Անհավասարություններն ու անհավասարությունների համակարգերը ավագ դպրոցի հանրահաշվում դասավանդվող թեմաներից մեկն են: Դժվարության առումով դա ամենադժվարը չէ, քանի որ այն ունի պարզ կանոններ (դրանց մասին մի փոքր ուշ): Որպես կանոն, դպրոցականները բավականին հեշտությամբ են սովորում անհավասարությունների համակարգերի լուծումը: Դա պայմանավորված է նաև նրանով, որ ուսուցիչները պարզապես «պատրաստում» են իրենց աշակերտներին այս թեմայի շուրջ: Եվ նրանք չեն կարող դա չանել, քանի որ այն հետագայում ուսումնասիրվում է այլ մաթեմատիկական արժեքների օգտագործմամբ, և ստուգվում է նաև OGE- ի և Միացյալ պետական ​​քննության միջոցով: Դպրոցական դասագրքերում անհավասարությունների և անհավասարությունների համակարգերի թեման բացահայտվում է շատ մանրամասն, այնպես որ, եթե դուք պատրաստվում եք ուսումնասիրել այն, ապա լավագույնն է դրանց դիմել: Այս հոդվածը միայն մեծ նյութերի վերապատմում է, և կարող են լինել որոշ բացթողումներ:

Անհավասարությունների համակարգի հայեցակարգ

Եթե ​​դիմենք գիտական ​​լեզվին, ապա կարող ենք սահմանում տալ «անհավասարությունների համակարգ» հասկացությանը: Սա մաթեմատիկական մոդել է, որը ներկայացնում է մի քանի անհավասարություններ: Իհարկե, այս մոդելից լուծում է պահանջվում, և դրա կարողությունը կլինի ընդհանուր պատասխանը առաջադրանքում առաջարկվող համակարգի բոլոր անհավասարությունների համար (սովորաբար դրանում գրված է, օրինակ. «Լուծել անհավասարությունների համակարգը 4 x + 1> 2 և 30 - x> 6 ... "): Այնուամենայնիվ, լուծումների տեսակներին ու մեթոդներին անցնելուց առաջ հարկավոր է հասկանալ այլ բան:

Անհավասարությունների համակարգեր և հավասարումների համակարգեր

Նոր թեմա ուսումնասիրելու գործընթացում շատ հաճախ թյուրիմացություններ են առաջանում: Մի կողմից, ամեն ինչ պարզ է, և ես նախընտրում եմ խնդիրներ լուծել, բայց մյուս կողմից `որոշ պահեր մնում են« ստվերում », դրանք այնքան էլ լավ չեն ընկալվում: Բացի այդ, արդեն ձեռք բերված գիտելիքների որոշ տարրեր կարող են միահյուսվել նորերի հետ: Սխալները հաճախ տեղի են ունենում այս համընկնումի արդյունքում:

Ուստի, նախքան մեր թեմայի վերլուծությանը անցնելը, պետք է հիշել հավասարումների և անհավասարությունների, դրանց համակարգերի տարբերությունները: Դա անելու համար հարկավոր է մեկ անգամ եւս պարզաբանել, թե որոնք են այդ մաթեմատիկական հասկացությունները: Հավասարումը միշտ հավասարություն է, և այն միշտ հավասար է ինչ-որ բանի (մաթեմատիկայում այս բառը նշվում է «=» նշանով): Անհավասարությունը մի մոդել է, որի դեպքում մի մեծություն կա՛մ ավելի մեծ է կամ պակաս, քան մեկ այլ, կա՛մ պարունակում է պնդում, որ դրանք նույնը չեն: Այսպիսով, առաջին դեպքում տեղին է խոսել հավասարության մասին, իսկ երկրորդում, որքան էլ դա ակնհայտ հնչի հենց անունից, նախնական տվյալների անհավասարության մասին: Հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերը գործնականում չեն տարբերվում միմյանցից և դրանց լուծման մեթոդները նույնն են: Միակ տարբերությունն այն է, որ առաջինն օգտագործում է հավասարություններ, իսկ երկրորդը կիրառում է անհավասարություններ:

Անհավասարությունների տեսակները

Գոյություն ունեն անհավասարության երկու տեսակ ՝ թվային և անհայտ փոփոխականով: Առաջին տեսակը ներկայացնում է տրամադրված արժեքները (թվերը), միմյանց անհավասար, օրինակ ՝ 8> 10. Երկրորդը անհայտ փոփոխական պարունակող անհավասարություններ են (նշվում է լատինական այբուբենի ցանկացած տառով, առավել հաճախ ՝ X): Այս փոփոխականը պետք է գտնել: Կախված դրանց քանակից ՝ մաթեմատիկական մոդելը տարբերակում է մեկի հետ անհավասարությունները (կազմում են մեկ փոփոխականի հետ անհավասարությունների համակարգ) կամ մի քանի փոփոխականներ (կազմում են անհավասարությունների համակարգ մի քանի փոփոխականներով):

Վերջին երկու տեսակները, ըստ դրանց կառուցման աստիճանի և լուծույթի բարդության աստիճանի, բաժանվում են պարզ և բարդ: Պարզները կոչվում են նաև գծային անհավասարություններ: Նրանք, իրենց հերթին, բաժանվում են խիստ և ոչ խիստ: Խստորեն «ասում են», որ մեկ մեծություն անպայման պետք է լինի կամ պակաս, կամ ավելի, հետևաբար սա անհավասարություն է իր մաքուր տեսքով: Կարելի է բերել մի քանի օրինակ. 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 և այլն: Ոչ խիստ օրինակները ներառում են նաև հավասարություն: Այսինքն ՝ մի մեծություն կարող է լինել ավելի մեծ կամ հավասար մեկ այլ մեծության («≥» նշանի) կամ ավելի փոքր կամ հավասար մեկ այլ մեծության («≤» նշան): Նույնիսկ գծային անհավասարություններում փոփոխականն արմատում չէ, քառակուսի է, ոչնչով չի բաժանվում, ինչի պատճառով էլ դրանք կոչվում են «հասարակ»: Բարդ փոփոխականները ներառում են անհայտ փոփոխականներ, որոնք պահանջում են ավելի շատ մաթեմատիկական գործողություններ գտնել: Դրանք հաճախ հանդիպում են քառակուսի, խորանարդի կամ արմատի տակ, դրանք կարող են լինել մոդուլային, լոգարիթմական, կոտորակային և այլն: Բայց քանի որ մեր խնդիրն է հասկանալ անհավասարությունների համակարգերի լուծումը, մենք կխոսենք գծային անհավասարությունների համակարգի մասին: Այնուամենայնիվ, մինչ այդ պետք է մի քանի խոսք ասել դրանց հատկությունների մասին:

Անհավասարությունների հատկությունները

Անհավասարությունների հատկությունները ներառում են հետևյալ դրույթները.

1. Անհավասարության նշանը հետ է շրջվում, եթե գործողությունը պետք է փոխի կողմերի հաջորդականությունը (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2, ապա t 2 ≥ t 1):
2. Անհավասարության երկու կողմերն էլ թույլ են տալիս նույն թվին ավելացնել իրեն (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2, ապա t 1 + թիվ ≤ t 2 + համար):
3. Նույն ուղղության նշանի երկու կամ ավելի անհավասարությունները հնարավորություն են տալիս ավելացնել նրանց ձախ և աջ կողմերը (օրինակ, եթե t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, ապա t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 )
4. Անհավասարության երկու կողմերն էլ թույլ են տալիս իրենց բազմապատկել կամ բաժանել նույն դրական թվով (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2 և թիվ ≤ 0, ապա թիվը · t 1 ≥ թիվ · t 2):
5. Երկու կամ ավելի անհավասարություններ դրական տերմիններով և նույն ուղղության նշանով թույլ են տալիս բազմապատկվել միմյանցով (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 ապա t 1 t 3 ≤ t 2 t 4):
6. Անհավասարության երկու կողմերն էլ թույլ են տալիս բազմապատկել կամ բաժանվել նույն բացասական թվով, բայց անհավասարության նշանը փոխվում է (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2 և թիվ ≤ 0, ապա t 1 ≥ թիվ t 2) ,
7. Բոլոր անհավասարություններն ունեն անցողունակության հատկություն (օրինակ, եթե t 1 ≤ t 2 և t 2 ≤ t 3, ապա t 1 ≤ t 3):

Այժմ, անհավասարություններին վերաբերող տեսության հիմնական դրույթներն ուսումնասիրելուց հետո, մենք կարող ենք անմիջապես անցնել դրանց համակարգերի լուծման կանոնների քննարկմանը:

Անհավասարությունների համակարգերի լուծում: Ընդհանուր տեղեկություն. Լուծումներ

Ինչպես նշվեց վերևում, լուծումը փոփոխականի այն արժեքներն են, որոնք տեղավորվում են տվյալ համակարգի բոլոր անհավասարություններին: Անհավասարությունների համակարգերի լուծումը մաթեմատիկական գործողությունների իրականացումն է, որոնք, ի վերջո, հանգեցնում են ամբողջ համակարգի լուծմանը կամ ապացուցում են, որ այն լուծումներ չունի: Այս դեպքում նրանք ասում են, որ փոփոխականը վերաբերում է դատարկ թվային բազմությանը (գրված է այսպես. փոփոխական նամակ∈ (նշանը «պատկանում է») ø (նշանը ՝ «դատարկ հավաքածու»), օրինակ ՝ x ∈ ø (կարդա այսպես. «« X »փոփոխականը պատկանում է դատարկ բազմությանը»): Անհավասարությունների համակարգերը լուծելու մի քանի եղանակ կա `գրաֆիկական, հանրահաշվական, փոխարինման մեթոդ: Հարկ է նշել, որ դրանք պատկանում են այն մաթեմատիկական մոդելներին, որոնք ունեն մի քանի անհայտ փոփոխական: Այն դեպքում, երբ կա միայն մեկը, տարածության մեթոդը կգործի:

Գրաֆիկական եղանակ

Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ մի քանի անհայտներով (երկուսից կամ ավելիից): Այս մեթոդի շնորհիվ գծային անհավասարությունների համակարգը լուծվում է բավականին հեշտ և արագ, ուստի դա ամենատարածված մեթոդն է: Դա պայմանավորված է նրանով, որ գծապատկերը գծագրելը նվազեցնում է մաթեմատիկական գործողությունները գրելու քանակը: Հատկապես հաճելի է դառնում գրիչից մի փոքր շեղվելը, քանոնով մատիտ վերցնելը և նրանց օգնությամբ շարունակել հետագա գործողությունները, երբ շատ աշխատանք է կատարվել, և ցանկանում եք մի փոքր բազմազանություն: Այնուամենայնիվ, ոմանց դուր չի գալիս այս մեթոդը ՝ կապված այն բանի հետ, որ դուք ստիպված եք անջատվել առաջադրանքից և ձեր մտավոր գործունեությունը տեղափոխել նկարչության: Այնուամենայնիվ, սա շատ հզոր միջոց է:

Գրաֆիկական մեթոդով անհավասարությունների համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անհավասարության բոլոր տերմինները փոխանցել նրանց ձախ կողմին: Նշանները կվերադարձվեն, աջից պետք է գրվի զրո, ապա յուրաքանչյուր անհավասարություն գրվի առանձին: Արդյունքում գործառույթները կստացվեն անհավասարություններից: Դրանից հետո դուք կարող եք հանել մատիտ և քանոն. Այժմ անհրաժեշտ է նկարել յուրաքանչյուր ստացված գործառույթի գծապատկերը: Թվերի ամբողջ հավաքածուն, որը կլինի դրանց խաչմերուկի միջակայքում, լուծում կլինի անհավասարությունների համակարգի համար:

Հանրահաշվական եղանակ

Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ երկու անհայտ փոփոխականներով: Բացի այդ, անհավասարությունները պետք է ունենան նույն անհավասարության նշանը (այսինքն ՝ դրանք պետք է պարունակեն կամ միայն «ավելի մեծ» նշանը, կամ միայն «պակաս» նշանը և այլն): Չնայած իր սահմանափակումներին, այս մեթոդը նաև ավելի բարդ է: Այն կիրառվում է երկու փուլով:

Առաջինը ներառում է անհայտ փոփոխականներից մեկից ազատվելու գործողություններ: Նախ պետք է ընտրեք այն, ապա ստուգեք այս փոփոխականի դիմաց թվերի առկայությունը: Եթե ​​դրանք չկան (ապա փոփոխականը կարծես մեկ տառ լինի), ապա մենք ոչ մի բան չենք փոխում, եթե կա (փոփոխականի տեսակը կլինի, օրինակ, սա ՝ 5y կամ 12y), ապա անհրաժեշտ է համոզվելու համար, որ յուրաքանչյուր անհավասարության մեջ ընտրված փոփոխականի դիմաց համարը նույնն է: Դա անելու համար հարկավոր է անհավասարությունների յուրաքանչյուր տերմին բազմապատկել ընդհանուր գործոնով, օրինակ, եթե առաջին անհավասարությունը պարունակում է 3y, իսկ երկրորդը ՝ 5y, ապա առաջին անհավասարության բոլոր տերմինները պետք է բազմապատկվեն 5-ով, իսկ երկրորդը ՝ 3. Դուք ստանում եք համապատասխանաբար 15y և 15y:

Լուծման երկրորդ փուլ: Անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր անհավասարության ձախ կողմը տեղափոխել իրենց աջ կողմերը յուրաքանչյուր տերմինի նշանի հակառակ փոփոխությամբ, աջից գրել զրո: Դրանից հետո գալիս է զվարճալի մասը. Անհավասարությունների ավելացման ժամանակ ընտրված փոփոխականից ազատվելը (մեկ այլ եղանակով այն կոչվում է «կրճատում»): Արդյունքը անհավասարություն է մեկ փոփոխականի հետ, որը լուծման կարիք ունի: Դրանից հետո դուք նույնպես պետք է անեք նույնը, միայն մեկ այլ անհայտ փոփոխականի հետ: Ստացված արդյունքները կլինեն համակարգի լուծումը:

Փոխարինման մեթոդը

Թույլ է տալիս լուծել անհավասարությունների համակարգ, երբ հնարավոր է ներդնել նոր փոփոխական: Սովորաբար այս մեթոդը օգտագործվում է, երբ անհավասարության մի տերմինի անհայտ փոփոխականը բարձրացվում է չորրորդ ուժի, իսկ մյուս տերմինում այն ​​քառակուսի է: Այսպիսով, այս մեթոդը ուղղված է համակարգում անհավասարության աստիճանի նվազեցմանը: X 4 - x 2 - 1 ≤ 0 նմուշի անհավասարությունն այս եղանակով լուծվում է հետևյալ կերպ. Ներդրվում է նոր փոփոխական, օրինակ ՝ t. Նրանք գրում են. «Թող t = x 2», ապա մոդելը վերաշարադրվում է նոր ձևով: Մեր դեպքում մենք ստանում ենք t 2 - t - 1 ≤0: Այս անհավասարությունը պետք է լուծվի ընդմիջումների մեթոդով (դրա մասին մի փոքր ուշ), ապա վերադառնանք X փոփոխականին, ապա նույնն անենք մեկ այլ անհավասարության հետ: Ստացված պատասխանները կլինեն համակարգի լուծումը:

Spacing մեթոդը

Սա անհավասարությունների համակարգերի լուծման ամենապարզ միջոցն է, և միևնույն ժամանակ, այն համընդհանուր է և տարածված: Այն օգտագործվում է ավագ դպրոցում և նույնիսկ ավագ դպրոցում: Դրա էությունը կայանում է նրանում, որ ուսանողը փնտրում է անհամապատասխանության միջակայքեր թվային գծի վրա, որը գծագրվում է տետրում (սա գծապատկեր չէ, այլ պարզապես թվերով սովորական գիծ է): Որտեղ անհավասարությունների միջակայքերը հատվում են, գտնվում է համակարգի լուծում: Տարածության մեթոդն օգտագործելու համար հարկավոր է հետևել հետևյալ քայլերին.

1. Յուրաքանչյուր անհավասարության բոլոր տերմինները փոխանցվում են ձախ կողմին `նշանի հակառակ փոփոխությամբ (աջ կողմում գրված է զրո):
2. Անհավասարությունները գրվում են առանձին-առանձին, որոշվում է դրանցից յուրաքանչյուրի լուծումը:
3. Գտեք անհավասարությունների հատումները թվային գծի վրա: Այս խաչմերուկներում տեղակայված բոլոր համարները կլինեն լուծումը:

Ո՞ր եղանակն օգտագործել:

Ակնհայտ է, որ թվում է, թե ամենադյուրինն ու ամենահարմարն է, բայց կան ժամանակներ, երբ առաջադրանքները պահանջում են որոշակի մեթոդ: Դրանց մեջ ամենից հաճախ գրված է, որ դուք պետք է լուծեք կամ օգտագործելով գրաֆիկ, կամ օգտագործելով ընդմիջման մեթոդ: Հանրահաշվական մեթոդը և փոխարինումը օգտագործվում են չափազանց հազվադեպ կամ ընդհանրապես, քանի որ դրանք բավականին բարդ և շփոթեցնող են, և բացի այդ, դրանք ավելի շատ օգտագործվում են ոչ թե անհավասարությունների, այլ հավասարումների համակարգեր լուծելու համար, ուստի պետք է դիմեք գծապատկերների և ընդմիջումների: Դրանք բերում են տեսանելիության, ինչը չի կարող չնպաստել մաթեմատիկական գործողությունների արդյունավետ և արագ կատարմանը:

Եթե ​​ինչ-որ բան չի ստացվում

Հանրահաշվում որոշակի թեմա ուսումնասիրելու ընթացքում, իհարկե, կարող են խնդիրներ ծագել դրա հասկացողության հետ: Եվ դա նորմալ է, քանի որ մեր ուղեղը նախագծված է այնպես, որ ի վիճակի չէ միանգամից ընկալել բարդ նյութ: Հաճախ պետք է վերստին կարդալ մի պարբերություն, օգտագործել ուսուցչի օգնությունը կամ զբաղվել բնորոշ խնդիրների լուծմամբ: Մեր դեպքում դրանք, օրինակ, ունեն այսպիսի տեսք. «Լուծել անհավասարությունների համակարգը 3 x + 1 ≥ 0 և 2 x - 1> 3»: Այսպիսով, անձնական նվիրվածությունը, արտաքին օգնությունն ու պրակտիկան օգնում են ցանկացած բարդ թեմա հասկանալու համար:

Ռեշեբնիկ

Եվ նաև reshebnik- ը շատ լավ է համապատասխանում ոչ միայն տնային աշխատանքը խաբելու, այլ ինքնօգնության համար: Դրանց մեջ դուք կարող եք գտնել լուծման հետ կապված անհավասարությունների համակարգեր, դիտել դրանք (որպես օրինաչափություններ), փորձել հասկանալ, թե ինչպես է լուծման հեղինակը ճիշտ հաղթահարել առաջադրանքը և այնուհետև փորձել դա անել ըստ հերթականության:

եզրակացություններ

Հանրահաշիվը դպրոցում ամենադժվար առարկաներից մեկն է: Դե, ի՞նչ կարող ես անել դրա հետ կապված: Մաթեմատիկան միշտ այսպիսին է եղել. Ոմանց համար դա հեշտ է, իսկ ոմանց համար ՝ դժվար: Բայց ամեն դեպքում պետք է հիշել, որ հանրակրթական ծրագիրն այնպես է կառուցված, որ ցանկացած ուսանող կարողանա գլուխ հանել դրանից: Բացի այդ, պետք է հիշել օգնականների հսկայական քանակը: Նրանցից ոմանք վերը նշված են:

Անհավասարությունների համակարգ:
Օրինակ 1... Գտեք արտահայտության շրջանակը
Որոշում:Քառակուսի արմատի նշանի տակ պետք է լինի ոչ-բացասական թիվ, ինչը նշանակում է, որ միաժամանակ պետք է կատարվեն երկու անհավասարություններ. Նշվում է, որ նման դեպքերում խնդիրը կրճատվում է մինչև անհավասարությունների համակարգի լուծումը

Բայց մենք դեռ չենք հանդիպել նման մաթեմատիկական մոդելի (անհավասարությունների համակարգ): Սա նշանակում է, որ մենք դեռ ի վիճակի չենք ավարտել օրինակի լուծումը:

Համակարգը կազմող անհավասարությունները միավորվում են գանգուր ամրացումների միջոցով (նույնն է դեպքը հավասարումների համակարգերում): Օրինակ ՝ մուտքը

նշանակում է, որ անհավասարությունները 2x - 1> 3 և 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Երբեմն անհավասարությունների համակարգը գրվում են որպես կրկնակի անհավասարություններ: Օրինակ ՝ անհավասարությունների համակարգը

կարելի է գրել որպես կրկնակի անհավասարություն 3<2х-1<11.

9-րդ դասարանի հանրահաշվի դասընթացում մենք կքննարկենք միայն երկու անհավասարությունների համակարգեր:

Հաշվի առեք անհավասարությունների համակարգը

Կարող եք վերցնել դրա մի քանի առանձնահատուկ լուծումներ, օրինակ x = 3, x = 4, x = 3.5: Իրոք, x = 3 – ի համար առաջին անհավասարությունը 5> 3 ձև է ստանում, իսկ երկրորդը ՝ 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Միևնույն ժամանակ, x = 5 արժեքը լուծում չէ անհավասարությունների համակարգին: X = 5 – ի համար առաջին անհավասարությունը ստանում է 9> 3 ձև ՝ իրական թվային անհավասարություն, իսկ երկրորդը ՝ ձև 13< 11- неверное числовое неравенство .
Լուծել անհավասարությունների համակարգ նշանակում է գտնել դրա բոլոր հատուկ լուծումները: Հասկանալի է, որ գուշակելը, ինչպես վերը ցույց տվեց, անհավասարությունների համակարգի լուծման մեթոդ չէ: Հաջորդ օրինակում մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է սովորաբար պատճառաբանվում անհավասարությունների համակարգ լուծելիս:

Օրինակ 3.Լուծել անհավասարությունների համակարգը.

Որոշում:

բայց)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը `մենք գտնում ենք 2x> 4, x> 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը `մենք գտնում ենք< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
բ)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը `գտնում ենք x> 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը `մենք գտնում ենք Այս ընդմիջումները նշում ենք մեկ կոորդինատային գծի վրա ՝ առաջին ընդմիջման համար օգտագործելով վերին հատումը, իսկ երկրորդի համար ՝ ստորին հատումը (նկ. 23): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կլինի համակարգի անհավասարությունների լուծումների խաչմերուկը, այսինքն. բացը, որտեղ երկու լուչերը համընկնում են: Դիտարկված օրինակում մենք ստանում ենք ճառագայթը

մեջ)Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը `գտնում ենք x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Եկեք ընդհանրացնենք պատճառաբանությունը դիտարկված օրինակում: Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք անհավասարությունների համակարգը

Եկեք, օրինակ, (a, b) միջակայքը լուծում է անհավասարության fx 2> g (x), իսկ միջակայքը (c, d) լուծում է անհավասարության f 2 (x)> s 2 (x ) Եկեք նշենք այս ընդմիջումները մեկ կոորդինատային գծի վրա ՝ առաջին ընդմիջման համար օգտագործելով վերին հատումը, իսկ երկրորդի համար ՝ ստորին հատումը (նկ. 25): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը համակարգի անհավասարությունների լուծումների խաչմերուկն է, այսինքն. բացը, որտեղ երկու լուչերը համընկնում են: Նկարում 25-ը (c, b) ընդմիջումն է:

Այժմ մենք կարող ենք հեշտությամբ լուծել այն անհավասարությունների համակարգը, որը մենք ստացել ենք վերևում, օրինակ 1:

Լուծելով համակարգի առաջին անհավասարությունը `գտնում ենք x> 2; լուծելով համակարգի երկրորդ անհավասարությունը `գտնում ենք x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Իհարկե, անհավասարությունների համակարգը պարտադիր չէ, որ բաղկացած լինի գծային անհավասարություններից, ինչպես նախկինում էր. ցանկացած ռացիոնալ (և ոչ միայն ռացիոնալ) անհավասարության կարելի է հանդիպել: Տեխնիկապես, բանական ոչ գծային անհավասարությունների համակարգի հետ աշխատելն, իհարկե, ավելի բարդ է, բայց այստեղ սկզբունքորեն նոր բան չկա (գծային անհավասարությունների համակարգերի համեմատությամբ):

Օրինակ 4.Լուծել անհավասարությունների համակարգը

Որոշում:

1) լուծեք մեր ունեցած անհավասարությունը
Եկեք թվային գծի վրա նշենք -3 և 3 կետերը (նկ. 27): Նրանք ուղիղ գիծը բաժանում են երեք ընդմիջումների, և յուրաքանչյուր ընդմիջման վրա p (x) = (x- 3) (x + 3) արտահայտությունը պահպանում է հաստատուն նշան - այս նշանները նշված են Նկարում: 27. Մեզ հետաքրքրում են այն ընդմիջումները, որոնց վրա բավարարվում է p (x)> 0 անհավասարությունը (դրանք ստվերում են Նկար 27-ում), և այն կետերը, որոնցում պահպանվում է հավասարությունը p (x) = 0, այսինքն, կետեր x = -3, x = 3 (դրանք նշվում են նկ. 2-7-ում `մուգ շրջանակներով): Այսպիսով, Նկ. 27-ը ցույց է տալիս առաջին անհավասարության լուծման երկրաչափական մոդելը:

2) լուծեք մեր անհավասարությունը
Թվային գծի վրա նշենք 0 և 5 կետերը (նկ. 28): Նրանք ուղիղ գիծը բաժանում են երեք ընդմիջումների, և յուրաքանչյուր ընդմիջման վրա արտահայտությունը<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (ստվերում է Նկար 28), և այն կետերը, որոնցում բավարարվում է հավասարությունը g (x) - O, այսինքն, կետեր x = 0, x = 5 (դրանք նշված են Նկար 28-ում `մուգ շրջանակներով): Այսպիսով, Նկ. 28-ը ցույց է տալիս համակարգի երկրորդ անհավասարությունը լուծելու երկրաչափական մոդելը:

3) Եկեք նշենք համակարգի առաջին և երկրորդ անհավասարությունների գտած լուծումները մեկ կոորդինատային գծի վրա `օգտագործելով վերին ստվերում առաջին անհավասարության լուծումների համար, իսկ ստորին ստվերում` երկրորդի լուծումների համար (նկ. 29): Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կլինի համակարգի անհավասարությունների լուծումների խաչմերուկը, այսինքն. բացը, որտեղ երկու լուչերը համընկնում են: Այս բացը հատված է:

Օրինակ 5.Լուծել անհավասարությունների համակարգը.

