Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.

Pažvelkime į viską detaliai: kvadratinės lygties esmę ir žymėjimą, apibrėžkime lydinčius terminus, išanalizuokime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinkime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime šaknų ir koeficientų ryšius, ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratinė lygtis, jos tipai

1 apibrėžimas

Kvadratinė lygtis yra lygtis, parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, Kur x– kintamasis, a , b ir c– kai kurie skaičiai, tuo tarpu a nėra nulis.

Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš esmės kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. Tai yra kvadratinės lygtys.

2 apibrėžimas

Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b – antruoju koeficientu, arba koeficientu at x, A c vadinamas laisvuoju nariu.

Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 6, antrasis koeficientas yra − 2 , o laisvasis terminas lygus − 11 . Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir (arba) c yra neigiami, tada naudokite Trumpa formaįrašai kaip 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jei koeficientai a ir/arba b lygus 1 arba − 1 , tada jie gali nedalyvauti rašant kvadratinę lygtį, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų rašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 − y + 7 = 0 pirmaujantis koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .

Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys

Remiantis pirmojo koeficiento reikšme, kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.

3 apibrėžimas

Sumažinta kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažinama.

Pateikiame pavyzdžius: kvadratinės lygtys x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sumažinamos, kurių kiekvienoje pirmaujantis koeficientas yra 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- nesumažintą kvadratinę lygtį, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .

Bet kurią nesumažintą kvadratinę lygtį galima paversti redukuota lygtimi, padalijus abi puses iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis arba neturės šaknų.

Svarstymas konkretus pavyzdys leis mums aiškiai parodyti perėjimą nuo neredukuotos kvadratinės lygties prie redukuotos.

1 pavyzdys

Duota lygtis 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties puses padalijame iš pirmaujančio koeficiento 6. Tada gauname: (6 x 2 + 18 x – 7) : 3 = 0:3, ir tai yra tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Iš čia: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Taigi gaunama lygtis, lygiavertė duotajai.

Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys

Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai nurodėme a ≠ 0. Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo būtent kvadratas, nes val a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.

Tuo atveju, kai koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui (tai įmanoma tiek atskirai, tiek kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.

4 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis- tokia kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c = 0, kur bent vienas iš koeficientų b Ir c(arba abu) yra nulis.

Pilna kvadratinė lygtis– kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.

Spėliokime, kodėl tipai kvadratines lygtis Tai tokie vardai.

Kai b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0, kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0. At c = 0 kvadratinė lygtis, parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0, kuris yra lygiavertis a x 2 + b x = 0. At b = 0 Ir c = 0 lygtis įgaus formą a x 2 = 0. Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnosios kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo termino, nei abiejų. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsami.

Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:

• a x 2 = 0, ši lygtis atitinka koeficientus b = 0 ir c = 0;
• a · x 2 + c = 0, kai b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0, kai c = 0.

Panagrinėkime nuosekliai kiekvienos rūšies nepilnos kvadratinės lygties sprendinį.

Lygties a x 2 =0 sprendimas

Kaip minėta aukščiau, ši lygtis atitinka koeficientus b Ir c, lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 galima konvertuoti į lygiavertę lygtį x 2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a, nelygu nuliui. Akivaizdu, kad lygties šaknis x 2 = 0 tai yra nulis, nes 0 2 = 0 . Ši lygtis neturi kitų šaknų, tai galima paaiškinti laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p, nelygus nuliui, nelygybė yra teisinga p 2 > 0, iš ko išplaukia, kad kada p ≠ 0 lygybė p 2 = 0 niekada nebus pasiektas.

5 apibrėžimas

Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra viena šaknis x = 0.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį − 3 x 2 = 0. Tai yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x = 0, tada pradinė lygtis turi vieną šaknį – nulį.

Trumpai tariant, sprendimas parašytas taip:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Išspręskite lygtį a x 2 + c = 0

Toliau eilėje yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b = 0, c ≠ 0, ty formos lygtys a x 2 + c = 0. Transformuokime šią lygtį, perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeisdami ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:

• perkėlimas cį dešinę pusę, kuri pateikia lygtį a x 2 = − c;
• padalykite abi lygties puses iš a, gauname x = - c a .

Mūsų transformacijos yra atitinkamai lygiavertės, gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia daryti išvadas apie lygties šaknis. Iš to, kokios yra vertybės a Ir c išraiškos reikšmė - c priklauso: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 Ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = – 2 Ir c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); tai nėra nulis, nes c ≠ 0. Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .

Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.

