Galiausiai aš turiu rankas į plačią ir ilgai lauktą temą analitinė geometrija. Pirma, šiek tiek apie šį aukščiausios matematikos skyrių .... Žinoma, jūs dabar prisiminote mokyklos geometrijos kursą su daugybe teoremų, jų įrodymų, piešinių ir kt. Ką paslėpti, atsilaisvinti ir dažnai prieinamą dalyką už didelę dalį studentų. Analitinė geometrija, keista, gali atrodyti įdomesnė ir prieinama. Ką reiškia būdvardis "analitinis"? Du antspauduotas matematinė apyvarta iš karto ateina: "grafinis sprendimas metodas" ir "analitinio tirpalo metodas". Grafinis metodasAkivaizdu, yra susijęs su grafikų statyba, brėžiniai. Analitinė. \\ Ttas pats Metodas. \\ T prisiima užduočių sprendimą daugiausia. \\ t Naudojant algebrinį veiksmą. Šiuo atžvilgiu beveik visų analitinių geometrijos užduočių algoritmas yra paprastas ir skaidrus, dažnai pakankamai švelniai taikyti reikiamą formules - ir atsakymas yra pasiruošęs! Ne, žinoma, be brėžinių čia jis nebus kainuos, be to, geriau suprasti medžiagą, aš stengsiuosi juos pateikti virš būtinybės.

Geometrijos pamokų atidarymo lygis nepareiškia teorinio išsamumo, jis yra sutelktas į praktinių užduočių sprendimą. Aš įtraukiau į savo paskaitas tik tai, kad mano požiūriu yra svarbus praktiniu požiūriu. Jei jums reikia išsamesnio sertifikato pagal bet kurį poskyrį, aš rekomenduoju šią gana prieinamą literatūrą:

1) dalykas, su kuriuo, be pokštų, yra susipažinę su keliomis kartoms: Mokyklos vadovėlis ant geometrijos, autoriai - L.s. ATANASYAN IR ĮMONĖ. Šis mokyklos dresavimo patalpos pakaba jau palaikė 20s (!) Atspausdinimą, kuris, žinoma, nėra riba.

2) Geometrija 2 apimtis. Autoriai L.s. Atomanas, Basilev V.t.. Tai yra aukštojo mokslo literatūra, jums reikės pirmasis Tom. Iš mano požiūriu, retai nustatomos užduotys gali nukristi, o vadovėlis suteiks neįkainojamą pagalbą.

Abi knygas galima atsisiųsti nemokamai internete. Be to, galite naudoti savo archyvą su gatavaisiais sprendimais, kuriuos galima rasti puslapyje. Atsisiųskite aukštesnės matematikos pavyzdžius.

Nuo instrumentinių įrankių, kuriuos aš vėl siūlau savo vystymąsi - programinės įrangos paketas Pagal analitinę geometriją, kuri gerokai supaprastins gyvenimą ir sutaupys laiko masę.

Daroma prielaida, kad skaitytojas yra susipažinęs su pagrindinėmis geometrinėmis sąvokomis ir skaičiais: taškas, tiesioginis, lėktuvas, trikampis, lygiagretainiai, lygiagrečiai, kubas ir kt. Patartina prisiminti kai kuriuos teoremų, bent jau Pitagora teorijos, hello iki 10 metų)

Ir dabar mes nuosekliai apsvarstysime: vektorinių koncepcija, veiksmai su vektorių, vektorinių koordinates. Toliau rekomenduoju skaityti Svarbiausias straipsnis Scalar produkto vektoriaitaip pat Vektorius ir mišrios kūrinių vektoriai. Vietos užduotis nėra per daug - dalijant segmentą šiuo atžvilgiu. Remiantis pirmiau pateikta informacija, galite įsisavinti tiesioginė lygtis plokštumoje Nuo. paprasčiausias sprendimų pavyzdžiaikas leis sužinokite, kaip išspręsti geometrijos iššūkius. Taip pat naudingi šie straipsniai: Lėktuvo lygtis erdvėje, Lygtys tiesiogiai erdvėjePagrindinės tiesioginės ir plokštumos užduotys, kiti analitinės geometrijos skyriai. Natūralu, tuo pačiu metu apsvarstyti tipines užduotis.

Vektoriaus koncepcija. Nemokamas vektorius

Pirmiausia pakartokite vektoriaus mokyklos apibrėžimą. Vector. vadinamas nukreiptas Segmentas, už kurį nurodoma jo pradžia ir pabaiga:

Šiuo atveju segmento pradžia yra taškas, segmento pabaiga - taškas. Pati vektoriui yra nurodyta. Kryptis Labai svarbu, jei pertvarkote rodyklę į kitą segmento galą, tada vektorius bus, ir tai jau yra visiškai kitoks vektorius. Vektoriaus sąvoka yra patogu identifikuoti su fizinio kūno judėjimu: matote, eikite į instituto duris arba išeiti iš instituto durų yra visiškai skirtingi dalykai.

Atskiros plokštumos taškai, erdvė yra patogi apsvarstyti vadinamąjį nulinis vektorius . Tokiame vektoriuje, pabaigoje ir pradžioje sutampa.

!!! Pastaba: Toliau gali būti laikoma, kad vektoriai yra toje pačioje plokštumoje arba galite manyti, kad jie yra erdvėje - aprašytos medžiagos esmė taip pat galioja plokštumoje ir erdvėje.

Pavadinimas: Daugelis iš karto atkreipė dėmesį į lazdą be rodyklės pavadinime ir pasakė, tuo pačiu metu jie įdėti rodyklę! Tiesa, galite rašyti su rodykle: bet leidžiama Įrašą, kurį aš naudoju ateityje. Kodėl? Matyt, toks įprotis sukūrė nuo praktinių aplinkybių, mano rodyklės mokykloje ir universitete pasirodė esąs pernelyg diferencijuotas ir shaggy. Švietimo literatūroje kartais jie nerimauja su laikrodžiais, tačiau žymūs raidės paryškintu :, reiškia, kad tai yra vektorius.

Tai buvo stilius, o dabar apie vektorių įrašymo metodus:

1) Vectors gali būti parašyta dvi didelės lotyniškos raidės:
ir tt Tuo pačiu metu pirmoji raidė anksčiau Nurodo vektoriaus pradžią ir antrą raidę - taško galutinį vektorių.

2) Vectors taip pat įrašo mažas lotynų raides:
Visų pirma, mūsų vektorius yra įmanomas trumpam lotyniškam laiškui konvertuoti.

Lena. arba. \\ T modulis. \\ T Nonero vektorius vadinamas segmento ilgiu. Nulinio vektoriaus ilgis yra nulis. Logiška.

Vektoriaus ilgis nurodomas modulio ženklu:

Kaip rasti vektorinio ilgį mes išmoksime (arba pakartokite, už kurį) šiek tiek vėliau.

Tai buvo elementarios informacijos apie vektorių pažįstamą visiems moksleiviams. Analitinėje geometrijoje, vadinamuoju nemokamas vektorius.

Jei tai paprasta - vektorius gali būti atidėtas iš bet kurio taško.:

Mes naudojome tokius vektorius (lygių vektorių apibrėžimas bus pateiktas žemiau), bet yra tik matematiniu požiūriu. Tai tas pats vektorius arba nemokamas vektorius. Kodėl nemokamai? Kadangi sprendžiant užduotis galite "pridėti" vieną ar kitą vektorių bet kokio, plokštumos ar vietos jums reikia taško. Tai labai kietas turtas! Įsivaizduokite savavališką ilgį ir kryptis - tai gali būti "klonuoti" begalinį skaičių kartų ir bet kokiu erdvės tašku, iš tiesų, jis egzistuoja visur. Yra toks mokinys mokestis: kiekvienam lektorui F ** y per vektorių. Galų gale, ne tik "Witty Rhyme", viskas matematiškai teisinga - ten gali būti prijungtas vektorius. Bet neskubėkite džiaugtis, mokiniai patiria dažniau \u003d)

Taigi, nemokamas vektorius - tai yra daug vienodi nukreipti segmentai. Mokyklos apibrėžimas vektoriaus, pateikto pastraipos pradžioje: "Vektorius vadinamas nukreiptu pjaustymu ...", reiškia, reiškia konkreti Krypties segmentas, paimtas iš šio rinkinio, kuris yra susietas su tam tikru plokštumos ar vietos tašku.

Pažymėtina, kad fizikos požiūriu nemokamo vektoriaus koncepcija bendrame atvejis neteisingai ir yra svarbi vektorinė naudojimo vieta. Iš tiesų, tiesioginis tos pačios jėgos smūgis ant nosies ar kaktos yra pakankamas, kad išsivystų mano kvailas pavyzdys. Tačiau nemokamas Vektoriai susitinka ir informavo (ne ten :)).

Veiksmai su vektoriais. Collinearity vektoriai

Mokyklos geometrijos metais laikomi keli veiksmai ir taisyklės su vektoriais: trikampio taisyklės pridėjimas, papildymas pagal lygiagramos taisyklę, vektorinių skirtumų taisyklę, vektoriaus dauginimas pagal vektorių skaičiumi, svarstymu produktą ir kt. Sėklai, mes pakartojame dvi taisykles, kurios yra ypač svarbios sprendžiant analitinės geometrijos problemas.

Vektorių pridėjimo taisyklė pagal trikampių taisyklę

Apsvarstykite du savavališką nulinį vektorių ir:

Reikia rasti šių vektorių kiekį. Dėl to, kad visi vektoriai yra laikomi nemokamais, atidėti vektorių nuo galas Vektorius:

Vektorių suma ir yra vektorius. Siekiant geriau suprasti taisyklę, patartina investuoti fizinę reikšmę: leiskite kai kuriam kūnui pasiekti kelią į vektorių ir tada vektoriaus. Tada vektorių suma yra gauto kelio vektorius su pradžia išvykimo vietoje ir pabaigoje atvykimo vietoje. Panaši taisyklė yra suformuluota už bet kokio vektorių skaičiaus sumą. Kaip sakoma, kūnas gali stipriai perduoti nuo zigzago, o gal Autopilot - pagal gautą vektorių sumą.

Beje, jei vektorius yra atidėtas iš pradėkite Vektorius, tada jis bus lygiavertis polloogramos taisyklė Vektorių pridėjimas.

Pirmiausia apie vektorių kolorinį. Vadinami du vektoriai collinear.Jei jie guli ant vienos tiesios linijos arba lygiagrečios tiesios linijos. Apytiksliai kalbame apie lygiagretus vektorių. Tačiau jų atžvilgiu būdvardis "Collinear" visada naudoja.

Pateikti du collinear vektorių. Jei šių vektorių rodyklė nukreipta ta pačia kryptimi, tada tokie vektoriai vadinami soned.. Jei rodyklės atrodo skirtingomis kryptimis, tada vektoriai bus priešingai.

Pavadinimas: Vektorių kolorinė įrašoma naudojant įprastą lygiagretumo piktogramą: galima išsamiai: (vektoriai yra padengti) arba (vektoriai yra priešingi).

Darbas. \\ T Nonero vektorius ant skaičiaus yra toks vektorius, kurio ilgis yra lygus, ir vektoriai ir yra padengti su priešingu būdu nukreipta.

Vektoriaus dauginimo taisyklė yra lengviau suprasti su brėžiniu:

Mes suprantame daugiau informacijos:

1) kryptis. Jei daugiklis yra neigiamas, tada vektorius keičia kryptį Priešingai.

2) Ilgis. Jei daugiklis yra sudarytas per arba, tada vektoriaus ilgio sumažėja. Taigi, vektorinis ilgis yra du kartus mažesnis už vektoriaus ilgį. Jei daugiklio modulis yra daugiau nei vienas, tada vektoriaus ilgis dideja laiku.

3) atkreipkite dėmesį visi "Collinear" vektoriaiŠiuo atveju vienas vektorius išreiškiamas per kitą, pavyzdžiui. Priešingai taip pat yra teisinga: Jei vienas vektorius gali būti išreikštas per kitą, tada tokie vektoriai nebūtinai collinear. Šiuo būdu: jei mes padauginsime vektorių į numerį, tada kollinys (atsižvelgiant į pradinį) vector..

4) vektoriai yra padengti. Vektoriai ir taip pat padengti. Bet kuri pirmoji pirmosios grupės grupė prieštarauja bet kuriai antrosios grupės vektoriui.

Kokie vektoriai yra lygūs?

Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra tvirtinti ir turi tą patį ilgį.. Atkreipkite dėmesį, kad aušintuvas reiškia vektorių kolorinį. Apibrėžimas bus netikslus (nereikalingas), jei sakote: "Du vektoriai yra lygūs, jei jie yra collinear, dengiami ir turi tokį patį ilgį."

Laisvų vektoriaus koncepcijos požiūriu lygūs vektoriai yra tas pats vektorius, kuris jau įvyko ankstesnėje pastraipoje.

Vektoriaus koordinatės plokštumoje ir erdvėje

Pirmasis taškas Apsvarstykite vektorių plokštumoje. Aš pavaizduosios Carteso stačiakampio koordinačių sistemą ir atidėti nuo koordinačių pradžios vienišas Vectors ir:

Vectors I. ortogoninis. Ortogoninis \u003d statmena. Aš rekomenduoju lėtai priprasti prie terminų: vietoj lygiagretumo ir statmenos, atitinkamai naudojame žodžius collinearity. ir. \\ T ortogoniškumas.

Paskyrimas: Vektorių ortogoniškumas registruoja įprastą statmens piktogramą, pavyzdžiui :.

Nagrinėjami vektoriai vadinami koordinuoti vektorius arba. \\ T orthy.. Šie vektorių forma pagrindas. \\ T ant paviršiaus. Manau, kad tai yra intuityviai daug suprantamų, išsamesnę informaciją galima rasti straipsnyje. Linijinė (ne) priklausomybė nuo vektorinės. Pagrindas Vectors.. Pelentūs žodžiai, koordinatės pagrindas ir pradžia Nustatykite visą sistemą - tai yra pamatas, kuriame yra pilnas ir prisotintas geometrinis gyvenimas.

Kartais pastatytas pagrindas ortonormuotas. \\ T Lėktuvo pagrindas: "Orto" - nes koordinatės vektoriai yra ortogoninis, būdvardis "normalizuotas" reiškia vieną, i.e. Pagrindinių vektorių ilgis yra lygus vienai.

Paskyrimas: Paprastai užrašoma skliausteliuose griežtai seka Pagrindiniai vektoriai, pavyzdžiui :. Koordinuoti vektorius tai neįmanoma Pertvarkykite vietose.

Bet kokia dalis Vektoriaus plokštuma vienintelis kelias išreikštas forma:
kur - skaičiai. \\ Tvadinamas vektoriaus koordinatės Šioje bazėje. Ir pati išraiška vadinamas vektoriaus skaidymas. \\ T Pagrindai. .

Vakarienė patiekiama:

Pradėkime nuo pirmosios abėcėlės raidės :. Pasak brėžinio, tai yra aiškiai matoma, kad, kai vektorinio skilimo pagrindu, ką tik apsvarstyta:
1) Vector dauginimo taisyklė pagal numerį: ir;
2) Trikampio taisyklės vektorių papildymas :.

Ir dabar psichiškai nustatykite vektorių nuo bet kurio kito plokštumos taško. Akivaizdu, kad jo skilimas bus "negailestingai sekti jį". Čia tai yra, vektoriaus laisvė - vektoriaus "visi dėvi su jumis." Žinoma, šis turtas yra teisingas bet kuriam vektoriui. Tai juokinga, kad pagrindiniai (nemokami) vektoriai nebūtina atidėti nuo koordinatės pradžios, galima atkreipti, pavyzdžiui, į kairę apačioje, o kitas yra aukščiau, ir niekas nepasikeis! Tiesa, tai nėra būtina tai padaryti, nes mokytojas taip pat parodys originalumą ir traukia jus "įskaityta" netikėtai vietoje.

