Taškai skiriami vektoriams konstruoti. Koordinatės ir vektoriai

Algebrinė vektorinė projekcija bet kurioje ašyje yra lygus vektoriaus ilgio sandaugai iš kampo tarp ašies ir vektoriaus kosinuso:

Pr a b = | b | cos (a, b) arba

Kur a b yra vektorių skaliarinė sandauga, | a | yra vektoriaus a modulis.

Instrukcija. Norėdami rasti vektoriaus Пp a b projekciją internetiniame režime, turite nurodyti vektorių a ir b koordinates. Šiuo atveju vektorius gali būti nurodytas plokštumoje (dvi koordinatės) ir erdvėje (trys koordinatės). Gautas sprendimas išsaugomas Word faile. Jei vektoriai nurodomi per taškų koordinates, tuomet reikia naudoti šį skaičiuotuvą.

Vektorinės projekcijos klasifikacija

Projekcijų tipai pagal apibrėžimo vektorinę projekciją

Koordinačių projekcijos vaizdai

Vektorinės projekcijos savybės

Vektoriaus geometrinė projekcija yra vektorius (turi kryptį).
Algebrinė vektoriaus projekcija yra skaičius.

Vektorinės projekcijos teoremos

1 teorema. Vektorių sumos projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektorių dalių projekcijai į tą pačią ašį.

2 teorema. Algebrinė vektoriaus projekcija į bet kurią ašį yra lygi vektoriaus ilgio ir kampo tarp ašies ir vektoriaus kosinuso sandaugai:

Pr a b = | b | cos (a, b)

Vektorių projekcijų tipai

projekcija OX ašyje.
projekcija į OY ašį.
vektorinė projekcija.

OX projekcija	OY ašies projekcija	Vektorinė projekcija
Jei vektoriaus A'B kryptis 'sutampa su OX ašies kryptimi, tai vektoriaus A'B' projekcija turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A'B kryptis 'sutampa su OY ašies kryptimi, tai vektoriaus A'B' projekcija turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A'B kryptis 'sutampa su vektoriaus NM kryptimi, tai vektoriaus A'B' projekcija turi teigiamą ženklą.
Jei vektoriaus kryptis yra priešinga OX ašies krypčiai, tai vektoriaus A'B projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A'B' kryptis yra priešinga OY ašies krypčiai, tai vektoriaus A'B' projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus A'B' kryptis yra priešinga vektoriaus NM krypčiai, tai vektoriaus A'B' projekcija turi neigiamą ženklą.
Jei vektorius AB yra lygiagretus OX ašiai, tai vektoriaus A'B' projekcija yra lygi vektoriaus AB absoliučiai vertei.	Jei vektorius AB yra lygiagretus OY ašiai, tai vektoriaus A'B' projekcija yra lygi vektoriaus AB absoliučiai vertei.	Jeigu vektorius AB lygiagretus vektoriui NM, tai vektoriaus A'B' projekcija lygi vektoriaus AB moduliui.
Jei vektorius AB yra statmenas OX ašiai, tada projekcija A'B' lygi nuliui (nulis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas OY ašiai, tai projekcija A'B' lygi nuliui (nulis vektorius).	Jeigu vektorius AB yra statmenas vektoriui NM, tai projekcija A'B' lygi nuliui (nulis vektorius).

1. Klausimas: ar vektorinė projekcija gali turėti neigiamą ženklą. Atsakymas: Taip, vektorinė projekcija gali būti neigiama. Šiuo atveju vektorius turi priešingą kryptį (žr., kaip nukreipta OX ašis ir AB vektorius)
2. Klausimas: ar vektoriaus projekcija gali būti tokia pati kaip vektoriaus modulis. Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektoriai yra lygiagretūs (arba kolineariniai).
3. Klausimas: ar vektoriaus projekcija gali būti lygi nuliui (nulis-vektorius). Atsakymas: Taip, gali. Šiuo atveju vektorius yra statmenas atitinkamai ašiai (vektoriui).

1 pavyzdys. Vektorius (1 pav.) sudaro 60° kampą su OX ašimi (jis nurodomas vektoriumi a). Jei OE yra mastelio vienetas, tada | b | = 4, taigi .

Iš tiesų, vektoriaus ilgis (geometrinė projekcija b) yra 2, o kryptis sutampa su OX ašies kryptimi.

2 pavyzdys. Vektorius (2 pav.) sudaro kampą (a, b) = 120 o su OX ašimi (su vektoriumi a). Ilgis | b | vektorius b lygus 4, todėl pr a b = 4 · cos120 o = -2.

Iš tiesų, vektoriaus ilgis yra 2, o kryptis yra priešinga ašies krypčiai.

Pirmas lygis

Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2019 m.)

Šiame straipsnyje jūs ir aš pradėsime diskusiją apie vieną „stebuklingą lazdelę“, kuri leis jums sumažinti daugybę geometrijos uždavinių iki paprastos aritmetikos. Ši „lazdelė“ gali labai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač tuo atveju, kai jaučiatės nesaugiai statydami erdvines figūras, pjūvius ir pan.. Visa tai reikalauja tam tikros fantazijos ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes čia pradėsime svarstyti, leis jums beveik visiškai abstrahuotis nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir samprotavimų. Metodas vadinamas "Koordinačių metodas"... Šiame straipsnyje mes apsvarstysime šiuos klausimus:

Koordinačių plokštuma
Taškai ir vektoriai plokštumoje
Vektoriaus konstravimas iš dviejų taškų
Vektoriaus ilgis (atstumas tarp dviejų taškų)
Vidurio taško koordinatės
Taškinė vektorių sandauga
Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, jau atspėjote, kodėl koordinačių metodas taip vadinamas? Tiesa, tokį pavadinimą jis gavo, nes operuoja ne geometriniais objektais, o jų skaitinėmis charakteristikomis (koordinatėmis). O pati transformacija, leidžianti pereiti nuo geometrijos prie algebros, susideda iš koordinačių sistemos įvedimo. Jei pradinė figūra buvo plokščia, tai koordinatės yra dvimatės, o jei figūra yra trimatė, tada koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dvimatį atvejį. O pagrindinis straipsnio tikslas – išmokyti naudotis kai kuriais pagrindiniais koordinačių metodo metodais (jie kartais būna naudingi sprendžiant planimetrijos uždavinius egzamino B dalyje). Kiti du skyriai šia tema yra skirti C2 uždavinių (stereometrijos problemos) sprendimo metodų aptarimui.

Kur būtų logiška pradėti diskutuoti apie koordinačių metodą? Tikriausiai iš koordinačių sistemos sampratos. Prisiminkite, kai pirmą kartą su ja susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie tiesinės funkcijos egzistavimą, pavyzdžiui. Leiskite jums priminti, kad jūs tai sukūrėte taškas po taško. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeitėte jį į formulę ir taip apskaičiavote. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt Ką galiausiai gavote? Ir gavote taškus su koordinatėmis: ir. Tada nubraižėte „kryželį“ (koordinačių sistemą), pasirinkote jame skalę (kiek langelių turėsite kaip vienetinį segmentą) ir pažymėjote jame gautus taškus, kuriuos vėliau sujungėte tiesia linija, gauta linija. yra funkcijos grafikas.

Čia yra keletas punktų, kurie turėtų būti jums paaiškinti šiek tiek išsamiau:

1. Patogumo sumetimais pasirenkate vieną segmentą, kad viskas gražiai ir kompaktiškai tilptų paveikslėlyje.

2. Daroma prielaida, kad ašis eina iš kairės į dešinę, o ašis – iš apačios į viršų.

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų susikirtimo taškas vadinamas pradžia. Tai nurodoma laiške.

4. Rašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taško koordinatė išilgai ašies, o dešinėje – išilgai ašies. Visų pirma, tai tiesiog reiškia, kad taške

5. Norint nustatyti bet kurį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti jo koordinates (2 skaičiai)

6. Bet kuriame ašies taške

7. Bet kuriame ašies taške

8. Ašis vadinama abscisių ašimi.

9. Ašis vadinama y ašimi.

Dabar imkime kitą žingsnį su jumis: pažymėkite du taškus. Sujungkime šiuos du taškus atkarpa. Ir mes įdėsime rodyklę taip, lyg brėžtume atkarpą iš taško į tašką: tai yra, mes padarysime savo segmentą nukreiptą!

Prisiminkite, kaip dar vadinama kryptinė linija? Teisingai, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei sujungsime tašką su tašku, be to, pradžia bus taškas A, o pabaiga bus taškas B, tada gauname vektorių. Jūs taip pat darėte šią formaciją 8 klasėje, pamenate?

Pasirodo, vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem skaičiais: šie skaičiai vadinami vektoriaus koordinatėmis. Kyla klausimas: ar, jūsų nuomone, mums užtenka žinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates, kad rastume jo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprastai:

Taigi, kadangi vektoriaus taškas yra pradžia, o a yra pabaiga, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, tada vektoriaus koordinatės

Dabar padarykime priešingai, suraskime vektoriaus koordinates. Ką mes turime pakeisti dėl to? Taip, reikia sukeisti pradžią ir pabaigą: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o pabaiga – taške. Tada:

Atidžiai pažiūrėkite, kaip yra vektoriai ir? Vienintelis jų skirtumas yra ženklai koordinatėse. Jie yra priešingi. Įprasta šį faktą rašyti taip:

Kartais, jei konkrečiai nenurodyta, kuris taškas yra vektoriaus pradžia, o kuris pabaiga, vektoriai žymimi ne dviem didžiosiomis raidėmis, o viena mažąja raide, pvz.: ir t.t.

Dabar šiek tiek praktika save ir raskite šių vektorių koordinates:

Egzaminas:

Dabar išspręskite problemą šiek tiek sunkiau:

Vektor su na-cha-lom taške turi co-or-di-na-ty. Ne-di-tie abs-cis-su taškai.

Visa tai yra gana proziška: tegul yra taško koordinatės. Tada

Sistemą sudariau pagal apibrėžimą, kokios yra vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mus domina abscisė. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite padaryti su vektoriais? Taip, beveik viskas yra taip pat, kaip ir su paprastais skaičiais (išskyrus tai, kad jūs negalite padalyti, bet galite dauginti dviem būdais, iš kurių vieną aptarsime čia šiek tiek vėliau)

Vektorius galima pridėti vienas prie kito
Vektorius galima atimti vienas iš kito
Vektorius galima padauginti (arba padalyti) iš savavališko skaičiaus, kuris nėra nulis
Vektorius galima padauginti vienas iš kito

Visos šios operacijos turi labai aiškų geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagretainio) sudėties ir atimties taisyklė:

Vektorius plečiasi, susitraukia arba keičia kryptį, kai padauginamas arba dalinamas iš skaičiaus:

Tačiau čia mus domina klausimas, kas vyksta su koordinatėmis.

