Johano Klebergerio zodiakas. Astronomija ir magija Durerio tapyboje

Vokiečių dailininko Albrechto Durerio graviūroje „Melancholija“ atkurtą magišką kvadratą žino visi magiškų kvadratų tyrinėtojai.

Įprastos formos kvadratas (6.1 pav.):

6.1 pav

Įdomu tai, kad du viduriniai skaičiai paskutinėje kvadrato eilutėje (jie paryškinti) sudaro graviūros sukūrimo metus – 1514 m.

Manoma, kad ši aikštė, kuri taip sužavėjo Albrechtą Durerį, į Vakarų Europą atkeliavo iš Indijos XVI amžiaus pradžioje. Indijoje ši aikštė buvo žinoma I mūsų eros amžiuje.

Manoma, kad stebuklingus kvadratus išrado kinai, nes ankstyviausias jų paminėjimas yra kinų rankraštyje, parašytame 4000–5000 m. Štai kokie seni stebuklingi kvadratai!

Dabar apsvarstykime visas šios nuostabios aikštės savybes. Bet mes tai padarysime kitoje aikštėje, kurios grupė apima Durer aikštę.

Tai reiškia, kad Diurerio kvadratas gaunamas iš kvadrato, kurį dabar nagrinėsime viena iš septynių pagrindinių stebuklingų kvadratų transformacijų, ty sukimosi 180 laipsnių kampu. Visi 8 langeliai, sudarantys šią grupę, turi savybių, kurios dabar bus išvardytos, tik 8 savybėje kai kuriuose langeliuose žodis „eilutė“ bus pakeistas žodžiu „stulpelis“ ir atvirkščiai.

Šios grupės pagrindinę aikštę galite pamatyti pav. 6.2.

6.2 pav

Šios aikštės savybės:.

1 nuosavybė.Šis kvadratas yra asociatyvus, tai yra, bet kuri skaičių pora, simetriškai išdėstyta kvadrato centro atžvilgiu, suteikia sumą 17=1+n2.

2 nuosavybė. Skaičių, esančių kvadrato kampiniuose langeliuose, suma yra lygi kvadrato magiškajai konstantai - 34 .

3 nuosavybė. Skaičių suma kiekviename 2x2 kvadrato kampe, taip pat centriniame 2x2 kvadrate yra lygi kvadrato magiškajai konstantai.

4 nuosavybė. Stebuklingoji kvadrato konstanta yra lygi dviejų centrinių 2x4 stačiakampių priešingose pusėse esančių skaičių sumai, būtent: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

5 nuosavybė. Kvadrato magiška konstanta yra lygi skaičių sumai langeliuose, pažymėtuose šachmatų riterio ėjimu, būtent: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 ir 4+10+13 +7=34.

6 nuosavybė. Stebuklingoji kvadrato konstanta yra lygi 2x2 kampinių kvadratų, esančių greta priešingų kvadrato viršūnių, atitinkamų įstrižainių skaičių sumai.

Pavyzdžiui, 2x2 kampiniuose kvadratuose, kurie paryškinti Fig. 4, pirmoje atitinkamų įstrižainių poroje esančių skaičių suma: 1+7+10+16=34 (tai suprantama, nes šie skaičiai yra pagrindinėje pačio kvadrato įstrižainėje). Kitoje atitinkamų įstrižainių poroje esančių skaičių suma: 14+12+5+3=34.

7 nuosavybė. Kvadrato magiška konstanta lygi skaičių sumai langeliuose, pažymėtuose ėjimu, panašiu į šachmatų riterio ėjimą, bet su pailga raide G. Rodau šiuos skaičius: 1+9+8+16= 34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34, 4+3+14+13=34.

8 nuosavybė. Kiekvienoje kvadrato eilutėje yra gretimų skaičių pora, kurių suma lygi 15, ir kita pora gretimų skaičių, kurių suma lygi 19. Kiekviename kvadrato stulpelyje yra gretimų skaičių pora, kurių suma yra 13, o kita pora taip pat gretimų skaičių , kurių suma yra 21. smegenų ląstelių kvadratas sudoku

9 nuosavybė. Dviejų išorinių eilučių skaičių kvadratų sumos yra lygios viena kitai. Tą patį galima pasakyti ir apie dviejų vidurinių eilučių skaičių kvadratų sumas. Matyti:

12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438

122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310

Skaičiai kvadrato stulpeliuose turi panašią savybę.

10 nuosavybė. Jeigu į nagrinėjamą kvadratą įrašytume kvadratą su viršūnėmis kraštinių viduryje (6.3 pav.), tai:

· skaičių, esančių išilgai vienos įbrėžto kvadrato priešingų kraštinių poros, suma yra lygi skaičių, esančių išilgai kitos priešingų kraštinių poros, sumai, ir kiekviena iš šių sumų yra lygi kvadrato magiškai konstantai;
Nurodytų skaičių kvadratų ir kubelių sumos yra lygios:
- 122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
- 123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624

6.3 pav

Tai yra stebuklingo kvadrato savybės pav. 5.2

Reikėtų pažymėti, kad asociatyviame kvadrate, kuris yra nagrinėjamas kvadratas, taip pat galite atlikti tokias transformacijas kaip simetriškų eilučių ir (arba) stulpelių pertvarkymas. Pavyzdžiui, pav. 5.4 parodytas kvadratas, gautas iš kvadrato Fig. 4 pertvarkant du vidurinius stulpelius.

6.4 pav

Naujuose asociatyviniuose kvadratuose, gautuose atliekant tokias transformacijas, tenkinamos ne visos aukščiau išvardintos savybės, tačiau daugelis savybių galioja. Skaitytojai kviečiami pasitikrinti ypatybių išpildymą kvadrate, parodytame pav. 6.4.

5 skyrius

Magiški kvadratai

Mes juos vadiname stebuklingais kvadratais arba planetų kvadratais. Arba antspaudai, kamajos, lentelės. Kaip ir daugelis kitų stebuklingų įrankių, skirtingose sistemose jie žinomi skirtingais pavadinimais, tačiau kad ir kaip jie būtų vadinami, jie datuojami šimtus ar net tūkstančius metų. Anksčiausias užfiksuotas 3:3, 3 eilės kvadratas, kuris dabar žinomas kaip Saturno kvadratas, o Kinijoje buvo vadinamas Lo Shu.

Vėžlio ir Saturno aikštė

Jo atradimas priskiriamas didžiajam imperatoriui Yu, „išmintingam karaliui“, ir datuojamas maždaug 3000 m. pr. Kr. e. . Vieną dieną, eidamas palei Luo upę, Geltonosios upės intaką, imperatorius rado vėžlį. Iš paslaptingų skaitmeninių raštų ant nugaros imperatorius Yu suprato, kad ji yra stebuklinga būtybė, ir pasiėmė ją su savimi į rūmus. Vėžlys tapo pagarbos objektu, o šventi raštai ant jo kiauto kėlė teismo mokslininkų džiaugsmą.

Ryžiai. 17. Vėžlio kiauto raštas

Kaip pasakojama, kinų teismą sužavėjo neįprasti dėmių sankaupos ant vėžlio kiauto: juodosiose grupėse šių dėmių skaičius buvo nelyginis, o baltųjų – lyginis (17 pav.). Pati skaičių seka vadinama Lo Shu- Lo upės laiškai. Jis randamas kinų matematiniuose tekstuose, datuojamuose maždaug 2200 m. pr. Kr. e. Daug vėliau, 1275 m. Kr., matematikas Yang Hui išsamiai aprašė magiškus kvadratus darbe, pavadintame „Senovinių matematinių metodų atnaujinimas, siekiant paaiškinti keistas skaičių savybes“. Yang Hui savo knygos pradžioje pasakė, kad jis remiasi ankstesnių matematikų darbais. Jis nepaaiškino, kaip gavo daugumą 3, 4 ir 5 eilės kvadratų, bet pateikė paprastą kvadrato konstravimo formulę. Lo Shu„nuo nulio“ (18 pav.).

Ryžiai. 18. Lo Shu statyba

Trimis eilėmis parašykite skaičius nuo 1 iki 9 ir pasukite į dešinę, kad 1 būtų viršuje, o 9 – apačioje (A). Sukeiskite 1 ir 9 (B) ir 3 ir 7 (C). Tada nuleiskite 9, kad jis būtų tarp 4 ir 2 viršutinėje eilutėje (D); suspauskite 3, 5 ir 7 antroje eilėje ir padėkite 1 tarp 8 ir 6 apatinėje eilėje (E). Voila!

Norėdami panaudoti gautą konfigūraciją kaip stebuklingą kvadratą, prie jo turėtumėte pridėti tinklelio linijas, per kurias galite sukurti skaičių langelius. Ir tada mums pasirodys tas pats Lo Shu. Aštuonios išorinės dėmių grupės ant vėžlio kiauto tapo aštuoniomis I Ching trigramomis (19 pav.). Lo Shu taip pat arti praktikos Feng Shui, kurių devynios pozicijos yra žinomos kaip „Devynios klajojančios žvaigždės“, trigrama Dieve, 3 po 3 diagrama, apibrėžianti erdvės požymius ir „gydymą“. Feng Shui. Radau nedaug, kas galėtų paaiškinti visas minimos istorijos su šventuoju vėžliu detales, bet, be jokios abejonės, I Ching, Saturno aikštė, Autorius Shu Ir Feng Shui- yra tiesioginiai šio senovės gyvūno palikuonys.