Vectors, iliustruoja tiksliai vektoriaus dauginimo taisyklė pagal numerį, vektorius yra nukreiptas su pagrindiniu vektoriumi, vektorius yra nukreiptas priešais pagrindiniam vektoriui. Vektorių duomenys yra vienas iš koordinačių yra nulis, jis gali būti užregistruotas, kad:


Ir pagrindiniai vektoriai, beje, taip: (iš tiesų, jie yra išreikšti save per save).

Ir, galiausiai: ,. Beje, kas yra vektorių atitikimas ir kodėl aš nesakiau apie atskaitos taisyklę? Kažkur linijinėje algebra, aš nepamenu, kur pažymėjau, kad atimtis yra ypatingas atvejis. Taigi, vektorių "de" ir "E" skilimas tyliai registruojamas sumos forma: . Pertvarkykite vietų komponentus ir sekite brėžinį, nes senas geras vektorių papildymas pagal trikampio taisyklę aiškiai veikia šiose situacijose.

Laikomas tipo skaidymu Kartais vadinama vektoriaus skilimu oRT sistemoje (I.E. Vienkartinių vektorių sistemoje). Bet tai nėra vienintelis būdas įrašyti vektorių, ši parinktis yra paskirstyta:

Arba su lygybės ženklu:

Patys pagrindiniai vektoriai yra parašyti taip: ir

Tai yra, skliausteliuose nurodomos vektoriaus koordinatės. Praktinėmis užduotimis naudojamos visos trys įrašymo parinktys.

Abejojo, ar pasakyti, bet vis tiek pasakysiu: vektorių koordinatės negali būti pertvarkytos. Griežtai pirmiausia Užsirašykite koordinačių, atitinkančio vieneto vektorių griežtai antroje vietoje Mes užrašome koordinates, atitinkančią vieneto vektorių. Iš tiesų, ir - tai yra todėl, kad du skirtingi vektoriai.

Koordinatės plokštumoje. Dabar apsvarstykite trimatės erdvės vektorių, čia beveik visi vienodi! Įtraukti tik kitą koordinatį. Trijų dimensijų brėžiniai veikia sunkiai, todėl aš apribosiu tą patį vektorių, kuris paprastumu bus atidėti nuo koordinatės pradžios:

Bet kokia dalis Galima naudoti vektorinę trimatę erdvę vienas kelias Slinkite per orthonormalą:
, kur - šioje bazėje esančių vektoriaus (numerių) koordinatės.

Pavyzdys iš paveikslėlio: . Pažiūrėkime, kaip čia veikia veiksmų su vektoriais taisyklės. Pirma, vektoriaus dauginimas yra: (raudona rodyklė), (žalia rodyklė) ir (raumenų rodyklė). Antra, pavyzdys pridėti keletą, šiuo atveju trys, vektoriai :. Sumos vektorius prasideda nuo išvykimo pradžios taško (vektoriaus pradžia) ir įstrigo galutiniame atvykimo taške (galinis vektorius).

Visi trys dimensijos vektoriai yra natūraliai nemokami, pabandykite psichiškai atidėti vektorių iš bet kurio kito taško, ir jūs suprasite, kad jo skilimas išliks su juo ".

Panašus į plokščią dėklą, be įrašymo Versijos su skliausteliais yra plačiai naudojami: arba.

Jei nėra vieno (ar dviejų) koordinatės vektoriaus skilimas, vietoj to nuliai. Pavyzdžiai:
Vektorius (kruopštus. ) - rašykite;
Vektorius (kruopštus. ) - rašykite;
Vektorius (kruopštus. ) - Mes rašome.

Pagrindiniai vektoriai yra parašyti taip:

Tai galbūt visos minimalios teorinės žinios, reikalingos analitinės geometrijos problemoms spręsti. Galbūt šiek tiek terminų ir apibrėžimų, todėl aš rekomenduoju vėl perskaityti artintus ir vėl suprasti šią informaciją. Ir bet kuris skaitytojas bus naudingas nuo laiko, kad galėtumėte susisiekti su pagrindine pamoka, kad būtų galima geriau įsisavinti medžiagą. "Collinearity", ortogoniškumas, ortonormali pagrindas, vektoriaus skaidymas - šie ir kitos sąvokos dažnai bus naudojamos ateityje. Atkreipiu dėmesį, kad teritorijos medžiagos nepakanka perduoti teorinį testą, kolokviumą geometrijoje, nes visi teoriniai (be įrodymų) aš atidžiai užšifruoju - į savo supratimą apie mokslinį stilių, bet ir į savo supratimą subjekto. Norėdami gauti išsamią teorinę nuorodą, prašau lanksto į profesorių atanasyan.

Ir mes kreipiamės į praktinę dalį:

Paprasčiausias analitinės geometrijos užduotys.
Veiksmai su vektoriais koordinatėse

Užduotys, kurios bus laikomos labai pageidautina išmokti išspręsti visą mašiną, bet formules prisiminkite šventąNet ir ypač ne įsiminti save, jie prisimins \u003d) Tai labai svarbu, nes kitos analitinės geometrijos užduotys yra pagrįstos paprasčiausiais elementariais pavyzdžiais ir išnyks papildomą laiką valgyti pėstininkai. Nereikia mirti viršutinių mygtukų ant marškinių, daugelis dalykų yra susipažinę su jumis iš mokyklos.

Medžiagos pristatymas bus lygiagretus lėktuvui ir erdvėje. Dėl priežasties, kad visos formulės ... pažiūrėkite.

Kaip rasti vektorių dviem taškais?

Jei pateikiami du plokštumos taškai, ir vektoriai turi šias koordinates:

Jei yra du vietos taškai ir vektoriai turi šias koordinates:

T.y, nuo vektorinių pabaigos koordinatės reikia išskaičiuoti atitinkamas koordinates vektoriaus pradžia.

Užduotis: Dėl tų pačių taškų užrašykite formulę, kaip rasti vektoriaus koordinates formulę. Formulės pamokos pabaigoje.

1 pavyzdys.

Yra du plokštumos taškai ir. Raskite vektoriaus koordinates

Sprendimas: Pagal atitinkamą formulę:

Arba galite naudoti šį įrašą:

Eshetes išspręstos taip:

Asmeniškai aš įpratau į pirmąją įrašymo versiją.

Atsakymas:

Pagal sąlygą nebuvo būtina statyti brėžinį (kuris yra būdingas analitinės geometrijos užduotims), tačiau tam, kad paaiškintų kai kurias akimirkas į arbatą, netinka:

Būtinai supraskite skirtumas tarp taškų koordinatės ir vektorių koordinatės:

Taško koordinatės - Tai yra įprastos stačiakampio koordinačių sistemos koordinatės. Taupymo taškų koordinačių plokštumoje, manau, kad kiekvienas gali vis dar iš 5-6 klasės. Kiekvienas taškas turi griežtą vietą ant lėktuvo ir perkelti juos kažkur negali būti perkelta.

Koordinatės to paties vektoriaus koordinatės - tai yra jo pagrindas šiuo atveju. Bet koks vektorius yra nemokamas, todėl, jei reikia, mes galime lengvai atidėti jį nuo kito lėktuvo taško. Įdomu tai, kad vektoriai negali statyti ašies ne visai, stačiakampio koordinačių sistemą, tik pagrindu reikia, šiuo atveju orroginis pagrindas plokštumoje.

Atrodo, kad požymių koordinatės ir vektorių koordinatės yra panašios: ir koordinačių reikšmė Absoliučiai skiriasiIr jūs turėtumėte gerai suprasti šį skirtumą. Šis skirtumas, žinoma, galioja erdvei.

Ponios ir ponai, gaukite ranką:

2 pavyzdys.

a) paaukoti taškai ir. Ieškoti vektorių ir.
b) Donas. ir. Ieškoti vektorių ir.
c) datos ir. Ieškoti vektorių ir.
d) datos. Rasti eilutes .

Galbūt pakankamai. Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai, pabandykite ne ignoruoti jų, atsipirkti ;-). Brėžiniai nereikia daryti. Sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Kas yra svarbu sprendžiant analitinės geometrijos užduotis? Svarbu būti labai dėmesingas už klaidos dirbtuvę "du plius du yra lygūs nuliui". Aš iš karto atsiprašau, jei buvau neteisingas \u003d)

Kaip rasti segmento ilgį?

Ilgis, kaip jau buvo pažymėtas, nurodomas modulio ženklas.

Jei davę du plokštumos taškai ir segmento ilgis gali būti apskaičiuojamas pagal formulę

Jei yra du vietos taškai ir tada segmento ilgis gali būti apskaičiuojamas pagal formulę

Pastaba: Formulės išliks teisinga, jei atitinkamos koordinatės yra pertvarkytos pagal vietas: ir, bet daugiau standartų yra pirmasis variantas.

3 pavyzdys.

Sprendimas: Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Siekiant aiškumo, atliksiu brėžinį

Skyrius - tai nėra vektoriusIr perkelti jį kažkur, žinoma, tai yra neįmanoma. Be to, jei atliksite skalę: 1 vienetas. \u003d 1 cm (dvi avialinės ląstelės), tada gautą atsakymą galima patikrinti įprastine linija, tiesiogiai matuojant segmento ilgį.

Taip, sprendimas yra trumpas, tačiau vis dar yra keletas svarbių akimirkų, kuriuos norėčiau paaiškinti:

Pirma, atsakydami į tai, kad matmenys: "vienetai". Sąlyga nesako, kad ji yra milimetrai, centimetrai, matuokliai arba kilometrai. Todėl matematiškai kompetentingas sprendimas bus bendroji formuluotė: "vienetai" - sutrumpintos "vienetai".

Antra, mes pakartodame mokyklos medžiagą, kuri yra naudinga ne tik už laikomą užduotį:

Atkreipkite dėmesį į svarbi techninė technika – prijungimas nuo šaknies. Dėl skaičiavimų turėjome rezultatą ir geras matematinis stilius apima veiksnį nuo šaknies (jei įmanoma). Daugiau procesas atrodo taip: . Žinoma, palikti atsakymą į formą nebus klaida - bet nepakankamas dalykas yra tikras ir svarbiausias argumentas už mokytojo kareivius.

Čia yra ir kiti bendri atvejai:

Dažnai po šaknu gaunamas pakankamai didelis skaičius. Kaip būti tokiais atvejais? Skaičiuoklyje patikrinkite, ar numeris yra padalintas į 4 :. Taip, jis buvo padalintas, taip padalintas: . O gal skaičius dar kartą bus suskirstytas į 4? . Šiuo būdu: . Numeriame paskutinis skaičius yra keista, todėl, kad trečią kartą padalintas 4, tai yra aiškiai neįmanoma. Mes stengiamės padalinti devynis :. Kaip rezultatas:
Pasiruošę.

Išėjimas: Jei numeris yra ant šaknies, skaičius gaunamas, tada mes bandome išsiaiškinti daugiklį iš po šaknų - skaičiuoklė mes tikriname, ar skaičius yra padalintas iš: 4, 9, 16, 25, 49, ir tt

Sprendžiant įvairias problemas, šaknys dažnai randamos, visada stengiasi išgauti daugiklius iš šaknų, kad būtų išvengta mažesnio vertinimo taip nereikalingų problemų su jūsų sprendimų tobulinimo pagal mokytojo komentarą gerinimo.

Tuo pačiu metu pakartojame šaknų statybą į aikštę ir kitus laipsnius:

Veiksmų taisyklės su laipsniais apskritai galima rasti mokyklos vadovėlyje ant algebros, bet manau, iš pirmiau pateiktų pavyzdžių, viskas ar beveik viskas jau aiški.

Užduotis už nepriklausomą sprendimą su segmentu erdvėje:

4 pavyzdys.

Dana taškai ir. Raskite segmento ilgį.

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Kaip rasti vektoriaus ilgį?

Jei duotas vektoriaus plokštuma, jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę.

Jei pateikiamas vietos vektorius, jo ilgis apskaičiuojamas pagal formulę .

Algebrinė vektoriaus projekcija Į bet kurią ašį yra lygi vektoriaus ilgio produktui tarp ašies ir vektoriaus kampo:

PR a b \u003d | b | cos (a, b) arba

Kur b yra vektorių skaliaras, | A | - vektorinis modulis a.

Instrukcija. Norėdami rasti PP A B vektoriaus projekciją internetiniame režime, turite nurodyti A ir B vektorių koordinates. Tokiu atveju vektorius gali būti nustatytas plokštumoje (dvi koordinatės) ir erdvėje (trys koordinatės). Gautas tirpalas išsaugomas žodžio faile. Jei vektoriai yra nustatyti per taškų koordinates, tai būtina naudoti šį skaičiuoklę.

Nustatyti:
dvi vektoriaus koordinatės
trys vektoriaus koordinatės
A: ; ;
B: ; ;

Vektoriaus projekcijų klasifikavimas

Prognozių tipai pagal apibrėžimą. Vektorius projekcija

Koordinatės sistemos projekcijų tipai

Projekcinės vektoriaus savybės

1. Geometrinis vektorinė projekcija yra vektorius (jis turi kryptį).
2. Algebrine vektorinė projekcija yra numeris.

Vektoriniai projekciniai teoriniai.

1 teorija. Visos ašies vektorių sumos projekcija yra lygi tos pačios ašies vektorių komponentų projekcijai.

2 teorija. Algebrinė projekcija vektoriaus ant bet kurios ašies yra lygi vektoriaus ilgio ant kampo tarp ašies ir vektoriaus ilgio produktui:

PR a b \u003d | b | cos (a, b)

Vektoriaus projekcijų tipai

1. projekcija ant engos ašies.
2. projektavimas apie Oy ašį.
3. projekcija ant vektoriaus.

Projekcija ant engos ašies	Oy-ašies projekcija	Projekcija vektoriuje
Jei vektorinio kryptis A'B "sutampa su uo ašies kryptimi, tada vektoriaus projekcija A'B" turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus kryptis A'B "sutampa su OY ašies kryptimi, tada vektorinio projekcija A'B" turi teigiamą ženklą.	Jei vektoriaus kryptis A'B "sutampa su NM vektoriaus kryptimi, tada vektorinio projekcija A'B" turi teigiamą ženklą.
Jei vektoriaus kryptis yra priešinga uo ašies krypties, tada vektorinio a'b "projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus kryptis A'B 'yra priešinga OY ašies kryptimi, tada vektorinio a'b "projekcija turi neigiamą ženklą.	Jei vektoriaus kryptis A'B 'yra priešinga NM vektoriaus kryptimi, vektorinio projekcija A'B "turi neigiamą ženklą.
Jei AB "Vector" yra lygiagrečiai lygiagrečiai, tada vektorinis projekcija yra lygi AB vektoriaus moduliui.	Jei AB "Vector" yra lygiagrečiai Oy ašis, tada vektorinio projekcija A'B "yra lygi AB vektoriaus moduliui.	Jei AB vektorius yra lygiagretus NM vektoriui, tada vektorinio projekcija yra lygi AB "Vector" moduliui.
Jei vektorinis AB yra statmena jaučio ašies, tada projekcija a'b 'yra nulis (nulinės vektoriaus).	Jei AB vektorius yra statmena Oy ašies, tada projekcija a'b 'yra nulis (nulinės vektoriaus).	Jei AB "Vector" yra statmena NM vektoriui, tada projekcija a'b 'yra nulis (nulinis vektorius).

1. Klausimas: Ar vektoriaus projekcija turi neigiamą ženklą. Atsakymas: Taip, vektoriniai prognozės gali būti neigiama vertė. Šiuo atveju vektorius turi priešingą kryptį (žr., Kaip nukreipta ašis ir AB vektorius)
2. Klausimas: Ar vektorinė projekcija sutampa su vektoriniu moduliu. Atsakymas: Taip, gal. Šiuo atveju vektoriai yra lygiagreti (arba guli ant vienos tiesios linijos).
3. Klausimas: Ar vektoriaus projekcija yra nulinis (nulinis vektorius). Atsakymas: Taip, gal. Šiuo atveju vektorius yra statmena atitinkamam ašiai (vektorius).