1. Sudėjus (atimant) du vektorius, jų koordinates sudedame (atimame) elementas po elemento. Tai yra:

2. Dauginant (dalinant) vektorių iš skaičiaus, visos jo koordinatės dauginamos (dalinamos) iš šio skaičiaus:

Pavyzdžiui:

· Nay-di-te ko-or-di-nat vek-to-ra suma.

Pirmiausia suraskime kiekvieno vektoriaus koordinates. Jie abu turi tą pačią kilmę – pradinį tašką. Jų galai skiriasi. Tada,. Dabar apskaičiuokime vektoriaus koordinates Tada gauto vektoriaus koordinačių suma yra.

Atsakymas:

Dabar išspręskite šią problemą patys:

Raskite vektoriaus koordinačių sumą

Mes tikriname:

Dabar panagrinėkime šią problemą: turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas būna, o antrasis. Pažymime atstumą tarp jų. Aiškumo dėlei padarykite tokį piešinį:

Ką aš padariau? Pirmiausia sujungiau taškus ir taip pat iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją, o iš taško nubrėžiau ašiai lygiagrečią liniją. Ar jie susikirto taške ir taip susidarė nuostabi figūra? Kuo jis yra nuostabus? Taip, jūs ir aš žinome beveik viską apie stačiakampį trikampį. Na, Pitagoro teorema – tikrai. Ieškomas segmentas yra šio trikampio hipotenuzė, o segmentai yra kojos. Kokios yra taško koordinatės? Taip, juos lengva rasti iš paveikslėlio: Kadangi atkarpos yra lygiagrečios ašims ir, atitinkamai, jų ilgius lengva rasti: jei segmentų ilgius pažymėsite atitinkamai, tada

Dabar pasinaudokime Pitagoro teorema. Žinome kojų ilgius, rasime hipotenuzą:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra skirtumų nuo koordinačių kvadratų sumos šaknis. Arba – atstumas tarp dviejų taškų yra juos jungiančios linijos ilgis. Nesunku pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš to darome tris išvadas:

Šiek tiek pasitreniruokime apskaičiuodami atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei, tada atstumas tarp ir yra lygus

Arba eikime kitaip: raskite vektoriaus koordinates

Ir raskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tas pats!

Dabar atlikite šiek tiek pratimų patys:

Užduotis: raskite atstumą tarp nurodytų taškų:

Mes tikriname:

Čia yra dar kelios tos pačios formulės problemos, nors jos skamba šiek tiek kitaip:

1. Nay-di-te kvadratinė žiurkė, kurios ilgis nuo amžiaus iki ra.

2. Nay-di-te kvadratinė žiurkė, kurios ilgis nuo amžiaus iki ra

Manau, su jais tau tai pavyko lengvai? Mes tikriname:

1. Ir tai dėmesiui) Mes jau radome vektorių koordinates ir anksčiau:. Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra

Nieko sudėtingo, tiesa? Paprasta aritmetika, nieko daugiau.

Šios užduotys negali būti vienareikšmiškai suskirstytos į kategorijas, jos labiau linkusios į bendrą erudiciją ir gebėjimą piešti paprastus paveikslus.

1. Netiesioginis kampo įjungimo-išpjovimo sinusas, bendras taškas su abscisių ašimi.

Ką mes čia veiksim? Turite rasti kampo tarp ir ašies sinusą. O kur mes žinome, kaip ieškoti sinuso? Dešinėje, stačiakampiame trikampyje. Taigi ką mes turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Kadangi taško koordinatės yra ir, atkarpa yra lygi, o atkarpa. Turime rasti kampo sinusą. Leiskite jums priminti, kad sinusas yra priešingos kojos ir hipotenuzės santykis

Kas mums belieka? Raskite hipotenuzę. Tai galite padaryti dviem būdais: pagal Pitagoro teoremą (kojos žinomos!) Arba pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę (iš tikrųjų tai tas pats, kas pirmuoju būdu!). Eisiu antru keliu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodys dar lengvesnė. Ji – taško koordinates.

2 tikslas. Per-pen-di-ku-lar nuleidžiamas nuo taško iki abs-ciss ašies. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Padarykime piešinį:

Statmens pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta abscisių ašį (ašį), man tai yra taškas. Paveikslėlyje parodyta, kad jis turi koordinates:. Mus domina abscisė – tai yra „x“ komponentas. Tai lygu.

Atsakymas: .

3 tikslas. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite atstumų nuo taško iki koordinačių ašių sumą.

Užduotis paprastai yra elementari, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek primenu:

Taigi, savo paveikslėlyje, esančiame šiek tiek aukščiau, aš jau nubrėžiau vieną tokį statmeną? Kuriai ašiai ji skirta? Į ašį. Ir kam tada lygus jo ilgis? Tai lygu. Dabar patys nubrėžkite statmeną ašiai ir suraskite jo ilgį. Bus lygus, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. 2 uždavinio sąlygomis suraskite taško ordinatę, simetrišką taškui abscisių ašies atžvilgiu.

Manau, kad jūs intuityviai suprantate, kas yra simetrija? Jį turi daugelis objektų: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daugybė geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratas, rombas ir tt Grubiai tariant, simetrija gali būti suprantama taip: figūra susideda iš dviejų (ar daugiau) vienodų pusių. Ši simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra būtent ta linija, išilgai kurios, santykinai tariant, figūrą galima „perpjauti“ į identiškas puses (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime prie mūsų problemos. Žinome, kad ieškome taško, kuris būtų simetriškas ašies atžvilgiu. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Tai reiškia, kad turime pažymėti tašką, kad ašis supjaustytų segmentą į dvi lygias dalis. Pabandykite patys pažymėti tokį tašką. Dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tu padarei tą patį? GERAI! Rastame taške mus domina ordinatės. Ji lygi

Atsakymas:

Dabar pasakyk man, pagalvojus apie sekundes, kokia bus taško abscisė, simetriška taškui A ordinatės atžvilgiu? Koks tavo atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Apskritai taisyklę galima parašyti taip:

Taškas, simetriškas taškui abscisių ašies atžvilgiu, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškui aplink ordinačių ašį, turi koordinates:

Na, dabar visiškai baisu užduotis: suraskite taško, kuris yra simetriškas taškui, koordinates pradžios taško atžvilgiu. Pirmiausia pagalvok pats, o tada pažiūrėk į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar lygiagretainio problema:

5 uždavinys: taškai yra ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: logika ir koordinačių metodu. Pirmiausia taikysiu koordinačių metodą, o tada pasakysiu, kaip galite nuspręsti kitaip.

Visiškai aišku, kad taško abscisė lygi. (jis guli ant statmens, nubrėžto nuo taško iki abscisių ašies). Turime rasti ordinates. Pasinaudokime tuo, kad mūsų figūra yra lygiagretainis, o tai reiškia. Raskite atkarpos ilgį naudodami atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Nuleidžiame statmeną, jungiantį tašką su ašimi. Sankirtos taškas bus pažymėtas raide.

Segmento ilgis yra. (raskite pačią problemą, kur aptarėme šį punktą), tada atkarpos ilgį rasime pagal Pitagoro teoremą:

Linijos ilgis lygiai toks pat kaip ir jos ordinatės.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu jį iliustruojančią nuotrauką)

Sprendimo eiga:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodykite tai.

Kitas segmento ilgio problema:

Rodomi taškai-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te yra jos vidurinės linijos ilgis, paral-lel-noy.

Ar prisimeni, kas yra trikampio vidurio linija? Tada ši užduotis jums elementari. Jei neprisimenate, priminsiu: trikampio vidurio linija yra linija, jungianti priešingų kraštinių vidurio taškus. Jis yra lygiagretus pagrindui ir lygus jo pusei.

Pagrindas yra linijos segmentas. Jo ilgio teko ieškoti anksčiau, jis lygus. Tada vidurinės linijos ilgis yra pusė ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: šią problemą galima išspręsti ir kitu būdu, kurį pakalbėsime šiek tiek vėliau.

Tuo tarpu štai jums kelios užduotys, praktikuokite jas, jos gana paprastos, bet padeda „pagauti ranką“ koordinačių metodu!

1. Taškai yra ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te yra jos vidurinės linijos ilgis.

2. Taškai ir are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai.

3. Nay-di-te ilgis nuo pjūvio, bendras-nya-yu-shch-go taškas ir

4. Nay-di-te plotas gražus fi-gu-ry co-or-di-nat-noy plokštumoje.

5. Apskritimas, kurio centras yra na-cha-le ko-or-di-nat, eina per tašką. Nay-di-te jos ra-di-us.

6. Apskritimo Nai-di-te ra-di-us, aprašytas-san-noy aplink rect-coal-ni-ka, ko-to-ro-go viršūnės turi co-op -di-na -Tu bendražygis, bet

Sprendimai:

1. Žinoma, kad trapecijos vidurio tiesė lygi jos pagrindų pusei. Pagrindas yra lygus, o pagrindas yra. Tada

Atsakymas:

2. Lengviausias būdas išspręsti šią problemą yra tai pastebėti (lygiagretainio taisyklė). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir nėra sunku:. Sudėjus vektorius, pridedamos koordinatės. Tada turi koordinates. Taškas taip pat turi tas pačias koordinates, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Mus domina ordinatės. Tai lygu.

Atsakymas:

3. Nedelsdami veikiame pagal atstumo tarp dviejų taškų formulę:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių dviejų formų užtemdyta sritis yra „įterpta“? Jis yra tarp dviejų kvadratų. Tada reikiamos figūros plotas lygus didelio kvadrato plotui atėmus mažojo plotą. Mažo kvadrato kraštinė yra linijos atkarpa, jungianti taškus, o jos ilgis yra

Tada mažo kvadrato plotas yra

Tą patį darome su dideliu kvadratu: jo kraštinė yra atkarpa, jungianti taškus, o ilgis -

Tada didelės aikštės plotas yra

Reikiamos figūros plotą randame pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimo centras yra koordinačių pradžia ir jis eina per tašką, tada jo spindulys bus lygiai lygus atkarpos ilgiui (nupieškite paveikslėlį ir suprasite, kodėl tai akivaizdu). Raskime šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Žinoma, kad apie stačiakampį apibrėžto apskritimo spindulys lygus pusei jo įstrižainės. Raskime bet kurios iš dviejų įstrižainių ilgį (juk stačiakampyje jos yra lygios!)

