(išskyrus 0 ir 1) turi bent du daliklius: 1 ir save. Vadinami skaičiai, kurie neturi kitų daliklių paprastas skaičių. Vadinami skaičiai, turintys kitus daliklius sudėtinis(arba kompleksas) skaičiai. Pirminių skaičių yra begalinis skaičius. Toliau pateikiami pirminiai skaičiai, neviršijantys 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Daugyba- vienas iš keturių pagrindinių aritmetinės operacijos, dvejetainis matematinis veiksmas, kuriame vienas argumentas pridedamas tiek kartų, kiek rodo kitas. Aritmetikoje daugyba yra trumpa tam tikro skaičiaus identiškų terminų pridėjimo forma.

Pavyzdžiui, žymėjimas 5*3 reiškia „pridėkite tris penketukus“, tai yra, 5+5+5. Daugybos rezultatas vadinamas dirbti, o skaičiai, kuriuos reikia padauginti, yra daugikliai arba veiksnius. Pirmasis veiksnys kartais vadinamas " daugiklis».

Kiekvienas sudėtinis skaičius gali būti išskaidytas į pagrindiniai veiksniai. Taikant bet kurį metodą, gaunamas toks pat išplėtimas, jei neatsižvelgiate į veiksnių rašymo tvarką.

Skaičiaus faktorinavimas (Factorization).

Faktorizavimas (faktorizavimas)- daliklių išvardijimas - algoritmas, skirtas faktorizacijai arba skaičiaus pirmumo patikrinimui visiškai išvardijant visus galimus daliklius.

Tie., paprasta kalba, faktorizavimas – tai skaičių faktoringo proceso pavadinimas, išreikštas moksline kalba.

Veiksmų seka, atsižvelgiant į pagrindinius veiksnius:

1. Patikrinkite, ar siūlomas skaičius yra pirminis.

2. Jei ne, tada, vadovaudamiesi dalybos ženklais, iš pirminių skaičių parenkame daliklį, pradedant nuo mažiausio (2, 3, 5 ...).

3. Šį veiksmą kartojame tol, kol koeficientas yra pirminis skaičius.

Bet koks sudėtinis skaičius gali būti padalytas į pirminius veiksnius. Gali būti keli skaidymo būdai. Bet kuris metodas duoda tą patį rezultatą.

Kaip labiausiai įtraukti skaičių į pirminius veiksnius patogiu būdu? Pažiūrėkime, kaip geriausia tai padaryti, naudodami konkrečius pavyzdžius.

Pavyzdžiai.

1) Padalinkite skaičių 1400 į pirminius koeficientus.

1400 dalijasi iš 2. 2 yra pirminis skaičius, jo nereikia skaičiuoti. Gauname 700. Padaliname iš 2. Gauname 350. Taip pat 350 padalijame iš 5. Gautą skaičių 175 galime padalyti iš 5. Gauname 35 - vėl padalijame iš 5 Iš viso yra 7. Taip gali būti padalintas iš 7. Gauname 1, dalijame per.

1400 patogu padalyti iš 10. 10 nėra pirminis skaičius, todėl jį reikia įskaičiuoti į pirminius koeficientus: 10=2∙5. Rezultatas 140. Dar kartą padalijame iš 10=2∙5. Gauname 14. Jei 14 dalijamas iš 14, tai jis taip pat turėtų būti išskaidytas į pirminių koeficientų sandaugą: 14=2∙7.

Taigi mes vėl priėjome prie to paties skilimo, kaip ir pirmuoju atveju, bet greičiau.

Išvada: skaidant skaičių, nebūtina jo skirstyti tik į pirminius veiksnius. Daliname iš to, kas patogiau, pavyzdžiui, iš 10. Tik reikia nepamiršti sudėtinius daliklius išskaidyti į paprastus veiksnius.

2) Padalinkite skaičių 1620 į pirminius koeficientus.

Patogiausia skaičių 1620 padalyti iš 10. Kadangi 10 nėra pirminis skaičius, jį pavaizduojame kaip pirminių koeficientų sandaugą: 10=2∙5. Gavome 162. Patogu dalinti iš 2. Rezultatas – 81. Skaičius 81 gali būti dalinamas iš 3, bet iš 9 patogiau. Kadangi 9 nėra pirminis skaičius, išplečiame jį kaip 9=3∙3. Gauname 9. Taip pat padalijame iš 9 ir išplečiame į pirminių faktorių sandaugą.