1 pavyzdys. Vektorius (1 pav.) Formos su jaučio ašimi (jis nustato vektoriniu a) kampu 60 o. Jei OE yra skalės vienetas, tada | b | \u003d 4, taigi .

Iš tiesų, vektoriaus ilgis (geometrinis projekcija) yra 2, o kryptis sutampa su jaučio kryptimi.

2 pavyzdys. Vektorius (2 pav.) Formos su jaučio ašimi (su vektoriumi A) kampas (A, B) \u003d 120 O. Ilgis | B | Vektorius B yra 4, todėl PR a b \u003d 4 · cos120 o \u003d -2.

Iš tiesų, vektoriaus ilgis yra lygus 2, o kryptis yra priešinga ašies kryptimi.

Vektorius yra įprastas skambinti segmentui, kuris turi tam tikrą kryptį. Tiek vektoriaus pradžia ir pabaiga turi fiksuotą padėtį, su kuria nustatoma vektoriaus kryptis. Išsamiau apsvarstykite galimybę statyti vektorių pagal nurodytus koordinates.

1. Laikykite koordinatės sistemą (x, y, z) erdvėje, pažymėkite vieną segmentus ant ašių.
2. Jei norite atidėti norimą koordinates ant dviejų ašių, išleisti iš jų punktyrinės linijos, lygiagrečios ašių, prieš sankryžą. Sankryžos taškas sužinos, kad būtina prijungti punktyrinę liniją su koordinatės pradžia.
3. Iškirpkite vektorių nuo koordinačių pradžios iki gauto taško.
4. Norėdami atidėti norimą numerį trečiojoje ašyje, per šį tašką atlikti punktyrinę liniją, kuri bus lygiagreti pastatytam vektoriui.
5. Nuo vektoriaus galo laikyti punktyrinę liniją, lygiagrečiai trečiajai ašiai prieš sankryžą su linija nuo praeities taško.
6. Pabaigoje prijunkite koordinačių kilmę ir gautą tašką.

Kartais reikia statyti vektorių, kuris sukels ar atims kitus vektorius. Todėl dabar mes pažvelgsime į operacijas su vektoriais, sužinosime, kaip juos sulenkti ir atskaityti.

Vektoriniai operacijos

Geometriniai vektoriai gali būti pridėti keliais būdais. Pavyzdžiui, labiausiai paplitęs vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Norėdami sulenkti du vektorius pagal šią taisyklę, būtina organizuoti vektorių lygiagrečiai vieni kitiems tokiu būdu, kad pirmojo vektoriaus pradžia sutampa su antrojo pabaigos, o trečioji pusė gauto trikampio bus sumos suma.

Taip pat galite apskaičiuoti vektorių sumą pagal Rulelogramos taisyklę. Vektoriai turėtų prasidėti nuo vieno taško, lygiagrečiai kiekvienam vektoriui, kurį reikia atkreipti liniją, kad galų gale paaiškintų lygiagrečiu. Pastatytos paralelogramos įstrižainė bus šių vektorių suma.

Norėdami atimti du vektorius, jums reikia pridėti pirmąjį vektorių ir vektorių, kuris bus priešingas sekundes. Tam taip pat naudojamas trikampio taisyklė, kuri turi tokią formuluotę: vektorių skirtumas, kuris yra perkeliamas taip, kad jų pradeda sutampa, yra vektorius, kurio pradžia sutampa su atimamo vektoriaus pabaiga, kaip taip pat su sumažinto vektoriaus galu.

Vektorius yra įprastas skambinti segmentui, kuris turi tam tikrą kryptį. Tiek vektoriaus pradžia ir pabaiga turi fiksuotą padėtį, su kuria nustatoma vektoriaus kryptis. Išsamiau apsvarstykite galimybę statyti vektorių pagal nurodytus koordinates.

1. Laikykite koordinatės sistemą (x, y, z) erdvėje, pažymėkite vieną segmentus ant ašių.
2. Jei norite atidėti norimą koordinates ant dviejų ašių, išleisti iš jų punktyrinės linijos, lygiagrečios ašių, prieš sankryžą. Sankryžos taškas sužinos, kad būtina prijungti punktyrinę liniją su koordinatės pradžia.
3. Iškirpkite vektorių nuo koordinačių pradžios iki gauto taško.
4. Norėdami atidėti norimą numerį trečiojoje ašyje, per šį tašką atlikti punktyrinę liniją, kuri bus lygiagreti pastatytam vektoriui.
5. Nuo vektoriaus galo laikyti punktyrinę liniją, lygiagrečiai trečiajai ašiai prieš sankryžą su linija nuo praeities taško.
6. Pabaigoje prijunkite koordinačių kilmę ir gautą tašką.

Kartais reikia statyti vektorių, kuris sukels ar atims kitus vektorius. Todėl dabar mes pažvelgsime į operacijas su vektoriais, sužinosime, kaip juos sulenkti ir atskaityti.

Vektoriniai operacijos

Geometriniai vektoriai gali būti pridėti keliais būdais. Pavyzdžiui, labiausiai paplitęs vektorių pridėjimo būdas yra trikampio taisyklė. Norėdami sulenkti du vektorius pagal šią taisyklę, būtina organizuoti vektorių lygiagrečiai vieni kitiems tokiu būdu, kad pirmojo vektoriaus pradžia sutampa su antrojo pabaigos, o trečioji pusė gauto trikampio bus sumos suma.

Taip pat galite apskaičiuoti vektorių sumą pagal Rulelogramos taisyklę. Vektoriai turėtų prasidėti nuo vieno taško, lygiagrečiai kiekvienam vektoriui, kurį reikia atkreipti liniją, kad galų gale paaiškintų lygiagrečiu. Pastatytos paralelogramos įstrižainė bus šių vektorių suma.

Norėdami atimti du vektorius, jums reikia pridėti pirmąjį vektorių ir vektorių, kuris bus priešingas sekundes. Tam taip pat naudojamas trikampio taisyklė, kuri turi tokią formuluotę: vektorių skirtumas, kuris yra perkeliamas taip, kad jų pradeda sutampa, yra vektorius, kurio pradžia sutampa su atimamo vektoriaus pabaiga, kaip taip pat su sumažinto vektoriaus galu.

Dėmesio, tik šiandien!

Kita

Siekiant atlikti vektorių pridėjimo operaciją, yra keletas būdų, kurie, priklausomai nuo situacijos ...

Vektorius yra matematinis objektas, kuriam būdingas kryptis ir vertė. Geometrijoje vektorius vadinamas ...

Matematikoje po vektoriumi jis suprantamas kaip tam tikro ilgio segmentas, turintis kryptį ir koordinates x, y, Z..

Kampas tarp dviejų vektorių, kurie eina iš vieno taško yra artimiausias kampas, posūkis, ant kurio pirmasis vektorius ...

Jei žinote dviejų ar daugiau taškų erdvinę koordinates konkrečioje sistemoje, tada užduotis: kaip rasti ilgį ...

Nustatykite segmento ilgį įmanoma įvairiais būdais. Norint sužinoti, kaip rasti segmento ilgį, pakanka turėti ...

Pagreitis yra greičio greitis. Šis dydis yra vektorius, jis turi savo kryptį ir matuojamas m / s 2 (...

Su "Ruver" pagalba nustatoma magnetinių linijų kryptys (skirtingai jie taip pat vadinami magnetinių linijomis ...

Į brėžinius geometrinių įstaigų vaizdai yra pastatyti naudojant projekcijos metodą. Bet už šį vieną vaizdą ...

Žodis "ordinatas" įvyko iš lotyniško "ordinatus" - "esančiu tvarka". Ordinatas - grynai matematinis ...

Numerio modulis yra skirtingai vadinamas absoliučia šio numerio vertė. Tuo atveju, kai pagal modulio ženklą kainuoja ...

Norint rasti lygiakraščio trikampio viršų koordinates, jei žinoma kitų dviejų jos viršūnių koordinatės, ...

Įdomu, kaip apskaičiuoti ir rasti vidurinę trikampio liniją. Tada už darbą. Vidurinės linijos ilgio ...

Apsvarstykite išsamiau, kas pagreitina fizikoje? Tai pranešimo korpusas papildomo greičio už laiko vienetą. ...

Prieš žinodami, kaip rasti lygiagretaus plotą, turime prisiminti, kas yra lygiagrečios ir kad ...

Pirmasis lygis

Koordinatės ir vektoriai. Išsamus vadovas (2019)

Šiame straipsnyje mes pradėsime diskusiją apie vieną "lazdelės lazdos", kuri leis jums sumažinti daug geometrijos užduočių paprastam aritmetiniam. Šis "lazda" gali žymiai palengvinti jūsų gyvenimą, ypač tuo atveju, kai esate nesaugiai jaučiatės erdvinių figūrų, skyrių ir kt. Visa tai reikalauja tam tikro vaizduotės ir praktinių įgūdžių. Metodas, kurį mes pradėsime čia apsvarstyti, leis jums beveik visiškai abstrakčiai nuo visų rūšių geometrinių konstrukcijų ir argumentavimo. Šis metodas vadinamas "Koordinatės metodas". Šiame straipsnyje apsvarstysime šiuos klausimus:

1. Koordinuoti plokštumą
2. Taškai ir vektoriai plokštumoje
3. Statyti vektorių palei du taškus
4. Vektorius ilgis (atstumas tarp dviejų taškų)
5. Koordinates iš supjaustyto viduryje
6. Scalar produkto vektoriai
7. Kampas tarp dviejų vektorių

Manau, kad jau atspėjote, kodėl koordinatės metodas yra vadinamas? Tiesa, jis gavo tokį pavadinimą, nes jis veikia ne su geometriniais objektais, bet su jų skaitmeninėmis savybėmis (koordinatėmis). Ir pats konversija, kuri leidžia jums judėti iš geometrijos į algebra, yra įvesti koordinačių sistemą. Jei šaltinio figūra buvo lygi, o koordinatės yra dvimatės, ir jei formavimo figūra, o koordinatės yra trimatės. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tik dviejų dimensijų atvejį. Ir pagrindinis šio straipsnio tikslas - išmokyti jus naudoti kai kuriuos pagrindinius koordinačių metodų metodus (jie kartais yra naudingi sprendžiant problemas planetime naudojant B dalį). Šie du skyriai šiuo klausimu yra skirtos aptarti tuos pačius metodus sprendžiant problemas užduotims C2 (užduotis stereometrijai).

Kodėl tai būtų logiška pradėti aptarti koordinates metodą? Tikriausiai, su koordinačių sistemos sąvoka. Prisiminkite, kada jūs su pirmiausia susidūrėte. Man atrodo, kad 7 klasėje, kai sužinojote apie linijinės funkcijos egzistavimą. Leiskite jums priminti, jūs pastatėte taškus. Ar prisimeni? Jūs pasirinkote savavališką skaičių, pakeistą formulėje ir apskaičiuojama tokiu būdu. Pavyzdžiui, jei, tada, jei, tada ir tt, ką jūs patekote? Ir aš gavau tašką su koordinatėmis: ir. Be to, jūs nudažėte "kryžių" (koordinatės sistema), pasirinkote skalę ant jo (kiek ląstelių turėsite vieną segmentą) ir pažymėjote, kad gaunami taškai, kurie sujungė tiesią liniją, gautą liniją ir yra funkcijų grafikas.

Yra keletas akimirkų, kurias jums reikia paaiškinti šiek tiek daugiau:

1. Vienas segmentas, kurį pasirinkote dėl priežasčių patogumui, kad viskas būtų graži ir kompaktiškai tinka paveikslėlyje

2. Priimama, kad ašis paliekama į dešinę, o ašis yra į apačią

3. Jie susikerta stačiu kampu, o jų sankirtos taškas vadinamas koordinatės pradžia. Jis nurodomas laišku.

4. Įrašant taško koordinates, pavyzdžiui, kairėje skliausteliuose yra taškas koordinatės palei ašį ir dešinėje, palei ašį. Visų pirma, tiesiog reiškia, kad taškas

5. Norint nustatyti bet kokį koordinačių ašies tašką, reikia nurodyti savo koordinates (2 numeriai)

6. Bet kokiam taškui, esančiam ant ašies,

7. Bet kuriam taškui gulėti ant ašies,

8. Ašyje yra vadinama abscisa ašimi

9. Ašis vadinama ordinatės ašimi

Dabar padarykime kitą žingsnį su jumis: pastebime du taškus. Prijunkite šiuos du taškus su segmentu. Ir įdėkite rodyklę taip, tarsi mes praleisime segmentą nuo taško: tai yra, mes padarysime mūsų segmentą!

Prisiminkite, kaip dar yra nukreiptas segmentas? Tiesa, tai vadinama vektoriumi!

Taigi, jei prijungiame tašką su tašku, be to, turėsime a punktą, o pabaigoje - B taškas, Tada mes gauname vektorių. Ar padarėte šį pastatą ir 8 laipsnį, prisiminkite?

Pasirodo, kad vektoriai, kaip ir taškai, gali būti žymimi dviem numeriais: šie skaičiai vadinami vektoriniais koordinatais. Klausimas: Ar manote, kad pakanka, kad galėtume sužinoti vektoriaus pradžios ir pabaigos koordinates rasti savo koordinates? Pasirodo, kad taip! Ir tai daroma labai paprasta:

Taigi, kadangi dot vektorius yra pradžia, o galas, vektorius turi šias koordinates:

Pavyzdžiui, jei, vektoriaus koordinatės

Dabar darkime priešingai, rasime vektoriaus koordinates. Ką turėtume pakeisti? Taip, jums reikia keisti pradžios ir pabaigos: dabar vektoriaus pradžia bus taške, o galas yra taške. Tada:

Pažvelkite atsargiai, koks yra skirtumas tarp vektorių ir? Jų vienintelis skirtumas yra koordinatės požymiai. Jie yra priešingi. Šis faktas yra priimtas taip:

Kartais, jei jis nėra konkrečiai nenurodytas, kuris taškas yra vektoriaus pradžia ir kaip galas, vektoriai žymimi dviem didžiosiomis raidėmis, bet viena eilutė, pavyzdžiui, ir tt.

Dabar mažai penate. Ir surasti šių vektorių koordinates:

Patikrinti:

Ir dabar sprendžiant problemą šiek tiek sudėtingiau:

Šimtmetis su cha-laužas taške turi bendrą ar-di-on-on-you. Nai-Dite ABS CISS DOP.

Visa tai yra gana proza: leiskite taško koordinates. Tada

Esu sistema, skirta nustatyti, kokie vektoriaus koordinatės. Tada taškas turi koordinates. Mes esame suinteresuoti abscisa. Tada

Atsakymas:

Ką dar galite daryti su vektoriais? Taip, beveik visi tokie patys kaip ir su paprastais skaičiais (nebent jūs negalite suskaidyti, tai galima dauginti dviem būdais, iš kurių vienas čia aptarsime šiek tiek vėliau)

1. Vektoriai gali būti sulankstyti vienas su kitu
2. Vektoriai gali būti išskaičiuoti vienas nuo kito
3. Vektoriai gali būti padauginti (arba atskirti) ant savavališko nulinio numerio
4. Vektoriai gali būti padauginti vienas su kitu

Visos šios operacijos turi visiškai vizualią geometrinį vaizdą. Pavyzdžiui, trikampio (arba lygiagreiogramos) taisyklė papildymui ir atimtimui:

Vektorius yra ištemptas arba suspaustas arba keičia kryptį dauginant arba dalijant:

Tačiau čia mes suinteresuoti klausimu, kas vyksta su koordinatėmis.

1. Dviejų vektorių pridedant (atimant), mes sulenkiame (atskaitą) pakaitomis jų koordinates. T.y:

2. Kai vektoriaus padauginus (padalinys) pagal numerį, visi jo koordinatės yra padaugintos (padalintas) į šį numerį:

Pavyzdžiui:

· Nay-miršta bendro ar Di-Di-Nat voko suma.