Atsakymas:

Na, ar su viskuo susitvarkei? Nebuvo labai sunku tai suprasti, ar ne? Taisyklė čia viena – sugebėti padaryti vaizdinį vaizdą ir iš jo tiesiog „perskaityti“ visus duomenis.

Mums liko labai nedaug. Yra dar du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime išspręsti šią paprastą problemą. Tegu du taškai ir duota. Raskite atkarpos vidurio taško koordinates. Šios problemos sprendimas yra toks: tegul taškas yra norimas vidurio taškas, tada jis turi koordinates:

Tai yra: atkarpos vidurio taško koordinatės = atitinkamų atkarpos galų koordinačių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė labai paprasta ir dažniausiai nesukelia mokiniams sunkumų. Pažiūrėkime, kokios užduotys ir kaip jos naudojamos:

1. Nay-di-te arba-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point ir

2. Rodomi taškai-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te arba-di-na-tu taškai pe-re-se-ch-niya jo dia-go-na-lei.

3. Nay-di-tie abs-cis-su apskritimo centras-tra, aprašyti-san-noy šalia anglies-no-ka, ko-to-ro-go viršūnės turi co-op-di- na-tu bendradarbis-bet.

Sprendimai:

1. Pirmoji problema – tik klasika. Mes nedelsdami nustatome segmento vidurį. Turi koordinates. Ordinatė yra.

Atsakymas:

2. Nesunku pastebėti, kad duotasis keturkampis yra lygiagretainis (netgi rombas!). Tai galite įrodyti patys, apskaičiuodami kraštinių ilgius ir lygindami juos tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagretainį? Jo įstrižainės sumažinamos per pusę susikirtimo taško! Aha! Taigi koks yra įstrižainių susikirtimo taškas? Tai bet kurios įstrižainės vidurys! Visų pirma pasirinksiu įstrižainę. Tada taškas turi koordinates Taško ordinatė lygi.

Atsakymas:

3.Kuo yra stačiakampio apskritimo centras? Jis sutampa su jo įstrižainių susikirtimo tašku. Ką žinote apie stačiakampio įstrižaines? Jie yra lygūs, o sankirta yra perpus mažesnė. Užduotis buvo sumažinta iki ankstesnės. Paimkite, pavyzdžiui, įstrižainę. Tada, jei yra apibrėžto apskritimo centras, tai yra vidurys. Ieškau koordinačių: Abscisė yra lygi.

Atsakymas:

Dabar šiek tiek pasipraktikuokite patys, tik pateiksiu atsakymus į kiekvieną problemą, kad galėtumėte save išbandyti.

1. Apskritimo Nai-di-te ra-di-us, aprašytas-san-noy aplink trikampį, co-to-ro-go viršūnės turi co-or-di -no misters

2. Nay-di-te arba-di-na-tu apskritimo centras-tra, apibūdinkite-san-noy aplink trikampį-nik, ko-to-ro-go viršūnės turi koordinates

3. How-to-ra-di-u-sa ar taške turi būti apskritimas su centru, kad jis liestų abs-cissa ašį?

4. Nay-di-te arba-di-na-tu ašies ir ribinio sėjimo taškai, co-uni-nya-yu-shch-go taškai ir

Atsakymai:

Ar pavyko? Labai to tikiuosi! Dabar – paskutinis postūmis. Būkite ypač atsargūs dabar. Medžiaga, kurią dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijusi ne tik su paprastais koordinačių metodo uždaviniais iš B dalies, bet ir visur C2 uždavinyje.

Kurio iš savo pažadų dar neištesėjau? Prisimeni, kokias operacijas su vektoriais žadėjau įvesti ir kokias galiausiai įvedžiau? Ar aš tikras, kad nieko nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, ką reiškia vektorių daugyba.

Yra du būdai, kaip vektorių padauginti iš vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, gausime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorinis produktas yra gana sudėtingas. Kaip tai padaryti ir kam tai skirta, aptarsime su jumis kitame straipsnyje. O šiame daugiausia dėmesio skirsime taškiniam produktui.

Jau yra du būdai jį apskaičiuoti:

Kaip ir atspėjote, rezultatas turėtų būti toks pat! Taigi pirmiausia pažvelkime į pirmąjį būdą:

Taškinis produktas pagal koordinates

Raskite: - bendrą taškinį produkto žymėjimą

Skaičiavimo formulė yra tokia:

Tai yra, taškinė sandauga = vektorių koordinačių sandaugų suma!

Pavyzdys:

Nai di te

Sprendimas:

Raskime kiekvieno vektoriaus koordinates:

Taškinį sandaugą apskaičiuojame pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nieko sudėtingo!

Na, o dabar pabandykite patys:

Nay-di-te skalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat ir

Ar susitvarkei? Galbūt pastebėjote mažą laimikį? Patikrinkime:

Vektorių koordinatės tokios pat kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti taško sandaugą, būtent pagal vektorių ilgius ir kampo tarp jų kosinusą:

Nurodo kampą tarp vektorių ir.

Tai yra, taškinė sandauga yra lygi vektorių ilgių ir kampo tarp jų kosinuso sandaugai.

Kam reikalinga ši antroji formulė, jei turime pirmąją, kuri yra daug paprastesnė, joje bent jau nėra kosinusų. Ir jis reikalingas tam, kad iš pirmos ir antros formulių galėtume spręsti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite Tada prisiminkite vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į taško produkto formulę, gaunu:

Bet iš kitos pusės:

Taigi ką jūs ir aš gavome? Dabar turime formulę kampui tarp dviejų vektorių apskaičiuoti! Kartais dėl trumpumo taip pat parašyta:

Tai yra, kampo tarp vektorių skaičiavimo algoritmas yra toks:

Apskaičiuokite taško sandaugą koordinatėmis
Raskite vektorių ilgius ir padauginkite juos
1 taško rezultatą padalinkite iš 2 punkto rezultato

Praktikuokime su pavyzdžiais:

1. Nay-di-te yra kampas tarp amžiaus iki ra-mi ir. Pateikite atsakymą gra-du-sakh.

2. Pagal ankstesnio uždavinio sąlygas raskite kosinusą tarp vektorių

Padarykime taip: aš padėsiu jums išspręsti pirmąją problemą, o antrąją pabandykite padaryti patys! Sutinku? Tada pradėkime!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni pažįstami. Mes jau suskaičiavome jų taškinį produktą ir buvo lygus. Jų koordinatės yra:,. Tada randame jų ilgius:

Tada mes ieškome kosinuso tarp vektorių:

Koks yra kampo kosinusas? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Dabar išspręskite antrąją problemą patys, o tada palyginsime! Pateiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. turi koordinates, turi koordinates.

Leisti būti kampas tarp vektorių ir, tada

Atsakymas:

Pažymėtina, kad problemos tiesiogiai ant vektorių ir koordinačių metodo egzamino darbo B dalyje yra gana reti. Tačiau daugumą C2 problemų galima nesunkiai išspręsti įdiegus koordinačių sistemą. Taigi šį straipsnį galite laikyti pagrindu, kurio pagrindu sukursime gana gudrias konstrukcijas, kurių mums prireiks sprendžiant sudėtingas problemas.

KOORDINATES IR VEKTORIAI. VIDUTINIS ROVEN

Jūs ir aš toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje išvedėme keletą svarbių formulių, kurios leidžia:

Raskite vektorių koordinates
Raskite vektoriaus ilgį (arba atstumą tarp dviejų taškų)
Sudėkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos iš tikrojo skaičiaus
Raskite linijos atkarpos vidurio tašką
Apskaičiuokite vektorių taškinę sandaugą
Raskite kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas netelpa į šiuos 6 taškus. Tai yra tokio mokslo, kaip analitinė geometrija, esmė, su kuria jūs turite susipažinti universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pagrindą, kuris leistų jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. egzaminas. Išsiaiškinome B dalies užduotis Dabar atėjo laikas pereiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirtas tų uždavinių C2, kuriuose būtų tikslinga pereiti prie koordinačių metodo, sprendimo būdui. Šį racionalumą lemia tai, ką reikia rasti užduotyje ir koks skaičius pateikiamas. Taigi, aš naudočiau koordinačių metodą, jei klausimai yra tokie:

Raskite kampą tarp dviejų plokštumų
Raskite kampą tarp linijos ir plokštumos
Raskite kampą tarp dviejų tiesių
Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
Raskite atstumą nuo taško iki tiesės
Raskite atstumą nuo tiesės iki plokštumos
Raskite atstumą tarp dviejų tiesių

Jei problemos teiginyje pateikta figūra yra apsisukimo kūnas (rutulys, cilindras, kūgis ...)

Tinkamos koordinačių metodo formos:

Stačiakampis gretasienis
Piramidė (trikampė, keturkampė, šešiakampė)

Taip pat iš mano patirties netikslinga naudoti koordinačių metodą:

Skerspjūvio plotų radimas
Kūnų tūrio skaičiavimas

Tačiau iš karto reikia pastebėti, kad trys koordinačių metodui „nepalankios“ situacijos praktikoje pasitaiko gana retai. Daugumoje užduočių jis gali tapti jūsų gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatėse konstrukcijose (kurios kartais būna gana įmantrios).

Kokie yra visi skaičiai, kuriuos išvardijau aukščiau? Jie nebėra plokšti, kaip, pavyzdžiui, kvadratas, trikampis, apskritimas, o trimačiai! Atitinkamai, turime atsižvelgti į ne dvimatę, o trimatę koordinačių sistemą. Jis sukonstruotas gana lengvai: tik be abscisių ir ordinačių ašių pristatysime dar vieną ašį – taikomąją ašį. Paveiksle schematiškai parodyta jų santykinė padėtis:

Visos jos yra viena kitai statmenos, susikerta viename taške, kurį vadinsime pradžia. Abscisių ašis, kaip ir anksčiau, bus pažymėta, ordinačių ašis - ir įvesta taikymo ašis -.

Jei anksčiau kiekvienas plokštumos taškas buvo apibūdintas dviem skaičiais – abscisėmis ir ordinatėmis, tai kiekvienas erdvės taškas jau apibūdinamas trimis skaičiais – abscise, ordinate, aplikacija. Pavyzdžiui:

Atitinkamai, taško abscisė yra lygi, ordinatė yra, o aplikacija yra.

Kartais taško abscisė taip pat vadinama taško projekcija į abscisių ašį, ordinatė yra taško projekcija į ordinačių ašį, o aplikacija yra taško projekcija į taikomąją ašį. Atitinkamai, jei nurodytas taškas, tada taškas su koordinatėmis:

vadinama taško projekcija į plokštumą

Kyla natūralus klausimas: ar visos dvimačio atvejo formulės galioja erdvėje? Atsakymas yra taip, jie yra teisingi ir atrodo vienodai. Dėl smulkmenų. Manau, jau atspėjote, kuriam. Prie visų formulių turėsime pridėti dar vieną terminą, kuris yra atsakingas už taikomąją ašį. Būtent.