Որոշում:

բայց)Առաջին անհավասարությունից մենք գտնում ենք x> 2: Դիտարկենք երկրորդ անհավասարությունը: Քառակուսի եռանուն x 2 + x + 2 իրական արմատներ չունի, և դրա առաջատար գործակիցը (գործակիցը x 2-ում) դրական է: Ուստի, x- ի համար x 2 + x + 2> 0 անհավասարությունը գործում է, և, հետեւաբար, համակարգի երկրորդ անհավասարությունը լուծումներ չունի: Ի՞նչ է սա նշանակում անհավասարությունների համակարգի համար: Սա նշանակում է, որ համակարգը լուծումներ չունի:

բ)Առաջին անհավասարությունից գտնում ենք x> 2, իսկ երկրորդ անհավասարությունը գործում է x- ի ցանկացած արժեքի համար: Ի՞նչ է սա նշանակում անհավասարությունների համակարգի համար: Սա նշանակում է, որ դրա լուծումն ունի x> 2 ձև, այսինքն. համընկնում է առաջին անհավասարության լուծման հետ:

Պատասխան.

ա) լուծումներ չկան. բ) x> 2:

Այս օրինակը նկարագրական է հետևյալ օգտակարի համար

1. Եթե մի փոփոխականով մի քանի անհավասարությունների համակարգում մեկ անհավասարություն չունի լուծումներ, ապա համակարգը նույնպես չունի լուծումներ:

2. Եթե մեկ փոփոխականով երկու անհավասարության համակարգում փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար բավարարվում է մեկ անհավասարություն, ապա համակարգի լուծումը համակարգի երկրորդ անհավասարության լուծումն է:

Եզրափակելով այս բաժինը ՝ եկեք վերադառնանք սկզբում տրված գաղափարի խնդրին և լուծենք այն, ինչպես ասում են, ըստ բոլոր կանոնների:

Օրինակ 2(տե՛ս էջ 29): Նախատեսված է բնական թիվ: Հայտնի է, որ եթե բեղմնավորված թվի քառակուսին ավելանա 13-ով, ապա գումարը մեծ կլինի հասկացված թվի արտադրյալից և 14-ից: Եթե բեղմնավորված թվի քառակուսուն ավելացվի 45-ը, ապա այդ գումարը կլինի պակաս լինի բեղմնավորված թվի և 18-ի թվի արտադրյալից: Ո՞ր թիվն է հղիանում:

Որոշում:

Առաջին փուլ. Մաթեմատիկական մոդելի կազմում:
Նախատեսված x թիվը, ինչպես տեսանք վերևում, պետք է բավարարի անհավասարությունների համակարգը

Երկրորդ փուլ. Աշխատում ենք կազմված մաթեմատիկական մոդելի հետ: Մենք համակարգի առաջին անհավասարությունը վերափոխում ենք ձևի
x2- 14x + 13> 0:

Եկեք գտնենք եռանունի x 2 - 14x + 13 արմատները. X 2 = 1, x 2 = 13. Օգտագործելով պարաբոլա y = x 2 - 14x + 13 (նկ. 30), եզրակացնում ենք, որ մեզ պահում է x- ի համար< 1 или x > 13.

Մենք համակարգի երկրորդ անհավասարությունը վերափոխում ենք х2 - 18 2 + 45 ձևի< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Կան միայն «X» - ներ և միայն աբսիսսայի առանցք, բայց այժմ ավելացվում են «խաղեր», և գործունեության դաշտը ընդլայնվում է ամբողջ կոորդինատային հարթության վրա: Հետագա տեքստում «գծային անհավասարություն» արտահայտությունը հասկացվում է երկչափ իմաստով, որը պարզ կդառնա վայրկյանների ընթացքում:

Բացի վերլուծական երկրաչափությունից, նյութը կարևոր է մաթեմատիկական վերլուծության, տնտեսական և մաթեմատիկական մոդելավորման մի շարք խնդիրների համար, ուստի խորհուրդ եմ տալիս ուսումնասիրել այս դասախոսությունը ամենայն լրջությամբ:

Գծային անհավասարություններ

Գծային անհավասարության երկու տեսակ կա.

1) Խիստանհավասարություն.

2) Laxանհավասարություն.

Ո՞րն է այդ անհավասարությունների երկրաչափական իմաստը:Եթե ​​գծային հավասարումը սահմանում է ուղիղ գիծ, ​​ապա գծային անհավասարությունը սահմանում է կես ինքնաթիռ.

Հետևյալ տեղեկությունները հասկանալու համար հարկավոր է իմանալ ինքնաթիռի ուղիղ գծերի տեսակները և կարողանալ կառուցել ուղիղ գծեր: Եթե ​​այս մասում դժվարություններ ունեք, կարդացեք օգնությունը Ֆունկցիայի գծապատկերներ և հատկություններ- պարբերություն գծային ֆունկցիայի մասին:

Սկսենք ամենապարզ գծային անհավասարություններից: Poorանկացած աղքատ ուսանողի կապույտ երազանքը կոորդինատային հարթություն է, որի վրա ոչինչ չկա:

Ինչպես գիտեք, աբսցիսայի առանցքը դրված է հավասարմամբ. «Խաղը» միշտ («x» ցանկացած արժեքի համար) հավասար է զրոյի

Հաշվի առեք անհավասարությունը: Ինչպե՞ս կարելի է դա ոչ ֆորմալ կերպով հասկանալ: «Y» - ը միշտ («X» - ի ցանկացած արժեքի համար) դրական է: Ակնհայտ է, որ այս անհավասարությունը որոշում է վերին կիսամակարդակը. Չէ՞ որ բոլոր կետերը կան դրական «խաղերով»:

Եթե ​​անհավասարությունը խիստ չէ, ապա վերին կես հարթության վրա լրացուցիչառանցքն ինքնին ավելացվում է:

Նմանապես. Ներքևի կիսա հարթության բոլոր կետերը բավարարում են անհավասարությունը, ստորին կես հարթությունը + առանցքը համապատասխանում է ոչ խիստ անհավասարության:

Y առանցքը նույն պրոզայական պատմությունն է.

- անհավասարությունը սահմանում է աջ կես հարթությունը.
- անհավասարությունը սահմանում է աջ կիսահարթակը, ներառյալ նշանակված առանցքը.
- անհավասարությունը սահմանում է ձախ կիսամակարդակը.
- անհավասարությունը սահմանում է ձախ կես ինքնաթիռը, այդ թվում ՝ սահմանված առանցքը:

Երկրորդ քայլում հաշվի առեք անհավասարությունները, որոնցում բացակայում է փոփոխականներից մեկը:

«Խաղ» չկա.

Կամ «x» - ը բացակայում է.

Նման անհավասարությունների հետ կարելի է լուծել երկու եղանակով. խնդրում եմ հաշվի առնել երկու մոտեցումները... Theանապարհին եկեք հիշենք և համախմբենք դպրոցական գործողություններն անհավասարությունների հետ, որոնք արդեն վերլուծվել են դասում Գործառույթի շրջանակը.

Օրինակ 1

Լուծել գծային անհավասարությունները.

Ի՞նչ է նշանակում գծային անհավասարություն լուծել:

Գծային անհավասարության լուծում նշանակում է գտնել կես հարթություն, որի կետերը բավարարում են այս անհավասարությունը (գումարած գիծը ինքնին, եթե անհավասարությունը խիստ չէ): Որոշումսովորաբար գրաֆիկական.

Ավելի հարմար է անմիջապես կատարել գծանկարը, ապա մեկնաբանել ամեն ինչ.

ա) Լուծել անհավասարությունը

Մեթոդը մեկ

Մեթոդը շատ նման է կոորդինատային առանցքներով պատմությանը, որը մենք քննարկեցինք վերևում: Գաղափարը վերափոխել անհավասարությունն է ՝ ձախ կողմում թողնել մեկ փոփոխական ՝ առանց որևէ հաստատունի, այս դեպքում ՝ «x» փոփոխականը:

ԿանոնԱնհավասարության մեջ տերմինները մասից մաս են տեղափոխվում նշանի փոփոխությամբ, մինչդեռ ԱՆՀԱՎԱՍԱՐԱԿՈՒԹՅԱՆ նշանը չի փոխվում(օրինակ, եթե կար «պակաս» նշան, ապա «պակաս» -ը կմնա):

Մենք «հնգյակը» փոխանցում ենք աջ կողմին `նշանի փոփոխությամբ.

Կանոն ԴՐԱԿԱՆ չի փոխվում.