Kiekvienas natūralusis skaičius, be vieno, turi du ar daugiau daliklių. Pavyzdžiui, skaičius 7 be liekanos dalijasi tik iš 1 ir 7, tai yra, jis turi du daliklius. O skaičius 8 turi daliklius 1, 2, 4, 8, tai yra, iš karto net 4 daliklius.

Kuo skiriasi pirminiai ir sudėtiniai skaičiai?

Skaičiai, turintys daugiau nei du daliklius, vadinami sudėtiniais skaičiais. Skaičiai, turintys tik du daliklius: vieną ir patį skaičių, vadinami pirminiais skaičiais.

Skaičius 1 turi tik vieną padalijimą, būtent patį skaičių. Vienas nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius.

• Pavyzdžiui, skaičius 7 yra pirminis, o skaičius 8 yra sudėtinis.

Pirmieji 10 pirminių skaičių: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Skaičius 2 yra vienintelis lyginis pirminis skaičius, visi kiti pirminiai skaičiai yra nelyginiai.

Skaičius 78 yra sudėtinis, nes be 1 ir savęs jis taip pat dalijasi iš 2. Padalijus iš 2 gauname 39. Tai yra, 78 = 2*39. Tokiais atvejais jie sako, kad skaičius buvo įtrauktas į koeficientus 2 ir 39.

Bet kurį sudėtinį skaičių galima išskaidyti į du veiksnius, kurių kiekvienas yra didesnis nei 1. Šis triukas neveiks su pirminiu skaičiumi. Tokie dalykai.

Skaičių suskaidymas į pirminius veiksnius

Kaip minėta aukščiau, bet kurį sudėtinį skaičių galima išskaidyti į du veiksnius. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 210. Šį skaičių galima išskaidyti į du koeficientus 21 ir 10. Tačiau skaičiai 21 ir 10 taip pat yra sudėtiniai, išskaidykime juos į du veiksnius. Gauname 10 = 2*5, 21=3*7. Ir dėl to skaičius 210 buvo išskaidytas į 4 veiksnius: 2,3,5,7. Šie skaičiai jau yra pirminiai ir jų negalima išplėsti. Tai yra, mes įtraukėme skaičių 210 į pirminius veiksnius.

Skaičiuojant sudėtinius skaičius į pirminius veiksnius, jie paprastai rašomi didėjančia tvarka.

Reikėtų atsiminti, kad bet koks sudėtinis skaičius gali būti išskaidytas į pirminius veiksnius ir unikaliu būdu iki permutacijos.

• Paprastai, skaidant skaičių į pirminius veiksnius, naudojami dalijamumo kriterijai.

Išskaidykime skaičių 378 į pirminius koeficientus

Užrašysime skaičius, atskirdami juos vertikalia linija. Skaičius 378 dalijasi iš 2, nes baigiasi 8. Padalinus gauname skaičių 189. Skaičiaus 189 skaitmenų suma dalijasi iš 3, vadinasi, pats skaičius 189 dalijasi iš 3. Rezultatas yra 63.

Skaičius 63 taip pat dalijasi iš 3 pagal dalijamumą. Gauname 21, skaičių 21 vėl galima padalyti iš 3, gauname 7. Septyni dalijasi tik iš savęs, gauname vieną. Tai užbaigia padalijimą. Dešinėje po eilutės yra pirminiai veiksniai, į kuriuos išskaidomas skaičius 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Šiame straipsnyje rasite viską reikalinga informacija atsakydamas į klausimą kaip suskaičiuoti skaičių į pirminius veiksnius. Pirma duota bendra idėja apie skaičiaus išskaidymą į pirminius veiksnius, pateikiami skilimų pavyzdžiai. Toliau parodyta kanoninė skaičiaus skaidymo į pirminius veiksnius forma. Po to pateikiamas savavališkų skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmas ir pateikiami skaičių skaidymo naudojant šį algoritmą pavyzdžiai. Taip pat svarstoma alternatyvių būdų, leidžianti greitai sudėti mažus sveikuosius skaičius į pirminius veiksnius, naudojant dalijimosi testus ir daugybos lenteles.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

Pirmiausia pažiūrėkime, kas yra pagrindiniai veiksniai.