Pirmiausia surasime kiekvieno vektorių koordinates. Abu jie turi tą pačią pradžią - kilmės tašką. Jie turi skirtingus galus. Tada. Dabar apskaičiuojame vektoriaus koordinates, tada gauto vektoriaus koordinates suma yra lygi.

Atsakymas:

Dabar ši užduotis yra:

· Raskite vektoriaus koordinatės sumą

Patikrinti:

Apsvarstykite dabar šią užduotį: mes turime du taškus koordinačių plokštumoje. Kaip rasti atstumą tarp jų? Tegul pirmasis taškas yra ir antrasis. Žymi atstumą tarp jų. Padarykime tokį brėžinį aiškumo:

Ką aš padariau? Pirma, aš, pirmiausia, prijungti taškai ir, taip pat praleidau liniją nuo taško, lygiagrečiai su ašimi ir praleido liniją nuo taško lygiagrečiai su ašimi. Ar jie kirto tašką formuojant nuostabų figūrą? Kas tai nuostabu? Taip, mes beveik tik žinome apie stačiakampį trikampį. Na, Pythagora teorija - tikrai. Norimas segmentas yra šio trikampio hipotenuse, o segmentai yra kartetai. Kokios yra taško koordinatės? Taip, tai lengva juos rasti paveikslėlyje: nes segmentai yra lygiagrečiai su ašimis ir, atitinkamai, jų ilgio yra lengva rasti: jei nurodote segmentų ilgį, tada, tada

Dabar mes naudojame Pitagoreano teoremą. Mes žinome katets ilgį, rasime hipotenuse:

Taigi atstumas tarp dviejų taškų yra skirtumų kvadratų sumos šaknis nuo koordinatės. Arba - atstumas tarp dviejų taškų yra segmento ilgis, jungiantis juos. Tai lengva pastebėti, kad atstumas tarp taškų nepriklauso nuo krypties. Tada:

Iš čia mes gaminame tris rezultatus:

Paimkime šiek tiek pratybų skaičiuojant atstumą tarp dviejų taškų:

Pavyzdžiui, jei atstumas yra tarp ir lygus

Arba eikime kitaip: mes randame vektoriaus koordinates

Ir suraskite vektoriaus ilgį:

Kaip matote, tas pats!

Dabar praktikuokite šiek tiek:

Užduotis: Raskite atstumą tarp nustatytų taškų:

Patikrinti:

Čia yra dar viena tos pačios formulės užduočių pora, nors jie šiek tiek skiriasi:

1. NAY-DI kvad-žiurkės voko ilgio.

2. NAY-DI KVAD-žiurkė nuo voko-RA ilgio

Manau, kad jūs lengvai valdote su jais? Patikrinti:

1. Ir tai yra dėmesingumui) Mes jau radome vektorių ir anksčiau koordinates :. Tada vektorius turi koordinates. Jo ilgio kvadratas bus lygus:

2. Raskite vektoriaus koordinates

Tada jo ilgio kvadratas yra lygus

Nieko sunku, tiesa? Paprastas aritmetinis, ne daugiau.

Šios užduotys negali būti nedviprasmiškai klasifikuojamos, jos yra labiau panašios į bendrą erudiciją ir sugebėti paprastus vaizdus.

1. NAY-di sinuso kampas nuo Na-KLO-on nuo supjaustyto, bendra-in-y-t-asp taško, su abscisa ašimi.

ir. \\ T

Kaip mes ateisime čia? Būtina rasti sine kampą tarp ir ašies. Ir kur mes žinome, kaip ieškoti sinuso? Tiesa, stačiakampio trikampio. Taigi, ką turime daryti? Sukurkite šį trikampį!

Nuo to laiko koordinatės ir tada segmentas yra lygus ir segmentas. Turime rasti sine kampą. Aš jums priminsiu, kad Sinusas yra priešingos kačių požiūris į hipotenuse, tada

Ką turime daryti? Rasti hipotenuse. Jūs galite tai padaryti dviem būdais: pagal Pythagore teorem (Katenets yra žinoma!) Arba atstumo formulė tarp dviejų taškų (iš tikrųjų tas pats dalykas kaip pirmas būdas!). Antra aš eisiu:

Atsakymas:

Kita užduotis jums atrodo dar lengviau. Ji yra taško koordinatėse.

2 užduotis. Nuo Oposchn rašiklio taško "Di-Liar" ant Abs ašies. Nai-Dite ABS Cis-su OS-No-Via-Di-Ku-La-Ra.

Padarykime brėžinį:

Statmenos pagrindas yra taškas, kuriame jis kerta abscissa ašį (ašį) yra taškas. Paveikslas rodo, kad ji turi koordinates :. Mes esame suinteresuoti abscisa - tai yra "uncija" komponentas. Tai lygi.

Atsakymas: .

3 užduotis. Pagal ankstesnės užduoties sąlygas suraskite atstumo sumą nuo taško iki koordinačių ašių.

Užduotis paprastai yra elementarinė, jei žinote, koks yra atstumas nuo taško iki ašių. Tu žinai? Tikiuosi, bet vis tiek priminsiu jums:

Taigi, mano brėžinyje, esančiame tik virš, aš jau pavaizdavau vieną tokį statmeną? Kas yra ašis? Į ašį. Ir koks yra jo ilgio ilgis? Tai lygi. Dabar aš turiu statmeną ašiai ir rasti ilgio. Tai bus lygi, tiesa? Tada jų suma yra lygi.

Atsakymas: .

4 užduotis. Kalbant apie problemas 2, suraskite taško tvarką, simetrišką tašką, palyginti su abscisa ašimi.

Manau, kad esate intuityviai aišku, kas yra simetrija? Labai daug daiktų, kuriuos ji turi: daug pastatų, stalų, lėktuvų, daug geometrinių formų: rutulys, cilindras, kvadratinis, rombas ir kt. Tokia simetrija vadinama ašine. Kas tada yra ašis? Tai yra ta pati linija, kurioje skaičius gali, palyginti kalbant, "supjaustyti" ant tos pačios pusės (šiame paveikslėlyje simetrijos ašis yra tiesi):

Dabar grįžkime į mūsų užduotį. Mes žinome, kad ieškome taško, simetriškai apie ašį. Tada ši ašis yra simetrijos ašis. Taigi turime paminėti tokį tašką taip, kad ašis galėtų sumažinti segmentą į dvi lygias dalis. Išbandykite save švęsti tokį tašką. Ir dabar palyginkite su mano sprendimu:

Ar tai darėte? Gerai! Rytiniame taške mes suinteresuoti įprasta. Tai lygus

Atsakymas:

Ir dabar pasakyk man, mąstymo sekundes, kas bus abscisa taškas, simetriškas taškas a santykinis į ordinato ašį? Kas yra jūsų atsakymas? Teisingas atsakymas: .

Bendru atveju, taisyklė gali būti parašyta taip:

Taškas, simetrinis taškas, palyginti su abscisa ašimi, turi koordinates:

Taškas, simetriškas taškas, palyginti su ordinatės ašimi, turi koordinates:

Na, dabar gana baisi užduotis: Raskite taško koordinates, simetrišką tašką, palyginti su koordinatės pradžia. Iš pradžių pagalvokite apie save, tada pažvelkite į mano piešinį!

Atsakymas:

Dabar.. \\ T POLLOGRAM PROBLEMA:

5 uždavinys: taškai apie Java-Way-Sia Ver-Shi-Na Parale-Le-Lo Gram MA. Nay-die arba di-taško.

Šią problemą galite išspręsti dviem būdais: koordinatės logika ir metodas. Pirmiausia taikau koordinačių metodą, o tada aš jums pasakysiu, kaip išspręsti kitaip.

Akivaizdu, kad abscisa taškas yra lygus. (Jis yra statmenai, atliekamam nuo abscisos ašies taško). Turime rasti ordinatą. Mes naudojame tai, kad mūsų figūra yra lygiagrečiai, tai reiškia, kad. Raskite segmento ilgį naudodami atstumo formulę tarp dviejų taškų:

Nuleiskite statmeną sujungiant tašką su ašimi. Sankryžos taškas parodys laišką.

Segmento ilgis yra lygus. (Raskite pačią užduotį, kur mes aptarėme šį momentą), tada mes randame segmento ilgį Pythagora Theorem:

Segmento ilgis - tiksliai sutampa su jo ordinatais.

Atsakymas: .

Kitas sprendimas (aš tiesiog pateiksiu nuotrauką, kuri ją iliustruoja)

Sprendimas:

1. Elgesys

2. Raskite taško ir ilgio koordinates

3. Įrodyti, kad.

Dar vieną iškirpti ilgio problemą:

"Java-Lyube-Sia Ver-Shi-Mi Tre-Coal-Ni" taškai. Nai di - vidutinės linijos ilgis, parale-lelle.

Ar prisimenate, kas yra vidurinė trikampio linija? Tada jums ši užduotis yra elementarinė. Jei neprisimenate, aš jums priminsiu: trikampio vidurinė linija yra linija, jungianti vidines puses. Jis yra lygiagretus prie pagrindo ir yra lygus pusę pusės.

Pagrindas yra segmentas. Jo ilgis turėjo atrodyti anksčiau, tai yra lygi. Tada vidurinės linijos ilgis yra pusiau mažesnis ir lygus.

Atsakymas: .

Komentaras: Ši užduotis gali būti išspręsta kitu būdu, kuriuo mes šiek tiek vėliau turėjome.

Tuo tarpu dabar turite keletą užduočių, pakilti ant jų, jie yra visiškai paprasti, tačiau padeda "užpildyti ranką", naudojant koordinačių metodą!

1. Taškai apie Java-La-Sia Ver-shi-on-turo-pennation. Nai DS aplinkos linijos ilgis.

2. taškai ir java-wa-sia ver-shi-na parale-lo gram ma. Nay-die arba di-taško.

3. NAY-DI ilgis nuo CUT-ka, bendra vieneto-NY-Y-Y-TH taško ir

4. Nai di-tures iš krai-shan-kaip F-Gu-Ry ant CO-OR-DI-NU FLAT-CO-PO.

5. Aplink kainų prielaidą "Cha-Le Co-ar-Di-Di-Ho-Dit" per tašką. Nay-di jos ra di-misty.

6. NAY-DI-DI-DI-SCHIE-NO-POCI, OPI-SAN-NOE ROD-MO-COMP-NI-KA, ver-shi-ro-ro turi CO-OP -Di-on-you ko- nuo vet.

Sprendimai:

1. Žinoma, kad vidurinė trapecijos linija yra lygi pusei pagrindo. Bazė yra lygi ir bazė. Tada

Atsakymas:

2. Paprasčiausias būdas išspręsti šią užduotį yra: atkreipkite dėmesį, kad (lygiagramogramos taisyklę). Apskaičiuokite vektorių koordinates ir neįmanoma :. Be to, koordinatės vektoriai yra sulankstyti. Tada turi koordinates. Tos pačios koordinatės taip pat turi tašką, nes vektoriaus pradžia yra taškas su koordinatėmis. Esame suinteresuoti įprastais. Tai lygi.

Atsakymas:

3. Mes einame iš karto pagal atstumo formulę tarp dviejų taškų:

Atsakymas:

4. Pažvelkite į paveikslėlį ir pasakykite, tarp kurių du skaičiai "užsikabintos" tamsesniam regionui? Jis yra pritvirtintas tarp dviejų kvadratų. Tada norimo figūros plotas yra lygus didelio kvadratinio minuso aikštėje yra mažas. Mažos kvadrato pusė yra segmentų jungiamųjų taškų ir jo ilgis yra lygus

Tada maža kvadratinė kvadratinė yra lygi

Panašiai, su didele kvadratiniais: jo pusė yra segmento jungiamųjų taškų ir jo ilgis yra lygus

Tada didelė kvadratinė kvadratinė yra lygi

Įdėkite norimą figūrą pagal formulę:

Atsakymas:

5. Jei apskritimas turi kilmę kaip centras ir eina per tašką, jo spindulys bus lygus segmento ilgiui (padaryti piešinį ir suprasite, kodėl tai yra akivaizdu). Raskite šio segmento ilgį:

Atsakymas:

6. Žinoma, kad šalia stačiakampio aprašyto apskritimo spindulys yra lygus pusei įstrižainės. Mes surasime bet kurio dviejų įstrižainių ilgį (galų gale, stačiakampyje jie yra lygūs!)

Atsakymas:

Na, jūs susidorojote su viskuo? Nebuvo labai sunku išsiaiškinti, nes taip? Štai čia yra vienas dalykas - kad būtų galima padaryti vizualią nuotrauką ir tiesiog "skaičiuoti" nuo jo visų duomenų.

Mes šiek tiek palikome. Vis dar yra tiesiog du dalykai, kuriuos norėčiau aptarti.

Pabandykime nuspręsti, kad tai yra tokia paprasta užduotis. Leiskite du taškus ir. Raskite segmento viduryje koordinates. Šios užduoties sprendimas yra toks: tegul taškas - viduryje ieškoma, tada koordinatės:

T.y: segmento viduryje koordinatės \u003d atitinkamų segmento pakraščių aritmetinis vidurkis.

Ši taisyklė yra labai paprasta ir kaip taisyklė nesukelia sunkumų studentams. Pažiūrėkime, kokias užduotis ir kaip jis naudojamas:

1. NAY-DI OR-DI-ON-ON-TU SE-DI nuo supjaustytos, bendro vieneto NY-Yu-TH taškas ir

2. "Java-Lyube-SIA Ver-Shi-Na-Mi-Twh-Coal-Ni-Ka" taškai. "Nay-di" arba "di-on-ta" dots iš savo di-go-lei.

3. NAI-DI ABS-SU-SU-SU-SU-TRA apylinkės kaimynystėje, OPI-San-San šalia dešinės mo-ni-ka, Ver-shi-ro Co-ar-di-on-you ko- OT-VET.

Sprendimai:

1. Pirmoji užduotis yra tik klasika. Mes elgiamės nedelsiant apibrėžiant segmento vidurį. Ji turi koordinates. Ordinatas yra lygus.

Atsakymas:

2. Tai lengva pamatyti, kad šis keturkampis yra lygiagreti (net rombas!). Jūs pats galite įrodyti save, šalių ilgio skaičiavimą ir juos palyginant tarpusavyje. Ką aš žinau apie lygiagrerus? Jo įstrižainės sankryžos taškas yra padalintas į pusę! Yeah! Taigi įstrižainių sankirtos taškas yra tai, ką? Tai yra bet kurio įstrižainių viduryje! Pasirinkite, ypač įstrižai. Tada taškas turi vienodos ordinato taško koordinates.

Atsakymas:

3. Koks yra centro sutapimas, aprašytas šalia apskritimo stačiakampio? Jis sutampa su jo įstrižainių sankirtos tašku. O ką žinote apie stačiakampio įstrižainę? Jie yra lygūs ir sankirtos taškas yra padalintas iš pusės. Užduotis buvo pastatyta į ankstesnį. Pavyzdžiui, aš imsiu įstrižainės. Tada, jei aprašyto rato centras, tada viduryje. Ieškote koordinatės: Absissal yra lygi.

Atsakymas:

Dabar praktikuokite šiek tiek vieni, aš tik atsakysiu į kiekvieną užduotį, kad galėtumėte patikrinti save.

1. NAY-DI-TE-DI-SCHIE-NO-EI, OPI-SAN Apie "Tre-Coal-Ni-Ka", "Ver-shi-go-ro" turi bendrai arba di-ofno misteriai

2. NAY-DI-TE-TU-TU-TU-TU-TU-TU-TUR disciember-NOES, OPI-SAN-NOE PROTAGE-NI-KA, ver-shi-go-ro turi koordinates

3. KA-KO-GO-DI-U-SA turi būti apsuptas kainų trigubo taško, kad ji galėtų SA-Las Axis ABS?

4. Na-di arba-di-on-ta taškų iš ašies ašis ir nuo supjaustytos, bendro vieneto-yu-th taškas ir

Atsakymai:

Viskas pavyko? Aš tikrai tikiuosi! Dabar - paskutinis trūkčiojimas. Dabar yra ypač dėmesingas. Medžiaga, kurią aš dabar paaiškinsiu, yra tiesiogiai susijęs ne tik su paprastomis užduotimis dėl koordinačių metodo iš dalies B iš dalies, bet taip pat vyksta visur užduotyje C2.

