Sudėtinių skaičių faktorinavimas į pirminius veiksnius. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai

Bet kuris sudėtinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip pirminių daliklių sandauga:

28 = 2 2 7

Gautos lygybės dešiniosios pusės vadinamos pirminis faktorizavimas 15 ir 28 numeriai.

Suskaidyti duotą sudėtinį skaičių į pirminius veiksnius reiškia šį skaičių pateikti kaip pirminių koeficientų sandaugą.

Tam tikro skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius atliekamas taip:

Pirmiausia iš pirminių skaičių lentelės reikia pasirinkti mažiausią pirminį skaičių, dalijantį duotą sudėtinį skaičių be liekanos, ir atlikti padalijimą.
Tada vėl reikia pasirinkti mažiausią pirminį skaičių, iš kurio jau gautas koeficientas bus padalintas be liekanos.
Antrasis veiksmas kartojamas tol, kol bus gautas koeficientas.

Pavyzdžiui, suskaidykime skaičių 940 į pirminius koeficientus. Raskite mažiausią pirminį skaičių, padalijantį iš 940. Šis skaičius yra 2.

Dabar pasirenkame mažiausią pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 470. Šis skaičius vėl yra 2:

Mažiausias pirminis skaičius, kuris dalijasi iš 235, yra 5:

Skaičius 47 yra pirminis, reiškiantis mažiausią pirminis skaičius, kuris dalijasi iš 47, bus pats šis skaičius:

Taigi, gauname skaičių 940, įtrauktą į pirminius veiksnius:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Jei skaičių išskaidžius į pirminius veiksnius buvo gauti keli identiški veiksniai, trumpumo dėlei juos galima parašyti laipsnio forma:

940 = 2 2 5 47

Dekompoziciją į pirminius veiksnius patogiausia rašyti taip: pirmiausia užrašome šį sudėtinį skaičių ir į dešinę nuo jo nubrėžiame vertikalią liniją:

Dešinėje eilutės parašome mažiausią pirminį daliklį, iš kurio padalintas duotas sudėtinis skaičius:

Atliekame padalijimą ir po dividendu įrašome gautą koeficientą:

Su koeficientu elgiamės taip pat, kaip ir su duotu sudėtiniu skaičiumi, t.y., pasirenkame mažiausią pirminį skaičių, iš kurio jis dalinamas be liekanos, ir atliekame padalijimą. Ir tai kartojame, kol gauname koeficiento vienetą:

Atkreipkite dėmesį, kad kartais gali būti gana sunku įtraukti skaičių į pirminius veiksnius, nes faktorizavimo metu galime susidurti su dideliu skaičiumi, kurį sunku iš karto nustatyti, ar jis pirminis, ar sudėtinis. Ir jei jis yra sudėtinis, tada ne visada lengva rasti mažiausią pirminį daliklį.

Pabandykime, pavyzdžiui, padalyti skaičių 5106 į pirminius veiksnius:

Pasiekus koeficientą 851, sunku iš karto nustatyti mažiausią jo daliklį. Mes kreipiamės į pirminių skaičių lentelę. Jei jame yra skaičius, dėl kurio susiduriame su sunkumais, tada jis dalijasi tik iš savęs ir vieneto. Skaičiaus 851 pirminių skaičių lentelėje nėra, vadinasi, jis yra sudėtinis. Belieka jį nuoseklios paieškos būdu padalyti į pirminius skaičius: 3, 7, 11, 13, ... ir taip toliau, kol rasime tinkamą pirminį daliklį. Brutalia jėga nustatome, kad 851 dalijasi iš skaičiaus 23.

Ką reiškia faktoringas? Kaip tai padaryti? Ko galima pasimokyti iš skaičių įtraukimo į pirminius veiksnius? Atsakymai į šiuos klausimus iliustruojami konkrečiais pavyzdžiais.

Apibrėžimai:

Skaičius, turintis lygiai du skirtingus daliklius, vadinamas pirminiu.

Skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu.

Išskleisti natūralusis skaičius faktorius reiškia pavaizduoti jį kaip natūraliųjų skaičių sandaugą.