Ryžiai. 19. I Ching / Lo Shu

Žaidimai su Saturno kvadrato matematika

Tai mažiausias kvadratas ir geras objektas, rodantis pagrindinę informaciją, susijusią su funkcijomis ir terminija. Ši aikštė yra matematinių gudrybių lobynas, dar smagiau, nes žinai, kaip lengva ją kurti.

Ryžiai. 20. Kvadratinis Saturnas

Pirma, kadangi jis yra 3 eilės kvadratas, jis turi tris langelius ilgio, tris langelius aukščio ir jame yra skaičiai nuo 1 iki 9. Didžiausias skaičius kvadrate atitinka jame esančių langelių skaičių (20, 21 pav.) .

Kiekvienoje eilutėje (A), kaip ir kiekviename stulpelyje (B), skaičių suma yra 15.

Įstrižainių skaičių iš viršaus į kairę į apačią ir iš viršaus į dešinę į apačią į kairę (C) suma taip pat yra 15.

Ryžiai. 27.Saturno aikštės matematika

Jei sudėsite visus kvadrato skaičius – 1+2+3+4+5+6+7+8+9 – suma bus 45.

Padalinkite 45 kvadrato tvarka - 3 - ir gausite 15, o rezultatas lygus bet kurios eilutės, stulpelio ir įstrižainės sumai.

Bet tai dar ne viskas.

Pridėkite skaičių porą vienas priešais kitą. Vidurinėje eilutėje yra 3 + 7. Viduriniame stulpelyje yra 9+1. Kampinės įstrižainės poros yra 4 + 6 ir 2 + 8. Kiekviena pora susideda iki 10.

Dabar atkreipkite dėmesį į skaičių 5 kvadrato centre, vienintelį skaičių, likusį be poros. Padvigubinkite jį pridėdami prie savęs: 5 + 5. Suma yra 10, o tai atitinka priešingas poras. Tai taip pat galioja didesniam nelyginės eilės kvadratui: suraskite kvadratą nuliniame taške, padvigubinkite jame esantį skaičių ir tada nustatykite poras, kurios sudaro tą pačią sumą.

Grįžkime prie istorijos. Lo Shu migravo iš Kinijos ar kažkas panašaus atsirado kitur savarankiškai?

Ryžiai. 22. Saturno rozetė

Ryžiai. 23. Lo Shu ateities spėjimas

Abu. Šią aikštę žinojo majai, kaip ir šiaurės afrikiečiai bei priešistoriniai prancūzai. Senovės babiloniečiai šioje aikštėje įrašydavo aštuoniakampę Ištaro žvaigždę, kad pagal ją nustatytų kryptis (22 pav.). Vienas šiuolaikinis šaltinis siūlo būrėjams galimybę panaudoti kvadratą: balta kreida ant juodo popieriaus nupieškite tinklelį ir joje esančius skaičius. Tada padėkite krištolinį rutulį centre, kur paprastai būtų skaičius 5 (23 pav.). Ši aikštės versija žinoma kaip „Egipto figūra“, todėl galbūt kinų vėžlys turėjo protėvius, gyvenusius faraonų laikais. Tuo tarpu 4-osios eilės kvadratai Indijoje žinomi maždaug nuo 550 m. Kr., kai Varahamihira parašė tekstą apie prognozes, pavadintą Brihatsamhita. Kai kuriuose Varahamihiros 4-osios eilės kvadratuose buvo užšifruoti smilkalų receptai, o kiti buvo vadinami kaputa, pažodžiui „vėžlio kiautu“, vėlgi nurodant ryšį su Lo Shu vėžliu.

5-ojo ir 6-ojo ordino aikštės islamo šalyse buvo žinomos 983 m. e. Tekste „Qabs al-Anwar“, kurį parašė Nadruni, apie 1384 m. prieš Kristų, septynių planetų ir kvadratų poros išvardytos, kaip parodyta 24 paveiksle, tokia tvarka, kurią 1498 m. pakartojo Pacioli knygoje De Viribus ir Kornelijus Agrippa knygoje De Occulta Philosophia 1531 m. Ši seka žinoma kaip chaldėjų tvarka ir kiekvieno kvadrato dydį koreliuoja su atitinkamu atstumu nuo kiekvienos planetos iki Žemės: kuo toliau, tuo mažiau kvadratų, kuo arčiau, tuo daugiau kvadratų.

Ryžiai. 24. Chaldėjų ordinas

Nuo neatmenamų laikų žmonės žinojo, kad Saulė yra arčiau Žemės nei Marsas (išskyrus didžiąsias opozicijas), Jupiteris ir Saturnas. Stebėdami Mėnulio, Merkurijaus ir Veneros judėjimą, senovės astronomai nustatė, kad kartais kiekviena iš šių planetų pereidavo tarp Žemės ir Saulės, o Merkurijus ir Venera periodiškai apeidavo ją. Taip niekada neatsitiko Mėnuliui, o tai paskatino mūsų protėvius padaryti logišką išvadą, kad jis buvo artimiausias Žemės kaimynas. Ir atvirkščiai, Marsas, Jupiteris ir Saturnas niekada neatsidūrė tarp mūsų ir mūsų žvaigždės, priešingai, apibūdindami apskritimą, jie periodiškai praeidavo už Saulės, o tai paskatino manyti, kad šios planetos yra toliau nuo Žemės nei Saulė. Negerai? Taip, bet vargu ar beprotiška. Iš čia kyla „Chaldėjų tvarka“, kuri vis dar turi didelę įtaką magiškų skaičių vartojimui Vakaruose. Tradicija ilga, o logikos mažai, todėl išvadas, ar ir kaip naudoti chaldėjų tvarką, pasidarykite patys.

2-osios eilės kvadratų nėra: keturių langelių kvadratas nieko nuostabaus nerodo, kai pridedami skaičiai 1, 2, 3 ir 4. Agrippa pateikė originalų šios aplinkybės paaiškinimą: skaičius 2 buvo prakeiktas dėl pirmojo veiksmų. du žmonės, Adomas ir Ieva, kurie padarė 2-osios eilės kvadratą, neįmanoma. Kitas jo „įrodymas“ nebuvo prastesnis už pirmąjį: jis manė, kad keturi elementai - Žemė, Oras, Ugnis ir Vanduo, čia atitinkantys skaičius nuo 1 iki 4 - buvo netinkami. Agrippa aprašyta ir 1 eilės kvadratas – vienintelė ląstelė, kurioje yra skaičius 1, kurį jis tapatino su Dievu. Galbūt šis keistas pateisinimas lėmė inkvizicijos neveiklumą paties autoriaus atžvilgiu?

Magija ir magiški kvadratai

Atėjo laikas atskirti: yra dviejų tipų kvadratai, kuriuos galima apytiksliai vadinti „stebuklingais“ ir „stebukliais“.

Stebuklingas kvadratai yra „linksmos matematikos“ rūšis, panašiai kaip kryžiažodžiai šio mokslo gerbėjams. Jie vadinami magija, nes leidžia žongliruoti skaičiais per neįtikėtiniausius derinius. Nors ankstyviausios jų versijos turėjo metafizinių pasekmių, dauguma istorinių ar šiuolaikinių pasakų aikščių neturi jokių mistinių asociacijų. Jie tiesiog nėra skirti šiems tikslams, kaip ir kryžiažodžiai negali būti Akašos metraščių vadovas.

Antrojo tipo kvadratai, realūs magiškas kvadratai yra panašūs į kvadratus savo matematiniu komponentu, tačiau, be to, jie turi labai senas šaknis ir ilgą magiško ir okultinio naudojimo istoriją. Štai ką mes toliau kalbėsime apie stebuklingus kvadratus.

Durer kvadratas (beveik Jupiterio kvadratas)

Tarp daugelio fėjų/stebuklingų kvadratų susižavėjusių žmonių buvo dailininkas Albrechtas Dureris (1471–1528) ir amerikiečių politikas Benjaminas Franklinas (1706–1790). Franklinas, kuris dirbo XX amžiaus ketvirtojo dešimtmečio pabaigoje, gerokai prieš savo politinį iškilimą, sekretoriumi Pensilvanijos asamblėjoje, iš nuobodulio kūrė aikštes. Nors abiems tikriausiai patiko šie galvosūkiai, Franklinas (kuris buvo masonas) ir Diureris, žinoma, taip pat domėjosi metafiziniais aspektais.

Jupiterio kvadratas pasirodo Durerio graviūroje „Melancholija“ – arba beveik pasirodo, nes čia Diureris pasiėmė tam tikras laisves (25, 26, 27 pav.). Kam naudoti Jupiterio kvadratą, jei melancholija metafiziškai atitinka Saturno planetą? Galbūt dėl gydymo Jupiteris (dar žinomas kaip Jobas, kaip žodyje „linksmas“) turėjo atremti „saturno“ niūrumą?