Այժմ մենք գծում ենք ուղիղ գիծ (կապույտ կետավոր գիծ): Ուղիղ գիծը գծվում է կետավոր գծով, քանի որ անհավասարությունը խիստ, և այս տողին պատկանող կետերը հաստատ չեն ներառվի լուծման մեջ:

Ո՞րն է անհավասարության իմաստը: «X» - ը միշտ («y» - ի ցանկացած արժեքի համար) պակաս է, քան: Ակնհայտ է, որ ձախ կես ինքնաթիռի բոլոր կետերը բավարարում են այս պնդումը: Այս կես ինքնաթիռը, սկզբունքորեն, կարելի է ստվերել, բայց ես կսահմանափակվեմ փոքր կապույտ սլաքներով, որպեսզի նկարը գեղարվեստական ​​գունապնակ չվերածեմ:

Մեթոդ երկրորդ

Սա ունիվերսալ միջոց է: Մենք շատ ուշադիր ենք կարդում:

Նախ նկարում ենք ուղիղ գիծ: Հստակության համար, ի դեպ, նպատակահարմար է հավասարումը ներկայացնել ձեւով:

Այժմ մենք ընտրում ենք ինքնաթիռի ցանկացած կետ, ուղիղ գծին չպատկանող... Շատ դեպքերում, իհարկե, նուրբ թեման է: Այս կետի կոորդինատները փոխարինեք անհավասարության մեջ.

Ստացվել է սխալ անհավասարություն(պարզ բառերով ՝ չի կարող այդպես լինել), ինչը նշանակում է, որ կետը չի բավարարում անհավասարությունը:

Մեր առաջադրանքի հիմնական կանոնը:
չի բավարարումանհավասարություն, ուրեմն ԱՄԵՆ ԻՆՉտվյալ կես ինքնաթիռի կետերը չեն բավարարումհաշվի առնելով անհավասարությունը
- Եթե կես ինքնաթիռի որևէ կետ (ուղիղ գծին չպատկանող) բավարարում էանհավասարություն, ուրեմն ԱՄԵՆ ԻՆՉտվյալ կես ինքնաթիռի կետերը բավարարելհաշվի առնելով անհավասարությունը

Կարող եք փորձարկել. Տողի աջ ցանկացած կետ չի բավարարի անհավասարությունը:

Ի՞նչ եզրակացություն ունի կետի հետ կապված փորձից: Գնալու տեղ չկա, անհավասարությունը բավարարում է մյուսի բոլոր կետերը `ձախ կես ինքնաթիռը (կարող եք նաև ստուգել):

բ) Լուծել անհավասարությունը

Մեթոդը մեկ

Մենք վերափոխում ենք անհավասարությունը.

ԿանոնԱնհավասարության երկու կողմերն էլ կարող են բազմապատկվել (բաժանվել) -ով Բացասականթիվը, և անհավասարության նշանը ՓՈՓՈԽՈՒԹՅՈՒՆհակառակը (օրինակ, եթե կար «ավելի մեծ կամ հավասար» նշան, ապա այն կդառնա «պակաս կամ հավասար»):

Մենք անհավասարության երկու կողմերն էլ բազմապատկում ենք.

Մենք գծում ենք ուղիղ գիծ (կարմիր), ավելին, այն գծում ենք ամուր գծով, քանի որ մեր անհավասարությունը անփույթ, և ուղիղ գիծը, անշուշտ, պատկանում է լուծմանը:

Արդյունքում առաջացած անհավասարությունը վերլուծելուց հետո մենք հանգում ենք այն եզրակացության, որ դրա լուծումը ստորին կես հարթությունն է (+ գիծը ինքնին):

Մենք պատրաստում ենք հարմար կես ինքնաթիռ կամ նշում ենք այն նետերով:

Մեթոդ երկրորդ

Եկեք ուղիղ գիծ քաշենք: Եկեք, օրինակ, ընտրենք ինքնաթիռի կամայական կետ (որը չի պատկանում ուղիղ գծի) և դրա կոորդինատները փոխարինենք մեր անհավասարության մեջ.

Ստացվել է ճիշտ անհավասարություն, հետեւաբար, կետը բավարարում է անհավասարությունը, և, ընդհանուր առմամբ, ներքևի կիսա հարթության ԲՈԼՈՐ կետերը բավարարում են այս անհավասարությունը:

Այստեղ, որպես փորձարարական կետ, մենք «խփում» ենք պահանջվող կիսա հարթությունը:

Խնդրի լուծումը նշվում է կարմիր գծի և կարմիր սլաքների միջոցով:

Անձամբ ես ավելի շատ հավանում եմ առաջին լուծումը, քանի որ երկրորդը դեռ ավելի պաշտոնական է:

Օրինակ 2

Լուծել գծային անհավասարությունները.

Սա օրինակ է «ինքդ արա» լուծման համար: Փորձեք խնդիրը լուծել երկու եղանակով (ի դեպ, սա լուծումը փորձարկելու լավ միջոց է): Դասի վերջում պատասխանը պարունակում է միայն վերջնական նկարը:

Կարծում եմ, որ օրինակներում արված բոլոր գործողություններից հետո դուք ստիպված կլինեք ամուսնանալ նրանց հետ, դժվար չի լինի լուծել ամենապարզ անհավասարությունը, ինչպես և այլն:

Մենք դիմում ենք երրորդ ընդհանուր դեպքի դիտարկմանը, երբ երկու փոփոխականներն էլ առկա են անհավասարության մեջ.

Այլընտրանքորեն, «tse» ազատ անդամը կարող է զրո լինել:

Օրինակ 3

Գտեք հետևյալ անհավասարություններին համապատասխանող կիսահարթակները.

ՈրոշումԱյն օգտագործում է կետերի փոխարինման ընդհանուր լուծում:

ա) Մենք կառուցում ենք ուղիղ գծի հավասարություն, մինչդեռ գիծը պետք է գծել կետավոր գծով, քանի որ անհավասարությունը խիստ է, և ուղիղ գիծը ինքնին լուծում չի մտնի:

Մենք ընտրում ենք ինքնաթիռի փորձարարական կետ, որը չի պատկանում տրված ուղիղին, օրինակ, և դրա կոորդինատները փոխարինում ենք մեր անհավասարության մեջ.

Ստացվել է սխալ անհավասարություն, հետեւաբար, տրված կիսահարթակի կետը և ԲՈԼՈՐ կետերը չեն բավարարում անհավասարությունը: Անհավասարության լուծումը կլինի մեկ այլ ինքնաթիռ, մենք հիանում ենք կապույտ կայծակով.

բ) Եկեք լուծենք անհավասարությունը: Նախ եկեք կառուցենք ուղիղ գիծ: Դա անելը դժվար չէ, մենք մեր առջև ունենք կանոնական ուղղակի համամասնությունը: Գծիր ամուր գիծ, ​​քանի որ անհավասարությունը խիստ չէ:

Եկեք ընտրենք ինքնաթիռի կամայական կետ, որը չի պատկանում ուղիղ գծի: Ես կցանկանայի կրկին օգտագործել ծագումը, բայց ավաղ, դա հիմա չի գործում: Հետեւաբար, դուք պետք է աշխատեք մեկ այլ ընկերոջ հետ: Ավելի շահավետ է փոքր կոորդինատային արժեքներով կետ վերցնելը, օրինակ. Եկեք փոխարինենք դրա կոորդինատները մեր անհավասարության մեջ.

Ստացվել է ճիշտ անհավասարություն, հետեւաբար, տվյալ կիսա հարթության կետն ու բոլոր կետերը բավարարում են անհավասարությունը: Պահանջվող կես ինքնաթիռը նշվում է կարմիր սլաքներով: Բացի այդ, ուղիղ գիծը ինքնին ներառված է լուծման մեջ:

Օրինակ 4

Գտեք անհավասարություններին համապատասխանող կիսակառույցները.

Սա օրինակ է «ինքդ արա» լուծման համար: Ամբողջական լուծումը, ավարտման կոպիտ նմուշը և պատասխանը ձեռնարկի վերջում:

Եկեք վերլուծենք հակադարձ խնդիրը.

Օրինակ 5

ա) Տրված է ուղիղ գիծ: Սահմանեք կես ինքնաթիռը, որում գտնվում է կետը, մինչդեռ գիծը ինքը պետք է մտնի լուծման մեջ:

բ) Տրված է ուղիղ գիծ: Սահմանեք կես ինքնաթիռ, որում գտնվում է կետը: Ուղիղ գիծն ընդգրկված չէ լուծման մեջ:

Որոշում. գծագրի կարիք չկա, և լուծումը կլինի վերլուծական: Դժվար բան չկա

ա) Մենք կազմում ենք օժանդակ բազմանդամ և հաշվարկի դրա արժեքը կետում.
... Այսպիսով, պահանջվող անհավասարությունը կլինի «պակաս» նշանով: Ըստ վարկածի, ուղիղ գիծը ներառված է լուծման մեջ, ուստի անհավասարությունը խիստ չի լինի.

բ) Եկեք կազմենք բազմանդամ և հաշվարկենք դրա արժեքը կետում.
... Այսպիսով, պահանջվող անհավասարությունը կլինի «ավելի մեծից» նշանով: Ըստ պայմանի, ուղիղ գիծը լուծման մեջ չի մտնում, հետևաբար անհավասարությունը խիստ կլինի.

