• Sistemos. \\ T m. Linijinės lygtys S. n. nežinoma.
  Linijinių lygčių sistemos sprendimas - tai yra daug numerių ( x 1, x 2, ..., x n), kai pakeičiant, kuris kiekvienoje sistemoje yra ištikimas lygybė.
  kur ij, i \u003d 1, ..., m; J \u003d 1, ..., N - sistemos koeficientai;
  b i, i \u003d 1, ..., m - nemokami nariai;
  x j, j \u003d 1, ..., n - Nežinoma.
  Pirmiau pateikta sistema gali būti įrašyta į matricos formą: A · x \u003d b,
  
  
  
  
  kur ( A.|B.) - pagrindinė sistemos matrica;
  A. - išplėstinė sistemos matrica;
  X. - nežinomo stulpelis;
  B. - laisvo narių stulpelis.
  Jei matrica B. Tai nėra nulinės matricos ∅, tada ši linijinių lygčių sistema vadinama heterogenine.
  Jei matrica B. \u003d ∅, ši linijinių lygčių sistema vadinama homogeniška. Homogeninė sistema visada turi nulio (trivialus) sprendimą: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Bendra linijinių lygčių sistema - Tai yra linijinių lygčių sistemos sprendimas.
  Dysflower linijinių lygčių sistema - tai nėra sprendžiant linijinių lygčių sistemą.
  Apibrėžta linijinių lygčių sistema - tai yra vienintelis linijinių lygčių sistemos sprendimas.
  Neaiški linijinių lygčių sistema - Ji turi begalinį rinkinį linijinių lygčių sistemos sistemą.
• Linijinių lygčių n nežinoma
  Jei nežinomo skaičiaus yra lygi lygčių skaičiui, tada matrica yra kvadratinė. Matricos veiksnys vadinamas pagrindiniu linijinių lygčių sistemos veikimu ir nurodoma simboliu δ.
  CRAMER metodas Išspręsti sistemas n. Linijinės lygtys S. n. nežinoma.
  Cramer taisyklė.
  Jei pagrindinis linijinių lygčių sistemos veiksnys nėra lygus nuliui, tada sistema yra koordinuojama ir nustatoma, o vienintelis sprendimas apskaičiuojamas pagal vikšrinių formules:
  kur δ i yra veiksniai, kilę iš pagrindinio δ sistemos veiksnio pakeitimu i.- stulpelį laisvų narių stulpelyje. .
• SYSTEMS M iš linijinių lygčių su n nežinoma
  Caperera Capera teorema.
  
  
  Kad ši linijinių lygčių sistema būtų sąnarių, būtina ir pakankamai sistemos, kad sistemos matricos yra lygi išplėstinės sistemos matricos reitingui, \\ t rang (α) \u003d Rang (α | b).
  Jeigu rang (α) ≠ Rang (α | b)Sistema nežino sprendimų.
  Esley. rang (α) \u003d Rang (α | b)Tada įmanoma du atvejai:
  1) rang (α) \u003d n (nežinomo) - tirpalas yra unikalus ir gali būti gaunamas Cramer formulėmis;
  2) rang (α)< n - Sprendimai yra be galo daug.
• Gauss metodas Norėdami išspręsti linijinių lygčių sistemas
  
  
  Padarykite išplėstinę matricą ( A.|B.) Ši sistema yra nuo koeficientų nežinomose ir dešinėje dalyse.
  "Gauss" metodas arba nežinomo pašalinimo metodas yra pareikšti išplėstinę matricą ( A.|B.) Su pagrindinėmis transformacijomis, viršijančiomis jos linijas į įstrižinę formą (iki viršutinės trikampio formos). Grįžtant į lygčių sistemą, visi nežinomi.
  Pagrindinės transformacijos virš linijų yra:
  1) dviejų linijų vietų pokyčiai;
  2) eilutės dauginimas pagal skaičių, išskyrus 0;
  3) Įtraukti į kitos linijos eilutę, padaugintą iš savavališko numerio;
  4) nulinės linijos mesti.
  Išplėstinė matrica, nurodyta įstrižai, atitinka linijinę sistemą, atitinkančią tai, kurio tirpalas nesukelia sunkumų. .
• Vienodų linijinių lygčių sistema.
  Homogeninė sistema turi formą:
  
  Jis atitinka matricos lygtį A · x \u003d 0.
  1) vienoda sistema visada yra sukurta, nes r (a) \u003d r (a | b)Visada yra nulinis tirpalas (0, 0, ..., 0).
  2) Norint turėti homogeninę sistemą, kad būtų pasiektas ne nulinis sprendimas, tai yra būtina ir pakankamai r \u003d r (a)< n tai yra lygiavertė Δ \u003d 0.
  3) Jei r.< n , tada sąmoningai Δ \u003d 0, tada yra nemokama nežinoma c1, C2, ..., C n-rSistema turi netrivinius sprendimus, ir jie yra be galo daug.
  4) Bendras sprendimas X. dėl r.< n Jis gali būti įrašytas į matricos formą taip:
  X \u003d C1 · x 1 + C2 · x 2 + ... + C n-r · x n-r,
  Kur sprendimai X 1, x 2, ..., x n-r Sudaro pagrindinę sprendimų sistemą.
  5) pagrindinę sprendimų sistemą galima gauti iš bendrojo homogeniškos sistemos sprendimo:
  
  ,
  Jei nuosekliai manote, kad parametrų vertės yra lygios (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., 0, 0, ..., 1) .
  Bendro sprendimo dėl pagrindinės sistemos sprendimų skaidymas - Tai yra bendras sprendimas linijinio pagrindinės sistemos sprendimų deriniu forma.
  Teorema. Norint, kad linijinių homogeninių lygčių sistema turi ne nulinį sprendimą, būtina ir pakankamai Δ ≠ 0.
  Taigi, jei lemiamas Δ ≠ 0, tada sistema turi vieną sprendimą.
  Jei Δ ≠ 0, tada linijinių homogeninių lygčių sistema turi begalinį kelis sprendimus.
  Teorema. Kad homogeniška sistema turi nulinį sprendimą, tai yra būtina ir pakankamai r (a)< n .
  Įrodymai:
  1) r. negali būti daugiau n. (Matricos rangas neviršija stulpelių arba styginių skaičiaus);
  2) r.< n nes. jeigu r \u003d N., Tada pagrindinis sistemos Δ ≠ 0 veiksnys ir, pasak vikšrinių formulių, yra vienas trivialus sprendimas. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0Kas prieštarauja sąlygai. Tai reiškia r (a)< n .
  Pasekmė. Norint gauti homogeninę sistemą n. Linijinės lygtys S. n. Nežinomi neturėjo nulinio sprendimo, būtina ir pakankamai δ \u003d 0.

Ištirti linijinių angebrinių lygčių sistemą (slavos) į vienetus reiškia sužinoti, ši sistema turi sprendimą, ar jie nėra. Na, jei yra sprendimų, tada nurodykite, kiek iš jų.

Mums reikės informacijos iš temos "linijinių algebrinių lygčių sistema. Pagrindiniai terminai. Matrix įrašymo forma." Visų pirma mums reikia tokių sąvokų kaip sistemos matricos ir išplėstinės sistemos matricos, nes būtent jie apibūdina Kappeli teorem teoremą. Kaip įprasta, sistemos matrica bus pažymėta raide $ A $, o išplėstinė sistemos matrica yra raidė $ widetilde (a) $.

Caperera Capera teorema

Linijinių algebrinių lygčių sistema yra suderinta ir tik tada, kai sistemos matricos rangas yra lygus išplėstinės sistemos matricos reitingui, t.y. $ Rang a \u003d widetilde (a) $.

Leiskite jums priminti, kad sistema vadinama bendradarbiaujant, jei ji turi bent vieną sprendimą. "Capera-Capelli" teorema sako, kad jei $ rang a \u003d rang lygis (a) $ yra; Jei $ rang a neq widetilde (a) $, tada šis šlaitas neturi sprendimų (neišsamia). Atsakymas į klausimą apie šių sprendimų skaičių suteikia Kronkener-Capelli teorer pasekmė. Pasekmės formuluotėje naudojamas "Laiškas $ N $", kuris yra lygus tam tikro nuolydžio kintamųjų skaičiui.

Kepekener-Capelie teorem pasekmė

1. Jei $ rang a) widetilde (a) $, tada slavos yra neišsamūs (ne sprendimai).
2. Jei $ rang a \u003d widetilde (a)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Jei $ rang a \u003d rang būdas widetilde (a) \u003d n $, tada nuolydis yra apibrėžtas (jis turi tiksliai vieną sprendimą).

Atkreipkite dėmesį, kad suformuluota teorema ir jo pasekmė nenurodo, kaip rasti Slavos sprendimą. Su jų pagalba, galite sužinoti tik jei šie sprendimai egzistuoja ar ne, ir jei yra, tada kiek.

Pavyzdys №1.

Naršykite $ lifto (pradžia (suderinta) ir -3x_1 + 9x_2-7x_3 \u003d 17; \\\\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 \u003d 9; \\\\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 \u003d -42. \\ T ). $ Suvienyti. Jei Slava yra bendra, nurodykite sprendimų skaičių.

Jei norite sužinoti, ar sprendimai yra pateikta Slava, mes naudojame Caperera Caperera teorem. Mums reikės $ A $ sistemos ir išplėstinės $ Widetilde sistemos (A) $ matrica (a) užrašykite juos:

$$ A \u003d liko (pradžia (masyvas) (CCC) -3 & 9 & -7 ir -4) 4 ir -2 ir 19 gale (masyvas); \\ t; \\ t; Widetilde (a) \u003d kairė (pradžia (masyvas) (CCC | C) -3 & 9 & -7 & -1 & -1 & -1 & -1 & 9 4 & -1 & 19 & 19 ir -42 \\ t Pabaiga (masyvas)). $$.

Būtina rasti $ € ir $ widetilde (a) $. Už tai yra daug būdų, kai kurie iš jų yra išvardyti skyriuje "Rank matrica". Paprastai du metodai yra naudojami studijuoti tokias sistemas: "Apskaičiuojant matricos laipsnį pagal apibrėžimą" arba "apskaičiuojant matricos laipsnį pagal pradinių transformacijų metodą."

1 metodo numeris. Apskaičiuojant gretas pagal apibrėžimą.

Remiantis apibrėžimu, rangas yra aukščiausia mažumos matricos tvarka, tarp kurių yra bent vienas kitas nei nulis. Paprastai tyrimas prasideda nuo pirmos eilės nepilnamečių, tačiau čia yra patogiau pradėti iš karto į trečiojo Matricos Und A $ kalnakasį. Trečiojo užsakymo nepilnamečio elementai yra trijų eilučių ir trijų svarstomų matricų stulpelių sankirtoje. Kadangi "Matrix $ A $" yra tik 3 eilutės ir 3 stulpeliai, nedidelė iš trečiojo matricos USD užsakymo yra matricos $ a $ identifikatorius, i.e. $ Delta a $. Norint apskaičiuoti veiksnį, taikome formulę Nr. 2 iš tos temos "formulės apskaičiuojant antrojo ir trečiojo užsakymų veiksnius":

$$ delta a \u003d liko | Pradėti (masyvas) (CCC) -3 & 9 & -7 ir -7 ir -4 \\\\ 4 & -2 & 19 pabaiga (masyvas) teisinga | \u003d -21. $$.

Taigi, yra nepilnametis iš trečiojo Matricos už $ a $, kuris nėra lygus nuliui. Mažas ketvirtosios eilės neįmanoma sudaryti, nes tam reikia 4 eilučių ir 4 stulpelių, o $ 3 eilutėse ir 3 stulpeliuose. Taigi, didžiausias mažumos matricos USD užsakymas $, tarp kurio yra bent vienas nulinis, yra 3. Todėl $ 3.

Taip pat turime rasti $ W WOWETILDE (a) $. Pažvelkime į Matricos struktūrą $ Widetilde (a) $. Iki linijos $ widetilde matricos (a) $ yra elementai iš $ a $ matrica, ir mes sužinojome, kad $ delta a neq 0 $. Todėl $ widetilde matrica (a) $ yra trečiosios eilės nepilnametis, kuris nėra lygus nuliui. Ketvirtosios "Matrix $" užsakymo nepilnamečiai (a) $ mes negalime komponuoti, todėl mes baigiame: $ widetilde (a) \u003d $ 3.

Nuo $ rang a \u003d widetilde (a) $, tada pagal Klekyker-Capeli teorem, sistema yra bendrai naudojama, t.y. Jis turi tirpalą (bent vieną). Norint nurodyti sprendimų skaičių, atsižvelgiame į tai, kad mūsų nuolydis yra 3 nežinomi: $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $. Kadangi nežinomo $ N \u003d $ 3, mes padarome išvadą: $ \\ rang a \u003d rang būdas (a) \u003d n $, todėl pagal Capera-Capereli teorer pasekmė, sistema yra apibrėžta, t.y Jis turi vieną sprendimą.

Užduotis išspręsta. Kokie trūkumai ir nauda yra šis metodas? Norėdami pradėti, kalbėti apie privalumus. Pirma, mums reikėjo rasti tik vieną veiksnį. Po to mes nedelsdami baigėme sprendimų skaičių. Paprastai standartiniai tipiški skaičiavimai pateikiami lygčių sistemoms, kuriose yra trys nežinomi ir turi vieną sprendimą. Dėl tokių sistemų šis metodas yra labai patogus, nes mes iš anksto žinome, kad yra sprendimas (kitaip pavyzdys nebūtų skaičiuojant). Tie. Turime tik parodyti sprendimų buvimą greičiausiai. Antra, apskaičiuota sistemos matricos vertė (i.e. $ delta a $) yra naudinga: kai nuspręsite nurodytą sistemą valdymo sistema arba naudodami atvirkštinę matricą.

Tačiau rango apskaičiavimo pagal apibrėžimą metodas yra nepageidautinas, jei $ A $ sistemos matrica yra stačiakampis. Šiuo atveju geriau taikyti antrąjį metodą, kuris bus aptartas toliau. Be to, jei $ delta a \u003d $ 0, mes negalėsime nieko pasakyti apie nehomogeniniam nuolydžiui pateiktų sprendimų skaičių. Galbūt begalinis sprendimų skaičius turi nuolydį, o gal ne vienas. Jei $ delta a \u003d 0 $ reikalauja papildomo tyrimo, kuris dažnai yra didelis.

Apibendrinant minėtą sumą, atkreipiu dėmesį į tai, kad pirmasis metodas yra geras tiems Slavai, kurių matricos aikštė sistema. Tuo pačiu metu pats slava yra trys ar keturi nežinomi ir paimti iš standartinių tipinių skaičiavimų ar bandymo darbų.

2 metodo numeris. Apskaičiavimas pagal elementarius transformacijas.

Šis metodas išsamiai aprašytas atitinkamoje temoje. Apskaičiuosime $ Widetilde matricos (a) $ skudurą. Kodėl tiksliai matrix $ wardsilde (a) $, o ne $ a $? Faktas yra tai, kad $ a $ matrica yra $ widetilde matrica (a) $, todėl apskaičiuojant $ widetilde matricos reitingą (a) $ mes tuo pačiu metu mes randame tiek $ a $ matrix rangas.

pradžia (suderinta) & vi) (a) \u003d kairė (pradžia (masyvas) (CCC | C) -3 & 9 & -7 & 17 ir -1 ir -4 ir -4 ir 94 & 9 \\\\ 4 & - 2 ir 19 ir -42 pabaiga (masyvas) į dešinę) \\ revicentrow | Tekstas (mes keičiame pirmą ir antrą eilutes) "Dewarrow" lifto (pradžia (masyvas) (CCC | c) -1 ir 2 ir -1 & 9 ir 94 ir -7 & 17 \\\\ 4 & -2 & 19 & - 42 pabaiga (masyvas) teisinga) pradžia (masyvas) (l) fantomas (0) \\\\ ii II-3 \\ t i III + 4 cdot i pabaiga (masyvas) į kairę (\\ t pradžia (Masyvas) (CCC | C) -1 ir 2 ir 9 0 & 3 & 3 & 3 & 3 & -10 & -10 ir -10) \\ t pradžia (masyvas) (l) fantomas (0) \\\\\\ "Phantom" (0) III-2 "CDOT II" pabaiga (masyvas) "Dewarrow \\\\" (pradžia (masyvas) (CCC | C) -1 & 2 &-9 \\\\ 0 & 3 & 5 & -10 pabaiga (masyvas) \\ t pabaiga (suderinta)

Mes vedėme $ wardsilde (a) $ trapecijos formą. Dėl pagrindinio gauto matricos $ liko (pradžia (masyvas) (CCC | C) -1 ir 2 ir 9 0 & 3 & 5 & 5 & 5 ir -10 pabaiga (masyvas) \\ t Yra trys nulinės elementai: -1, 3 ir -7. Išvada: Matricos $ pozitions rangas (a) $ yra 3, i.e. $ Widetilde (a) \u003d $ 3. Konversijos su matrica $ wardsilde elementais (a) $ mes tuo pačiu metu konvertuojame ir matricos $ a $ elementai, esantys iki linijos. $ A $ Matrix taip pat skiriamas trapecijos formai: $ kairėn (pradžia (masyvas) (CCC) -1 & 2 & -4 \\\\ 0 & 3 & 5 \\\\ 0 & 0 & -7 \\ t (Masyvas)) $. Išvada: matricos $ a $ taip pat yra 3, t.y. $ 3.

Nuo $ rang a \u003d widetilde (a) $, tada pagal Klekyker-Capeli teorem, sistema yra bendrai naudojama, t.y. turi sprendimą. Norint nurodyti sprendimų skaičių, atsižvelgiame į tai, kad mūsų nuolydis yra 3 nežinomi: $ x_1 $, $ x_2 $ ir $ x_3 $. Kadangi nežinomo $ N \u003d $ 3, mes padarome produkciją: $ rang a \u003d rng \\ rng \\ t Jis turi vieną sprendimą.

Kokie yra antrojo kelio privalumai? Pagrindinis privalumas yra jo universalumas. Tai mums nesvarbu, ar matrica yra kvadratinė, ar ne. Be to, mes iš tikrųjų atliksime tiesioginio Gauss metodo judėjimo transformacijas. Jis išlieka tik keli veiksmai, ir mes galėtume gauti šio slavos sprendimą. Sąžiningai, antrasis man patinka daugiau pirma, bet pasirinkimas yra skonio klausimas.

Atsakymas: Nurodyta Slava dalijama ir apibrėžta.

2 pavyzdys.

Naršykite $ kairėn (pradžia (suderinta) ir x_1-x_2 + 2x_3 \u003d -1; \\\\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 \u003d 3; \\\\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 \u003d 2; \\\\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 \u003d 1; \\\\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 \u003d -4. \\ TAnd (suderinta) į dešinę. $ Už vienetų.

Rasti sistemos matricos gretas ir išplėstinė sistemos matrica bus pradinių transformacijų metodas. Išplėstinė sistemos matrica: $ widetilde (a) \u003d liko (pradžia (masyvas) (CCC | C) 1 ir -1 ir -1 ir -1 ir -1 ir -1 ir -1 ir -1 ir -1 \\ t & 3 & 2 3 & -3 & 5 & 1 2 & -3 & 5 & -4 pabaiga (masyvas)) $. Raskite reikiamus gretas, konvertuojant išplėstinę sistemos matricą:

Rodoma išplėstinė sistemos matrica. Jei matrica yra dedama į pakopą, tada jos rangas yra lygus ne nulinės eilių skaičiui. Todėl $ 3 RANG a \u003d $ 3. Matrica $ a $ (iki linijos) rodoma trapecinės formos ir jos rangas yra 2, $ a \u003d $ 2.

Nuo $ rang a) widetilde (a) $, tada pagal Konecker-Chapel teorem, sistema yra neišsami (t. Y., jokių sprendimų).

Atsakymas: Sistema yra nesuprantama.

3 pavyzdys.

Naršykite $ kairėn (pradžia (suderinta) ir 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 \u003d 17; \\ t ir -3x_1 + 9x_2-11x_3-7x_5 \u003d -64 ; \\\\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 \u003d -90; \\\\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 \u003d 132. galo (suderinta) į dešinę.

Išplėstinė sistemos matrica turi formą: $ widetilde (a) \u003d kairė (pradžia (masyvas) (CCCCC | c) 2 ir 0 ir 7 ir -5 & 3 & 3 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 ir 2 & 17 ir -11 ir -1 ir -1 & -1 & -5 & -5 & -5 & -9 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 15 & 132 pabaiga (masyvas) \\ t Dešinėje) $. Mes keičiame pirmąją ir antrąją šios matricos linijos į pirmąją pirmos eilutės elementą, $ kairėn (pradžia (masyvas) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 0 & 2 & 17 \\ t & 7 & -5 & 11 & 11 & 42 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 & -5 & -90 ir -90 ir -90 ir -19 9 & -17 & 23 ir 0 ir 15 ir 132 pabaiga (masyvas)) $.

Mes vedėme išplėstinę sistemos matricą ir pačios sistemos matricą į trapecinę formą. Išplėstinės sistemos matricos rangas yra trys, sistemos matricos rangas taip pat yra lygus trims. Kadangi sistema yra $ n \u003d $ 5 nežinoma, i.e. $ Widetilde (a) \u003d \\ rang a< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Atsakymas: Sistema yra neaiški.

Antrojoje dalyje analizuosime pavyzdžius, kurie dažnai įtraukti į tipiškus skaičiavimus ar bandymą su aukštesniu matematika: vienetų tyrimai ir nuolydis, priklausomai nuo jo įtrauktų parametrų vertės.

Kaip yra aiški kramer teorems.Sprendžiant linijinių lygčių sistemą, gali būti trys atvejai:

Pirmasis atvejis: linijinių lygčių sistema turi vieną sprendimą

(Sistema bendrai ir apibrėžta)

Antrasis atvejis: linijinių lygčių sistema turi daugybę sprendimų

(sąnarių ir neaiškios sistema)

** ,

tie. Nežinomų ir nemokamų narių koeficientai yra proporcingi.

Trečiasis atvejis: linijinių tirpalų sistema neturi

(sistema yra nesuprantama)

Taigi, sistema m. Linijinės lygtys S. n.kintamieji vadinami be sustojimoJei ji neturi sprendimo ir bendrasJei jis turi bent vieną sprendimą. Yra vadinama bendra tik vieno sprendimo sistema apibrėžta., daugiau nei vienas - neaiški.

Linijinių lygčių sistemų sprendimo pavyzdžiai

Tegul sistema būtų suteikta

.

Remiantis "Cramer" teorijos

………….
,

kur
-

sistemos apibrėžimas. Likę veiksniai, kuriuos mes gauname, pakeičiant stulpelį su atitinkamo kintamojo (nežinomais) nemokamų narių koeficientais:

2 pavyzdys.

.

Todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti savo sprendimus, apskaičiuojame veiksnius

Vikšriniai formulės, mes randame:

Taigi (1; 0; -1) yra vienintelis sistemos sprendimas.

Norėdami patikrinti 3 x 3 ir 4 x 4 lygčių sistemų sprendimus, galite naudoti internetinį skaičiuoklę, sprendžiant CRAMER metodą.

Jei linijinių lygčių sistemoje nėra jokių kintamųjų vienoje ar keliose lygtyse, tada į veiksnį elementai, atitinkantys jų yra nulis! Tai yra toks pavyzdys.

3 pavyzdys. Išspręskite linijinių lygčių sistemą CRAMER metodu:

.

Sprendimas. Raskite sistemos veiksnį:

Atidžiai pažvelgti į lygčių ir sistemos veiksnio sistemą ir pakartokite atsakymą į klausimą, kokiais atvejais vienas ar daugiau elementų lemiamo yra nulis. Taigi, lempa nėra lygi nuliui, todėl sistema yra apibrėžta. Norėdami rasti savo sprendimus, apskaičiuojame veiksnius nežinomuose

Vikšriniai formulės, mes randame:

Taigi sistemos tirpalas yra (2; -1; 1).

6. Bendra linijinių algebrinių lygčių sistema. Gauss metodas.

Kaip prisimename, Cramer taisyklė ir matricos metodas yra netinkamas tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų ar nesuderinamumo. Gauss metodas – galingiausia ir universali priemonė rasti bet kurios linijinių lygčių sistemos sprendimą, kuris yra. \\ T kiekvienu atvejupaskatins mus į atsakymą! Pats metodo algoritmas visuose trijuose atvejais veikia vienodai. Jei žinios apie veiksnius reikalingi Cramer metoduose ir matricoje, reikia naudoti tik aritmetinius veiksmus, norint naudoti "Gauss" metodą, todėl jis yra prieinamas net pradinių mokyklų studentams.

Pirma, kai kurie susisteminti žinias apie linijinių lygčių sistemas. Linijinių lygčių sistema gali:

1) turi vienintelį sprendimą.
2) turėti be galo daug sprendimų.
3) ne turėti sprendimų (būti be sustojimo).

Gauss metodas - galingiausia ir universali priemonė rasti sprendimą bet kokia dalis Linijinių lygčių sistemos. Kaip prisiminti cramer taisyklė ir matricos metodas Suprantama tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų ar nesuderinamumo. Ir nežinomo neįtraukimo metodas bet kokiu atvejupaskatins mus į atsakymą! Šioje pamokoje vėl atsižvelgiame į Gauss metodą 1 atvejo numeriui (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis priskiriamas pagal 2-3 dalių padėtį. Atkreipiu dėmesį, kad paties metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Grįžkime prie paprasčiausios sistemos iš pamokos Kaip išspręsti linijinių lygčių sistemą?
ir sprendžiant IT metodą Gauss.

Pirmajame etape jums reikia įrašyti išplėstinė sistemos matrica:
. Koks principas koeficientai yra įrašomi, manau, kad kiekvienas gali matyti. Vertikalioji matricos viduje nėra jokios matematinės reikšmės - tai tik dizaino patogumo brėžinys.

nuoroda: Aš rekomenduoju prisiminti sąlygos Tiesinė algebra. Sistemos matrica - tai yra matrica, sudaryta tik iš nežinomų koeficientų, šiame pavyzdyje, sistemos matrica :. Išplėstinė sistemos matrica - Tai yra ta pati matrica sistemos ir laisvųjų narių stulpelis šiuo atveju :. Bet kuriai matricai gali būti vadinami tiesiog matrica už trumpumą.

Įrašant išplėstinę sistemos matricą, būtina atlikti tam tikrus veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarinės transformacijos..

Yra šių elementarių transformacijų:

1) Stygos Matriai galite pertvarkyti Vietos. Pavyzdžiui, svarstomame matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutę:

2) Jei yra matrica (arba pasirodė) proporcinga (kaip ypatinga atvejis - tos pačios) linijos, tada tai reiškia ištrinti Nuo matricos visos šios linijos be vienos. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matrica . Šiame matricoje paskutinės trys linijos yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei per konversijos metu matricoje pasirodė nulinė eilutė, ji taip pat turėtų ištrinti. Aš neparduosiu, aišku, kad nulinės linijos yra eilutė, kurioje kai kurie nuliai.

4) matricos eilutė gali būti padauginkite (padalintas) už bet kurį numerį ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina padalinti pirmąją eilutę iki -3, o antroji linija yra padauginti 2: . Šis veiksmas yra labai naudingas, nes jis supaprastina tolesnį matricos konversiją.

5) Ši transformacija sukelia didžiausius sunkumus, tačiau iš tikrųjų nėra nieko sudėtingo. Į matricos eilutę pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš numerioskiriasi nuo nulio. Apsvarstykite mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio :. Iš pradžių aš parašysiu labai išsamią konversiją. Mes dauginame pirmojoje eilutėje iki -2: , I. Į antrąją liniją pridėti pirmąją eilutę, padaugintą iš -2: . Dabar pirmoji eilutė gali būti padalinta "atgal" iki -2 :. Kaip matote eilutę, kuri prideda Melas – nepasikeitė. Visada Eilutė keičiasi į pridėtą Üt..

Praktiškai tai yra taip išsamiai, žinoma, ne dažai, bet jie rašo trumpai:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Straipsnis paprastai yra žodžiu arba ant projekto, o psichikos skaičiavimų eiga yra maždaug tokia:

"Aš perrašau matricą ir perrašau pirmąją eilutę: »

"Pirmasis pirmasis stulpelis. Apačioje man reikia nulio. Todėl įrenginys viršuje padauginamas į -2: ir aš pridedu pirmąjį į antrą eilutę: 2 + (-2) \u003d 0. Aš užrašau antrąją eilutę: »

"Dabar antrasis stulpelis. Į viršų -1 padauginkite -2 :. Į antrą eilutę pridedu pirmąjį: 1 + 2 \u003d 3. Aš užrašau antrąją eilutę: »

"Ir trečiasis stulpelis. Į viršų -5 padauginkite -2 :. Į antrąją liniją pridedu pirmąjį: -7 + 10 \u003d 3. Aš užrašau antroje eilutėje rezultatus: »

Prašome kruopščiai suprasti šį pavyzdį ir išsklaidyti į nuoseklią skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauss metodas yra praktiškai "kišenėje". Bet, žinoma, mes vis dar dirbame šioje transformacijoje.

Elementarinės transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendimo

! DĖMESIO: Manyti manipuliacijos negali naudotiJei būsite paraginti užduoties, kur matricas pateikia "vieni". Pavyzdžiui, "Classic" veiksmai su matricomis Kažkas pertvarkyti matricose jokiu būdu!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Jis yra beveik išmontuotas aplink kaulus.

Mes parašytume išplėstinę sistemos matricą ir su pradinių transformacijų pagalba mes tai suteikiame standartas. \\ T:

(1) Antroji linija pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Ir vėl: Kodėl pirmoji eilutė padaugina -2? Norint imtis nulio žemiau, ir todėl atsikratykite vienos kintamojo antroje eilutėje.

(2) Mes padalijame antrą eilutę iki 3.

Pagrindinių transformacijų tikslas – Vadovauti matrica į aukščiau esantį žingsnį: . Į užduotį dizainas, jis yra tiesiogiai parengtas su paprastu pieštuku "laiptai", ir patrinti numerius su apskritimais, kurie yra ant "žingsnių". Terminas "pakelta išvaizda" pati yra ne visai teorinė, mokslo ir švietimo literatūroje, kurią jis dažnai vadinamas trapecijos rūšys. \\ T arba. \\ T trikampis vaizdas.

Dėl pagamintų pradinių transformacijų ekvivalentas Pradinė lygčių sistema:

Dabar sistema turi būti "skatinama" priešinga kryptimi - nuo apačios į viršų, šis procesas vadinamas gAUSS metodo grąžinimas.

Apatinėje lygtyje mes turime pasirengimą rezultatas :.

Apsvarstykite pirmosios sistemos lygtį ir pakeiskite jau žinomą "Igarek" reikšmę:

Apsvarstykite dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai reikia išspręsti trijų linijinių lygčių sistemą su trims nežinoma.

1 pavyzdys.

Išspręskite lygčių sistemos Gauss metodą:

Mes parašytume išplėstinę sistemos matricą:

Dabar aš iš karto atkreipiu rezultatą, į kurį ateisime sprendimo metu:

Ir aš pakartoju, mūsų tikslas - su pradinių transformacijų pagalba, vadovauti matrica į pakopinę formą. Kur pradėti veiksmus?

Pirmiausia žiūrime į kairįjį viršutinį numerį:

Beveik visada turėtų būti čia vienetas. Apskritai kalbant, jis pasirūpins ir -1 (ir kartais kiti numeriai), bet kažkaip tradiciškai sukūrė, kad jis paprastai yra vienas. Kaip organizuoti vienetą? Pažvelgiame į pirmąjį stulpelį - galutinį vienetą mes turime! Pirmiausia transformacija: mes pakeisime pirmuosius ir trečią eilutes vietose:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Dabar gerai.

Viršutiniame kairiajame kampe įrenginys organizuojamas. Dabar jums reikia gauti zeros šiose vietose:

Nuliai gauna tik su "kietą" transformacijos pagalba. Pirmiausia mes nurodome antrą eilutę (2, -1, 3, 13). Ką reikia padaryti norint gauti nulį pirmajai pozicijai? Reikia Į antrąją liniją pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Protiškai arba ant projekto padauginkite pirmąją eilutę iki -2: (-2, -4, 2, -18). Ir nuosekliai atlikite (vėl psichiškai arba ant projekto) papildymas, Į antrąją liniją pridėkite pirmąją eilutę, kurią jau padauginta -2 -2:

Rezultatas įrašomas antroje eilutėje:

Panašiai susidoroti su trečiąja linija (3, 2, -5, -1). Norėdami patekti į pirmąją padėtį, jums reikia Į trečią eilutę, pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Protiškai arba ant projekto padauginkite pirmąją eilutę iki -3: (-3, -6, 3, -27). Ir. \\ T Į trečiąją eilutę pridėti pirmąją eilutę, padaugintą iš -3:

Rezultatas yra parašytas į trečią eilutę:

Praktiškai šie veiksmai paprastai atliekami žodžiu ir įrašomi vienu žingsniu:

Nereikia nedelsiant apsvarstyti ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir "montavimo" rezultatų tvarka nuosekliai Ir paprastai tokie: pirmiausia perrašykite pirmąją eilutę ir leiskite sau patinusiems - nuosekliai ir Atsargiai:


Aš jau laikiau psichikos skaičiavimų kursą.

Šiame pavyzdyje lengva padaryti, mes padalijame antrą eilutę iki -5 (kaip ten visi numeriai yra suskirstyti į 5 be liekana). Tuo pačiu metu mes padalijame trečią eilutę -2, nes mažesnis numeris, tuo lengviau yra:

Paskutiniame etape elementarių transformacijų, jums reikia gauti dar nulį čia:

Už tai Į trečiąją liniją pridėti antrą eilutę, padaugintą iš -2:


Pabandykite išardyti šį veiksmą patys - psichiškai padauginkite antrą eilutę "-2" ir papildykite.

Paskutinis veiksmas yra šukuosena, trečią eilutę padalins 3.

Dėl pradinių transformacijų buvo gauta lygiavertė linijinių lygčių sistema:

Saunus.

Įsigalioja atvirkštinis "Gauss" metodo judėjimas. Lygtys yra "atsipalaiduoti" nuo apačios į viršų.

Trečioje lygtyje jau turime pasirengimą rezultatą:

Pažvelgiame į antrąją lygtį :. Vertė "Zet" jau žinoma, todėl:

Ir galiausiai, pirmoji lygtis :. "Igarek" ir "Zet" yra žinomi, tai maža:

Atsakymas:

Kaip jau buvo pakartotinai pažymėta, bet kuri lygčių sistema yra įmanoma ir reikia patikrinti rastą tirpalą, gerai, tai lengva ir greitai.

2 pavyzdys.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, švarios dizaino ir atsako pavyzdys pamokos pabaigoje.

Pažymėtina, kad jūsų procesas negali sutapti su mano sprendimo sprendimu, \\ t ir tai yra "Gauss" metodo bruožas.. Bet dabar atsakymai turi būti lygūs vienam!

3 pavyzdys.

Išspręskite linijinių lygčių sistemą Gauss

Mes parašytume išplėstinę matricą sistemos ir su pradinių transformacijų mes suteikiame jai žingsnio tipo:

Pažvelgiame į kairįjį viršutinį "žingsnį". Čia turime turėti vienetą. Problema yra ta, kad pirmame stulpelyje nėra vienetų, todėl niekas neišspręstų eilučių permutimu. Tokiais atvejais reikia organizuoti naudojant pradinę transformaciją. Tai paprastai gali būti daroma keliais būdais. Aš tai padariau:
(1) Į pirmąją eilutę Pridėti antrą eilutę, padaugintą iš -1. Tai yra, psichiškai dauginama antroji eilutė -1 ir baigė pirmosios ir antrosios linijos pridėjimą, o mes nepakeisime antrosios eilutės.

Dabar kairėje esant "atėmus vieną" viršuje, kad jis yra gana tinkamas. Kas nori gauti +1, gali atlikti papildomą televiziją: Padauginkite pirmąją eilutę "-1" (pakeiskite ženklą iš jo).

(2) Antroji linija pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš 5 iki trečios linijos pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš 3.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš -1, iš esmės yra grožis. Trečioji linija taip pat pakeitė ženklą ir pertvarkė jį antroje vietoje, todėl antrajame žingsnyje turėjome norimą vienetą.

(4) į trečią eilutę pridėjo antrą eilutę, padauginta iš 2.

(5) Trečioji eilutė buvo suskirstyta į 3.

Blogas bruožas, rodantis skaičiavimų klaidą (rečiau apie spausdinimą) yra "bloga" apatinė linija. Tai yra, jei buvome apačioje, kažkas panašaus ir atitinkamai, , Su dideliu tikimybe, galima teigti, kad klaida atliekama pradinių transformacijų metu.

Mes imame grįžtamąjį žingsnį, atsižvelgiant į pavyzdžius dažnai perrašo pačios sistemos ir lygtis "Paimkite tiesiai iš nurodytos matricos". Grįžti, priminsiu jums, darbai, iš apačios į viršų. Taip, čia dovana pasirodė:

Atsakymas: .

4 pavyzdys.

Išspręskite linijinių lygčių sistemą Gauss

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, tai šiek tiek sudėtingiau. Nieko baisaus, jei kas nors yra supainioti. Pilnas sprendimas ir pavyzdinis dizainas pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo.

Paskutinėje dalyje apsvarstykite kai kurias GAUSS algoritmo bruožus.
Pirmasis bruožas yra tai, kad kartais nėra kintamųjų sistemos lygtys, pavyzdžiui:

Kaip įrašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie šį momentą aš jau kalbėjau pamokoje Cramer taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje matricoje trūkstamų kintamųjų svetainėje, mes įdėti nulius:

Beje, tai yra gana paprastas pavyzdys, nes pirmoje skiltyje jau yra vienas nulis, ir yra mažiau pradinių transformacijų.

Antrasis bruožas yra tai. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose mes įtraukėme -1 arba +1. Ar ten gali būti ir kitų numerių? Kai kuriais atvejais gali. Apsvarstykite sistemą: .

Čia kairiajame viršutiniame "žingsnyje" turime du. Bet mes pastebime tai, kad visi pirmojo stulpelio numeriai yra suskirstyti į 2 be liekanos - ir kita du kartus ir šeši. Ir Deuce liko viršuje bus tikimės mus! Pirmajame etape reikia atlikti šiuos transformacijas: pridėti pirmąją eilutę, padaugintą iš -1 į antrą eilutę; Į trečią eilutę, pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš -3. Taigi, mes gauname norimus nulio pirmame stulpelyje.

Arba kitas sąlyginis pavyzdys: . Čia trejetas antrajame "žingsnis" yra patenkintas su mumis, nes 12 (vieta, kur mes turime gauti nulį) yra padalintas iš 3 be pusiausvyros. Būtina atlikti tokią transformaciją: į trečią eilutę, pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš -4, dėl kurio bus gautas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Užtikriai išmokti išspręsti sistemas pagal kitus metodus (naudojant kraterį, matricos metodą), tai yra tiesiog pirmas kartas - yra labai standus algoritmas. Bet norint jaustis pasitikėti Gauss metodu, turėtumėte "užpildyti ranką" ir nutraukti bent 5-10 sistemų. Todėl galima supainioti, klaidų skaičiavimuose, ir nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Lietaus rudens oras už lango. Todėl visiems tiems, kurie nori sudėtingesnio pavyzdžio nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys.

Išspręskite keturių linijinių lygčių "Gauss" metodą su keturiais nežinomais.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, net arbatinukas, kuris išsamiai ištyrė šį puslapį, tokios sistemos sprendimo algoritmas yra intuityviai suprantamas. Iš esmės viskas yra tokia pati - tik daugiau veiksmų.

Atvejų, kai sistema neturi sprendimų (nenuoseklumo) arba turi begalinį daugybę sprendimų, laikomų pamokoje Paskambinti ir sistemos su bendru sprendimu. Čia taip pat galite konsoliduoti laikomą "Gauss" metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas Šis sprendimas: Mes parašytume išplėstą matricą sistemos ir su pradinių transformacijų pagal mes suteikiame jai žingsnį aukščiau.


Atlikta elementarių transformacijų:
(1) Antroji linija pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš -2. Į trečiąją liniją pridėta pirmoji eilutė, padauginta iš -1. DĖMESIO! Čia gali būti pagunda iš trečios eilutės atimti pirmąjį, aš labai nerekomenduojama atskaityti - klaidų rizika yra labai didėja. Tiesiog sulenkite!
(2) Antroji eilutė pakeitė žymenį (padauginta -1). Antra ir trečiosios eilutės pakeitė vietas. PastabaKad ant "žingsniai" yra patenkintas su mumis ne tik vieneto, bet ir -1, kuris yra dar patogesnis.
(3) į trečiąją liniją pridėjo antroji eilutė, padauginta iš 5.
(4) Antroji eilutė pakeitė žymenį (padauginta -1). Trečioji eilutė buvo suskirstyta į 14.

Grįžti:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas Šis sprendimas: Mes parašytume išplėstinę sistemos matricą ir su pradinių transformacijų pagalba mes jai suteikiame žingsnio tipui:

Atlikta konversija:
(1) Antroji eilutė buvo įtraukta į antrą. Taigi, norimas įrenginys yra organizuojamas kairiajame viršutiniame "žingsnyje".
(2) Antroji linija buvo įtraukta į pirmąją eilutę, padaugintą iš 7 iki trečiosios linijos pridėjo pirmoji linija, padauginta iš 6.

Su antrojo "žingsnio" yra blogesnis, "Kandidatai" ant jo - numeriai 17 ir 23, ir mums reikia vieno arba -1. Transformacija (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) į trečiąją liniją pridūrė antroji, padauginta iš -1.
(4) Antroji linija pridėjo trečią, padaugintą iš -3.
Gaunamas norimas dalykas antrajame etape .
(5) į trečiąją liniją pridūrė antroji, padauginta iš 6.

Per pamokas gauss metodas ir. \\ T Nebaigtos sistemos / sistemos su bendru sprendimumes apsvarstėme linijinių lygčių inhomogeninės sistemoskur laisvas Dick.(tai paprastai yra teisinga) mažiausiai vienas Iš lygčių buvo skiriasi nuo nulio.
Ir dabar po geros treniruotės su reitingas Matrica.Mes ir toliau šlifuojame įrangą elementarinės transformacijos. ant vienoda linijinių lygčių sistema.
Pasak pirmųjų pastraipų, medžiaga gali atrodyti nuobodu ir paprasta, tačiau šis įspūdis yra apgaulingas. Be to, toliau rengiant techninius metodus bus daug naujos informacijos, todėl pabandykite nepaisyti šio straipsnio pavyzdžių.

Linijinių lygčių sistemos

I. Problemos pareiškimas.

Ii. Vienodos vienodos ir nehomogeninės sistemos.

III. Sistema. \\ T t. Lygtys S. t. nežinoma. Cramer taisyklė.

IV. Matrix metodų sprendimo sistemos lygčių.

V. Gauss metodas.

I. Problemų pareiškimas.

Peržiūros lygčių sistema

vadinama sistema m. Linijinės lygtys S. n. Nežinoma
. Šios sistemos lygčių koeficientai įrašomi kaip matrica

vadinamas sistemos matrica (1).

Skaičiai, stovintys dešinėje lygčių formos dalims laisvo narių stulpelis {B.}:

.

Jei stulpelis ( B.}={0 ), tada yra vadinama lygčių sistema uniforma. Kitaip, kai ( B.}≠{0 ) - sistema nevienalytis.

Linijinių lygčių sistema (1) gali būti įrašyta į matricos formą

[A.]{x.}={B.}. (2)

Čia - nežinomų stulpelis.

Išspręskite lygčių sistemą (1) reiškia rasti derinį n. skaičiai. \\ T
taip, kad pakeisdami sistemą (1) vietoj nežinomos
kiekviena sistemos lygtis kreipiasi į tapatybę. Skaičiai. \\ T
Vadinami lygčių sistemos sprendimais.

Linijinių lygčių sistema gali turėti vieną sprendimą

,

gali būti daugybė sprendimų

arba neturite sprendimų

.

Sprendimų neturinčių lygčių sistemos yra vadinamos ne lovos. Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendimą, tai vadinama bendras. Lygčių sistema vadinama apibrėžta.Jei jis turi vienintelį sprendimą ir neaiškiJei yra daugybė sprendimų.

Ii. Vienodos vienodos ir nehomogeninės sistemos.

Iš linijinių lygčių sistemos būklė (1) yra suformuluota capera Capera teorema: Linijinių lygčių sistema turi bent vieną sprendimą ir tik tuo atveju, kai sistemos matricos rangas yra lygus išplėstinės matricos reitingai:
.

Išplėstinė sistemos matrica vadinama matrica, atsirandančia iš sistemos matricos, kurią jis priskiria į dešinę laisvų narių stulpelį:

.

Jei RG. A.A. *, tada lygčių sistema yra neišsami.

Vienodos linijinių lygčių sistemos pagal "Cappeli" teoremker yra visada kartu. Apsvarstykite vienodos sistemos, kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomo, tai yra t \u003d p.. Jei tokios sistemos matricos veiksnys nėra nulinis, t.y.
Homogeninė sistema turi vieną tirpalą, kuris yra trivialus (nulis). Vienodos sistemos turi daugybę sprendimų, jei yra linijiškai priklausomi tarp sistemos lygčių, t.y.
.

Pavyzdys. Apsvarstykite homogenišką trijų linijinių lygčių sistemą su trimis nežinomomis:

ir mes tiriame savo sprendimų klausimą. Kiekviena lygtis gali būti laikoma plokštumos lygtimi, einančia per koordinates kilmę ( D.=0 ). Lygčių sistema turi vieną sprendimą, kai visi trys lėktuvai susikerta vienu metu. Tuo pačiu metu jų normalūs vektoriai yra neskelbiami, todėl atliekama sąlyga

.

Tuo pačiu metu sistemos sprendimas x.=0, y.=0, z.=0 .

Jei bent du iš trijų lėktuvų, pavyzdžiui, pirmoji ir antra, lygiagrečiai, t.y. Sistemos matricos veiksnys yra nulis, o sistema turi daugybę sprendimų. Ir sprendimai bus koordinatės x., y., z. Visi taškai, esantys tiesiai

Jei visi trys lėktuvai sutampa, lygčių sistema bus sumažinta iki vienos lygties

,

ir sprendimas bus visų taškų, esančių šioje plokštumoje, koordinatės.

Tiriant nehomogenines linijinių lygčių sistemas, suderinamumo klausimas išsprendžiamas su Caperera Caperera teorem pagalba. Jei tokios sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomo skaičiaus, tada sistema turi vieną sprendimą, jei jo veiksnys nėra nulinis. Priešingu atveju sistema yra nesuderinama arba turi daugybę sprendimų.

Pavyzdys. Naršome nehomogeninę dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomais

.

Sistemos lygtys gali būti laikomos dviejų tiesioginių plokštumos lygtimis. Sistema yra neišsami, kai tiesi lygiagrečiai, t.y.
,
. Šiuo atveju sistemos matricos rangas yra 1:

Rg. A.=1 nes.
,

ir išplėstinės matricos rangas
lygus dviem, nes už tai antroji tvarka, kurioje yra trečiasis stulpelis, gali būti pasirinktas kaip pagrindinis nepilnametis.

Šiuo atveju RG A.A. * .

Jei tiesioginis sutapimas, t.y. Lygčių sistema turi daugybę sprendimų: taškų koordinatės tiesiai
. Šiuo atveju RG A.= Rg. A. * =1.

Sistema turi vieną sprendimą, kai jis nėra lygiagretus, t.y.
. Šios sistemos sprendimas yra tiesioginio tiesioginio sankirtos taško koordinatės

III. Sistema. \\ Tt. Lygtys S.t. nežinoma. Cramer taisyklė.

Apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomo, t. Y.. m.= n.. Jei sistemos matricos veiksnys skiriasi nuo nulio, sistemos tirpalas gali būti rastas pagal CRAMER taisykles:

(3)

Čia
- sistemos matricos veiksniai, \\ t

- matricos, gautos iš [ A.] Pakeisti i.Abu stulpelis laisvų narių stulpelyje:

.

Pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą pagal CRAMER metodą.

Sprendimas Šis sprendimas :

1) Sistemos veiksme nustatysime

2) Mes randame pagalbinius veiksnius

3) Mes surasime sistemos sprendimą pagal CRAMER taisyklę:

Sprendimo rezultatas gali būti tikrinamas pakeičiant lygčių sistemą.

Gaunami patikimi tapatybė.

IV. Matrix metodų sprendimo sistemos lygčių.

Parašykite linijinių lygčių sistemą matricos formoje (2)

[A.]{x.}={B.}

ir padauginkite dešinę ir kairiąją santykių dalį (2) į kairę nuo matricos [ A. -1 ], atvirkštinės sistemos matrica:

[A. -1 ][A.]{x.}=[A. -1 ]{B.}. (2)

Pagal grąžinimo matricos apibrėžimą [darbas [ A. -1 ][A.]=[E.] ir pagal vienos matricos savybes [ E.]{x.}={x.). Tada nuo santykio (2 ") mes gauname

{x.}=[A. -1 ]{B.}. (4)

Santykis (4) yra lyginant linijinių lygčių sistemos matricos metodą: būtina rasti matricą, atvirkštinę sistemos matricą ir padauginkite į jį kairėje vektoriaus stulpelyje.

Pavyzdys. Sprendžiant į ankstesniame pavyzdyje nagrinėjamų lygčių matricos metodą.

Sistemos matrica
Jos veiksnys. A.==183 .

Dešiniosios dalies stulpelis
.

Rasti matricą [ A. -1 ], suraskite prijungtą matricą [ A.]:

arba. \\ T

Skaičiuojant grąžinimo matricą formulėje
, Tada

Dabar galite rasti sprendimų sistemą

Tada pagaliau gaukite .

V. Gauss metodas.

Su daugeliu nežinomų sprendimų valdiklio ar matricos metodo lygčių sistemoje, jis yra susijęs su aukštos eilės veiksnių skaičiavimu arba didelių matricų apyvartiniu. Šios procedūros yra labai sunkiai net ir šiuolaikiniams kompiuteriams. Todėl išspręsti daugelio lygčių sistemas, Gauss metodas dažniau naudojamas.

"Gauss" metodas susideda iš nuoseklaus nežinomo išsiskyrimo pagal išplėstinės sistemos matricos elementarius transformacijas. Elementarinės matricos transformacijos apima styginių, sulankstomų styginių permutaciją, dauginimo eilutes vienam numeriams, išskyrus nulį. Dėl transformacijų sistemos matrica pašalinama į viršų trikampį, ant pagrindinio įstrižainės, iš kurių yra vienetų ir žemiau pagrindinio įstrižainės - nuliai. Tai yra tiesioginis "Gauss" metodo judėjimas. Priešingas metodo eiga yra tiesiogiai apibrėžti nežinoma, pradedant pastarajam.

Mes iliustruojame "Gauss" metodą dėl lygčių sistemos sprendimo pavyzdžio

Pirmajame žingsnyje tiesioginiai smūgiai siekia koeficiento
transformuota sistema tapo lygi 1 ir koeficientai
ir. \\ T
kreipėsi į nulį. Dėl to pirmoji lygtis padaugins 1/10 , antroji lygtis padauginti 10 ir nustatyti su pirmuoju, trečiąja lygtimi dauginti -10/2 ir nustatyti su pirmuoju. Po šių transformacijų mes gauname

Antrajame etape siekiame po transformacijų koeficiento
tapo lygi 1 ir koeficientas
. Tai padaryti, antroji lygtis yra suskirstyta į 42 ir trečioji lygtis padauginti -42/27 ir sulenkite su antra. Mes gauname lygčių sistemą

Trečiuoju etapu turėtų būti koeficientas
. Dėl to trečioji lygtis suskirstyta į (37 - 84/27) ; Gauti

Šiuo tiesioginiu "Gauss" metodo metu baigiasi, nes Sistemos matrica sumažinama iki viršutinio trikampio:

Grįžti, rasti nežinomą

Linijinių algebrinių lygčių sistemų (Slava) tirpalas neabejotinai yra svarbiausia linijinės algebros linijos tema. Didžiulis užduočių skaičius iš visų matematikos skyrių sumažinamas iki linijinių lygčių sistemų sprendimo. Šie veiksniai paaiškina šio straipsnio kūrimo priežastį. Straipsnio straipsnis yra pasirinktas ir struktūrizuotas taip, kad su juo galite

• pasirinkite optimalų būdą spręsti savo sistemą linijinių algebrinių lygčių,
• naršykite pasirinkto metodo teoriją,
• išspręskite savo linijinių lygčių sistemą, išsamiai išnagrinėjo būdingų pavyzdžių ir užduočių sprendimus.

Trumpas straipsnio medžiagos aprašymas.

Pirma, suteiksime visas būtinas apibrėžimus, sąvokas ir pristatyti žymėjimą.

Be to, mes laikome metodus sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo būdus, kuriuose lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir kurie turi vieną sprendimą. Pirma, mes sutelksime dėmesį į Cramer metodą, antra, mes parodysime matricos metodą tokių lygčių sistemų sprendimo būdą, trečia, analizuosime GAUS metodą (nuoseklaus nežinomų kintamųjų atskirties metodas). Siekiant užtikrinti teoriją, jis nebūtinai išspręs keletą lėtėjų įvairiais būdais.

Po to mes einame į išspręsti sistemas linijinių algebrinių lygčių bendros formos, kurioje lygčių skaičius nesutampa su nežinomų kintamųjų skaičių arba pagrindinės matricos sistemos skaičius yra degenerate. Mes suformuluoti Krocecker - Capelli teore, kuri leidžia jums sukurti Slavos suderinamumą. Mes analizuosime sistemų sprendimą (jų suderinamumo atveju) su pagrindinio Matricos nepilnamečio sąvoka. Mes taip pat apsvarstysime GAUS metodą ir išsamiai aprašyti pavyzdžių sprendimus.

Mes tikrai sutelksime dėmesį į bendrą homogeninių ir nehomogeninių linijinių algebrinių lygčių sistemų struktūrą. Mes suteikiame pagrindinės sprendimų sistemos sąvoką ir parodyti, kaip bendras sprendimas yra parašytas Slavai, naudojant pagrindinių sprendimų sistemos vektorius. Siekiant geresnio supratimo, analizėsime keletą pavyzdžių.

Apibendrinant, mes manome, kad lygčių, kurios sumažintos iki linijinės, taip pat įvairių užduočių, sprendžiant, kuris nuolydis įvyksta.

Naršymo puslapis.

Apibrėžimai, sąvokos, žymėjimas.

Mes apsvarstysime sistemas nuo P linijinių algebrinių lygčių su n nežinomų kintamųjų (P gali būti lygus N)

Nežinomi kintamieji - koeficientai (kai kurie galiojantys ar sudėtingi numeriai) - nemokami nariai (taip pat galioja arba sudėtingi numeriai).

Tokia parašyta forma vadinama koordinuoti.

Į matricos forma Įrašai Ši lygčių sistema turi formą
Kur - pagrindinė sistemos matrica, - nežinomų kintamųjų matricos stulpelis, - laisvųjų narių matricos kolonėlė.

Jei pridedate prie matricos ir pridėkite laisvo narių matricos stulpelį, tada mes gauname vadinamąjį išplėstinė matrica Linijinių lygčių sistemos. Paprastai išplėsta matrica žymi raide T, o laisvųjų narių kolonėlė yra atskirta vertikalia linija nuo likusių stulpelių, tai yra,

Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemą Skambinkite nežinomų kintamųjų verčių rinkinyje, pridedant visas tapatybės sistemos lygtis. Šių nežinomų kintamųjų matricos lygtis taip pat atkreipia dėmesį į tapatybę.

Jei lygčių sistema turi bent vieną sprendimą, tai vadinama bendras.

Jei sprendimų sistema neturi, tai vadinama be sustojimo.

Jei vienintelis sprendimas turi vieną sprendimą, tai vadinama apibrėžta.; Jei tirpalai yra daugiau nei vienas, tada - neaiški.

Jei laisvos visos sistemos lygtys yra nulinės Tada sistema vadinama uniforma, kitaip - nevienalytis.

Linijinių algebrinių lygčių elementarių sistemų sprendimas.

Jei sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir pagrindinės matricos veiksniai nėra nulinis, toks šlaitas bus vadinamas pradžioje. Tokios lygčių sistemos turi vieną sprendimą ir vienarūšės sistemos atveju, visi nežinomi kintamieji yra nuliniai.

Pradėjome mokytis tokios kaukolės. Kai jie buvo išspręsti, mes ėmėmės tam tikros lygties, išreiškėme vieną nežinomą kintamąjį per kitus ir pakeitė jį į likusias lygtis, po šios lygties, išreiškė šį nežinomą kintamąjį ir pakeistą į kitas lygtis ir pan. Arba naudojo papildymo būdą, tai yra dvi ar daugiau lygčių sulankstyti, kad neįtrauktų jokių nežinomų kintamųjų. Mes nesibaigsime išsamiai apie šiuos metodus, nes jie iš esmės yra "Gauss" metodo pakeitimai.

Pagrindiniai linijinių lygčių elementinių sistemų sprendimo būdai yra Cramer metodas, matricos metodas ir "Gauss" metodas. Mes juos analizuosime.

Linijinių lygčių sistemų sprendimas pagal CRAMER metodą.

Turėkime išspręsti linijinių algebrinių lygčių sistemą

Kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui ir pagrindinės sistemos matricos veiksnys skiriasi nuo nulio, tai yra.

Leiskite - pagrindinės sistemos matricos veiksnys ir - matricų, gautų iš pakeitimo, veiksniai 1, 2, ..., n-wow Stulpelis, atitinkamai, laisvų narių stulpelyje:

Su tokia žymėjimu, nežinomi kintamieji apskaičiuojami naudojant CRAMER metodo formules kaip . Taigi yra linijinių algebrinių lygčių sistema pagal CRAMER metodą.

Pavyzdys.

CRAMER metodas .

Sprendimas.

Pagrindinė sistemos matrica turi formą . Apskaičiuojame jo veiksnį (jei reikia, žr. Straipsnį):

Kadangi pagrindinės sistemos matricos veiksnys skiriasi nuo nulio, sistema turi vieną sprendimą, kurį galima rasti CRAMER metodu.

Mes sudarysime ir apskaičiuosime būtinus veiksnius (Mes gauname lemiamąjį, pakeisdami į matricos ir pirmojo stulpelio laisvų narių stulpelyje, lemiamas - pakeisti antrąjį stulpelį laisvų narių stulpelyje, - pakeičiant trečiąjį stulpelį matricos ir laisvų narių stulpelyje ):

Mes nerandame nežinomų kintamųjų formulių :

Atsakymas:

Pagrindinis "Cramer" metodo trūkumas (jei jis gali būti vadinamas nepalankioje padėtyje) yra veiksnių skaičiavimo sudėtingumas, kai sistemos lygčių skaičius yra daugiau nei trys.

Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sistemas pagal matricos metodą (naudojant atvirkštinę matricą).

Leiskite linijinių algebrinių lygčių sistemai nurodyti matricos formoje, kur matrica A turi dimensiją N ir jo veiksnys skiriasi nuo nulio.

Nuo to laiko matrica yra grįžtama, tai yra atvirkštinė matrica. Jei padauginate abi lygybės dalis į kairę, mes gauname formulę ieškant stulpelio stulpelio nežinomų kintamųjų. Taigi mes gavome linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą pagal matricos metodą.

Pavyzdys.

Nuspręskite linijinių lygčių sistemą Matricos metodas.

Sprendimas.

Aš perrašau lygčių sistemą matricos formoje:

Kaip

Kad nuolydis gali būti išspręstas pagal matricos metodą. Naudojant atvirkštinę matricą, šios sistemos sprendimą galima rasti kaip .

Mes statome atvirkštinę matricą naudodami matricos elementų algebrinius priedus (jei reikia, žr. Straipsnį):

Lieka apskaičiuoti - nežinomų kintamųjų matrica, grąžinimo matricos padauginimas Laisvųjų narių matricų stulpelyje (jei reikia, žr. Straipsnį):

Atsakymas:

Arba kitame įraše x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Pagrindinė problema sprendžiant linijinių algebrinių lygčių sprendimus, matricos metodas susideda iš atvirkštinės matricos sudėtingumo, ypač kvadratinių matricų pagal trečiąjį.

Sprendžiant linijinių lygčių sistemas Gauss metodu.

Leiskite mums rasti sistemos iš N linijinių lygčių su n nežinomų kintamųjų sprendimą
Pagrindinės matricos veiksnys skiriasi nuo nulio.

"Gauss" metodo esmė Jis susideda iš nežinomų kintamųjų išskyrimo: pirmiausia neįtraukia visų sistemos lygčių x 1, pradedant nuo antros, tada x 2 iš visų lygčių, pradedant nuo trečiųjų ir pan., Kol lieka tik nežinomas kintamasis xn Paskutinėje lygtyje. Toks konvertuojant sistemos lygtis nuosekliai atskirti nežinomų kintamųjų procesas yra vadinamas tiesioginis "Gauss" metodo veikimas. Po tiesioginio judėjimo Gauss metodas iš paskutinės lygties yra X N, su šios vertės pagalba pagal priešpaskutinę lygtį, X N-1 apskaičiuojamas, ir taip toliau, X1 apskaičiuojamas nuo pirmosios lygties. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas važiuojant nuo paskutinio sistemos lygties iki pirmojo yra vadinamas gAUSS metodo grąžinimas.

Trumpai apibūdinkite algoritmą, kad neįtrauktumėte nežinomų kintamųjų.

Mes manome, kad, nes mes visada galime pasiekti šią Permutaciją sistemos lygčių. Išskyrus nežinomą kintamojo x 1 iš visų lygčių sistemos, pradedant nuo antrojo. Norėdami tai padaryti, antroji sistemos lygybė bus pirmoji, padauginta iki trečios lygties, pridėti pirmąją, padaugintą iš, ir pan, į N-ą lygtį pridėti pirmąjį, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų bus formuojama

kur. .

Mes turėjome ateiti į tą patį rezultatą, jei X1 išreiškė X 1 per kitus nežinomus kintamuosius pirmojoje sistemos lygtyje ir gautą išraišką, pakeistą į visas kitas lygtis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo antros.

Be to, elgiamės taip pat, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri yra pažymėta paveiksle

Norėdami tai padaryti, pridedame antrąjį, padauginome į ketvirtąją lygtį į ketvirtą lygtį, antroji, padauginta iš N-ojo lygties, pridėti antrą, padaugintą iš. Lygčių sistema po tokių transformacijų bus formuojama

kur. . Taigi kintamasis x 2 neįtraukiamas į visas lygtis, pradedant nuo trečiojo.

Be to, pereikite prie nežinomo x 3 atskirties, tuo pačiu veikiant panašiai į paveiksle nurodytos sistemos dalį

Taigi mes tęsiame tiesioginį "Gauss" metodo judėjimą, kai sistema nevyksta

Nuo to momento pradedame atvirkštinį "Gauss" metodo ūdą: apskaičiuokite xn iš paskutinio lygties, kaip naudojant gautą Xn, mes randame x n-1 nuo priešpaskupo lygties ir pan., Rasime X 1 iš pirmųjų lygtis.

Pavyzdys.

Nuspręskite linijinių lygčių sistemą Gauss metodas.

Sprendimas.

Išleiskime nežinomą kintamąjį x 1 iš antrosios ir trečiosios sistemos lygties. Norėdami tai padaryti, pridedame atitinkamas pirmosios lygties dalis abiem antrosios ir trečiosios lygtims dalims, padauginome iš atitinkamai:

Dabar, nuo trečiosios lygties, neįtraukti x 2, pridedant į kairę ir dešinę dalių kairę ir dešinę antrosios lygybės dalys, padaugintos iš:

Ant šio, tiesioginis žingsnis Gauss metodas yra baigtas, mes pradedame priešingai.

Nuo paskutinės gautos lygčių sistemos lygybės, mes randame x 3:

Nuo antros lygties mes gauname.

Iš pirmosios lygties, mes randame likusį nežinomą kintamąjį ir tai baigia atvirkštinį judesį Gauss metodą.

Atsakymas:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Sprendžiant linijinių algebrinių lygčių bendrosios formos sistemas.

Bendru atveju, sistemos P lygtys nesutampa su nežinomų kintamųjų N:

Toks nuolydis negali turėti sprendimų, turi vieną sprendimą arba turėti daugybę sprendimų. Šis teiginys taip pat susijęs su lygčių sistemomis, kurios pagrindinė matrica yra kvadratinė ir degeneruota.

Kronkera - Capelli teorema.

Prieš surandant linijinių lygčių sistemos sprendimą, būtina nustatyti jo suderinamumą. Atsakymas į klausimą, kai slava yra kartu, ir kai neišsami, suteikia koncheker teorema - Capelli:
Norint, kad sistema nuo P Nežinoma (P gali būti lygi N), būtina ir pakankamai, kad pagrindinės sistemos matricos rangas buvo lygus išplėstinio matricos reitingui, tai yra, rangas ( A) \u003d rangas (t).

Apsvarstykite, pavyzdžiui, "Krakeker" - "Capelli" teorijos naudojimą, kad nustatytų linijinių lygčių sistemos kompiliaciją.

Pavyzdys.

Sužinokite, ar linijinių lygčių sistema turi sprendimai.

Sprendimas.

. Mes naudojame mažesnio triukšmo metodas. Maža antroji tvarka Skiriasi nuo nulio. Mes įveiksime trečiųjų užsakymų nepilnamečius nuo priešakyje:

Kadangi visi trečiųjų užsakymų pagrindiniai nepilnamečiai yra nulis, pagrindinės matricos rangas yra du.

Savo ruožtu, išplėstinės matricos rangas lygus trims, kaip nedidelė trečioji tvarka

Skiriasi nuo nulio.

Šiuo būdu, Rang (A) Todėl Krakecker teorem - Capelli, galima daryti išvadą, kad pradinė linijinių lygčių sistema yra neišsami.

Atsakymas:

Sprendimų sistema neturi.

Taigi, mes sužinojome, kaip nustatyti sistemos nesąžiningumą naudojant Klekeker - Capelli teoremą.

Bet kaip rasti Slavos sprendimą, jei jo suderinamumas yra įdiegtas?

Norėdami tai padaryti, mums reikia pagrindinės Matricos ir teoremo Matricos žiedo koncepcija.

Mažas iš aukščiausio lygio matricos A, skiriasi nuo nulio, vadinamas pagrindas. \\ T.

Iš pagrindinio nepilnamečio apibrėžimo matyti, kad jos pavedimas yra lygus matricos ribai. Nonero matrica, tačiau gali būti keletas pagrindinių mažesniųjų, visada yra vienas pagrindinis nepilnametis.

Pavyzdžiui, apsvarstykite matricą .

Visi šio matricos trečiojo įsakymo nepilnamečiai yra nulis, nes šio matricos trečiosios eilutės elementai yra atitinkamų pirmųjų ir antrųjų linijų elementų suma.

Pagrindiniai yra šie antrosios eilės nepilnamečiai, nes jie skiriasi nuo nulio

Minela. Pagrindiniai nėra, nes jie yra nuliniai.

Matricos rango teorema.

Jei užsakymo P N n žiedas yra lygus R, tada visi matricos styginių (ir stulpelių) elementai, kurie nesudaro pasirinktos bazės nepilnametis yra tiesiškai išreikštas per atitinkamus elementus styginių (ir stulpelių) formuojasi nepilnametis.

Kas suteikia mums teorijos matricos rangą?

Jei Krekonkerio teorijos - Capelli, mes nustatėme sistemos vienetus, mes pasirenkame bet kokį pagrindinį pagrindinę sistemos matricos dalį (jo pavedimas yra lygus R) ir išskirti iš sistemos visos lygtys, kurios nėra sudaro pasirinktą pagrindą. Taip gautas nuolydis bus lygiavertis originalui, nes išmestos lygtys vis dar yra nereikalingos (jie yra linijinis likusių lygčių derinys matricos rango teoremo kryptimi).

Kaip rezultatas, nutraukus perteklinių lygčių sistemos, du atvejai yra įmanoma.

Jei gautos sistemos lygčių skaičius yra lygus nežinomų kintamųjų skaičiui, tai bus tam tikras ir vienintelis sprendimas gali būti rastas CRAMER metodu, matricos metodu arba Gauss metodu.

Pavyzdys.

.

Sprendimas.

Reitingas Pagrindinė sistemos matrica lygus dviem, kaip antrosios eilės nepilnametis Skiriasi nuo nulio. Išplėstinės matricos rangas Taip pat lygus dviem, nes vienintelis trečiojo įsakymo nepilnametis yra nulis

Ir pirmiau minėtas pirmosios eilės nepilnametis skiriasi nuo nulio. Remiantis Krocecker - Capelli teore, galima patvirtinti pirminės linijinių lygčių sistemos pasidalijimą, nes reitingas (a) \u003d rangas (t) \u003d 2.

Kaip pagrindinė nepilnametis . Jis sudaro pirmosios ir antros lygčių koeficientus:


Trečioji sistemos lygtis nėra įtraukta į nesinaudojamą bazę, todėl mes jį pašalinsime iš sistemos, remiantis žiedo matrica "teorijos:


Taigi mes gavome pradinę linijinių algebrinių lygčių sistemą. Sprendžiant jį naudojant kraterį:


Atsakymas:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jei gauto nuolydžio lygčių skaičius yra mažesnis už nežinomų kintamųjų skaičius N, tada kairiajame lygčių dalims paliekame komponentus, kurie sudaro nedidelį pagrindą, likusi dalis sudedamųjų dalių yra perduodami į tinkamas dalis sistemos lygtis su priešingu ženklu.

Nežinomi kintamieji (jų r gabenimai) liko kairiosiose lygtyse yra vadinamos basic..

Nežinomi kintamieji (jų N - R gabenimai), kurie buvo dešinėje dalyse, yra vadinamos laisvas.

Dabar mes manome, kad nemokami nežinomi kintamieji gali padaryti savavališkus vertybes, o "R pagrindiniai nežinomi kintamieji bus išreikšti per nemokamus nežinomus kintamuosius vieninteliu būdu. Jų išraiška gali būti rasta išspręsta gautą mėginį pagal disko metodą, matricos metodą ar metodą Gauss.

Mes analizuosime pavyzdį.

Pavyzdys.

Nuspręskite linijinių algebrinių lygčių sistemą .

Sprendimas.

Rasime pagrindinės sistemos matricos rangą Triukšmingų nepilnamečių metodas. Kaip nepilnametis iš pirmos eilės, paimkite 1 1 \u003d 1. Pradėkime ieškoti antrosios eilės ne nulinio nepilnamečio, kuris sumažina šį nedidelį:


Taigi mes radome nesąmonę mažą antrąją tvarką. Pradėkime ieškoti Nonero, besiribojančios su trečiuoju užsakymu:


Taigi pagrindinės matricos rangas yra trys. Išplėstinės matricos rangas taip pat yra lygus trims, tai yra, sistema yra suderinta.

Įkurta, kad trečios eilės nepilnametis yra pagrindinis.

Siekiant aiškumo, parodome elementus, kurie sudaro nedidelį pagrindą:


Mes paliekame sistemos komponentus kairėje pusėje esančių žemesnių lygčių dalis, likusi dalis perduodama su priešingais ženklais į tinkamas dalis:


Suteikti nemokamus nežinomus kintamuosius x 2 ir x 5 savavalies reikšmes, ty mes imsimės kur - savavališki skaičiai. Tuo pačiu metu, nuolydis imsis


Gauta linijinės algebrinių lygčių pagrindinė sistema sprendžiant valdymo sistemą:


Taigi,.

Atsakydamas, nepamirškite nurodyti nemokamų nežinomų kintamųjų.

Atsakymas:

Kur - savavališki skaičiai.

Apibendrinkite.

Norėdami išspręsti linijinių algebrinių lygčių sistemą bendros rūšies, mes pirmą kartą išsiaiškinti savo suderinamumą naudojant Konpeker teorem - Capelli. Jei pagrindinės matricos rangas nėra lygus išplėstinės matricos reitingai, tada baigiame sistemos nesąžiningumą.

Jei pagrindinės matricos rangas yra lygus išplėstos matricos reitingui, tada mes pasirenkame nepilnamečio bazę ir išmeskite sistemos lygtį, kuri nedalyvauja pasirinktos bazės nesinaudojant.

Jei pagrindo nepilnamečio tvarka yra lygi nežinomų kintamųjų skaičiui, tada Slava turi vieną sprendimą, kuriame mes randame mums žinomą metodą.

Jei pagrindo nepilnamečio tvarka yra mažesnė už nežinomų kintamųjų skaičių, tada kairėje sistemos lygčių dalyje palikome komponentus su pagrindiniais nežinomais kintamaisiais, likę komponentai perduodami į tinkamas dalis ir suteikti nemokamus nežinomus kintamuosius savavališkos vertybės. Nuo gautos linijinių lygčių sistemos, gamintojo pagrindiniai nežinomi kintamieji, matricos metodas arba Gauss metodas.

"Gauss" metodas linijinių algebrinių lygčių sistemoms sprendžiant.

"Gauss" metodas gali išspręsti bet kokio tipo linijinių algebrinių lygčių sistemą be jų tyrimų vienetų. Nuoseklios nežinomų kintamųjų neįtraukimo procesas leidžia užbaigti tiek Slavos suderinamumą, tiek neišsamumą, o tirpalo egzistavimo atveju leidžia jį rasti.

Skaičiavimo operacijos požiūriu pirmenybė teikiama Gauss metodas.

Žiūrėkite savo išsamų aprašymą ir išmontuoti pavyzdžius Gauss metodu, sprendžiant linijinių algebrinių lygčių bendrosios formos sistemas.

Įrašykite bendrą vienarūšių ir nehomogeninių linijinių algebrinių sistemų sprendimą naudojant pagrindinių sprendimų sistemos vektorius.

Šiame skyriuje aptarsime bendrų vienarūšių ir nehomogenines sistemas linijinių algebrinių lygčių, turinčių begalinių rinkinių sprendimus.

Pirmiausia suprasime su homogeninėmis sistemomis.

Pagrindinės sistemos sprendimai Homogeninė sistema nuo P linijinių algebrinių lygčių su n nežinomų kintamųjų yra vadinamas rinkinys (N - R) tiesiškai nepriklausomi šios sistemos sprendimai, kur R yra pagrindinės sistemos pagrindinės matricos tvarka.

Jei paskirsite tiesiškai nepriklausomus homogeninio nuolydžio tirpalus kaip X (1), X (2), ..., X (NR) (X (1), x (2), ..., X (NR) - tai Ar matmenų stulpelių matricos N IY 1), bendras šios homogeniškos sistemos sprendimas pateikiamas linijinio pagrindinės sistemos su savavališkų pastovių koeficientų sistemos deriniu su 1, C2, ..., C (nr), tai yra.

Kas reiškia terminą bendrą vienarūšės linijinių algebrinių lygčių sistemos (orostal) sistemos sprendimą?

Reikšmė yra paprasta: formulė nustato visus galimus sprendimus originaliam slavai, kitaip tariant, atsižvelgiant į bet kokius savavališkų konstantų C1, C2, ..., C (NR) rinkinį pagal formulę, Mes gauname vieną iš pradinio homogeninio nuolydžio sprendimų.

Taigi, jei radome pagrindinę sprendimų sistemą, galėsime paklausti visų šio homogeniško nuolydžio sprendimų.

Parodykime fundamentinio sprendimo sistemos kūrimo procesą su homogeniniu šlaitu.

Mes pasirenkame pagrindinį nedidelį linijinių lygčių sistemą, mes išskiriame visas kitas sistemos lygtis ir perduodame į tinkamas sistemos lygčių dalis su priešingais ženklais, visais terminais, kuriuose yra nemokamų nežinomų kintamųjų. Leiskite mums suteikti nemokamą nežinomą vertę 1,0,0, ..., 0 ir apskaičiuoti pagrindinį nežinomą, sprendžiant gautą pradinę linijinių lygčių sistemą bet kokiu būdu, pavyzdžiui, disko metodu. Taigi X (1) bus gautas - pirmasis pagrindinės sistemos sprendimas. Jei suteikiate nemokamą nežinomą vertę 0,1,0,0, ... 0 ir apskaičiuokite pagrindinį nežinomą, tada gauname X (2). Ir tt Jei nemokami nežinomi kintamieji suteikia 0,0, ..., 0,1 ir apskaičiuoti pagrindinį nežinomą, tada gauname X (N-R). Tai bus pastatyta pagrindinė sistema sprendimų homogeninio nuolydžio ir jo bendras sprendimas gali būti užregistruotas.

Dėl nelinijinių linijinių algebrinių lygčių sistemų, bendras sprendimas yra atstovaujamas formoje, kur yra bendras atitinkamos homogeninės sistemos sprendimas, ir privatus pirminio inhomogeninio nuolydžio sprendimas, kuriame mes gauname nemokamą nežinomą 0,0 vertę, ..., 0 ir apskaičiuoti pagrindinių nežinomų verčių.

Mes analizuosime pavyzdžius.

Pavyzdys.

Raskite pagrindinių sprendimų sistemą ir bendrą vienarūšio linijinių algebrinių lygčių sistemos sprendimą. .

Sprendimas.

Iš pagrindinės matricos homogeninių sistemų linijinių lygčių rangas visada yra lygus išplėstinės matricos rangui. Mes randame pagrindinės matricos rangą su šurmuliuojančių nepilnamečių metodu. Kaip nepilnametis yra nepilnametis iš pirmos eilės, imtis elemento 1 1 \u003d 9 pagrindinės matricos sistemos. Mes surasime ribojamą nesinaudojančią mažąją eilutę:

Nedidelis antrosios eilės, skiriasi nuo nulio, rasta. Mes įveiksime trečiosios eilės maisto produktus ieškant nulio:

Visi trečiųjų eilių fokusavimo nepilnamečiai yra nulis, todėl pagrindinės ir išplėstinės matricos yra du. Mes priimame pagrindinį nepilnametį. Atkreipiame dėmesį į aiškumo sistemos elementus, kurie yra:

Trečioji originalo nuolydžio lygtis nedalyvauja pagrindinio nepilnamečio formavime, todėl jis gali būti atmestas:

Mes paliekame suderinimus, kuriuose yra pagrindinių nežinomų lygčių dalyse, ir mes atliekame sąlygas su nemokamais nežinomais į dešinę:

Mes statome esminę pradinės homogeniškos linijinių lygčių sistemos sprendimų sistemą. Pagrindinė šio nuolydžio sprendimų sistema susideda iš dviejų sprendimų, nes pradiniame nuolydžiu yra keturi nežinomi kintamieji, o jos pagrindinės miniena yra du. Norėdami rasti X (1), leiskite mums suteikti nemokamą nežinomą kintamą vertę x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, tada pagrindinis nežinomas rasti iš lygčių sistemos
.