Akivaizdu, kad kadangi šioje frazėje yra žodis „veiksniai“, yra kai kurių skaičių sandauga, o kvalifikacinis žodis „paprastas“ reiškia, kad kiekvienas veiksnys yra pirminis skaičius. Pavyzdžiui, 2·7·7·23 formos sandaugoje yra keturi pagrindiniai koeficientai: 2, 7, 7 ir 23.

Ką reiškia įtraukti skaičių į pirminius veiksnius?

Tai reiškia, kad šis skaičius turi būti pavaizduotas kaip pirminių veiksnių sandauga, o šio sandaugos vertė turi būti lygi pradiniam skaičiui. Kaip pavyzdį panagrinėkime trijų pirminių skaičių 2, 3 ir 5 sandaugą, kuri lygi 30, taigi skaičiaus 30 išskaidymas į pirminius veiksnius yra 2·3·5. Paprastai skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius rašomas kaip lygybė mūsų pavyzdyje bus taip: 30=2·3·5; Atskirai pabrėžiame, kad pagrindiniai plėtros veiksniai gali pasikartoti. Tai aiškiai iliustruoja toks pavyzdys: 144=2·2·2·2·3·3. Tačiau formos 45=3·15 atvaizdavimas nėra išskaidymas į pirminius veiksnius, nes skaičius 15 yra sudėtinis skaičius.

Kyla toks klausimas: „Kokius skaičius galima išskaidyti į pirminius veiksnius?

Ieškodami atsakymo į jį, pateikiame tokius samprotavimus. Pirminiai skaičiai pagal apibrėžimą yra tarp didesnių už vieną. Atsižvelgiant į šį faktą ir , Galima teigti, kad kelių pirminių veiksnių produktas yra teigiamas sveikasis skaičius, didesnis už vieną. Todėl faktorizacija vyksta tik teigiamiems sveikiesiems skaičiams, kurie yra didesni už 1.

Bet ar visi sveikieji skaičiai, didesni už vieną, gali būti įtraukti į pirminius veiksnius?

Akivaizdu, kad paprastų sveikųjų skaičių įtraukti į pirminius veiksnius neįmanoma. Tai paaiškinama tuo, kad pirminiai skaičiai turi tik du teigiamus daliklius – vieną ir save patį, todėl jų negalima pavaizduoti kaip dviejų ar daugiau pirminiai skaičiai. Jei sveikąjį skaičių z būtų galima pavaizduoti kaip pirminių skaičių a ir b sandaugą, tai dalijimosi samprata leistų daryti išvadą, kad z dalijasi ir iš a, ir iš b, o tai neįmanoma dėl skaičiaus z paprastumo. Tačiau jie mano, kad bet koks pirminis skaičius pats savaime yra skilimas.

O kaip su sudėtiniais skaičiais? Ar sudėtiniai skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius ir ar visi sudėtiniai skaičiai turi tokį skaidymą? Pagrindinė aritmetikos teorema į daugelį šių klausimų atsako teigiamai. Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad bet koks sveikasis skaičius a, didesnis už 1, gali būti išskaidytas į pirminių faktorių p 1, p 2, ..., p n sandaugą, o skaidymas turi formą a = p 1 · p 2 · … · p n, ir tai išplėtimas yra unikalus, jei neatsižvelgsite į veiksnių eilę

Kanoninis skaičiaus faktorizavimas į pirminius veiksnius

Išplečiant skaičių pirminiai veiksniai gali pasikartoti. Pasikartojančius pirminius veiksnius galima parašyti kompaktiškiau naudojant . Tegu skaičių skaidyme pirminis koeficientas p 1 atsiranda s 1 kartą, pirminis veiksnys p 2 – s 2 kartus ir tt, p n – s n kartų. Tada skaičiaus a pirminis faktorius gali būti parašytas kaip a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ši įrašymo forma yra vadinamoji Kanoninis skaičiaus faktorizavimas į pirminius veiksnius.

Pateiksime skaičiaus kanoninio skaidymo į pirminius veiksnius pavyzdį. Praneškite mums apie skaidymą 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, jo kanoninis žymėjimas turi formą 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanoninis skaičiaus skirstymas į pirminius veiksnius leidžia rasti visus skaičiaus daliklius ir skaičiaus daliklių skaičių.