Suskaičiuoti natūralųjį skaičių į pirminius veiksnius reiškia pavaizduoti jį kaip pirminių skaičių sandaugą.

Pastabos:

Išplečiant pirminį skaičių, vienas iš veiksnių lygus vienam, o kitą – į patį šį numerį.
Nėra prasmės kalbėti apie faktoringo vienybę.
Sudėtinis skaičius gali būti įtrauktas į veiksnius, kurių kiekvienas skiriasi nuo 1.

	Paskaičiuokime skaičių 150. Pavyzdžiui, 150 yra 15 kartų 10. 15 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 3. 10 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 2. Rašydami jų skaidymus į pirminius koeficientus, o ne į 15 ir 10, gavome skaičiaus 150 skaidymą.
	Skaičius 150 gali būti padalytas kitu būdu. Pavyzdžiui, 150 yra skaičių 5 ir 30 sandauga. 5 yra pirminis skaičius. 30 yra sudėtinis skaičius. Tai gali būti laikoma 10 ir 3 sandauga. 10 yra sudėtinis skaičius. Jis gali būti įtrauktas į pirminius koeficientus 5 ir 2. Mes gavome 150 faktorių į pirminius veiksnius kitu būdu.
	Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis ir antrasis plėtiniai yra vienodi. Jie skiriasi tik veiksnių tvarka. Įprasta veiksnius rašyti didėjančia tvarka.
Kiekvienas sudėtinis skaičius gali būti suskirstytas į pirminius veiksnius unikaliu būdu, atsižvelgiant į veiksnių eilę.

Skilimo metu dideli skaičiai Pirminiams veiksniams naudokite stulpelio žymėjimą:

Mažiausias pirminis skaičius, kuris dalijasi iš 216, yra 2.

Padalinkite 216 iš 2. Gauname 108.

Gautas skaičius 108 yra padalintas iš 2.

Atlikime padalijimą. Rezultatas - 54.

Pagal dalijimosi iš 2 testą, skaičius 54 dalijasi iš 2.

Padalijus gauname 27.

Skaičius 27 baigiasi nelyginiu skaitmeniu 7. Tai

Nedalijamas iš 2. Kitas pirminis skaičius yra 3.

Padalinkite 27 iš 3. Gauname 9. Mažiausias pirminis

Skaičius, iš kurio 9 dalijasi, yra 3. Pats trys yra pirminis skaičius, jis dalijasi iš savęs ir vieneto. Padalinkime 3 iš savęs. Galų gale gavome 1.

Skaičius dalijasi tik iš tų pirminių skaičių, kurie yra jo skaidymo dalis.
Skaičius dalijasi tik į tuos sudėtinius skaičius, kurių skaidymas į pirminius veiksnius yra visiškai jame.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

4900 dalijasi iš pirminių skaičių 2, 5 ir 7 (jie įtraukiami į skaičiaus 4900 išplėtimą), bet nesidalija, pavyzdžiui, iš 13.

11 550 75. Taip yra todėl, kad skaičiaus 75 skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus 11550 skaidymą.

Padalijimo rezultatas bus 2, 7 ir 11 koeficientų sandauga.

11550 nesidalija iš 4, nes išplečiant keturis yra papildomi du.

Raskite skaičiaus a dalijimosi iš skaičiaus b koeficientą, jei šie skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius taip: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Skaičiaus b skaidymas yra visiškai įtrauktas į skaičiaus a skaidymą.

A dalijimo iš b rezultatas yra trijų skaičių, likusių a plėtinyje, sandauga.

Taigi atsakymas yra: 30.

Bibliografija

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012 m.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6 klasė. - Gimnazija. 2006 m.
Depmanas I.Ya., Vilenkinas N.Ya. Už matematikos vadovėlio puslapių. - M.: Išsilavinimas, 1989 m.
Rurukinas A.N., Čaikovskis I.V. Matematikos kurso užduotys 5-6 kl. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
Rurukinas A.N., Sočilovas S.V., Čaikovskis K.G. Matematika 5-6. Vadovas MEPhI neakivaizdinės mokyklos 6 klasės mokiniams. - M.: ZSh MEPhI, 2011 m.
Ševrinas L.N., Geinas A.G., Koryakovas I.O., Volkovas M.V. Matematika: Vadovėlis-pašnekovas 5-6 kl vidurinė mokykla. - M.: Edukacija, Matematikos mokytojų biblioteka, 1989 m.