Պատասխանել:

Ստեղծագործական ինքնուսուցման օրինակ.

Օրինակ 6

Տրվում են միավորներ և ուղիղ գիծ: Նշված կետերի մեջ գտիր այն կետերը, որոնք ծագման հետ միասին ընկած են տրված ուղիղ գծի մի կողմում:

Մի փոքր հուշում. Նախ պետք է կազմեք անհավասարություն, որը սահմանում է այն կես ինքնաթիռը, որի ծագումը գտնվում է: Վերլուծական լուծում և պատասխան դասի վերջում:

Գծային անհավասարությունների համակարգեր

Գծային անհավասարությունների համակարգը, ինչպես հասկանում եք, մի համակարգ է, որը բաղկացած է մի քանի անհավասարություններից: Լոլ, լավ, ես տվեցի սահմանումը =) Ոզնին ոզնի է, դանակը ՝ դանակ: Բայց ճշմարտությունն այն է, որ պարզվեց պարզ և մատչելի: Ոչ, լուրջ, ես չեմ ուզում ընդհանուր առմամբ որոշ օրինակներ բերել, այնպես որ եկեք ուղիղ անցնենք հրատապ հարցերին.

Ի՞նչ է նշանակում լուծել գծային անհավասարությունների համակարգ:

Լուծել գծային անհավասարությունների համակարգը- դա նշանակում է գտնել ինքնաթիռի կետերի բազմությունըորոնք բավարարում են յուրաքանչյուրինհամակարգի անհավասարություն:

Որպես ամենապարզ օրինակներ, հաշվի առեք անհավասարությունների համակարգերը, որոնք որոշում են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի կոորդինատային քառորդները («երկուսի գործիչը» դասի հենց սկզբում է).

Անհավասարությունների համակարգը սահմանում է առաջին կոորդինատային եռամսյակը (վերին աջ): Առաջին եռամսյակի ցանկացած կետի կոորդինատներ, օրինակ, և այլն բավարարել յուրաքանչյուրինայս համակարգի անհավասարությունը:

Նմանապես ՝
- անհավասարությունների համակարգը սահմանում է երկրորդ կոորդինատային եռամսյակը (վերին ձախ);
- անհավասարությունների համակարգը սահմանում է երրորդ կոորդինատ եռամսյակը (ներքևի ձախ);
- անհավասարությունների համակարգը սահմանում է չորրորդ կոորդինատ եռամսյակը (ներքևի աջ):

Գծային անհավասարությունների համակարգը կարող է լուծումներ չունենալ, այսինքն ՝ լինել անհամապատասխան... Կրկին ամենապարզ օրինակը. Միանգամայն ակնհայտ է, որ «X» - ը չի կարող միաժամանակ լինել երեքից ավելին և երկուից պակաս:

Անհավասարությունների համակարգի լուծումը կարող է լինել ուղիղ գիծ, ​​օրինակ ՝ Կարապ, քաղցկեղ, առանց կարկաչի, սայլը քաշեք երկու տարբեր ուղղություններով: Այո, ամեն ինչ դեռ առկա է. Այս համակարգի լուծումը ուղղակի լուծում ունի:

Բայց ամենատարածված դեպքը, երբ համակարգի լուծումը որոշ է ինքնաթիռի տարածք. Լուծման տարածքըՄիգուցե չի սահմանափակվում(օրինակ ՝ կոորդինատային եռամսյակները) կամ սահմանափակ... Սահմանվում է սահմանափակ լուծման տարածք լուծման պոլիգոն համակարգ.

Օրինակ 7

Լուծել գծային անհավասարությունների համակարգը

Գործնականում, շատ դեպքերում, դուք պետք է գործ ունենաք ոչ խիստ անհավասարությունների հետ, այնպես որ դրանք կուղեկցեն դասի մնացած մասը:

Որոշումայն փաստը, որ չափազանց շատ անհավասարություններ կան, չպետք է վախեցնի: Քանի՞ անհավասարություն կարող է լինել համակարգում:Այո, որքան անհրաժեշտ է: Հիմնական բանը լուծման տիրույթի կառուցման ռացիոնալ ալգորիթմի հավատարմությունն է.

1) Նախ, մենք գործ ունենք ամենապարզ անհավասարությունների հետ: Անհավասարությունները սահմանում են կոորդինատների առաջին եռամսյակը, ներառյալ կոորդինատային առանցքների սահմանը: Դա արդեն շատ ավելի հեշտ է, քանի որ որոնման տարածքը զգալիորեն նեղացել է: Նկարում անմիջապես նետերով նշեք համապատասխան կիսաեզրափակիչները (կարմիր և կապույտ սլաքներ)

2) Երկրորդ ամենապարզ անհավասարությունը. Այստեղ «խաղ» չկա: Նախ, մենք կառուցում ենք գիծը ինքնուրույն, և, երկրորդ, անհավասարությունը ձևափոխելուց հետո անմիջապես պարզ է դառնում, որ բոլոր «x» –ները 6-ից պակաս են: Մենք համապատասխան սլաքները նշում ենք կանաչ սլաքներով: Դե, որոնման տարածքը նույնիսկ փոքրացել է. Վերևից այդպիսի անսահման ուղղանկյուն:

3) Վերջին քայլում մենք անհավասարությունները լուծում ենք «լրիվ զինամթերքով». Մենք նախորդ պարբերությունում մանրամասն ուսումնասիրեցինք լուծման ալգորիթմը: Մի խոսքով. Նախ կառուցում ենք ուղիղ գիծ, ​​այնուհետև օգտագործելով փորձարարական կետը գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ կես ինքնաթիռը:

Կանգնեք երեխաներին, կանգնեք շրջանագծի մեջ.


Համակարգի լուծույթի տարածքը բազմանկյուն է, գծապատկերում այն ​​ուրվագծվում է կարմրավուն գծով և ստվերում: Մի փոքր գերակատարել =) Նոթատետրում բավական է կա՛մ ստվերել լուծումների տարածքը, կա՛մ պարզ մատիտով այն ավելի համարձակ շրջապատել:

Այս բազմանկյունի ցանկացած կետ բավարարում է համակարգի ԲՈԼՈՐ անհավասարությունը (կարող եք ստուգել հետաքրքրությունը):

ՊատասխանելՀամակարգի լուծումը բազմանկյուն է:

Մաքուր օրինակի գրանցվելիս լավ կլինի մանրամասն նկարագրել, թե որ կետերում եք գծեր կառուցել (տե՛ս դասը) Ֆունկցիայի գծապատկերներ և հատկություններ), և ինչպես են որոշվել կիսահարթակները (տե՛ս այս դասի առաջին պարբերությունը): Այնուամենայնիվ, գործնականում, շատ դեպքերում, ձեզ կվճարեն հենց ճիշտ նկարը: Հաշվարկներն իրենք կարող են իրականացվել նախագծի վրա կամ նույնիսկ բանավոր:

Համակարգի լուծումների բազմանկյունից բացի, գործնականում, չնայած պակաս հաճախ, կա բաց տարածք: Ինքներդ փորձեք հետևյալ օրինակը: Չնայած ճշգրտության համար այստեղ խոշտանգում չկա. Շինարարության ալգորիթմը նույնն է, պարզապես տարածքը կվերածվի անսահմանափակ:

Օրինակ 8

Լուծել համակարգը

Դասի վերջում լուծում և պատասխան: Ստացված տարածքի գագաթների համար, ամենայն հավանականությամբ, կունենաք տարբեր տառեր: Դա կարեւոր չէ, գլխավորն այն է, որ գագաթները ճիշտ գտնեն ու տարածքը ճիշտ կառուցեն:

Հազվադեպ չէ, երբ առաջադրանքներում պահանջվում է ոչ միայն կառուցել համակարգի լուծույթի տարածքը, այլև գտնել տարածքի գագաթների կոորդինատները: Նախորդ երկու օրինակներում այս կետերի կոորդինատներն ակնհայտ էին, բայց գործնականում ամեն ինչ հեռու է սառույցից.

Օրինակ 9

Լուծեք համակարգը և գտեք ստացված տարածքի գագաթների կոորդինատները

Որոշում: գծագրության վրա պատկերել այս համակարգի լուծումների տարածքը: Անհավասարությունը սահմանում է ձախ կես ինքնաթիռը օրդինատի հետ, և այստեղ այլևս ազատ ազատ չկա: Մաքուր օրինակի / նախագծի կամ խորը մտածողության գործընթացների վրա հաշվարկներից հետո մենք ստանում ենք լուծման հետևյալ տարածքը.

