Eilučių konvergencijos požymiai.
D'Alemberto ženklas. Koši požymiai

Darbas, darbas – ir supratimas ateis vėliau
J.L. d'Alembertas

Sveikiname visus su mokslo metų pradžia! Šiandien yra rugsėjo 1 d., o šventės garbei nusprendžiau supažindinti skaitytojus su tuo, ko jau seniai laukėte ir troškote sužinoti - skaitinių teigiamų eilučių konvergencijos požymiai. Rugsėjo pirmosios šventės ir mano sveikinimai visada aktualūs, gerai, jei lauke iš tikrųjų vasara, dabar jau trečią kartą perlaikote egzaminą, mokykitės, jei lankėtės šiame puslapyje!

Tiems, kurie tik pradeda studijuoti serijas, rekomenduoju pirmiausia perskaityti straipsnį Skaičių serijos manekenams. Tiesą sakant, šis vežimėlis yra banketo tęsinys. Taigi, šiandien pamokoje apžvelgsime pavyzdžius ir sprendimus šiomis temomis:

Vienas iš įprastų palyginimo ženklų, randamų praktiniuose pavyzdžiuose, yra D'Alembert ženklas. Koši ženklai yra mažiau paplitę, bet taip pat labai populiarūs. Kaip visada, medžiagą stengsiuosi pateikti paprastai, prieinamai ir suprantamai. Tema nėra pati sunkiausia, o visos užduotys tam tikru mastu yra standartinės.

D'Alemberto konvergencijos testas

Jeanas Leronas d'Alembertas buvo garsus XVIII amžiaus prancūzų matematikas. Apskritai d’Alembertas specializavosi diferencialinėse lygtyse ir, remdamasis savo tyrimais, studijavo balistiką, kad Jo Didenybės pabūklų sviediniai geriau skristų. Tuo pačiu nepamiršau ir skaičių serijų, ne veltui vėliau Napoleono kariuomenės gretos taip aiškiai susiliejo ir išsiskyrė.

Prieš suformuluodami patį ženklą, apsvarstykime svarbų klausimą:
Kada reikia naudoti D'Alemberto konvergencijos testą?

Pirmiausia pradėkime nuo apžvalgos. Prisiminkime atvejus, kai reikia naudoti populiariausius palyginimo riba. Ribojantis palyginimo kriterijus taikomas, kai bendrame serijos termine:

1) Vardiklyje yra daugianario.
2) Polinomai yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje.
3) Vienas arba abu daugianariai gali būti po šaknimi.
4) Žinoma, gali būti daugiau daugianario ir šaknų.

Pagrindinės d'Alembert testo taikymo sąlygos yra šios:

1) Bendras serijos terminas (eilės „užpildymas“) tam tikru laipsniu apima tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, , , ir pan. Be to, visiškai nesvarbu, kur šis daiktas yra, skaitiklyje ar vardiklyje - svarbu, kad jis ten yra.

2) Į bendrąjį serijos terminą įeina faktorialas. Dar pamokoje Skaičių seka ir jos riba sukryžiavome kardus su faktorialais. Tačiau nepakenks dar kartą ištiesti pačių surinktą staltiesę:





…


…

! Naudodami d'Alemberto testą, turėsime detaliai apibūdinti faktorialą. Kaip ir ankstesnėje pastraipoje, faktorialas gali būti trupmenos viršuje arba apačioje.

3) Jei bendrame serijos termine yra „veiksnių grandinė“, pavyzdžiui, . Šis atvejis yra retas, bet! Studijuojant tokią seriją dažnai daroma klaida – žr. 6 pavyzdį.

Kartu su laipsniais ir (arba) faktoriais, eilutės užpildyme dažnai randami ir polinomai, tai situacijos nekeičia – reikia naudoti D'Alemberto ženklą.

Be to, bendrame serijos termine vienu metu gali atsirasti ir laipsnis, ir faktorialas; gali būti du faktorialai, du laipsniai, svarbu, kad būtų bent kažką iš nagrinėjamų taškų – ir būtent tai yra būtina sąlyga norint naudoti D'Alembert ženklą.

D'Alemberto ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei paskesnio ir ankstesnio termino santykis yra ribojamas: , tada:
a) Kai eilė susilieja
b) Kai eilė skiriasi
c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Dažniausiai toks gaunamas, kai bandoma taikyti D'Alembert testą, kai reikia naudoti ribojantį palyginimo testą.

Tiems, kurie vis dar turi problemų dėl ribų arba nesupranta ribų, skaitykite pamoką Ribos. Sprendimų pavyzdžiai. Be supratimo apie ribą ir gebėjimo atskleisti netikrumą, deja, toliau eiti į priekį.

O dabar ilgai laukti pavyzdžiai.

1 pavyzdys

Matome, kad bendrame serijos termine turime , ir tai yra būtina d'Alemberto testo naudojimo sąlyga. Pirma, visas sprendimas ir dizaino pavyzdys, komentarai žemiau.

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:


susilieja.

(1) Sudarome kito serijos nario ir ankstesnio nario santykį: . Iš sąlygos matome, kad bendras serijos terminas yra . Norint gauti kitą serijos narį, būtina vietoj to, kad pakeistumėte: .
Jei turite patirties su sprendimu, galite praleisti šį veiksmą.
(3) Atidarykite skaitiklio skliaustus. Vardiklyje iš galios išimame keturis.
(4) Sumažinti iki . Konstantą imame už ribos ženklo. Skaitiklyje panašius terminus pateikiame skliausteliuose.
(5) Neapibrėžtis pašalinama standartiniu būdu – padalijus skaitiklį ir vardiklį iš „en“ iki didžiausios laipsnio.
(6) Dalijame skaitiklio terminą iš vardklių ir nurodome terminus, kurie linkę į nulį.
(7) Mes supaprastiname atsakymą ir pažymime, kad darydami išvadą, kad pagal D'Alemberto kriterijų tiriamos eilutės sutampa.

Nagrinėjamame pavyzdyje bendrajame serijos termine susidūrėme su 2-ojo laipsnio daugianario. Ką daryti, jei yra 3, 4 ar aukštesnio laipsnio daugianario? Faktas yra tas, kad jei pateikiamas aukštesnio laipsnio polinomas, atsiras sunkumų atidarant skliaustus. Tokiu atveju galite naudoti „turbo“ sprendimo metodą.