Interneto portalas Matematika-na.ru ().
Interneto portalas Math-portal.ru ().

Namų darbai

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr.127, Nr.129, Nr.141.
Kitos užduotys: Nr.133, Nr.144.

Ką reiškia faktoringas? Tai reiškia, kad reikia rasti skaičius, kurių sandauga yra lygi pradiniam skaičiui.

Norėdami suprasti, ką reiškia faktorius, pažvelkime į pavyzdį.

Skaičiaus faktoringo pavyzdys

Paskaičiuokite skaičių 8.

Skaičius 8 gali būti pavaizduotas kaip sandauga iš 2 iš 4:

Atstovauti 8 kaip sandaugą iš 2 * 4 reiškia faktorizaciją.

Atkreipkite dėmesį, kad tai nėra vienintelis koeficientas 8.

Galų gale, 4 koeficientas yra toks:

Iš čia gali būti atstovaujama 8:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Patikrinkime savo atsakymą. Raskime, kam lygi faktorizacija:

Tai yra, mes gavome pradinį numerį, atsakymas yra teisingas.

Padalinkite skaičių 24 į pirminius veiksnius

Kaip apskaičiuoti skaičių 24 į pirminius veiksnius?

Skaičius vadinamas pirminiu, jei jis dalijasi tik iš vieneto ir savęs.

Skaičius 8 gali būti pavaizduotas kaip 3 ir 8 sandauga:

Čia skaičius 24 yra koeficientas. Tačiau užduotyje sakoma, kad „padalinkite skaičių 24 į pirminius veiksnius“, t.y. Tai yra pagrindiniai veiksniai, kurių reikia. Ir mūsų plėtinyje 3 yra pagrindinis veiksnys, o 8 nėra pagrindinis veiksnys.

Bet koks sudėtinis skaičius gali būti padalytas į pirminius veiksnius. Gali būti keli skaidymo būdai. Bet kuris metodas duoda tą patį rezultatą.

Kaip labiausiai įtraukti skaičių į pirminius veiksnius patogiu būdu? Pažiūrėkime, kaip geriausia tai padaryti, naudodami konkrečius pavyzdžius.

Pavyzdžiai. 1) Padalinkite skaičių 1400 į pirminius koeficientus.

1400 dalijasi iš 2. 2 yra pirminis skaičius, jo nereikia skaičiuoti. Gauname 700. Padalijame iš 2. Gauname 350. Taip pat 350 padalijame iš 2. Gautą skaičių 175 galima padalyti iš 5. Rezultatas yra 35 – vėl padalinti iš 5 Iš viso – 7. Galima padalyti tik iš 7. Gauname 1, padaliname.

Tas pats skaičius gali būti koeficientas skirtingai:

1400 patogu padalyti iš 10. 10 nėra pirminis skaičius, todėl jį reikia įskaičiuoti į pirminius koeficientus: 10=2∙5. Rezultatas 140. Dar kartą padalijame iš 10=2∙5. Gauname 14. Jei 14 dalijamas iš 14, tai jis taip pat turėtų būti išskaidytas į pirminių koeficientų sandaugą: 14=2∙7.

Taigi mes vėl priėjome prie to paties skilimo, kaip ir pirmuoju atveju, bet greičiau.

Išvada: skaidant skaičių, nebūtina jo skirstyti tik į pirminius veiksnius. Daliname iš to, kas patogiau, pavyzdžiui, iš 10. Tik reikia nepamiršti sudėtinius daliklius išskaidyti į paprastus veiksnius.

2) Padalinkite skaičių 1620 į pirminius koeficientus.

Patogiausia skaičių 1620 padalyti iš 10. Kadangi 10 nėra pirminis skaičius, jį pavaizduojame kaip pirminių koeficientų sandaugą: 10=2∙5. Gavome 162. Patogu dalinti iš 2. Rezultatas – 81. Skaičius 81 gali būti dalinamas iš 3, bet iš 9 patogiau. Kadangi 9 nėra pirminis skaičius, išplečiame jį kaip 9=3∙3. Gauname 9. Taip pat padalijame iš 9 ir išplečiame į pirminių faktorių sandaugą.