Paveikslas „Melancholija“ alsuoja okultinėmis asociacijomis, su kuriomis vis dar kovoja meno istorikai: sudėtingas geometrinis kūnas, septynių pakopų laiptai, kompasas (rodomas 51°25? – vertė, naudojama kuriant septynių smailių žvaigždę arba skiriančiąją). apskritimas į 7) ir kitos detalės (25 pav.). Yra žinoma, kad Diureris mėgo kurti vaizdinius galvosūkius, kad išbandytų ir linksmintų savo draugus. Tikriausiai „Melancholija“ yra toje pačioje eilutėje.

Jo apsisprendimą Jupiterio kvadratą pasukti 180° (26, 27 pav.) galėjo lemti spausdinimo proceso specifika. Graviravimo technika dirbantys menininkai, norėdami iš lėkštėje išgraviruoto atvaizdo gauti normalų atspaudą, savo kompozicijas turėjo kurti veidrodine forma. Tai reiškia, kad bet koks tekstas ir skaičiai iš pradžių turi būti parašyti atgal. Galbūt, dirbdamas dėdamas skaičius ant graviravimo lentos, Diureris norėjo įamžinti paveikslo sukūrimo datą? Taip pasukęs tradicinę aikštę gavo norimus 1514 metus, kurie buvo įrašyti apatinėje eilėje. Yra dar vienas skaitinis derinys, apie kurį Diureris tikrai žinojo: kiekviena Jupiterio kvadrato eilutė pridėjus duoda 34, o 1514 m. Albrechtui Diureriui sukako trisdešimt ketveri metai.

Ryžiai. 25. Durerio „Melancholija“.

Ryžiai. 26. Durerio aikštė

Ryžiai. 27. Jupiterio aikštė

Diurerio aikštę naudojame tam, kad ištirtume kai kurių aikščių – pasakų ar stebuklingų – galimybes. Ketvirtosios eilės kvadrate yra šešiolika langelių, kuriuose yra skaičiai nuo 1 iki 16. Esminis dalykas čia yra kiekvieno skaičiaus vieta.

Žaidimai su Jupiterio kvadrato matematika

28 paveiksle pavaizduota Jupiterio kvadrato matematika.

A, B ir C. Eilės, stulpeliai ir įstrižainės, kaip Saturno kvadrate. Kiekvienas iš šių derinių sudaro 34.

D. Tas pats atsitinka su keturiais kampais: 16+13 + 4+1 =34, ir

E. Su keturiais centriniais langeliais: 10+11 + 6 + 7 = 34.

F. Ir net su vidinių skaičių poromis, esančiomis išilgai išorinių kraštų:

3 + 2 + 15 + 14 (išilgai viršutinio ir apatinio kraštų) = 34 5 + 9 + 8 + 12 (išilgai kairiojo ir dešiniojo kraštų) = 34

Ryžiai. 28. Jupiterio kvadrato matematika

Taigi, čia jau yra keturiolika skirtingų būdų, kaip šioje aikštėje pridėti iki 34, tačiau yra ir kitų.

G, H, I, J, K ir L rodo dar keturiolika būdų, kaip pasiekti 34 pridedant konkrečias ląsteles Jupiterio kvadrate, o tokių būdų gali būti dar daugiau. Jei A, B ir C veikia visuose planetų kvadratuose, tada daugelis šių parinkčių būdingos šiam kvadratui. Kitos aikštės taip pat turi savų gudrybių. Palieku jums galimybę juos atrasti, jei, žinoma, šis loginis žaidimas patraukia jūsų vaizduotę.

Jei trokštate išsamesnės ir nuodugnesnės matematinės analizės, skaitykite atitinkamą literatūrą, pateiktą knygos pabaigoje, bibliografijoje.

Dabar grįžkime prie mistikos.

Planetų aikštės

Čia jie rodomi didėjančia tvarka, nuo mažiausio iki didžiausio. Svarbu suprasti, kad šių kvadratų naudojimo poveikis nepriklauso nuo beprotiško jų išvaizdos kopijavimo; tai slypi pačiame jų sukūrimo nuo nulio veiksme, nuosekliai įrašant vieną po kito skaičių. Kai piešiate savo kvadratą, meditacijai naudokite numeravimo seką. Įrašykite kiekvieną skaičių kvadrate paeiliui – 1, 2, 3 ir tt – užuot tiesiog rašę juos eilė po eilutės. Patarimas: iš pradžių skaičius rašykite pieštuku, o tada, apvesdami juos rašikliu atitinkama tvarka – nuo 1 – sutelkite į juos visą savo dėmesį.

Keletas bendrų pastabų:

Pirmas: jei bet kurio nelyginės eilės kvadrato centriniame langelyje esantį skaičių padauginsite iš paties eilės skaičiaus, tada gausite bendrą skaičių sumą bet kurioje kvadrato eilutėje/stulpelyje. Pavyzdžiui, Marsas turi 5-osios eilės kvadratą, o centrinis skaičius yra 13, taigi 5 x 13 = 65.

Antra: jei kvadrato eiliškumas dalijasi iš 3, tai bendra kvadrato suma supaprastinama iki skaičiaus 9. Visais kitais atvejais – iki skaičiaus 10 (iki 1).

Trečias: visų nelyginės eilės kvadratų – Saturno, Marso, Veneros ir Mėnulio – pirmiausia reikia nustatyti centrą. Skaičius 1 yra tiesiai po kvadrato centru, o didžiausias jo skaičius yra tiesiai virš centro. Pačioje centrinėje aikštėje bus „centro“ skaičius: 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Jei nustatysite pradžios, centro ir pabaigos taškus, atsiskleis šių nelyginės eilės kvadratų modelis.

Lyginės eilės kvadratai – Jupiteris, Saulė ir Merkurijus – prasideda skaičiumi 1 viršutiniame dešiniajame kampe ir baigiasi didžiausiu skaičiumi apatiniame kairiajame kampe. Be to, jų sekos yra sudėtingesnės, bent jau mano nuomone. Sėkmės atrandant jų schemas!

Kvadratinis Saturnas

Ryžiai. 29. Kvadratinis Saturnas

Suprasti ankstesnę patirtį;

Asmeninės disciplinos ugdymas;

Teisingas ribų ir apribojimų naudojimas;

Karmos supratimas.

Norėdami gauti daugiau informacijos, žr. skyrių „Šabas“ 4 skyriuje.

Kvadrato išdėstymas: 3 x 3 tinklelis, 3 eilės kvadratas. Skaičiai: nuo 1 iki 9.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 15. Bendra viso kvadrato suma: 45.

Visą sumą padalijus iš užsakymo numerio: 45; 3 = 15.

Jupiterio aikštė

Naudojamas siekiant pagerinti / pagerinti:

Sėkmė teisminėse bylose;

Verslo plėtra;

Sėkmės, sėkmės (ir jūsų paties džiaugsmo jausmo?);

Partnerysčių ir aljansų kūrimas;

Dvasinis augimas.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus ketvirtadienio skyriuje.

Ryžiai. 30. Kvadrato kvadrato išdėstymas: 4 x 4 tinklelis, 4 eilės kvadratas.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 34. Bendra viso kvadrato suma: 136.

Visą sumą padalijus iš užsakymo numerio: 136: 4 = 34.

Marso aikštė

Ryžiai. 37. Marso kvadratas

Naudojamas siekiant pagerinti / pagerinti:

Priimti sprendimai;

Fizinė jėga, energija;

Asmeninė drąsa ir valia;

Temperamento ir aistrų kontrolė;

Transporto priemonių ir mechanizmų palaiminimai;

Techniniai gebėjimai;

Komercinis maisto gaminimas.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus antradienio skyriuje.

Kvadrato išdėstymas: 5 x 5 tinklelis, 5 eilės kvadratas. Skaičiai: nuo 1 iki 25.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 65. Bendra viso kvadrato suma: 325.

Visą sumą padalijus iš eilės skaičiaus: 325: 5 = 65.

Saulės aikštė

Ryžiai. 32. Saulės aikštė

Pasitikėjimas savimi;

Sveikata, gyvybingumas;

Lyderystės gebėjimai;

Tikslo supratimas;

Savirealizacija;

Sėkmės naujuose projektuose.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus sekmadienio skyriuje.

Kvadrato išdėstymas: tinklelis 6 po b, 6 eilės kvadratas. Pateikiami numeriai: nuo 1 iki 36.

111 Bendra viso kvadrato suma yra: 666.

666: 6 = 111.

Veneros aikštė

Naudojamas siekiant pagerinti / pagerinti:

Harmonijos ir grožio supratimas;

Draugystės ir meilės gebėjimai;

Atvirumas džiaugsmui, žaismingumas ir romantika;

Meilė ir santykiai;

Jausmingumas;

Namų gaminimas.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus skyriuje „Penktadienis“.

Kvadrato išdėstymas: 7 x 7 tinklelis, 7 eilės kvadratas. Pateikiami numeriai: nuo 1 iki 49.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 175. Ryžiai. 33. Veneros kvadratas Bendra viso kvadrato suma: 1225.

Visą sumą padalijus iš užsakymo numerio: 1225: 7 = 175.