2 pavyzdys

Paimkime panašią eilutę ir panagrinėkime jos konvergenciją

Pirmiausia visas sprendimas, tada komentarai:

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:


Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Mes sukuriame ryšį .
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Apsvarstykite išraišką skaitiklyje ir išraiška vardiklyje. Matome, kad skaitiklyje reikia atidaryti skliaustus ir pakelti juos į ketvirtą laipsnį: , ko visiškai nenorime daryti. O tiems, kurie nėra susipažinę su Niutono binomu, ši užduotis bus dar sunkesnė. Išanalizuokime aukštesnius laipsnius: jei atidarysime skliaustus viršuje , tada gausime aukštąjį laipsnį. Žemiau turime tą patį aukštąjį laipsnį: . Analogiškai su ankstesniu pavyzdžiu akivaizdu, kad dalijant skaitiklio ir vardiklio narius iš termino, riboje gauname vieną. Arba, kaip sako matematikai, daugianariai Ir - ta pati augimo tvarka. Taigi santykį apibūdinti visiškai įmanoma paprastu pieštuku ir iš karto nurodykite, kad šis daiktas linkęs į vieną. Su antrąja daugianario pora elgiamės taip pat: ir , jie taip pat ta pati augimo tvarka, o jų santykis linkęs į vienybę.

Tiesą sakant, toks „nulaužimas“ galėjo būti padarytas pavyzdyje Nr. 1, bet 2-ojo laipsnio daugianario atveju toks sprendimas vis tiek atrodo kažkaip negarbingai. Asmeniškai aš darau taip: jei yra pirmojo ar antrojo laipsnio daugianomas (arba daugianomas), naudoju „ilgąjį“ metodą, kad išspręsčiau 1 pavyzdį. Jei randu 3 ar aukštesnio laipsnio daugianarį, naudoju „Turbo“ metodas panašus į 2 pavyzdį.

3 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Pažvelkime į tipinius faktorių pavyzdžius:

4 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Bendras serijos terminas apima ir laipsnį, ir faktorialą. Aišku kaip diena, kad čia reikia naudoti d'Alemberto ženklą. Nuspręskime.

Taigi, tiriama serija skiriasi.

(1) Mes sukuriame ryšį . Dar kartą kartojame. Pagal sąlygą bendras serijos terminas yra: . Norėdami gauti kitą serijos kadenciją, vietoj to reikia pakeisti, Taigi: .
(2) Atsikratome keturių aukštų trupmenos.
(3) Nuimkite septynis nuo laipsnio. Mes išsamiai aprašome faktorialus. Kaip tai padaryti – skaitykite pamokos pradžioje arba straipsnyje apie skaičių sekas.
(4) Supjaustome viską, ką galima pjaustyti.
(5) Konstantą perkeliame už ribinio ženklo. Atidarykite skaitiklio skliaustus.
(6) Neapibrėžtumą pašaliname standartiniu būdu – padalydami skaitiklį ir vardiklį iš „en“ iki didžiausios laipsnio.

5 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje

6 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Kartais yra serijų, kurių užpildymas apima veiksnių „grandinę“; mes dar nesvarstėme tokio tipo serijų. Kaip ištirti seriją su veiksnių „grandine“? Naudokite d'Alemberto ženklą. Bet pirmiausia, norėdami suprasti, kas vyksta, išsamiai apibūdinkime seriją:

Iš išplėtimo matome, kad kiekvienas kitas serijos narys prie vardiklio pridedamas papildomas veiksnys, todėl jei bendras serijos narys , tada kitas serijos narys:
. Čia jie dažnai automatiškai daro klaidą, formaliai rašydami pagal tą algoritmą

Sprendimo pavyzdys gali atrodyti taip:

Mes naudojame d'Alemberto ženklą:

Taigi, tiriama serija susilieja.

Radikalus Koši ženklas

Augustin Louis Cauchy yra dar garsesnis prancūzų matematikas. Bet kuris inžinerijos studentas gali papasakoti Koši biografiją. Pačiomis vaizdingiausiomis spalvomis. Neatsitiktinai šis pavadinimas iškaltas pirmame Eifelio bokšto aukšte.

Cauchy konvergencijos testas teigiamoms skaičių serijoms yra šiek tiek panašus į ką tik aptartą D'Alemberto testą.

Radical Cauchy ženklas: Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra riba: , tada:
a) Kai eilė susilieja. Visų pirma, serija sutampa ties .
b) Kai eilė skiriasi. Visų pirma, serija skiriasi .
c) Kada ženklas neduoda atsakymo. Turite naudoti kitą ženklą. Įdomu pastebėti, kad jei Koši testas neduos atsakymo į eilučių konvergencijos klausimą, tai atsakymo neduos ir D'Alemberto testas. Bet jei d'Alembert testas neduoda atsakymo, tada Cauchy testas gali „veikti“. Tai yra, Košio ženklas šia prasme yra stipresnis ženklas.

Kada turėtumėte naudoti radikalų Koši ženklą? Radikalus Cauchy testas paprastai naudojamas tais atvejais, kai bendras serijos terminas PILNAI yra laipsnyje priklausomai nuo "en". Arba kai šaknis „geras“ išgaunama iš bendro serijos nario. Būna ir egzotiškų atvejų, bet mes dėl jų nesijaudinsime.

7 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Matome, kad bendras serijos terminas visiškai priklauso nuo galios, o tai reiškia, kad turime naudoti radikalų Koši testą:


Taigi, tiriama serija skiriasi.

(1) Suformuluojame bendrą serijos terminą po šaknimi.
(2) Perrašome tą patį, tik be šaknies, naudodami laipsnių savybę.
(3) Rodiklyje skaitiklį padalijame iš vardiklio termino, nurodydami, kad
(4) Dėl to turime neapibrėžtumo. Čia galite nueiti ilgą kelią: kubas, kubas, tada skaitiklį ir vardiklį padalinkite iš „en“ iki didžiausios laipsnio. Tačiau šiuo atveju yra efektyvesnis sprendimas: skaitiklio ir vardiklio terminą galite padalyti iš termino tiesiai pagal pastovią galią. Norėdami pašalinti neapibrėžtumą, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš (didžiausią laipsnį).
(5) Mes iš tikrųjų atliekame padalijimą po terminus ir nurodome terminus, kurie linkę į nulį.
(6) Prisimename atsakymą, pažymime, ką turime, ir darome išvadą, kad serijos skiriasi.

Štai paprastesnis pavyzdys, kurį galite išspręsti patys:

8 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Ir dar pora tipiškų pavyzdžių.

Visas sprendimas ir dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje

9 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos
Mes naudojame radikalų Cauchy testą:


Taigi, tiriama serija susilieja.