Kas nutiko faktorizacija? Tai būdas nepatogų ir sudėtingą pavyzdį paversti paprastu ir mielu.) Labai galinga technika! Jis randamas kiekviename žingsnyje tiek pradinėje, tiek aukštojoje matematikoje.

Tokios transformacijos matematinėje kalboje vadinamos identiškomis išraiškų transformacijomis. Kas nežino, pažiūrėkite nuorodą. Ten labai mažai, paprasta ir naudinga.) Bet kokios tapatybės transformacijos prasmė yra išraiškos įrašymas kitoje formoje išlaikant savo esmę.

Reikšmė faktorizavimas labai paprastas ir aiškus. Jau nuo paties pavadinimo. Galite pamiršti (arba nežinote), kas yra daugiklis, bet galite suprasti, kad šis žodis kilęs iš žodžio „dauginti“?) Faktoringas reiškia: reiškia išraišką ką nors padauginus iš kažko. Tegu atleidžia man matematika ir rusų kalba...) Tai viskas.

Pavyzdžiui, reikia išplėsti skaičių 12. Galite drąsiai rašyti:

Taigi skaičių 12 pateikėme kaip 3 padaugintą iš 4. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai dešinėje (3 ir 4) yra visiškai kitokie nei kairėje (1 ir 2). Bet mes puikiai suprantame, kad 12 ir 3 4 tas pats. Skaičiaus 12 esmė iš transformacijos nepasikeitė.

Ar įmanoma 12 skaidyti skirtingai? Lengvai!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=......

Dekompozicijos parinktys yra neribotos.

Skaičių faktorius yra naudingas dalykas. Tai labai padeda, pavyzdžiui, dirbant su šaknimis. Tačiau algebrinių išraiškų faktorinavimas yra ne tik naudingas, bet ir būtina! Tiesiog pvz:

Supaprastinti:

Tie, kurie nemoka vertinti išraiškos, ilsisi nuošalyje. Tie, kurie žino, kaip – supaprastinkite ir gaukite:

Poveikis nuostabus, tiesa?) Beje, sprendimas gana paprastas. Pamatysite patys žemiau. Arba, pavyzdžiui, ši užduotis:

Išspręskite lygtį:

x 5 - x 4 = 0

Tai, beje, sprendžiama mintyse. Naudojant faktorizaciją. Mes išspręsime šį pavyzdį žemiau. Atsakymas: x 1 = 0; x 2 = 1.

Arba tas pats, bet vyresniems):

Išspręskite lygtį:

Šiuose pavyzdžiuose aš parodžiau Pagrindinis tikslas faktorizavimas: trupmeninių išraiškų supaprastinimas ir kai kurių tipų lygčių sprendimas. Rekomenduoju prisiminti nykščio taisyklė:

Jei priešais mus yra baisi trupmeninė išraiška, galime pabandyti įtraukti skaitiklį ir vardiklį. Labai dažnai frakcija sumažinama ir supaprastinama.

Jei prieš mus yra lygtis, kur dešinėje yra nulis, o kairėje, nesuprantu, ką, galime pabandyti koeficientuoti kairę pusę. Kartais tai padeda).

Pagrindiniai faktorizavimo metodai.

Čia yra populiariausi metodai:

4. Kvadratinio trinalio išplėtimas.

Šiuos metodus reikia atsiminti. Būtent tokia tvarka. Tikrinami sudėtingi pavyzdžiai visiems galimi būdai skilimas. Ir geriau patikrinti eilės tvarka, kad nesusipainiotumėte... Taigi pradėkime iš eilės.)

1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų.

Paprasta ir patikimu būdu. Nieko blogo iš jo nekyla! Tai arba gerai, arba visai ne.) Štai kodėl jis yra pirmas. Išsiaiškinkime.