Kuris iš mano pažadų aš dar nesiliaujau? Prisiminkite, kokių operacijų vektorių pažadėjo įvesti ir ką galiausiai įvedėte? Aš tiksliai nepamiršau? Pamiršau! Pamiršau paaiškinti, kas reiškia vektorių dauginimą.

Yra du būdai dauginti vektorių ant vektoriaus. Priklausomai nuo pasirinkto metodo, turėsime skirtingo pobūdžio objektus:

Vektorius produktas atliekamas gana gudrus. Kaip tai padaryti ir kodėl būtina, mes aptarsime kitame straipsnyje. Ir tai mes sutelksime dėmesį į "Scalar" produktą.

Yra jau du būdai, kaip leisti mums apskaičiuoti:

Kaip manote, rezultatas turėtų būti tas pats! Taigi, pirmiausia apsvarstykime pirmąjį būdą:

Scalar produktas per koordinates

Rasti: - paprastai priimta nuoroda į skalarinį produktą

Skaičiavimo formulė Kitas:

Tai yra, Scalar produktas \u003d vektorių koordinatės dydis!

Pavyzdys:

Nai di.

Sprendimas:

Mes surasime kiekvieno vektorių koordinates:

Apskaičiuokite svarstymo produktą pagal formulę:

Atsakymas:

Žiūrėkite, visiškai nesudėtinga!

Na, dabar pabandykite save:

· Nay-di sma-lar-nee in-deivey renginių ir

Susidoroti? Gal aš pastebėjau mažą triuką? Patikrinkime:

Vektorių koordinatės, kaip ir ankstesnėje užduotyje! Atsakymas:.

Be koordinatės, yra dar vienas būdas apskaičiuoti skalarinį produktą, būtent per vektorių ir kosinio kampo ilgį tarp jų:

Nurodo kampą tarp vektorių ir.

Tai reiškia, kad skalar produktas yra lygus vektorių ilgio produktui tarp jų kampe.

Kodėl mes turime šią antrą formulę, jei mes turime pirmąjį, kuris yra daug lengviau, yra bent jau jame. Ir tai yra būtina, kad nuo pirmos ir antrosios formulės mes galime atsiimti, kaip rasti kampą tarp vektorių!

Leiskite prisiminti vektoriaus ilgio formulę!

Tada, jei pakeisiu šiuos duomenis į skalarinio produkto formulę, tada gausiu:

Tačiau kitoje pusėje:

Taigi, ką aš jums pateksiu? Dabar turime formulę, kuri leidžia jums apskaičiuoti kampą tarp dviejų vektorių! Kartais jis taip pat parašytas trumpumui:

Tai reiškia, kad algoritmas skaičiuojant kampą tarp vektorių yra toks:

1. Apskaičiuokite skalarinį produktą per koordinates
2. Mes randame vektorių ilgį ir paversti juos
3. Mes padaliame 1 punkto rezultatus dėl 2 punkto rezultato

Leiskite praktikuoti pavyzdžių:

1. Nay-di kampas tarp voko-ray ir. Pateikite atsakymą GRA-DU-SAC.

2. Pagal ankstesnės užduoties sąlygas suraskite tarp vektorių.

Tai padarysime: pirmoji užduotis, kurią padėsiu nuspręsti, ir pabandyti padaryti antrąjį save! Aš sutinku? Tada prasideda!

1. Šie vektoriai yra mūsų seni pažįstami. Mes jau laikėme savo skalariną darbą ir buvo lygus. Jie turi tokias koordinates: \\ t Tada mes randame jų ilgį:

Tada mes ieškome kosino tarp vektorių:

Kosinus kuris kampas yra lygus? Tai yra kampas.

Atsakymas:

Na, dabar aš pats išspręsiu antrą užduotį ir palyginkite! Aš suteiksiu tik labai trumpą sprendimą:

2. Jis turi koordinates, turi koordinates.

Leiskite - tarp vektorių ir tada kampas

Atsakymas:

Pažymėtina, kad užduotys yra tiesiogiai vektoriniai ir koordinatės metodas byloje B dalis yra gana retas. Tačiau didžioji dauguma C2 užduočių gali būti lengvai išspręsta, kreipiantis į koordinačių sistemos įvedimą. Taigi jūs galite apsvarstyti šį straipsnį pagal Fondo pagrindą, kurio pagrindu mes padarysime pakankamai sudėtingą konstrukciją, kuri reikės išspręsti sudėtingas užduotis.

Koordinatės ir vektoriai. Vidurio Roving.

Mes ir toliau studijuojame koordinačių metodą. Paskutinėje dalyje pateikėme keletą svarbių formulių, leidžiančių:

1. Raskite vektoriaus koordinates
2. Raskite vektoriaus ilgį (alternatyva: atstumas tarp dviejų taškų)
3. Sulenkite, atimkite vektorius. Padauginkite juos į tikrą skaičių
4. Rasti vidurinį pjūvį
5. Apskaičiuokite vektorių skaliaro produktą
6. Rasti kampą tarp vektorių

Žinoma, visas koordinačių metodas neatitinka šių 6 taškų. Tai yra toks mokslas kaip analitinė geometrija, su kuria jūs turite susipažinti su universitete. Aš tiesiog noriu sukurti pamatą, kuris leis jums išspręsti problemas vienoje valstybėje. Egzaminas. Su B dalies uždaviniais mes supratome dabar atėjo laikas eiti į kokybiškai naują lygį! Šis straipsnis bus skirta šių C2 užduočių sprendimo būdui, kuriame bus pagrįsta pereiti prie koordinačių metodo. Šį racionalumą lemia tai, kad užduotis yra reikalinga rasti ir kokiu figūra. Taigi, norėčiau taikyti koordinačių metodą, jei esate išduotas:

1. Raskite kampą tarp dviejų lėktuvų
2. Raskite kampą tarp tiesios ir plokštumos
3. Raskite kampą tarp dviejų tiesių
4. Raskite atstumą nuo taško iki plokštumos
5. Raskite atstumą nuo taško iki tiesioginio
6. Raskite atstumą nuo linijos iki plokštumos
7. Raskite atstumą tarp dviejų tiesių

Jei problemos būklės skaičius yra sukimosi korpusas (rutulinis, cilindras, kūgis ...)

Tinkami skaičiai už koordinačių metodą yra:

1. Stačiakampis lygiagretus
2. Piramidė (trikampis, keturkampis, šešiakampis)

Taip pat mano patirtis tai nepraktiška naudoti koordinačių metodą:

1. Ieškote skyrių vietovių
2. Skaičiavimai

Tačiau ji turėtų būti nedelsiant pažymėta, kad trys "nepelningi" dėl koordinačių situacijos praktikoje metodas yra gana retas. Daugumoje užduočių jis gali tapti savo gelbėtoju, ypač jei nesate labai stiprus trimatis pastatuose (kurie kartais yra gana sudėtingi).

Kokie yra visi minėti skaičiai? Jie nebėra plokšti, pavyzdžiui, kvadrato, trikampio, apskritimo ir urmu! Atitinkamai, turime apsvarstyti ne dviejų dimensijų, bet trimatis koordinačių sistemą. Jis pastatytas gana paprastas: tiesiog be abscisos ašies ir orkų ašis, pristatome kitą ašį, aplikacijos ašį. Schematiškai rodo jų abipusę vietą:

Visi jie yra tarpusavyje statmenai, viename taške susikerta, o mes vadinsime koordinates pradžią. Abscisos ašis, kaip ir anksčiau, mes žymi ordinato ašį - ir įvestos ašies paraiškos -.

Jei anksčiau kiekvienam plokštumos taškui būdingas du numeriai - abscisa ir paprasti, tada kiekvienas taškas erdvėje jau aprašytas trys numeriai - abscisa, ordinate, apmuzinu. Pavyzdžiui:

Atitinkamai taško abscisa yra lygi, ordinata - ir aplikacija.

Kartais abscisa taškas taip pat vadinamas Abscisos ašies taško projekcija, ordinatas - ordinato ašies taškas ir taikymas - aplikacijos ašies taško projekcija. Atitinkamai, jei taškas yra nustatytas, taškas su koordinatėmis:

skambinkite projekciniam taškui į plokštumą

skambinkite projekciniam taškui į plokštumą

Natūralus klausimas kyla: Ar visos formulės, gautos dviem dimensijos atveju erdvėje? Atsakymas yra teigiamas, jie yra teisingi ir turi tą pačią išvaizdą. Už nedidelį išsamumą. Manau, kad jau atspėjote save, už kurį vienas. Visose formulėse turime pridėti kitą narį, atsakingą už aplikacijos ašį. Būtent.

1. Jei nustatomi du taškai: tada:

• Vektoriaus koordinatės:
• Atstumas tarp dviejų taškų (arba vektoriaus ilgio)
• Segmento viduryje yra koordinatės

2. Jei pateikiamos dvi versijos: ir tada:

• Jų svarsto produktas yra:
• Cosine kampas tarp vektorių yra:

Tačiau erdvė nėra tokia paprasta. Kaip suprantate, pridedant kitą koordinatį daro didelę įvairovę skaičiai spektro, "gyvenimo" šioje erdvėje. Ir tolesniam pasakojimui, turiu įvesti kai kuriuos, apytiksliai kalbant, "apibendrinimas" tiesiai. Šis "apibendrinimas" bus plokštuma. Ką žinote apie lėktuvą? Pabandykite atsakyti į klausimą ir kas yra plokštuma? Labai sunku pasakyti. Tačiau mes visi intuityviai įsivaizduojame, kaip atrodo:

Apytiksliai kalbant, tai yra ne begalinis "lapas", padengtas erdvėje. "Infinity" turėtų būti suprantama, kad plokštuma taikoma visoms kryptims, tai yra, jos plotas yra lygus begalybei. Tačiau šis paaiškinimas "pirštais" nesuteikia menkiausios idėjos apie plokštumos struktūrą. Ir tai bus suinteresuota.

Prisiminkime vieną iš pagrindinių geometrijos ašių:

• per du skirtingus taškus ant plokštumos, jis eina tiesiai, su tik vienu:

Arba jo analogas erdvėje:

Žinoma, prisimenate, kaip pašalinti lygtį tiesiogiai dviem iš anksto nustatytais taškais: jei pirmasis taškas turi koordinates: ir antra, tada tiesioginė lygtis bus tokia:

Kad jūs praėjote 7-ojoje klasėje. Erdvoje, tiesioginė lygtis atrodo taip: davėme du taškus su koordinatėmis:, lygtis yra tiesi, per juos perduoda, turi išvaizdą:

Pavyzdžiui, per taškus, tiesios linijos praėjimai:

Kaip tai turėtų būti suprantama? Tai turėtų būti suprantama kaip: taškas slypi linijoje, jei jos koordinatės atitinka šią sistemą:

Mes tikrai nebus suinteresuoti lygties tiesiai, tačiau turime atkreipti dėmesį į labai svarbią tiesioginių vektorių koncepciją. - bet koks nulinis vektorius, esantis ant šio tiesioginio ar lygiagrečio.

Pavyzdžiui, abu vektoriai yra tiesioginiai vektoriai. Leiskite taškui gulėti ant linijos ir jo vadovo. Tada tiesioginis lygtis gali būti parašyta tokia forma:

Dar kartą kartoju, aš nebūsiu labai suinteresuoti lygties tiesiai, bet man tikrai reikia prisiminti, kas yra vadovas vektorius yra! Vėlgi: tai yra nesąmoningas vektorius, esantis tiesia linija arba lygiagrečiai.

Ekranas. \\ T lėktuvo lygtis trijuose nurodytuose taškuose Ne taip triviškai, ir paprastai šis klausimas nėra laikomas aukštosios mokyklos. Ir veltui! Šis metodas yra gyvybiškai svarbus, kai mes kreipiamės į koordinačių metodą sprendžiant sudėtingas užduotis. Tačiau manau, kad esate pilnas noro sužinoti kažką naujo? Be to, jūs galite paspausti savo mokytoją universitete, kai paaiškėja, kad jau žinote, kaip jau esate su technika, kuri paprastai yra tiriama analitinės geometrijos metu. Taigi, tęskite.

Lėktuvo lygtis nėra pernelyg skirtingas nuo tiesioginės lygties plokštumoje, būtent atrodo:

kai kurie numeriai (ne visi lygūs nuliai) ir kintamieji, pavyzdžiui: ir kt. Kaip matote, plokštumos lygtis nėra labai skiriasi nuo tiesios linijos lygties (linijinė funkcija). Tačiau nepamirškite, kad mes su jumis ginčijame? Mes sakėme, kad jei mes turime tris taškus, kurie nėra gulėti vienoje tiesioje linijoje, jų lygtis yra neabejotinai. Bet kaip? Aš stengsiuosi jums paaiškinti.

Kadangi plokštumos lygtis yra:

Ir taškai priklauso šiai plokštumui, tada pakeičiant kiekvieno taško koordinates į plokštumos lygtį, turime gauti tikrą tapatybę:

Taigi būtina išspręsti tris lygtis jau nežinoma! Dilema! Tačiau visada galima daryti prielaidą, kad (už tai jums reikia padalinti). Taigi, mes gauname tris lygtis su trijų nežinomų:

Tačiau mes neišspręsime tokios sistemos, ir mes nukreipsime paslaptingą išraišką, kuri išplaukia iš jos:

Plokštumos lygtis, einanti per tris nustatymus

* kairė | (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & (x_0)) ir ((x_2) - (x_0)) \\\\ (y - (y_0) ) ir ((Y_1) - (y_0)) ir ((y_0)) ir (z_1)) ir ((Z_0) - (Z_0)) ir (z_0)) Pabaiga (masyvas)) \\ t \u003d 0 \\ t

Sustabdyti! Kas dar yra kas? Kai kurie labai neįprasti moduliai! Tačiau objektas, kurį matote priešais save, neturi nieko bendro su moduliu. Šis objektas vadinamas trečiuoju užsakymu. Nuo šiol, ateityje, kai kalbate su koordinačių metodu plokštumoje, jums bus labai dažnai patenkinti šiuos identifikuoja. Koks yra trečiasis užsakymas? Keista, tai tik skaičius. Dar reikia suprasti, kas konkrečiai numatome su lemiamu.

Pirmiausia surasime trečiąjį užsakymo veiksnį bendresne forma:

Kur yra kai kurie numeriai. Ir pagal pirmąjį indeksą, mes suprantame eilutės numerį ir indeksą - stulpelio numerį. Pavyzdžiui, tai reiškia, kad šis skaičius yra antrosios eilutės sankirtoje ir trečiame stulpelyje. Pakelkime šį klausimą: Kaip tiksliai apskaičiuosime tokį veiksnį? Tai yra, kokiu konkrečiu numeriu mes jį lyginsime? Dėl trečiosios eilės determinantas yra heuristinis (vaizdo) trikampio taisyklė atrodo taip:

1. Iš pagrindinio įstrižainės elementų (nuo viršutinio kairiojo kampo iki apatinės dešinės) elementų, sudarančių pirmąjį trikampį "statmena" pagrindinis įstrižainės elementų produktas, kurio elementų sudaro antrasis trikampis "statmena" pagrindinė įstrižainė
2. Iš šoninio įstrižainės elementų (nuo viršutinio dešiniojo kampo į apatinę kairę) elementų, sudarančių pirmąjį trikampį "statmena", produktas šoniniame įstrižainėje esančių elementų, sudarančių antrą trikampį "statmenų", produktas
3. Tada lempa yra lygi pakopoje gautų verčių skirtumai ir

Jei parašysite visus šiuos numerius, tada mes gausime šią išraišką:

Nepaisant to, prisimindami skaičiavimo metodą šioje formoje nėra būtina, pakanka galvos tik išlaikyti trikampius ir pačią idėją, kuri yra tai, ką ji sudaro ir kas tada išskaičiuojama iš kažko).

