Apdaila. Armatūra. Remontas. Montavimas. Pasirinkimas. Diafragma
“, Tai yra, pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje analizuosime kas vadinama kvadratine lygtimi ir kaip tai išspręsti.
Tai, kas vadinama kvadratine lygtimi
Svarbu!
Lygties laipsnis nustatomas pagal didžiausią laipsnį, kuriame yra nežinomasis.
Jei didžiausia galia, kurioje yra nežinomasis, yra "2", tada turite kvadratinę lygtį.
Kvadratinių lygčių pavyzdžiai
- 5x 2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 - 8 = 0
Svarbu! Bendras kvadratinės lygties vaizdas atrodo taip:
A x 2 + b x + c = 0
„A“, „b“ ir „c“ yra pateikti skaičiai.- „A“ – pirmasis arba reikšmingiausias koeficientas;
- „B“ yra antrasis koeficientas;
- "C" yra nemokama narys.
Norėdami rasti „a“, „b“ ir „c“, turite palyginti savo lygtį su bendrąja kvadratinės lygties „ax 2 + bx + c = 0“ forma.
Pabandykime apibrėžti koeficientus „a“, „b“ ir „c“ kvadratinėse lygtyse.
| Lygtis | Šansai | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = –8
Kaip išspręsti kvadratines lygtis
Skirtingai nuo tiesinių lygčių, kvadratinėms lygtims išspręsti specialus šaknų paieškos formulė.
Prisiminti!
Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, jums reikia:
- perkelkite kvadratinę lygtį į bendrą formą "ax 2 + bx + c = 0". Tai yra, tik „0“ turėtų likti dešinėje pusėje;
- naudokite formulę šaknims:
Paimkime pavyzdį, kaip naudoti formulę kvadratinės lygties šaknims rasti. Išspręskime kvadratinę lygtį.
X 2 - 3x - 4 = 0
Lygtis „x 2 – 3x – 4 = 0“ jau redukuota iki bendros formos „ax 2 + bx + c = 0“ ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami tai išspręsti, tereikia kreiptis kvadratinės lygties šaknų radimo formulė.
Apibrėžkime šios lygties koeficientus „a“, „b“ ir „c“.
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
Su jo pagalba išsprendžiama bet kokia kvadratinė lygtis.
Formulėje "x 1; 2 =" radikali išraiška dažnai pakeičiama
„B 2 – 4ac“ su raide „D“ ir vadinamas diskriminantu. Diskriminanto sąvoka plačiau aptariama pamokoje „Kas yra diskriminantas“.
Apsvarstykite kitą kvadratinės lygties pavyzdį.
x 2 + 9 + x = 7x
Šioje formoje gana sunku nustatyti koeficientus „a“, „b“ ir „c“. Pirmiausia perkelkime lygtį į bendrą formą „ax 2 + bx + c = 0“.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
Dabar galite naudoti šaknies formulę.
X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Atsakymas: x = 3
Būna atvejų, kai kvadratinėse lygtyse nėra šaknų. Ši situacija atsiranda, kai formulėje po šaknimi randamas neigiamas skaičius.
Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie yra „labai lygūs...“)
Kvadratinių lygčių tipai
Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtis gali (arba negali būti!) Tiesiog x (pirmoje laipsnyje) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti x laipsniu didesniu nei du.
Matematiškai kalbant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis:
čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet a- nieko kito nei nulis. Pavyzdžiui:
čia a =1; b = 3; c = -4
čia a =2; b = -0,5; c = 2,2
čia a =-3; b = 6; c = -18
Na, supratai mintį...
Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. X kvadratas su koeficientu a, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b ir laisvas terminas su.
Tokios kvadratinės lygtys vadinamos pilnas.
Kas, jeigu b= 0, ką mes gauname? Mes turime X išnyks pirmame laipsnyje. Tai atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:
5x2 -25 = 0,
2x 2 -6x = 0,
-x 2 + 4x = 0
ir kt. Ir jei abu koeficientai, b ir c yra lygūs nuliui, tada viskas dar paprasčiau:
2x 2 = 0,
-0,3x2 = 0
Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.
Beje, kodėl a negali būti nulis? Ir tu pakeisi a nulis.) X aikštėje nuo mūsų dings! Lygtis tampa tiesinė. O nusprendžiama visai kitaip...
Tai yra visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.
Kvadratinių lygčių sprendimas.
Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas.
Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aiškias, paprastas taisykles. Pirmajame etape reikia duotą lygtį paversti standartine forma, t.y. Žiūrėti:
Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, a, b ir c.
Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:
Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis... Bet apie jį – žemiau. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:
a =1; b = 3; c= -4. Taigi užrašome:
Pavyzdys praktiškai išspręstas:
Tai yra atsakymas.
Viskas labai paprasta. Ir kuo, jūsų nuomone, neįmanoma suklysti? Na taip, kaip...
Dažniausios klaidos yra supainiojimas su reikšmės ženklais. a, b ir c... Greičiau ne su jų ženklais (kur susipainioti?), Bet su neigiamų verčių pakeitimu šaknų skaičiavimo formulėje. Čia išsaugomas išsamus formulės žymėjimas konkrečiais skaičiais. Jei kyla skaičiavimo problemų, daryk taip!
Tarkime, kad jums reikia išspręsti šį pavyzdį:
čia a = -6; b = -5; c = -1
Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.
Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės... Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:
Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet taip tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai išsispręs savaime. Ypač jei naudojate toliau aprašytus praktinius metodus. Šį blogą pavyzdį su daugybe trūkumų galima išspręsti lengvai ir be klaidų!
Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:
Ar sužinojai?) Taip! tai nepilnos kvadratinės lygtys.
Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.
Jas taip pat galima išspręsti naudojant bendrą formulę. Jums tereikia teisingai išsiaiškinti, kam jie lygūs a, b ir c.
Ar išsiaiškinote? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to formulėje pakeiskite nulį c, ir mums pasiseks. Tas pats yra su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime su, a b !
Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokių formulių. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką tu gali padaryti ten kairėje pusėje? Galite įrašyti x iš skliaustų! Išimkime.
Ir kas iš to? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netikite manimi? Na, tada pagalvokite apie du ne nulines skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Viskas ...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.
Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei naudojant bendrą formulę. Beje, pažymėsiu, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Patogu užsirašyti eilės tvarka, x 1- kas yra mažiau, ir x 2- kas daugiau.
Antrąją lygtį taip pat galima išspręsti paprastai. Perkelkite 9 į dešinę pusę. Mes gauname:
Belieka iš 9 ištraukti šaknį, ir viskas. Tai paaiškės:
Taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.
Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba įdėdami x skliausteliuose, arba tiesiog perkeldami skaičių į dešinę ir ištraukdami šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš x, kas kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko dėti iš skliaustų ...
Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.
Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsti per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti nešvarių diskriminanto triukų! Juo paprasta ir be problemų naudoti.) Prisimenu bendriausią sprendimo formulę bet koks kvadratinės lygtys:
Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Dažniausiai diskriminantas žymimas raide D... Diskriminacinė formulė:
D = b 2 - 4ac
Ir kuo ši išraiška tokio nuostabaus? Kodėl jis nusipelnė ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai neįvardija... Raidės ir raidės.
Štai toks dalykas. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.
1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad galite iš jo išgauti šaknį. Gera šaknis išgaunama, ar bloga – kitas klausimas. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.
2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada jūs turite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas-atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, o du vienodi... Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.
3. Diskriminantas yra neigiamas. Iš neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis neimama. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.
Sąžiningai, sprendžiant paprastą kvadratinių lygčių sprendimą, diskriminanto sąvoka nėra ypač reikalinga. Mes pakeičiame koeficientų reikšmes į formulę, bet skaičiuojame. Viskas išeina savaime, ir yra dvi šaknys, ir viena, ir ne viena. Tačiau sprendžiant sudėtingesnes užduotis, be žinių reikšmė ir diskriminacinės formulės nepakankamai. Ypač – lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidymas valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino metu!)
Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmokote, o tai taip pat gerai.) Žinote, kaip teisingai identifikuoti a, b ir c... Tu žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos šaknies formulėje ir dėmesingai perskaitykite rezultatą. Jūs suprantate, kad čia yra pagrindinis žodis dėmesingai?
Kol kas atkreipkite dėmesį į geriausią praktiką, kuri drastiškai sumažins klaidų skaičių. Pačios dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžia...
Pirmas priėmimas
... Prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, nepatingėkite ją paversti standartine forma. Ką tai reiškia?
Tarkime, po kai kurių transformacijų gavote tokią lygtį:
Neskubėkite rašyti šaknies formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus. a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, X yra kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvas terminas. Kaip šitas:
Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x aikštėje gali nuliūdinti. Tai lengva pamiršti... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turite padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:
Bet dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Pasidaryk pats. Turėtumėte turėti šaknis 2 ir -1.
Priėmimas antras. Patikrinkite šaknis! Pagal Vietos teoremą. Neišsigąskite, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, pagal kurią užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, patikrinti šaknis lengva. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą narį, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! Laisvas narys su mano ženklu ... Jei nepavyko, vadinasi, jau kažkur užsuko. Ieškokite klaidos.
Jei tai pavyksta, reikia sulankstyti šaknis. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtumėte gauti koeficientą b su priešingas
pažįstamas. Mūsų atveju -1 + 2 = +1. Ir koeficientas b kuri yra prieš tai, kai x yra -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau tokiose lygtyse patikrinkite! Bus mažiau klaidų.
Trečias priėmimas ... Jei jūsų lygtyje yra trupmeninių koeficientų, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje „Kaip išspręsti lygtis? Identiškos transformacijos“. Dirbant su trupmenomis dėl tam tikrų priežasčių dažniausiai pasitaiko klaidų...
Beje, pažadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Prašau! Štai jis.
Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:
Tai viskas! Smagu apsispręsti!
Taigi, apibendrinant temą.
Praktinis patarimas:
1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.
2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.
3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.
4. Jei x kvadratas yra grynas, koeficientas prie jo lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti Vietos teorema. Daryk!
Dabar galite nuspręsti.)
Išspręskite lygtis:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)
Atsakymai (netvarkingai):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x – bet koks skaičius
x 1 = -3
x 2 = 3
jokių sprendimų
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Ar viskas dera kartu? gerai! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys veikė, o kiti ne? Tada problema yra ne su kvadratinėmis lygtimis. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pasivaikščiokite nuorodoje, tai naudinga.
Nelabai sekasi? O gal visai neveikia? Tada jums padės skyrius 555. Ten visi šie pavyzdžiai yra suskirstyti į gabalus. Parodyta Pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, čia pasakojama ir apie identiškų transformacijų panaudojimą sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Momentinis patvirtinimo testas. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Naudodami šią matematikos programą galite išspręsti kvadratinę lygtį.
Programa ne tik atsako į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą dviem būdais:
- naudojant diskriminantą
- naudojant Vietos teoremą (jei įmanoma).
Be to, atsakymas rodomas tikslus, o ne apytikslis.
Pavyzdžiui, lygties \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) atsakymas rodomas tokia forma:
Ši programa gali būti naudinga vyresniųjų klasių mokiniams ruošiantis įskaitoms ir egzaminams, tikrinant žinias prieš egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite kuo greičiau atlikti matematikos ar algebros namų darbus? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiu sprendimu.
Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ir seserų mokymą, o išsilavinimo lygis sprendžiamų problemų srityje pakyla.
Jei nesate susipažinę su kvadratinio daugianario įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.
Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali būti naudojama kaip kintamasis.
Pavyzdžiui: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai.
Be to, trupmeninius skaičius galima įvesti ne tik kablelio, bet ir paprastosios trupmenos pavidalu.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis nuo visumos gali būti atskirta tašku arba kableliu.
Pavyzdžiui, dešimtaines trupmenas galite įvesti taip: 2,5x - 3,5x ^ 2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.
Tik sveikasis skaičius gali būti naudojamas kaip skaitiklis, vardiklis ir visa trupmenos dalis.
Vardiklis negali būti neigiamas.
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: /
Visa dalis nuo trupmenos atskiriama ampersandu: &
Įvestis: 3 ir 1/3 - 5 ir 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Rezultatas: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Įvedant išraišką galima naudoti skliaustus... Šiuo atveju, sprendžiant kvadratinę lygtį, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.
Pavyzdžiui: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)
Nuspręsk
Nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt įjungėte „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.
Nes Yra daug žmonių, kurie nori išspręsti problemą, jūsų prašymas yra eilėje.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palauk prašau sek...
Jei tu sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu nuspręsi ir ką įveskite laukelius.
Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:
Šiek tiek teorijos.
Kvadratinė lygtis ir jos šaknys. Nebaigtos kvadratinės lygtys
Kiekviena iš lygčių
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
turi formą
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
kur x yra kintamasis, a, b ir c yra skaičiai.
Pirmoje lygtyje a = -1, b = 6 ir c = 1,4, antrojoje a = 8, b = -7 ir c = 0, trečiojoje a = 1, b = 0 ir c = 4/9. Tokios lygtys vadinamos kvadratines lygtis.
Apibrėžimas.
Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur x yra kintamasis, a, b ir c yra kai kurie skaičiai ir \ (a \ neq 0 \).
Skaičiai a, b ir c yra kvadratinės lygties koeficientai. Skaičius a vadinamas pirmuoju koeficientu, skaičius b – antruoju koeficientu, o skaičius c – laisvuoju terminu.
Kiekvienoje iš ax 2 + bx + c = 0 formos lygčių, kur \ (a \ neq 0 \), didžiausia kintamojo x galia yra kvadratas. Iš čia ir kilo pavadinimas: kvadratinė lygtis.
Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinė lygtis taip pat vadinama antrojo laipsnio lygtimi, nes jos kairioji pusė yra antrojo laipsnio daugianario.
Vadinama kvadratinė lygtis, kurioje koeficientas ties x 2 yra 1 redukuota kvadratinė lygtis... Pavyzdžiui, sumažintos kvadratinės lygtys yra lygtys
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Jei kvadratinėje lygtyje ax 2 + bx + c = 0 bent vienas iš koeficientų b arba c yra lygus nuliui, tai tokia lygtis vadinama nepilna kvadratinė lygtis... Taigi, lygtys -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 yra nepilnos kvadratinės lygtys. Pirmajame iš jų b = 0, antrajame c = 0, trečiame b = 0 ir c = 0.
Neišsamios kvadratinės lygtys yra trijų tipų:
1) ax 2 + c = 0, kur \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, kur \ (b \ neq 0 \);
3) kirvis 2 = 0.
Panagrinėkime kiekvieno iš šių tipų lygčių sprendimą.
Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + c = 0 \ (c \ neq 0 \), perkelkite jos laisvąjį narį į dešinę pusę ir padalykite abi lygties puses iš a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ rodyklė dešinėn x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
Kadangi \ (c \ neq 0 \), tada \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Jei \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), tada lygtis turi dvi šaknis.
Jei \ (- \ frac (c) (a) Norėdami išspręsti nepilną kvadratinę lygtį, kurios formos ax 2 + bx = 0 su \ (b \ neq 0 \) koeficientu, padidinkite jos kairiąją pusę ir gaukite lygtį
\ (x (ax + b) = 0 \ rodyklė dešinėn \ kairė \ (\ pradžia (masyvas) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \ Rodyklė dešinėn \ kairė \ (\ pradžia (masyvas) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \)
Tai reiškia, kad nepilna kvadratinė lygtis, kurios formos ax 2 + bx = 0 \ (b \ neq 0 \), visada turi dvi šaknis.
Nebaigta kvadratinė lygtis, kurios forma yra ax 2 = 0, yra lygiavertė lygčiai x 2 = 0, todėl turi unikalią šaknį 0.
Kvadratinės lygties šaknų formulė
Dabar panagrinėkime, kaip sprendžiamos kvadratinės lygtys, kuriose ir nežinomųjų koeficientai, ir laisvasis narys yra nulis.
Išspręskime kvadratinę lygtį bendra forma ir gausime šaknų formulę. Tada šią formulę galima pritaikyti bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.
Išspręskite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0
Abi jo dalis padalijus iš a, gauname ekvivalentinę sumažintą kvadratinę lygtį
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Šią lygtį transformuojame pasirinkdami dvinario kvadratą:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ rodyklė dešinėn \)
Radikali išraiška vadinama kvadratinės lygties diskriminantas ax 2 + bx + c = 0 (lot. „diskriminantas“ yra diskriminatorius). Jis žymimas raide D, t.y.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Dabar, naudodami diskriminanto žymėjimą, perrašome kvadratinės lygties šaknų formulę:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), kur \ (D = b ^ 2-4ac \)
Akivaizdu, kad:
1) Jei D> 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.
2) Jei D = 0, tai kvadratinė lygtis turi vieną šaknį \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Jei D Taigi, priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis gali turėti dvi šaknis (kai D> 0), vieną šaknį (kai D = 0) arba neturėti šaknų (kai D Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant š. formulę, patartina elgtis taip:
1) apskaičiuokite diskriminantą ir palyginkite jį su nuliu;
2) jei diskriminantas yra teigiamas arba lygus nuliui, tada naudokite šaknies formulę, jei diskriminantas yra neigiamas, tada užrašykite, kad šaknų nėra.
Vietos teorema
Duota kvadratinė lygtis ax 2 -7x + 10 = 0 turi šaknis 2 ir 5. Šaknų suma yra 7, o sandauga yra 10. Matome, kad šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingumu. ženklas, o šaknų sandauga lygi laisvajam terminui. Bet kuri kvadratinė lygtis su šaknimis turi šią savybę.
Duotos kvadratinės lygties šaknų suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu, o šaknų sandauga lygi laisvajam nariui.
Tie. Vietos teorema teigia, kad sumažintos kvadratinės lygties x 2 + px + q = 0 šaknys x 1 ir x 2 turi savybę:
\ (\ left \ (\ pradžia (masyvas) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ pabaiga (masyvas) \ dešinė. \)
Kvadratinės lygties uždaviniai nagrinėjami mokyklos programoje ir universitetuose. Jos suprantamos kaip a * x ^ 2 + b * x + c = 0 formos lygtys, kur x - kintamasis, a, b, c - konstantos; a<>0. Užduotis – rasti lygties šaknis.
Kvadratinės lygties geometrinė reikšmė
Funkcijos, pavaizduotos kvadratine lygtimi, grafikas yra parabolė. Kvadratinės lygties sprendiniai (šaknys) yra parabolės susikirtimo su abscise (x) taškai. Iš to išplaukia, kad galimi trys atvejai:
1) parabolė neturi susikirtimo su abscisių ašimi taškų. Tai reiškia, kad jis yra viršutinėje plokštumoje su šakomis aukštyn arba žemiau su šakomis žemyn. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis neturi realių šaknų (ji turi dvi sudėtingas šaknis).
2) parabolė turi vieną susikirtimo tašką su Ox ašimi. Toks taškas vadinamas parabolės viršūne, o kvadratinė lygtis jame įgyja mažiausią arba didžiausią reikšmę. Šiuo atveju kvadratinė lygtis turi vieną tikrąją šaknį (arba dvi identiškas šaknis).
3) Paskutinis atvejis praktikoje įdomesnis – yra du parabolės susikirtimo su abscisių ašimi taškai. Tai reiškia, kad yra dvi tikrosios lygties šaknys.
Remiantis kintamųjų laipsnių koeficientų analize, galima padaryti įdomių išvadų apie parabolės išdėstymą.
1) Jei koeficientas a didesnis už nulį, tai parabolė nukreipta aukštyn, jei neigiama, parabolės šakos nukreiptos žemyn.
2) Jei koeficientas b didesnis už nulį, tai parabolės viršūnė yra kairėje pusplokštumoje, jei ji įgauna neigiamą reikšmę, tada dešinėje.
Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvedimas
Perkelkite konstantą iš kvadratinės lygties 
lygybės ženklui gauname išraišką
Abi puses padauginkite iš 4a 
Norėdami gauti visą kvadratą kairėje, pridėkite b ^ 2 abiejose dalyse ir atlikite transformaciją
Iš čia randame
Kvadratinės lygties diskriminanto ir šaknų formulė
Diskriminantas vadinamas radikalios išraiškos reikšme Jei ji teigiama, tai lygtis turi dvi realias šaknis, apskaičiuojamas pagal formulę 
Kai diskriminantas lygus nuliui, kvadratinė lygtis turi vieną sprendinį (dvi sutampančios šaknys), kurį galima lengvai gauti iš aukščiau pateiktos formulės, kai D = 0. Kai diskriminantas yra neigiamas, lygtis neturi realių šaknų. Tačiau randami kvadratinės lygties sprendiniai kompleksinėje plokštumoje, o jų reikšmė apskaičiuojama pagal formulę 
Vietos teorema
Apsvarstykite dvi kvadratinės lygties šaknis ir jų pagrindu sukurkite kvadratinę lygtį Vietos teorema nesunkiai išplaukia iš žymėjimo: jei turime formos kvadratinę lygtį 
tada jos šaknų suma lygi koeficientui p, paimtam su priešingu ženklu, o lygties šaknų sandauga lygi laisvajam nariui q. Formalus aukščiau paminėtų dalykų žymėjimas atrodys taip: Jei klasikinėje lygtyje konstanta a yra ne nulis, tuomet reikia iš jos padalyti visą lygtį ir taikyti Vietos teoremą.
Suplanuokite kvadratinę faktorių lygtį
Iškelkime problemą: suskaidykite kvadratinę lygtį. Norėdami tai atlikti, pirmiausia išsprendžiame lygtį (surandame šaknis). Toliau rastąsias šaknis pakeisime kvadratinės lygties išplėtimo formule.Tai išspręs problemą.
Kvadratinės lygties uždaviniai
1 tikslas. Raskite kvadratinės lygties šaknis
x ^ 2–26 x + 120 = 0.
Sprendimas: Užrašome koeficientus ir pakeičiame juos diskriminacinėje formulėje
Šios reikšmės šaknis yra 14, ją lengva rasti skaičiuotuvu arba prisiminti dažnai naudojant, tačiau patogumo dėlei straipsnio pabaigoje pateiksiu skaičių kvadratų, kurie dažnai gali būti su kuriomis susiduriama atliekant tokias užduotis.
Rastą reikšmę pakeičiame šaknies formule 
ir gauname 
2 tikslas. Išspręskite lygtį
2x 2 + x-3 = 0.
Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį, išrašykite koeficientus ir raskite diskriminantą 
Naudodami gerai žinomas formules randame kvadratinės lygties šaknis 
3 tikslas. Išspręskite lygtį
9x 2 -12x + 4 = 0.
Sprendimas: turime pilną kvadratinę lygtį. Nustatykite diskriminantą
Turime atvejį, kai šaknys tos pačios. Šaknų reikšmes randame pagal formulę 
4 užduotis. Išspręskite lygtį
x ^ 2 + x-6 = 0.
Sprendimas: Tais atvejais, kai ties x yra maži koeficientai, patartina taikyti Vietos teoremą. Pagal jos sąlygą gauname dvi lygtis
Iš antrosios sąlygos gauname, kad sandauga turi būti lygi -6. Tai reiškia, kad viena iš šaknų yra neigiama. Turime tokią galimą sprendinių porą (-3; 2), (3; -2). Atsižvelgdami į pirmąją sąlygą, atmetame antrąją sprendimų porą.
Lygties šaknys yra lygios
5 uždavinys Raskite stačiakampio kraštinių ilgius, jei jo perimetras yra 18 cm, o plotas 77 cm 2.
Sprendimas: Pusė stačiakampio perimetro yra gretimų kraštinių suma. Pažymime x – didžiąją kraštinę, tada 18-x yra jos mažesnė pusė. Stačiakampio plotas lygus šių ilgių sandaugai:
x (18-x) = 77;
arba
x 2 -18x + 77 = 0.
Raskite lygties diskriminantą
Apskaičiuokite lygties šaknis 
Jeigu x = 11, tada 18 = 7, priešingai, tai taip pat teisinga (jei x = 7, tai 21-x = 9).
6 uždavinys. Padalinkite 10x 2 -11x + 3 = 0 kvadratines lygtis.
Sprendimas: Apskaičiuojame lygties šaknis, tam randame diskriminantą 
Rastą reikšmę pakeiskite šaknies formule ir apskaičiuokite 
Taikome kvadratinės lygties išplėtimo šaknimis formulę 
Išplėsdami skliaustus gauname tapatybę.
Kvadratinė lygtis su parametru
1 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms a , ar lygtis (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 turi vieną šaknį?
Sprendimas: Tiesiogiai pakeitę reikšmę a = 3, matome, kad ji neturi sprendimo. Toliau naudosime faktą, kad nuliniam diskriminantui lygtis turi vieną daugybos šaknį 2. Išrašykime diskriminantą 
supaprastinti ir prilyginti nuliui
Gauta parametro a kvadratinė lygtis, kurios sprendimą lengva gauti Vietos teorema. Šaknų suma yra 7, o jų sandauga yra 12. Paprastu surašymu nustatome, kad skaičiai 3,4 bus lygties šaknys. Kadangi skaičiavimų pradžioje jau atmetėme sprendimą a = 3, vienintelis teisingas bus - a = 4. Taigi, jei a = 4, lygtis turi vieną šaknį.
2 pavyzdys. Kokioms parametro reikšmėms a , lygtis a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 turi daugiau nei vieną šaknį?
Sprendimas: Pirmiausia apsvarstykite vienaskaitos taškus, jie bus reikšmės a = 0 ir a = -3. Kai a = 0, lygtis bus supaprastinta iki formos 6x-9 = 0; x = 3/2 ir bus viena šaknis. Jei a = -3, gauname tapatybę 0 = 0.
Apskaičiuojame diskriminantą 
ir suraskite a reikšmes, kuriose jis yra teigiamas 
Iš pirmosios sąlygos gauname a> 3. Antruoju atveju randame diskriminantą ir lygties šaknis 
Apibrėžkime intervalus, kuriuose funkcija įgauna teigiamas reikšmes. Pakeitę tašką a = 0, gauname 3>0
.
Taigi, už intervalo (-3; 1/3) funkcija yra neigiama. Nepamirškite esmės a = 0, kurios turėtų būti neįtrauktos, nes joje esanti pradinė lygtis turi vieną šaknį.
Dėl to gauname du intervalus, kurie tenkina problemos sąlygą 
Praktikoje bus daug panašių užduočių, pabandykite užduotis išsiaiškinti patys ir nepamirškite atsižvelgti į vienas kitą paneigiančias sąlygas. Gerai išmokite kvadratinių lygčių sprendimo formules, jų dažnai prireikia skaičiuojant įvairiuose uždaviniuose ir moksluose.
Tęsiant temą „Lygčių sprendimas“, šio straipsnio medžiaga supažindins su kvadratinėmis lygtimis.
Apsvarstykime viską detaliai: kvadratinės lygties esmę ir užrašymą, nustatysime susijusius terminus, išanalizuosime nepilnų ir pilnųjų lygčių sprendimo schemą, susipažinsime su šaknų ir diskriminanto formule, nustatysime sąsajas tarp šaknų ir koeficientų, ir, žinoma, pateiksime vaizdinį praktinių pavyzdžių sprendimą.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kvadratinė lygtis, jos tipai
1 apibrėžimasKvadratinė lygtis Ar lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + c = 0, kur x- kintamasis, a, b ir c- kai kurie skaičiai, tuo tarpu a nėra nulis.
Dažnai kvadratinės lygtys taip pat vadinamos antrojo laipsnio lygtimis, nes iš esmės kvadratinė lygtis yra antrojo laipsnio algebrinė lygtis.
Pateikiame pavyzdį, iliustruojantį pateiktą apibrėžimą: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 ir kt. Ar kvadratinės lygtys.
2 apibrėžimas
Skaičiai a, b ir c Ar kvadratinės lygties koeficientai a x 2 + b x + c = 0, o koeficientas a vadinamas pirmuoju, arba vyresniuoju, arba koeficientu x 2, b - antruoju koeficientu arba koeficientu ties x, a c vadinamas laisvuoju nariu.
Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje 6 x 2 – 2 x – 11 = 0 senjorų koeficientas yra 6, antrasis koeficientas yra − 2 o laisvas terminas yra − 11 ... Atkreipkime dėmesį į tai, kad kai koeficientai b ir / arba c yra neigiami, tada naudojamas trumpas formos žymėjimas 6 x 2 – 2 x – 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.
Išsiaiškinkime ir šį aspektą: jeigu koeficientai a ir/arba b yra lygūs 1 arba − 1 , tada jie negali aiškiai dalyvauti kvadratinės lygties fiksavime, o tai paaiškinama nurodytų skaitinių koeficientų įrašymo ypatumais. Pavyzdžiui, kvadratinėje lygtyje y 2 – y + 7 = 0 didžiausias koeficientas yra 1, o antrasis koeficientas yra − 1 .
Sumažintos ir neredukuotos kvadratinės lygtys
Pagal pirmojo koeficiento reikšmę kvadratinės lygtys skirstomos į redukuotas ir neredukuotas.
3 apibrėžimas
Sumažinta kvadratinė lygtis Tai kvadratinė lygtis, kurios pagrindinis koeficientas yra 1. Kitoms pirmaujančio koeficiento reikšmėms kvadratinė lygtis nesumažėja.
Pateiksime pavyzdžius: kvadratinės lygtys x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 sumažinamos, kurių kiekvienoje pirmaujantis koeficientas yra 1.
9 x 2 – x – 2 = 0- neredukuota kvadratinė lygtis, kur pirmasis koeficientas skiriasi nuo 1 .
Bet kuri nesuredukuota kvadratinė lygtis gali būti paversta redukuota lygtimi, padalijus abi dalis iš pirmojo koeficiento (ekvivalentinė transformacija). Transformuota lygtis turės tokias pačias šaknis kaip ir duota neredukuota lygtis, arba ji taip pat neturės šaknų.
Konkretaus pavyzdžio svarstymas leis aiškiai parodyti perėjimo iš neredukuotos kvadratinės lygties į sumažintą įgyvendinimą.
1 pavyzdys
Lygtis yra 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Būtina paversti pradinę lygtį į sumažintą formą.
Sprendimas
Pagal aukščiau pateiktą schemą abi pradinės lygties puses padalijame iš pirminio koeficiento 6. Tada gauname: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0:3 o tai tas pats kaip: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 ir toliau: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Taigi: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Taigi gaunama lygtis, kuri yra lygiavertė duotajai.
Atsakymas: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.
Pilnos ir nepilnos kvadratinės lygtys
Pereikime prie kvadratinės lygties apibrėžimo. Jame mes tai paaiškinome a ≠ 0... Panaši sąlyga yra būtina lygčiai a x 2 + b x + c = 0 buvo būtent kvadratas, nes už a = 0 ji iš esmės virsta tiesine lygtimi b x + c = 0.
Tuo atveju, kai koeficientai b ir c lygi nuliui (tai įmanoma ir atskirai, ir kartu), kvadratinė lygtis vadinama nepilna.
4 apibrėžimas
Nebaigta kvadratinė lygtis Ar tokia kvadratinė lygtis a x 2 + b x + c = 0, kur bent vienas iš koeficientų b ir c(arba abu) yra nulis.
Pilna kvadratinė lygtis- kvadratinė lygtis, kurioje visi skaitiniai koeficientai nėra lygūs nuliui.
Pakalbėkime apie tai, kodėl kvadratinių lygčių tipams suteikiami būtent tokie pavadinimai.
Jei b = 0, kvadratinė lygtis įgauna formą a x 2 + 0 x + c = 0 kuri yra tokia pati kaip a x 2 + c = 0... At c = 0 kvadratinė lygtis parašyta kaip a x 2 + b x + 0 = 0 kuri yra lygiavertė a x 2 + b x = 0... At b = 0 ir c = 0 lygtis tampa a x 2 = 0... Mūsų gautos lygtys skiriasi nuo pilnos kvadratinės lygties tuo, kad jų kairėje pusėje nėra nei termino su kintamuoju x, nei laisvojo termino, nei abiejų iš karto. Tiesą sakant, šis faktas davė pavadinimą tokio tipo lygtims - neišsamios.
Pavyzdžiui, x 2 + 3 x + 4 = 0 ir - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 yra pilnos kvadratinės lygtys; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - nepilnos kvadratinės lygtys.
Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas
Aukščiau pateiktas apibrėžimas leidžia atskirti šiuos nepilnų kvadratinių lygčių tipus:
- a x 2 = 0, tokia lygtis atitinka koeficientus b = 0 ir c = 0;
- a x 2 + c = 0, kai b = 0;
- a x 2 + b x = 0, kai c = 0.
Panagrinėkime nuosekliai kiekvienos rūšies nepilnos kvadratinės lygties sprendinį.
Lygties a x 2 = 0 sprendimas
Kaip jau buvo nurodyta aukščiau, tokia lygtis atitinka koeficientus b ir c lygus nuliui. Lygtis a x 2 = 0 gali būti paverstas lygiaverte lygtimi x 2 = 0, kurį gauname padalydami abi pradinės lygties puses iš skaičiaus a nelygu nuliui. Akivaizdus faktas, kad lygties šaknis x 2 = 0 tai nulis, nes 0 2 = 0 ... Ši lygtis neturi kitų šaknų, tai galima paaiškinti laipsnio savybėmis: bet kuriam skaičiui p, nelygus nuliui, nelygybė yra teisinga p 2> 0, iš kurio išplaukia, kad už p ≠ 0 lygybė p 2 = 0 niekada nebus pasiektas.
5 apibrėžimas
Taigi nepilnai kvadratinei lygčiai a x 2 = 0 yra unikali šaknis x = 0.
2 pavyzdys
Pavyzdžiui, išspręskime nepilną kvadratinę lygtį - 3 x 2 = 0... Lygtis jai lygiavertė x 2 = 0, vienintelė jo šaknis yra x = 0, tada pradinė lygtis taip pat turi vieną šaknį – nulį.
Trumpai tariant, sprendimas įforminamas taip:
– 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Lygties a x 2 + c = 0 sprendimas
Kitas žingsnis yra nepilnų kvadratinių lygčių sprendimas, kur b = 0, c ≠ 0, ty formos lygtys a x 2 + c = 0... Šią lygtį transformuojame perkeldami terminą iš vienos lygties pusės į kitą, pakeitę ženklą į priešingą ir padalydami abi lygties puses iš skaičiaus, kuris nėra lygus nuliui:
- pernešti cį dešinę, kuri suteikia lygtį a x 2 = - c;
- abi lygties puses dalijame iš a, gauname kaip rezultatas x = - c a.
Mūsų transformacijos yra lygiavertės, atitinkamai gauta lygtis taip pat yra lygiavertė pradinei, ir šis faktas leidžia padaryti išvadą apie lygties šaknis. Iš to, kokios yra reikšmės a ir c išraiškos reikšmė - c priklauso: ji gali turėti minuso ženklą (pavyzdžiui, jei a = 1 ir c = 2, tada - c a = - 2 1 = - 2) arba pliuso ženklas (pavyzdžiui, jei a = - 2 ir c = 6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); tai nėra nulis, nes c ≠ 0... Išsamiau pakalbėkime apie situacijas, kai - c a< 0 и - c a > 0 .
Tuo atveju, kai - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p lygybė p 2 = - c a negali būti teisinga.
Viskas yra kitaip, kai - c a> 0: prisiminkite kvadratinę šaknį ir tampa akivaizdu, kad lygties x 2 = - c a šaknis bus skaičius - c a, nes - c a 2 = - c a. Nesunku suprasti, kad skaičius - - c a yra ir lygties x 2 = - c a šaknis: iš tiesų, - - c a 2 = - c a.
Lygtis neturės kitų šaknų. Tai galime įrodyti naudodami prieštaringą metodą. Pirmiausia apibrėžkime aukščiau rastų šaknų žymėjimą kaip x 1 ir - x 1... Tarkime, kad lygtis x 2 = - c a taip pat turi šaknį x 2 kuri skiriasi nuo šaknų x 1 ir - x 1... Mes tai žinome pakeisdami lygtį, o ne x jos šaknis, paverskite lygtį į teisingą skaitinę lygybę.
Dėl x 1 ir - x 1 rašome: x 1 2 = - c a, ir už x 2- x 2 2 = - c a. Remdamiesi skaitinių lygybių savybėmis, vieną tikrąją lygybę atimame iš kitos kadencijos, kuri duos mums: x 1 2 - x 2 2 = 0... Naudojame veiksmų su skaičiais savybes, kad perrašytume paskutinę lygybę kaip (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Yra žinoma, kad dviejų skaičių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas iš skaičių lygus nuliui. Iš to, kas pasakyta, išplaukia x 1 - x 2 = 0 ir/arba x 1 + x 2 = 0 kuri yra ta pati x 2 = x 1 ir/arba x 2 = - x 1... Iškilo akivaizdus prieštaravimas, nes iš pradžių buvo sutarta, kad lygties šaknis x 2 skiriasi nuo x 1 ir - x 1... Taigi, mes įrodėme, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus x = - c a ir x = - - c a.
Mes apibendriname visus aukščiau pateiktus argumentus.
6 apibrėžimas
Nebaigta kvadratinė lygtis a x 2 + c = 0 yra lygiavertis lygčiai x 2 = - c a, kuri:
- neturės šaknų - c a< 0 ;
- turės dvi šaknis x = - c a ir x = - - c a, kai - c a> 0.
Pateiksime lygčių sprendimo pavyzdžių a x 2 + c = 0.
3 pavyzdys
Pateikta kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0. Būtina rasti tam sprendimą.
Sprendimas
Laisvąjį terminą perkeliame į dešinę lygties pusę, tada lygtis įgaus formą 9 x 2 = - 7.
Abi gautos lygties puses padalijame iš 9
, gauname x 2 = - 7 9. Dešinėje pusėje matome skaičių su minuso ženklu, o tai reiškia: duotoji lygtis neturi šaknų. Tada pradinė nepilna kvadratinė lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturės šaknų.
Atsakymas: lygtis 9 x 2 + 7 = 0 neturi šaknų.
4 pavyzdys
Būtina išspręsti lygtį – x 2 + 36 = 0.
Sprendimas
Perkelkite 36 į dešinę pusę: – x 2 = – 36.
Padalinkime abi dalis į − 1
, mes gauname x 2 = 36... Dešinėje pusėje yra teigiamas skaičius, iš kurio galime tai padaryti
x = 36 arba
x = - 36.
Išskirkime šaknį ir užrašykime galutinį rezultatą: nepilną kvadratinę lygtį – x 2 + 36 = 0 turi dvi šaknis x = 6 arba x = - 6.
Atsakymas: x = 6 arba x = - 6.
Lygties a x 2 + b x = 0 sprendimas
Išanalizuokime trečiosios rūšies nepilnas kvadratines lygtis, kai c = 0... Rasti nepilnos kvadratinės lygties sprendimą a x 2 + b x = 0, naudokite faktorizavimo metodą. Išskaidome kairėje lygties pusėje esantį daugianarį, pašalindami bendrą koeficientą skliaustuose x... Šis veiksmas leis konvertuoti pradinę nepilną kvadratinę lygtį į jos ekvivalentą x (a x + b) = 0... Ir ši lygtis, savo ruožtu, yra lygiavertė lygčių rinkiniui x = 0 ir a x + b = 0... Lygtis a x + b = 0 linijinis, o jo šaknis yra: x = - b a.
7 apibrėžimas
Taigi nepilna kvadratinė lygtis a x 2 + b x = 0 turės dvi šaknis x = 0 ir x = - b a.
Pataisykime medžiagą pavyzdžiu.
5 pavyzdys
Reikia rasti lygties 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 sprendinį.
Sprendimas
Išimkite x skliausteliuose ir gaukite lygtį x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Ši lygtis yra lygiavertė lygtims x = 0 ir 2 3 x - 2 2 7 = 0. Dabar reikia išspręsti gautą tiesinę lygtį: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Trumpai parašome lygties sprendimą taip:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 arba 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 arba x = 3 3 7
Atsakymas: x = 0, x = 3 3 7.
Diskriminantas, kvadratinės lygties šaknų formulė
Norėdami rasti kvadratinių lygčių sprendimą, yra pagrindinė formulė:
8 apibrėžimas
x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 - 4 a c- vadinamasis kvadratinės lygties diskriminantas.
Žymėjimas x = - b ± D 2 · a iš esmės reiškia, kad x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Nebus nereikalinga suprasti, kaip buvo gauta nurodyta formulė ir kaip ją taikyti.
Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas
Išspręskime kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0... Atlikime keletą lygiaverčių transformacijų:
- padalykite abi lygties puses iš skaičiaus a ne nulis, gauname redukuotą kvadratinę lygtį: x 2 + b a · x + c a = 0;
- pasirinkite visą kvadratą gautos lygties kairėje pusėje:
x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
Po to lygtis bus tokia: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - dabar galima perkelti paskutinius du narius į dešinę pusę, pakeitus ženklą į priešingą, po kurio gauname: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
- galiausiai transformuojame paskutinės lygybės dešinėje parašytą išraišką:
b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.
Taigi, mes priėjome prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, kuri yra lygiavertė pradinei lygčiai a x 2 + b x + c = 0.
Tokių lygčių sprendimą išanalizavome ankstesnėse pastraipose (neišsamių kvadratinių lygčių sprendimas). Jau įgyta patirtis leidžia padaryti išvadą apie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 šaknis:
- ties b 2 – 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 lygtis yra x + b 2 a 2 = 0, tada x + b 2 a = 0.
Vadinasi, vienintelė šaknis x = - b 2 · a yra akivaizdi;
- b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 bus tiesa: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 arba x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, kuris yra tas pats kaip x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 arba x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.y. lygtis turi dvi šaknis.
Galima daryti išvadą, kad lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (taigi ir pradinės lygties) šaknų buvimas ar nebuvimas priklauso nuo išraiškos b 2 - 4 a c 4 ženklo. · Dešinėje pusėje parašytas 2. Ir šios išraiškos ženklas nustatomas skaitiklio ženklu (vardiklis 4 ir 2 visada bus teigiamas), tai yra pagal išraiškos ženklą b 2 - 4 a c... Ši išraiška b 2 - 4 a c pateikiamas pavadinimas - kvadratinės lygties diskriminantas ir raidė D apibrėžiama kaip jo žymėjimas. Čia galite užrašyti diskriminanto esmę - pagal jo reikšmę ir ženklą daroma išvada, ar kvadratinė lygtis turės realias šaknis, o jei taip, tai koks yra šaknų skaičius - viena ar dvi.
Grįžkime prie lygties x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Perrašome jį naudodami diskriminanto žymėjimą: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.
Dar kartą suformuluosime išvadas:
9 apibrėžimas
- adresu D< 0 lygtis neturi realių šaknų;
- adresu D = 0 lygtis turi vieną šaknį x = - b 2 · a;
- adresu D> 0 lygtis turi dvi šaknis: x = - b 2 a + D 4 a 2 arba x = - b 2 a - D 4 a 2. Remiantis radikalų savybėmis, šias šaknis galima užrašyti taip: x = - b 2 a + D 2 a arba - b 2 a - D 2 a. Ir, kai atidarome modulius ir suvedame trupmenas į bendrą vardiklį, gauname: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Taigi, mūsų samprotavimų rezultatas buvo kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminantas D apskaičiuojamas pagal formulę D = b 2 - 4 a c.
Šios formulės leidžia, kai diskriminantas yra didesnis nei nulis, nustatyti abi tikrąsias šaknis. Kai diskriminantas lygus nuliui, taikant abi formules bus gauta ta pati šaknis kaip vienintelis kvadratinės lygties sprendimas. Tuo atveju, kai diskriminantas yra neigiamas, bandydami naudoti kvadratinės šaknies formulę, susidursime su būtinybe išgauti neigiamo skaičiaus kvadratinę šaknį, o tai nuves mus už realiųjų skaičių. Naudojant neigiamą diskriminantą, kvadratinė lygtis neturės realių šaknų, tačiau yra įmanoma sudėtingų konjuguotų šaknų pora, kurią nustato tos pačios šaknies formulės, kurias gavome.
Kvadratinių lygčių sprendimo, naudojant šaknų formules, algoritmas
Kvadratinę lygtį galima išspręsti iš karto naudojant šaknies formulę, tačiau iš esmės tai daroma tada, kai reikia rasti sudėtingas šaknis.
Daugeliu atvejų tai paprastai yra skirta ieškoti ne sudėtingų, o realių kvadratinės lygties šaknų. Tada optimalu, prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules, pirmiausia nustatyti diskriminantą ir įsitikinti, kad jis nėra neigiamas (kitaip padarysime išvadą, kad lygtis neturi realių šaknų), o tada pradėti skaičiuoti. šaknų vertės.
Aukščiau pateiktas samprotavimas leidžia suformuluoti kvadratinės lygties sprendimo algoritmą.
10 apibrėžimas
Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a x 2 + b x + c = 0, būtinas:
- pagal formulę D = b 2 - 4 a c rasti diskriminanto vertę;
- pas D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- jei D = 0, raskite vienintelę lygties šaknį pagal formulę x = - b 2 · a;
- jei D> 0, nustatykite dvi realiąsias kvadratinės lygties šaknis pagal formulę x = - b ± D 2 · a.
Atkreipkite dėmesį, kad kai diskriminantas lygus nuliui, galite naudoti formulę x = - b ± D 2 · a, ji duos tokį patį rezultatą kaip ir formulė x = - b 2 · a.
Pažvelkime į keletą pavyzdžių.
Kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžiai
Pateiksime įvairių diskriminanto verčių pavyzdžių sprendimą.
6 pavyzdys
Būtina rasti lygties šaknis x 2 + 2 x - 6 = 0.
Sprendimas
Užrašome kvadratinės lygties skaitinius koeficientus: a = 1, b = 2 ir c = -6... Toliau veikiame pagal algoritmą, t.y. pradėkime skaičiuoti diskriminantą, kuriam pakeičiame koeficientus a, b ir cį diskriminanto formulę: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.
Taigi, mes gavome D> 0, o tai reiškia, kad pradinė lygtis turės dvi realias šaknis.
Norėdami juos rasti, naudojame šaknies formulę x = - b ± D 2 · a ir, pakeitę atitinkamas reikšmes, gauname: x = - 2 ± 28 2 · 1. Supaprastinkime gautą išraišką, paimdami faktorių už šaknies ženklo ribų ir sumažindami trupmeną:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 arba x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 arba x = - 1 - 7
Atsakymas: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.
7 pavyzdys
Būtina išspręsti kvadratinę lygtį – 4 x 2 + 28 x – 49 = 0.
Sprendimas
Apibrėžkime diskriminantą: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Esant šiai diskriminanto reikšmei, pradinė lygtis turės tik vieną šaknį, kuri nustatoma pagal formulę x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5
Atsakymas: x = 3, 5.
8 pavyzdys
Būtina išspręsti lygtį 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Sprendimas
Šios lygties skaitiniai koeficientai bus tokie: a = 5, b = 6 ir c = 2. Norėdami rasti diskriminantą, naudojame šias reikšmes: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Apskaičiuotas diskriminantas yra neigiamas, todėl pradinė kvadratinė lygtis neturi realių šaknų.
Tuo atveju, kai užduotis yra nurodyti sudėtingas šaknis, taikome šaknų formulę, atlikdami veiksmus su kompleksiniais skaičiais:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 arba x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i arba x = - 3 5 - 1 5 · i.
Atsakymas: nėra galiojančių šaknų; kompleksinės šaknys yra tokios: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
Mokyklos programoje nėra standartinio reikalavimo ieškoti kompleksinių šaknų, todėl sprendžiant diskriminantą nustačius neigiamą, iškart įrašomas atsakymas, kad tikrų šaknų nėra.
Net antrojo koeficiento šaknies formulė
Šaknų formulė x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, pavyzdžiui, 2 3 arba 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parodykime, kaip gaunama ši formulė.
Tarkime, kad mes susiduriame su užduotimi rasti kvadratinės lygties a x 2 + 2 n x + c = 0 sprendimą. Mes veikiame pagal algoritmą: nustatome diskriminantą D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), tada naudojame šaknų formulę:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.
Tegul išraiška n 2 - a · c žymima D 1 (kartais ji žymima D "). Tada nagrinėjamos kvadratinės lygties šaknų formulė su antruoju koeficientu 2 n bus tokia:
x = - n ± D 1 a, kur D 1 = n 2 - a · c.
Nesunku pastebėti, kad D = 4 · D 1 arba D 1 = D 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtadalis diskriminanto. Akivaizdu, kad D 1 ženklas yra toks pat kaip D ženklas, o tai reiškia, kad D 1 ženklas taip pat gali būti kvadratinės lygties šaknų buvimo ar nebuvimo indikatorius.
11 apibrėžimas
Taigi, norint rasti kvadratinės lygties su antruoju koeficientu 2 n sprendimą, būtina:
- rasti D 1 = n 2 - a · c;
- ties D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- kai D 1 = 0, formule x = - n a nustatykite vienintelę lygties šaknį;
- jei D 1> 0, nustatykite dvi realiąsias šaknis pagal formulę x = - n ± D 1 a.
9 pavyzdys
Būtina išspręsti kvadratinę lygtį 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.
Sprendimas
Antrasis duotosios lygties koeficientas gali būti pavaizduotas kaip 2 · (- 3). Tada perrašome duotą kvadratinę lygtį į 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, kur a = 5, n = - 3 ir c = - 32.
Apskaičiuojame ketvirtąją diskriminanto dalį: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Gauta reikšmė yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis. Apibrėžkime juos pagal atitinkamą šaknies formulę:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 arba x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 arba x = - 2
Galima būtų atlikti skaičiavimus naudojant įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau tokiu atveju sprendimas būtų sudėtingesnis.
Atsakymas: x = 3 1 5 arba x = - 2.
Kvadratinių lygčių vaizdo supaprastinimas
Kartais galima optimizuoti pradinės lygties formą, o tai supaprastins šaknų skaičiavimo procesą.
Pavyzdžiui, kvadratinė lygtis 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 yra aiškiai patogesnė sprendžiant nei 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.
Dažniau kvadratinės lygties formos supaprastinimas atliekamas abi jos dalis dauginant arba dalijant iš tam tikro skaičiaus. Pavyzdžiui, aukščiau parodėme supaprastintą lygties 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 vaizdavimą, gautą padalijus abi jos dalis iš 100.
Tokia transformacija galima, kai kvadratinės lygties koeficientai nėra pirminiai skaičiai. Tada paprastai abi lygties pusės dalijamos iš didžiausio bendro jo koeficientų absoliučių dydžių daliklio.
Kaip pavyzdį naudokite kvadratinę lygtį 12 x 2 – 42 x + 48 = 0. Nustatykite jo koeficientų absoliučių verčių gcd: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Abi pradinės kvadratinės lygties puses padalijame iš 6 ir gauname lygiavertę kvadratinę lygtį 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.
Padauginę abi kvadratinės lygties puses, dažniausiai atsikratysite trupmeninių koeficientų. Šiuo atveju padauginkite iš mažiausio bendro jo koeficientų vardiklių kartotinio. Pavyzdžiui, jei kiekviena kvadratinės lygties dalis 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 padauginama iš LCM (6, 3, 1) = 6, tada ji bus parašyta paprastesne forma x 2 + 4 x - 18 = 0.
Galiausiai pastebime, kad jie beveik visada atsikrato minuso ties pirmuoju kvadratinės lygties koeficientu, keisdami kiekvieno lygties nario ženklus, o tai pasiekiama padauginus (arba padalijus) abi dalis iš - 1. Pavyzdžiui, iš kvadratinės lygties - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, galite pereiti prie supaprastintos jos versijos 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.
Ryšys tarp šaknų ir koeficientų
Jau žinoma kvadratinių lygčių šaknų formulė x = - b ± D 2 · a lygties šaknis išreiškia jos skaitiniais koeficientais. Remdamiesi šia formule, galime nurodyti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.
Garsiausios ir taikomos yra Vieta teoremos formulės:
x 1 + x 2 = - b a ir x 2 = c a.
Visų pirma, duotoje kvadratinėje lygtyje šaknų suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu, o šaknų sandauga yra lygi laisvajam nariui. Pavyzdžiui, pagal kvadratinės lygties 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 formą galima iš karto nustatyti, kad jos šaknų suma yra 7 3, o šaknų sandauga yra 22 3.
Taip pat galite rasti daugybę kitų kvadratinės lygties šaknų ir koeficientų ryšių. Pavyzdžiui, kvadratinės lygties šaknų kvadratų suma gali būti išreikšta koeficientais:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl + Enter