(1) Įdėkite bendrąjį serijos terminą po šaknimi.
(2) Perrašome tą patį, bet be šaknies, atidarydami skliaustus naudodami sutrumpintą daugybos formulę: .
(3) Rodiklyje skaitiklį padalijame iš vardiklio termino ir nurodome, kad .
(4) Formos neapibrėžtumas . Čia galite tiesiogiai padalinti skaitiklį iš vardiklio skliausteliuose iš „en“ iki didžiausio laipsnio. Su panašiu susidūrėme studijuodami antra nuostabi riba. Bet čia situacija kitokia. Jei koeficientai prie didesnių galių būtų identiškas, pvz.: , tada gudrybė su padalijimu po terminus nebeveiktų ir reikėtų naudoti antrą žymią ribą. Bet mes turime šiuos koeficientus skirtinga(5 ir 6), todėl galima (ir būtina) skirstyti terminą iš termino (beje, priešingai - antra žymi riba skirtinga didesnių galių koeficientai nebeveikia). Jei prisimenate, šios subtilybės buvo aptartos paskutinėje straipsnio pastraipoje Ribų sprendimo būdai.
(5) Mes iš tikrųjų atliekame padalijimą po terminus ir nurodome, kurie terminai yra lygūs nuliui.
(6) Neapibrėžtis pašalinta, mums liko paprasčiausia riba: . Kodėl į be galo didelis linkęs į nulį? Nes laipsnio bazė tenkina nelygybę. Jei kam kyla abejonių dėl limito teisingumo , tada nepatingėsiu, pasiimsiu skaičiuotuvą:
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
Jei tada
… ir tt iki begalybės – tai yra riboje:

Štai taip be galo mažėjanti geometrinė progresija ant pirštų =)

(7) Nurodome, kad darome išvadą, kad eilutė suartėja.

10 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Kartais sprendimui siūlomas provokuojantis pavyzdys, pavyzdžiui:. Čia eksponente ne "en", tik konstanta. Čia reikia padalyti skaitiklį ir vardiklį kvadratu (gaunate polinomus), tada vadovaukitės straipsnyje pateiktu algoritmu Eilės manekenams. Tokiame pavyzdyje turėtų veikti arba būtinas eilučių konvergencijos testas, arba ribinis palyginimo testas.

Integralus Cauchy testas

Arba tiesiog neatsiejamas ženklas. Nuvilsiu tuos, kurie gerai nesuprato pirmosios kurso medžiagos. Kad galėtumėte taikyti Koši integralo testą, turite būti daugiau ar mažiau įsitikinę, kad rasite išvestines, integralus, taip pat turite mokėti skaičiuoti netinkamas integralas pirmoji rūšis.

Matematinės analizės vadovėliuose integralus Cauchy testas pateikta matematiškai griežtai, bet per daug painiai, todėl ženklą suformuluosiu ne per griežtai, o aiškiai:

Pasvarstykime teigiamų skaičių serija. Jei yra netinkamas integralas, serija suartėja arba skiriasi kartu su šiuo integralu.

Ir tik keli pavyzdžiai paaiškinimui:

11 pavyzdys

Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Beveik klasika. Natūralus logaritmas ir kažkokia nesąmonė.

Pagrindinė Koši integralo testo naudojimo sąlyga yra yra tai, kad bendrajame serijos termine yra veiksnių, panašių į tam tikrą funkciją ir jos išvestinę. Iš temos Darinys tikriausiai prisimenate paprasčiausią lentelės dalyką: , o mes turime kaip tik tokį kanoninį atvejį.

Iš artilerijos karininko Detouche. Netrukus po gimimo kūdikį mama numetė ant Paryžiaus „Apvaliosios Šv. Jonas“ (pranc. Jean le Rond). Šios bažnyčios garbei vaikas buvo pavadintas Jeanu Leronu. Jis užaugo jį įvaikinusio stiklininko Ruso šeimoje.

Mano tėvas tuo metu buvo užsienyje. Grįžęs į Prancūziją Detouche prisirišo prie sūnaus, dažnai jį lankydavo, padėdavo įtėviams ir mokėdavo už D'Alemberto mokslą, nors oficialiai jo pripažinti nedrįso. Markizės motina niekada nerodė jokio susidomėjimo savo sūnumi. Vėliau, išgarsėjęs, d'Alembertas niekada nepamiršo stiklininko ir savo žmonos, padėjo jiems finansiškai ir visada išdidžiai vadino juos savo tėvais.

Pavardė d'Alembert, pasak kai kurių šaltinių, buvo kilusi iš jo įtėvio Alemberto vardo, kitų teigimu, ją sugalvojo pats berniukas arba jo globėjai: iš pradžių Jeanas Leronas mokykloje buvo įrašytas kaip Darembergas, vėliau jis. pakeitė šį pavadinimą į D'Alembert.

1726: Detouche, jau būdamas generolas, netikėtai miršta. Pagal testamentą D'Alembertas per metus gauna 1200 livų pašalpą ir yra patikėtas savo artimųjų dėmesiui. Berniukas auga kartu su pusbroliais, bet vis dar gyvena stiklininko šeimoje. Įtėvių namuose gyveno iki 1765 m., tai yra iki 48 metų.

Ankstyvas talentas leido berniukui įgyti gerą išsilavinimą - iš pradžių Mazarino kolegijoje (įgijo laisvųjų menų magistro laipsnį), paskui Teisės mokslų akademijoje, kur gavo teisių licenciato vardą. Tačiau jam nepatiko teisininko profesija, jis pradėjo mokytis matematikos.

Jau būdamas 22 metų D'Alembertas pristatė savo darbus Paryžiaus akademijai, o 23 metų buvo išrinktas akademijos adjunktu.

1743 m.: buvo paskelbtas „Traktatas apie dinamiką“, kuriame buvo suformuluotas esminis „D'Alemberto principas“, sumažinantis nelaisvos sistemos dinamiką iki statikos. Čia jis pirmiausia suformulavo bendrąsias bet kokių materialių sistemų judėjimo diferencialinių lygčių sudarymo taisykles.

Vėliau šį principą jis pritaikė savo traktate „Diskursai apie bendrąją vėjų priežastį“ (1774 m.), siekdamas pagrįsti hidrodinamiką, kur įrodė, kad kartu su vandenyno potvyniais egzistuoja ir potvyniai.

1748 m.: puikus stygų vibracijos problemos tyrimas.

Nuo 1751 m. D'Alembertas dirbo su Diderot kurdamas garsiąją mokslų, menų ir amatų enciklopediją. 17 tomų enciklopedijos straipsnius, susijusius su matematika ir fizika, parašė d'Alembertas. 1757 m., neatlaikęs persekiojimo dėl reakcijos, kurią patyrė jo darbas Enciklopedijoje, jis pasitraukė nuo jos leidybos ir visiškai atsidėjo moksliniam darbui (nors ir toliau rašė straipsnius į enciklopediją). Enciklopedija suvaidino didelį vaidmenį skleidžiant Švietimo epochos idėjas ir idėjinį Prancūzijos revoliucijos pasirengimą.

1754 m. D'Alembertas tapo Prancūzų akademijos nariu.

1764 m.: straipsnyje „Dimensionalumas“ (enciklopedijai) pirmą kartą buvo išsakyta mintis apie galimybę laikyti laiką ketvirtąja dimensija.

D'Alembertas aktyviai susirašinėjo su Rusijos imperatoriene Jekaterina II. 1760-ųjų viduryje d'Alembertas buvo pakviestas į Rusiją kaip sosto įpėdinio mokytojas, tačiau kvietimo nepriėmė.

1772 m. D'Alembertas buvo išrinktas nuolatiniu Prancūzų akademijos sekretoriumi.

1783 m. D'Alembertas mirė po ilgos ligos. Bažnyčia atsisakė skirti „atviram ateistui“ vietą kapinėse ir jis buvo palaidotas nepažymėtame bendrame kape.

Krateris tolimojoje Mėnulio pusėje ir kalnų grandinė matomoje pusėje pavadinti d’Alemberto vardu.

Mokslo pasiekimai

Matematika

Pirmuosiuose garsiosios enciklopedijos tomuose D'Alembertas įdėjo svarbius straipsnius: „Diferencialai“, „Lygtys“, „Dinamika“ ir „Geometrija“, kuriuose išsamiai išdėstė savo požiūrį į dabartines mokslo problemas.

D'Alembertas siekė pagrįsti begalinių mažų skaičių skaičiavimą naudodamas ribų teoriją, artimą Niutono supratimui apie „analizės metafiziką“. Jis pavadino vieną dydį kito riba, jei antrasis, artėjantis prie pirmojo, skiriasi nuo jo mažiau nei bet kuri duota reikšmė. „Lygčių diferencijavimas tiesiog susideda iš dviejų į lygtį įtrauktų kintamųjų baigtinių skirtumų santykio ribų suradimo“ – ši frazė galėtų pasirodyti šiuolaikiniame vadovėlyje. Jis neįtraukė iš analizės faktinio begalinio mažumo sąvoką, leisdamas tai padaryti tik dėl trumpumo.

Kiekvienas mechaniką išmanantis žmogus žino D'Alemberto dėsnį, supranta jo reikšmę ir pagarbiai taria šį vardą. Tikras matematikas ir astronomas apie D'Alembertą kalba su malonumu ir pagarba, nes mato jame Niutono įpėdinį ir didįjį Lagranžo bei Laplaso mokytoją. Asmuo, turintis platų bendrąjį išsilavinimą, tikrai bus persmelktas gilios pagarbos D'Alembertui, kaip vienam iš pagrindinių XVIII amžiaus „enciklopedijos“ kūrėjų.

E.F. Litvinova

Jeanas Leronas d'Alembertas (1717 m. lapkričio 16 d. – 1783 m. spalio 29 d.) – prancūzų enciklopedistas. Plačiai žinomas kaip filosofas, matematikas ir mechanikas.

Vienas išsamiausių ir įtakingiausių XVIII amžiaus protų Jeanas Leronas d'Alembertas gimė Paryžiuje. Mokslininko gyvenimo kelias prasidėjo labai neįprastai. 1717 m. lapkričio 16 d. Paryžiaus Saint-Jean-le-Rhone bažnyčios verandoje buvo rastas kūdikis su nėriniuotais vystyklais. Netrukus paaiškėjo jo kilmė – rastasis pasirodė esąs nesantuokinis rašytojo Tanseno ir karininko Detouche sūnus. Kai gimė Jeanas Leronas (jis buvo pavadintas bažnyčios, prie kurios buvo rastas), tėvo nebuvo Prancūzijoje, o motina nusprendė atsikratyti nesantuokinio vaiko. Grįžęs į Prancūziją, Detouchesas susirado sūnų, paėmė jį iš kaimo ir apgyvendino stiklininko Ruso šeimą, kur Jeanas gyveno didžiąją savo gyvenimo dalį. Tėvas dažnai lankydavo sūnų, džiaugdavosi jo vaikystės išdaigomis ir žavėdavosi nepaprastais kūdikio sugebėjimais.

1726 metais netikėtai miršta jau generolu tapęs Detušas. Pagal testamentą D'Alembertas per metus gauna 1200 livų pašalpą ir yra patikėtas artimųjų dėmesiui. Berniukas auga kartu su pusbroliais, bet vis dar gyvena stiklininko šeimoje. Įtėvių namuose gyveno iki 1765 m., tai yra iki 48 metų.

Būdamas ketverių metų Jeanas Leronas buvo išsiųstas į internatinę mokyklą ir nuo to laiko pradėjo stropiai mokytis, stebindamas savo mokytojus puikiais protiniais sugebėjimais.

Būdamas 13 metų jis įstojo į Mazarino koledžą, po kurio gavo menų bakalauro vardą. Mokykloje Jeanas Leronas mokėsi kalbų (mokėjo lotynų ir graikų kalbas, kad galėjo skaityti Archimedo, Ptolemėjaus ir kitų autorių originalus), retoriką, literatūrą, fiziką ir matematiką. D'Alembertas nesavanaudiškai įsimylėjo paskutinį dalyką, kurį labai palengvino jo mokytojas Caron.

Baigus koledžą iškilo klausimas dėl profesijos pasirinkimo. Žano artimieji buvo nusiteikę prieš jo aistrą matematikai, todėl jis įstojo į dvejų metų trukmės Teisės mokslų akademiją, kurią baigė teisės licenciato laipsniu (vidutinis bakalauro ir daktaro laipsnis). Tada D'Alembertas pradėjo studijuoti mediciną.Kad matematika jo neatitrauktų nuo šių studijų,Janas surinko visas savo matematikos knygas ir nunešė draugui.Tačiau Jeanas nebegalėjo negalvoti apie matematiką.Retkarčiais jam prireikdavo. vieną knygą, paskui kitą - nuorodai, rasto sprendimo teisingumui patikrinti ir t.t.. Pamažu visą savo biblioteką jis tempė atgal į Ruso poros namą, kur gyveno.. Tuo pat metu Jeanas studijavo filosofiją, literatūrą ir jam taip sekėsi filologijoje, kad būdamas 23 metų buvo išrinktas į Prancūzų akademiją, t.y. tapo vienu iš keturiasdešimties „nemirtingųjų“.

Visas D'Alembert gyvenimas buvo kupinas nenuilstamo darbo. Madame Rousseau savo mokinį pavadino filosofe ir paaiškino, kad „filosofas yra toks keistas žmogus, kuris visą gyvenimą atima iš savęs viską, dirba kaip jautis nuo ryto iki vakaro ir viskas dėl to. vienintelis tikslas, kad jie apie jį kalbėtų po jo mirties." Tačiau D'Alembertas negalvojo apie būsimą šlovę. Jam patiko matematika. „Matematika, – sakė jis, – yra seniausia ir tikriausia mano meilė.

