Sveiki, Mieli draugai! Mes ir toliau svarstome užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu. Rekomenduoju, kuris reikalingas sprendžiant didžiausios (minimalios) funkcijos reikšmės ir maksimalių (minimalių) funkcijos taškų radimo uždavinius.

Uždaviniai su logaritmais ieškant didžiausios (mažiausios) funkcijos we reikšmės. Šiame straipsnyje apžvelgsime tris problemas, kuriose reikia rasti maksimalius (minimalius) funkcijų taškus ir suteikta funkcija yra natūralusis logaritmas.

Teorinis punktas:

Pagal logaritmo apibrėžimą išraiška po logaritmo ženklu turi būti didesnis už nulį. *Į tai reikia atsižvelgti ne tik sprendžiant šias problemas, bet ir sprendžiant lygtis bei nelygybes, turinčias logaritmą.

Funkcijos didžiausių (minimalių) taškų radimo algoritmas:

1. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę.

2. Prilyginame jį nuliui ir išsprendžiame lygtį.

3. Skaičių eilutėje pažymime gautas šaknis.*Taip pat pažymime taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja. Gaukime intervalus, per kuriuos funkcija didėja arba mažėja.

4. Nustatykite šių intervalų išvestinės ženklus (savavališkas reikšmes iš jų pakeisdami išvestine).

5. Padarome išvadą.

Raskite funkcijos y = ln (x–11)–5x+2 maksimalų tašką

Iš karto užrašykime, kad x–11>0 (pagal logaritmo apibrėžimą), tai yra, x > 11.

Apsvarstysime funkciją intervale (11;∞).

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = 11 neįtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį, o išvestinė jame neegzistuoja. Skaičių ašyje pažymime du taškus 11 ir 11,2. Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas reikšmes iš intervalų (11;11,2) ir (11,2;+∞) į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgesį paveiksle. :

Taigi taške x = 11,2 funkcijos išvestinė keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, o tai reiškia, kad tai yra norimas maksimalus taškas.

Atsakymas: 11.2

Spręskite patys:

Raskite funkcijos y=ln (x+5)–2x+9 maksimalų tašką.

Raskite funkcijos y=4x– ln (x+5)+8 minimalųjį tašką

Iš karto užrašykime, kad x+5>0 (logaritmo savybe), tai yra x>–5.

Apsvarstysime funkciją intervale (– 5;+∞).

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Taškas x = –5 nėra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį ir išvestinė joje neegzistuoja. Pažymėkite du taškus skaičių ašyje–5 ir –4,75. Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas reikšmes iš intervalų (–5;–4,75) ir (–4,75;+∞) į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgseną paveiksle:

Taigi taške x = –4,75 funkcijos išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, o tai reiškia, kad tai yra norimas minimumas.

Atsakymas: – 4,75

Spręskite patys:

Raskite funkcijos y=2x–ln (x+3)+7 mažiausią tašką.

Raskite funkcijos y = x 2 –34x+140lnx–10 maksimalų tašką

Pagal logaritmo savybę išraiška po jo ženklu yra didesnė už nulį, tai yra, x > 0.

Apsvarstysime funkciją intervale (0; +∞).

Raskime duotosios funkcijos išvestinę:

Raskime išvestinės nulius:

Sprendžiant kvadratinė lygtis, gauname: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.

Taškas x = 0 nėra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį ir išvestinė joje neegzistuoja. Skaičių ašyje 0, 7 pažymime tris taškus ir 10.

Jaučio ašis skirstoma į intervalus: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas vertes iš gautų intervalų į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgesį paveiksle:

Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškų paieška yra gana įprasta užduotis matematinė analizė. Kartais reikia kraštutinumų. Daugelis žmonių mano, kad žodis „ekstremumas“ reiškia didžiausią ar mažiausia vertė funkcijas. Tai nėra visiškai tiesa. Vertė gali būti didžiausia arba mažiausia, bet ne kraštutinė.

Maksimaliai atsitinka vietinis ar pasaulinis. Vietinis maksimalus taškas yra argumentas, kurį pakeitus į f(x), gaunama reikšmė ne mažesnė nei kituose regiono, esančio aplink šį argumentą, taškuose. Norint pasiekti maksimalų visuotinį skaičių, šis regionas išplečiamas iki visų galiojančių argumentų. Kalbant apie minimumą, yra atvirkščiai. Ekstremas yra vietinė kraštutinė – minimali arba maksimali – reikšmė.

Paprastai, jei matematikus domina didžiausia pasaulyje f(x) reikšmė, tai intervalas, o ne visa argumento ašis. Tokios užduotys dažniausiai būna suformuluota fraze„rasti maksimalų funkcijos tašką segmente“. Čia numanoma, kad būtina nustatyti argumentą, kuriame jis yra ne mažesnis nei likusioje nurodyto segmento dalyje. Vietos ekstremumo suradimas yra vienas iš žingsnių sprendžiant tokią problemą.

Duota y = f(x). Būtina nustatyti funkcijos piką nurodytame segmente. f(x) gali pasiekti jį taške:

• ekstremumas, jei jis patenka į nurodytą segmentą,
• tarpas,
• ribojant tam tikrą segmentą.

Studijuoti

Atkarpos arba intervalo smailė f(x) randama tiriant šią funkciją. Tyrimo planas, kaip rasti maksimumą segmente (arba intervale):

Dabar pažvelkime į kiekvieną žingsnį išsamiai ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

Tinkamas argumentų diapazonas

Galiojančių argumentų sritis yra tie x, juos pakeitus į f(x), jis nenustoja egzistuoti Galiojančių argumentų sritis taip pat vadinama apibrėžimo sritimi. Pavyzdžiui, y = x^2 yra apibrėžtas visoje argumento ašyje. Ir y = 1/x yra apibrėžtas visiems argumentams, išskyrus x = 0.