Merkurijaus aikštė

Ryžiai. 34. Merkurijaus aikštė

Naudojamas siekiant pagerinti / pagerinti:

Mąstymo ir suvokimo aiškumas;

Aiškus ir efektyvus bendravimas;

Susikaupimas, ypač studijuojant;

Intelektualiniai siekiai, gebėjimai įgyti žinių;

Kontaktai dvasinėje plotmėje;

Kelionės saugumas ir savalaikiškumas.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus skyriuje „Aplinka“.

Kvadrato išdėstymas: 8 x 8 tinklelis, 8 eilės kvadratas. Pateikiami numeriai: nuo 1 iki 64.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 260. Bendra viso kvadrato suma yra: 2080.

Visą sumą padalijus iš užsakymo numerio: 2080: 8 = 260.

Kvadratinis mėnulis

Ryžiai. 35. Mėnulio aikštė

Naudojamas siekiant pagerinti / pagerinti:

Intuicija ir instinktas;

Vaisingumas (apibrėžtas) ir kūrybiškumas;

Emocinė nuotaika;

Žinios psichikos srityje;

Visos sodo ir žemdirbystės pastangos;

Kelionės vandeniu sauga.

Daugiau informacijos rasite 4 skyriaus pirmadienio skyriuje.

Kvadrato išdėstymas: 9 x 9 tinklelis, 9 eilės kvadratas.

Bendra kiekvienos eilutės, stulpelio ir įstrižainės suma: 369.

Bendra viso kvadrato suma yra: 3321.

Visą sumą padalijus iš užsakymo numerio: 3321: 9 = 369.

Naudojant planetinius kvadratus

Pasirinkite planetą, kurios tradicinė tema atitinka jūsų poreikius. Pavyzdžiui, norint pagerinti koncentraciją ruošiantis egzaminui, logiška rinktis Merkurijų. Už naujo verslo atidarymą dažniausiai atsako Saulė, o esamo verslo apyvartos didinimas geriausiai tinka Jupiteriui. Viskas, kas susiję su apribojimais, turėtų būti skirta Saturnui. Jei norite palaiminti ir apsaugoti savo naują transporto priemonę, Marsas yra geriausias jūsų pasirinkimas.

Neseniai mano draugė nusipirko dyzelinį automobilį, kurį perdarė taip, kad dabar jį būtų galima pilti panaudotu augaliniu aliejumi. Bravo! Siekdami užtikrinti automobilio ir jo keleivių saugumą, galite pasirinkti raktinį žodį arba trumpą frazę: „Palaimink Mercedes“ arba „Apsaugok mano automobilį“ arba galbūt „ABC-987“, (fiktyvų) registracijos numerį. Tokiu atveju tiktų: „Važiuok gerai, lik nesužeistas“.

Tada ieškome skaičių, atitinkančių pasirinktos frazės raides. Pirmoji mūsų užduotis yra naudoti skaičius nuo 1 iki 9 kaip abėcėlės klavišą (36 pav.). Daugelis iš mūsų tikriausiai jau yra susipažinę su šiuo raktu, nes jis naudojamas numerologijoje ir paprastame šifravime.

Ryžiai. 36. Abėcėlės klavišas 1–9

Dirbant su 1–9 schemomis, mūsų frazė atrodys taip, kaip parodyta 37 paveiksle.

Ryžiai. 37. „Važiuok gerai, būk saugus“, 1–9

Jei naudojate Saturno kvadratą arba norite, kad Jupiterio kvadrate būtų raidės nuo Q iki Z, tuomet turėtumėte naudoti šifravimą nuo 1 iki 9, parodytą 36 paveiksle.

Tačiau mes taip pat naudojame Marso kvadratą, 5-osios eilės kvadratą su dvidešimt penkiais atskirais kvadratais. Kadangi mūsų frazėje nėra dvidešimt šeštos raidės Z, galime, užuot vartoję vieną skaičių iš 1–9 kodo trims skirtingoms raidėms, kiekvienai raidei priskirti skirtingą skaičių. Norėdami naudoti unikalius skaičius, naudokite klavišą 1-26, parodytą 38 pav.

Ryžiai. 38. Abėcėlės klavišas 1-26

Pastaba: Jei supaprastinsite kiekvieną dviženklį skaičių, šis šifras atitiks šifrą 1–9 36 paveiksle.

Dabar frazė atrodys taip, kaip parodyta 39 paveiksle.

Ryžiai. 39. „Važiuok gerai, būk saugus“, 1-26

Gematrija

Analizuodami skirtingus žodžius raidė po raidės, kartais susiduriame su nuostabiomis skaitinėmis paralelėmis. Pavyzdžiui, Pop(liūtas) išreikštas skaičiais 3-9-6-5; Gepardas(gepardas) kaip 3-8-5-5-2-1-8; a tigras(tigras), pavyzdžiui, 2-9-7_5-9, jei dirbate su pirminių skaičių rinkiniu (žr. 36 pav.). Suteikus sumas 23, 32 ir 32, jos visos supaprastinamos iki 5.

Jei tokie sutapimai jums atrodo intriguojantys, Gematria gali tapti jūsų mėgstamiausia pramoga. Panašus į aukščiau pateiktą pavyzdį, bet daug sudėtingesnis, gematria yra pagrįsta dvidešimt dviem hebrajų abėcėlės raidėmis ir dar penkiomis tos pačios abėcėlės raidėmis, pasikartojančiomis šiek tiek skirtingomis formomis, kai jos veikia kaip galūnės. Iš viso dvidešimt septyni. Kiekvienai raidei priskiriama skaitinė reikšmė, tačiau skirtingai nuo abėcėlių, tokių kaip A–Z, kurias jau matėme, šios reikšmės dažnai pasiekia daug didesnes reikšmes – iki trijų skaitmenų – todėl tokiu būdu parašius žodį, suma gali būti įspūdinga. . Kiti skirtumai: Gematria nesupaprastina sumų iki vienženklių skaitmenų; kiekviena raidė turi ir gilią ezoterinę prasmę; Be to, Gematria yra pagrįsta hebrajų kalba, o daugelis iš mūsų dirba savo gimtąja kalba, nes rašyba turi būti fonetinė.

„Kabala hebrajų abėcėlę vadina „angelų raidėmis* 1“. Kaip savo knygoje „Slaptoji doktrina“ rašė ponia Blavatsky, hebrajiškų raidžių naudojimas gematrijoje yra vienas iš būdų ištirti jų dieviškąsias asociacijas. Gematria yra gilus, senovinis, sudėtingas ir subtilus mokymas – tai yra bendriausias jos veikimo apibrėžimas.

Anot Gematria, liūtas, kurį paminėjome anksčiau, turi tokią skaitinę reikšmę: 30 + 10 + 70 + 50 = 160. Tuo tarpu gepardas ( Gepardas) atrodo daug garbingiau: 60 ( ch) + 8(ilgai e) + 300 (t) + 1 (a) = 369.

Norėdami giliau interpretuoti, atsigręžkime į gematrijos simboliką (40 pav.). Jos požiūriu, mūsų seno pažįstamo vardas yra Liūtas (Pop) sudarytas iš raidžių, turinčių tokias metaforines reikšmes: „jaučio stimulas“, tai yra „meškerykotis“, „ranka“, „akis“ ir „žuvis“. Raidės pavadinimas supykęs, dažnai verčiamas kaip „jaučio paskata“, platesne prasme gali reikšti kažką panašaus į „motyvatorius“. Jodas arba „ranka“ galbūt reiškia norą savo idėjas paversti fizine tikrove, tai yra, pažodžiui, kovą su likimu. Ain arba „akis“ reiškia matymą ir atmetimą, žiūrėjimą ir supratimą. Pagaliau, Vienuolė arba „žuvys“ turi kalbėti apie žmonėms nesvetingą aplinką ir būtinybę prisitaikyti, kad išgyventų priešiškame pasaulyje. Kaip matome, dėl šios gilios interpretacijos sąvoka „liūtas“ įgauna daug sudėtingesnę simbolinę prasmę.

Ryžiai. 40. Hebrajų gematrinis kodas

Žiaurus „džiunglių karalius“? Žinoma, tačiau aukščiau aptartos charakteristikos suteikia daug peno apmąstymams ir gali pasitarnauti kaip vadovas žmogus veiksmai šiuolaikinio gyvenimo „džiunglėse“.

Tikrieji gematrijos specialistai naudos ne tik raidžių, sudarančių tiriamojo objekto pavadinimą, metaforinių reikšmių kompleksą, bet ir tyrinės skaitinį komponentą, šiuo atveju žodį „liūtas“. Kokie kiti žodžiai sudaro 160? Ar įmanoma juos panaudoti, norint išplėsti mūsų supratimą apie tiriamą žodį?

Babiloniečiai taip pat naudojo gematinę sistemą. Karalius Sargonas II (apie 722–705 m. pr. Kr.) pagal jo vardo skaitinę reikšmę pastatė 16 283 uolekčių ilgio (1 uolekčių = 0,48 m) sieną. Šis puikus pavyzdys gali paskatinti mus patiems naudoti gematriją, galbūt ne statyti masyvias sienas, o atlikti daug kuklesnius matavimus ir skaičiavimus, pagrįstus savo vardo gematria reikšme arba savybėmis, kurias norėtume įgyti.