Visi žino (tikiu!) taisyklę:

a(b+c) = ab+ac

Arba daugiau bendras vaizdas:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Visos lygybės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek atvirkščiai, iš dešinės į kairę. Tu gali rašyti:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Visa tai yra bendro veiksnio išėmimo iš skliaustų esmė.

Kairėje pusėje A - bendras daugiklis visoms sąlygoms. Padauginta iš visko, kas egzistuoja). Dešinėje yra labiausiai A jau yra įsikūręs skliausteliuose.

Praktinis naudojimas Pažvelkime į metodą naudodami pavyzdžius. Iš pradžių variantas yra paprastas, net primityvus.) Bet apie šią parinktį atkreipsiu dėmesį ( žalias) Labai svarbius punktus bet kokiai faktorizacijai.

Faktorizuoti:

ah+9x

Kuris bendras ar daugiklis rodomas abiejose sąlygose? X, žinoma! Išdėsime jį iš skliaustų. Padarykime tai. Iš karto už skliaustų rašome X:

ax+9x=x(

Ir skliausteliuose rašome padalijimo rezultatą kiekvienas terminas apie tai X. Eilės tvarka:

Tai viskas. Žinoma, nereikia to taip smulkiai aprašyti, tai daroma mintyse. Tačiau patartina suprasti, kas yra kas). Į atmintį įrašome:

Bendrąjį koeficientą rašome už skliaustų. Skliausteliuose rašome visų terminų padalijimo iš šio bendro koeficiento rezultatus. tvarka.

Taigi mes išplėtėme išraišką ah+9x pagal daugiklius. Pavertė jį x padauginimu iš (a+9). Pastebiu, kad pradinėje išraiškoje taip pat buvo daugyba, net du: a·x ir 9·x. Bet tai nebuvo faktorizuotas! Kadangi, be daugybos, šioje išraiškoje taip pat buvo pridėjimas, „+“ ženklas! Ir išraiškoje x(a+9) Nėra nieko, išskyrus dauginimą!

Kaip tai!? - Girdžiu pasipiktinę žmonių balsą - Ir skliausteliuose!?)

Taip, skliausteliuose yra papildymas. Tačiau gudrybė ta, kad nors skliausteliai neatidaromi, mes juos svarstome kaip viena raidė. Ir mes atliekame visus veiksmus su skliausteliais, kaip su viena raide.Šia prasme, išraiška x(a+9) Nėra nieko, išskyrus dauginimą. Tai yra visa faktorizavimo esmė.

Beje, ar galima kaip nors patikrinti, ar viską padarėme teisingai? Lengvai! Užtenka padauginti tai, ką išdėjai (x) iš skliaustų ir pažiūrėti, ar pavyko originalus išraiška? Jei tai veikia, viskas puiku!)

x(a+9)=ax+9x

Įvyko.)

Šiame primityviame pavyzdyje problemų nėra. Bet jei yra keli terminai ir net su skirtingi ženklai... Trumpai tariant, kas trečias mokinys susipainioja). Todėl:

Jei reikia, patikrinkite faktorizaciją atvirkštine daugyba.

Faktorizuoti:

3ax+9x

Ieškome bendro faktoriaus. Na, su X viskas aišku, galima išsiimti. Ar yra daugiau bendras veiksnys? Taip! Tai yra trejetas. Išraišką galite parašyti taip:

3ax+3 3x

Čia iš karto aišku, kad bendras veiksnys bus 3x. Čia mes jį išimame:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Išskleisti.

Kas atsitiks, jei jį išimsite tik x? Nieko ypatingo:

3ax+9x=x(3a+9)

Tai taip pat bus faktorizacija. Tačiau šiame jaudinantis procesasĮprasta viską išdėstyti kuo toliau, kol tai įmanoma. Čia skliausteliuose yra galimybė išleisti trejetą. Tai paaiškės:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Tas pats, tik su vienu papildomu veiksmu.) Atminkite:

Išimdami bendrąjį faktorių iš skliaustų, stengiamės išimti maksimalus bendras daugiklis.

Ar tęsime linksmybes?)