1. Jei duodami du taškai:, tada:

Vektorinės koordinatės:
Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgis)
Atkarpos vidurys turi koordinates

2. Jei pateikti du vektoriai: ir, tada:

Jų taškinis produktas yra:
Kampo tarp vektorių kosinusas yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip galite įsivaizduoti, pridėjus dar vieną koordinatę, šioje erdvėje „gyvenančių“ figūrų spektras labai skiriasi. O tolimesniam pasakojimui reikia įvesti šiek tiek, grubiai tariant, tiesios linijos „apibendrinimą“. Šis „apibendrinimas“ yra plokštuma. Ką tu žinai apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą, kas yra lėktuvas? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai suprantame, kaip tai atrodo:

Grubiai tariant, tai yra savotiškas begalinis „lapas“, įspraustas į erdvę. „Begalybė“ turėtų būti suprantama taip, kad plokštuma tęsiasi visomis kryptimis, tai yra, jos plotas lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas „ant pirštų“ nesuteikia nė menkiausio supratimo apie lėktuvo struktūrą. Ir mums tai bus įdomu.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos aksiomų:

tiesi linija eina per du skirtingus plokštumos taškus, be to, tik vienas:

Arba jo atitikmuo erdvėje:

Žinoma, atsimenate, kaip iš dviejų nurodytų taškų išvesti tiesės lygtį, tai visai nesunku: jei pirmas taškas turi koordinates: o antrasis, tada tiesės lygtis bus tokia:

Jūs tai išgyvenote 7 klasėje. Erdvėje tiesės lygtis atrodo taip: turėkime du taškus su koordinatėmis:, tada per juos einančios tiesės lygtis turi tokią formą:

Pavyzdžiui, tiesi linija eina per taškus:

Kaip tai reikėtų suprasti? Tai turėtų būti suprantama taip: taškas yra tiesioje linijoje, jei jo koordinatės atitinka šią sistemą:

Tiesės lygtis mums nelabai bus įdomi, bet reikia atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesės nukreipiančiojo vektoriaus sampratą. - bet koks nulinis vektorius, esantis nurodytoje tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesės krypties vektoriai. Leisti būti tašku, esančiu tiesioje linijoje, ir būti jo krypties vektoriumi. Tada tiesės lygtį galima parašyti tokia forma:

Dar kartą aš nelabai domiuosi tiesės lygtimi, bet man tikrai reikia, kad atsimintumėte, kas yra krypties vektorius! Dar kartą: tai BET koks nulinis vektorius, esantis tiesėje arba lygiagrečiai jai.

Atsitraukti plokštumos trijuose duotuose taškuose lygtis nebėra toks nereikšmingas, ir dažniausiai šis klausimas nesprendžiamas vidurinės mokyklos kursuose. Bet veltui! Šis metodas yra gyvybiškai svarbus, kai naudojame koordinačių metodą sudėtingoms problemoms spręsti. Tačiau aš manau, kad jūs trokštate išmokti ko nors naujo? Negana to, universitete galėsite sužavėti savo dėstytoją, kai paaiškės, kad jau žinote, kaip su metodika, kuri įprastai studijuojama analitinės geometrijos kursuose. Taigi pradėkime.

Plokštumos lygtis per daug nesiskiria nuo tiesės plokštumoje lygties, būtent ji turi tokią formą:

kai kurie skaičiai (ne visi lygūs nuliui), bet kintamieji, pvz.: etc. Kaip matote, plokštumos lygtis nelabai skiriasi nuo tiesės (tiesinės funkcijos) lygties. Tačiau prisimeni, ką tu ir aš pasakėme? Sakėme, kad jei turime tris taškus, kurie nėra vienoje tiesėje, tai iš jų galima vienareikšmiškai atkurti plokštumos lygtį. Bet kaip? Pabandysiu tau paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis turi tokią formą:

Ir taškai priklauso šiai plokštumai, tada pakeisdami kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turėtume gauti teisingą tapatybę:

Taigi tampa būtina išspręsti tris lygtis net ir su nežinomaisiais! Dilema! Tačiau visada galite tai manyti (tam reikia padalyti iš). Taigi gauname tris lygtis su trimis nežinomaisiais:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, o išrašysime paslaptingą posakį, kuris išplaukia iš jos:

Plokštumos, einančios per tris duotus taškus, lygtis

\ [\ liko | (\ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = 0 \]

Sustabdyti! Kas čia? Kažkoks labai neįprastas modulis! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendra su moduliu. Šis objektas vadinamas trečios eilės determinantu. Nuo šiol, kai sprendžiate koordinačių metodą plokštumoje, labai dažnai susidursite su tais pačiais determinantais. Kas yra trečios eilės determinantas? Kaip bebūtų keista, tai tik skaičius. Belieka suprasti, kokį konkretų skaičių lyginsime su determinantu.

Pirmiausia parašykime trečios eilės determinantą bendresne forma:

Kur yra keletas skaičių. Be to, pirmuoju indeksu turime omenyje eilutės numerį, o indeksu - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad nurodytas skaičius yra antrosios eilutės ir trečiojo stulpelio sankirtoje. Užduokime kitą klausimą: kaip tiksliai apskaičiuosime tokį determinantą? Tai yra, kokį konkretų skaičių mes priderinsime prie jo? Trečiosios eilės determinantui yra euristinė (vaizdinė) trikampio taisyklė, ji atrodo taip:

Pagrindinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio kairiojo kampo į apatinį dešinįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmena“ pagrindinei antrąjį trikampį sudarančių elementų įstrižainei sandauga „statmenai“ pagrindiniam trikampiui. įstrižainės
Antrinės įstrižainės elementų sandauga (iš viršutinio dešiniojo kampo į apatinį kairįjį) pirmąjį trikampį sudarančių elementų sandauga „statmenai“ antrąjį trikampį sudarančių elementų antrinės įstrižainės sandauga „statmenai“ antriniam trikampiui įstrižainės
Tada determinantas yra lygus skirtumui tarp verčių, gautų žingsnyje ir

Jei visa tai parašysime skaičiais, gausime tokią išraišką:

Nepaisant to, šioje formoje nereikia įsiminti skaičiavimo metodo, užtenka tik išlaikyti trikampius ir pačią idėją, kas prie ko prideda ir kas tada iš ko atimama).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdžiu:

1. Apskaičiuokite determinantą:

Išsiaiškinkime, ką pridedame ir ką atimame:

Sąvokos su „pliusu“:

Tai yra pagrindinė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridėkite tris skaičius:

Sąlygos su „minusu“

Tai šoninė įstrižainė: elementų sandauga yra

Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai: elementų sandauga yra

Antrasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai: elementų sandauga yra

Pridėkite tris skaičius:

Viskas, ką reikia padaryti, tai iš pliuso terminų sumos atimti minuso terminų sumą:

Taigi,

Kaip matote, apskaičiuojant trečiosios eilės determinantus nėra nieko sudėtingo ir antgamtiško. Tiesiog svarbu atsiminti apie trikampius ir nedaryti aritmetinių klaidų. Dabar pabandykite patys apskaičiuoti:

Mes tikriname:

Pirmasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
Antrasis trikampis, statmenas pagrindinei įstrižai:
Terminų suma su pliusu:
Pirmasis trikampis, statmenas šoninei įstrižai:
Antrasis trikampis, statmenas antrinei įstrižai:
Terminų suma su minusu:
Terminų suma su pliusu atėmus terminų su minusu sumą:

Štai jums dar keli lemiami veiksniai, patys apskaičiuokite jų vertes ir palyginkite jas su atsakymais:

Atsakymai:

Na, ar viskas sutapo? Puiku, tada galite judėti toliau! Jei kyla sunkumų, mano patarimas yra toks: internete yra daugybė programų, skirtų determinantui apskaičiuoti internete. Tereikia sugalvoti savo determinantą, pačiam jį apskaičiuoti ir tada palyginti su tuo, ką apskaičiuoja programa. Ir taip toliau, kol rezultatai pradės sutapti. Esu tikras, kad ši akimirka netruks!

Dabar grįžkime prie determinanto, kurį parašiau, kai kalbėjau apie plokštumos, kertančios tris duotus taškus, lygtį:

Viskas, ko jums reikia, yra tiesiogiai apskaičiuoti jo vertę (naudojant trikampių metodą) ir nustatyti rezultatą į nulį. Natūralu, kad tai yra kintamieji, todėl jūs gausite tam tikrą išraišką, kuri priklauso nuo jų. Būtent ši išraiška bus lygtis plokštumos, einančios per tris nurodytus taškus, kurie nėra vienoje tiesėje!

Paaiškinkime tai paprastu pavyzdžiu:

1. Sudarykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Sudarykime šių trijų taškų determinantą:

Supaprastinkime:

Dabar apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

\ [(\ left | (\ start (masyvas)) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = \ kairė ((x + 3) \ dešinė) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ left ((z + 1) \ right) + \ left ((y - 2) \ dešinėje) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Taigi plokštumos, einančios per taškus, lygtis turi tokią formą:

Dabar pabandykite patys išspręsti vieną problemą, tada mes ją aptarsime:

2. Raskite plokštumos, einančios per taškus, lygtį

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Sudarome determinantą:

Ir mes apskaičiuojame jo vertę:

Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba sumažinę gauname:

Dabar dvi savikontrolės užduotys:

Sudarykite plokštumos, einančios per tris taškus, lygtį:

Atsakymai:

Ar viskas sutapo? Vėlgi, jei yra tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra toks: paimkite iš galvos tris taškus (su didele tikimybe, kad jie nebus toje pačioje tiesėje), išilgai jų pastatykite plokštumą. Ir tada jūs patikrinate save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau determinantų pagalba sukonstruosime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, kad sakiau, kad vektoriams apibrėžiamas ne tik taškinis produktas. Taip pat yra vektorinis produktas, taip pat mišrus produktas. Ir jei dviejų vektorių taškinė sandauga yra skaičius, tai dviejų vektorių vektorinė sandauga bus vektorius, o šis vektorius bus statmenas duotiesiems:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretainio plotui, pastatytam ant vektorių ir. Mums reikės šio vektoriaus, kad galėtume apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesės. Kaip galime apskaičiuoti vektorių kryžminę sandaugą ir, jei pateiktos jų koordinatės? Trečios eilės determinantas vėl ateina mums į pagalbą. Tačiau prieš pereinant prie vektorinės sandaugos skaičiavimo algoritmo, turiu padaryti nedidelį lyrinį nukrypimą.