Iliustruojame trikampio metodą pavyzdyje:

1. Apskaičiuokite veiksnį:

Susipažinkime su tuo, ką sulenkiame, ir ką - mes atimame:

Komponentai, kurie eina su "plius":

Tai yra pagrindinis įstrižainė: elementų produktas yra lygus

Pirmasis trikampis, "statmena pagrindinis įstrižainė: elementų produktas yra lygus

Antrasis trikampis, "statmena pagrindinis įstrižainė: elementų produktas yra lygus

Mes sulenkiame tris numerius:

Komponentai, kurie eina su "minus"

Tai yra šoninis įstrižainė: elementų produktas yra lygus

Pirmasis trikampis, "statmena šoniniam įstrižai: elementų produktas yra lygus

Antrasis trikampis, "statmena šoniniam įstrižai: elementų produktas yra lygus

Mes sulenkiame tris numerius:

Visa tai daroma, yra išskaičiuoti nuo terminų sumos "su plius" terminų sumos "su minus":

Šiuo būdu,

Kaip matote, nėra sudėtinga ir antgamtinė pagal trečiojo užsakymo veiksnių skaičiavimo nėra. Tiesiog svarbu prisiminti apie trikampius ir neleisti aritmetinėms klaidoms. Dabar pabandykite apskaičiuoti save:

Patikrinti:

1. Pirmasis trikampis, statmena pagrindinis įstrižainė:
2. Antrasis trikampis, statmena pagrindinis įstrižainė:
3. Sąlygų suma su plius:
4. Pirmasis trikampis statmenai šoniniam įstrižai:
5. Antrasis trikampis, statmena šoniniam įstrižai:
6. Terminų suma su miniu:
7. Komponentų kiekis su plius atėmus terminų sumą su minusu:

Čia yra dar viena veiksnių pora, jie apskaičiavo savo reikšmes savo ir palygina su atsakymais:

Atsakymai:

Na, visi sutapo? Puikus, tada galite judėti! Jei yra sunkumų, tai Taryba yra mano: yra programinę įrangą, skirtą skaičiuoti veiksnį internete. Viskas ko jums reikia, kad sugalvokite savo identifikatorių, jį apskaičiuokite patys, ir palyginkite su tuo, kokia programa apsvarstys. Ir taip ilgai, nes rezultatai nepradeda sutapimo. Aš tikiu, kad šis momentas nebus ilgai laukti!

Dabar grįžkime į veiksnį, kurį parašiau, kai kalbėjo apie lėktuvo lygtį, einančią per tris nustatymus:

Viskas ko jums reikia, yra apskaičiuoti savo vertę tiesiogiai (pagal trikampių metodą) ir prilyginti rezultatui nuliui. Natūralu, nes - kintamieji, tada gausite tam tikrą išraišką, priklausomai nuo jų. Tai yra ši išraiška, kuri bus plokštumos lygtis, einanti per tris nustatytus taškus, kurie nėra gulėti vienoje tiesioje linijoje!

Iliustruojame pirmiau minėtą pavyzdį:

1. Sukurkite plokštumos lygtį, einančią per taškus

Mes rašome šio trijų taškų veiksnį:

Supaprastinkite:

Dabar mes jį apskaičiuojame tiesiogiai pagal trikampių taisyklę:

[(kairė | (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (x + 3) ir 2 ir 6 (Y - 2) & 0 & 1 (Z + 1) & 5 & 0: End (masyvas)) teisinga | \u003d \\ t liko ((x + 3) į dešinę) \\ cdot 0 0 + 2 cbot 1 cdot (z + 1) į dešinę) + \\ t (Y - 2) teisinga) \\ tBOT 5 CDOT 6 -) \\ t

Taigi, plokštumos lygtis, einanti per taškus, turi formą:

Dabar pabandykite išspręsti vieną užduotį savo pačių, ir tada mes aptarsime:

2. Raskite plokštumos lygtį, einančią per taškus

Na, dabar aptarkime sprendimą:

Mes nustatome lemiamą:

Ir apskaičiuoti jo vertę:

Tada plokštumos lygtis yra:

Arba, sutrumpinimas, mes gauname:

Dabar dvi užduotys savikontrolės:

1. Sukurkite plokštumos lygtį, einančią per tris taškus:

Atsakymai:

Visi sutapo? Vėlgi, jei yra tam tikrų sunkumų, mano patarimas yra: jūs paimsite tris taškus nuo galvos (su dideliu tikimybe jie nebus gulėti vienoje tiesiai), statyti lėktuvą. Ir tada patikrinkite save internete. Pavyzdžiui, svetainėje:

Tačiau su veiksnių pagalba, mes statysime ne tik plokštumos lygtį. Atminkite, kad pasakiau jums, kad vektoriai apibrėžė ne tik Scalar produktą. Vis dar yra vektorius, taip pat mišrus darbas. Ir jei dviejų vektorių skalar produktas ir bus numeris, tada dviejų vektorių vektorinis produktas ir bus vektorius, ir šis vektorius bus statmenas nurodytam:

Be to, jo modulis bus lygus lygiagretės plotai, kuri yra prieš vektorių ir. Šis vektorius turės apskaičiuoti atstumą nuo taško iki tiesioginio. Kaip manome, kad vektorių produktas yra vektorių ir, jei jų koordinatės yra nustatyti? Trečiasis užsakymo determantas ateina į gelbėjimo. Tačiau, kol aš pereisiu prie algoritmo skaičiavimo vektoriaus meno, turiu padaryti mažą lyrinį trauktis.

Šis atsitraukimas susijęs su pagrindiniais vektoriais.

Schematiškai jie pavaizduoti paveikslėlyje:

Ką manote, kodėl jie vadinami pagrindiniais? Faktas yra tas, kad:

Arba paveikslėlyje:

Šios formulės teisingumas yra akivaizdus, \u200b\u200bnes:

Vektorius Art.

Dabar galiu pereiti į vektorinį darbą:

Dviejų vektorių vektorinis produktas vadinamas vektoriumi, kuris apskaičiuojamas pagal šią taisyklę:

Dabar pateikiame keletą vektoriaus meno skaičiavimo pavyzdžių:

1 pavyzdys: Rasti vektorinius vektorius:

Sprendimas: Aš nustatau veiksnį:

Apskaičiuokite:

Dabar nuo rašymo per pagrindinius vektoriai, grįšiu į įprastą vektoriaus įrašymą:

Šiuo būdu:

Dabar pabandykite.

Paruošta? Patikrinti:

Tradiciškai du kontrolės užduotys:

1. Rasti "Vector Clip Art":
2. Rasti "Vector Clip Art":

Atsakymai:

Mišrus trijų vektorių produktas

Paskutinis dizainas, kurio man reikės, yra trijų vektorių mišrus produktas. IT, taip pat svarsto, yra numeris. Yra du būdai jį apskaičiuoti. - per veiksnį - per mišrią darbą.

Būtent leiskite mums turėti tris versijas:

Tada trijų vektorių mišrus produktas, žymimas gali būti apskaičiuojamas kaip:

1. - Tai yra mišrus produktas yra skalavimo produktas vektoriaus ant vektorinio produkto dviejų kitų vektorių.

Pavyzdžiui, trijų vektorių mišrus produktas yra:

Nepriklausomai bandykite jį apskaičiuoti per vektorinį produktą ir įsitikinkite, kad rezultatai atitiks!

Ir vėl - du pavyzdžiai savarankiškai sprendimų:

Atsakymai:

Pasirinkite koordinačių sistemą

Na, dabar turime visą reikiamą žinių pagrindą, kad išspręstume sudėtingas stereometrines užduotis geometrijoje. Tačiau prieš pradedant tiesiai į jų sprendimo pavyzdžius ir algoritmus, manau, kad tai bus naudinga sustabdyti dar klausimą: kaip tiksliai pasirinkite koordinačių sistemą tam tikram skaičiui. Galų gale, tai yra abipusio koordinačių sistemos vieta ir erdvės paveikslas galiausiai nustatys, kaip sudėtingos bus skaičiavimai.

Primenu jums, kad šiame skyriuje mes manome šiuos duomenis:

1. Stačiakampis lygiagretus
2. Tiesioginė prizmė (trikampis, šešiakampis ...)
3. Piramidė (trikampio, keturkampinis)
4. Tetraedronas (vienas ir tas pats kaip trikampio piramidė)

Dėl stačiakampio lygiagrečios arba kubo, aš rekomenduoju jums sukurti:

Tai yra, aš įdėsiu "į kampą". Kubas ir lygiagrečiai yra labai geri skaičiai. Jiems visada galite lengvai rasti savo viršūnių koordinates. Pavyzdžiui, jei (kaip parodyta paveikslėlyje)

vėlų koordinatės yra tokios:

Norint prisiminti, žinoma, nereikia prisiminti, kaip geriau turėti kubą ar stačiakampį lygiagretus - pageidautina.

Tiesioginis prizmė

Prizmė yra labiau žalingas figūra. Jo erdvė gali būti kitokia. Tačiau man atrodo priimtiniausia:

Trikampė prizmė:

Tai yra viena iš trikampio pusių, kuriuos visiškai įdėjome ant ašies, ir viena iš viršūnių sutampa su koordinatės pradžia.

Šešiakampis prizmė:

Tai yra, viena iš viršūnių sutampa su koordinatės pradžia, o viena iš šalių yra ant ašies.

Quadrangular ir šešiakampio piramidės:

Situacija, panaši į Kuba: dvi pagrindo pusės Mes deriname su koordinatės ašimis, viena iš viršūnių mes deriname su koordinatės pradžioje. Vienintelis nedidelis sudėtingumas apskaičiuos taško koordinates.

Dėl šešiakampio piramidės - panašiai kaip šešiakampė prizmė. Pagrindinė užduotis dar kartą ieškant viršūnės koordinatės.

Tetraedronas (trikampio piramidės)

Situacija yra labai panaši į tą, kurį aš vadovauju trikampiu prizmui: vienas didžiausias sutampa su koordinatės pradžioje, viena pusė yra ant koordinačių ašies.

Na, dabar mes esame pagaliau arti uždaryti problemų sprendimo. Iš to, ką sakiau pačiame straipsnio pradžioje, galite padaryti šią išvadą: dauguma C2 užduočių yra suskirstyti į 2 kategorijas: iššūkiai kampu ir užduotyse vienam atstumui. Iš pradžių mes apsvarstysime, kaip rasti kampą. Jie savo ruožtu yra suskirstyti į šias kategorijas (kaip sudėtingumo didėja):

Kampų paieškos užduotys

1. Rasti kampą tarp dviejų tiesių
2. Rasti kampą tarp dviejų lėktuvų

Apsvarstykite šias užduotis nuosekliai: pradėkime surasti kampą tarp dviejų tiesių. Na, prisiminkite ir ar mes nuspręsime su jumis panašiais pavyzdžiais? Prisimenu, nes mes turėjome kažką panašaus ... mes ieškojome kampo tarp dviejų vektorių. Aš jums priminti, jei pateikiamos dvi versijos: ir kampe tarp jų yra iš santykio:

Dabar mes turime tikslą - rasti kampą tarp dviejų tiesių. Pasukime į "plokščią vaizdą":

Kiek kampai darė su dviejų tiesių linijų sankirta? Jau gabalai. Tiesa nėra lygi iš jų tik du, kiti yra vertikalūs jiems (todėl jie sutampa su jais). Taigi, kokio kampo turėtų būti laikomas kampu tarp dviejų tiesių: arba? Čia yra taisyklė: kampas tarp dviejų tiesioginių tiesiog ne daugiau kaip laipsnių. Tai yra, nuo dviejų kampų, mes visada pasirenkame kampą su mažiausiu laipsniu. Tai yra šiame paveikslėlyje, kampas tarp dviejų tiesių yra lygus. Nereikia nerimauti mažiausių dviejų kampų, SLY matematika pasiūlė naudoti modulį. Taigi, tarp dviejų tiesioginių kampo yra nustatomas pagal formulę:

Jūs, kaip ir kruopštaus skaitytojas, turėjo kelti klausimą: ir kur, iš tiesų, mes imsime šiuos numerius, kuriuos turime apskaičiuoti kampo kosiną? Atsakymas: mes imsimės juos nuo tiesioginių vektorių! Taigi, algoritmas rasti kampą tarp dviejų tiesių linijų yra tokia:

1. Taikome 1 formulę.

Arba išsamiau:

1. Ieškome pirmojo tiesioginio vadovo koordinatės
2. Ieškome vadovo vektoriaus antrojo tiesioginio koordinatės
3. Apskaičiuokite savo svarstymo produkto modulį
4. Ieškote pirmojo vektoriaus ilgio
5. Ieškote antrojo vektoriaus ilgio
6. Padauginkite 4 dalies rezultatus dėl 5 dalies rezultatų
7. Mes padalijame 3 dalies rezultatus dėl išlygos rezultato. Mes gauname kampo kosiną tarp tiesioginio
8. Jei šis rezultatas leidžia tiksliai apskaičiuoti kampą, mes ieškome jo
9. Priešingu atveju mes rašome per Arquoziną

Na, dabar atėjo laikas pereiti prie užduočių: pirmųjų dviejų sprendimas išsamiai parodysiu kitą sprendimą trumpai, ir aš tik atsakysiu į paskutines dvi užduotis, turėtumėte išleisti visus skaičiavimus jiems.

Užduotys:

1. PRA-VILLE-NOME TET-RA-ED-REA NAI DI, kampe tarp jūsų-CO-TET-RA-ED-RA ir MEA-DI-BO-KO-koordinatės.

2. Pra-Ville-Neu-anglies Pi-Ra-Mi-de Stro-De-Ros, OS-Na-Viya yra lygūs, o šonkaulių puokštė yra lygūs, NAY-di kampas tarp tiesaus ir.

3. visų PRA-VILLE CHE-YO-RAH-CHAL-MI šonkaulių ilgis yra vienodas vieni kitiems. Nai-di kampas tarp tiesių ir jei iš "Re-Zok" - vien tik "Pi-Ra-Mi-Dwi", taškas yra "Se-Re-Di-apie savo puokštę

4. Kubo krašte nuo-me - už tašką, kad NAI-di kampas tarp tiesaus ir

5. Point - se-re-di-ant kraštų Kuba Nai-di kampas tarp tiesių ir.

Aš nesuprantu šios eilės užduočių. Nors neturėjote laiko pradėti naršyti koordinačių metodu, aš pats išarsiu didžiausią "problemų" figūrų, ir jums duos jums susidoroti su paprasčiausia kubas! Palaipsniui jūs turite išmokti dirbti su visais skaičiais, užduočių sudėtingumu, kurį aš padidėsiu nuo tos temos.

Mes einame sprendžiant problemas:

1. Nupieškite tetraedroną, įdėkite jį į koordinačių sistemą, kaip aš suprojektuotas anksčiau. Kadangi tetraed yra teisinga - tada visi jo veidai (įskaitant bazę) - dešiniojo trikampiai. Kadangi mes nesuteikėme pusės ilgio, tada aš galiu jį lyginti. Manau, jūs suprantate, kad kampas tikrai nepriklausys nuo to, kaip mūsų tetraedronas "ištemps"? Taip pat išleidžiami Tetraedros aukštyje ir mediana. Pakeliui, aš dažau savo bazę (jis taip pat bus naudingas).