Apskaičiuokite išraišką:

3akh+9х-8а-24

Ką atimsime? Trys, X? Ne... Tu negali. Primenu, kad galima tik išimti bendras daugiklis tai yra iš viso išraiškos terminai. Štai kodėl jis bendras.Čia tokio daugiklio nėra... Ką, nereikia plėsti!? Na taip, buvome tokie laimingi... Susipažinkite:

2. Grupavimas.

Tiesą sakant, sunku pavadinti grupę nepriklausomu būdu faktorizavimas. Tai labiau būdas išeiti sudėtingas pavyzdys.) Reikia sugrupuoti terminus, kad viskas pavyktų. Tai galima parodyti tik pavyzdžiu. Taigi, turime posakį:

3akh+9х-8а-24

Aišku, kad kai kurie bendrosios raidės ir skaičiai yra. Bet... Generolas nėra daugiklio visais terminais. Nepameskime širdies ir suskaidyti išraišką į dalis. Sugrupuokime. Kad kiekvienas kūrinys turėtų bendrą veiksnį, yra ką išsinešti. Kaip mes jį sulaužome? Taip, mes tiesiog dedame skliaustus.

Priminsiu, kad skliaustus galima dėti bet kur ir kaip tik nori. Tiesiog pavyzdžio esmė nepasikeitė. Pavyzdžiui, galite tai padaryti:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Atkreipkite dėmesį į antruosius skliaustus! Prieš juos yra minuso ženklas ir 8a Ir 24 pasidarė teigiamas! Jei, norėdami patikrinti, atidarysime skliaustus atgal, ženklai pasikeis ir mes gausime originalus išraiška. Tie. posakio iš skliaustų esmė nepasikeitė.

Bet jei ką tik įterpėte skliaustus neatsižvelgdami į ženklo pasikeitimą, pavyzdžiui, taip:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

tai būtų klaida. Dešinėje – jau kitas išraiška. Atidarykite skliaustus ir viskas taps matoma. Jūs neprivalote toliau spręsti, taip...)

Bet grįžkime prie faktorizavimo. Pažvelkime į pirmuosius skliaustus (3ax+9x) ir mes galvojame, ar galime ką nors išimti? Na, mes išsprendėme šį pavyzdį aukščiau, galime jį priimti 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Išstudijuokime antruosius skliaustus, ten galime pridėti aštuonis:

(8a+24)=8(a+3)

Visa mūsų išraiška bus tokia:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorizuotas? Nr. Skilimo rezultatas turėtų būti tik daugyba Bet pas mus minuso ženklas sugadina viską. Bet... Abu terminai turi bendrą veiksnį! Tai (a+3). Ne veltui sakiau, kad visi skliaustai yra tarsi viena raidė. Tai reiškia, kad šiuos laikiklius galima išimti iš skliaustų. Taip, būtent taip ir skamba.)

Mes darome taip, kaip aprašyta aukščiau. Rašome bendrą koeficientą (a+3), antruose skliaustuose rašome rezultatus dalijant terminus iš (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Viskas! Dešinėje nėra nieko, išskyrus daugybą! Tai reiškia, kad faktorizavimas sėkmingai baigtas!) Štai:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Trumpai pakartokime grupės esmę.

Jei išraiška ne bendras daugiklis už Visi terminus, išraišką suskaidome į skliaustus, kad skliaustuose būtų bendras veiksnys buvo. Išimame ir žiūrime, kas atsitiks. Jei jums pasisekė ir skliausteliuose liko visiškai identiškų posakių, mes perkeliame šiuos skliaustus iš skliaustų.

Pridursiu, kad grupavimas yra kūrybinis procesas). Ne visada pavyksta iš pirmo karto. Viskas gerai. Kartais tenka keisti sąlygas ir pagalvoti skirtingi variantai grupes, kol bus rasta sėkminga. Svarbiausia čia neprarasti širdies!)

Pavyzdžiai.

Dabar, praturtėję žiniomis, galite spręsti keblius pavyzdžius.) Pamokos pradžioje buvo trys tokie...

Supaprastinti:

Iš esmės šį pavyzdį jau išsprendėme. Mes patys to nežinodami.) Primenu: jei mums duota baisi trupmena, mes stengiamės išskaičiuoti skaitiklį ir vardiklį. Kitos supaprastinimo parinktys tiesiog ne.