Šis nukrypimas susijęs su baziniais vektoriais.

Jie schematiškai parodyti paveikslėlyje:

Kodėl manote, kad jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba nuotraukoje:

Šios formulės pagrįstumas yra akivaizdus, nes:

Vektorinis produktas

Dabar galiu pradėti pristatyti kryžminį produktą:

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateiksime keletą kryžminio sandaugų skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Raskite vektorių kryžminę sandaugą:

Sprendimas: Sudarau determinantą:

Ir aš paskaičiuoju:

Dabar nuo žymėjimo baziniais vektoriais grįšiu prie įprasto vektoriaus žymėjimo:

Taigi:

Dabar pabandykite.

Pasiruošę? Mes tikriname:

Ir tradiciškai du kontrolės užduotys:

Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:
Raskite šių vektorių kryžminę sandaugą:

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių sandauga

Paskutinė man reikalinga konstrukcija yra mišrus trijų vektorių sandauga. Tai, kaip ir skaliarinis, yra skaičius. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per determinantą, - per mišrų produktą.

Būtent, turėkime tris vektorius:

Tada trijų vektorių mišrus sandauga, žymima, gali būti apskaičiuojama taip:

1. – tai yra, mišrus sandauga yra vektoriaus taškinė sandauga iš dviejų kitų vektorių kryžminės sandaugos

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus sandauga yra:

Pabandykite patys tai apskaičiuoti naudodami kryžminį sandaugą ir įsitikinkite, kad rezultatai sutampa!

Ir vėl – du nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Atsakymai:

Koordinačių sistemos pasirinkimas

Na, o dabar turime visus reikalingus žinių pagrindus, kad išspręstume sudėtingas stereometrines geometrijos problemas. Tačiau prieš pereinant tiesiai prie pavyzdžių ir jų sprendimo algoritmų, manau, bus naudinga pasilikti prie kito klausimo: kaip tiksliai pasirinkti konkrečios figūros koordinačių sistemą. Juk būtent nuo koordinačių sistemos ir figūros erdvėje santykinės padėties pasirinkimas galiausiai lems, kiek sudėtingi bus skaičiavimai.

Leiskite jums priminti, kad šiame skyriuje nagrinėjame šias formas:

Stačiakampis gretasienis
Tiesi prizmė (trikampė, šešiakampė ...)
Piramidė (trikampė, keturkampė)
Tetraedras (tas pats kaip trikampė piramidė)

Stačiakampei dėžutei ar kubui rekomenduoju tokią konstrukciją:

Tai yra, aš pastatysiu figūrą „į kampą“. Kubas ir gretasienis yra labai gražios formos. Jiems visada nesunkiai galite rasti jo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

tada viršūnių koordinatės yra tokios:

Žinoma, jums to nereikia atsiminti, tačiau pageidautina prisiminti, kaip geriausia įdėti kubą ar stačiakampį gretasienį.

Tiesi prizmė

Prizmė yra žalingesnė figūra. Jis gali būti išdėstytas erdvėje įvairiais būdais. Tačiau man priimtiniausias atrodo toks variantas:

Trikampė prizmė:

Tai yra, vieną iš trikampio kraštinių visiškai pastatome ant ašies, o viena iš viršūnių sutampa su pradžia.

Šešiakampė prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su pradžia, o viena iš kraštinių yra ant ašies.

Keturkampė ir šešiakampė piramidė:

Situacija panaši į kubą: sulygiuokite dvi pagrindo puses su koordinačių ašimis, vieną iš viršūnių sulygiuokite su pradine. Vienintelis nedidelis sunkumas bus apskaičiuoti taško koordinates.

Šešiakampei piramidei – tas pats, kas šešiakampei prizmei. Vėlgi, pagrindinė užduotis bus rasti viršūnės koordinates.

Tetraedras (trikampė piramidė)

Situacija labai panaši į tą, kurią pateikiau trikampei prizmei: viena viršūnė sutampa su pradžia, viena pusė guli koordinačių ašyje.

Na, dabar jūs ir aš pagaliau artėjame prie problemų sprendimo. Iš to, ką sakiau pačioje straipsnio pradžioje, galite padaryti tokią išvadą: dauguma C2 problemų yra suskirstytos į 2 kategorijas: kampų problemas ir atstumo problemas. Pirma, mes apsvarstysime kampo radimo problemą. Jie savo ruožtu skirstomi į šias kategorijas (didėjant sunkumui):

Rasti kampus

Kampo tarp dviejų tiesių nustatymas
Kampo tarp dviejų plokštumų nustatymas

Apsvarstykime šias užduotis nuosekliai: pradėkite nuo kampo tarp dviejų tiesių. Na, atsiminkite, ar mes su jumis anksčiau nesprendėme panašių pavyzdžių? Prisiminkite, mes jau turėjome kažką panašaus... Ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Priminsiu, jei pateikiami du vektoriai: ir, tada kampas tarp jų randamas iš santykio:

Dabar turime tikslą – rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pereikime prie „plokščio paveikslo“:

Kiek kampų gavome, kai susikerta dvi tiesės? Kaip ir daugelis dalykų. Tiesa, tik du iš jų nėra lygūs, o kiti yra joms vertikalūs (taigi ir sutampa). Taigi kokį kampą turėtume laikyti kampu tarp dviejų tiesių: ar? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesių visada yra ne didesnis kaip laipsniai... Tai yra, iš dviejų kampų visada rinksimės kampą su mažiausiu laipsnio matu. Tai reiškia, kad šiame paveikslėlyje kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Kad nereikėtų vargti kaskart ieškant mažiausio iš dviejų kampų, gudrūs matematikai pasiūlė pasinaudoti moduliu. Taigi kampas tarp dviejų tiesių nustatomas pagal formulę:

Jums, kaip dėmesingam skaitytojui, turėtų kilti klausimas: iš kur mes gauname tuos skaičius, kurių reikia kampo kosinusui apskaičiuoti? Atsakymas: juos paimsime iš tiesių krypties vektorių! Taigi kampo tarp dviejų tiesių nustatymo algoritmas yra toks:

Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

Ieškome pirmosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
Ieškome antrosios tiesės krypties vektoriaus koordinačių
Apskaičiuokite jų taškinės sandaugos modulį
Mes ieškome pirmojo vektoriaus ilgio
Mes ieškome antrojo vektoriaus ilgio
4 taško rezultatus padauginkite iš 5 taško rezultatų
3 taško rezultatą padalinkite iš 6 taško rezultato. Gauname kampo tarp tiesių kosinusą
Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, ieškokite jo
Kitu atveju rašome per atvirkštinį kosinusą

Na, o dabar pats laikas pereiti prie problemų: pirmųjų dviejų sprendimą pademonstruosiu smulkiai, kito sprendimo trumpai pateiksiu, o į paskutines dvi užduotis pateiksiu tik atsakymus, visus jų skaičiavimus turite atlikti patys.

Užduotys:

1. Tinkamame tet-ra-ed-re, nay-di-the kampas tarp you-to-tet-ra-ed-ra ir med-di-a-noy bo-kovy veido.

2. Dešiniajame šešių anglių-noy pi-ra-mi-de os-no-va-nia kraštinės yra lygios, o šonkauliai yra lygūs, raskite kampą tarp tiesių ir.

3. Visų teisingų keturių tu-rekh-coal pi-ra-mi-dy kraštų ilgiai yra lygūs vienas kitam. Nay-di-tie kampai tarp tiesių linijų ir jei nuo pjūvio tu-co-tai duota pi-ra-mi-dy, taškas yra se-re-di-na jos bo-ko- antrasis šonkaulis

4. Ant kubo krašto nuo-me-che-na taško, kad Nay-di-te būtų kampas tarp tiesių ir

5. Taškas - se-re-di-ant kubo kraštų Nay-di-te kampas tarp tiesių ir.

Neatsitiktinai užduotis sudėliojau tokia tvarka. Kol dar nespėjote pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats išanalizuosiu „problemiškiausias“ figūras, o jums paliksiu spręsti patį paprasčiausią kubą! Palaipsniui teks išmokti dirbti su visomis figūromis, didinsiu užduočių sudėtingumą nuo temos iki temos.

Pradėkime spręsti problemas:

1. Nubraižykite tetraedrą, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip siūliau anksčiau. Kadangi tetraedras yra taisyklingas, visi jo paviršiai (įskaitant pagrindą) yra taisyklingi trikampiai. Kadangi mums nenurodytas kraštinės ilgis, galiu jį priimti lygų. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kiek mūsų tetraedras yra "ištemptas"?. Taip pat nubrėžiu aukštį ir medianą tetraedre. Pakeliui nupiešiu jo pagrindą (pravers ir mums).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Žinome tik taško koordinates. Tai reiškia, kad turime rasti ir taškų koordinates. Dabar galvojame: taškas yra trikampio aukščių (arba pusiausvyrų arba medianų) susikirtimo taškas. Taškas yra pakeltas taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada galiausiai turime rasti: taškų koordinates:.

Pradėkime nuo paprasčiausio: taško koordinačių. Pažvelkite į paveikslėlį: Aišku, kad taško aplikacija lygi nuliui (taškas yra plokštumoje). Jo ordinatė yra (kadangi – mediana). Sunkiau rasti jo abscisę. Tačiau tai nesunku padaryti remiantis Pitagoro teorema: Apsvarstykite trikampį. Jo hipotenuzė lygi, o viena iš kojų lygi Tada:

Galiausiai turime:.

Dabar suraskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo taikymas vėl yra lygus nuliui, o jo ordinatė yra tokia pati kaip taško, tai yra. Raskime jo abscisę. Tai daroma gana trivialiai, jei tai prisimenate lygiakraščio trikampio aukščiai proporcingai dalijami iš susikirtimo taško skaičiuojant nuo viršaus. Kadangi:, tada reikiama taško abscisė, lygi atkarpos ilgiui, yra lygi:. Taigi taško koordinatės yra lygios:

Raskime taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Ir aplikacija yra lygi segmento ilgiui. - tai viena iš trikampio kojų. Trikampio hipotenuzė yra atkarpa – koja. Jo ieškoma iš svarstymų, kuriuos paryškinau paryškintu šriftu:

Taškas yra linijos atkarpos vidurio taškas. Tada turime prisiminti atkarpos vidurio taško koordinačių formulę:

Tai viskas, dabar galime ieškoti krypties vektorių koordinačių:

Na, viskas paruošta: visus duomenis pakeičiame į formulę:

Taigi,

Atsakymas:

Tokie „baisūs“ atsakymai neturėtų išsigąsti: C2 problemų atveju tai yra įprasta praktika. Verčiau nustebčiau „gražiu“ atsakymu šioje dalyje. Be to, kaip pastebėjote, aš praktiškai nesinaudojau niekuo kitu, išskyrus Pitagoro teoremą ir lygiakraščio trikampio aukščių savybę. Tai yra, norėdamas išspręsti stereometrinę problemą, aš panaudojau minimalų stereometrijos kiekį. Šio pelno padidėjimas iš dalies „užgesinamas“ gana sudėtingais skaičiavimais. Bet jie yra gana algoritmiški!