Turiu rasti kampą tarp ir. Ką mes žinome? Mes žinome tik tašką koordinačių. Taigi, būtina rasti daugiau taškų koordinates. Dabar mes manome, kad taškas yra trikampio aukščių (arba bisetrų ar vidutinio) sankirtos taškas. Ir taškas yra iškeltas taškas. Taškas yra segmento vidurys. Tada mes galutinai reikia rasti: taškų koordinates :.

Pradėkime nuo paprasčiausių: taško koordinatės. Pažvelkite į paveikslą: aišku, kad taško taškas yra nulis (taškas yra ant lėktuvo). Jos ordinatas yra lygus (nes - mediana). Sunkiau rasti abscissa. Tačiau jis yra lengvai atliekamas remiantis Pitagora teoremu: apsvarstyti trikampį. Jo hipotenuse yra lygus, o vienas iš katetų yra lygus:

Galiausiai mes turime :.

Dabar mes randame taško koordinates. Akivaizdu, kad jos aplikacija vėl yra nulis, o jo ordinatas yra toks pat kaip taškas, tai yra. Raskite savo abscisą. Tai daroma nereikalinga, jei prisimenate tai sankiakinio sankirtos taško lygiakraščio trikampio aukščiai yra suskirstyti proporcingai, skaičiuojant iš viršaus. Nuo:, tada norimas abscisos taškas, lygus segmento ilgiui, yra lygus :. Taigi taško koordinatės yra lygios:

Raskite taško koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisa ir ordinatas sutampa su abscisu ir įprastu tašku. Ir paraiška yra lygi segmento ilgiui. - tai yra viena iš trikampio katedų. Trikampio hipotenuse yra supjaustyti - Catat. Jis ieško dėl priežasčių, kad aš pabrėžiau paryškintą:

Taškas yra segmento vidurys. Tada turime prisiminti segmento viduryje koordinačių formulę:

Na, visi, dabar galime ieškoti kreipiamųjų vektorių koordinates:

Na, viskas yra pasiruošusi: mes pakeisime visus duomenis formulėje:

Šiuo būdu,

Atsakymas:

Jūs neturėtumėte paniekinti tokių "baisių" atsakymų: už užduotis C2 yra įprasta praktika. Norėčiau nustebinti "gražų" atsakymą šioje dalyje. Be to, kaip jūs pažymėjau, aš praktiškai nesinaudojau nieko, išskyrus Pythagoreo teoremo ir lygiakraščių trikampio aukščių turtą. Tai yra, išspręsti stereometro užduotį, aš naudoju minimalų stereometriją. Šiame dalinai "užgesinimo" laimėjimas yra gana didelis skaičiavimas. Bet jie yra pakankamai algoritmas!

2. Aš parodysiu teisingą šešiakampio piramidę kartu su koordinačių sistema, taip pat jos pagrindu:

Turime rasti kampą tarp tiesių ir. Taigi, mūsų užduotis sumažinama iki taškų koordinatės :. Paskutinių trijų koordinatės mes rasime mažą modelį, ir mes surasime viršūnių koordinates per tašką koordinatės. Veikia urmu, bet jums reikia jį paleisti!

a) koordinatė: aišku, kad jos šildymas ir ordinatas yra lygus nuliui. Mes randame abscisą. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite stačiakampį trikampį. Deja, mes žinome tik hipotenuse, kuris yra lygus. Žiūrėti, mes stengsimės rasti (yra aišku, kad dvigubai kategorijos ilgis suteiks mums absurdentų tašką). Kaip mes ieškome jos? Prisiminkime, kad už figūrą mes gulime prie piramidės pagrindo? Tai yra dešinysis šešiakampis. Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad jis turi visas šalis ir visi kampai yra lygūs. Būtina rasti vieną tokį kampą. Kokiu nors ideju? Idėjos masė, bet yra formulė:

Teisingo N-parlamento kampų suma yra lygi .

Taigi, iš teisingo šešiakampio kampų suma yra lygi laipsnių. Tada kiekvienas iš kampų yra lygus:

Mes vėl žiūrime į nuotrauką. Akivaizdu, kad pjovimo - bisektoriaus kampas. Tada kampas yra lygus laipsniams. Tada:

Tada, iš kur.

Taigi, turi koordinates

b) Dabar galite lengvai rasti taškų koordinates :.

c) Mes surasime taško koordinates. Kadangi jo abscisa sutampa su segmento ilgiu, jis yra lygus. Tai nėra labai sunku rasti ordinato: jei mes prijungsime taškus ir tiesioginio žymėjimo sankirtos tašką, tarkim. (Padarykite paprastą konstrukciją). Tada boord b punktas yra lygus segmentų ilgio sumai. Pakartokite į trikampį. Tada

Tada, nes tada taškas turi koordinates

d) Dabar rasime taško koordinates. Apsvarstykite stačiakampį ir įrodyti, kad taip taško koordinatės:

e) lieka rasti viršūnių koordinates. Akivaizdu, kad jo abscisa ir ordinatas sutampa su abscisa ir įprastu tašku. Mes randame pareiškėją. Nuo tada. Apsvarstykite stačiakampį trikampį. Atsižvelgiant į problemos būklę, šoninis kraštas. Tai yra mano trikampio hipotenas. Tada piramidės aukštis - katat.

Tada taškas turi koordinates:

Na, viskas, aš turiu visų lankytinų dalykų koordinates. Aš ieškau tiesioginių tiesioginių vektorių koordinatės:

Mes ieškome kampo tarp šių vektorių:

Atsakymas:

Vėlgi, sprendžiant šią užduotį, aš nenaudojau neteisėtų metodų, išskyrus iš teisingo N kvadrato kampų, taip pat kosinio ir stačiakampio trikampio sine.

3. Kadangi mes vėl nesumatėme šonkaulių ilgio piramidėje, tada aš manau, kad jie lygūs vienai. Taigi, kadangi visi šonkauliai, ne tik pusė, yra lygūs vieni kitiems, tada ant piramidės ir kvadrato pagrindo gulėti, o šoniniai veidai yra tinkami trikampiai. Mes parodysime šią piramidę, taip pat jos pagrindą plokštumoje, pažymėdamas visus užduočių tekste pateiktus duomenis:

Mes ieškome kampo tarp ir. Aš ieškosiu labai trumpų skaičiavimų, kai ieškosiu taškų koordinatės. Jums reikės "iššifruoti":

b) - segmento viduryje. Jos koordinatės:

c) Iškirpti ilgį aš rasiu ant Pythagora teorema trikampyje. Aš rasiu ant Pitagoro teoremo trikampyje.

Koordinatės:

d) - segmento midt. Jos koordinatės yra lygios

e) vektoriniai koordinatės

f) Vektoriniai koordinatės

g) Mes ieškome kampo:

Kubas yra paprasčiausias skaičius. Esu įsitikinęs, kad su juo susidursite. Atsakymai į 4 ir 5 užduotis yra tokie:

Rasti kampą tarp tiesios ir plokštumos

Na, paprastų užduočių laikas baigėsi! Dabar pavyzdžiai bus dar sunkesni. Norėdami rasti kampą tarp tiesios ir plokštumos, mes būsime tokie:

1. Trijų taškų mes statome plokštumos lygtį
   ,
   Naudojant trečiosios eilės veiksnį.
2. Du taškais, kuriuos ieškome tiesioginio vadovo koordinatės:
3. Mes naudojame formulę skaičiuojant kampą tarp tiesios ir plokštumos:

Kaip matote, ši formulė yra labai panaši į tai, kad mes ieškojome kampų tarp dviejų tiesių. Dešinės dalies struktūra yra tiesiog tas pats, ir dabar mes ieškome sinuso dabar, o ne "Cosine", kaip ir anksčiau. Na, buvo pridėta priešinga veikla - ieškoti plokštumos lygties.

Nenoriu atidėti ilgai pavyzdžių sprendimas:

1. OS-NO-VA-NI-tai yra tiesus įsigyjamas-Lap-Smta melllty-na-de-re-de-de-re-re-re-re-re-recese you-so-One prizas yra lygus. Nay-di kampas tarp tiesaus ir plokščio

2. Tiesioginis-mo-p. Pa-Ral-les-le-pi-de-miršta nuo "Nay-Di-Level" kampo tarp tiesaus ir plokščios Co -

3. Pra-Ville, kaklo anglies prizas alto visi šonkauliai yra lygūs. Nai-di kampas tarp tiesaus ir plokščio.

4. PRA-VILLE TRE-COAL PI-RA-DE su OS-NO-VA NI-WEST-NA-DI-THSIEF, OBRA-ZO-WAN plokščią bendrą bendrą kopiją OS-NO- va ir tiesiai, pro-ho-sūnus per Re-di šonkaulius ir

5. visų PRA-VIL-ODE keturių gimtų PI-RA-MI šonkaulių ilgis yra vienodas. "Nay-di" kampas tarp tiesaus ir plokščiojo CO-troškinio, jei taškas yra CE-Re-Di-On-CO-CO-Rib Pi-RA-MI-DY.

Vėlgi, aš išsamiai nuspręsiu išsamiai dvi užduotis, trečias - trumpai, o paskutiniai du palikti jus už nepriklausomą sprendimą. Be to, jūs jau turėjote susidoroti su trikampiu ir keturkampiais piramidėmis, bet su prizmais - iki šiol nėra.

Sprendimai:

1. Parodykite prizmę ir pagrindą. Jis suderinamas su koordinačių sistema ir atkreipia dėmesį į visus TERK sąlygoje pateiktus duomenis:

Atsiprašau už tam tikrą nesilaikymą proporcijų, bet išspręsti problemą, tai iš esmės nėra tokia svarbi. Lėktuvas yra tik mano prizmės "galinės siena". Pakanka tik atspėti, kad tokios plokštumos lygtis yra:

Tačiau jis gali būti rodomas tiesiogiai:

Pasirinkite savavališką tris taškus šioje plokštumoje: pavyzdžiui,.

Padarykite plokštumų lygtį:

Pratimai su jumis: savarankiškai apskaičiuokite šį veiksnį. Ar jums pavyko? Tada plokštumos lygtis yra:

Arba tiesiog. \\ T

Šiuo būdu,

Norėdami išspręsti pavyzdį, reikia rasti vadovo vektorinio koordinates tiesiai. Kadangi taškas nukrito su koordinatės pradžioje, vektoriniai koordinatės tiesiog sutampa su taško koordinatėmis, kad pamatysime taško koordinates pradžioje.

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite trikampį. Iš viršaus išleisime aukštį (jis yra mediana ir bisektorius). Kadangi ordinato taškas yra lygus. Norint rasti šio taško abscisą, turime apskaičiuoti segmento ilgį. Pasak Pitagora teorem, mes turime:

Tada taškas turi koordinates:

Taškas yra "pakeltas" iki taško:

Tada vektoriaus koordinatės:

Atsakymas:

Kaip matote, tokių užduočių sprendžiant tokias užduotis nėra nieko iš esmės. Tiesą sakant, procesas dar labiau supaprastina "tiesią" tokį figūrą kaip prizmę. Dabar pereikime prie tokio pavyzdžio:

2. Nubrėžkite lygiagretus, mes atliekame lėktuvą ir tiesioginį, taip pat atskirai nubrėžtume jo apatinę bazę:

Pirmiausia randame lėktuvo lygtį: trijų taškų, esančių joje, koordinatės:

(Pirmieji du koordinatės gaunami akivaizdu, o paskutinė koordinatė galite lengvai rasti nuotraukas iš taško). Tada yra plokštumos lygtis:

Apskaičiuoti:

Mes ieškome vadovo vektoriaus koordinatės: aišku, kad jos koordinatės sutampa su taško koordinatėmis, ar ne? Kaip rasti koordinates? Tai yra taško, pakeltos išilgai aplikacijos ašies koordinatės! . Tada ieškokite norimo kampo:

Atsakymas:

3. Įdėkite teisingą šešiakampio piramidę ir praleiskite plokštumą ir tiesioginį.

Yra net lėktuvas atkreipti problemą, jau nekalbant apie šios užduoties sprendimą, tačiau koordinačių metodas vis dar! Tai yra jo universalumas ir yra jo pagrindinis privalumas!

Lėktuvas eina per tris taškus :. Ieškome jų koordinatės:

vienas). Pats išėjimo koordinates už paskutinius du taškus. Jūs būsite naudingi šio sprendimo iššūkiui su šešiakampiu piramidėmis!

2) Mes statome plokštumos lygtį:

Ieškome vektoriaus koordinatės :. (Žiūrėkite užduotį su trikampiu piramidžiu!)

3) Ieškome kampo:

Atsakymas:

Kaip matote, šiose užduotyse niekas nėra antgamtinis. Būtina būti labai atsargūs su šaknimis. Į pastaruosius du uždavinius duosiu tik atsakymus:

Kaip galėtumėte įsitikinti, kad užduočių sprendimo technika visur yra tokia pati: pagrindinė užduotis rasti viršūnių koordinates ir pakeiskite juos į tam tikras formules. Mes palikome apsvarstyti dar vieną iššūkių skaičiavimo kampus, būtent:

Kampų skaičiavimas tarp dviejų lėktuvų

Algoritmo sprendimai bus:

1. Trys taškai, kuriuos ieškome pirmosios plokštumos lygties:
2. Kitiems trims taškams, kuriuos ieškome antrosios plokštumos lygties:
3. Mes naudojame formulę:

Kaip matote, formulė yra labai panaši į ankstesnius du, su kuriais mes ieškojome kampų tarp tiesių ir tarp tiesios ir plokštumos. Taigi prisiminkite, kad jums nebus daug sunkumų. Mes nedelsdami einame į užduočių analizę:

1. St-ro-Os-No-Vil-Vilter Tre-Conside Consuite, kur ir Di-Hall Bo-Ko-Co-Cop yra lygus. "Nay-di" kampu tarp "F-Co-troškinys" ir "F-Co-troškiniu" OS-No-Viya "prizu.

2. PRA-VILLE-MI-DEH-COAL PI-RA-MI-DE, visi šonkauliai yra lygūs, kampo sinusas tarp F-CO-troškinio ir CO-troškinio, pro-ho-fith per švirkštimo priemonę -Pen-di-melagio pen-melagis, bet tiesiai.

3. ST-RO-JAV, OS-NA-VIA CHE-The-anglies anglies prizas yra lygus, o kraštų puokštė yra lygūs. Nuo manęs krašto - iki taško taip. Raskite kampą tarp buto ko-m ir

4. Pra-Willian keturių gimtų prizų-mūsų, OS-NA-VIA yra lygus, o Bou-Way Ribra yra lygus. Nuo manęs krašto - taško, kad NAI-di kampas tarp plokščiojo ko-MI ir.

5. Kuboje, "Nau-di Ko-Si-NUS" kampu tarp plokščiojo statinio ir

Užduočių sprendimai:

1. Pakelkite teisingą (prie pagrindo yra lygiakraščio trikampis) trikampio prizmė ir pastaba apie IT plokštes, kurios atsiranda problemos būklėje:

Turime rasti dviejų lėktuvų lygtis: bazinė lygtis gaunama trivialus: galite padaryti tinkamą veiksnį trijuose taškuose, aš būsiu lygtis nedelsiant:

Dabar mes rasime taško lygtį turi taško koordinates - kaip tai yra mediana ir trikampio aukštis, jis yra lengvai įsikūręs ant Pythagora teorema trikampyje. Tada taškas turi koordinates: rasti paraiškos tašką už tai apsvarstyti stačiakampio trikampio

Tada mes gauname šias koordinates: mes sudarysime plokštumos lygtį.

Apskaičiuokite kampą tarp lėktuvų:

Atsakymas:

2. Padarykite brėžinį:

Sunkiausia yra suprasti, kad tai yra tokia paslaptinga plokštuma, einanti per tašką statmenai. Na, tai yra svarbiausia? Svarbiausia yra dėmesingumas! Tiesą sakant, tiesioginis yra statmena. Tiesiai taip pat yra statmena. Tada plokštuma, einanti per šias dvi tiesias linijas, bus statmena tiesiai, ir, beje, praeiti per tašką. Ši plokštuma taip pat eina per piramidės viršų. Tada norima plokštuma - ir lėktuvas jau pateikiamas mums. Ieškome taškų koordinatės.