Reikia rasti leistinų argumentų srities ir tiriamo segmento (intervalo) sankirtą, kad būtų pašalinta ta intervalo dalis, kurioje funkcija neapibrėžta. Pavyzdžiui, reikia rasti mažiausią y = 1/x intervale nuo -2 iki 2. Tiesą sakant, reikia išnagrinėti du pusintervalus nuo -2 iki 0 ir nuo 0 iki 2, nes lygtis y = 1/0 neturi sprendimo.

Asimptotės

Asimptotė yra linija, kurią funkcija pasiekia, bet nepasiekia. Jei f(x) egzistuoja visoje skaičių eilutėje ir yra joje ištisinis, tada jis neturi vertikalios asimptotės. Jei jis yra nenutrūkstamas, tada nutrūkimo taškas yra vertikali asimptotė. Jei y = 1/x, asimptotė pateikiama pagal lygtį x = 0. funkcija pasiekia nulį palei argumentų ašį, bet pasieks ją tik verždamasis į begalybę.

Jei tiriamame segmente yra vertikali asimptotė, aplink kurią funkcija linkusi į begalybę su pliusu, tai smailė f(x) čia nenustatoma. O jei būtų nustatyta, tai argumentas, kuriame pasiekiamas maksimumas, sutaptų su asimptotės ir argumento ašies susikirtimo tašku.

Darinys ir ekstremumai

Išvestinė yra funkcijų keitimo riba kai argumentas pasikeičia į nulį. Ką tai reiškia? Paimkime mažas plotas iš leistinų argumentų srities ir pažiūrėkite, kaip čia pasikeičia f(x), tada sumažinkite šią sritį iki be galo mažo dydžio, šiuo atveju f(x) pradės keistis taip pat, kaip ir kai kurie kiti paprasta funkcija, kuris vadinamas išvestiniu.

Išvestinės reikšmė tam tikrame taške parodo, kokiu kampu pasirinktame taške eina funkcijos liestinė. Neigiama reikšmė rodo, kad funkcija čia mažėja. Panašiai teigiama išvestinė rodo f(x) padidėjimą. Tai sukelia dvi sąlygas.

1) Išvestinė ekstremumo taške yra nulis arba neapibrėžta. Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išskirkime y = x^3 ir gausime išvestinę lygtį: y = 3*x^2. Pakeiskite argumentą „0“ į paskutinę lygtį ir išvestinė bus lygi nuliui. Tačiau tai nėra y = x^3 ekstremumas. Jis negali turėti ekstremalių, jis mažėja išilgai visos argumento ašies.

2) Pakanka, kad kertant ekstremumo tašką išvestinė pasikeistų ženklą. Tai yra, f(x) didėja iki maksimumo, o po maksimumo mažėja – išvestinė buvo teigiama, bet tapo neigiama.

Suradus argumentus dėl vietinio maksimumo, juos reikia pakeisti į pradinę lygtį ir gauti maksimali vertė f(x).

Intervalo pabaiga ir rezultatų palyginimas

Ieškodami segmento maksimumo, turite patikrinti reikšmę segmento galuose. Pavyzdžiui, jei atkarpoje y = 1/x, maksimumas bus taške x = 1. Net jei atkarpos viduje yra vietinis maksimumas, nėra garantijos, kad reikšmė viename iš atkarpos galų nebus didesnis už šį maksimumą.

Dabar turime palyginti vertės lūžio taškuose(jei f(x) čia nelinkęs į begalybę), tiriamo intervalo ir funkcijos ekstremumo galuose. Didžiausia iš šių reikšmių bus maksimali funkcijos tam tikroje linijos atkarpoje.

Jei kyla problemų dėl formuluotės „Rasti minimalų funkcijos tašką“, intervalo galuose ir lūžio taškuose turite pasirinkti mažiausią iš vietinių minimumų ir verčių.

Vaizdo įrašas

Funkcija ir jos ypatybių tyrimas yra vienas iš pagrindinių šiuolaikinės matematikos skyrių. Pagrindinis bet kurios funkcijos komponentas yra grafikai, vaizduojantys ne tik jos savybes, bet ir šios funkcijos išvestinės parametrus. Supraskime šią sudėtingą temą. Taigi koks yra geriausias būdas rasti didžiausius ir mažiausius funkcijos taškus?

Funkcija: apibrėžimas

Bet koks kintamasis, kuris tam tikru būdu priklauso nuo kito dydžio reikšmių, gali būti vadinamas funkcija. Pavyzdžiui, funkcija f(x 2) yra kvadratinė ir nustato visos aibės x reikšmes. Tarkime, kad x = 9, tada mūsų funkcijos reikšmė bus lygi 9 2 = 81.

Funkcijos skiriasi skirtingų tipų: loginė, vektorinė, logaritminė, trigonometrinė, skaitinė ir kt. Juos tyrinėjo tokie išskirtiniai protai kaip Lacroix, Lagrange, Leibniz ir Bernoulli. Jų darbai tarnauja kaip tvirtovė šiuolaikiniai metodai studijų funkcijų. Prieš ieškant minimalių taškų, labai svarbu suprasti pačią funkcijos ir jos išvestinės prasmę.