Algoritmas, skirtas skaičių padalyti į pirminius veiksnius

Norėdami sėkmingai susidoroti su skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius, turite labai gerai žinoti straipsnio pirminius ir sudėtinius skaičius.

Teigiamo sveikojo skaičiaus a, viršijančio vieną, skaidymo proceso esmė aišku iš pagrindinės aritmetikos teoremos įrodymo. Esmė yra nuosekliai rasti skaičių a, a 1, a 2, ..., a n-1 mažiausius pirminius daliklius p 1, p 2, ..., p n, kurie leidžia gauti lygybių eilę a=p 1 ·a 1, kur a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, kur a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , kur a n =a n-1:p n . Kai gausime a n =1, tai lygybė a=p 1 ·p 2 ·…·p n duos norimą skaičiaus a skaidymą į pirminius veiksnius. Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤… ≤ p n.

Belieka išsiaiškinti, kaip kiekviename žingsnyje rasti mažiausius pirminius veiksnius, ir turėsime algoritmą, kaip skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius. Pirminių skaičių lentelė padės mums rasti pirminius veiksnius. Parodykime, kaip jį naudoti norint gauti mažiausią skaičiaus z pirminį daliklį.

Iš pirminių skaičių lentelės paeiliui paimame pirminius skaičius (2, 3, 5, 7, 11 ir t. t.) ir padalijame iš jų gautą skaičių z. Pirmasis pirminis skaičius, iš kurio z padalintas tolygiai, bus mažiausias jo pirminis daliklis. Jei skaičius z yra pirminis, tai mažiausias jo pirminis daliklis bus pats skaičius z. Čia reikia priminti, kad jei z nėra pirminis skaičius, tai jo mažiausias pirminis daliklis neviršija skaičiaus , kur yra nuo z. Taigi, jei tarp pirminių skaičių, neviršijančių , nebuvo nei vieno skaičiaus z daliklio, tai galime daryti išvadą, kad z yra pirminis skaičius (daugiau apie tai parašyta teorijos skyriuje po antrašte Šis skaičius yra pirminis arba sudėtinis ).

Kaip pavyzdį parodysime, kaip rasti mažiausią skaičiaus 87 pirminį daliklį. Paimkime skaičių 2. 87 padaliname iš 2, gauname 87:2=43 (likęs 1) (jei reikia, žr. straipsnį). Tai yra, dalijant 87 iš 2, liekana yra 1, taigi 2 nėra skaičiaus 87 daliklis. Mes paimame kitą pirminį skaičių iš pirminių skaičių lentelės, tai yra skaičius 3. Padalinkite 87 iš 3, gausime 87:3=29. Taigi 87 dalijasi iš 3, todėl skaičius 3 yra mažiausias skaičiaus 87 pirminis daliklis.

Atkreipkite dėmesį, kad bendruoju atveju, norint padalyti skaičių a į pirminius veiksnius, mums reikia pirminių skaičių lentelės iki skaičiaus, ne mažesnio kaip . Kiekviename žingsnyje turėsime remtis šia lentele, todėl turime ją turėti po ranka. Pavyzdžiui, norint padalyti skaičių 95 į pirminius veiksnius, mums reikės tik pirminių skaičių lentelės iki 10 (nes 10 yra didesnis nei ). O norint išskaidyti skaičių 846 653, jau reikės pirminių skaičių lentelės iki 1000 (nes 1000 yra didesnis nei ).

Dabar turime pakankamai informacijos, kad galėtume užsirašyti algoritmas, skirtas skaičių padalyti į pirminius veiksnius. Skaičiaus a skaidymo algoritmas yra toks:

• Paeiliui rūšiuodami skaičius iš pirminių skaičių lentelės, randame mažiausią skaičiaus a pirminį daliklį p 1, po kurio apskaičiuojame 1 =a:p 1. Jei a 1 =1, tai skaičius a yra pirminis, o pats jis yra jo išskaidymas į pirminius veiksnius. Jei a 1 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·a 1 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Surandame mažiausią skaičiaus a 1 pirminį daliklį p 2, kad tai padarytume, iš eilės surūšiuojame skaičius iš pirminių skaičių lentelės, pradedant nuo p 1 , ir tada apskaičiuojame a 2 =a 1:p 2 . Jei a 2 =1, tai reikalingas skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius yra a=p 1 ·p 2. Jei a 2 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·p 2 ·a 2 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Eidami per skaičius iš pirminių skaičių lentelės, pradedant p 2, randame mažiausią skaičiaus a 2 pirminį daliklį p 3, po kurio apskaičiuojame a 3 =a 2:p 3. Jei a 3 =1, tai reikalingas skaičiaus a skaidymas į pirminius veiksnius yra a=p 1 ·p 2 ·p 3. Jei a 3 nėra lygus 1, tada turime a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 ir pereiname prie kito žingsnio.
• Mažiausią skaičiaus a n-1 pirminį daliklį p n randame surūšiuodami pirminius skaičius, pradedant nuo p n-1, taip pat a n =a n-1:p n, o a n lygus 1. Šis žingsnis yra paskutinis žingsnis algoritmą, čia gauname reikiamą skaičiaus a skaidymą į pirminius veiksnius: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Aiškumo dėlei visi rezultatai, gauti kiekviename skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnyje, pateikiami šios lentelės forma, kurioje skaičiai a, a 1, a 2, ..., a n rašomi iš eilės. stulpelyje į kairę nuo vertikalios linijos, o į dešinę nuo linijos - atitinkamus mažiausius pirminius daliklius p 1, p 2, ..., p n.

Belieka tik apsvarstyti kelis gauto algoritmo, skirto skaičių skaidymui į pirminius veiksnius, taikymo pavyzdžius.

Pirminio faktoriaus pavyzdžiai

Dabar panagrinėsime išsamiai faktoringo skaičių į pirminius veiksnius pavyzdžiai. Išskaidydami naudosime ankstesnės pastraipos algoritmą. Pradėkime nuo paprastų atvejų ir palaipsniui juos komplikuosime, kad susidurtume su visais įmanomais niuansais, kurie iškyla skaidant skaičius į pirminius veiksnius.

Pavyzdys.

Padalinkite skaičių 78 į pirminius koeficientus.

Sprendimas.

Pradedame ieškoti skaičiaus a=78 pirmojo mažiausio pirminio daliklio p 1. Norėdami tai padaryti, pradedame rūšiuoti pirminius skaičius iš pirminių skaičių lentelės. Paimame skaičių 2 ir iš jo padaliname 78, gauname 78:2=39. Skaičius 78 dalinamas iš 2 be liekanos, todėl p 1 =2 yra pirmasis rastas skaičiaus 78 pirminis daliklis. Šiuo atveju a 1 =a:p 1 =78:2=39. Taigi gauname lygybę a=p 1 ·a 1, kurios forma yra 78=2·39. Akivaizdu, kad 1 = 39 skiriasi nuo 1, todėl pereiname prie antrojo algoritmo žingsnio.

Dabar ieškome mažiausio skaičiaus a 1 =39 pirminio daliklio p 2. Skaičius pradedame skaičiuoti nuo pirminių skaičių lentelės, pradedant nuo p 1 =2. 39 padaliname iš 2, gauname 39:2=19 (likęs 1). Kadangi 39 nėra tolygiai dalijamasi iš 2, tai 2 nėra daliklis. Tada iš pirminių skaičių lentelės paimame kitą skaičių (skaičius 3) ir iš jo padaliname 39, gauname 39:3=13. Todėl p 2 =3 yra mažiausias skaičiaus 39 pirminis daliklis, o a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Turime lygybę a=p 1 ·p 2 ·a 2 formoje 78=2 · 3 · 13. Kadangi 2 = 13 skiriasi nuo 1, pereiname prie kito algoritmo žingsnio.

Čia reikia rasti mažiausią skaičiaus a 2 =13 pirminį daliklį. Ieškodami mažiausio skaičiaus 13 pirminio daliklio p 3, iš eilės rūšiuosime pirminių skaičių lentelės skaičius, pradedant nuo p 2 =3. Skaičius 13 nesidalija iš 3, nes 13:3=4 (1 likusioji dalis), taip pat 13 nesidalija iš 5, 7 ir 11, nes 13:5=2 (3 likusioji dalis), 13:7=1 (6 poilsis) ir 13:11=1 (2 poilsis). Kitas pirminis skaičius yra 13, o 13 dalijasi iš jo be liekanos, todėl mažiausias pirminis daliklis p 3 iš 13 yra pats skaičius 13, o a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Kadangi a 3 =1, tai šis algoritmo žingsnis yra paskutinis, o pageidaujamas skaičiaus 78 išskaidymas į pirminius veiksnius yra 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Atsakymas:

78=2·3·13.