Viskas yra kitaip, kai - c a > 0: prisiminkite kvadratinę šaknį, ir paaiškės, kad lygties x 2 = - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 = - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a yra ir lygties x 2 = - c a šaknis: iš tiesų, - - c a 2 = - c a.

Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime įrodyti naudodami prieštaravimo metodą. Pirmiausia apibrėžkime aukščiau rastų šaknų žymes kaip x 1 Ir − x 1. Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x 2, kuris skiriasi nuo šaknų x 1 Ir − x 1. Mes tai žinome pakeisdami į lygtį x jos šaknis, lygtį paverčiame teisinga skaitine lygybe.

Dėl x 1 Ir − x 1 rašome: x 1 2 = - c a , o už x 2- x 2 2 = - c a . Remiantis savybėmis skaitines lygybes, atimkite vieną teisingą lygybės terminą iš kito, kuris suteiks mums: x 1 2 − x 2 2 = 0. Naudojame operacijų su skaičiais savybes, kad perrašytume paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių lygus nuliui. Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad x 1 − x 2 = 0 ir/arba x 1 + x 2 = 0, kuris yra tas pats x 2 = x 1 ir/arba x 2 = − x 1. Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x 2 skiriasi nuo x 1 Ir − x 1. Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a.

Apibendrinkime visus aukščiau pateiktus argumentus.

6 apibrėžimas

Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a, kuri:

• neturės šaknų ties - c a< 0 ;
• turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a > 0.

Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.

3 pavyzdys

Duota kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0. Būtina rasti sprendimą.

Sprendimas

Perkelkime laisvąjį terminą į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 = – 7.
Abi gautos lygties puses padalinkime iš 9 , gauname x 2 = - 7 9 . Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.

Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.

4 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį − x 2 + 36 = 0.

Sprendimas

Perkelkime 36 į dešinę pusę: − x 2 = − 36.
Abi dalis padalinkime iš − 1 , mes gauname x 2 = 36. Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime daryti išvadą x = 36 arba x = - 36 .
Išskirkime šaknį ir užrašykime galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį − x 2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x = 6 arba x = – 6.

Atsakymas: x = 6 arba x = – 6.

Lygties a x 2 +b x=0 sprendimas

Panagrinėkime trečiojo tipo nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0. Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudosime faktorizavimo metodą. Paskaičiuokime daugianarį, esantį kairėje lygties pusėje, išimdami bendrą koeficientą iš skliaustų x. Šis žingsnis leis originalią nepilną kvadratinę lygtį paversti jos ekvivalentu x (a x + b) = 0. Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x = 0 Ir a x + b = 0. Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis: x = − b a.

7 apibrėžimas

Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x = 0 Ir x = − b a.

Sustiprinkime medžiagą pavyzdžiu.

5 pavyzdys

Reikia rasti lygties 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 sprendinį.

Sprendimas

Išimsime x už skliaustų gauname lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x = 0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0. Dabar turėtumėte išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Trumpai parašykite lygties sprendimą taip:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 arba x = 3 3 7

Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė

Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimus, yra šaknies formulė:

8 apibrėžimas

x = - b ± D 2 · a, kur D = b 2 − 4 a c– vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.

Rašymas x = - b ± D 2 · a iš esmės reiškia, kad x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Būtų naudinga suprasti, kaip ši formulė buvo gauta ir kaip ją pritaikyti.

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Susidurkime su užduotimi išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0. Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:

• padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a, skirtingą nuo nulio, gauname tokią kvadratinę lygtį: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Pažymime visą kvadratą gautos lygties kairėje:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Po to lygtis bus tokia: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, keičiant ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Taigi gauname lygtį x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , lygiavertę pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.

Tokių lygčių sprendimą nagrinėjome ankstesnėse pastraipose (sprendžiant nepilnas kvadratines lygtis). Jau įgyta patirtis leidžia daryti išvadą apie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 šaknis:

• su b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• kai b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, lygtis yra x + b 2 · a 2 = 0, tada x + b 2 · a = 0.

Iš čia vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, bus teisinga: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , kuris yra toks pat kaip x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.y. lygtis turi dvi šaknis.

Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 šaknų buvimas ar nebuvimas (taigi ir pradinė lygtis) priklauso nuo išraiškos b ženklo. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 parašytas dešinėje pusėje. O šios išraiškos ženklą suteikia skaitiklio ženklas (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra išraiškos ženklas b 2 − 4 a c. Ši išraiška b 2 − 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę – pagal jo reikšmę ir ženklą jie gali padaryti išvadą, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, koks yra šaknų skaičius – viena ar dvi.