Na, čia ne vardiklis išskleistas, o skaitiklis... Jau pamokos metu skaitiklį išplėtėme! Kaip šitas:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Išplėtimo rezultatą įrašome į trupmenos skaitiklį:

Pagal trupmenų redukavimo taisyklę (pagrindinė trupmenos savybė) skaitiklį ir vardiklį galime padalyti (tuo pačiu metu!) iš to paties skaičiaus, arba išraiškos. Dalis iš to nesikeičia. Taigi skaitiklį ir vardiklį padalijame iš išraiškos (3x-8). Ir šen bei ten tokių sulauksime. Galutinis rezultatas supaprastinimai:

Norėčiau ypač pabrėžti: mažinti trupmeną galima tada ir tik tada, jei skaitiklyje ir vardiklyje, be išraiškų dauginimo nieko nėra.Štai kodėl sumos (skirtumo) pavertimas į daugyba toks svarbus supaprastinimui. Žinoma, jei išraiškos kitoks, tada nieko nesumažės. Tai nutiks. Bet faktorizacija suteikia šansą. Tokios galimybės be skilimo tiesiog nėra.

Pavyzdys su lygtimi:

Išspręskite lygtį:

x 5 - x 4 = 0

Išimame bendrą faktorių x 4 iš skliaustų. Mes gauname:

x 4 (x-1) = 0

Suprantame, kad veiksnių sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš jų yra lygus nuliui. Jei abejojate, suraskite man keletą skaičių, kurie skiriasi nuo nulio, kuriuos padauginus gausite nulį.) Taigi pirmiausia rašome pirmąjį veiksnį:

Esant tokiai lygybei, antrasis veiksnys mums nerūpi. Bet kas gali būti, bet galiausiai vis tiek bus nulis. Kokį skaičių ketvirtajai laipsniai suteikia nulis? Tik nulis! Ir ne kito... Todėl:

Išsiaiškinome pirmąjį veiksnį ir radome vieną šaknį. Pažvelkime į antrąjį veiksnį. Dabar mums neberūpi pirmasis veiksnys.):

Čia radome sprendimą: x 1 = 0; x 2 = 1. Bet kuri iš šių šaknų atitinka mūsų lygtį.

Labai svarbi pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad išsprendėme lygtį dalelė po dalelės! Kiekvienas koeficientas buvo lygus nuliui, neatsižvelgiant į kitus veiksnius. Beje, jei tokioje lygtyje yra ne du veiksniai, kaip mūsų, o trys, penki, kiek jums patinka, mes išspręsime panašus. Dalelė po dalelės. Pavyzdžiui:

(x-1) (x+5) (x-3) (x+2) = 0

Kiekvienas, kuris atidarys skliaustus ir viską padaugins, amžiams įstrigs šioje lygtyje.) Teisingas mokinys iš karto pamatys, kad kairėje nėra nieko, išskyrus daugybą, o nulis dešinėje. Ir jis pradės (savo mintyse!) visus skliaustus sulyginti su nuliu. Ir jis gaus (per 10 sekundžių!) teisingą sprendimą: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Šaunu, tiesa?) Toks elegantiškas sprendimas įmanomas, jei lygties kairėje pusėje faktorizuotas. Turite užuominą?)

Na, paskutinis pavyzdys, skirtas vyresniems):

Išspręskite lygtį:

Tai šiek tiek panašus į ankstesnįjį, ar nemanote?) Žinoma. Pats laikas prisiminti, kad septintoje klasėje po raidėmis gali būti paslėpti sinusai, logaritmai ir visa kita! Faktoringas veikia visoje matematikoje.

Išimame bendrą faktorių lg 4x iš skliaustų. Mes gauname:

log 4 x=0

Tai viena šaknis. Pažvelkime į antrąjį veiksnį.

Štai galutinis atsakymas: x 1 = 1; x 2 = 10.

Tikiuosi, kad supratote faktoringo galią supaprastinant trupmenas ir sprendžiant lygtis.)

Šioje pamokoje sužinojome apie įprastą faktoringą ir grupavimą. Belieka suprasti sutrumpinto daugybos ir kvadratinio trinalio formules.