տե՛ս նաև գծային ծրագրավորման խնդրի լուծում գծապատկերորեն, գծային ծրագրավորման խնդիրների կանոնական ձև

Նման խնդրի սահմանափակումների համակարգը բաղկացած է երկու փոփոխականների անհավասարություններից.
և օբյեկտիվ ֆունկցիան ունի ձև Ֆ = Գ 1 x + Գ 2 յառավելագույնի հասցնել:

Եկեք պատասխանենք հարցին. Ի՞նչ զույգ թվեր ( x; յ) արդյո՞ք անհավասարությունների համակարգի լուծումներ են, այսինքն ՝ միաժամանակ բավարարում են անհավասարություններից յուրաքանչյուրը: Այլ կերպ ասած, ի՞նչ է նշանակում համակարգը գրաֆիկորեն լուծել:
Նախ, պետք է հասկանաք, թե որն է երկու անհայտների հետ մեկ գծային անհավասարության լուծումը:
Գծային անհավասարության լուծումը երկու անհայտներով նշանակում է որոշել անհայտների բոլոր զույգ արժեքները, որոնց համար բավարարվում է անհավասարությունը:
Օրինակ ՝ անհավասարությունը 3 x – 5յ 42 ֆունտը բավարարում է զույգերին ( x , յ): (100, 2); (3, –10) և այլն: Խնդիրը բոլոր նման զույգերը գտնելն է:
Դիտարկենք երկու անհավասարություն. կացին + կողմից≤ գ, կացին + կողմից≥ գ... Ուղիղ կացին + կողմից = գհարթությունը բաժանում է երկու կիսա հարթության, որպեսզի դրանցից մեկի կետերի կոորդինատները բավարարեն անհավասարությունը կացին + կողմից >գիսկ մյուս անհավասարությունը կացին + +կողմից <գ.
Իրոք, վերցրու մի կետ կոորդինատով x = x 0; այնուհետև ուղիղ գծի վրա ընկած և աբսիսսա ունեցող կետ x 0, ունի ձեռնադրված

Թույլ տվեք որոշակիությունը ա& lt 0, բ>0, գ> 0 Աբսիսսայով բոլոր կետերը x 0 պառկած վերևում Պ(օրինակ, կետ Մ) ունեն y Մ>յ 0, և կետից ներքև գտնվող բոլոր կետերը Պ, աբսցիսայով x 0, ունենալ y N<յ 0 Այնքանով, որքանով x 0-ը կամայական կետ է, ապա ուղիղ գծի մի կողմում միշտ կլինեն կետեր, որոնց համար կացին+ կողմից > գկազմելով կես ինքնաթիռ, իսկ մյուս կողմից ՝ կետեր, որոնց համար կացին + կողմից< գ.

Նկար 1

Կես հարթության անհավասարության նշանը կախված է թվերից ա, բ , գ.
Սա ենթադրում է երկու փոփոխականների գծային անհավասարությունների համակարգերի գրաֆիկական լուծման համար հետևյալ մեթոդը: Համակարգը լուծելու համար դուք պետք է.

1. Յուրաքանչյուր անհավասարության համար գրի՛ր տրված անհավասարությանը համապատասխանող հավասարումը:
2. Կառուցեք ուղիղ գծեր, որոնք հավասարումների միջոցով սահմանված գործառույթների գծապատկերներ են:
3. Յուրաքանչյուր ուղիղ գծի համար որոշեք կես հարթությունը, որը տալիս է անհավասարությունը: Դա անելու համար վերցրեք կամայական կետ, որը չի գտնվում ուղիղ գծի վրա, փոխարինեք դրա կոորդինատները անհավասարության մեջ: եթե անհավասարությունը ճիշտ է, ապա ընտրված կետը պարունակող կես հարթությունը լուծում է բուն անհավասարությանը: Եթե ​​անհավասարությունը ճիշտ չէ, ապա ուղիղ գծի մյուս կողմում գտնվող կիսա հարթությունը այս անհավասարության լուծումների ամբողջությունն է:
4. Անհավասարությունների համակարգը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել բոլոր կիսահարթակների խաչմերուկի տարածքը, որոնք լուծում են համակարգում առկա յուրաքանչյուր անհավասարության:

Այս տարածքը կարող է դատարկ լինել, ապա անհավասարությունների համակարգը լուծումներ չունի, անհամապատասխան է: Հակառակ դեպքում նշվում է, որ համակարգը համատեղելի է:
Կարող են լինել վերջավոր թիվ և անսահման թվով լուծումներ: Տարածքը կարող է լինել փակ բազմանկյուն կամ կարող է լինել անսահմանափակ:

Եկեք դիտենք երեք համապատասխան օրինակներ:

Օրինակ 1. Համակարգը լուծել գրաֆիկորեն.
x + y - 1 ≤ 0;
–2x - 2յ + 5 ≤ 0.

• համարեք անհավասարություններին համապատասխան x + y - 1 = 0 և –2x - 2y + 5 = 0 հավասարումները.
• մենք կառուցում ենք այս հավասարումներով տրված ուղիղ գծերը:

Նկար 2

Եկեք որոշենք անհավասարությունների կողմից տրված կիսամակարդակները: Վերցրեք կամայական կետ, թող (0; 0): Հաշվի առեք x+ y– 1 0, փոխարինել կետը (0; 0) ՝ 0 + 0 - 1 ≤ 0. Հետևաբար, այն կիսահարթակում, որտեղ ընկած է կետը (0; 0), x + յ – 1 ≤ 0, այսինքն. գծից ներքև գտնվող կես ինքնաթիռը լուծում է առաջին անհավասարությանը: Փոխարինելով այս կետը (0; 0), երկրորդի մեջ ստանում ենք ՝ –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, այսինքն կես ինքնաթիռում, որտեղ ընկած է կետը (0; 0), –2 x – 2յ+ 5≥ 0, և մեզ հարցրեցին, թե որտեղ -2 x – 2յ+ 5 ≤ 0, հետևաբար, մյուս կես հարթությունում `այն գծից բարձր:
Եկեք գտնենք այս երկու կես ինքնաթիռների խաչմերուկը: Գծերը զուգահեռ են, ուստի ինքնաթիռները ոչ մի տեղ չեն հատվում, ինչը նշանակում է, որ այդ անհավասարությունների համակարգը լուծումներ չունի, անհամատեղելի է:

Օրինակ 2. Գտեք անհավասարությունների համակարգի գրաֆիկական լուծումներ.

Նկար 3
1. Եկեք գրենք անհավասարություններին համապատասխան հավասարումները և կառուցենք ուղիղ գծեր:
x + 2յ– 2 = 0

x	2	0
յ	0	1

յ – x – 1 = 0

x	0	2
յ	1	3

յ + 2 = 0;
յ = –2.
2. Ընտրելով կետը (0; 0), մենք սահմանում ենք անհավասարությունների նշանները կիսահարթերում.
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, այսինքն. x + 2յ- 2 ≤ 0 ուղիղ գծի տակ գտնվող կես հարթությունում;
0 - 0 - 1 ≤ 0, այսինքն. յ –x- 1 ≤ 0 ուղիղ գծի տակ գտնվող կես հարթությունում;
0 + 2 = 2 ≥ 0, այսինքն. յ+ 2 ≥ 0 ուղիղ գծի վերևում գտնվող կես հարթությունում:
3. Այս երեք կիսահարթակների խաչմերուկը կլինի եռանկյուն կազմող տարածաշրջան: Դժվար չէ գտնել տարածաշրջանի գագաթները որպես համապատասխան գծերի խաչմերուկի կետեր


Այս կերպ, ԲԱՅ(–3; –2), ԻՆ(0; 1), -Ից(6; –2).

Եկեք քննարկենք ևս մեկ օրինակ, որի արդյունքում համակարգի լուծման տարածքը սահմանափակված չէ:

Այս հոդվածը ներկայացնում է անհավասարության համակարգերի ներածություն: Ահա անհավասարությունների համակարգի սահմանումը և անհավասարությունների համակարգի լուծման սահմանում: Այն նաև թվարկում է համակարգերի հիմնական տեսակները, որոնց հետ դպրոցում հաճախ պետք է աշխատել հանրահաշվի դասերին և օրինակներ բերել:

Էջի նավիգացիա:

Ի՞նչ է անհավասարությունների համակարգը:

Հավասար է անհավասարությունների համակարգերը սահմանել այնպես, ինչպես մենք ներկայացրեցինք հավասարումների համակարգի սահմանումը, այսինքն `ըստ նշման տեսակի և դրանում ներառված իմաստի:

Սահմանում

Անհավասարությունների համակարգՄի՞թե մի նիշ է, որը ներկայացնում է միմյանց տակ գրված մի շարք անհավասարություններ, որոնք միավորված են ձախ կողմում գանգուր ամրացմամբ, և նշանակում է բոլոր լուծումների բազմությունը, որոնք միաժամանակ համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարության լուծումներ են:

Եկեք բերենք անհավասարությունների համակարգի օրինակ: Վերցրեք երկու կամայական, օրինակ ՝ 2 x - 3> 0 և 5 - x≥4 x - 11, գրեք դրանք մեկը մյուսի տակ
2 x - 3> 0,
5 - x≥4 x - 11
և միավորվել համակարգի նշանով `գանգուր ամրացում, արդյունքում մենք ստանում ենք հետևյալ ձևի անհավասարությունների համակարգ

Նմանապես տրված է դպրոցական դասագրքերում անհավասարության համակարգերի գաղափարը: Պետք է նշել, որ դրանցում սահմանումները տրված են ավելի նեղ ՝ մեկ փոփոխականի հետ անհավասարությունների համար կամ երկու փոփոխականով:

Անհավասարությունների համակարգերի հիմնական տեսակները

Հասկանալի է, որ անհավասարությունների անսահմանորեն շատ տարբեր համակարգեր կարելի է կազմել: Այս բազմազանության մեջ չկորցնելու համար խորհուրդ է տրվում հաշվի առնել նրանց խմբերում, որոնք ունեն իրենց առանձնահատուկ առանձնահատկությունները: Անհավասարությունների բոլոր համակարգերը կարելի է բաժանել խմբերի `համաձայն հետևյալ չափանիշների.