Pavyzdys.

Išreikškite skaičių 83 006 kaip pirminių veiksnių sandaugą.

Sprendimas.

Pirmajame skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnyje randame p 1 =2 ir a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, iš kurių 83,006=2·41,503.

Antrame žingsnyje išsiaiškiname, kad 2, 3 ir 5 nėra pirminiai skaičiaus a 1 =41,503 dalikliai, o skaičius 7 yra, nes 41,503:7=5,929. Turime p 2 = 7, a 2 =a 1: p 2 = 41 503: 7 = 5 929. Taigi 83 006 = 2 7 5 929.

Mažiausias skaičiaus a 2 =5 929 pirminis daliklis yra skaičius 7, nes 5 929:7 = 847. Taigi, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, iš kurių 83 006 = 2 · 7 · 7 · 847.

Toliau randame, kad skaičiaus a 3 =847 mažiausias pirminis daliklis p 4 yra lygus 7. Tada a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, taigi 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 121.

Dabar randame mažiausią skaičiaus a 4 =121 pirminį daliklį, tai yra skaičius p 5 =11 (kadangi 121 dalijasi iš 11, o ne dalijasi iš 7). Tada a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 ir 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Galiausiai mažiausias skaičiaus a 5 =11 pirminis daliklis yra skaičius p 6 =11. Tada a 6 =a 5:p 6 =11:11 = 1. Kadangi 6 =1, šis skaičių skaidymo į pirminius veiksnius algoritmo žingsnis yra paskutinis, o norimas išskaidymas yra 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Gautas rezultatas gali būti parašytas kaip kanoninis skaičiaus išskaidymas į pirminius koeficientus 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Atsakymas:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 yra pirminis skaičius. Iš tiesų, jis neturi vieno pirminio daliklio, neviršijančio ( gali būti apytiksliai įvertintas kaip , nes akivaizdu, kad 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Atsakymas:

897 924 289 = 937 967 991.

Dalijamumo testų naudojimas pirminiam faktoriui

Paprastais atvejais skaičių galite išskaidyti į pirminius veiksnius nenaudodami išskaidymo algoritmo, pateikto šio straipsnio pirmoje pastraipoje. Jei skaičiai nėra dideli, tada norint juos išskaidyti į pirminius veiksnius, dažnai pakanka žinoti dalijimosi požymius. Pateiksime paaiškinimų pavyzdžių.

Pavyzdžiui, skaičių 10 turime įtraukti į pirminius veiksnius. Iš daugybos lentelės žinome, kad 2 · 5 = 10, o skaičiai 2 ir 5 yra akivaizdžiai pirminiai, todėl skaičiaus 10 pirminis faktorius atrodo kaip 10 = 2 · 5.

Kitas pavyzdys. Naudodamiesi daugybos lentele, skaičių 48 įtrauksime į pirminius koeficientus. Mes žinome, kad šeši yra aštuoni – keturiasdešimt aštuoni, tai yra, 48 = 6,8. Tačiau nei 6, nei 8 nėra pirminiai skaičiai. Bet mes žinome, kad du kartus trys yra šeši, o du kartus keturi yra aštuoni, tai yra, 6=2·3 ir 8=2·4. Tada 48=6·8=2·3·2·4. Belieka prisiminti, kad du kart du yra keturi, tada gauname norimą skaidymą į pirminius koeficientus 48 = 2·3·2·2·2. Parašykime šį išplėtimą kanonine forma: 48=2 4 ·3.

Tačiau į pirminius koeficientus įtraukdami skaičių 3 400 galite naudoti dalijamumo kriterijus. Dalijimosi iš 10, 100 ženklai leidžia teigti, kad 3400 dalijasi iš 100, kai 3400=34·100, o 100 dalijasi iš 10, kai 100=10·10, todėl 3400=34·10·10. Ir remiantis dalijimosi iš 2 testu, galime teigti, kad kiekvienas iš 34, 10 ir 10 koeficientų dalijasi iš 2, gauname 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Visi gaunamo išplėtimo veiksniai yra paprasti, todėl ši plėtra yra pageidaujama. Belieka tik pertvarkyti veiksnius taip, kad jie eitų didėjimo tvarka: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Taip pat užrašykime kanoninį šio skaičiaus išskaidymą į pirminius koeficientus: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Išskaidydami duotą skaičių į pirminius koeficientus, paeiliui galite naudoti tiek dalijimosi ženklus, tiek daugybos lentelę. Įsivaizduokime skaičių 75 kaip pirminių veiksnių sandaugą. Dalumo iš 5 testas leidžia teigti, kad 75 dalijasi iš 5, ir gauname, kad 75 = 5·15. O iš daugybos lentelės žinome, kad 15=3·5, vadinasi, 75=5·3·5. Tai reikalingas skaičiaus 75 išskaidymas į pirminius veiksnius.

