle
, og det betyder det
.

Til ikke-opnåelse sekvens, begrænset til bunden, udføres beviset på samme måde ( studerende kan bevise denne erklæring hjemme på egen hånd). Sætning er bevist.

Kommentar. Teorem 1 kan formuleres ellers.

Teorem2. For at den monotone sekvens at konvergere, er det nødvendigt og nok til at være begrænset.

Forsyningen er etableret i sætning 1, behovet - i sætning 2 § 5.

Monotoni-tilstanden er ikke nødvendig for konvergensen af \u200b\u200bsekvensen, da den konvergerende sekvens ikke nødvendigvis er monotonne. For eksempel, sekvensen
ikke monotont, men konvergerer til nul.

Corollary.. Hvis sekvensen
stiger (falder) og er begrænset fra oven (bunden), derefter
(
).

Faktisk ved sætning 1
(
).

Definition4. IF.
til
, derefter sekvens. tilspændingssystem af indlejrede segmenter .

Teorem3 (princippet om indlejrede segmenter). Et hvilket som helst strammet system med indlejrede segmenter eksisterer, og desuden det eneste punkt fratilhører alle segmenter af dette system.

Beviser. Vi beviser, at punktet fraeksisterer. For så vidt.
T.
og derfor sekvensen
falder ikke og sekvenser
stiger ikke. Hvor.
og
begrænset, fordi. Derefter eksisterer 1
og
, men siden
T.
=
. Fundet punkt fratilhører alle segmenter af systemet, da undersøgelsen af \u200b\u200bsætning 1
,
.
for alle værdier n..

Vis nu, at punktet fra- den eneste ene. Antag at to punkter er to: fraog d.og selv for sikkerhed
. Derefter skåret
tilhører alle segmenter
.
for alle n.det er umuligt fordi
og det betyder at starte med et nummer,
. Sætning er bevist.

Bemærk, at det er vigtigt, at lukkede huller overvejes, dvs. Segmenter. Hvis vi overvejer systemet med strammede intervaller, er princippet, generelt er forkert. For eksempel intervaller
naturligvis strammet til det punkt
Men peger dog
det tilhører ikke ethvert interval af dette system.

Overvej nu eksempler på konvergerende monotone-sekvenser.

1) nummer. e..

Overvej nu sekvensen
. Hvordan opfører hun sig? Grundlag

grad
, så
? På den anden side,
, men
, så
? Eller grænse eksisterer ikke?

For at besvare disse spørgsmål, overveje hjælpesekvens
. Vi beviser, at det falder og er begrænset til nedenfor. Samtidig skal vi bruge

Lemma.. Hvis en
Så for alle naturlige værdier n.har

(Bernoulli ulighed).

Beviser. Vi bruger metodens methematiske induktion.

Hvis en
T.
. Uligheden er sandt.

Formoder, at det er sandt for
og bevise sin retfærdighed for
+1.

Ret
. Multiplicer denne ulighed på
:

På denne måde. Så ifølge princippet om matematisk induktion er Bernoulli ulighed sandt for alle naturlige værdier. n.. Lemma er bevist.

Vi viser, at sekvensen
falder. Har

| Bernoulli Uequality |
, og det betyder, at sekvensen
falder.

Begrænsning nedenfor følger af ulighed
| Bernoulli Uequality |
for alle naturlige værdier n..

Af sætning 1 eksisterer
Hvad betegnes af brevet e.. derfor
.

Nummer e.irrationel og transcendent. e.\u003d 2.718281828 .... Det er kendt, grundlaget for naturlige logaritmer.

Bemærkninger.. 1) Bernoulli ulighed kan bruges til at bevise det
til
. Faktisk, hvis
T.
. Derefter af Bernoulli ulighed,
. Dermed plyen
har
, dvs.
til
.

2) I ovenstående eksempel er grundlaget for graden har tendens til 1, men indikatoren for graden n.- K. Det vil sige, der er en usikkerhed om arten . Den usikkerhed af denne art, som vi viste, afsløres ved hjælp af en vidunderlig grænse.
.

2)
(*)

Vi beviser, at denne sekvens konvergerer. For at gøre dette viser vi, at det er begrænset nedenfor og ikke stiger. Samtidig bruger vi ulighed
for alle
hvilket er en konsekvens af ulighed
.

Har
cm. ulighed ovenfor
. Sekvensen er begrænset til bunden af \u200b\u200bnummeret.
.

Yderligere,
 så så

. Sekvensen øges ikke.

Af sætning 1 eksisterer
som er betegnet h.. Passerer lighed (*) til grænsen, når
, GET

.
Fra!
(Vi tager et plustegn, da alle sekvensmedlemmer er positive).

Sekvensen (*) påføres ved beregning
rundt regnet. Om tag et positivt nummer. For eksempel vil vi finde
. Lad ske
. Derefter
. På denne måde,
.

3)
.

Har
. For så vidt.
til
, Der er et nummer N., sådan at for alle
uligheden udføres
. Således er sekvensen
Start med noget nummer N., falder og er begrænset til nedenfor, siden
for alle værdier n.. Så for sætning 1 eksisterer
. For så vidt.
, har
.

Så,
.

4)
, til højre - n. rødder.

Metode til matematisk induktion Vi viser det
for alle værdier n.. Har
. Lad ske
. Derefter modtager vi derfor en erklæring om princippet om matematisk induktion. Ved hjælp af denne kendsgerning finder vi, dvs. sekvens.
stiger og begrænset ovenfra. Eksisterer derfor fordi
.

På denne måde,
.