• համակարգում առկա անհավասարությունների քանակով.
• գրառմանը մասնակցող փոփոխականների քանակով.
• ըստ իրենց անհավասարությունների ձևի:

Ըստ գրառման մեջ ներառված անհավասարությունների քանակի, առանձնանում են երկու, երեք, չորս և այլն համակարգեր: անհավասարություններ Նախորդ պարբերությունում մենք օրինակ բերեցինք մի համակարգի, որը երկու անհավասարությունների համակարգ է: Եկեք ցույց տանք չորս անհավասարությունների համակարգի մեկ այլ օրինակ .

Առանձին-առանձին մենք կասենք, որ անիմաստ է խոսել մեկ անհավասարության համակարգի մասին, այս դեպքում, ըստ էության, խոսքն ինքնին անհավասարության մասին է, ոչ թե համակարգի:

Եթե ​​նայենք փոփոխականների քանակին, ապա ունենք անհավասարությունների համակարգեր մեկով, երկուով, երեքով և այլն: փոփոխականներ (կամ, ինչպես ասում են, անհայտ են): Նայեք վերևում երկու պարբերություն գրված անհավասարությունների վերջին համակարգին: Այն x, y և z երեք փոփոխականներով համակարգ է: Նկատենք, որ դրա առաջին երկու անհավասարությունները չեն պարունակում բոլոր երեք փոփոխականները, այլ միայն դրանցից մեկը: Այս համակարգի համատեքստում դրանք պետք է հասկանալ որպես անհավասարություններ x + 0 y + 0 z≥ - ձևի համապատասխանաբար 2 և 0 x + y + 0 ձևի երեք փոփոխականներով: Նշենք, որ դպրոցը կենտրոնանում է մեկ փոփոխական անհավասարությունների վրա:

Մնում է քննարկել, թե ինչ տեսակի անհավասարություններ են ընդգրկված համակարգերի ձայնագրման մեջ: Դպրոցում նրանք հիմնականում հաշվի են առնում երկու անհավասարությունների համակարգեր (պակաս հաճախ `երեք, նույնիսկ պակաս հաճախ` չորս կամ ավելի) մեկ կամ երկու փոփոխականով, և անհավասարություններն իրենք սովորաբար ամբողջական անհավասարություններառաջին կամ երկրորդ աստիճան (պակաս հաճախ `ավելի բարձր աստիճաններ կամ կոտորակային ռացիոնալ): Բայց մի զարմացեք, եթե OGE- ի նախապատրաստական ​​նյութերում բախվեք անհավասարությունների համակարգերի, որոնք պարունակում են իռացիոնալ, լոգարիթմական, էքսպոնենտալ և այլ անհավասարություններ: Որպես օրինակ ՝ մենք տալիս ենք անհավասարությունների համակարգը , վերցված է դրանից:

Ի՞նչ է կոչվում անհավասարությունների համակարգի լուծում:

Եկեք ներկայացնենք մեկ այլ սահմանում `կապված անհավասարությունների համակարգերի հետ` անհավասարությունների համակարգի լուծման սահմանում.

Սահմանում

Մեկ փոփոխականի հետ անհավասարությունների համակարգ լուծելովկոչվում է փոփոխականի այնպիսի արժեք, որը համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարությունից ճշմարիտ է դարձնում, այլ կերպ ասած, որը լուծում է համակարգում առկա յուրաքանչյուր անհավասարության:

Բացատրենք մի օրինակով: Եկեք վերցնենք երկու անհավասարությունների համակարգ մեկ փոփոխականով: Վերցրեք x փոփոխականի արժեքը հավասար է 8-ի, դա ըստ որոշման լուծում է մեր անհավասարությունների համակարգին, քանի որ դրա փոխարինումը համակարգի անհավասարություններին տալիս է երկու իրական թվային անհավասարություն 8> 7 և 2−3 · 8≤0: Ընդհակառակը, մեկը համակարգի լուծում չէ, քանի որ երբ այն փոխարինվում է x փոփոխականով, առաջին անհավասարությունը վերածվում է սխալ թվային անհավասարության 1> 7:

Նմանապես, մենք կարող ենք ներկայացնել երկու, երեք և ավելի փոփոխականներով անհավասարությունների համակարգի լուծման սահմանում.

Սահմանում

Լուծելով անհավասարությունների համակարգ `երկուսով, երեքով և այլն: փոփոխականներկոչվում է զույգ, երեք և այլն: այս փոփոխականների արժեքները, ինչը միևնույն ժամանակ լուծում է համակարգում առկա յուրաքանչյուր անհավասարության, այսինքն `համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարությունը վերածում է իրական թվային անհավասարության:

Օրինակ, x = 1, y = 2 կամ մեկ այլ նշումով (1, 2) զույգ արժեքները լուծում են երկու փոփոխականներով անհավասարությունների համակարգի, քանի որ 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Անհավասարությունների համակարգերը կարող են լուծումներ չունենալ, կարող են ունենալ վերջնական քանակի լուծումներ կամ անսահման շատ լուծումներ ունենալ: Հաճախ ասվում է անհավասարությունների համակարգի լուծումների ամբողջության մասին: Երբ համակարգը չունի լուծումներ, այդ դեպքում կա դրա լուծումների դատարկ փաթեթ: Երբ կան վերջավոր քանակի լուծումներ, ապա լուծումների բազմությունը պարունակում է վերջավոր թվով տարրեր, իսկ երբ անսահման շատ լուծումներ կան, ապա լուծումների բազմությունը բաղկացած է նաև անսահման թվով տարրերից:

Որոշ աղբյուրներում անհավասարությունների համակարգի որոշակի և ընդհանուր լուծման սահմանումներ են մտցվել, ինչպես, օրինակ, Մորդկովիչի դասագրքերում: Տակ անհավասարությունների համակարգի հատուկ լուծմամբհասկանալ նրա մեկ առանձին լուծումը: Իր հերթին անհավասարությունների համակարգի ընդհանուր լուծում- սրանք բոլորը նրա որոշումներն են: Այնուամենայնիվ, այս տերմիններն իմաստ ունեն միայն այն ժամանակ, երբ պահանջվում է ընդգծել, թե որ լուծումն է քննարկվում, բայց սովորաբար դա հասկանալի է համատեքստից, ուստի շատ ավելի հաճախ ասում են պարզապես «անհավասարությունների համակարգի լուծում»:

Այս հոդվածում ներկայացված անհավասարությունների համակարգի սահմանումներից և դրա լուծումներից բխում է, որ անհավասարությունների համակարգի լուծումը այս համակարգի բոլոր անհավասարությունների լուծումների բազմությունների խաչմերուկն է:

Մատենագիտություն.

1. Հանրահաշիվ:ուսումնասիրել 8 կլ-ի համար: ընդհանուր կրթություն: հաստատություններ / [Յու. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; խմբ. S. A. Telyakovsky. - 16-րդ հրատ. - Մ., Կրթություն, 2008 թ. - 271 էջ: : հիվանդ - ISBN 978-5-09-019243-9:
2. Հանրահաշիվ: 9-րդ դասարան ՝ դասագիրք: հանրակրթության համար: հաստատություններ / [Յու. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; խմբ. S. A. Telyakovsky. - 16-րդ հրատ. - Մ., Կրթություն, 2009 թ. - 271 էջ: : հիվանդ - ISBN 978-5-09-021134-5:
3. A. G. MordkovichՀանրահաշիվ 9-րդ դասարան: 2ամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով: - 13-րդ հրատ., Eնջված է: - Մ. ՝ Մնեմոսինա, 2011: - 222 էջ. Հիվանդ. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. A. G. MordkovichՀանրահաշիվ և մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբ: 11-րդ դասարան: 2ամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար (պրոֆիլի մակարդակ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-րդ խմբ., Ջնջվել է: - Մ. ՝ Մնեմոզինա, 2008 թ. - 287 էջ. Հիվանդ. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Միասնական պետական ​​քննություն-2013 թ. Մաթեմատիկա. Քննության տիպային տարբերակներ. 30 տարբերակ / խմբ. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - Մ. ՝ «Ազգային կրթություն» հրատարակչություն, 2012. - 192 էջ: - (Պետական ​​միասնական քննություն -2013. FIPI - դպրոց):