Ryžiai. 41. Graikijos gematrinis kodas

Taigi, jei gaminčiau talismaną, kuris skatintų anksčiau minėtų liūto savybių pasireiškimą, papuoščiau jį skaičiumi 160.

Graikiškos raidės taip pat turi skaitines reikšmes, yra savotiška jų tyrimo tradicija (41 pav.). Pavyzdžiui, gnostinės dievybės Abrakso skaitinė reikšmė yra 365 (1 + 2 + 100 + 1 + 60 + 1 + 200), lygi dienų skaičiui per metus.

Tradicinėje praktikoje mokslininkai gematriją taiko sakraliniams tekstams, ieškodami vienodos skaitinės reikšmės žodžių.

Kai šis skaitmeninis rezonansas bus aptiktas, atradėjui gali atsiverti daugybė tyrinėjimo būdų. Rezultatas? Slapta harmonija, paslėpta prasmių sąsajų tinkle ir visiškai nepastebima atsitiktiniam to paties teksto skaitytojui.

Būkite kantrūs: tai gali būti dešimtmečių darbas.

Nesvarbu, ar naudosite kodą iš 36 paveikslo ar 38 paveikslo, bet kuriuo atveju, pradėkime. Frazę „Važiuok gerai, būk saugus“ „įrašysime“ į Marso aikštę (31 pav.) naudodami ką tik surinktus skaičius. Nuo šiol po ranka turėtumėte turėti atsekamąjį popierių, liniuotę ir trintuką. Norėdami pradėti, išbandykite savo frazę ant kalkinio popieriaus, pakloto ant stebuklingo kvadrato. Taip galite išsiaiškinti, kur yra jūsų skaičiai, ir nepadaryti klaidų tame ranka nupieštame kvadrate, kurį kurdami taip sunkiai dirbote. Norėdami pradėti, pažiūrėkite į 42 paveikslą. Kaip matote, jūsų frazės grafinis dizainas yra gražus, o ne atrodo kaip chaotiškas raizginys. Redaguokite ir vėl atkurkite piešinį – tam jums reikia atsekamojo popieriaus ir trintuko. Nubrėžkite linijas laisva ranka arba liniuote, jei norite, kad jos būtų visiškai tiesios. Atlikę pratimus dėl grubaus juodraščio, padėkite atsekamąjį popierių ir, sutelkdami dėmesį į savo siekius, nubrėžkite linijas pačioje aikštėje.

Ryžiai. 42. Marse frazės pradžia

Ryžiai. 43. Sakinio pabaiga Marse

42 pav. Marso frazės pradžia: tai yra pirmosios keturios „raidės“ (R-u-n w), pažymėtos skaičiais 18 (su žvaigždute), 21, 14 ir 23. Nieko privalomo, bet atminkite, trumpos frazės veikia geriau nei žodžių sankaupos. . 43 paveiksle parodyta, kaip turėtų atrodyti rezultatas.

43 pav. Frazės pabaiga pagal Marsą: grafinė paieškos frazės forma, kurios pradžia ir pabaiga pažymėta žvaigždutėmis.

Paprastai kvadratai kuriami ir naudojami pagal planetą, kuri tuo metu yra astrologiškai palankioje padėtyje kitų dangaus kūnų atžvilgiu. Galite tiesiog dirbti tą dieną, susietą su konkrečia planeta. Jei norite, prieš pradėdami darbą nubrėžkite apskritimą ir nustatykite pagrindines kryptis.

Eksperimentuokite su skirtingų spalvų ir tipų žymekliais, spalvotais pieštukais, egzotiškais popieriais ar bet kuo kitu, kas sužadina jūsų vaizduotę. Kai jūsų dizainas bus baigtas, jį galima iškirpti arba išsiuvinėti, nupiešti ant vandens paviršiaus arba ant iškilmingo laivo. Galimybės yra neribotos. Įrašykite kvadratų naudojimą. Šie užrašai taps jūsų žinyno ar receptų knyga, kurią galėsite naudoti ateityje. Jei kas nors veikia ypač gerai, prasminga procedūrą kartoti vėl ir vėl, o jei kažkas neveikia, galite atlikti reikiamus pakeitimus.

Ką dar galite padaryti su stebuklingais kvadratais?

Kiekviename kvadrate nustatykite jos „stebuklingą liniją“. Tai daroma taip: radę skaičių 1, nubrėžkite liniją nuo jo iki skaičiaus 2, tada iki skaičiaus 3 ir taip toliau, didėjant iki galutinio skaičiaus. Dėl to prieš akis atsiras nuostabūs geometriniai raštai, kurie taip pat gali pasitarnauti labai praktiškiems tikslams. Sodo išdėstymas? Verslo logotipas? Tatuiruotė? Atostogų maršrutas persidengia pasirinktame žemėlapyje?

Nubrėžkite liniją, jungiančią jūsų gimimo datą ir laiką. Šis veiksmas turėtų padėti suaktyvinti jūsų teigiamus talentus ir potencialą. Naudokite planetos, kuri valdo jūsų ženklą, kvadratą arba planetą, kurios padėtis jums atrodo palankiausia jūsų raganavimui, arba darykite tai su kiekvienu kvadratu ir palyginkite rezultatus. Taip galima atrasti eilučių tvarką, kuri vėliau taps asmeninio magiško simbolio pagrindu.

Mėnulio labirintas

Ieškodama magiškesnių kvadratų stebuklų, atsiverčiau nuostabią Cliffordo A. Pickoverio knygą „Stebuklingų kvadratų, apskritimų ir žvaigždžių zenas“. Naudodamas 9-osios eilės magišką kvadratą (ne Mėnulio kvadratą), Pickoveris atrado įdomų geometrinį raštą, gautą ištrynus visus nelyginius skaičius. Šią idėją nukopijavau uždėdamas atsekamąjį popierių ant kito 9 eilės kvadrato, tikrojo Mėnulio kvadrato (35 pav.). Kadangi naudojau kitą kvadratą, galų gale radau visiškai kitokį modelį. Priblokštas netikėto atpažinimo supratau, kad prieš save matau „sėklų diagramą“ – septynių posūkių labirinto pagrindą (žr. 44, 45 pav.).

Šio labirinto variantų rasta visame pasaulyje – nuo Kretos iki Amerikos pietvakarių. Pirmą kartą apie „sėklų diagramą“ sužinojau labirintų dirbtuvėse, kur kūrėme didelį labirintą smėlėtoje kalnų ežero pakrantėje. Jį sudaro vertikalus + (pliuso ženklas) centre, keturios kampinės L formos ir keturi kampiniai taškai. Šie komponentai slapta yra įprastame Mėnulio kvadrate ir tampa matomi tik tada, kai ištrinami visi nelyginiai skaičiai.

Palikdami pakankamai vietos šonuose, smėlio paplūdimyje nupieškite didelę sėklų diagramą arba nupieškite mažą ant popieriaus lapo, tada pradėkite kurti labirintą. Sujungę pagrindinės vertikalios linijos viršų su viršutinės dešinės pusės L viršumi (kaip parodyta 45 pav.), toliau kurkite arkas, brėždami linijas iš kairės į dešinę, kaip parodyta 46 ir 47 paveiksluose. Apskritai, jei pradėkite nuo linijos, baigsite tašku ir atvirkščiai . Atkreipkite dėmesį, kad U formos atbulinės eigos „kampai“, sudarantys labirinto kilpas, yra ir išoriniai Mėnulio kvadrato kampai.

Ryžiai. 44. Mėnulio kvadratas, rodantis „sėklos“ labirinto modelį kaip nelyginių skaičių linijas

Ryžiai. 45. Labirintas su nupiešta pirmąja arka

Ryžiai. 46. Labirintas su antra ir trečia arkomis

Ryžiai. 47. Labirintas, prie kurio pridėta ketvirta ir penkta arkos

Ryžiai. 48. Labirintas, prie kurio pridėtos 6, 7 ir 8 arkos Dabar turime pilną 7 apskritimų labirintą

Kaip pats Mėnulis, augantis ir mažėjantis iš dešinės į kairę, juda dangumi iš kairės į dešinę, taip ir tu, būdamas labirinte, turi judėti ir sūdydamas, ir priešsūdydamas. Pabandykite ant popieriaus sukurtą labirintą nuspalvinti visų vaivorykštės spalvų pieštukais, vieną spalvą keisdami kita, kur kampai suapvalinti.

Keletas neįprastų papildomų pastabų:

Pirmas: Mėnulio kvadrate yra 81 ląstelė ir atitinkamai 81 skaičius, o paties Mėnulio masė yra 1/81 Žemės masės.

Taip:Žemė kosmose juda 28 mylių per valandą greičiu; Mėnulis – 2268 mylių per valandą greičiu. Tai reiškia, kad Mėnulis juda 81 kartą greičiau nei Žemė.

Paskutinis dalykas: kaip išraižyta ant majų statulų Palenke „81 mėnulis sudaro 2392 dienas“. Pasak šiuolaikinių mokslininkų, 2392 padalinkite iš 81 ir gausite 29,53 – skaičių, lygų Mėnulio ciklo dienų skaičiui.