Grįžkime prie lygties x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Perrašykime jį diskriminantiniu žymėjimu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Dar kartą suformuluosime išvadas:

9 apibrėžimas

• adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
• adresu D=0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a ;
• adresu D > 0 lygtis turi dvi šaknis: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 arba x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti tokia forma: x = - b 2 · a + D 2 · a arba - b 2 · a - D 2 · a. Ir, kai atidarome modulius ir suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, gauname: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 − 4 a c.

Šios formulės leidžia tai padaryti naudojant diskriminantą Virš nulio nustatyti tiek tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, jei bandysime panaudoti kvadratinės lygties šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti Kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus, kuris nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, nustatoma pagal tas pačias šaknų formules, kurias gavome.

Kvadratinių lygčių sprendimo naudojant šaknies formules algoritmas

Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau tai paprastai daroma, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.

Daugeliu atvejų tai reiškia, kad reikia ieškoti ne sudėtingų, o realių kvadratinės lygties šaknų. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti šaknų vertė.

Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.

10 apibrėžimas

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtina:

• pagal formulę D = b 2 − 4 a c rasti diskriminacinę reikšmę;
• pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - b 2 · a ;
• jei D > 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis naudodami formulę x = - b ± D 2 · a.

Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a, ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a.

Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai

Pateiksime pavyzdžių sprendimą skirtingos reikšmės diskriminuojantis.

6 pavyzdys

Turime rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.

Sprendimas

Užrašykime kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a = 1, b = 2 ir c = – 6. Toliau einame pagal algoritmą, t.y. Pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kurį pakeisime koeficientais a, b Ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Taigi gauname D > 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x = - b ± D 2 · a ir, pakeitę atitinkamas reikšmes, gauname: x = - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastinkime gautą išraišką, išimdami koeficientą iš šaknies ženklo ir sumažindami trupmeną:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7

Atsakymas: x = -1 + 7​​​​​, x = -1 - 7.

7 pavyzdys

Reikia išspręsti kvadratinę lygtį − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Sprendimas

Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, nustatytą pagal formulę x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Atsakymas: x = 3,5.

8 pavyzdys

Reikia išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Sprendimas

Šios lygties skaitiniai koeficientai bus: a = 5, b = 6 ir c = 2. Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.

Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknies formulę, atlikdami veiksmus su kompleksiniais skaičiais:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 arba x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i arba x = - 3 5 - 1 5 · i.

Atsakymas: nėra tikrų šaknų; kompleksinės šaknys yra tokios: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN mokyklos mokymo programa Standartinio reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų nėra, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart užrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.

Net antrojo koeficiento šaknies formulė

Šakninė formulė x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) leidžia gauti kitą formulę, kompaktiškesnę, leidžiančią rasti kvadratinių lygčių sprendinius su lyginiu x koeficientu ( arba su 2 · n formos koeficientu, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.

Susidurkime su užduotimi rasti kvadratinės lygties a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 sprendimą. Tęsiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), tada naudojame šaknies formulę:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Tegul išraiška n 2 − a · c žymima D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 · n bus tokia:

x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 − a · c.

Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo indikatorius.

11 apibrėžimas

Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju 2 n koeficientu sprendimą, būtina:

• rasti D 1 = n 2 − a · c ;
• ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• kai D 1 = 0, nustatykite vienintelę lygties šaknį naudodami formulę x = - n a;
• jei D 1 > 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis naudodami formulę x = - n ± D 1 a.

9 pavyzdys

Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Sprendimas

Antrąjį duotosios lygties koeficientą galime pavaizduoti kaip 2 · (− 3) . Tada perrašome duotą kvadratinę lygtį į 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kur a = 5, n = − 3 ir c = − 32.

Apskaičiuokime ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Nustatykime juos naudodami atitinkamą šaknies formulę:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 arba x = - 2

Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau šiuo atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.

Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2 .

Kvadratinių lygčių formos supaprastinimas

Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.

Pavyzdžiui, kvadratinę lygtį 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 yra aiškiai patogiau išspręsti nei 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas padauginant arba padalijus abi jos puses iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi puses iš 100.

Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra tarpusavyje susiję pirminiai skaičiai. Tada mes paprastai padalijame abi lygties puses iš didžiausio bendrojo jos koeficientų absoliučių reikšmių daliklio.