2. Nubraižykime taisyklingą šešiakampę piramidę kartu su koordinačių sistema ir jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp linijų ir. Taigi mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinačių radimo:. Paskutiniųjų trijų koordinates rasime iš mažo paveikslėlio, o viršūnės koordinates – per taško koordinatę. Dirbkite masiškai, bet jūs turite tai pradėti!

a) Koordinatė: aišku, kad jos aplikacija ir ordinatė yra lygios nuliui. Raskime abscisę. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, joje mes žinome tik hipotenuzą, kuri yra lygi. Bandysime surasti koją (nes aišku, kad padvigubintas kojos ilgis duos taško abscisę). Kaip mes galime ją rasti? Prisiminkime, kokią figūrą turime piramidės pagrinde? Tai įprastas šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad visos kraštinės ir visi kampai yra lygūs. Turėčiau rasti vieną tokį kampelį. Kokiu nors ideju? Idėjų yra daug, bet yra formulė:

Taisyklingo n kampo kampų suma yra .

Taigi taisyklingo šešiakampio kampų suma lygi laipsniams. Tada kiekvienas kampas yra lygus:

Dar kartą žiūrime į paveikslėlį. Akivaizdu, kad atkarpa yra kampo pusiausvyra. Tada kampas lygus laipsniams. Tada:

Tada kur.

Taigi jis turi koordinates

b) Dabar galime lengvai rasti taško koordinatę:.

c) Raskite taško koordinates. Kadangi jo abscisė sutampa su atkarpos ilgiu, ji lygi. Surasti ordinates taip pat nėra labai sunku: jei sujungsime taškus ir pažymime tiesės susikirtimo tašką, tarkime, pagal. (pasidaryk pats paprasta konstrukcija). Tada Taigi taško B ordinatė yra lygi atkarpų ilgių sumai. Dar kartą pažiūrėkime į trikampį. Tada

Tada nuo Tada taškas turi koordinates

d) Dabar randame taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodykite, kad Taigi taško koordinatės yra:

e) Belieka rasti viršūnės koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisė ir ordinatė sutampa su taško abscisėmis ir ordinatėmis. Raskime aplikatorių. Nuo tada. Apsvarstykite stačiakampį trikampį. Pagal problemos pareiškimą, šoninis kraštas. Tai mano trikampio hipotenuzė. Tada piramidės aukštis yra koja.

Tada taškas turi koordinates:

Gerai, turiu visų man įdomių taškų koordinates. Ieškote tiesių krypties vektorių koordinačių:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, spręsdamas šią problemą, aš nenaudojau jokių sudėtingų gudrybių, išskyrus taisyklingo n kampo kampų sumos formulę, taip pat stačiojo trikampio kosinuso ir sinuso nustatymą.

3. Kadangi piramidės briaunų ilgiai mums vėlgi neduoti, tai juos laikysiu lygiais vienetui. Taigi, kadangi VISOS briaunos, o ne tik šoninės, yra lygios viena kitai, tai piramidės ir aš pagrinde yra kvadratas, o šoninės briaunos yra taisyklingi trikampiai. Nubraižykime tokią piramidę ir jos pagrindą plokštumoje, pažymėdami visus uždavinio tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Kai ieškosiu taškų koordinačių, atliksiu labai trumpus skaičiavimus. Jums reikės juos „iššifruoti“:

b) - atkarpos vidurys. Jo koordinatės:

c) Atkarpos ilgį surasiu pagal Pitagoro teoremą trikampyje. Rasiu jį trikampyje pagal Pitagoro teoremą.

Koordinatės:

d) yra atkarpos vidurio taškas. Jo koordinatės lygios

e) Vektorių koordinatės

f) Vektorių koordinatės

g) Ieškau kampo:

Kubas yra pati paprasčiausia figūra. Esu tikras, kad tu gali su ja susitvarkyti pats. Atsakymai į 4 ir 5 uždavinius yra tokie:

Kampo tarp tiesės ir plokštumos nustatymas

Na, paprastų užduočių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sudėtingesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesės ir plokštumos, atliksime šiuos veiksmus:

Iš trijų taškų sudarome plokštumos lygtį
,
naudojant trečiosios eilės determinantą.
Tiesės krypties vektoriaus koordinačių ieškome dviem taškais:
Kampui tarp tiesės ir plokštumos apskaičiuoti taikome formulę:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tą, kurią naudojome norėdami rasti kampus tarp dviejų tiesių. Dešinės pusės struktūra yra tokia pati, o kairėje dabar ieškome sinuso, o ne kosinuso, kaip anksčiau. Na, buvo pridėtas vienas bjaurus veiksmas – plokštumos lygties paieška.

Neatidėliokime pavyzdžių sprendimas:

1. Pagrindinis-bet-va-no-em tiesioginis-mes-la-yra lygus-bet-prastai-dėvėtas trikampis-slapyvardis Tu-tai-kad prizai-mes lygūs. Nai di te kampas tarp tiesios ir plokščios

2. Stačiakampiu pa-ra-le-le-pi-pe-de iš vakarinio Nay-di-te kampo tarp tiesės ir plokštumos

3. Teisingoje šešių anglių prizmėje visos briaunos yra lygios. Ne, tai kampas tarp tiesės ir plokštumos.

4. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-no-va-ne-tai yra žinomi šonkauliai Nay-di-te kampas, ob-ra-zo-van -šis os-no lygumas. -va-nia ir tiesiai, pro-ho-dya-shi per se-re-di-us šonkaulių ir

5. Taisyklingos keturių kampų piramidės su viršūne visų briaunų ilgiai lygūs vienas kitam. Nay-di-te yra kampas tarp tiesės ir plokštumos, jei taškas yra se-re-di-na bo-ko-th ribs pi-ra-mi-dy.

Pirmąsias dvi problemas vėlgi išspręsiu detaliai, trečiąją – trumpai, o paskutines dvi paliksiu spręsti patiems. Be to, jūs jau susidorojote su trikampėmis ir keturkampėmis piramidėmis, bet dar ne su prizmėmis.

Sprendimai:

1. Pavaizduokime prizmę, taip pat ir jos pagrindą. Sujungkime ją su koordinačių sistema ir pažymime visus uždavinio teiginyje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už proporcijų nesilaikymą, bet sprendžiant problemą, tai iš tikrųjų nėra taip svarbu. Lėktuvas yra tik mano prizmės „užpakalinė siena“. Pakankamai lengva atspėti, kad tokios plokštumos lygtis turi tokią formą:

Tačiau tai gali būti parodyta tiesiogiai:

Parinkime savavališkus tris šios plokštumos taškus: pavyzdžiui,.

Sudarykime plokštumos lygtį:

Pratimas jums: apskaičiuokite šį determinantą patys. Ar tu tai padarei? Tada plokštumos lygtis turi tokią formą:

Arba tiesiog

Taigi,

Norėdami išspręsti pavyzdį, turiu rasti tiesės krypties vektoriaus koordinates. Kadangi taškas sutapo su pradžios tašku, vektoriaus koordinatės tiesiog sutaps su taško koordinatėmis.Tam pirmiausia randame taško koordinates.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Iš viršūnės nubrėžkime aukštį (tai mediana ir pusiausvyra). Kadangi, tada taško ordinatė yra lygi. Norėdami rasti šio taško abscisę, turime apskaičiuoti atkarpos ilgį. Pagal Pitagoro teoremą turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas „pakeliamas“ tašku:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Tiesą sakant, šis procesas dar labiau supaprastina formos, pavyzdžiui, prizmės, „tiesumą“. Dabar pereikime prie kito pavyzdžio:

2. Nubrėžkite gretasienį, nubrėžkite jame plokštumą ir tiesią liniją, taip pat atskirai nubrėžkite jos apatinį pagrindą:

Pirmiausia randame plokštumos lygtį: joje esančių trijų taškų koordinatės:

(pirmosios dvi koordinatės buvo gautos akivaizdžiai, o paskutinę koordinatę galite lengvai rasti iš paveikslėlio iš taško). Tada sudarome plokštumos lygtį:

Skaičiuojame:

Ieškome krypties vektoriaus koordinačių: Aišku, kad jo koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško koordinatės, pakeltos išilgai taikymo ašies vienu! ... Tada mes ieškome reikiamo kampo:

Atsakymas:

3. Nubrėžkite taisyklingą šešiakampę piramidę, tada nubrėžkite plokštumą ir tiesią liniją.

Čia net plokštumos nubrėžimas yra problemiškas, jau nekalbant apie šios problemos sprendimą, bet koordinačių metodas nerūpi! Pagrindinis jo privalumas yra jo universalumas!

Lėktuvas kerta tris taškus:. Ieškome jų koordinačių:

1) . Pats nubrėžkite dviejų paskutinių taškų koordinates. Tam pravers šešiakampės piramidės problemos sprendimas!

2) Sudarome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinačių:. (dar kartą žiūrėkite trikampės piramidės problemą!)

3) Ieškau kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse nėra nieko antgamtiškai sudėtingo. Tiesiog reikia labai atsargiai elgtis su šaknimis. Į paskutines dvi problemas pateiksiu tik atsakymus:

Kaip matote, uždavinių sprendimo technika visur vienoda: pagrindinė užduotis yra surasti viršūnių koordinates ir jas pakeisti kai kuriose formulėse. Mums belieka apsvarstyti dar vieną kampų skaičiavimo problemų klasę, būtent:

Kampų tarp dviejų plokštumų skaičiavimas

Sprendimo algoritmas bus toks:

Pagal tris taškus ieškome pirmosios plokštumos lygties:
Kitiems trims taškams ieškome antrosios plokštumos lygties:
Taikome formulę:

Kaip matote, formulė labai panaši į dvi ankstesnes, kurių pagalba ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesės ir plokštumos. Taigi prisiminti tai jums nebus sunku. Pereikime tiesiai prie užduočių analizės:

1. Dešiniosios trikampės prizmės os-no-va-nia šimtas-ro-na yra lygus, o didžiojo veido dia-go-nalis lygus. Ne-di-tie kampai tarp plokštumos ir prizmės plokštumos.