Darinys ir jos vaidmuo

Visos funkcijos priklauso nuo jų kintamųjų, o tai reiškia, kad jos gali bet kada pakeisti savo reikšmę. Diagramoje tai bus pavaizduota kaip kreivė, kuri krenta arba kyla išilgai ordinačių ašies (tai yra visas „y“ skaičių rinkinys vertikalioje diagramoje). Taigi funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškų nustatymas yra tiksliai susijęs su šiais „svyravimais“. Paaiškinkime, kas yra šis ryšys.

Bet kurios funkcijos išvestinė vaizduojama grafiškai, siekiant ištirti pagrindines jos charakteristikas ir apskaičiuoti, kaip greitai funkcija keičiasi (t. y. keičia savo reikšmę priklausomai nuo kintamojo "x"). Tuo momentu, kai funkcija padidės, jos išvestinės grafikas taip pat padidės, tačiau bet kurią sekundę funkcija gali pradėti mažėti, o tada išvestinės grafikas mažės. Tie taškai, kuriuose išvestinė pasikeičia iš minuso ženklo į pliuso ženklą, vadinami minimaliais taškais. Norėdami sužinoti, kaip rasti minimalius taškus, turėtumėte geriau suprasti

Kaip apskaičiuoti išvestinę priemonę?

Apibrėžimas ir funkcijos reiškia keletą sąvokų iš Apskritai patį išvestinės apibrėžimą galima išreikšti taip: tai yra dydis, rodantis funkcijos kitimo greitį.

Matematinis jo nustatymo būdas daugeliui studentų atrodo sudėtingas, tačiau iš tikrųjų viskas yra daug paprasčiau. Jums tereikia vadovautis standartiniu bet kurios funkcijos išvestinės paieškos planu. Žemiau aprašome, kaip galima rasti minimalų funkcijos tašką netaikant diferenciacijos taisyklių ir neįsimenant išvestinių lentelės.

1. Funkcijos išvestinę galite apskaičiuoti naudodami grafiką. Norėdami tai padaryti, turite pavaizduoti pačią funkciją, tada paimkite vieną tašką (paveikslėlyje A taškas) nubrėžkite liniją vertikaliai žemyn iki abscisių ašies (taškas x 0), o taške A nubrėžkite liestinę. funkcijos grafikas. X ašis ir liestinė sudaro tam tikrą kampą a. Norėdami apskaičiuoti, kaip greitai funkcija didėja, turite apskaičiuoti šio kampo liestinę a.
2. Pasirodo, kad kampo tarp liestinės ir x ašies krypties liestinė yra funkcijos išvestinė mažas plotas su tašku A. Šis metodas laikomas geometriniu išvestinės nustatymo metodu.

Funkcijų tyrimo metodai

IN mokyklos mokymo programa Matematikoje funkcijos mažiausią tašką galima rasti dviem būdais. Pirmąjį metodą, naudojant grafiką, jau aptarėme, bet kaip galime nustatyti išvestinės skaitinę reikšmę? Norėdami tai padaryti, turėsite išmokti keletą formulių, kurios apibūdina išvestinės ypatybes ir padeda konvertuoti tokius kintamuosius kaip „x“ į skaičius. Kitas metodas yra universalus, todėl gali būti taikomas beveik visų tipų funkcijoms (tiek geometrinėms, tiek logaritminėms).

1. Būtina prilyginti funkciją išvestinei funkcijai, o tada supaprastinti išraišką naudojant diferenciacijos taisykles.
2. Kai kuriais atvejais, kai suteikiama funkcija, kurios kintamasis "x" yra daliklyje, būtina nustatyti sritį priimtinos vertės, neįskaitant iš jo taško „0“ (dėl tos paprastos priežasties, kad matematikoje niekada nereikėtų dalyti iš nulio).
3. Po to turėtumėte paversti pradinę funkcijos formą į paprastą lygtį, prilyginant visą išraišką nuliui. Pavyzdžiui, jei funkcija atrodė taip: f(x) = 2x 3 +38x, tai pagal diferenciacijos taisykles jos išvestinė yra lygi f"(x) = 3x 2 +1. Tada šią išraišką transformuojame į tokios formos lygtis: 3x 2 +1 = 0 .
4. Išsprendę lygtį ir radę „x“ taškus, turėtumėte juos nubraižyti x ašyje ir nustatyti, ar išvestinė šiose atkarpose tarp pažymėtų taškų yra teigiama, ar neigiama. Po žymėjimo paaiškės, nuo kurio momento funkcija pradeda mažėti, tai yra, keičia ženklą iš minuso į priešingą. Būtent tokiu būdu galite rasti ir minimalų, ir maksimalų balą.

Diferencijavimo taisyklės

Svarbiausias komponentas tiriant funkciją ir jos išvestinę yra diferenciacijos taisyklių žinojimas. Tik su jų pagalba galite pakeisti sudėtingas išraiškas ir dideles sudėtingas funkcijas. Susipažinkime su jais, jų yra gana daug, bet jie visi labai paprasti dėl natūralių tiek galios, tiek logaritminių funkcijų savybių.

1. Bet kurios konstantos išvestinė lygi nuliui (f(x) = 0). Tai yra, išvestinė f(x) = x 5 + x - 160 bus tokia: f" (x) = 5x 4 +1.
2. Dviejų terminų sumos išvestinė: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logaritminės funkcijos išvestinė: (log a d)" = d/ln a*d. Ši formulė taikoma visų tipų logaritmams.
4. Laipsnio išvestinė: (x n)"= n*x n-1. Pavyzdžiui, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinusinės funkcijos išvestinė: (sin a)" = cos a. Jei kampo a sin yra 0,5, tai jos išvestinė yra √3/2.