Kaip pavyzdį naudojame kvadratinę lygtį 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Nustatykime jo koeficientų absoliučių verčių GCD: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalinkime iš 6 ir gausime ekvivalentinę kvadratinę lygtį 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Padauginę abi kvadratinės lygties puses, paprastai atsikratysite trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju jie dauginami iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) = 6, tada ji bus parašyta daugiau paprasta forma x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Galiausiai pažymime, kad beveik visada atsikratome minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, pakeisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi puses iš −1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 galite pereiti prie jos supaprastintos versijos 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Ryšys tarp šaknų ir koeficientų

Mums jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia skaitiniais jos koeficientais. Pasikliaujant šią formulę, turime galimybę nurodyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos yra Vietos teoremos formulės:

x 1 + x 2 = - b a ir x 2 = c a.

Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingas ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Pavyzdžiui, pažvelgus į kvadratinės lygties 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 formą, galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.

Taip pat galite rasti daugybę kitų jungčių tarp kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

“, tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje apžvelgsime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.

Kas yra kvadratinė lygtis?

Svarbu!

Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią nežinomybės laipsnį.

Jei didžiausia galia, kurioje nežinomasis, yra "2", tada turite kvadratinę lygtį.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Svarbu!

Bendra kvadratinės lygties forma atrodo taip:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“, „b“ ir „c“ yra pateikti skaičiai.
• „a“ yra pirmasis arba didžiausias koeficientas;
• „b“ yra antrasis koeficientas;

„c“ yra nemokamas narys.

Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c = 0“ forma.

Šansai c = 17 c = 8

Pabandykime nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.	Lygtis
5x 2 – 14x + 17 = 0 a = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

c =

• x 2 + 0,25x = 0
• a = 1
• b = 0,25

c = 0

• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

Kaip išspręsti kvadratines lygtis tiesines lygtis kvadratinėms lygtims išspręsti, specialus šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:

• kvadratinę lygtį sumažinkite iki bendra išvaizda"ax 2 + bx + c = 0". Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
• naudokite formulę šaknims:

Pažvelkime į pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.

X 2 - 3x - 4 = 0

Lygtis „x 2 − 3x − 4 = 0“ jau redukuota į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.

Nustatykime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Formulėje “x 1;2 = ” radikali išraiška dažnai pakeičiama
„b 2 – 4ac“ – raidė „D“ ir vadinama diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.

Pažvelkime į kitą kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x = 7x

Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia sumažinkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Atsakymas: x = 3

Kartais kvadratinės lygtys neturi šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulės šaknyje yra neigiamas skaičius.

Kvadratinės lygties problemos nagrinėjamos tiek mokyklos programoje, tiek universitetuose. Jie reiškia a*x^2 + b*x + c = 0 formos lygtis, kur x- kintamasis, a, b, c – konstantos; a<>0 . Užduotis – rasti lygties šaknis.

Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė

Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo taškai su abscisių (x) ašimi. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo taškų su abscisių ašimi. Tai reiškia, kad ji yra viršutinė plokštumašakomis į viršų arba apačioje su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).

2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja savo minimumą arba maksimali vertė. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).

3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.

Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.

1) Jei koeficientas a yra didesnis už nulį, tada parabolės šakos nukreiptos aukštyn, jei jis yra neigiamas, parabolės šakos nukreiptos žemyn;

2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairiojoje pusplokštumoje, jei ji įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas

Perkelkime konstantą iš kvadratinės lygties

lygybės ženklui gauname išraišką

Abi puses padauginkite iš 4a

Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b^2 iš abiejų pusių ir atlikite transformaciją

Iš čia randame

Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė

Diskriminantas yra radikalios išraiškos reikšmė, jei ji yra teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuotas pagal formulę Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančius šaknis), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D=0, kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau kvadratinės lygties sprendiniai randami kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę

Vietos teorema

Panagrinėkime dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkime kvadratinę lygtį, nesunkiai išplaukia pati Vietos teorema: jei turime formos kvadratinę lygtį. tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Aukščiau pateiktų dalykų formulė atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a nėra lygi nuliui, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.

Faktoringo kvadratinės lygties grafikas

Tegul užduotis yra nustatyta: koeficientas kvadratinė lygtis. Norėdami tai padaryti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (rasti šaknis). Tada mes pakeisime rastas šaknis į kvadratinės lygties išplėtimo formulę. Tai išspręs problemą.

Kvadratinės lygties uždaviniai

1 užduotis. Raskite kvadratinės lygties šaknis

x^2-26x+120=0 .

Sprendimas: Užrašykite koeficientus ir pakeiskite juos diskriminacinėje formulėje

Šios reikšmės šaknis yra 14, ją lengva rasti naudojant skaičiuotuvą arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, kuriuos dažnai galima rasti tokių problemų.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule

ir gauname

2 užduotis. Išspręskite lygtį

2x 2 +x-3=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą


Autorius žinomos formulės kvadratinės lygties šaknų radimas

3 užduotis. Išspręskite lygtį

9x2 -12x+4=0.

Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Diskriminanto nustatymas

Gavome atvejį, kai šaknys sutampa. Raskite šaknų reikšmes naudodami formulę

4 užduotis. Išspręskite lygtį

x^2+x-6=0 .

Sprendimas: Tais atvejais, kai yra maži x koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis

Iš antrosios sąlygos matome, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3;2), (3;-2) . Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios

5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.

Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra lygi gretimų jo kraštinių sumai. Pažymėkime x – didžioji pusė, tada 18 kartų mažesnė jo pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x(18-x)=77;
arba
x 2 -18x+77=0.
Raskime lygties diskriminantą

Lygties šaknų apskaičiavimas

Jeigu x=11, Tai 18's = 7 , ir atvirkščiai (jei x=7, tai 21s=9).

6 uždavinys. Padalinkite kvadratinę lygtį 10x 2 -11x+3=0.

Sprendimas: Apskaičiuokime lygties šaknis, kad tai padarytume, rastume diskriminantą

Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule ir apskaičiuojame

Taikome kvadratinės lygties išskaidymo pagal šaknis formulę

Atidarę skliaustus gauname tapatybę.

Kvadratinė lygtis su parametru

1 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , ar lygtis (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 turi vieną šaknį?

Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a=3 matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad su nuliniu diskriminantu lygtis turi vieną daugybos 2 šaknį. Išrašykime diskriminantą

Supaprastinkime ir prilyginkime nuliui

Gavome kvadratinę lygtį parametro a atžvilgiu, kurios sprendimą galima lengvai gauti naudojant Vietos teoremą. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprasta paieška nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a=3, vienintelis teisingas bus - a=4. Taigi, jei a=4 lygtis turi vieną šaknį.

2 pavyzdys. Kokiomis parametrų reikšmėmis A , lygtis a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 turi daugiau nei vieną šaknį?

Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykime vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a=0 ir a=-3. Kai a=0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9=0; x=3/2 ir bus viena šaknis. Jei a= -3, gauname tapatybę 0=0.
Apskaičiuokime diskriminantą

ir raskite a reikšmę, kuriai esant ji yra teigiama

Iš pirmosios sąlygos gauname a>3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis


Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija trunka teigiamas vertes. Pakeitę tašką a=0 gauname 3>0 . Taigi, už intervalo (-3;1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a=0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes pradinėje lygtyje yra viena šaknis.
Dėl to gauname du intervalus, atitinkančius problemos sąlygas

Praktikoje bus daug panašių užduočių, pabandykite užduotis išsiaiškinti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išstudijuokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, kurios dažnai reikalingos atliekant įvairius uždavinius ir mokslus.

Kvadratinė lygtis – lengva išspręsti! *Toliau – „KU“. Bičiuliai, atrodytų, kad matematikoje negali būti nieko paprasčiau nei išspręsti tokią lygtį. Tačiau kažkas man pasakė, kad daugelis žmonių turi problemų su juo. Nusprendžiau pažiūrėti, kiek parodymų pagal pareikalavimą „Yandex“ pateikia per mėnesį. Štai kas atsitiko, žiūrėk:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad apie 70 000 žmonių per mėnesį ieško šios informacijos, ką su ja turi bendra ši vasara ir kas nutiks mokslo metai— prašymų bus dvigubai daugiau. Tai nenuostabu, nes šios informacijos ieško tie vaikinai ir merginos, kurie seniai baigė mokyklą ir ruošiasi vieningam valstybiniam egzaminui, o atmintį atgaivinti stengiasi ir moksleiviai.

Nepaisant to, kad yra daugybė svetainių, kuriose pasakojama, kaip išspręsti šią lygtį, aš nusprendžiau taip pat prisidėti ir paskelbti medžiagą. Pirma, noriu, kad lankytojai į mano svetainę ateitų pagal šį prašymą; antra, kituose straipsniuose, kai iškils tema “KU”, pateiksiu nuorodą į šį straipsnį; trečia, aš jums papasakosiu šiek tiek daugiau apie jo sprendimą, nei paprastai nurodoma kitose svetainėse. Pradėkime! Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

kur koeficientai a,bir c yra savavališki skaičiai, kurių a≠0.

IN mokyklos kursas medžiaga pateikiama tokia forma - lygtys sutartinai skirstomos į tris klases:

1. Jie turi dvi šaknis.

2. *Turėti tik vieną šaknį.

3. Jie neturi šaknų. Čia ypač verta paminėti, kad jie neturi tikrų šaknų

Kaip apskaičiuojamos šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuojame diskriminantą. Po šiuo „siaubingu“ žodžiu slypi labai paprasta formulė:

Šaknies formulės yra tokios:

*Šias formules reikia žinoti mintinai.

Galite iš karto užsirašyti ir išspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei D > 0, tai lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei D = 0, tai lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažiūrėkime į lygtį:

Šiuo atžvilgiu, kai diskriminantas yra lygus nuliui, mokyklos kursas sako, kad gaunama viena šaknis, čia ji yra lygi devynioms. Viskas teisinga, taip yra, bet...

Ši mintis yra šiek tiek neteisinga. Tiesą sakant, yra dvi šaknys. Taip, taip, nenustebkite, gausite dvi lygias šaknis, o jei matematiškai tiksliai, tada atsakyme turėtų būti parašytos dvi šaknys:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet taip yra – mažas nukrypimas. Mokykloje gali užsirašyti ir pasakyti, kad yra viena šaknis.

Dabar kitas pavyzdys:

Kaip žinome, neigiamo skaičiaus šaknis paimti negalima, todėl šiuo atveju sprendimo nėra.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Tai parodo, kaip sprendimas atrodo geometriškai. Tai nepaprastai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių išsamiai išanalizuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, b, c – duoti skaičiai, kurių a ≠ 0

Grafikas yra parabolė:

Tai yra, paaiškėja, kad išsprendę kvadratinę lygtį, kai „y“ lygi nuliui, randame parabolės susikirtimo taškus su x ašimi. Šių taškų gali būti du (diskriminantas yra teigiamas), vienas (diskriminantas yra nulis) ir nė vienas (diskriminantas yra neigiamas). Išsami informacija apie kvadratinę funkciją Galite peržiūrėti Inna Feldman straipsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

1 pavyzdys: išspręskite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atsakymas: x 1 = 8 x 2 = –12

*Galima buvo iš karto padalyti kairę ir dešinę lygties puses iš 2, tai yra supaprastinti. Skaičiavimai bus lengvesni.

2 pavyzdys: Nuspręskite x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 –4, 1, 121 = 484–484 = 0

Mes nustatėme, kad x 1 = 11 ir x 2 = 11

Atsakyme leidžiama rašyti x = 11.

Atsakymas: x = 11

3 pavyzdys: Nuspręskite x 2 – 8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac = (–8) 2 –4,1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminantas yra neigiamas, realiaisiais skaičiais sprendimo nėra.

Atsakymas: nėra sprendimo

Diskriminantas yra neigiamas. Yra sprendimas!

Čia kalbėsime apie lygties sprendimą tuo atveju, kai gaunamas neigiamas diskriminantas. Ar žinote ką nors apie kompleksiniai skaičiai? Čia nenagrinėsiu, kodėl ir kur jie atsirado ir koks yra jų konkretus vaidmuo ir būtinybė matematikoje, tai yra didelio atskiro straipsnio tema.

Kompleksinio skaičiaus samprata.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis skaičius z yra formos skaičius

z = a + bi

kur a ir b yra realieji skaičiai, i yra vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a+bi – tai VIENAS SKAIČIUS, o ne papildymas.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minus vieneto šaknei:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gauname dvi konjuguotas šaknis.

Nebaigta kvadratinė lygtis.

Panagrinėkime specialius atvejus, kai koeficientas „b“ arba „c“ yra lygus nuliui (arba abu lygūs nuliui). Jas galima lengvai išspręsti be jokių diskriminacinių problemų.

1 atvejis. Koeficientas b = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime:

Pavyzdys:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

2 atvejis. Koeficientas c = 0.

Lygtis tampa tokia:

Transformuokime ir faktorizuokime:

* Produktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui.

Pavyzdys:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 arba x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3 atvejis. Koeficientai b = 0 ir c = 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x = 0.

Naudingos koeficientų savybės ir modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a + b+ c = 0, Tai

- jei lygties koeficientams Ax 2 + bx+ c=0 galioja lygybė

a+ c =b, Tai

Šios savybės padeda apsispręsti tam tikro tipo lygtys

1 pavyzdys: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Šansų suma yra 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, o tai reiškia

2 pavyzdys: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Lygybė galioja a+ c =b, Reiškia

Koeficientų dėsningumai.