2. Teisingame keturių tu-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, kurio visos briaunos lygios, raskite kampo tarp plokštumos ir plokštumos to-stu sinusą, pro-ho- dya-shchey per tašką per-pen-di-ku-lar-bet tiesiai.

3. Teisingoje keturių tu-rekh anglies prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o kraštinės lygios. Ant krašto yra taškas, kad. Raskite kampą tarp plokštumos-sti-mi ir

4. Dešiniojoje keturių kampų prizmėje os-no-va-nia kraštinės lygios, o šoninės briaunos lygios. Ant krašto nuo-me-che-taško, kad Nay-di-te būtų kampas tarp plokštumos iki st-mi ir.

5. Kube nay-di-te ko-si-nus kampo tarp plokštumos-ko-sti-mi ir

Problemos sprendimai:

1. Nupiešiu taisyklingą (pagrinde - lygiakraštį trikampį) trikampę prizmę ir pažymiu joje plokštumas, kurios atsiranda uždavinio teiginyje:

Turime rasti dviejų plokštumų lygtis: Pagrindo lygtis yra triviali: atitinkamą determinantą galite sudaryti iš trijų taškų, bet aš sudarysiu lygtį iš karto:

Dabar rasime lygtį Taškas turi koordinates Taškas – Kadangi yra trikampio mediana ir aukštis, ją lengva rasti trikampyje pagal Pitagoro teoremą. Tada taškas turi koordinates: Raskite taško pritaikymą Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį

Tada gauname tokias koordinates: Nubraižykite plokštumos lygtį.

Apskaičiuojame kampą tarp plokštumų:

Atsakymas:

2. Piešinio sudarymas:

Sunkiausia suprasti, kas yra ši paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, svarbiausia, kas tai yra? Svarbiausia - dėmesingumas! Tiesą sakant, linija yra statmena. Tiesi linija taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tieses, bus statmena tiesei ir, beje, eis per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršūnę. Tada norimas lėktuvas – Ir lėktuvas mums jau atiduotas. Ieškome taškų koordinačių.

Raskite taško koordinatę per tašką. Iš mažos figūrėlės nesunku nuspręsti, kad taško koordinatės bus tokios: Ką dabar belieka rasti, norint rasti piramidės viršūnės koordinates? Taip pat reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant tą pačią Pitagoro teoremą: pirma, įrodykite tai (trivialiai iš mažų trikampių, sudarančių kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygas turime:

Dabar viskas paruošta: viršūnės koordinatės:

Sudarome plokštumos lygtį:

Jūs jau esate ypatingas skaičiuodamas determinantus. Galite lengvai gauti:

Arba kitaip (jei abi dalis padauginsime iš dviejų šaknies)

Dabar randame plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip gauname plokštumos lygtį, tiesa? Jei nesuprantate, iš kur atsirado šis minusas, grįžkite prie plokštumos lygties apibrėžimo! Tiesiog prieš tai paaiškėjo, kad koordinačių pradžia priklausė mano plokštumai!)

Apskaičiuojame determinantą:

(Matote, kad plokštumos lygtis sutampa su tiesės, einančios per taškus, lygtimi ir! Pagalvokite kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Sudėtingas klausimas: kas, jūsų nuomone, yra stačiakampė prizmė? Tai tik gretasienis, kurį gerai žinai! Padarykite piešinį iš karto! Atskirai net galima nevaizduoti pagrindo, čia mažai naudos:

Plokštuma, kaip minėjome anksčiau, parašyta lygties forma:

Dabar mes sudarome lėktuvą

Iš karto sudarome plokštumos lygtį:

Ieškau kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi problemas:

Na, dabar pats metas pailsėti, nes tu ir aš esame puikūs ir padarėme puikų darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Aukštasis lygis

Šiame straipsnyje aptarsime su jumis dar vieną problemų, kurias galima išspręsti koordinačių metodu, klasę: atstumo problemas. Būtent, jūs ir aš svarstysime šiuos atvejus:

Atstumo tarp kertamų linijų apskaičiavimas.

Užsakiau šias užduotis, nes jos tampa sudėtingesnės. Pasirodo, jį rasti lengviausia atstumas nuo taško iki plokštumos, o sunkiausia rasti atstumas tarp susikertančių linijų... Nors, žinoma, nieko nėra neįmanomo! Neatidėliokime ir nedelsdami pereikime prie pirmos klasės problemų svarstymo:

Atstumo nuo taško iki plokštumos apskaičiavimas

Ko mums reikia norint išspręsti šią problemą?

1. Taško koordinatės

Taigi, kai tik gauname visus reikiamus duomenis, taikome formulę:

Jau turėtumėte žinoti, kaip sudarome plokštumos lygtį iš ankstesnių problemų, kurias aptariau paskutinėje dalyje. Iš karto pereikime prie užduočių. Schema tokia: 1, 2, padedu išspręsti, o kiek detaliau, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimą priimi pats ir palygini. Pradėkime!

Užduotys:

1. Duotas kubas. Kubo krašto ilgis yra. Nay-di-te atstumas-i-ni nuo se-re-di-us nuo pjūvio iki plokščio iki sti

2. Atsižvelgiant į dešinę-vil-naya four-you-rekh-coal-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe krašto šoninė-ro-na os-no-va-nia yra lygi. Nay-di-te atstumas-i-nie nuo taško iki plokštumos-i-sti kur - se-re-di-na šonkauliai.

3. Dešiniajame trikampyje pi-ra-mi-de su os-but-va-ni bo-kov briauna lygi, o šoninė-ro-na is-no-va- lygi. Nay-di-te atstumas-i-nye nuo viršaus iki plokštumos.

4. Taisyklingoje šešių anglių prizmėje visos briaunos lygios. Nay-di-te atstumas-i-nye nuo taško iki plokštumos.

Sprendimai:

1. Nubraižykite kubą su vienetinėmis briaunomis, sukurkite atkarpą ir plokštumą, segmento vidurį pažymėkite raide

Pirmiausia pradėkime nuo paprasto: raskite taško koordinates. Nuo tada (atminkite atkarpos vidurio taško koordinates!)

Dabar sudarome plokštumos lygtį trimis taškais

\ [\ liko | (\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = 0 \]

Dabar galiu pradėti ieškoti atstumo:

2. Vėl pradėkite nuo piešinio, ant kurio pažymime visus duomenis!

Piramidei būtų naudinga atskirai nupiešti jos pagrindą.

Netgi tai, kad piešiu kaip višta su letena, netrukdo mums lengvai išspręsti šios problemos!

Dabar lengva rasti taško koordinates

Kadangi taško koordinatės, tada

2. Kadangi taško a koordinatės yra atkarpos vidurio taškas, tai

Taip pat be problemų galime rasti dar dviejų plokštumos taškų koordinates. Sudarome plokštumos lygtį ir ją supaprastiname:

\ [\ liko | (\ left | (\ begin (masyvas)) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė |) \ dešinė | = 0 \]

Kadangi taškas turi koordinates:, tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai retai!):

Na, sugalvojai? Man atrodo, kad čia viskas taip pat techniška, kaip ir pavyzdžiuose, kuriuos su jumis svarstėme ankstesnėje dalyje. Taigi esu tikras, kad jei tą medžiagą įvaldysite, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusias dvi problemas. Pateiksiu tik atsakymus:

Atstumo nuo tiesės iki plokštumos apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nieko naujo. Kaip linija ir plokštuma gali būti išdėstytos viena kitos atžvilgiu? Jie turi visas galimybes: susikerta, arba tiesė yra lygiagreti plokštumai. Koks, jūsų nuomone, yra atstumas nuo tiesės iki plokštumos, su kuria ši tiesė kertasi? Man atrodo, čia aišku, kad toks atstumas lygus nuliui. Neįdomus atvejis.

Antrasis atvejis yra sudėtingesnis: čia atstumas jau nėra nulis. Tačiau kadangi linija yra lygiagreti plokštumai, kiekvienas linijos taškas yra vienodu atstumu nuo šios plokštumos:

Taigi:

O tai reiškia, kad mano užduotis sumažinta iki ankstesnės: mes ieškome bet kurio tiesės taško koordinačių, ieškome plokštumos lygties, skaičiuojame atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzamine atliekamos itin retai. Man pavyko rasti tik vieną problemą, o joje esantys duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas jai nelabai tinka!

Dabar pereikime prie kitos, daug svarbesnės problemų klasės:

Taško atstumo iki tiesės apskaičiavimas

Ko mums reikia?

1. Taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinatės:

2. Bet kurio taško, esančio tiesioje linijoje, koordinatės

3. Tiesės krypties vektoriaus koordinatės

Kokią formulę naudojame?

Ką jums reiškia duotosios trupmenos vardiklis, todėl turėtų būti aišku: tai yra tiesės krypties vektoriaus ilgis. Čia yra labai sudėtingas skaitiklis! Išraiška reiškia vektorių vektorinės sandaugos modulį (ilgį) ir Kaip apskaičiuoti kryžminę sandaugą, nagrinėjome ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, jos dabar mums labai pravers!

Taigi problemų sprendimo algoritmas bus toks:

1. Ieškome taško, nuo kurio ieškome atstumo, koordinačių:

2. Ieškome bet kurio tiesės taško, iki kurio ieškome atstumo, koordinačių:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite tiesės krypties vektorių

5. Apskaičiuokite kryžminį sandaugą

6. Ieškome gauto vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkite visą savo dėmesį!

1. Dana yra dešinė-vil-naya trikampė pi-ra-mi-da su viršūne. Vienas šimtas-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy yra lygus, tu-tai-tai lygu. Ne-di-tas atstumas nuo bo-ko-to šonkaulio se-re-di-ny iki tiesios linijos, kur taškai ir yra šonkaulių se-re-di-ny ir taip-nuo vet- bet.

2. Šonkaulių ir stačiakampio pa-ral-le-le-pi-pe-da ilgiai yra atitinkamai lygūs, o Nay-di-tas atstumas nuo viršaus iki tiesios

3. Dešiniojoje šešių anglių prizmėje visos spiečiaus briaunos yra vienodos – raskite atstumą nuo taško iki tiesės

Sprendimai:

1. Padarome tvarkingą piešinį, kuriame pažymime visus duomenis:

Mes turime daug darbo su jumis! Pirmiausia norėčiau žodžiais apibūdinti, ko ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. Taško koordinatės

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. Jų kryžminis produktas

6. Vektoriaus ilgis

7. Vektorinės sandaugos ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Pasiraitosime rankoves!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti taško koordinates.Jo aplikacija lygi nuliui, o ordinatė lygi abscisei, ji lygi atkarpos ilgiui. yra lygiakraščio trikampio aukštis, jis dalinamas santykiu, skaičiuojant nuo viršaus, nuo šiol. Galiausiai gavome koordinates:

Taško koordinatės

2. - segmento vidurys

3. - segmento vidurys

Atkarpos vidurio taškas

4.Koordinatės

Vektorinės koordinatės

5. Apskaičiuojame kryžminį sandaugą:

6. Vektoriaus ilgis: lengviausias būdas yra pakeisti atkarpą vidurine trikampio linija, o tai reiškia, kad ji yra lygi pusei pagrindo. Taigi.