Pirmieji D'Alemberto darbai matematikos ir fizikos srityse buvo skirti kietųjų kūnų judėjimui skysčiuose ir integraliniam skaičiavimui. D'Alembertas išgarsėjo iš jo "Dinamikos traktato" (1743), kuriame aprašytas kietųjų kūnų dinamikos sumažinimo iki statikos metodas (D'Alemberto principas). Pagal šį principą kietųjų kūnų judėjimas gali būti sumažintas iki atskirų masės dalelių judėjimo.

1746 m. ​​savo darbe „Integrinio skaičiavimo tyrimai“ jis pateikė pirmąjį (ne visiškai griežtą) pagrindinės algebros teoremos apie algebrinės lygties šaknų egzistavimą įrodymą. Galutinis šios problemos sprendimas priklauso Gausui.

1747 m. mokslininkas paskelbė straipsnį apie stygų skersinių virpesių teoriją, kuriame pateikė 2 eilės dalinės diferencialinės lygties sprendimo metodą. Taip pat jis gavo svarbių rezultatų įprastų diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais teorijoje, įvedė ribos sampratą, o eilučių teorijoje įvedė pakankamą jo vardu pavadintą konvergencijos kriterijų; mąstė apie tikimybių teoriją (D'Alemberto paradoksas).

Kartu su Didro buvo garsiosios enciklopedijos, arba aiškinamojo mokslų, menų ir amatų žodyno (28 tomai), vyriausiasis redaktorius, kur taip pat vadovavo fizikos ir matematikos skyriams. Be straipsnių apie matematiką ir fiziką, jis parašė įvadinį skyrių – Esė apie mokslų kilmę ir raidą, kuriame, daugiausia sekdamas F. Baconu, pristatė įvairių žinių sričių klasifikaciją, atsekė jų atsiradimą ir tarpusavio ryšį. , ir paskelbė gamtos mokslų eros atėjimą.

D'Alembertas rimtai prisidėjo prie pagrindinių šiuolaikinės mechanikos principų kūrimo; jo darbai kartu su Eulerio, brolių Bernoulli ir Clairaut darbais padėjo matematinės fizikos pagrindus. Jis parašė klasikinius skysčių teorijos darbus. judėjimas, trijų kūnų problema, Žemės nutacija, Mėnulio judėjimas, vėjo judėjimas ir kt. Mechanikoje jis siekė apsieiti be jėgos sąvokos, kuri jam turėjo stiprų „metafizinį skonį“. D'Alemberto matematiniai darbai yra pagrįsti Leibnizo tęstinumo principu, kuris leido jam priartėti prie šiuolaikinio ribos supratimo.

D'Alembertas buvo išrinktas į visas tuomet veikusias mokslų akademijas (1754 m. į Paryžiaus, 1764 m. į Sankt Peterburgo akademiją).

D'Alembertas globojo daugelį mokslininkų. Taigi jo siūlymu Prūsijos karalius Frydrichas II paskyrė J.L.Lagrange'ą Berlyno mokslų akademijos prezidentu. Pats D'Alembertas atsisakė eiti šias pareigas.

Jis taip pat atsisakė Rusijos imperatorienės Jekaterinos II pasiūlymo būti jos sūnaus Pauliaus auklėtoja. D'Alembertas teigė negalintis gyventi už Prancūzijos ribų, už Paryžiaus ribų, paskutiniais savo gyvenimo metais jis studijavo mokslo istoriją ir parašė daugelio Paryžiaus akademijos narių biografijas.

Asmeniniame gyvenime jis buvo nelaimingas. Septyniolika metų jis be atsako mylėjo tą pačią moterį - Madame Lespinasse. Kai ji mirė, daugelis dalykų jam prarado vertę.

D'Alembertas mirė 1783 metų spalio 29 d., vienišas senukas.Prieš mirtį ilgai ir skausmingai sirgo.Tai buvo toks pat audringas vakaras,kaip ir gimus.Kaukdavo vėjas ir nestipria šlapdriba.

D'Alemberto vardu pavadinti šie matematiniai objektai:

• operatorius D'Alembertas
• D'Alemberto ženklas
• D'Alemberto principas
• D'Alemberto lygtis
• D'Alemberto formulė.

Jeanas Leronas d'Alembertas yra prancūzų enciklopedistas. Plačiai žinomas kaip filosofas, matematikas ir mechanikas. Paryžiaus mokslų akademijos, Prancūzijos akademijos, Sankt Peterburgo ir kitų akademijų narys.

Jeanas Leronas D'Alembertas (1717-1783) – prancūzų matematikas, mechanikas ir filosofas pedagogas, Sankt Peterburgo mokslų akademijos užsienio garbės narys (1764).1751-57 kartu su enciklopedijos redaktoriumi Denisu Diderot. Suformulavo materialių sistemų judėjimo diferencialinių lygčių sudarymo taisykles (žr. toliau D'Alemberto principą). Pateisino planetų perturbacijos teoriją. Darbai apie matematinę analizę, diferencialinių lygčių teoriją, serijų teoriją, algebrą.

D'Alemberto principas: jei prie mechaninių jungčių jėgų ir reakcijų, faktiškai veikiančių mechaninės sistemos taškuose, pridedamos inercinės jėgos, gaunama subalansuota jėgų sistema. statika sprendžiant dinamikos uždavinius. (1743 m.).

Kilmė. Išsilavinimas

D'Alembertas buvo nesantuokinis kilmingų tėvų sūnus. Jo motina markizė de Tansen jį paliko praėjus kelioms valandoms po gimdymo. Jis buvo rastas medinėje dėžėje ant Paryžiaus Saint-Jean bažnyčios laiptų. Le-Rhone ir todėl krikšto metu gavo Jean Le Ron (Leron) vardą.Jo tėvas, prancūzų artilerijos generolas leitenantas Chevalier Louis-Camus Detouches-Canon, davė kūdikį auginti stiklininko žmonai. Jis sumokėjo už mokslą nedidelėje privačioje internatinėje mokykloje „Beret“, o vėliau - Jansenistų kolegijoje Quatre Nation, į kurią jaunuolis įstojo 1730 m.

Jo puiki akademinė sėkmė patraukė mentorių dėmesį, kurie tikėjosi, kad toks pakylėtas protas pasirinks bažnytinę karjerą. Tačiau Jeanas Leronas D'Alembertas nepateisino jų lūkesčių. 1735 m. įgijęs menų magistro laipsnį, stojo į teisę, 1738 m. baigė Teisės fakultetą Paryžiuje, vėliau lankė Medicinos fakulteto kursus. keliems mėnesiams, bet nusivylė medicina, kaip ir anksčiau teologijoje ir jurisprudencijoje.Pagaliau 1739 m. jis rado savo pašaukimą – matematiką.

Matematikas ir fizikas

1741 m. Jeanas Leronas D'Alembertas pristatė savo pirmuosius darbus Paryžiaus karališkajai mokslų akademijai ir buvo priimtas į asistentą. Jo garsusis „Dinamikos traktatas“ (1743) pirmą kartą suformulavo judėjimo dėsnius ir prisidėjo prie klasikinės mechanikos sisteminimo. . Kitais metais išleido „Traktatą apie dinamiką“ (1743). skysčių pusiausvyra ir judėjimas“ (1744). Šie darbai jam atnešė sėkmę, ir jau 1746 m. ​​jis tapo Mokslų akademijos nariu korespondentu.

Maždaug tuo pačiu metu D'Alembertas pradėjo lankytis Paryžiaus salonuose. Jo sąmojis ir sugebėjimas palaikyti gyvą ir linksmą pokalbį padarė D'Alembertą visur laukiamu svečiu, nepaisant jo plono balso, mažo ūgio, įprastos išvaizdos ir „nelegalios“ kilmės.

Kiti dešimt metų buvo vaisingiausi jo gyvenime. Jeanas Leronas D'Alembertas paskelbė „Apmąstymus apie bendrą vėjų priežastį“ (1747), kuris sukėlė revoliuciją taikant diferencialines lygtis; „Lygiadienio numatymo tyrimai“ (1749), prisidėjusį prie sudėtingos matematinės problemos sprendimo. problema, sugluminusi Izaoką Niutoną; „Patirkite naują skysčių atsparumo teoriją“ (1752), tapusiu hidrodinamikos vystymosi etapu. Po to sekė fundamentiniai tyrimai, pagrindžiantys dangaus kūnų perturbacijos teoriją (1754–1756) Šių darbų dėka D'Alembertas išgarsėjo kaip vienas iškiliausių savo laikų fizikų ir matematikų.

D'Alembertas ir enciklopedija

Nuo 1745 m. Jeanas Leronas D'Alembertas aktyviai dalyvavo kuriant enciklopediją, kurį tikriausiai patraukė vienas iš jos leidėjų M. A. Davidas, anksčiau paskelbęs kai kuriuos savo mokslinius darbus, taip pat abatas J. P. Gua de Malve, pirmasis vyriausiasis enciklopedijos redaktorius, mėgęs matematiką.

Iš pradžių D'Alembertas padėjo abatui de Gua, tačiau praėjus dviem mėnesiams po pastarojo atleidimo (1747 m. spalio mėn.), jis kartu su Denisu Diderot vadovavo leidiniui. „Preliminariajame diskurse“, kuris atidarė pirmąjį tomą, D. „Alembertas pagrindė metodologinį empirizmo ir sensacijų vaisingumą mokslo ir amatų pažangai. Žanas Leronas D'Alembertas, atsakingas už matematikos, fizikos, astronomijos ir muzikos skyrius (apie 1600 straipsnių atėjo vien iš jo rašiklio), Jeanas Leronas D'Alembertas taip pat parašė tokius straipsnius kaip „Kolegija“ ir „Ženeva“, kurie sustiprino enciklopedijos kaip didžiulės kovos su ginklais reputaciją. prieš senąją tvarką.

Dirbdamas prie enciklopedijos, D'Alembertas išleido „Muzikos teorijos ir praktikos elementus, kylančius iš M. Rameau principų“ (1753), išpopuliarinusią ir plėtojusią J. F. Rameau muzikinės harmonijos teoriją. Tada jo daugiatomė „Atspindžiai“ apie literatūrą" buvo paskelbti. istorija ir filosofija" (1753). Taigi D'Alembertas išgarsėjo tiek literatūroje, tiek muzikos teorijoje, o jo šlovė gerokai peržengė mokslo ratus. 1754 m., remiamas įtakingos markizės Du Deffand, Jeanas Leronas d'Alembertas buvo išrinktas Prancūzų akademijos nariu.

Tačiau kai kurie Jeano Lerono D'Alemberto kūriniai atnešė jam ne tik garbę, bet ir daug rūpesčių.Nepaisant to, kad D'Alembertas savo enciklopediniuose straipsniuose ir kituose kūriniuose apskritai labai vertino Rameau kūrybą, šis kompozitorius paskelbė. kritiški komentarai apie 1755 m. „Enciklopedijos“ muzikai skirtus straipsnius. D'Alembertas dažnai buvo kaltinamas tuo, kad jo straipsniai griauna religijos pagrindus. Jis ketino palikti leidinį dar 1752 m., tačiau nusprendė tai padaryti tik 1758–1759 m.: po publikacijos 7 tome (1757 m.) Voltero patarimu parašytas straipsnis „Ženeva“ sulaukė daugybės kritikos – tiek kalvinistų, tiek katalikų – pasitraukimas iš enciklopedijos pablogino ir taip sunkius D'Alemberto santykius su Diderot. Tačiau 1759 m. grįžo į enciklopediją, bet tik kaip gamtos mokslų straipsnių autorius; pagrindinė jo sugrįžimo priežastis buvo nuolatinis lėšų poreikis.

D'Alembertas ir Europos apsišvietę monarchai

Žano Lerono D'Alemberto finansinė padėtis ėmė gerėti septintojo dešimtmečio viduryje. Nuo 1765 metų jis pradėjo nuolat gauti Mokslų akademijos stipendiją.Jo pajamos buvo papildytos honorarais, pensijomis iš Liudviko XV ir Frydricho II, kaip taip pat iš tėvo paveldėtas anuitetas iki gyvos galvos ir metinis anuitetas, kurį jam sumokėjo garsaus Paryžiaus salono savininkė Madame Geoffrin.

Maždaug tuo pačiu metu D'Alembertas, susirūpinęs savo nepriklausomybe, atmetė du itin viliojančius pasiūlymus.Pirmasis buvo iš Frederiko II. Jeanas Leronas D'Alembertas su juo susipažino 1755 m., nors jo moksliniai darbai Prūsijoje sulaukė pripažinimo dar anksčiau: 1746 m. „Apmąstymai apie bendrą vėjo priežastį“ buvo apdovanoti Berlyno mokslų akademijos ir Belles-lettres premija. Nuo 1752 m. Frydrichas II ne kartą bandė pakviesti D'Alembertą į Prūsiją šios akademijos prezidentu, tačiau šis nuolat atsisakydavo. Dėl to nuo 1760 m. tarp jų prasidėjo garsus susirašinėjimas, kuris tęsėsi iki pat mokslininko mirties. Alembertas turėjo labai aukštą nuomonę apie Prūsijos monarchą, šlovino jį savo raštuose ir 1763 metais tris mėnesius išbuvo savo dvare.