1. Jei lygtyje ax 2 + bx + c = 0 koeficientas "b" yra lygus (a 2 +1), o koeficientas "c" yra skaitine prasme lygus koeficientui "a", tai jo šaknys yra lygios

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Jei lygtyje ax 2 – bx + c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 +1), o koeficientas „c“ skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Jei lygtyje. ax 2 + bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), ir koeficientas „c“ skaičiais lygus koeficientui "a", tada jo šaknys lygios

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Jei lygtyje ax 2 – bx – c = 0 koeficientas „b“ yra lygus (a 2 – 1), o koeficientas c skaitine prasme lygus koeficientui „a“, tai jo šaknys yra lygios

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Pavyzdys. Apsvarstykite lygtį 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Vietos teorema.

Vietos teorema pavadinta garsaus prancūzų matematiko Francois Vieta vardu. Naudodamiesi Vietos teorema, galime išreikšti savavališko KU šaknų sumą ir sandaugą jo koeficientais.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Iš viso skaičius 14 duoda tik 5 ir 9. Tai šaknys. Turėdami tam tikrų įgūdžių, naudodami pateiktą teoremą, galite iškart žodžiu išspręsti daugybę kvadratinių lygčių.

Vietos teorema, be to. patogu tuo, kad išsprendus kvadratinę lygtį įprastu būdu(per diskriminantą) galima patikrinti susidariusias šaknis. Aš rekomenduoju tai daryti visada.

TRANSPORTAVIMO BŪDAS

Taikant šį metodą koeficientas „a“ dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „įmetamas“ į jį, todėl jis vadinamas "perdavimo" metodas.Šis metodas naudojamas, kai galite lengvai rasti lygties šaknis naudodami Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Jeigu A± b+c≠ 0, tada naudojama perdavimo technika, pavyzdžiui:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Naudojant Vietos teoremą (2) lygtyje, nesunku nustatyti, kad x 1 = 10 x 2 = 1

Gautas lygties šaknis reikia padalyti iš 2 (kadangi jos buvo „išmestos“ iš x 2), gauname

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Koks yra loginis pagrindas? Pažiūrėk, kas vyksta.

(1) ir (2) lygčių diskriminantai yra lygūs:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gausite tik skirtingus vardiklius, o rezultatas priklauso būtent nuo x 2 koeficiento:

Antrasis (modifikuotas) turi 2 kartus didesnes šaknis.

Todėl rezultatą padalijame iš 2.

*Jei persuksime tris, rezultatą padalinsime iš 3 ir pan.

Atsakymas: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie ir vieningas valstybinis egzaminas.

Trumpai papasakosiu apie jo svarbą – PRIVALAI MESTI greitai ir negalvodamas, reikia mintinai žinoti šaknų ir diskriminuojančių veiksnių formules. Daugelis problemų, įtrauktų į vieningo valstybinio egzamino užduotis, yra susijusios su kvadratinės lygties (įskaitant geometrines) sprendimu.

Į ką nors verta atkreipti dėmesį!

1. Lygties rašymo forma gali būti „numanoma“. Pavyzdžiui, galimas toks įrašas:

15+ 9x 2 - 45x = 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 arba 15 -5x + 10x 2 = 0.

Turite jį pateikti į standartinę formą (kad nesusipainiotumėte sprendžiant).

2. Atsiminkite, kad x yra nežinomas dydis ir jį galima žymėti bet kuria kita raide – t, q, p, h ir kt.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje Būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba negali būti!) tik X (iki pirmos laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti X laipsnio, didesnio nei du.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

Čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet A– nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:

Čia A =1; b = 3; c = -4

Čia A =2; b = -0,5; c = 2,2

Čia A =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. X kvadratu su koeficientu A, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b Ir laisvas narys s.

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.

Ir jeigu b= 0, ką mes gauname? Mes turime X bus prarastas pirmajai galiai. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

Ir taip toliau. Ir jei abu koeficientai b Ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Tokios lygtys, kuriose kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl A negali būti lygus nuliui? Ir jūs vietoj to pakeičiate A nulis.) Mūsų X kvadratas išnyks! Lygtis taps tiesinė. O sprendimas visai kitoks...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aišku paprastos taisyklės. Pirmajame etape reikia duotą lygtį paversti standartine forma, t.y. į formą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, A, b Ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti X, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir c Skaičiuojame pagal šią formulę. Pakeiskime su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

A =1; b = 3; c= -4. Čia mes tai užrašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Viskas labai paprasta. Ir ką, jūs manote, kad neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos yra painiojimas su ženklų reikšmėmis a, b ir c. Arba, tiksliau, ne su jų ženklais (kur susipainioti?), o su neigiamų verčių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia padeda išsamus formulės įrašymas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, padaryti, kad!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

Čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Tai užtruks apie 30 sekundžių parašyti papildomą eilutę ir klaidų skaičių smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai parašyti. Bet taip tik atrodo. Pabandyk. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai surašyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis blogas pavyzdys su daugybe minusų gali būti išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Ar atpažinote?) Taip! Tai nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai suprasti, kam jie čia prilygsta. a, b ir c.

Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; A c? Jo visai nėra! Na taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats su antruoju pavyzdžiu. Tik pas mus čia nėra nulio Su, A b !

Tačiau nepilnas kvadratines lygtis galima išspręsti daug paprasčiau. Be jokių formulių. Panagrinėkime pirmąją nepilną lygtį. Ką galite padaryti kairėje pusėje? Galite ištraukti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Gerai, tada sugalvokite du ne nuo nulio skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Viskas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.

Visi. Tai bus mūsų lygties šaknys. Tinka abu. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, atkreipsiu dėmesį, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – absoliučiai abejingas. Patogu rašyti eilės tvarka, x 1- kas mažesnis ir x 2- kas didesnis.

Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelkite 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka išgauti šaknį iš 9, ir viskas. Tai paaiškės:

Taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami X iš skliaustų arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.
Labai sunku supainioti šiuos metodus. Vien dėl to, kad pirmu atveju teks ištraukti X šaknį, kuri kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ką ištraukti iš skliaustų...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „sprendžiame per diskriminantą“ įkvepia pasitikėjimo ir užtikrintumo. Nes nereikia tikėtis gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be rūpesčių.) Primenu jums labiausiai bendroji formulė už sprendimus bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Paprastai diskriminantas žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl jis nusipelnė ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai nieko nevadina... Raidės ir raidės.

Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galima išgauti šaknį. Ar šaknis išgauta gerai, ar blogai – kitas klausimas. Svarbu tai, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada turėsite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi. Bet, viduje supaprastinta versija, įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamojo skaičiaus kvadratinė šaknis negali būti paimta. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atvirai kalbant, kada paprastas sprendimas kvadratines lygtis, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę ir suskaičiuojame. Ten viskas vyksta savaime, dvi šaknys, viena ir nė viena. Tačiau sprendžiant sudėtingesnes užduotis, be žinių diskriminanto reikšmė ir formulė nepakankamai. Ypač lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis valstybiniam egzaminui ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai irgi nėra blogai.) Mokate teisingai nustatyti a, b ir c. Ar žinai kaip? dėmesingai pakeiskite juos į šaknies formulę ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Jūs suprantate, kad čia yra raktinis žodis dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie patys, kurie dėl neatidumo... Dėl ko vėliau tampa skaudu ir įžeidžiama...

Pirmas susitikimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį ir įveskite ją į standartinę formą. Ką tai reiškia?
Tarkime, kad po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukonstruokite pavyzdį. Pirma, X kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš X kvadratą gali jus tikrai nuliūdinti. Lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir baigti spręsti pavyzdį. Spręskite patys. Dabar turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1.

Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nebijok, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kurią naudojome užrašydami šaknies formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Rezultatas turėtų būti nemokamas narys, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su savo ženklu . Jei nepavyksta, vadinasi, jie jau kažkur susisuko. Ieškokite klaidos.

Jei tai veikia, turite pridėti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Koeficientas turėtų būti b Su priešingas pažįstamas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš X, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad tai taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Visi mažiau klaidų valios.

Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje „Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos“. Dirbant su trupmenomis, klaidos kažkodėl šliaužia...

Beje, blogą pavyzdį pažadėjau supaprastinti su krūva minusų. Prašau! Štai jis.

Kad nesusipainiotume su minusais, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra vienas malonumas!

Taigi, apibendrinkime temą.

Praktinis patarimas:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį įvedame į standartinę formą ir ją sudarome Teisingai.

2. Jei prieš X kvadratą yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jeigu koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienam, sprendimas gali būti lengvai patikrintas naudojant Vietos teoremą. Daryk!

Dabar galime nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Ar viskas tinka? Puiku! Kvadratinės lygtys nėra jūsų reikalas galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o kiti ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai pavyksta? O gal visai nesiseka? Tada jums padės 555 skyrius. Visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti. Parodyta pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, kalbame ir apie identiškų transformacijų panaudojimą sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.