Ekstremalūs taškai

Jau aptarėme, kaip rasti minimalius balus, bet yra koncepcija ir funkcijos. Jeigu minimumas žymi tuos taškus, kuriuose funkcija keičiasi iš minuso ženklo į pliusą, tai maksimaliais taškais laikomi tie x ašies taškai, kuriuose funkcijos išvestinė keičiasi iš pliuso į priešingą – minusą.

Galite rasti maksimalius taškus naudodami aukščiau aprašytą metodą, tačiau turėtumėte atsižvelgti į tai, kad jie nurodo tas sritis, kuriose funkcija pradeda mažėti, tai yra, išvestinė bus mažesnė už nulį.

Matematikoje įprasta abi sąvokas apibendrinti, pakeičiant jas fraze „ekstremos taškai“. Kai užduotyje prašoma nustatyti šiuos taškus, tai reiškia, kad reikia apskaičiuoti tam tikros funkcijos išvestinę ir rasti minimalų bei maksimalų taškų skaičių.

Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai

Funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų radimas yra ir savarankiška užduotis, ir svarbiausia dalis visų pirma kitos užduotys pilnas funkcijų tyrimas. Pateikiama pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus teorinis skyrius apie išvestinę, kurią labai rekomenduoju išankstiniam tyrimui (arba kartojimas)– taip pat dėl ​​to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačia iš esmės išvestinė, yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laiko mažai, galima ir grynai formaliai praktikuoti pavyzdžius iš šios dienos pamokos.

Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi esantys dega noru išmokti tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę. Todėl jūsų monitoriaus ekranuose iš karto atsiranda protinga, gera, amžina terminija.

Už ką? Viena iš priežasčių yra pati praktiškiausia: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!

Funkcijos monotoniškumas. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai

Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Paprasčiau tariant, manome, kad ji tęstinis visoje skaičių eilutėje:

Tik tuo atveju iš karto atsikratykime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino funkcijos pastovaus ženklo intervalai. Dabar mes NEĮdomu, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ašis susikerta). Kad įtikintumėte, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes čia ir slypi susidomėjimas.

Funkcija didėja intervale, jei bet kuriuose dviejuose šio intervalo taškuose, sujungtuose santykiu , nelygybė yra teisinga. tai yra didesnę vertę argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jo grafikas eina „iš apačios į viršų“. Per tą laiką demonstravimo funkcija auga.

Taip pat ir funkcija mažėja apie intervalą, jei bet kurių dviejų taškų tam tikro intervalo toks, kad , Nelygybė yra tiesa. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš viršaus į apačią“. Mūsų funkcija mažėja intervalais .

Jei funkcija didėja arba mažėja per intervalą, ji vadinama griežtai monotoniškasšiuo intervalu. Kas yra monotonija? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.

Taip pat galite apibrėžti nemažėjantis funkcija (atsipalaidavusi būsena pirmajame apibrėžime) ir nedidėjantis funkcija (suminkštinta sąlyga 2-oje apibrėžime). Iškviečiama nemažėjanti arba nedidėjanti intervalo funkcija monotoniška funkcijašiuo intervalu (griežtas monotoniškumas yra ypatingas „paprasčiausio“ monotoniškumo atvejis).

Teorija taip pat svarsto kitus funkcijos padidėjimo/sumažėjimo nustatymo būdus, įskaitant pusintervalus, segmentus, tačiau kad nepiltume ant galvos aliejus-alyva-alyva, sutiksime operuoti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais. - tai yra aiškiau ir gana daug praktinių problemų išspręsti.

Taigi, mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada bus paslėpta intervalais griežta monotonija(griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti funkcija).

Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai bėga kur tik gali ir iš siaubo slepiasi kampuose. ...Nors po įrašo Cauchy ribos Tikriausiai jie jau nebeslepia, o tik šiek tiek dreba =) Nesijaudink, dabar nebus matematinės analizės teoremų įrodymų – reikėjo aplinkos, kad apibrėžimai būtų griežčiau suformuluoti ekstremalūs taškai. Prisiminkime:

Taško kaimynystė vadinamas intervalu, kuriame yra šį tašką, tuo tarpu patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:

Tiesą sakant, apibrėžimai:

Taškas vadinamas griežtas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Mūsų konkretus pavyzdys tai yra esmė.

Taškas vadinamas griežtas minimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Brėžinyje yra taškas „a“.

Pastaba : kaimynystės simetrijos reikalavimas visai nebūtinas. Be to, svarbu pats egzistavimo faktas kaimynystė (maža ar mikroskopinė), kuri atitinka nurodytas sąlygas

Taškai vadinami griežtai ekstremalūs taškai arba tiesiog ekstremalūs taškai funkcijas. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.

Kaip suprantame žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai kaip monotonija. Ekstremalūs kalnelių taškai.

Kaip ir monotoniškumo atveju, laisvi postulatai egzistuoja ir teoriškai yra dar labiau paplitę (kurios, žinoma, patenka į griežtus atvejus!):

Taškas vadinamas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiems
Taškas vadinamas minimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiemsšios kaimynystės vertybes, nelygybė galioja.

Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba " plokščias plotas» bet kurios funkcijos) yra laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija, beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau šiuos svarstymus paliksime teoretikams, nes praktiškai beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. brėžinį) su unikaliu „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė atsiranda patarimas, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške.

O, o kalbant apie honorarą:
– vadinasi prasmė maksimalus funkcijos;
– vadinasi prasmė minimumas funkcijas.

Bendras pavadinimas – kraštutinumai funkcijas.

Būkite atsargūs su savo žodžiais!