Po taško koordinatės bus taško. Nuo nedidelio piešimo lengva pašalinti, kad taško koordinatės bus tokios: kas dabar paliekama rasti, kad surastumėte piramidės viršūnės koordinates? Jūs vis dar reikia apskaičiuoti jo aukštį. Tai daroma naudojant to paties Pythagore teoremą: pirmiausia įrodyti, kad (trivaliai mažų trikampių, formuojant kvadratą prie pagrindo). Kadangi pagal sąlygą turime:

Dabar viskas yra pasirengusi: viršūnių koordinatės:

Padarykite plokštumų lygtį:

Jūs jau esate ypatingas skaičiuojant veiksnius. Be sunku, gausite:

Arba kitaip (jei yra abiejų dviejų dalių)

Dabar mes randame plokštumos lygtį:

(Jūs nepamiršote, kaip mes gauname lėktuvo lygtį, tačiau? Jei nesuprantate, kur atėjo šis minusas, grįžkite į plokštumos lygties lygybės apibrėžimą! Tiesiog visada prieš tai paaiškėjo Mano lėktuvas priklausė koordinates pradžiai!)

Apskaičiuokite veiksnį:

(Galite pastebėti, kad plokštumos lygtis sutapo su tiesioginio perduodant per taškus ir! Pagalvokite, kodėl!)

Dabar apskaičiuojame kampą:

Taip pat turime rasti sinusą:

Atsakymas:

3. Caverny klausimas: kas yra stačiakampis prizmė, ką manote? Tai tik ypač gerai žinoma lygiagrečiai! Nedelsiant atlikite brėžinį! Jūs netgi galite atskirai nerodyti pagrindo, jo nauda yra šiek tiek čia:

Lėktuvas, kaip jau pastebėjome anksčiau, yra parašyta lygties forma:

Dabar padarykite plokštumą

Lygtis yra plokštumos lygtis:

Mes ieškome kampo:

Dabar atsakymai į paskutines dvi užduotis:

Na, dabar atėjo laikas šiek tiek pailsėti, nes esame puikūs ir padarėte didžiulį darbą!

Koordinatės ir vektoriai. Papildomas lygis

Šiame straipsnyje mes aptarsime su jumis dar vieną užduočių klasę, kurią galima išspręsti naudojant koordinačių metodą: užduotys apskaičiuojant atstumą. Būtent mes apsvarstysime šiuos atvejus:

1. Apskaičiuoti atstumą tarp tarpvalstybinio tiesios.

Užsisakiau šias užduotis kaip jų sudėtingumą. Dauguma tiesiog pasirodo rasti atstumas nuo taško iki lėktuvoIr sunkiausias dalykas yra rasti atstumas tarp tarpvalstybinio tiesios. Nors, žinoma, nėra nieko neįmanoma! Nenoriu atidėti ilgai ir nedelsiant pereiti į pirmosios užduočių klasę:

Apskaičiuoti atstumą nuo taško iki plokštumos

Ką turime išspręsti šią užduotį?

1. taško koordinatės

Taigi, kai tik gausime visus reikalingus duomenis, mes naudojame formulę:

Sukurdami plokštumos lygtį, jau turėtumėte būti žinoma iš ankstesnių užduočių, kurias supratau paskutinėje dalyje. Nedelsiant pereiti prie užduočių. Schema yra tokia: 1, 2 - Aš padedu jums nuspręsti ir išsamiai, 3, 4 - tik atsakymas, sprendimas, kurį praleidžiate ir palyginate. Pradėtas!

Užduotys:

1. Dan kubas. Kubo krašto ilgis yra lygus. Nai di-vagis nuo ce-di-di nuo supjaustytos iki plokščios

2. Dana Pra-Vil-Naya Che-Mi-Ya-Coal-Naya Pi-Mi-da Boe-Co-CO-CO-Rib Stro-ro-on OS-No-VIA yra lygus. Nay-di-this ste-yast nuo taško į plokščią kablelį, kur - "Se-Re-Di-apie šonkaulius.

3. PRA-VILLE TRE-COAL PI-RA-DE su OS-NO-VA-NI-KO-CO-CO-Way lygiai ir šimtai ro-į OS-Na-lygus. Nai di-vagis nuo ver-shi-mes iki plokščios.

4. Pra-Ville siūlės akmens anglies priziniuose, visi ribai yra lygūs. Nay-di-this Sto-yast nuo taško iki "Flat-Co-St".

Sprendimai:

1. Nubrėžkite kubą su vienu kraštu, mes statome segmentą ir plokštumą, segmento vidurį, kuriame nurodome laišką

.

Iš pradžių pradėkime nuo plaučių: suraskite taško koordinates. Nuo to laiko (prisiminkite segmento viduryje koordinates!)

Dabar mes rengiame trijų taškų plokštumos lygtį

* kairė | (Pradėti (masyvas) (* (20) (c)) X & 0 & 1 Y & 1 ir 0 Z & 1 ir 1 End (masyvas)) \\ t \u003d 0 \\ t

Dabar galiu pereiti prie atstumo paieškos:

2. Pradėjome nuo brėžinio, kur švenčiame visus duomenis!

Dėl piramidės būtų naudinga atskirai, kad būtų išlygintos jo pagrindas.

Net tai, kad aš dažau kaip vištienos leteną, neleidžia mums lengvai išspręsti šią užduotį!

Dabar lengva rasti taškų koordinates

Kaip taško koordinatės

2. Nuo A taško koordinatės - segmento viduryje, tada

Mes taip pat surandame dviejų taškų koordinates plokštumoje, kad būtų plokštumos lygtis ir supaprastinkite:

* kairė | (Kairė | (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) X & 1 ir (3) (2)) \\ t Y & 0 ir (3) (2)) \\ t Z & 0 & ((((SQRT)) (2)) (masyvas)) \\ t \u003d 0 \\ t

Kadangi taškas turi koordinates :, tada apskaičiuojame atstumą:

Atsakymas (labai reti!):

Gerai, suprato? Man atrodo, kad viskas taip pat yra techniškai kaip ir šiuose pavyzdžiuose, kuriuos mes apsvarstėme su jumis ankstesnėje dalyje. Taigi aš esu tikras, kad jei įvaldėte medžiagą, tuomet jums nebus sunku išspręsti likusių dviejų užduočių. Aš tik pateiksiu atsakymus:

Atstumo nuo tiesioginio į lėktuvą apskaičiavimas

Tiesą sakant, čia nėra nieko naujo. Kaip galima tiesiai ir plokštumoje, palyginti su viena kitai? Jie turi visas galimybes: kryžius arba tiesiogiai lygiagrečiai plokštumoje. Ką manote, lygus atstumas nuo tiesios linijos į plokštumą, su kuria tai tiesiogiai kerta? Man atrodo, kad tai aišku, kad atstumas yra nulis. Neįdomu atvejis.

Antrasis atvejis yra gudrus: atstumas jau yra nulinis. Tačiau, kadangi tiesia lygiagrečiai plokštuma, tada kiekvienas taškas yra lygiavertis šiai plokštumui:

Šiuo būdu:

Tai reiškia, kad mano užduotis buvo išgręžta į ankstesnį: mes ieškome bet kokio taško koordinatės tiesia linija, mes ieškome plokštumos lygties, apskaičiuoti atstumą nuo taško iki plokštumos. Tiesą sakant, tokios užduotys egzaminui yra labai reti. Man pavyko rasti tik vieną užduotį, o duomenys buvo tokie, kad koordinačių metodas nebuvo labai taikomas!

Dabar mes kreipiamės į kitą, daug svarbesnę užduočių klasę:

Atstumo taško apskaičiavimas nukreipiamas į tiesioginį

Ko mums reikia?

1. taško koordinatės, iš kurios mes ieškome atstumo:

2. Bet kokio taško, esančio linijoje, koordinatės

3. Tiesioginiai vektoriai tiesioginės koordinatės

Kokia formulė?

Ką reiškia šios frakcijos vardiklis, todėl jis turėtų būti aiškus: tai yra vadovo vektoriaus ilgis tiesiai. Čia yra labai gudrus skaitiklis! Išraiška reiškia modulio (ilgio) vektorinio produkto vektorių ir kaip apskaičiuoti vektorinį darbą, mes buvo tiriami ankstesnėje darbo dalyje. Atnaujinkite savo žinias, dabar jie bus labai naudingi!

Taigi, problema sprendžiant algoritmą bus šie:

1. Ieškome taško koordinatės, iš kurios mes ieškome atstumo:

2. Mes ieškome bet kokio linijos taško koordinatės, kurią ieškome atstumo:

3. Sukurkite vektorių

4. Sukurkite linijos vadovo vektorių

5. Apskaičiuokite vektoriaus meną

6. Ieškome gautos vektoriaus ilgio:

7. Apskaičiuokite atstumą:

Mes turime daug darbo, o pavyzdžiai bus gana sudėtingi! Taigi dabar sutelkkite visą dėmesį!

1. Dana Pra-Vil-Naya Tre-Coal-Naya Pi-Ra-Yes su ver-shih. "One-ro-on OS-No-Viya Pi-Ra-Mi-Dya" yra lygūs, jūs taip yra lygūs. Nai di-vagis nuo se d-di-ko-co-šonkaulio tiesiai, kur taškai ir - re-di šonkauliai ir bendrai nuo vet- žemyn.

2. šonkaulių ir tiesioginio-m-anglies-bet-goa parale-le-pi-yes yra lygūs bendrai iš laivų, bet ir Nai-di-vagis nuo ver-shi-re -Direct.

3. Pra-Ville siūlės anglies premijos metu visi šonkauliai yra lygūs Nai-di-vagio maršrutui nuo taško iki tiesios

Sprendimai:

1. Padarykite tvarkingą brėžinį, kuris žymi visus duomenis:

Mes turime daug darbo su jumis! Pirmiausia norėčiau apibūdinti žodžius, kuriuos ieškosime ir kokia tvarka:

1. Taškų koordinatės ir

2. koordinatės taško

3. Taškų koordinatės ir

4. Vektorių koordinatės ir

5. jų vektoriaus menas

6. Vektorius Ilgis

7. Vektorius ilgio ilgis

8. Atstumas nuo iki

Na, mes turime daug darbo! Mes priimame už ją, drossing rankovėmis!

1. Norėdami rasti piramidės aukščio koordinates, turime žinoti, ar jos taikymo koordinatės lygios nuliui, o ordinatas yra lygus abscistui, kuris yra lygus segmento ilgiui, nes nuo to, kad jis yra lygus segmento ilgiui. lygiakraštis trikampis, tada jis yra suskirstytas į santykius, skaičiuojant nuo viršaus, taigi. Galiausiai jie gavo koordinates:

Koordinatės

2. - Vidurinis supjaustymas

3. - Vidurio segmentas

Mid-Cut.

4.copinates.

Vektoriaus koordinatės

5. Apskaičiuokite vektoriaus meną:

6. Vektoriaus ilgis: Lengviausias būdas yra pakeisti, kad segmentas yra vidurinė trikampio linija, o tai reiškia, kad jis yra lygus pusei pagrindo. Taigi.

7. Mes manome, kad vektoriaus darbo ilgis:

8. Galiausiai, mes randame atstumą:

UV, gerai! Sąžiningai, aš sakysiu: šios problemos sprendimas su tradiciniais metodais (per statybą) būtų daug greičiau. Bet čia aš visi sumažinau iki galutinio algoritmo! Taigi manau, kad algoritmas jums yra aiškus? Todėl aš paprašysiu išspręsti likusias dvi užduotis. Palyginkite atsakymus?

Vėlgi, kartoju: šios užduotys yra lengviau (greičiau) išspręsti per konstrukcijas, o ne kreiptis į koordinačių metodą. Aš parodiau tokį sprendimą sprendimui tik norėdami parodyti visuotinį metodą, kuris leidžia jums laikyti viską. "

Galiausiai apsvarstykite paskutinę užduočių klasę:

Apskaičiuoti atstumą tarp tarpvalstybinio tiesios

Čia užduočių sprendimo algoritmas bus panašus į ankstesnį. Ką mes turime:

3. Bet kokie vektoriniai sujungimo taškai pirmiausia ir antra tiesiai:

Kaip mes ieškome atstumo tarp tiesaus?

Formulė yra tokia:

Skaitiklis yra mišrios produkto modulis (mes buvo administruojami ankstesnėje dalyje), o vardiklis yra kaip ankstesnėje formulėje (tiesioginio tiesioginio vektorių vektorinio produkto modulis, atstumas tarp kurio mes ieškome) .

Aš jums tai priminsiu

tada atstumo formulę galima perrašyti formoje:

Vienintelis veiksnys, padedantis dalintis lemia! Nors ir būti sąžiningu, aš ne visai juokauju čia! Ši formulė, iš tiesų, yra labai sudėtinga ir sukelia pakankamai sudėtingų skaičiavimų. Jūsų vietoje norėčiau pasinaudoti tik ypatingiausiu atveju!

Pabandykime išspręsti kelias užduotis naudodami pirmiau nurodytą metodą:

1. Pra-Ville, Tre-Anglies prizas, visi Ribr Ko-Roy yra lygūs, Nai di-tie, kurie yra tiesūs ir.

2. "Dana-Vil-Naya" "Tre-Coal-Naya" premija-ma: "Rib" OS-ne-Vi-Way yra lygus Se-Human, pro-ho-seneliui per "Bo-Co-Woe" kraštą ir DI yra Java-Lhaa-Xia Kvad-Ra-Tom šonkauliai. NAY-DI-THES ROSTOZHONE tarp RATS ir

Pirmiausia išsprendžiu ir pasikliausiu, jūs nuspręsite antrą!

1. Aš atkreipiu prizmę ir pažymėkite tiesiai ir

C punkto koordinatės: tada

Koordinatės

Vektoriaus koordinatės

Koordinatės

Vektoriaus koordinatės

Vektoriaus koordinatės

\\ ĖTI ((b, a) (a (a (a_1)) (b (b (b_1))) \\ t (Pradžia (masyvas) (* (20) (l)) (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) 0 ir 1 ir 0 galų (masyvas)) \\\\ (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) 0 ir 0 ir 1 pabaiga (masyvas)) \\\\ (pradžia (masyvas) (* (20) (c)) ((((1 SQRT)) (2)) & (- frac (1) (2)) ir 1 pabaiga (masyvas)) \\ t \u003d FRAC (((SQRT)) (2) \\ t

Mes manome, kad vektorinis produktas tarp vektorių ir

[A (a_1)) CDOT \\ Ėšdymo (B (C (C_1)) \u003d liko | Pradžia (masyvas) (l) pradžia (masyvas) (* (20) (c)) (overtiesarr i) & (overrigalarrow j) & (overrigalarrow k) \\ t pabaiga (masyvas) \\\\\\ -n (masyvas) ) (* (20) (c)) 0 ir 0 ir 1 pabaiga (masyvas) (masyvas) (* (20) (c)) ((((()) (((1 SQRT)) (2)) & (1) (1) (2)) ir 1 pabaiga (masyvas) \\ t - FRAC (((SQRT)) (2) overnarrow k + frac (1) (2) \\ t

Dabar mes manome, kad ilgis:

Atsakymas:

Dabar pabandykite tiksliai įvykdyti antrą užduotį. Atsakymas į jį bus :.

Koordinatės ir vektoriai. Trumpas aprašymas ir pagrindinės formulės

Vektorius - kryptinis pjovimas. - Vector pradžia, - turinio vektorius.
Vektorius yra žymimas arba.

Absoliučioji vertėvektorius - supjaustykite ilgio vaizduojančią vektorių. Vadinama.

Vektoriaus koordinatės:

,
kur - vektoriaus galai "DisplayStyle a.

Vektorių suma :.

Vekuotojai:

Scalar produktas vektorių: