Nelygybė ir nelygybės sistemos yra viena iš vidurinės mokyklos algebros dėstomų temų. Kalbant apie sunkumus, tai nėra pats sunkiausias, nes jame yra paprastos taisyklės (apie jas šiek tiek vėliau). Paprastai moksleiviai gana lengvai išmoksta nelygybės sistemų sprendimo. Taip yra ir dėl to, kad mokytojai šia tema tiesiog „moko“ savo mokinius. Ir jie negali to padaryti, nes ateityje tai bus tiriama naudojant kitas matematines vertybes, taip pat tikrinama per OGE ir vieningą valstybinį egzaminą. Mokykliniuose vadovėliuose nelygybių ir nelygybių sistemų tema yra atskleista labai išsamiai, taigi, jei ketinate ją studijuoti, geriausia kreiptis į jas. Šis straipsnis yra tik didelių medžiagų perpasakojimas ir gali būti tam tikrų praleidimų.

Nelygybių sistemos samprata

Jei kreipiamės į mokslinę kalbą, galime apibrėžti „nelygybės sistemos“ sąvoką. Tai matematinis modelis, atspindintis keletą nelygybių. Žinoma, iš šio modelio reikia sprendimo, o jo pajėgumas bus bendras atsakymas į visas užduotyje siūlomas sistemos nelygybes (paprastai jame parašyta, pavyzdžiui: „Išspręskite 4 x + nelygybių sistemą 1> 2 ir 30 - x> 6 ... "). Tačiau prieš pereidami prie sprendimų tipų ir metodų, turite suprasti ką nors kita.

Nelygybių sistemos ir lygčių sistemos

Studijuojant naują temą labai dažnai kyla nesusipratimų. Viena vertus, viskas aišku ir verčiau pradėti spręsti užduotis, bet, kita vertus, kai kurie momentai lieka „šešėlyje“, jie nėra labai gerai suvokiami. Taip pat kai kurie jau įgytų žinių elementai gali būti susipynę su naujais. Dėl šio sutapimo dažnai pasitaiko klaidų.

Todėl prieš tęsiant mūsų temos analizę reikėtų prisiminti lygčių ir nelygybių, jų sistemų skirtumus. Norėdami tai padaryti, turite dar kartą išsiaiškinti, kas yra šios matematinės sąvokos. Lygtis visada yra lygybė, ir ji visada yra lygi kažkam (matematikoje šis žodis žymimas ženklu „=“). Kita vertus, nelygybė yra modelis, kuriame vienas kiekis yra didesnis arba mažesnis už kitą arba pateikiamas teiginys, kad jie nėra vienodi. Taigi pirmuoju atveju dera kalbėti apie lygybę, o antruoju, kad ir kaip akivaizdu tai skambėtų iš paties pavadinimo, apie pradinių duomenų nelygybę. Lygčių ir nelygybių sistemos praktiškai nesiskiria viena nuo kitos, o jų sprendimo būdai yra vienodi. Skirtumas tik tas, kad pirmasis naudoja lygybes, o antrasis - nelygybes.

Nelygybės tipai

Yra dviejų tipų nelygybės: skaitinis ir nežinomas kintamasis. Pirmasis tipas reiškia pateiktas vertes (skaičius), nelygius vienas kitam, pavyzdžiui, 8> 10. Antrasis yra nelygybė, kurioje yra nežinomas kintamasis (žymimas bet kuria lotyniškos abėcėlės raide, dažniausiai X). Šį kintamąjį reikia rasti. Atsižvelgiant į tai, kiek jų yra, matematinis modelis išskiria nelygybes su vienu (sudaro nelygybių sistemą su vienu kintamuoju) arba kelis kintamuosius (sudaro nelygybių sistemą su keliais kintamaisiais).

Paskutiniai du tipai, atsižvelgiant į jų konstrukcijos laipsnį ir sprendimo sudėtingumo lygį, yra suskirstyti į paprastus ir sudėtingus. Paprastosios dar vadinamos linijine nelygybe. Jie, savo ruožtu, skirstomi į griežtus ir neprivalomus. Griežti konkrečiai „sako“, kad vienas kiekis būtinai turi būti mažesnis arba didesnis, todėl tai yra nelygybė gryna forma. Pateikiami keli pavyzdžiai: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 ir t. T. Tai yra, vienas kiekis gali būti didesnis arba lygus kitam kiekiui („≥“ ženklas) arba mažesnis arba lygus kitam kiekiui („≤“ ženklas). Netgi esant tiesinei nelygybei, kintamasis nėra prie šaknies, kvadratas, jis niekuo nesidalijamas, todėl jie vadinami „paprastais“. Sudėtingi kintamieji apima nežinomus kintamuosius, kuriems reikia rasti daugiau matematinių operacijų. Jie dažnai randami kvadrate, kube arba po šaknimi, jie gali būti moduliniai, logaritminiai, trupmeniniai ir tt Bet kadangi mūsų užduotis yra suprasti nelygybės sistemų sprendimą, kalbėsime apie tiesinės nelygybės sistemą. Tačiau prieš tai reikėtų pasakyti keletą žodžių apie jų savybes.

Nelygybės savybės

Nelygybės savybės apima šias nuostatas:

1. Nelygybės ženklas yra atvirkštinis, jei operacija turi pakeisti šonų seką (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tada t 2 ≥ t 1).
2. Abi nelygybės pusės leidžia pridėti tą patį skaičių prie savęs (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, tada t 1 + skaičius ≤ t 2 + skaičius).
3. Dvi ar daugiau nelygybių su tos pačios krypties ženklu leidžia pridėti jų kairę ir dešinę puses (pavyzdžiui, jei t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, tada t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
4. Abi nelygybės pusės leidžia save padauginti arba padalyti iš to paties teigiamo skaičiaus (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tada skaičius · t 1 ≥ skaičius · t 2).
5. Dvi ar daugiau nelygybių su teigiamomis sąvokomis ir tos pačios krypties ženklas leidžia daugintis viena iš kitos (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 tada t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
6. Abi nelygybės pusės leidžiasi padaugintos arba padalytos iš to paties neigiamo skaičiaus, tačiau nelygybės ženklas pasikeičia (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir skaičius ≤ 0, tada skaičius t 1 ≥ skaičius t 2) .
7. Visos nelygybės turi tranzityvumo savybę (pavyzdžiui, jei t 1 ≤ t 2 ir t 2 ≤ t 3, tada t 1 ≤ t 3).

Dabar, ištyrę pagrindines teorijos nuostatas, susijusias su nelygybe, galime pereiti tiesiai prie jų sistemų sprendimo taisyklių svarstymo.

Nelygybių sistemų sprendimas. Bendra informacija. Sprendimai

Kaip minėta aukščiau, sprendimas yra kintamojo vertės, atitinkančios visas nurodytos sistemos nelygybes. Nelygybės sistemų sprendimas yra matematinių veiksmų, kurie galiausiai lemia visos sistemos sprendimą arba įrodo, kad ji neturi sprendimų, įgyvendinimas. Šiuo atveju jie sako, kad kintamasis nurodo tuščią skaičių rinkinį (parašytą taip: kintama raidė∈ (ženklas „priklauso“) ø (ženklas „tuščias rinkinys“), pavyzdžiui, x ∈ ø (skaitykite taip: „Kintamasis„ x “priklauso tuščiam rinkiniui“). Yra keletas būdų, kaip išspręsti nelygybės sistemas: grafinis, algebrinis, pakeitimo metodas. Verta paminėti, kad jie priklauso tiems matematiniams modeliams, kurie turi keletą nežinomų kintamųjų. Tuo atveju, kai yra tik vienas, atstumų metodas veiks.

Grafinis būdas

Leidžia išspręsti nelygybės sistemą su keliais nežinomais (iš dviejų ar daugiau). Šio metodo dėka linijinių nelygybių sistema išsprendžiama gana lengvai ir greitai, todėl tai yra labiausiai paplitęs metodas. Taip yra dėl to, kad braižant grafiką sumažėja matematinių operacijų rašymo apimtis. Ypač malonu tampa šiek tiek atitraukti dėmesį nuo rašiklio, pasiimti pieštuką su liniuote ir su jų pagalba tęsti tolesnius veiksmus, kai nuveikta daug darbų ir norisi šiek tiek įvairovės. Tačiau kai kuriems žmonėms šis metodas nepatinka dėl to, kad jūs turite atitrūkti nuo užduoties ir perjungti savo protinę veiklą į piešimą. Tačiau tai yra labai galingas būdas.

Norint išspręsti nelygybių sistemą naudojant grafinį metodą, būtina perkelti visas kiekvienos nelygybės sąlygas į kairę pusę. Ženklai bus apversti, dešinėje turėtų būti parašytas nulis, tada kiekviena nelygybė turėtų būti parašyta atskirai. Dėl to funkcijos bus gautos iš nelygybės. Po to galite išimti pieštuką ir liniuotę: dabar reikia nupiešti kiekvienos gautos funkcijos grafiką. Visas skaičių sankirtos intervalas bus nelygybės sistemos sprendimas.

Algebrinis būdas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą naudojant du nežinomus kintamuosius. Be to, nelygybės turi turėti tą patį nelygybės ženklą (t. Y. Jose turi būti arba tik ženklas „didesnis nei“, arba tik ženklas „mažiau“ ir pan.) Nepaisant šio apribojimo, šis metodas taip pat yra sudėtingesnis. Jis taikomas dviem etapais.

Pirmasis apima veiksmus, skirtus atsikratyti vieno iš nežinomų kintamųjų. Pirmiausia turite jį pasirinkti, tada patikrinkite, ar prieš šį kintamąjį nėra skaičių. Jei jų nėra (tada kintamasis atrodys kaip viena raidė), tada mes nieko nekeisime, jei yra (kintamojo tipas bus, pavyzdžiui, tai - 5y arba 12y), tada tai būtina įsitikinti, kad kiekvienoje nelygybėje skaičius priešais pasirinktą kintamąjį yra vienodas. Norėdami tai padaryti, turite padauginti kiekvieną nelygybės terminą iš bendro veiksnio, pavyzdžiui, jei pirmoje nelygybėje yra 3y, o antroje - 5y, tada visos pirmosios nelygybės sąlygos turi būti padaugintos iš 5, o antrosios - iš 3. Gausite atitinkamai 15 ir 15 metų.

Antrasis sprendimo etapas. Būtina perkelti kairę kiekvienos nelygybės pusę į dešinę pusę, keičiant kiekvieno termino ženklą į priešingą pusę, dešinėje parašyti nulį. Tada ateina linksmoji dalis: atsikratyti pasirinkto kintamojo (kitaip jis vadinamas „sumažinimu“) pridėjus nelygybę. Rezultatas yra nelygybė su vienu kintamuoju, kurį reikia išspręsti. Po to turėtumėte daryti tą patį, tik su kitu nežinomu kintamuoju. Gauti rezultatai bus sistemos sprendimas.

Pakeitimo metodas

Leidžia išspręsti nelygybių sistemą, kai įmanoma įvesti naują kintamąjį. Paprastai šis metodas naudojamas, kai nežinomas kintamasis viename nelygybės termine pakeliamas į ketvirtąją galią, o kitu terminu jis yra kvadratas. Taigi šiuo metodu siekiama sumažinti sistemos nelygybės laipsnį. Imties nelygybė x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 tokiu būdu išspręsta taip. Įvedamas naujas kintamasis, pavyzdžiui, t. Jie rašo: „Tegu t = x 2“, tada modelis perrašomas nauja forma. Mūsų atveju gauname t 2 - t - 1 ≤0. Šią nelygybę reikia išspręsti intervalų metodu (apie tai šiek tiek vėliau), tada grįžti prie kintamojo X, tada padaryti tą patį su kita nelygybe. Gauti atsakymai bus sistemos sprendimas.

Tarpų metodas

Tai paprasčiausias būdas išspręsti nelygybės sistemas, tuo pat metu jis yra universalus ir plačiai paplitęs. Jis naudojamas vidurinėje ir net vidurinėje mokykloje. Jo esmė slypi tame, kad mokinys ieško nelygybės intervalų skaičių eilutėje, kuri nubrėžta užrašų knygelėje (tai ne grafikas, o tiesiog eilutė su skaičiais). Ten, kur susikerta nelygybės intervalai, randamas sistemos sprendimas. Norėdami naudoti tarpų metodą, turite atlikti šiuos veiksmus:

1. Visi kiekvienos nelygybės nariai perkeliami į kairę pusę, o ženklas keičiamas į priešingą pusę (dešinėje rašomas nulis).
2. Nelygybės rašomos atskirai, nustatomas kiekvieno iš jų sprendimas.
3. Skaičių tiesėje raskite nelygybių sankirtas. Visi skaičiai, esantys šiose sankryžose, bus sprendimas.

Kokiu būdu naudoti?

Akivaizdu, kad tai, kas atrodo lengviausia ir patogiausia, tačiau yra atvejų, kai užduotims reikalingas tam tikras metodas. Dažniausiai jose rašoma, kad reikia išspręsti arba naudojant grafiką, arba naudojant intervalo metodą. Algebrinis metodas ir pakeitimas yra naudojami labai retai arba visai ne, nes jie yra gana sudėtingi ir painūs, be to, jie yra labiau naudojami sprendžiant lygčių sistemas, o ne nelygybes, todėl turėtumėte griebtis grafikų ir intervalų. Jie suteikia matomumo, o tai tik prisideda prie veiksmingo ir greito matematinių operacijų vykdymo.

Jei kažkas nepavyks

Žinoma, tiriant tam tikrą algebros temą, gali kilti problemų dėl jos supratimo. Ir tai yra normalu, nes mūsų smegenys yra suprojektuotos taip, kad vienu metu nesugeba suvokti sudėtingos medžiagos. Dažnai jums reikia perskaityti pastraipą, pasinaudoti mokytojo pagalba arba išmokti spręsti tipiškas problemas. Mūsų atveju jie atrodo, pavyzdžiui, taip: „Išspręskite nelygybių sistemą 3 x + 1 ≥ 0 ir 2 x - 1> 3“. Taigi asmeninis įsipareigojimas, pagalba iš išorės ir praktika padeda suprasti bet kokią sudėtingą temą.

Reshebnik?

Taip pat „reshebnik“ labai tinka, tik ne apgauti namų darbus, bet padėti sau. Juose galite rasti nelygybės sistemas su sprendimu, pažvelgti į jas (kaip į šablonus), pabandyti suprasti, kaip tiksliai sprendimo autorius susidorojo su užduotimi, ir tada pabandykite tai padaryti nepriklausoma tvarka.

išvadas

Algebra yra vienas sunkiausių dalykų mokykloje. Na, ką tu gali padaryti? Matematika visada buvo tokia: kai kuriems tai lengva, o kitiems - sunkiai. Tačiau bet kuriuo atveju reikia prisiminti, kad bendrojo lavinimo programa yra sukurta taip, kad bet kuris mokinys galėtų su ja susitvarkyti. Be to, reikia turėti omenyje didžiulį asistentų skaičių. Kai kurie iš jų buvo paminėti aukščiau.

Nelygybių sistema.
1 pavyzdys... Raskite išraiškos apimtį
Sprendimas. Po kvadratinės šaknies ženklu turi būti neigiamas skaičius, o tai reiškia, kad vienu metu turi būti įvykdytos dvi nelygybės: Tokiais atvejais sakoma, kad problema sumažėja iki nelygybių sistemos sprendimo

Bet mes dar nesutikome tokio matematinio modelio (nelygybių sistemos). Tai reiškia, kad mes dar negalime užbaigti pavyzdžio sprendimo.

Sistemą sudarančias nelygybes vienija garbanotieji skliausteliai (tas pats yra ir lygčių sistemose). Pavyzdžiui, įrašas

reiškia, kad nelygybės 2x - 1> 3 ir 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

Kartais nelygybių sistema užrašoma kaip dviguba nelygybė. Pavyzdžiui, nelygybės sistema

galima parašyti kaip dvigubą nelygybę 3<2х-1<11.

9 klasės algebros kurse nagrinėsime tik dviejų nelygybių sistemas.

Apsvarstykite nelygybės sistemą

Galite pasiimti kelis konkrečius jo sprendimus, pavyzdžiui, x = 3, x = 4, x = 3.5. Iš tiesų, jei x = 3, pirmoji nelygybė yra 5> 3, o antroji - 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Tuo pačiu metu reikšmė x = 5 nėra nelygybės sistemos sprendimas. Jei x = 5, pirmoji nelygybė yra 9> 3 - tikra skaitinė nelygybė, o antroji - 13< 11- неверное числовое неравенство .
Išspręsti nelygybės sistemą reiškia rasti visus jos specifinius sprendimus. Akivaizdu, kad spėjimas, kaip parodyta aukščiau, nėra nelygybės sistemos sprendimo metodas. Kitame pavyzdyje parodysime, kaip paprastai sprendžiama nelygybių sistema.

3 pavyzdys. Išspręskite nelygybės sistemą:

Sprendimas.

a) Išsprendę pirmąją sistemos nelygybę, randame 2x> 4, x> 2; sprendžiant antrąją sistemos nelygybę, randame< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Išsprendę pirmąją sistemos nelygybę, randame x> 2; sprendžiant antrąją sistemos nelygybę, randame Pažymėkime šiuos intervalus vienoje koordinačių linijoje, naudodami viršutinį perėjimą pirmajam intervalui, o apatinį - antrajam (23 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas bus sistemos nelygybės sprendimų sankirta, t.y. tarpas, kuriame abu liukai sutampa. Nagrinėjamame pavyzdyje mes gauname spindulį

v) Išsprendę pirmąją sistemos nelygybę, randame x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Apibendrinkime samprotavimus nagrinėtame pavyzdyje. Tarkime, kad turime išspręsti nelygybių sistemą

Pavyzdžiui, intervalas (a, b) yra nelygybės fx 2> g (x) sprendimas, o intervalas (c, d) - nelygybės f 2 (x)> s 2 (x) sprendimas ). Šiuos intervalus pažymime vienoje koordinačių linijoje, pirmajam intervalui naudojame viršutinį, o antram - apatinį perėjimą (25 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas yra sistemos nelygybės sprendimų sankirta, t.y. tarpas, kuriame abu liukai sutampa. Fig. 25 yra intervalas (c, b).

Dabar mes galime lengvai išspręsti nelygybių sistemą, kurią gavome aukščiau, 1 pavyzdyje:

Išsprendę pirmąją sistemos nelygybę, randame x> 2; sprendžiant antrąją sistemos nelygybę, randame x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Žinoma, nelygybių sistema neturi susidėti iš tiesinių nelygybių, kaip buvo iki šiol; galima susidurti su bet kokia racionalia (ir ne tik racionalia) nelygybe. Techniškai dirbti su racionalios netiesinės nelygybės sistema, žinoma, yra sunkiau, tačiau čia nėra nieko iš esmės naujo (lyginant su linijinės nelygybės sistemomis).

4 pavyzdys. Išspręskite nelygybių sistemą

Sprendimas.

1) Išspręskite turimą nelygybę
Skaičių tiesėje pažymėkime taškus -3 ir 3 (27 pav.). Jie padalija tiesę į tris intervalus, o kiekviename intervale išraiška p (x) = (x- 3) (x + 3) išlaiko pastovų ženklą - šie ženklai nurodyti fig. 27. Mus domina intervalai, kuriais patenkinama nelygybė p (x)> 0 (jie yra pavėsyje 27 pav.), Ir taškai, kuriuose lygybė p (x) = 0 laikosi, tai yra, taškai x = -3, x = 3 (2-7 pav. jie pažymėti tamsiais apskritimais). Taigi, pav. 27 parodytas geometrinis pirmosios nelygybės sprendimo modelis.

2) Išspręskite turimą nelygybę
Skaičių tiesėje pažymėkime taškus 0 ir 5 (28 pav.). Jie padalija tiesią liniją į tris intervalus, o kiekviename intervale - išraišką<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (užtemdytas 28 pav.), Ir taškus, kuriuose lygybė g (x) - O yra patenkinta, tai yra, taškai x = 0, x = 5 (28 pav. jie pažymėti tamsiais apskritimais). Taigi, pav. 28 parodytas geometrinis modelis, skirtas išspręsti antrąją sistemos nelygybę.

3) Pažymėkime rastus sistemos pirmosios ir antrosios nelygybės sprendimus vienoje koordinačių linijoje, pirmosios nelygybės sprendimams naudokite viršutinį atspalvį, o antrosios - apatinį atspalvį (29 pav.). Nelygybių sistemos sprendimas bus sistemos nelygybės sprendimų sankirta, t.y. tarpas, kuriame abu liukai sutampa. Šis atotrūkis yra segmentas.

5 pavyzdys. Išspręskite nelygybės sistemą:

Sprendimas:

a) Iš pirmosios nelygybės randame x> 2. Apsvarstykite antrąją nelygybę. Kvadratinis trinominis x 2 + x + 2 neturi tikrų šaknų, o jo pagrindinis koeficientas (koeficientas x 2) yra teigiamas. Vadinasi, visiems x yra nelygybė x 2 + x + 2> 0, todėl antroji sistemos nelygybė neturi sprendimų. Ką tai reiškia nelygybės sistemai? Tai reiškia, kad sistema neturi sprendimų.

b) Iš pirmosios nelygybės randame x> 2, o antroji nelygybė galioja visoms x reikšmėms. Ką tai reiškia nelygybės sistemai? Tai reiškia, kad jo sprendimas yra x> 2 formos, t.y. sutampa su pirmosios nelygybės sprendimu.

Atsakymas:

a) nėra sprendimų; b) x> 2.

Šis pavyzdys yra iliustruojantis, kad būtų naudinga

1. Jei kelių nelygybių sistemoje su vienu kintamuoju viena nelygybė neturi sprendimų, tai sistema taip pat neturi sprendimų.

2. Jei dviejų nelygybių sistemoje su vienu kintamuoju viena nelygybė galioja bet kurioms kintamojo reikšmėms, tai sistemos sprendimas yra antrosios sistemos nelygybės sprendimas.

Baigdami šį skyrių, grįžkime prie pradžioje pateikto sumanyto skaičiaus problemos ir išspręskime ją, kaip sakoma, pagal visas taisykles.

2 pavyzdys(žr. p. 29). Numatytas natūralus skaičius. Yra žinoma, kad jei prie sumanomo skaičiaus kvadrato pridedama 13, tada suma bus didesnė už sumanomo skaičiaus ir skaičiaus 14. sandauga. Jei prie sumanomo skaičiaus kvadrato bus pridėta 45, suma bus būti mažesnis už sumanyto skaičiaus ir skaičiaus sandaugą 18. Koks skaičius sumanytas?

Sprendimas.

Pirmas žingsnis. Matematinio modelio sudarymas.
Numatytas skaičius x, kaip matėme aukščiau, turi atitikti nelygybių sistemą

Antrasis etapas. Darbas su sudėtu matematiniu modeliu.Pirmąją sistemos nelygybę transformuojame į formą
x2- 14x + 13> 0.

Raskime trinomės x 2 - 14x + 13 šaknis: x 2 = 1, x 2 = 13. Naudodami parabolę y = x 2 - 14x + 13 (30 pav.), Darome išvadą, kad interesų nelygybė mus laiko x< 1 или x > 13.

Antrąją sistemos nelygybę transformuojame į formą х2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Yra tik „X“ ir tik abscisės ašis, tačiau dabar pridedami „žaidimai“ ir veiklos laukas išsiplečia iki visos koordinačių plokštumos. Toliau tekste frazė „linijinė nelygybė“ suprantama dvimatėmis prasmėmis, kurios paaiškės per kelias sekundes.

Be analitinės geometrijos, medžiaga yra aktuali daugeliui matematinės analizės, ekonominio ir matematinio modeliavimo problemų, todėl rekomenduoju šią paskaitą studijuoti visiškai rimtai.

Tiesinės nelygybės

Yra dviejų tipų linijinė nelygybė:

1) Griežtas nelygybė :.

2) Lax nelygybė :.

Kokia šių nelygybių geometrinė prasmė? Jei tiesinė lygtis apibrėžia tiesę, tai linijinė nelygybė pusiau lėktuvas.

Norėdami suprasti toliau pateiktą informaciją, turite žinoti plokščių tiesių atmainų įvairovę ir mokėti kurti tiesias linijas. Jei šioje dalyje turite kokių nors sunkumų, perskaitykite pagalbą Funkcijų grafikai ir savybės- pastraipa apie tiesinę funkciją.

Pradėkime nuo paprasčiausių tiesinių nelygybių. Bet kurio neturtingo studento mėlyna svajonė yra koordinačių plokštuma, kurioje nėra nieko:

Kaip žinote, abscisės ašį nustato lygtis - „žaidimas“ visada (bet kuriai „x“ reikšmei) lygus nuliui

Apsvarstykite nelygybę. Kaip tai suprasti neformaliai? „Y“ visada (bet kuriai „X“ reikšmei) yra teigiamas. Akivaizdu, kad ši nelygybė lemia viršutinę pusės plokštumą - juk yra visi taškai su teigiamais „žaidimais“.

Jei nelygybė nėra griežta, į viršutinę pusės plokštumą papildomai pridedama pati ašis.

Panašiai: visi apatinės pusės plokštumos taškai tenkina nelygybę, apatinė pusės plokštuma + ašis atitinka ne griežtą nelygybę.

Y ašis yra ta pati prozinė istorija:

- nelygybė apibrėžia dešinįjį plokštumą;
- nelygybė nustato dešinįjį plokštumą, įskaitant ordinatės ašį;
- nelygybė apibrėžia kairę pusę plokštumos;
- nelygybė apibrėžia kairę pusę plokštumos, įskaitant ordinatės ašį.

Antrame žingsnyje apsvarstykite nelygybę, kurioje trūksta vieno iš kintamųjų.

Nėra „žaidimo“:

Arba trūksta „x“:

Tokią nelygybę galima išspręsti dviem būdais: prašome apsvarstyti abu metodus... Pakeliui prisiminkime-įtvirtinkime mokyklos veiksmus su nelygybe, jau išanalizuota pamokoje Funkcijų apimtis.

1 pavyzdys

Išspręskite tiesines nelygybes:

Ką reiškia išspręsti tiesinę nelygybę?

Išspręsti tiesinę nelygybę reiškia rasti pusiau plokštumą, kurių taškai patenkina šią nelygybę (plius pati linija, jei nelygybė nėra griežta). Sprendimas, paprastai, grafinis.

Patogiau iš karto įvykdyti piešinį ir tada viską komentuoti:

a) Išspręskite nelygybę

Pirmasis metodas

Metodas yra labai panašus į istoriją su koordinačių ašimis, apie kurias mes kalbėjome aukščiau. Idėja yra transformuoti nelygybę - palikti vieną kintamąjį kairėje pusėje be jokių konstantų, šiuo atveju kintamąjį „x“.

Taisyklė: Esant nelygybei, terminai iš vienos dalies į kitą keičiami keičiant ženklą, o nelygybės ženklas nesikeičia(pavyzdžiui, jei buvo ženklas „mažiau“, tada liks „mažiau“).

Perkeliame „penkis“ į dešinę pusę, pakeitus ženklą:

Taisyklė TEIGIAMAS nesikeičia.

Dabar brėžiame tiesią liniją (mėlyna punktyrinė linija). Tiesią liniją brėžia punktyrinė linija, nes nelygybė griežtas, o taškai, priklausantys šiai linijai, tikrai nebus įtraukti į sprendimą.

Ką reiškia nelygybė? „X“ visada (bet kuriai „y“ reikšmei) yra mažesnis nei. Akivaizdu, kad šį teiginį tenkina visi kairiojo pusės plokštumos taškai. Ši pusiau plokštuma iš esmės gali būti nuspalvinta, tačiau apsiribosiu mažomis mėlynomis rodyklėmis, kad piešinys nebūtų paverstas menine palete.

Antrasis metodas

Tai universalus būdas. LABAI SKAITYMAME!

Pirmiausia nubrėžkite tiesią liniją. Aiškumo dėlei, beje, patartina lygtį pavaizduoti formoje.

Dabar pasirenkame bet kurį plokštumos tašką, nepriklausanti tiesiai linijai... Daugeliu atvejų žinia, žinoma, yra. Pakeiskite šio taško koordinates į nelygybę:

Gautas neteisinga nelygybė(paprastais žodžiais tariant, taip negali būti), o tai reiškia, kad esmė netenkina nelygybės.

Pagrindinė mūsų užduoties taisyklė:
netenkina tada nelygybė VISI tam tikros pusės plokštumos taškai netenkina duota nelygybė.
- Jei kuris nors pusiau plokštumos taškas (nepriklauso tiesiai linijai) tenkina tada nelygybė VISI tam tikros pusės plokštumos taškai Patenkinti duota nelygybė.

Galite tai išbandyti: bet koks taškas dešinėje tiesės netenkins nelygybės.

Kokia išvada iš patirties naudojant tašką? Nėra kur dingti, nelygybę tenkina visi kito taškai - kairė pusplokštė (taip pat galite patikrinti).

b) Išspręskite nelygybę

Pirmasis metodas

Mes keičiame nelygybę:

Taisyklė: Abi nelygybės puses galima padauginti (padalyti) iš NEGATYVUS skaičių ir nelygybės ženklą PAKEISTI priešingai (pavyzdžiui, jei buvo ženklas „didesnis arba lygus“, tada jis taps „mažesnis arba lygus“).

Padauginame abi nelygybės puses iš:

Mes brėžiame tiesią liniją (raudoną), be to, mes piešiame ją vientisa linija, nes mūsų nelygybė atsainus, o tiesi linija tikrai priklauso sprendimui.

Išanalizavę susidariusią nelygybę, darome išvadą, kad jos sprendimas yra apatinė pusplokštė (+ pati linija).

Išperime tinkamą pusplokštumą arba pažymime rodyklėmis.

Antrasis metodas

Nubrėžkime tiesią liniją. Pavyzdžiui, pasirinkime savavališką plokštumos tašką (nepriklausantį tiesiai linijai) ir pakeiskite jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gautas teisinga nelygybė, todėl taškas tenkina nelygybę ir apskritai VISI apatinės pusės plokštumos taškai patenkina šią nelygybę.

Čia kaip eksperimentinis taškas „pataikėme“ į reikiamą pusplaukį.

Problemos sprendimas nurodomas raudona linija ir raudonomis rodyklėmis.

Man asmeniškai labiau patinka pirmasis sprendimas, nes antrasis vis dar yra formalus.

2 pavyzdys

Išspręskite tiesines nelygybes:

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Pabandykite išspręsti problemą dviem būdais (beje, tai yra geras būdas išbandyti sprendimą). Pamokos pabaigoje pateiktame atsakyme bus tik paskutinis piešinys.

Manau, kad po visų pavyzdžiuose atliktų veiksmų turėsite su jais susituokti, nebus sunku išspręsti paprasčiausią nelygybę, pvz.

Mes kreipiamės į trečiąjį bendrąjį atvejį, kai nelygybėje yra abu kintamieji:

Arba laisvas narys „tse“ gali būti lygus nuliui.

3 pavyzdys

Raskite pusiau plokštumas, atitinkančias šias nelygybes:

Sprendimas: Jis naudoja bendrą taškų pakeitimo sprendimą.

a) Mes sukonstruosime tiesios linijos lygtį, o linija turėtų būti nubrėžta punktyrine linija, nes nelygybė yra griežta ir pati tiesė neįeis į sprendimą.

Mes pasirenkame, pavyzdžiui, eksperimentinį plokštumos tašką, kuris nepriklauso tam tikrai tiesei, ir pakeičiame jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gautas neteisinga nelygybė, todėl taškas ir VISI duoto pusiau plokštumos taškai netenkina nelygybės. Nelygybės sprendimas bus dar viena pusiau plokštuma, žavimės mėlynu žaibu:

b) Išspręskime nelygybę. Pirmiausia nubrėžkime tiesią liniją. Tai padaryti nėra sunku, prieš mus yra tiesioginis kanoninis proporcingumas. Nubrėžkite tvirtą liniją, nes nelygybė nėra griežta.

Rinkimės savavališką plokštumos tašką, kuris nepriklauso tiesiai. Norėčiau dar kartą panaudoti kilmę, bet, deja, dabar ji neveikia. Todėl jūs turite dirbti su kitu draugu. Pavyzdžiui, pelningiau pasirinkti tašką su mažomis koordinatėmis. Pakeiskime jo koordinates į mūsų nelygybę:

Gautas teisinga nelygybė, todėl taškas ir visi tam tikros pusiau plokštumos taškai patenkina nelygybę. Reikalinga pusiau plokštuma pažymėta raudonomis rodyklėmis. Be to, pati tiesi linija įtraukta į sprendimą.

4 pavyzdys

Raskite pusiau plokštumus, atitinkančius nelygybę:

Tai yra „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys. Visas sprendimas, apytikslis apdailos pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Panagrinėkime atvirkštinę problemą:

5 pavyzdys

a) Pateikta tiesi linija. Apibrėžti pusiau plokštuma, kurioje yra taškas, o pati tiesė turi patekti į sprendinį.

b) Pateikta tiesi linija. Apibrėžti pusiau plokštuma, kurioje yra taškas. Tiesi linija nėra įtraukta į sprendimą.

Sprendimas: brėžinio nereikia ir sprendimas bus analitinis. Nieko sunkaus:

a) Sudarome pagalbinį daugianarį ir apskaičiuokite jo vertę taške:
... Taigi reikalinga nelygybė bus su ženklu „mažiau“. Pagal hipotezę tiesi linija įtraukta į sprendimą, todėl nelygybė nebus griežta:

b) Sudarykime daugianarį ir apskaičiuokime jo vertę taške:
... Taigi reikalinga nelygybė bus su ženklu „didesnis nei“. Pagal sąlygą tiesi linija nėra įtraukta į sprendimą, todėl nelygybė bus griežta:.

Atsakymas:

Kūrybinio savarankiško tyrimo pavyzdys:

6 pavyzdys

Pateikiami taškai ir tiesi linija. Tarp išvardytų taškų raskite tuos, kurie kartu su kilme yra vienoje nurodytos tiesės pusėje.

Maža užuomina: pirmiausia turite nubrėžti nelygybę, apibrėžiančią pusę plokštumos, kurioje yra kilmė. Analitinis sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Tiesinių nelygybių sistemos

Tiesinių nelygybių sistema, kaip jūs suprantate, yra sistema, susidedanti iš kelių nelygybių. Lol, gerai, aš pateikiau apibrėžimą =) Ežiukas yra ežiukas, peilis yra peilis. Tačiau tiesa yra ta, kad tai pasirodė paprasta ir prieinama! Ne, rimtai, aš nenoriu pateikti kai kurių pavyzdžių apskritai, todėl pereikime prie skubių klausimų:

Ką reiškia išspręsti tiesinės nelygybės sistemą?

Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą- tai reiškia Raskite plokštumos taškų rinkinį kurie patenkina kiekvienam sistemos nelygybė.

Kaip paprasčiausius pavyzdžius, apsvarstykite nelygybės sistemas, kurios nustato stačiakampės koordinačių sistemos koordinačių ketvirčius („dviejų skaičius“ yra pačioje pamokos pradžioje):

Nelygybių sistema nustato pirmąjį koordinačių ketvirtį (viršuje dešinėje). Pavyzdžiui, bet kurio pirmojo ketvirčio taško koordinatės, ir kt. Patenkinti kiekvienamšios sistemos nelygybė.

Panašiai:
- nelygybių sistema nustato antrąjį koordinačių ketvirtį (viršuje kairėje);
- nelygybių sistema nustato trečiąjį koordinačių ketvirtį (apačioje kairėje);
- nelygybių sistema nustato ketvirtąjį koordinačių ketvirtį (apačioje dešinėje).

Tiesinių nelygybių sistema gali neturėti sprendimų, tai yra būti nenuoseklus... Vėl paprasčiausias pavyzdys :. Visiškai akivaizdu, kad „X“ vienu metu negali būti daugiau nei trys ir mažiau nei du.

Nelygybių sistemos sprendimas gali būti tiesi linija, pavyzdžiui:. Gulbė, vėžys, lydekos nėra, traukite vežimėlį dviem skirtingomis kryptimis. Taip, viskas vis dar yra - šios sistemos sprendimas yra tiesioginis.

Tačiau dažniausiai pasitaikantis atvejis, kai sistemos sprendimas yra tam tikras lėktuvo sritis. Sprendimo sritis gal būt neapsiriboja(pvz., koordinačių ketvirčiai) arba ribotas... Riboto sprendimo zona vadinama sprendimų daugiakampio sistema.

7 pavyzdys

Išspręskite tiesinių nelygybių sistemą

Praktiškai daugeliu atvejų jūs turite susidoroti su ne griežtomis nelygybėmis, todėl jos veda likusią pamokos dalį.

Sprendimas: tai, kad yra per daug nelygybės, neturėtų būti baisu. Kiek nelygybių gali būti sistemoje? Taip, tiek, kiek reikia. Svarbiausia yra laikytis racionalaus sprendimo domeno konstravimo algoritmo:

1) Pirma, mes sprendžiame paprasčiausias nelygybes. Nelygybės apibrėžia pirmąjį koordinačių ketvirtį, įskaitant koordinačių ašių ribą. Tai jau daug lengviau, nes paieškos sritis buvo gerokai susiaurinta. Piešinyje nedelsdami pažymėkite atitinkamas pusiau plokštumas rodyklėmis (raudonos ir mėlynos rodyklės)

2) Antra paprasčiausia nelygybė - čia nėra „žaidimo“. Pirma, mes konstruojame pačią liniją, ir, antra, transformavus nelygybę į formą, iš karto tampa aišku, kad visi „xes“ yra mažesni nei 6. Žaliomis rodyklėmis pažymime atitinkamą pusplokštumą. Na, paieškos sritis tapo dar mažesnė - toks neribotas stačiakampis iš viršaus.

3) Paskutiniame etape mes išsprendžiame nelygybę „su pilna amunicija“:. Ankstesnėje pastraipoje išsamiai ištyrėme sprendimo algoritmą. Trumpai tariant: iš pradžių mes statome tiesią liniją, tada, naudodamiesi eksperimentiniu tašku, randame reikiamą plokštumą.

Atsistokite, vaikai, atsistokite ratu:


Sistemos sprendimo plotas yra daugiakampis, brėžinyje jis nubrėžtas raudona spalva ir tamsintas. Truputį persistengiau =) Užrašų knygelėje užtenka arba atspalvinti tirpalų plotą, arba drąsiau apskritti paprastu pieštuku.

Bet kuris šio daugiakampio taškas patenkina KIEKVIENĄ sistemos nelygybę (galite patikrinti, ar nėra susidomėjimo).

Atsakymas: Sistemos sprendimas yra daugiakampis.

Registruojantis gauti švarią kopiją, būtų malonu išsamiai aprašyti, kuriuose taškuose tiesėte tiesias linijas (žr. Pamoką) Funkcijų grafikai ir savybės) ir kaip buvo nustatyti pusiau plokštumai (žr. šios pamokos pirmą pastraipą). Tačiau praktiškai daugeliu atvejų jums bus įskaitytas tik teisingas piešinys. Patys skaičiavimai gali būti atliekami pagal juodraštį arba net žodžiu.

Be sistemos sprendimų daugiakampio, praktikoje, nors ir rečiau, yra atvira sritis. Išbandykite šį pavyzdį patys. Nors dėl tikslumo čia nėra kankinimų - statybos algoritmas yra tas pats, tik plotas pasirodys neribotas.

8 pavyzdys

Išspręskite sistemą

Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Greičiausiai gautos srities viršūnių raidės bus skirtingos. Tai nėra svarbu, svarbiausia yra teisingai rasti viršūnes ir teisingai pastatyti teritoriją.

Neretai, kai atliekant užduotis reikia ne tik sukonstruoti sistemos sprendimų regioną, bet ir surasti regiono viršūnių koordinates. Dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose šių taškų koordinatės buvo akivaizdžios, tačiau praktiškai viskas toli gražu nėra ledo:

9 pavyzdys

Išspręskite sistemą ir raskite gautos srities viršūnių koordinates

Sprendimas: brėžinyje pavaizduokite šios sistemos sprendimų sritį. Nelygybė apibrėžia kairįjį pusiau plokštumą su ordinačiais, ir čia nebėra dovanų. Apskaičiavę švarią kopiją / juodraštį ar gilius mąstymo procesus, gauname tokią sprendimo sritį:

taip pat žr. Linijinio programavimo problemos sprendimas grafiškai, Kanoninė linijinio programavimo uždavinių forma

Tokios problemos apribojimų sistema susideda iš dviejų kintamųjų nelygybės:
o tikslo funkcija turi formą F = C 1 x + C 2 y būti maksimaliai padidintas.

Atsakykime į klausimą: kokios skaičių poros ( x; y) ar nelygybės sistemos sprendimai, t. y. tenkina kiekvieną nelygybę vienu metu? Kitaip tariant, ką reiškia sistemos sprendimas grafiškai?
Pirma, jūs turite suprasti, koks yra vienos tiesinės nelygybės su dviem nežinomaisiais sprendimas.
Išspręsti tiesinę nelygybę su dviem nežinomaisiais reiškia nustatyti visas nežinomų verčių poras, kurių nelygybė patenkinta.
Pavyzdžiui, nelygybė 3 x – 5y≥ 42 tenkina poras ( x , y): (100, 2); (3, –10) ir tt Problema yra surasti visas tokias poras.
Apsvarstykite dvi nelygybes: kirvis + pagal≤ c, kirvis + pagal≥ c... Tiesiai kirvis + pagal = c padalija plokštumą į dvi pusiau plokštumas taip, kad vieno iš jų taškų koordinatės patenkintų nelygybę kirvis + pagal >c ir kita nelygybė kirvis + +pagal <c.
Iš tikrųjų paimkite tašką su koordinatėmis x = x 0; tada taškas, esantis tiesioje linijoje ir turintis abscisę x 0, turi ordinaciją

Leiskite aiškumui a& lt 0, b>0, c> 0. Visi taškai su abscisėmis x 0 guli aukščiau P(pavyzdžiui, taškas M) turi y M>y 0, o visi taškai žemiau taško P, su abscisėmis x 0, turi y N.<y 0. Tiek, kiek x 0 yra savavališkas taškas, tada vienoje tiesės pusėje visada bus taškų, kuriems kirvis+ pagal > c formuojant pusplokštumą, o kita vertus-taškus, kuriems kirvis + pagal< c.

1 paveikslas

Pusiau plokštumos nelygybės ženklas priklauso nuo skaičių a, b , c.
Tai reiškia šį metodą, skirtą grafiškai išspręsti dviejų kintamųjų linijinės nelygybės sistemas. Norėdami išspręsti sistemą, turite:

1. Kiekvienai nelygybei užrašykite lygtį, atitinkančią nurodytą nelygybę.
2. Sukurkite tiesias linijas, kurios yra lygčių apibrėžtų funkcijų grafikai.
3. Kiekvienai tiesei nustatykite pusės plokštumą, kurią suteikia nelygybė. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką, kuris nėra tiesioje linijoje, pakeiskite jo koordinates į nelygybę. jei nelygybė yra teisinga, tada pusiau plokštuma, kurioje yra pasirinktas taškas, yra pirminės nelygybės sprendimas. Jei nelygybė netiesa, tada pusiau plokštuma kitoje tiesės pusėje yra šios nelygybės sprendimų rinkinys.
4. Norint išspręsti nelygybių sistemą, būtina rasti visų pusiau plokštumų, kurios yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, sankirtos plotą.

Ši sritis gali būti tuščia, tada nelygybių sistema neturi sprendimų, yra nenuosekli. Priešingu atveju sakoma, kad sistema yra suderinama.
Gali būti baigtinis skaičius ir begalinis sprendimų skaičius. Plotas gali būti uždaras daugiakampis arba neribotas.

Pažvelkime į tris svarbius pavyzdžius.

1 pavyzdys. Išspręskite sistemą grafiškai:
x + y - 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• apsvarstykite lygtis x + y - 1 = 0 ir –2x - 2y + 5 = 0, atitinkančias nelygybes;
• konstruojame tiesias, pateiktas šiomis lygtimis.

2 paveikslas

Apibrėžkime nelygybių suteiktas pusės plokštumas. Paimkite savavališką tašką, leiskite (0; 0). Apsvarstykite x+ y– 1 0, pakeiskite tašką (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Taigi pusiau plokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.y. pusiau plokštuma žemiau linijos yra pirmosios nelygybės sprendimas. Pakeitus šį tašką (0; 0) į antrąjį, gauname: –2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.y. pusiau plokštumoje, kurioje yra taškas (0; 0), –2 x – 2y+ 5 ≥ 0, ir mūsų paklausė, kur -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, todėl kitoje plokštumoje - toje, kuri yra aukštesnė už tiesę.
Raskime šių dviejų pusiau plokštumų sankirtą. Tiesės lygiagrečios, todėl plokštumos niekur nesikerta, o tai reiškia, kad šių nelygybių sistema neturi sprendimų, ji yra nesuderinama.

2 pavyzdys. Raskite grafinius nelygybių sistemos sprendimus:

3 pav
1. Išrašykime nelygybes atitinkančias lygtis ir sukonstruokime tiesias linijas.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Pasirinkę tašką (0; 0), mes apibrėžiame pusiau plokštumų nelygybės požymius:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, t.y. x + 2y- 2 ≤ 0 pusiau plokštumoje po tiesia linija;
0 - 0 - 1 ≤ 0, t.y. y –x- 1 ≤ 0 pusiau plokštumoje po tiesia linija;
0 + 2 = 2 ≥ 0, t.y. y+ 2 ≥ 0 pusiau plokštumoje virš tiesės.
3. Šių trijų pusplokščių sankirta bus regionas, kuris yra trikampis. Lengva rasti regiono viršūnes kaip atitinkamų linijų susikirtimo taškus


Taigi, A(–3; –2), V(0; 1), SU(6; –2).

Apsvarstykime dar vieną pavyzdį, kai gautas sistemos sprendimo plotas nėra ribojamas.

Šiame straipsnyje pateikiamas įvadas į nelygybės sistemas. Čia pateikiamas nelygybės sistemos apibrėžimas ir nelygybės sistemos sprendimo apibrėžimas. Taip pat išvardijami pagrindiniai sistemų tipai, su kuriais dažniausiai tenka dirbti algebros pamokose mokykloje, ir pateikiami pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Kas yra nelygybės sistema?

Patogu nelygybių sistemas apibrėžti taip pat, kaip mes įvedėme lygčių sistemos apibrėžimą, tai yra pagal žymėjimo tipą ir joje esančią reikšmę.

Apibrėžimas.

Nelygybių sistema Ar žymėjimas, vaizduojantis daugybę nelygybių, parašytų vienas po kito, sujungtas su garbanotomis petnešomis kairėje ir žymi visų sprendimų, kurie tuo pačiu metu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimai, rinkinį.

Pateiksime nelygybės sistemos pavyzdį. Paimkite du savavališkus, pavyzdžiui, 2 x - 3> 0 ir 5 - x≥4 x - 11, parašykite juos vienas po kito
2 x - 3> 0,
5 - x ≥ 4 x - 11
ir susivienyti sistemos ženklu - garbanota petneša, todėl gauname tokios formos nelygybių sistemą:

Panašiai pateikiama nelygybės sistemų idėja mokykliniuose vadovėliuose. Reikėtų pažymėti, kad juose apibrėžimai pateikiami siauresni: nelygybėms su vienu kintamuoju arba su dviem kintamaisiais.

Pagrindinės nelygybės sistemų rūšys

Akivaizdu, kad galima sudaryti be galo daug skirtingų nelygybės sistemų. Kad nepasimestumėte šioje įvairovėje, patartina juos apsvarstyti grupėse, turinčiose savo išskirtinius bruožus. Visas nelygybės sistemas galima suskirstyti į grupes pagal šiuos kriterijus:

• pagal nelygybių skaičių sistemoje;
• pagal įraše dalyvaujančių kintamųjų skaičių;
• pačių nelygybių forma.

Pagal į įrašą įtrauktų nelygybių skaičių išskiriamos dviejų, trijų, keturių ir kt. nelygybes. Ankstesnėje pastraipoje mes pateikėme sistemos, kuri yra dviejų nelygybių sistema, pavyzdį. Parodykime dar vieną keturių nelygybių sistemos pavyzdį .

Atskirai sakysime, kad nėra prasmės kalbėti apie vienos nelygybės sistemą, šiuo atveju iš esmės kalbame apie pačią nelygybę, o ne apie sistemą.

Jei pažvelgsime į kintamųjų skaičių, tada turime nelygybės sistemas, kuriose yra vienas, du, trys ir kt. kintamieji (arba, kaip sakoma, nežinomi). Pažvelkite į paskutinę nelygybės sistemą, parašytą prieš dvi pastraipas. Tai sistema, turinti tris kintamuosius x, y ir z. Atminkite, kad pirmosiose dviejose jo nelygybėse nėra visų trijų kintamųjų, o tik vienas iš jų. Šios sistemos kontekste jie turėtų būti suprantami kaip nelygybė su trimis kintamaisiais, atitinkamai x + 0 y + 0 z≥ - 2 ir 0 x + y + 0 z≤5. Atkreipkite dėmesį, kad mokykla daugiausia dėmesio skiria vieno kintamojo nelygybei.

Belieka aptarti, kokios nelygybės rūšys yra registruojamos sistemose. Mokykloje jie daugiausia atsižvelgia į dviejų nelygybių sistemas (rečiau - tris, dar rečiau - keturias ar daugiau) su vienu ar dviem kintamaisiais, o pačios nelygybės paprastai yra visiška nelygybė pirmas ar antras laipsnis (rečiau - aukštesni laipsniai arba truputį racionalus). Tačiau nenustebkite, jei rengdami OGE medžiagą susidursite su nelygybės sistemomis, kuriose yra neracionalių, logaritminių, eksponentinių ir kitų nelygybių. Kaip pavyzdį pateikiame nelygybių sistemą , jis paimtas iš.

Kas vadinama nelygybės sistemos sprendimu?

Pateiksime dar vieną su nelygybės sistemomis susijusią apibrėžtį - nelygybės sistemos sprendimo apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Sprendžiant nelygybių sistemą su vienu kintamuoju vadinama tokia kintamojo reikšme, dėl kurios kiekviena sistemos nelygybė yra teisinga, kitaip tariant, kuri yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas.

Paaiškinkime pavyzdžiu. Paimkime dviejų nelygybių sistemą su vienu kintamuoju. Paimkite kintamojo x reikšmę, lygią 8, tai yra mūsų nelygybių sistemos sprendimas pagal apibrėžimą, nes jį pakeitus į sistemos nelygybę gaunamos dvi tikrosios skaitinės nelygybės 8> 7 ir 2−3 · 8≤0. Priešingai, tai nėra sistemos sprendimas, nes kai jis pakeičiamas kintamuoju x, pirmoji nelygybė pavirs neteisinga 1> 7 skaitine nelygybe.

Panašiai galime įvesti nelygybės sistemos, turinčios du, tris ar daugiau kintamųjų, sprendimo apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Sprendžiant nelygybių sistemą su dviem, trimis ir kt. kintamieji vadinama pora, trys ir kt. šių kintamųjų reikšmių, o tai kartu yra kiekvienos sistemos nelygybės sprendimas, tai yra, kiekvieną sistemos nelygybę paverčia tikra skaitine nelygybe.

Pavyzdžiui, reikšmių pora x = 1, y = 2 arba kitoje žymėjime (1, 2) yra nelygybės sistemos, turinčios du kintamuosius, sprendimas, nes 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Nelygybės sistemos gali neturėti sprendimų, gali turėti ribotą sprendimų skaičių arba gali turėti be galo daug sprendimų. Dažnai sakoma apie nelygybės sistemos sprendimų rinkinį. Kai sistema neturi sprendimų, yra tuščias jos sprendimų rinkinys. Kai yra baigtinis sprendinių skaičius, tada sprendinių rinkinyje yra baigtinis elementų skaičius, o kai sprendimų yra be galo daug, tada sprendinių rinkinį taip pat sudaro begalinis elementų skaičius.

Kai kuriuose šaltiniuose pateikiami konkretaus ir bendro nelygybės sistemos sprendimo apibrėžimai, kaip, pavyzdžiui, Mordkovičiaus vadovėliuose. Pagal konkretus nelygybių sistemos sprendimas suprasti vieną jos atskirą sprendimą. Savo ruožtu bendras nelygybės sistemos sprendimas- tai visi jos sprendimai. Tačiau šie terminai turi prasmę tik tada, kai reikia ypač pabrėžti, kuris sprendimas yra aptariamas, tačiau paprastai tai aišku iš konteksto, todėl daug dažniau jie sako tiesiog „nelygybės sistemos sprendimas“.

Iš šiame straipsnyje pateiktų nelygybių sistemos apibrėžimų ir jos sprendimų matyti, kad nelygybių sistemos sprendimas yra visų šios sistemos nelygybių sprendimų aibių sankirta.

Bibliografija.

1. Algebra: studijuoti. už 8 cl. bendrojo lavinimo. institucijos / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16 -asis leidimas. - M.: Švietimas, 2008.- 271 p. : nesveikas. -ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9 klasė: vadovėlis. bendram ugdymui. institucijos / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovsky. - 16 -asis leidimas. - M.: Švietimas, 2009.- 271 p. : nesveikas. -ISBN 978-5-09-021134-5.
3. A. G. Mordkovičius Algebra. 9 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis ugdymo įstaigų studentams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13 -asis leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosina, 2011.- 222 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. A. G. Mordkovičius Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis švietimo įstaigų mokiniams (profilio lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 -asis leidimas, ištrintas. - M.: Mnemozina, 2008.- 287 p .: Ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Vieningas valstybinis egzaminas-2013 m. Matematika: tipiški egzamino variantai: 30 variantų / red. A. L. Semenova, I. V. Jaščenka. - M.: Leidykla „Tautinis ugdymas“, 2012. - 192 p. - (Vieningas valstybinis egzaminas -2013. FIPI - mokykla).