Ekstremalūs taškai– tai yra „X“ reikšmės.
Kraštutinumai– „žaidimo“ reikšmės.

! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo „X-Y“ taškus, kurie yra tiesiogiai PATSIOS funkcijos GRAFĖJE.

Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?

Nėra, 1, 2, 3 ir tt ad begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi be galo daug minimumų ir maksimumų.

SVARBU! Terminas „maksimali funkcija“ nėra tapatus terminas „didžiausia funkcijos reikšmė“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietiniame rajone, o viršuje kairėje yra „šaltesni bendražygiai“. Taip pat „minimali funkcija“ nėra tas pats, kas „ minimalią vertę funkcijos“, o brėžinyje matome, kad reikšmė minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami ekstremumo taškai vietiniai ekstremumo taškai o ekstremumai – vietiniai kraštutinumai. Jie vaikšto ir klaidžioja netoliese ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais - papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų jus nustebinti.

Apibendrinkime trumpą teorijos apžvalgą bandomuoju šūviu: ką reiškia užduotis „rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremalumo taškus“?

Formuluotė skatina jus rasti:

– didėjančios/mažėjančios funkcijos intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);

– maksimalus ir (arba) minimalus balas (jei yra). Na, o kad nepasisektų, geriau susirasti minimumus/maksimumus patiems ;-)

Kaip visa tai nustatyti? Naudojant išvestinę funkciją!

Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,
funkcijos ekstremumai ir ekstremumai?

Iš tikrųjų daugelis taisyklių jau žinomos ir suprantamos pamoka apie vedinio reikšmę.

Tangentinė išvestinė atneša linksmų naujienų, kad funkcija vis didėja apibrėžimo sritis.

Su kotangentu ir jo išvestine situacija yra visiškai priešinga.

Arsinusas didėja per intervalą - išvestinė čia yra teigiama: .
Kai funkcija apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte yra jų kairiarankiai atitikmenys.

Manau, tu neprieštarausi specialus darbas Atlikite panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.

Visi pirmiau minėti atvejai, kurių daugelis yra lentelės vediniai, primenu, sekite tiesiai iš išvestiniai apibrėžimai.

Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę?

Norėdami geriau suprasti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina „iš apačios į viršų“, kur „iš viršaus žemyn“, kur pasiekia minimumus ir maksimumus (jei išvis pasiekia). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes visai neįsivaizduojame apie konkrečios funkcijos grafiką.

Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalų paieškos algoritmas:

1 pavyzdys

Raskite funkcijos padidėjimo/sumažėjimo intervalus ir kraštutinumus

Sprendimas:

1) Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos sritis, taip pat atkreipkite dėmesį į lūžio taškus (jei jie yra). Šiuo atveju funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje ir šis veiksmas tam tikru mastu formaliai. Tačiau daugeliu atvejų čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be panieka.

2) Antrasis algoritmo taškas yra dėl

būtina ekstremumo sąlyga:

Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė arba neegzistuoja.

Supainioti dėl pabaigos? „X modulio“ funkcijos ekstremumas .

Sąlyga būtina, bet neužtenka, ir atvirkščiai ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau pabrėžta aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.

Bet kad ir kaip būtų, būtina sąlyga extremum diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:

Pirmojo straipsnio pradžioje apie funkcijų grafikus Aš jums pasakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį : „...paimame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ...Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...“. Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šiame taške =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net arbatinukui). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie funkcijos išvestinė. Todėl padidinkime laipsnį:

2 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas. Pilnas sprendimas ir apytikslis galutinis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis momentas:

3 pavyzdys

Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę

Atkreipkite dėmesį į tai, kaip skirtingai galima performuluoti vieną ir tą pačią užduotį.

Sprendimas:

1) Funkcija taškuose patiria begalinius netolygumus.

2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui:

Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis:

Taigi gauname tris svarbius taškus:

3) Nubraižome VISUS aptiktus taškus skaičių tiesėje ir intervalo metodas mes apibrėžiame IŠVEDINĖS požymius:

Primenu, kad reikia paimti tam tikrą intervalo tašką ir jame apskaičiuoti išvestinės vertę ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net neskaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkime, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui, ir atliksime keitimą: .

Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, o tai reiškia, kad išvestinė yra neigiama per visą intervalą.

Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio koeficientas ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.

Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja ir sumažėja . To paties tipo intervalus patogu sujungti sujungimo piktograma.

Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą:

Pagalvokite, kodėl jums nereikia perskaičiuoti antrosios vertės ;-)

Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE EKSTREMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.

! Pakartokime svarbus punktas : taškai nelaikomi kritiniais – juose yra funkcija neapibrėžtas. Atitinkamai, čia Iš principo negali būti kraštutinumų(net jei išvestinė keičia ženklą).

Atsakymas: funkcija padidėja ir mažėja Kai pasiekiamas funkcijos maksimumas: , o taške – minimumas: .

Žinios apie monotoniškumo intervalus ir ekstremumus, kartu su nustatytais asimptotų jau suteikia labai gerą idėją išvaizda funkcinė grafika. Vidutinio pasirengimo žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi du vertikalius asimptotus ir įstrižą asimptotą. Štai mūsų herojus:

Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, bet yra grafiko linksniavimas(kas, kaip taisyklė, nutinka panašiais atvejais).

4 pavyzdys

Raskite funkcijos kraštutinumą

5 pavyzdys

Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus

...tai beveik kaip kokia „X kube“ šventė šiandien...
Soooo, kas galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)

Kiekviena užduotis turi savo esminius niuansus ir technines subtilybes, kurios pakomentuojamos pamokos pabaigoje.

prasmė

Didžiausias

prasmė

Mažiausiai

Maksimalus taškas

Minimalus taškas

Ekstremalių funkcijų taškų radimo uždaviniai sprendžiami naudojant standartinė schema 3 žingsniais.