Remiantis teorine 4×4 pandiagonalų kvadratų analize, parodytos jų „struktūros“ ypatybės: 4×4 pandiagonalų kvadratų struktūros invariantai yra skaičių poros, iš viso lygios vienam iš dviejų Fibonačio skaičių – 13 arba 21. Atskleidžiama, kad bet koks šešių skaitmenų rinkinio variantas yra 51 panašus kvadratas 4x4, sudarantis ištisinę simetrišką konfigūraciją. Sukonstruota geometrinė figūra „kubas kube“, turinti „auksinės simetrijos“ savybes. Pandiagonal kvadratų 4x4. Visi kubo įstrižainių skaičiai turi „auksinės simetrijos“ savybes (vienu atveju susidaro du skaičiai – bendras skaičius yra 13, kitu – 21), o visos plokštumos turi 4 kampus (skaičius) ir vidinio, ir Išoriniai geometrinės figūros kvadratai formuojasi Bendras Fibonačio skaičius yra 34.

Įvadas

Remiantis Khajuraho, Dürer kvadratų ir panašių 4x4 kvadratų analize, buvo nustatytos jų „struktūros“ ypatybės: pandiagonalinių 4x4 kvadratų struktūros invariantai yra skaičių poros, kurių suma lygi vienam iš dviejų Fibonačio skaičių - 13 arba 21.

Magiškas kvadratas yra n × n kvadratinė lentelė, užpildyta n 2 skirtingų skaičių taip, kad skaičių suma kiekvienoje eilutėje, kiekviename stulpelyje ir abiejose įstrižainėse būtų vienoda. Ankstyviausia unikali 4x4 magiška aikštė buvo aptikta XI amžiaus užraše Indijos mieste Khajuraho. 4x4 kvadratas, pavaizduotas Albrechto Durerio graviūroje „Melancholija“, laikomas ankstyviausiu Europos mene (1514 m.). Durerio kvadrato skaičių suma bet kurioje horizontalioje, vertikalioje ir įstrižainėje yra 34. Ši suma taip pat randama visuose 2x2 kampiniuose kvadratuose, centriniame kvadrate, kampinių langelių kvadrate, kvadratuose, pastatytuose „riterio judesiu“. ” (2+12+15 +5 ir 3+8+14+9), stačiakampių, lygiagrečių įstrižainėms (2+8+15+9 ir 3+12+14+5), viršūnėse, stačiakampiuose, sudarytuose iš priešingose pusėse esančių vidurinių langelių poros (3+2 +15+14 ir 5+8+9+12). Dauguma papildomų simetrijų atsiranda dėl to, kad bet kurių dviejų simetriškai išdėstytų skaičių suma yra 17.

Yra 48 pandiagonaliniai 4x4 kvadratai su sukimosi ir atspindžio tikslumu. Jei taip pat atsižvelgsime į simetriją torinių lygiagrečių vertimų atžvilgiu, tada liks tik 3 žymiai skirtingi kvadratai (2 pav.).

Pagrindinė dalis

Išanalizavau 4x4 pandiagonalinių kvadratų „struktūrą“ ir identifikavau nekintamas jų struktūros dalis (3 pav.). 4x4 pandiagonalų kvadratų struktūros invariantai yra skaičių poros, kurių suma lygi vienam iš dviejų Fibonačio skaičių – 13 arba 21. Įvairūs variantai, kaip simetriškai sujungti šias skaičių poras, sudaro 4x4 pandiagonalų kvadratų rinkinį.

Diurerio aikštė (ir panašūs 4x4 pandiagonaliniai kvadratai) turi aukso pjūvio simetriją. Pavyzdžiui, 4 paveiksle raudoni ir mėlyni kvadratai rodo simetrijų variantus, kuriuose galimų padėčių (4 arba 2, kai sukasi įvairiomis kryptimis) kvadratų raudonųjų dedamųjų sumos aritmetinis vidurkis yra 51. Taigi, visų kvadrato skaičių suma yra 136, iš kurių 85 yra mėlyni, 51 yra raudoni. 136/85=1,6; 85/51=1,667.

Remdamiesi Diurerio kvadratu, sukonstravome geometrinę figūrą „kubas kube“, kuri turi pandiagoninių 4×4 kvadratų simetrijos savybes (5 pav.). Toks „transformavimas“ tapo įmanomas vertikalias skaičių stulpelius Diurerio aikštėje išdėliojus tam tikru kampu, taip kube suformuojant kubą. Tuo pačiu metu visi kubo įstrižainių skaičiai turi „auksinės simetrijos“ savybes (vienu atveju susidaro du skaičiai – bendras skaičius yra 13, kitu – 21), o visos plokštumos, turinčios 4 kampus ( Sukonstruotos figūros vidinių ir išorinių kvadratų skaičiai sudaro bendrą Fibonačio skaičių 34.

Išvada

Remiantis teorine 4x4 pandiagonalų kvadratų analize, parodytos jų „struktūros“ ypatybės: 4x4 pandiagonalų kvadratų struktūros invariantai yra skaičių poros, kurių suma lygi vienam iš dviejų Fibonačio skaičių – 13 arba 21.
Atskleista, kad bet kuri Diurerio kvadrato ir panašių pandiagoninių 4x4 kvadratų šešių skaitmenų rinkinio versija, sudaranti ištisinę simetrišką konfigūraciją, yra lygi bendram skaičiui - 51.
Sukurta geometrinė figūra „kubas kube“, kuri turi pandiagoninių 4x4 kvadratų „auksinės simetrijos“ savybes. Visi kubo įstrižainių skaičiai turi „auksinės simetrijos“ savybes (vienu atveju susidaro du skaičiai – bendras skaičius yra 13, kitu – 21), o visos plokštumos turi 4 kampus (skaičius) ir vidinio, ir Išoriniai geometrinės figūros kvadratai formuojasi Bendras Fibonačio skaičius yra 34.

Jei radote klaidą, pažymėkite teksto dalį ir spustelėkite Ctrl + Enter.

Yra tam tikra graviūra „Melancholija“, priklausanti vokiečių menininkui Albrechtui Dureriui, kurią geriau žino matematikai ir okultistai nei besidomintiems tapyba.

Bent jau – galite tai patikrinti – internete apie tai labai mažai parašyta. Bet tai tikrai šaunus dalykas. Ir vienintelis daugiau ar mažiau išsamus šaltinis yra Dano Browno knyga „Prarastas simbolis“.

Perskaičiau šią knygą ir nei siužetas, nei kvadratas man neįstrigo į galvą. Ir tada staiga išlindo iš netikėtos krypties.

Graviravimas „Melancholija“ - atkreipkite dėmesį į kvadratą viršutiniame dešiniajame kampe:

Čia jis didesnis:

Visų „stebuklingų kvadratų“ esmė apskritai aiški: stulpelių ir įstrižainių suma yra lygi tam tikram skaičiui. Taip yra čia. Šis skaičius yra 34. Tačiau faktas yra tas, kad šis skaičius atsiranda absoliučiai BET KOKIAME scenarijuje. Viršutinio kairiojo kvadrato suma yra 34, tas pats pasakytina ir apie viršutinį dešinįjį, apatinį dešinįjį ir apatinį kairįjį mažus kvadratus. O taip pat centrinė aikštė - 10+11+6+7=34. Be to, jei pridėsite kampinius skaičius 16, 13, 4 ir 1, taip pat gausite 34.

Be to, jei pradėsite tiesti liniją nuo 1 iki 16, gausite šią absoliučiai simetrišką (ir veidrodinio santykio!) figūrą:

O pačioje apačioje 15 ir 14 skaičiai nurodo graviūros sukūrimo datą – 1514 m. O apatiniuose kampuose esantys skaičiai – 4 ir 1 – yra skaitmeniniai menininko inicialų žymėjimai: D A – Dürer Albrecht.

Visa ši matematinė „chiromantija“, kai kurių nuomone, rodo, kad Diureris savo aikštę sukūrė ne bakstelėdamas ar rinkdamas, o naudodamas kitus matavimus. Ta prasme - peržengti 3 dimensijas ir.... kažkaip septintojo dimensijos (????) lygyje?…. Galbūt pasitelkus vadinamuosius „Kiauklės“ arba „kriauklės“, kaip tai pavadino Diureris (savo matematinėje monografijoje „Matavimo naudojant kompasą ir liniuotę vadovas“, išleistoje 1525 m.) ir kurių autorius jis buvo, jis sukūrė savo „stebuklingą kvadratą“.

"Conchoid":

Ir atkreipkite dėmesį į graviūroje esantį akmenį - dviem kampais nupjautą gretasienį, kurio šoniniai paviršiai yra 2 taisyklingi trikampiai ir 6 penkiakampiai:

Robertas Lengdonas, simbolistinis detektyvas Dano Browno filme „Prarastas simbolis“, uždeda 16 skaitmenų šifrą iš masonų piramidės pagrindo ant Durerio aikštės ir gauna iššifravimą:

tai yra, JEOVA SANCTUS UNUS – Vienintelis Tikrasis Dievas.

Diureris greičiausiai priklausė tam tikrai slaptai draugijai. Ir galbūt jis turėjo kokių nors slaptų šventų žinių...

O gal visa tai apgaulė?!..

Nubraižykime 16 langelių ir sudėkime į juos skaičius nuo 1 iki 16. Dabar tiesiog pakeiskite 1 ir 16, 4 ir 13 (tai yra kampai), 6 ir 10 ir 7 ir 11 (kvadratas viduryje). Taip pat 2 ir 3 ir 14 ir 15 stovi vienas šalia kito.

VOILA! Tai magiškiausias vėsiausio laipsnio kvadratas. Tiesiog? Tiesiog! Bet spėkite, ką ir kaip pakeisti... Kita vertus, absoliuti skaičių keitimo simetrija gali nereikšti sprendimo paprastumo ir universalumo. Arba mums dabar lengva samprotauti, bet Diureriui reikėjo panaudoti savo konchoidą (žr. aukščiau), kad suprastų, kaip ir ką pakeisti?...

Pataisa graviūroje, kurią Düreris TYČIA paliko tokią akivaizdžią, matosi plika akimi:

Pakeičiant mums nupieštame kvadrate skaičius nuo 1 iki 16, tik 5 ir 9 pusės kairėje ir 8 ir 12 dešinėje lieka nepakitę. Iš pradžių Diureris taip pat norėjo juos pakeisti, bet tai pasirodė nereikalinga. Kodėl jis paliko savo klaidą, kad visi matytų? Parodyk man, kaip veikia tavo mintys? Tuštybė? O 1514 metai, kurie taip puikiai tinka aikštėje, taip pat yra nuopelnas, ar menininkas tiesiog laukė norimos datos didesniam efektui, anksčiau apgalvojęs visą matematiką?))

Galbūt. Net aukštosios matematikos sritis galima paaiškinti gražiu save laikančio menininko tuštybe, nuolat piešusio savo autoportretus, kad juo galėtų grožėtis visi.

Grįžtant prie Melancholijos, magiškų kvadratų ir okultizmo. Graviruotė parašyta imperatoriui Maksimilijonui I (žinantiems Marijos Burgundijos vyrui, Karolio Drąsiojo žentui ir imperatoriaus Karolio V seneliui).

Štai jo portretas, taip pat Durerio:

Maksimilianas save laikė melancholiku. Viduramžiais (ir ir dabar) buvo manoma, kad melancholikams žmonėms įtaką daro Saturno planeta. Stebuklingas kvadratas turėjo būti savotiškas talismanas, kuris apsaugotų nuo tamsios Saturno įtakos ir kartu pritrauktų pozityvesnę Jupiterio energiją.

Apskritai apie šią graviūrą galite daug parašyti. Vis tiek galite apsvarstyti visas savybes, bet tai jau kitam kartui. Šiuo atveju matematika man pasirodė įdomesnė nei tapyba.

XIII mokslinė praktinė moksleivių konferencija

„Stebuklingi kvadratai“

8 „A“ klasės mokiniai

PTP licėjus

Šolokhova Ana

Vadovas Anokhin M.N.

Mano kūrinio sukūrimo istorija…………………………………………………………………

Magiškas kvadratas................................................ ...................................3

Istoriškai reikšmingi magiški kvadratai...................4-5

AIKŠTAS RASTA KHAJURAHO (INDIJA).......6

Stebuklingas Yang Hui kvadratas (Kinija)................................................ ..7

Albrechto Durerio aikštė................................................. .....................8

Henry E. Dudeney ir Allan W. Johnson Jr kvadratai.....9

Velnio magiškas kvadratas..................................10-11

stebuklingų kvadratų KONSTRUKCIJOS TAISYKLĖS.....12

STEBUKLINIŲ Kvadratų BRĖŽIMAS................................13-15

Magiškosios Albrechto Durerio aikštės sukūrimas. .....17-18

Sudoku.................................................. .. ..............................................19-21 Kakuro.................................................. .. ..............................................22-23

UŽDUOTIS BANKAS................................................ ... ...............24-25

Išvados.................................................. ................................26 Literatūra................ .................................................. ........ .......27

Mano kūrinio sukūrimo istorija .

Anksčiau net nemaniau, kad kažką panašaus galima sugalvoti. Pirmą kartą su stebuklingais kvadratais susidūriau dar pirmoje klasėje vadovėlyje, jie buvo patys paprasčiausi.

Po kelerių metų su tėvais išvykau į pajūrį ir sutikau merginą, kuri mėgo sudoku. Aš taip pat norėjau išmokti, ir ji paaiškino, kaip tai padaryti. Ši veikla man labai patiko, ir tai tapo mano vadinamuoju hobiu.

Gavusi pasiūlymą dalyvauti mokslinėje ir praktinėje konferencijoje, iškart pasirinkau temą „Stebuklingi kvadratai“. Į šį darbą įtraukiau istorinę medžiagą, atmainas ir mįslių žaidimo kūrimo taisykles.
Magiška aikštė.

Magiškas arba magiškas kvadratas yra kvadratinė lentelė, užpildyta n skaičių taip, kad skaičių suma kiekvienoje eilutėje, kiekviename stulpelyje ir abiejose įstrižainėse būtų vienoda. Stebuklingas kvadratas, užpildytas visas skaičiai nuo 1 iki n.

Stebuklingi kvadratai egzistuoja visoms kategorijoms, išskyrus n=2, nors atvejis n=1 yra trivialus – kvadratas susideda iš vieno skaičiaus.

Skaičių suma kiekvienoje eilutėje, stulpelyje ir įstrižainėje. Skambino magijos konstanta, M. Normalaus magiško kvadrato magiškoji konstanta priklauso tik nuo n ir pateikiama formule.

Užsakymas n

Pirmosios magiškų konstantų reikšmės pateiktos tolesnėse lentelėse.

Istoriškai reikšmingi magiški kvadratai.

Senovės kinų knygoje „Zhe-kim“ („Permutacijų knyga“) sklando legenda, kad imperatorius Nu, gyvenęs prieš 4 tūkstančius metų, ant upės kranto matė šventą vėžlį. Ant jos apvalkalo buvo baltų ir juodų apskritimų raštas (1 pav.). Jei kiekvieną figūrą pakeisite skaičiumi, nurodančiu, kiek apskritimų joje yra, gausite lentelę.

Šis stalas turi nuostabią savybę. Sudėkime pirmame stulpelyje esančius skaičius: 4+3+8=15 Tas pats rezultatas bus sudėjus antroje ir trečioje skiltyje esančius skaičius. Jis taip pat gaunamas pridedant skaičius iš bet kurios iš trijų eilučių. Negana to, tas pats atsakymas 15 gaunamas sudėjus kiekvienos iš dviejų įstrižainių skaičius: 4+5+6=8+5+2=15.

Kinai tikriausiai sugalvojo šią legendą, kai rado skaičių nuo 1 iki 9 išdėstymą su tokia nuostabia savybe. Jie pavadino piešinį „lo-shu“ ir pradėjo jį laikyti magišku simboliu ir naudoti burtams. Todėl dabar vadinama bet kokia kvadratinė lentelė, sudaryta iš skaičių ir turinti šią savybę stebuklinga aikštė.

1 pav

AIKŠTAS RASTA KHAJURAHO (INDIJA).

Ankstyviausia unikali magiška aikštė buvo aptikta XI amžiaus užraše Indijos mieste Khajuraho.

Tai pirmoji stebuklinga aikštė, priklausanti įvairioms vadinamosioms „velniškoms“ aikštėms.

Magiškoji Yang Hui aikštė (Kinija)

XIII amžiuje matematikas Yang Hui ėmėsi stebuklingų kvadratų konstravimo metodų problemos. Tada jo tyrimus tęsė kiti Kinijos matematikai. Yang Hui stebuklingais kvadratais laikė ne tik trečiojo, bet ir aukštesnio laipsnio.

Kai kurios jo aikštės buvo gana sudėtingos, tačiau jis visada davė taisykles jų statybai. Jam pavyko sukonstruoti stebuklingą šeštojo eilės aikštę.

Bet kurios horizontalios, vertikalios ir įstrižainės skaičių suma yra 34. Ši suma taip pat randama visuose 2x2 kampiniuose langeliuose, centrinėje aikštėje (10+11+6+7), kampinių langelių kvadrate (16+13+4+1), „riterio judesio“ pastatytuose kvadratuose. (2+8 +9+15 ir 3+5+12+14), stačiakampiai, sudaryti iš priešingose pusėse esančių vidurinių langelių porų (3+2+15+14 ir 5+8+9+12). dėl to, kad bet kurių dviejų simetriškai išsidėsčiusių skaičių suma yra 17.
Henry E. Dudeney ir Allan W. Johnson, Jr.

Jei į kvadratinę n x n matricą įvedama ne griežtai natūrali skaičių seka, tai šis stebuklingas kvadratas yra netradicinis. Žemiau yra du tokie stebuklingi kvadratai, užpildyti daugiausia pirminiais skaičiais. Pirmasis (3 pav.) turi eilę n=3 (Dudeney kvadratas); antrasis (4 pav.) (dydis 4x4) – Džonsono kvadratas. Abu buvo sukurti XX amžiaus pradžioje.

3 pav.4 pav

Velnio magijos aikštė- stebuklingas kvadratas, kuriame skaičių suma išilgai sulaužytų įstrižainių (įstrižainės, kurios susidaro sulankstant kvadratą į Torus) abiem kryptimis.

Tokie kvadratai taip pat vadinami pandiagonalinis .

Yra 48 velniški 4x4 magiški kvadratai su sukimosi ir atspindžio tikslumu. Jei taip pat atsižvelgsime į jų papildomą simetriją - torinius lygiagrečius vertimus, tada lieka tik 3 žymiai skirtingi kvadratai:

Ryžiai. 5 pav. 6

Tačiau įrodyta, kad (7 pav.) atliekant paprasčiausias skaičių permutacijas gaunami pirmieji du kvadratai (5, 6 pav.). Tai yra, trečiasis variantas yra pagrindinis velniškas kvadratas, iš kurio visi kiti gali būti sukonstruoti naudojant įvairias transformacijas.

Pandiagonaliniai kvadratai egzistuoja nelyginei tvarkai n>3, bet kokiai dvigubo pariteto tvarkai n=4k (k=1,2,3...) ir neegzistuoja vieno lygumo tvarka n=4k+2 (k=1,2, 3...) .

Ketvirtosios eilės kampiniai kvadratai turi daugybę papildomų savybių, dėl kurių jie vadinami puikus. Nėra tobulų nelyginės eilės kampinių kvadratų. Tarp pandiagoninių kvadratų, kurių lygumas didesnis nei 4, yra tobulų.

Yra 3600 penktos eilės pandiagonalų kvadratų. Vienas iš jų parodytas žemiau.

STEBUKLINIŲ KVADRŲ STATYMO TAISYKLĖS

Stebuklingų kvadratų konstravimo taisyklės skirstomos į tris kategorijas, priklausomai nuo to, ar kvadrato eilė yra nelyginė, lygi dvigubai nelyginiam skaičiui, ar lygi keturis kartus nelyginiam skaičiui. Bendras visų kvadratų konstravimo būdas nežinomas, nors plačiai naudojamos įvairios schemos.

Galima rasti visus n eilės magiškus kvadratus, kai n=3,4, todėl labai domina n>4 magiškų kvadratų sudarymas. Į langelį reikia įrašyti skaičių su koordinatėmis (x, y).

Dar lengviau jį sukonstruoti taip: paimkime n x n matricą Jo viduje pastatytas laiptuotas rombas. Jame ląstelės iš kairės į viršų išilgai įstrižainių užpildytos nuoseklia skaičių seka. Nustatoma centrinės ląstelės C reikšmė.

Tada stebuklingo kvadrato kampuose reikšmės bus tokios: viršutiniame dešiniajame langelyje C-1; apatiniame kairiajame langelyje C+1; apatinė dešinė ląstelė C-n; viršutiniame kairiajame langelyje C+n.

STEBUKLINIŲ Kvadratų BRĖŽIMAS.

Kaip gaminami stebuklingi kvadratai?

Stebuklingos aikštės „Lo-Shu“ sukūrimas.

Užduotis: 3x3 kvadratas, sudarytas iš skaičių nuo 1 iki 9, kad skaičių sumos kiekvienoje eilutėje, stulpelyje ir įstrižainėje būtų lygios.

Sprendimas: Išspręskime problemą, neimdami visų 9 skaitmenų permutacijų 9 langeliuose vienas po kito (tokių išdėstymų skaičius yra 362880). Pagalvokim taip. Visų skaičių nuo 1 iki 9 suma: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Tai reiškia, kad kiekvienoje eilutėje ir kiekviename stulpelyje skaičių suma turi būti lygi: 45:3=15. Bet jei susumuosite visus skaičius antrame stulpelyje ir eilutėje bei abiejose įstrižainėse, tada kiekvienas skaičius pasirodys vieną kartą, išskyrus centrinį, kuris pasirodys keturis kartus. Tai reiškia, kad jei centrinį skaičių pažymėsime x, tai turi galioti lygybė 4*15=3x+3*15. Taigi x=5, tai yra, skaičius 5 turėtų būti lentelės centre.

Dabar atkreipkite dėmesį, kad skaičius 9 negali būti lentelės kampe, tarkime, viršutiniame kairiajame kampe. Juk tada priešingame kampe būtų skaičius 1, o pirmai eilutei ir stulpeliui liktų viena kombinacija - skaičiai 4 ir 2. Tai reiškia, kad 9 yra kai kurių išorinių eilučių ar stulpelių viduryje ( mūsų, pirmosios eilės viduryje). Kiti du skaičiai šioje eilutėje yra 4 ir 2, o trečiasis skaičius viduriniame stulpelyje turėtų būti 15-9-5=1. Skaičiai 8 ir 6 turi būti toje pačioje eilutėje su 1. Taigi stebuklingas kvadratas beveik užpildytas ir nesunku rasti vietą likusiems skaičiams. Rezultatas yra „Lo-Shu“ kvadratas.

Žinoma, už 9 galite pasirinkti kitas tris vietas, o pasirinkus vietą šiam skaičiui, yra dvi galimybės išdėstyti skaičius 4 ir 2. Iš viso gausite 4 * 2 = 8 skirtingus stebuklingus kvadratus iš trijų eilutės ir trys stulpeliai (arba, kaip sako matematikai, trečios eilės kvadratai). Visus šiuos kvadratus galima gauti „Lo-Shu“ pasukus kvadratą 180, 90 arba 270. Galima ir veidrodinio vaizdo parinktis.

Kvadratas

"Lo-Shu"

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Stebuklingo kvadrato kūrimas

Albrechtas Dureris.

Užduotis : Sukurkite 4x4 magišką kvadratą iš skaičių nuo 1 iki 16, kad skaičių sumos kiekvienoje eilutėje, stulpelyje ir įstrižainėje būtų lygios.

Sprendimas: Visų skaičių nuo 1 iki 16 suma: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. Tai reiškia, kad kiekvienoje eilutėje ir kiekviename stulpelyje skaičių suma turi būti lygi: 136:4 = 34. Bet jei susumuosite visus skaičius, antra, stulpelyje ir eilutėje bei abiejose įstrižainėse, tada kiekvienas skaičius pasirodys vieną kartą, išskyrus centrinius, kurie pasirodys du kartus. Šie skaičiai bus 10,11,6,7. Tada į likusius langelius pateiksime likusius skaičius 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16

Albrechto Durerio aikštė
Sudoku.

Išvertus iš japonų kalbos, „su“ reiškia „skaitmenį“, o „doku“ reiškia „stovėti vienas“.

Nereikia spėlioti ar gilintis į knygas – tik logika ir atidumas!

Užduotis: Tuščius langelius užpildykite skaičiais nuo 1 iki 9, kad skaičius nesikartotų jokioje eilutėje, jokiame stulpelyje ir kiekviename iš 9 3x3 blokų.

Sprendimas: 1 žingsnis

Pažiūrėkime į paryškintą eilutę. Jame trūksta tik dviejų skaičių: 1 ir 2. Pažiūrėkime į pirmą tuščią langelį dešinėje. Ar galime ten įdėti 1? Nr. Kadangi šiame stulpelyje jau yra 1, ir šių skaičių stulpelyje kartoti negalima. Tai reiškia, kad į šią ląstelę galime tilpti tik 2 Mes tai padarysime. Dabar tereikia įvesti skaičių 1 į tuščią, paskutinį šios eilutės langelį, ir eilutė baigta.

	9	2	3		7		4	5
8	3		1		4	6		7
6			8		5		3
7	8	3	6	5	1	4	2	9
			4	7	3	1	5	8
5	1	4		8		7
	6		5	1	8			4
4		8		3			1
3	7			4		5		2

Pažiūrėkime į pasirinktą stulpelį: jame taip pat trūksta tik dviejų skaičių – 2 ir 7. Pirmajame tuščiame langelyje nuo šio stulpelio viršaus negalime įvesti skaičiaus 7, nes stulpelį kertančioje eilutėje jau yra skaičius 7. Bet mes galime įvesti jį numeriu 2, ką mes darome! O skaičiui 7 yra tik vienas tuščias

šio stulpelio langelis yra antrasis langelis iš apačios. Nedvejodami rašykite jame skaičių 7 – stulpelis pilnas!

	9	2	3		7		4	5
8	3		1		4	6		7
6			8		5		3
7	8	3	6	5	1	4	2	9
			4	7	3	1	5	8
5	1	4	2	8		7
	6		5	1	8			4
4		8	7	3			1
3	7		9	4		5		2

Na, o dabar pažvelkime į centrinį langelių bloką: jame liko tik vienas tuščias langelis, tai yra, trūksta tik vieno skaičiaus. Pažiūrėkime atidžiai - tai yra 9 skaičius, nes visi kiti skaičiai jau yra vietoje. Ląstelėje vėl įrašome skaičių 9... ir vėl „pasižiūrime“ - ir vėl turime vieną eilutę ir vieną stulpelį. Kuriame trūksta dviejų skaitmenų. Kas toliau? Atsakymą rasime patys - 1 žingsnis, 2 veiksmas...