Nuorodos.

• Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
• Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
• Mikhelovičius Sh.H. Skaičių teorija.
• Kulikovas L.Ya. ir kt. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: Vadovėlis fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.

Bet koks sudėtinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip pirminių daliklių sandauga:

28 = 2 2 7

Gautos lygybės dešiniosios pusės vadinamos pirminis faktorizavimas 15 ir 28 numeriai.

Suskaičiuoti tam tikrą sudėtinį skaičių į pirminius veiksnius reiškia šį skaičių pateikti kaip pirminių koeficientų sandaugą.

Tam tikro skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius atliekamas taip:

1. Pirmiausia iš pirminių skaičių lentelės reikia pasirinkti mažiausią pirminį skaičių, dalijantį duotą sudėtinį skaičių be liekanos, ir atlikti padalijimą.
2. Tada vėl reikia pasirinkti mažiausią pirminį skaičių, iš kurio jau gautas koeficientas bus padalintas be liekanos.
3. Antrasis veiksmas kartojamas tol, kol bus gautas koeficientas.

Pavyzdžiui, suskaidykime skaičių 940 į pirminius koeficientus. Raskite mažiausią pirminį skaičių, padalijantį iš 940. Šis skaičius yra 2.

Dabar pasirenkame mažiausią pirminį skaičių, kuris dalijasi iš 470. Šis skaičius vėl yra 2:

Mažiausias pirminis skaičius, kuris dalijasi iš 235, yra 5:

Skaičius 47 yra pirminis, o tai reiškia, kad mažiausias pirminis skaičius, kurį galima padalyti iš 47, yra pats skaičius:

Taigi, gauname skaičių 940, įtrauktą į pirminius veiksnius:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Jei skaičių išskaidžius į pirminius veiksnius buvo gauti keli identiški veiksniai, trumpumo dėlei juos galima parašyti laipsnio forma:

940 = 2 2 5 47

Dekompoziciją į pirminius veiksnius patogiausia rašyti taip: pirmiausia užrašome šį sudėtinį skaičių ir į dešinę nuo jo nubrėžiame vertikalią liniją:

Dešinėje eilutės parašome mažiausią pirminį daliklį, iš kurio padalintas duotas sudėtinis skaičius:

Atliekame padalijimą ir po dividendu įrašome gautą koeficientą:

Su koeficientu elgiamės taip pat, kaip ir su duotu sudėtiniu skaičiumi, t.y., pasirenkame mažiausią pirminį skaičių, iš kurio jis dalijasi be liekanos, ir atliekame padalijimą. Ir tai kartojame tol, kol gauname koeficiento vienetą:

Atkreipkite dėmesį, kad kartais gali būti gana sunku įtraukti skaičių į pirminius veiksnius, nes faktorizavimo metu galime susidurti su dideliu skaičiumi, kurį sunku iš karto nustatyti, ar jis pirminis, ar sudėtinis. Ir jei jis yra sudėtinis, tada ne visada lengva rasti mažiausią pirminį daliklį.

Pabandykime, pavyzdžiui, padalyti skaičių 5106 į pirminius veiksnius:

Pasiekus koeficientą 851, sunku iš karto nustatyti mažiausią jo daliklį. Mes kreipiamės į pirminių skaičių lentelę. Jei jame yra skaičius, dėl kurio mums kyla sunkumų, tada jis dalijasi tik iš savęs ir vieneto. Skaičiaus 851 pirminių skaičių lentelėje nėra, vadinasi, jis yra sudėtinis. Belieka nuosekliai surašyti jį į pirminius skaičius: 3, 7, 11, 13, ... ir taip toliau, kol rasime tinkamą pirminį daliklį. Brutalia jėga nustatome, kad 851 dalijasi iš skaičiaus 23.