1 veiksmas. Raskite funkcijos išvestinę

• Prisiminkite elementariųjų funkcijų išvestines formules ir pagrindines diferenciacijos taisykles, kad rastumėte išvestinę.

y′(x)=(x3–243x+19)′=3x2–243.

2 veiksmas. Raskite išvestinės nulius

• Išspręskite gautą lygtį, kad rastumėte išvestinės nulius.

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

3 veiksmas. Raskite kraštutinius taškus

• Išvestinės požymiams nustatyti naudokite intervalų metodą;
• Mažiausiame taške išvestinė yra lygi nuliui ir keičia ženklą iš minuso į pliusą, o didžiausiame – iš pliuso į minusą.

Naudokime šį metodą, kad išspręstume šią problemą:

Raskite funkcijos y=x3−243x+19 maksimalų tašką.

1) Raskite išvestinę: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) Išspręskite lygtį y′(x)=0: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) Išvestinė yra teigiama, kai x>9 ir x<−9 и отрицательная при −9

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę

Išspręsti didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmių radimo problemą būtina:

• Raskite funkcijos ekstremalius taškus atkarpoje (intervalas).
• Raskite reikšmes atkarpos galuose ir pasirinkite didžiausią arba mažiausią reikšmę iš verčių ekstremaliuose taškuose ir atkarpos galuose.

Padeda atlikti daugybę užduočių teorema:

Jei atkarpoje yra tik vienas ekstremumo taškas ir tai yra mažiausias taškas, tada jame pasiekiama mažiausia funkcijos reikšmė. Jei tai yra didžiausias taškas, tada ten pasiekiama didžiausia vertė.

14. Neapibrėžtinio integralo samprata ir pagrindinės savybės.

Jei funkcija f(x X, Ir k– tada skaičius

Trumpai tariant: konstantą galima išimti iš integralo ženklo.

Jei funkcijos f(x) Ir g(x) intervale yra antidarinių X, Tai

Trumpai tariant: sumos integralas lygus integralų sumai.

Jei funkcija f(x) intervale turi antidarinį X, tada šio intervalo vidiniams taškams:

Trumpai tariant: integralo išvestinė lygi integrandui.

Jei funkcija f(x) yra nuolatinis intervale X ir yra diferencijuojamas vidiniuose šio intervalo taškuose, tada:

Trumpai tariant: funkcijos diferencialo integralas yra lygus šiai funkcijai plius integravimo konstanta.

Pateiksime griežtą matematinį apibrėžimą neapibrėžto integralo sąvokos.

Formos išraiška vadinama funkcijos integralas f(x) , Kur f(x) - duota (žinoma) integrando funkcija, dx - diferencialas x , su visada esančiu simboliu dx .

Apibrėžimas. Neapibrėžtas integralas vadinama funkcija F(x) + C , kuriame yra savavališka konstanta C , kurio skirtumas lygus integrandas išraiška f(x)dx , t.y. arba Funkcija vadinama antiderivatinė funkcija. Funkcijos antiderivatinė nustatoma iki pastovios reikšmės.

Priminsime, kad - diferencialinė funkcija ir apibrėžiamas taip:

Problemos radimas neapibrėžtas integralas yra rasti tokią funkciją išvestinė kuri lygi integrandui. Ši funkcija nustatoma konstantos tikslumu, nes konstantos išvestinė lygi nuliui.

Pavyzdžiui, žinoma, kad , tada paaiškėja, kad , čia yra savavališka konstanta.

Rasti užduotį neapibrėžtas integralas funkcijos nėra taip paprasta ir lengva, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Daugeliu atvejų reikia turėti įgūdžių dirbti neapibrėžti integralai, turi būti patirtis, kuri ateina su praktika ir nuolatinė sprendžiant neapibrėžtųjų integralų pavyzdžius. Verta atsižvelgti į tai, kad neapibrėžtieji integralai iš kai kurių funkcijų (jų yra gana daug) elementariose funkcijose nepaimtos.

15. Pagrindinių neapibrėžtinių integralų lentelė.

Pagrindinės formulės

16. Apibrėžtinis integralas kaip integralo sumos riba. Geometrinė ir fizinė integralo reikšmė.

Tegul funkcija y=ƒ(x) yra apibrėžta intervale [a; b], a< b. Выполним следующие действия.

1. Naudojant taškus x 0 =a, x 1, x 2, ..., x n = B (x 0

2. Kiekviename daliniame atkarpoje , i = 1,2,...,n, pasirinkite savavališką tašką su i є ir apskaičiuokite jame funkcijos reikšmę, ty reikšmę ƒ(su i).

3. Rastą funkcijos ƒ reikšmę (su i) padauginkite iš atitinkamos dalinės atkarpos ilgio ∆x i =x i -x i-1: ƒ (su i) ∆x i.

4. Padarykime visų tokių sandaugų sumą S n:

Formos (35.1) suma vadinama funkcijos y = ƒ(x) integralia suma intervale [a; b]. Pažymime λ didžiausios dalinės atkarpos ilgį: λ = max ∆x i (i = 1,2,..., n).