7. Atsižvelgiame į vektorinės sandaugos ilgį:

8. Galiausiai randame atstumą:

Fu, viskas! Sąžiningai, šios problemos sprendimas naudojant tradicinius metodus (per konstrukcijas) būtų daug greitesnis. Bet čia aš viską sumažinau iki paruošto algoritmo! Manau, kad sprendimo algoritmas jums aiškus? Todėl paprašysiu likusias dvi problemas išspręsti savarankiškai. Palyginkime atsakymus?

Dar kartą pasikartosiu: šias problemas lengviau (greičiau) išspręsti konstrukcijomis, o ne koordinačių metodu. Šį sprendimą pademonstravau tik norėdamas parodyti jums universalų metodą, leidžiantį „nieko neužbaigti“.

Galiausiai apsvarstykite paskutinę problemų klasę:

Atstumo tarp kertamų linijų apskaičiavimas

Čia problemų sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet koks vektorius, jungiantis pirmosios ir antrosios tiesių taškus:

Kaip rasti atstumą tarp tiesių?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišriosios sandaugos modulis (jį pristatėme ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra toks pat kaip ir ankstesnėje formulėje (tiesių krypties vektorių vektorinės sandaugos modulis, atstumas tarp kurių mes ieškome).

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti kaip:

Savotiškas determinantas, padalintas iš determinanto! Nors, tiesą pasakius, aš čia neturiu laiko juokauti! Tiesą sakant, ši formulė yra labai sudėtinga ir leidžia atlikti gana sudėtingus skaičiavimus. Jei būčiau jūsų vietoje, tai naudočiau tik kaip paskutinę priemonę!

Pabandykime išspręsti keletą problemų naudodami aukščiau pateiktą metodą:

1. Taisyklingoje trikampio prizmje visos briaunos lygios, raskite atstumą tarp tiesių ir.

2. Atsižvelgiant į dešinę trikampę prizmę, visos spiečiaus os-no-va-cijos briaunos yra lygios briaunoms ir se-re-di-well briaunoms yav-la-et-sya square-ra-tom. Nay-di-te atstumas-i-nie tarp tiesių-mes-mi ir

Aš sprendžiu pirmąjį, o pagal jį - antrą!

1. Nubrėžkite prizmę ir pažymėkite tiesias linijas ir

Taško C koordinatės: tada

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

Taško koordinatės

Vektorinės koordinatės

\ [\ kairė ((B, \ rodyklė virš dešinės (A (A_1))) \ rodyklė virš dešinės (B (C_1))) \ dešinė) = \ kairė | (\ pradėti (masyvas) (* (20) (l)) (\ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ pabaiga (masyvas)) \\ (\ pradžia (masyvas) () * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ pabaiga (masyvas)) \\ (\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ pabaiga (masyvas)) \ pabaiga (masyvas)) \ dešinė | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Mes laikome kryžminį sandaugą tarp vektorių ir

\ [\ rodyklė ant dešinės (A (A_1)) \ cdot \ rodyklė virš dešinės (B (C_1)) = \ kairė | \ pradėti (masyvas) (l) \ pradėti (masyvas) (* (20) (c)) (\ overrightarrow i) & (\ overrightarrow j) & (\ overrightarrow k) \ end (masyvas) \\\ pradėti (masyvas) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ pabaiga (masyvas) \\\ pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ pabaiga (masyvas) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overrightarrow k + \ frac (1) (2) \ overrightarrow i \]

Dabar apskaičiuojame jo ilgį:

Atsakymas:

Dabar pabandykite atidžiai atlikti antrąją užduotį. Atsakymas į jį bus toks:.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius yra nukreipta linijos atkarpa. - vektoriaus pradžia, - vektoriaus pabaiga.
Vektorius žymimas arba.

Absoliučioji vertė vektorius – vektorių reprezentuojančios atkarpos ilgis. Jis nurodomas kaip.

Vektorinės koordinatės:

,
kur yra vektoriaus \ displaystyle a galai.

Vektorių suma:.

Vektorių sandauga:

Taškinė vektorių sandauga:

Įprasta vektoriumi vadinti atkarpą, kuri turi tam tikrą kryptį. Ir vektoriaus pradžia, ir pabaiga turi fiksuotą padėtį, kurios pagalba nustatoma vektoriaus kryptis. Pažiūrėkime atidžiau, kaip sukurti vektorių pagal nurodytas koordinates.

Nubraižykite koordinačių sistemą (x, y, z) erdvėje, ant ašių pažymėkite vienetų atkarpas.
Dviejose ašyse atidėkite norimas koordinates, iš jų brėžkite linijas su punktyrine linija, lygiagrečia ašims, kol jos susikirs. Sužinokite sankirtos tašką, kurį norite sujungti punktyrine linija prie pradžios.
Nubrėžkite vektorių nuo pradžios iki gauto taško.
Uždėkite norimą skaičių ant trečios ašies, per šį tašką nubrėžkite punktyrinę liniją, kuri bus lygiagreti sukonstruotam vektoriui.
Nuo vektoriaus galo nubrėžkite punktyrinę liniją, lygiagrečią trečiajai ašiai, kol ji susikirs su linija iš ankstesnio taško.
Galiausiai sujunkite kilmę ir gautą tašką.

Kartais reikia sukurti vektorių, kuris būtų kitų vektorių pridėjimo arba atėmimo rezultatas. Todėl dabar apsvarstysime operacijas su vektoriais, išmoksime juos sudėti ir atimti.

Vektorinės operacijos

Geometrinius vektorius galima pridėti keliais būdais. Pavyzdžiui, dažniausiai naudojamas vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Norint pridėti du vektorius pagal šią taisyklę, vektoriai turi būti išdėstyti lygiagrečiai vienas kitam taip, kad pirmojo vektoriaus pradžia sutaptų su antrojo pabaiga, o gauto trikampio trečioji kraštinė būtų vektoriaus vektorius. suma.

Taip pat galite apskaičiuoti vektorių sumą naudodami lygiagretainio taisyklę. Vektoriai turėtų prasidėti nuo vieno taško, lygiagrečiai kiekvienam vektoriui, reikia nubrėžti liniją, kad gautumėte lygiagretainį. Sukonstruoto lygiagretainio įstrižainė bus šių vektorių suma.

Norėdami atimti du vektorius, turite pridėti pirmąjį vektorių ir vektorių, kuris bus priešingas antrajam. Tam taip pat naudojama trikampio taisyklė, kurios formuluotė yra tokia: vektorių, kurie perduodami taip, kad jų ištakos sutampa, skirtumas yra vektorius, kurio pradžia sutampa su atimamo vektoriaus pabaiga, taip pat vektoriaus pabaiga, kurią reikia sumažinti.

Dėmesio, tik ŠIANDIEN!

KITA

Norint atlikti vektorių sudėjimo operaciją, yra keletas būdų, kurie, priklausomai nuo situacijos ...

Vektorius yra matematinis objektas, kuriam būdinga kryptis ir dydis. Geometrijoje vektorius vadinamas ...

Matematikoje vektorius reiškia tam tikro ilgio atkarpą su kryptimi ir koordinatėmis X, Y, Z ašyse. Klausimas apie...

Kampas tarp dviejų vektorių, išeinančių iš to paties taško, yra artimiausias kampas, kurio sukimasis pirmasis vektorius ...

Jei žinote dviejų ar daugiau tam tikros sistemos taškų erdvines koordinates, tada užduotis: kaip rasti ilgį ...

Atkarpos ilgį galima nustatyti įvairiais būdais. Norint sužinoti, kaip rasti atkarpos ilgį, pakanka turėti...

Pagreitis yra greitis, kuriuo keičiasi greitis. Šis dydis yra vektorius, jis turi savo kryptį ir matuojamas m / s 2 (...

Naudojant gimbalo taisyklę, nustatomos magnetinių linijų kryptys (kitaip jos dar vadinamos magnetinėmis linijomis ...

Brėžiniuose geometrinių kūnų atvaizdai statomi projekcijos metodu. Bet šiam vaizdui...

Žodis „ordinatas“ kilęs iš lotyniško „ordinatus“ – „išdėstyta tvarka“. Ordinatės yra grynai matematinės ...

Skaičiaus modulis dar kitaip vadinamas absoliučia šio skaičiaus verte. Jei po modulio ženklu yra ...

Norėdami rasti lygiakraščio trikampio viršūnės koordinates, jei žinomos kitų dviejų jo viršūnių koordinatės, ...

Jums įdomu, kaip apskaičiuoti ir rasti trikampio vidurio liniją. Tada imkitės darbo. Raskite vidurio linijos ilgį...

Panagrinėkime išsamiau, kas yra pagreitis fizikoje? Tai žinutė kūnui apie papildomą greitį per laiko vienetą. ...

Prieš išmokdami rasti lygiagretainio plotą, turime prisiminti, kas yra lygiagretainis ir kas ...

Nubraižykite koordinačių sistemą (x, y, z) erdvėje, ant ašių pažymėkite vienetų atkarpas.
Dviejose ašyse atidėkite norimas koordinates, iš jų brėžkite linijas su punktyrine linija, lygiagrečia ašims, kol jos susikirs. Sužinokite sankirtos tašką, kurį norite sujungti punktyrine linija prie pradžios.
Nubrėžkite vektorių nuo pradžios iki gauto taško.
Uždėkite norimą skaičių ant trečios ašies, per šį tašką nubrėžkite punktyrinę liniją, kuri bus lygiagreti sukonstruotam vektoriui.
Nuo vektoriaus galo nubrėžkite punktyrinę liniją, lygiagrečią trečiajai ašiai, kol ji susikirs su linija iš ankstesnio taško.
Galiausiai sujunkite kilmę ir gautą tašką.

Kartais reikia sukurti vektorių, kuris būtų kitų vektorių pridėjimo arba atėmimo rezultatas. Todėl dabar apsvarstysime operacijas su vektoriais, išmoksime juos sudėti ir atimti.