Vos įžengusi į sostą 1762 m., Jekaterina II paprašė D'Alembert pasirūpinti jos sūnaus ir įpėdinio Pauliaus auginimu, siūlydama jam didžiulę 100 tūkst. livų metinę algą (iš Prancūzijos ir Prūsijos karalių jis kasmet gaudavo po 1200 livų). D'Alembertas atsisakė, paaiškindamas, kad jam labiau patinka gyventi kukliai savo tėvynėje, nei mėgautis prabanga svetimoje žemėje. Atsisakęs Frederiko ir Kotrynos, D'Alembertas vis dėlto visas Europos atsinaujinimo viltis siejo su šviesuoliais, intelektualinio elito remiamais monarchais, tuo pat metu vienodai nepasitikėdamas aristokratija, dvasininkais ir masėmis.

Asmeninis gyvenimas

Jeanas Leronas D'Alembertas atsisakė išvykti iš Paryžiaus dėl santykių su Julie de Lespinasse, markizės Du Deffant palydove. Jų santykiams nesutrukdė nei amžiaus skirtumas (D'Alembertas buvo 15 metų vyresnis), nei Madame pavydas. Du Deffant. Tačiau Julie ne visada buvo ištikima D'Alembert.1764 m. Mademoiselle de Lespinasse įkūrė savo saloną.

Pastaraisiais metais. Žano Lerono D'Alemberto mirtis

Sunkių ligų slegiamas, patyręs išdavystę, o paskui ir mylimosios mirtį (1776 m.), Jeanas Leronas D'Alembertas 1770-aisiais buvo nuolat skausmingai susijaudinęs. Paskutiniai D'Alemberto gyvenimo metai buvo siejami su Prancūzų akademija. 1772 m., nepaisant Liudviko XV pasipriešinimo, jis buvo išrinktas nuolatiniu jos sekretoriumi. Jo pasakytos kalbos Akademijos sienose rodo, kad šią įstaigą jis laikė svarbia kovos su nežinojimu tvirtove.

Visą gyvenimą skeptiškai nusiteikęs religijos atžvilgiu, Jeanas Leronas D'Alembert'as 1783 m. spalio 29 d. Paryžiuje, savęs neišduodamas, ištiko mirtį ir atsisakė paskutinės komunijos.Paryžiaus arkivyskupas uždraudė teikti jo laidotuves.

„Javascript“ jūsų naršyklėje išjungtas.
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!

prancūzų enciklopedistas

trumpa biografija

Jeanas Leronas d'Alembertas (d'Alembertas, d'Alembertas; fr. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 1717 m. lapkričio 16 d. – 1783 m. spalio 29 d.) – prancūzų mokslininkas ir enciklopedistas. Plačiai žinomas kaip filosofas, matematikas ir mechanikas. Paryžiaus mokslų akademijos (1740), Prancūzų akademijos (1754), Sankt Peterburgo (1764) ir kitų akademijų narys.

D'Alembertas buvo nesantuokinis markizės de Tansen ir, greičiausiai, Austrijos kunigaikščio Leopoldo Filipo Arenbergo sūnus. Netrukus po gimimo kūdikį mama numetė ant Paryžiaus „Apvalios Šv. Jono bažnyčios“, esančios šiauriniame Dievo Motinos katedros bokšte, laiptų. Pagal paprotį vaikas šios bažnyčios garbei buvo pavadintas Jeanu Leronu. Iš pradžių vaikas buvo paguldytas į Foundlingo ligoninę. Tada kunigaikščio patikėtinis, artilerijos karininkas Louis-Camus Detouchesas, gavęs pinigų berniukui užauginti, pasirūpino, kad jis gyventų stiklininko šeimoje.

Grįžęs į Prancūziją, Detouche prisirišo prie berniuko, dažnai jį lankė, padėjo jo globėjams ir mokėjo už D'Alemberto mokslą. Markizės motina niekada nerodė jokio susidomėjimo savo sūnumi. Vėliau, išgarsėjęs, D'Alembertas niekada nepamiršo stiklininko ir savo žmonos, padėjo jiems finansiškai ir visada išdidžiai vadino juos savo tėvais.

D'Alemberto pavardė, pasak kai kurių šaltinių, buvo kilusi iš jo įtėvio Alemberto vardo, kitų teigimu, ją sugalvojo pats berniukas arba jo globėjai: iš pradžių Jeanas Leronas mokykloje buvo įrašytas kaip D'Alembertas ( Darembergas), tada pakeitė šį pavadinimą į D'Alembertas.

1726: Detouche, jau būdamas generolas, netikėtai miršta. Pagal testamentą D'Alembertas per metus gauna 1200 livų pašalpą ir yra patikėtas artimųjų dėmesiui. Berniukas auga kartu su pusbroliais, bet vis dar gyvena stiklininko šeimoje. Įtėvių namuose gyveno iki 1765 m., tai yra iki 48 metų.

Ankstyvas talentas leido berniukui įgyti gerą išsilavinimą - iš pradžių Mazarino kolegijoje (įgijo laisvųjų menų magistro laipsnį), paskui Teisės mokslų akademijoje, kur gavo teisių licenciato vardą. Tačiau jam nepatiko teisininko profesija, jis pradėjo mokytis matematikos.

Jau būdamas 22 metų D'Alembertas pristatė savo darbus Paryžiaus akademijai, o 23 metų buvo išrinktas akademijos adjunktu.

1743: išleistas Traktatas apie dinamiką“, kur suformuluotas esminis „D’Alembert principas“, redukuojantis nelaisvos sistemos dinamiką iki statikos. Čia jis pirmiausia suformulavo bendrąsias bet kokių materialių sistemų judėjimo diferencialinių lygčių sudarymo taisykles.

Vėliau šį principą jis pritaikė traktate „Diskursai apie bendrą vėjo priežastį“ (1774 m.), siekdamas pagrįsti hidrodinamiką, kur įrodė, kad kartu su vandenyno potvyniais egzistuoja ir potvyniai.

1748 m.: puikus stygų vibracijos problemos tyrimas.

Nuo 1751 m. D'Alembertas dirbo su Diderot, kad sukurtų garsųjį " Mokslo, meno ir amatų enciklopedijos“ 17 tomų enciklopedijos straipsnius, susijusius su matematika ir fizika, parašė D'Alembertas. 1757 m., neatlaikęs persekiojimo dėl reakcijos, kurią patyrė jo darbas Enciklopedijoje, jis pasitraukė nuo jos leidybos ir visiškai atsidėjo moksliniam darbui (nors ir toliau rašė straipsnius į enciklopediją). Enciklopedija suvaidino didelį vaidmenį skleidžiant Švietimo epochos idėjas ir idėjinį Prancūzijos revoliucijos pasirengimą.

1754 m. D'Alembertas tapo Prancūzų akademijos nariu.

1764 m.: straipsnyje „Dimensionalumas“ (enciklopedijai) pirmą kartą buvo išsakyta mintis apie galimybę laikyti laiką ketvirtąja dimensija.

D'Alembertas aktyviai susirašinėjo su Rusijos imperatoriene Jekaterina II. 1760-ųjų viduryje D'Alembertas buvo pakviestas į Rusiją kaip sosto įpėdinio mokytojas, tačiau kvietimo nepriėmė. 1764 metais buvo išrinktas Sankt Peterburgo mokslų akademijos užsienio garbės nariu.

1772 m. D'Alembertas buvo išrinktas nuolatiniu Prancūzų akademijos sekretoriumi.

1783 m. D'Alembertas mirė po ilgos ligos. Bažnyčia atsisakė skirti „atviram ateistui“ vietą kapinėse ir jis buvo palaidotas nepažymėtame bendrame kape.

D'Alemberto vardu pavadintas krateris tolimoje Mėnulio pusėje.

Mokslo pasiekimai

Matematika

Pirmuosiuose garsiosios enciklopedijos tomuose D'Alembertas įdėjo svarbius straipsnius: „Diferencialai“, „Lygtys“, „Dinamika“ ir „Geometrija“, kuriuose išsamiai išdėstė savo požiūrį į dabartines mokslo problemas.

D'Alembertas siekė pagrįsti begalinių mažų skaičių skaičiavimą naudodamas ribų teoriją, artimą Niutono supratimui apie „analizės metafiziką“. Jis įvardijo vieną kiekį riba kitas, jei antrasis, artėjantis prie pirmojo, skiriasi nuo jo mažiau nei bet kokia nurodyta suma. “ Lygčių diferencijavimas tiesiog susideda iš dviejų į lygtį įtrauktų kintamųjų baigtinių skirtumų santykio ribų suradimo“ – ši frazė galėtų atsirasti šiuolaikiniame vadovėlyje. Jis neįtraukė iš analizės faktinio begalinio mažumo sąvoką, leisdamas tai padaryti tik dėl trumpumo.

Jo požiūrio perspektyvas šiek tiek sumažino tai, kad kažkodėl jis ribos troškimą suprato kaip monotonišką (matyt, kad Δ x ≠ 0), o D'Alembertas nepateikė aiškios ribų teorijos, ribodamas save. į teoremas apie ribos unikalumą ir apie sandaugos ribą. Dauguma matematikų (tarp jų ir Lazare'as Carnot) prieštaravo ribų teorijai, nes, jų nuomone, joje buvo nustatyti nereikalingi apribojimai – begaliniai mažumai buvo laikomi ne patys savaime, o visada vienas kito atžvilgiu, o Leibnice to nebuvo galima laisvai naudoti. stiliaus diferencialų algebra. Vis dėlto D'Alemberto požiūris į analizės pagrindimą galiausiai nugalėjo – tiesa, tik XIX a.

Serijų teorijoje jo vardas suteikiamas plačiai naudojamam pakankamam konvergencijos testui.

Pagrindinis D'Alemberto matematinis tyrimas yra susijęs su diferencialinių lygčių teorija, kur jis pateikė metodą, kaip išspręsti 2-osios eilės dalinę diferencialinę lygtį, apibūdinančią stygos skersinius virpesius (banginę lygtį). D'Alembertas pateikė sprendimą kaip dviejų savavališkų funkcijų sumą, o pagal vadinamąją. ribinės sąlygos galėjo išreikšti vieną iš jų per kitą. Šie D'Alemberto darbai, taip pat vėlesni L. Eulerio ir D. Bernoulli darbai sudarė matematinės fizikos pagrindą.

1752 m., spręsdamas elipsinio tipo (tėkmės aplink kūną modelio) dalinę diferencialinę lygtį, su kuria susidūrė hidrodinamika, D'Alembertas pirmą kartą panaudojo kompleksinio kintamojo funkcijas. D'Alembert'e (o kartu ir L. Euleryje) yra tos lygtys, jungiančios tikrąją ir įsivaizduojamą analitinės funkcijos dalis, kurios vėliau tapo žinomos kaip Koši-Riemano sąlygos, nors, tiesą sakant, jos turėjo būti vadinamos D'Alembert-Eulerio sąlygomis. Vėliau tie patys metodai buvo naudojami potencialų teorijoje. Nuo šio momento prasideda plačiai paplitęs ir vaisingas sudėtingų kiekių panaudojimas hidrodinamikoje.

D'Alembertas taip pat yra atsakingas už svarbius rezultatus įprastų diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais teorijoje ir tokių 1 ir 2 eilės lygčių sistemose.

D'Alembertas pateikė pirmąjį (ne visiškai griežtą) pagrindinės algebros teoremos įrodymą. Prancūzijoje tai vadinama D'Alembert-Gauss teorema.

Fizikos, mechanikos ir kiti darbai

D’Alemberto principas, kurį jis atrado, jau buvo minėtas aukščiau, nurodantis, kaip sukurti matematinį nelaisvų sistemų judėjimo modelį.

D'Alembertas taip pat padarė išskirtinį indėlį į dangaus mechaniką. Jis pagrindė planetų perturbacijos teoriją ir pirmasis griežtai paaiškino lygiadienių ir nutacijos laukimo teoriją.

Remdamasis Franciso Bacono sistema, D'Alembertas suklasifikavo mokslus, sukurdamas šiuolaikinę humanitarinių mokslų sampratą.

D’Alembertui taip pat priklauso kūriniai muzikos teorijos ir muzikos estetikos klausimais: traktatas „Apie muzikos laisvę“, kuriame apibendrinami vadinamojo tyrimo rezultatai. buffon wars – kovos dėl operos meno klausimų ir kt.

Filosofija

Iš filosofinių veikalų svarbiausias yra enciklopedijos įvadinis straipsnis „Esė apie mokslų kilmę ir raidą“ (1751 m., vertimas į rusų kalbą knygoje „Pozityvizmo įkūrėjai“, 1910), kuriame pateikiama klasifikacija mokslai ir „Filosofijos elementai“ (1759).

Žinių teorijoje, sekdamas J. Locke'u, D'Alembertas laikėsi sensacijų. Spręsdamas pagrindines filosofines problemas, D'Alembertas buvo linkęs į skepticizmą, manydamas, kad neįmanoma patikimai teigti apie Dievą, jo sąveiką su materija, materijos amžinumą ar sukūrimą ir tt Abejodamas Dievo egzistavimu ir pasisakydamas su antiklerikalais. kritikos, D'Alembertas, tačiau jis neužėmė ateizmo pozicijos.

Skirtingai nei prancūzų materialistai, D'Alembertas manė, kad yra nekintamų moralės principų, kurie nepriklauso nuo socialinės aplinkos. D'Alemberto pažiūras į žinių ir religijos teoriją sukritikavo Dider savo darbuose: "D'Alembert's Dream" (1769), "Pokalbis tarp D'Alembert ir Diderot" (1769) ir kt.