5. Raskime integralinės sumos (35.1) ribą, kai n → ∞, kad λ→0.

Jei šiuo atveju integralioji suma S n turi ribą I, kuri nepriklauso nuo atkarpos skaidymo būdo [a; b] ant dalinių atkarpų, nei apie taškų pasirinkimą juose, tada skaičius I vadinamas funkcijos y = ƒ(x) apibrėžtuoju integralu atkarpoje [a; b] ir žymimas taip,

Skaičiai a ir b vadinami atitinkamai apatine ir viršutine integravimo ribomis, ƒ(x) – integrando funkcija, ƒ(x) dx – integrandu, x – integravimo kintamuoju, atkarpa [a; b] - integracijos sritis (segmentas).

Funkcija y=ƒ(x), kuriai intervale [a; b] šiame intervale yra apibrėžtas integralas, vadinamas integraliuoju.

Dabar suformuluosime apibrėžtojo integralo egzistavimo teoremą.

35.1 teorema (Koši). Jei funkcija y = ƒ(x) yra tolydi intervale [a; b], tada apibrėžtasis integralas

Atkreipkite dėmesį, kad funkcijos tęstinumas yra pakankama jos integralumo sąlyga. Tačiau apibrėžtas integralas gali egzistuoti ir kai kurioms nepertraukiamoms funkcijoms, ypač bet kuriai funkcijai, apribotai intervalu, kuriame yra baigtinis skaičius nenutrūkstamų taškų.

Nurodykime kai kurias apibrėžtojo integralo savybes, kurios tiesiogiai išplaukia iš jo apibrėžimo (35.2).

1. Apibrėžiamasis integralas nepriklauso nuo integravimo kintamojo pavadinimo:

Tai išplaukia iš to, kad integralioji suma (35.1), taigi ir jos riba (35.2), nepriklauso nuo to, kokia raide žymimas tam tikros funkcijos argumentas.

2. Apibrėžtasis integralas su tomis pačiomis integravimo ribomis yra lygus nuliui:

3. Bet kuriam realiajam skaičiui c.

17. Niutono-Leibnizo formulė. Pagrindinės apibrėžtojo integralo savybės.

Tegul funkcija y = f(x) ištisinis segmente Ir F(x) yra vienas iš šio segmento funkcijos antidarinių Niutono-Leibnizo formulė: .

Niutono-Leibnizo formulė vadinama pagrindinė integralinio skaičiavimo formulė.

Norint įrodyti Niutono-Leibnizo formulę, mums reikia integralo su kintamąja viršutine riba sąvokos.

Jei funkcija y = f(x) ištisinis segmente , tada argumentui formos integralas yra viršutinės ribos funkcija. Pažymime šią funkciją , ir ši funkcija yra nuolatinė ir lygybė yra teisinga .

Iš tiesų, užrašykime funkcijos prieaugį, atitinkantį argumento prieaugį, ir naudokime penktąją apibrėžtojo integralo savybę bei dešimtosios savybės pasekmę:

Kur.

Perrašykime šią lygybę į formą . Jei prisiminsime funkcijos išvestinės apibrėžimą ir pereisime prie ribos ties , gausime . Tai yra, tai yra vienas iš funkcijos antidarinių y = f(x) segmente . Taigi, visų antidarinių rinkinys F(x) gali būti parašytas kaip , Kur SU– savavališka konstanta.

Paskaičiuokime F(a), naudojant pirmąją apibrėžtojo integralo savybę: , vadinasi,. Skaičiuodami naudosime šį rezultatą F(b): , tai yra . Ši lygybė suteikia įrodomą Niutono-Leibnizo formulę .

Funkcijos padidėjimas paprastai žymimas kaip . Naudojant šį žymėjimą, Niutono-Leibnizo formulė įgauna formą .

Norint pritaikyti Niutono-Leibnizo formulę, mums pakanka žinoti vieną iš antidarinių y=F(x) integrand funkcija y=f(x) segmente ir apskaičiuokite šio antidarinio prieaugį šiame segmente. Straipsnyje integravimo metodai aptariami pagrindiniai antidarinio radimo būdai. Pateiksime kelis apibrėžtųjų integralų skaičiavimo pavyzdžius, naudojant Niutono-Leibnizo formulę, kad paaiškintume.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite apibrėžtojo integralo reikšmę naudodami Niutono-Leibnizo formulę.

Sprendimas.

Pirmiausia pažymime, kad integrandas yra tęstinis intervale , todėl jame galima integruoti. (Apie integruojamas funkcijas kalbėjome skyriuje apie funkcijas, kurioms yra aiškus integralas.)

Iš neapibrėžtų integralų lentelės aišku, kad funkcijai antidarinių rinkinys visoms tikrosioms argumento reikšmėms (taigi ir už ) parašytas kaip . Paimkime antidarinį C=0: .

Dabar belieka naudoti Niutono-Leibnizo formulę apibrėžtajam integralui apskaičiuoti: .

18. Apibrėžtinio integralo geometriniai taikymai.

NUSTATYTO INTEGRALO GEOMETRINIS TAIKYMAS

Stačiakampis S.K.	Funkcija nurodyta parametriškai	Polyarnaya S.K.
Plokštumos figūrų plotų skaičiavimas
Plokštumos kreivės lanko ilgio apskaičiavimas
Apsisukimo paviršiaus ploto apskaičiavimas

Kūno tūrio skaičiavimas

Kūno tūrio apskaičiavimas iš žinomų lygiagrečių pjūvių plotų:

Sukimosi kūno tūris: ; .

1 pavyzdys. Raskite figūros plotą, kurį tiesiomis linijomis riboja kreivė y=sinx

Sprendimas: Figūros ploto radimas:

2 pavyzdys. Apskaičiuokite figūros, apribotos linijomis, plotą

Sprendimas: Raskime šių funkcijų grafikų susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, išsprendžiame lygčių sistemą

Iš čia randame x 1 = 0, x 2 = 2,5.

19. Diferencialinio valdymo samprata. Pirmosios eilės diferencialinės lygtys.

Diferencialinė lygtis- lygtis, jungianti funkcijos išvestinės reikšmę su pačia funkcija, nepriklausomo kintamojo reikšmėmis ir skaičiais (parametrais). Į lygtį įtrauktų išvestinių eilės tvarka gali būti skirtinga (formaliai ji niekuo neribojama). Išvestinės išvestinės, funkcijos, nepriklausomi kintamieji ir parametrai gali būti lygtyje įvairiais deriniais arba gali nebūti visų išvestinių, išskyrus vieną. Ne kiekviena lygtis, turinti nežinomos funkcijos išvestinius, yra diferencialinė lygtis. Pavyzdžiui, nėra diferencialinė lygtis.

Dalinės diferencialinės lygtys(PDF) yra lygtys, kuriose yra nežinomų kelių kintamųjų funkcijų ir jų dalinių išvestinių. Bendra tokių lygčių forma gali būti pavaizduota taip:

kur yra nepriklausomi kintamieji ir yra šių kintamųjų funkcija. Dalinių diferencialinių lygčių eiliškumą galima nustatyti taip pat, kaip ir įprastų diferencialinių lygčių atveju. Kita svarbi dalinių diferencialinių lygčių klasifikacija yra jų skirstymas į elipsinių, parabolinių ir hiperbolinių tipų lygtis, ypač antros eilės lygtims.

Galima suskirstyti įprastąsias diferencialines lygtis ir dalines diferencialines lygtis linijinis Ir netiesinis. Diferencialinė lygtis yra tiesinė, jei nežinoma funkcija ir jos išvestinės į lygtį patenka tik iki pirmojo laipsnio (ir nėra dauginamos viena su kita). Tokioms lygtims sprendiniai sudaro afininę funkcijų erdvės poerdvę. Tiesinių diferencialinių lygčių teorija išplėtota daug giliau nei netiesinių lygčių teorija. Bendras tiesinės diferencialinės lygties vaizdas n- užsakymas:

Kur p i(x) yra žinomos nepriklausomo kintamojo funkcijos, vadinamos lygties koeficientais. Funkcija r(x) dešinėje pusėje vadinamas nemokamas narys(vienintelis terminas, kuris nepriklauso nuo nežinomos funkcijos) Svarbi konkreti tiesinių lygčių klasė yra tiesinės diferencialinės lygtys su pastovūs koeficientai.

Tiesinių lygčių poklasis yra vienalytis diferencialinės lygtys - lygtys, kuriose nėra laisvo termino: r(x) = 0. Vienarūšėms diferencialinėms lygtims galioja superpozicijos principas: tiesinis tokios lygties dalinių sprendinių derinys bus ir jos sprendimas. Visos kitos tiesinės diferencialinės lygtys vadinamos nevienalytis diferencialines lygtis.

Netiesinės diferencialinės lygtys bendruoju atveju neturi sukurtų sprendimo būdų, išskyrus kai kurias specialiąsias klases. Kai kuriais atvejais (naudojant tam tikrus aproksimacijas) juos galima sumažinti iki tiesinių. Pavyzdžiui, harmoninio osciliatoriaus tiesinė lygtis gali būti laikomas matematinės švytuoklės netiesinės lygties aproksimacija mažos amplitudės atveju, kai y≈ nuodėmė y.

· - antros eilės homogeninė diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Sprendimas yra funkcijų šeima , kur ir yra savavališkos konstantos, kurios konkrečiam sprendimui nustatomos iš atskirai nurodytų pradinių sąlygų. Ši lygtis visų pirma apibūdina harmoninio osciliatoriaus, kurio ciklinis dažnis yra 3, judėjimą.

· Antrasis Niutono dėsnis gali būti parašytas diferencialinės lygties forma Kur m- kūno svoris, x- jos koordinatės, F(x, t) – jėga, veikianti kūną su koordinatėmis x tam tikru momentu t. Jo sprendimas yra kūno trajektorija veikiant nurodytai jėgai.

· Beselio diferencialinė lygtis yra įprasta tiesinė homogeninė antros eilės lygtis su kintamaisiais koeficientais: Jos sprendiniai yra Besselio funkcijos.

· Nehomogeninės netiesinės paprastosios 1 eilės diferencialinės lygties pavyzdys:

Kitoje pavyzdžių grupėje yra nežinoma funkcija u priklauso nuo dviejų kintamųjų x Ir t arba x Ir y.

· Pirmos eilės vienalytė tiesinė dalinė diferencialinė lygtis:

· Vienmatė bangų lygtis - vienalytė tiesinė antros eilės dalinė diferencialinė lygtis hiperbolinio tipo su pastoviais koeficientais, apibūdina stygos svyravimą, jei - stygos įlinkį taške su koordinate x tam tikru momentu t, ir parametras a nustato eilutės savybes:

· Laplaso lygtis dvimatėje erdvėje yra vienalytė tiesinė dalinė elipsinio tipo diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais, kylanti daugelyje fizikinių mechanikos, šilumos laidumo, elektrostatikos, hidraulikos problemų:

· Korteweg-de Vries lygtis, trečios eilės netiesinė dalinė diferencialinė lygtis, apibūdinanti stacionarias netiesines bangas, įskaitant solitonus:

20. Taikomos diferencialinės lygtys su atskirtomis. Tiesinės lygtys ir Bernulio metodas.

Pirmosios eilės tiesinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kuri yra tiesinė nežinomos funkcijos ir jos išvestinės atžvilgiu. Atrodo