Dia 1

Diabeschrijving:

Dia 2

Diabeschrijving:

Dia 3

Diabeschrijving:

Dia 4

Diabeschrijving:

Breuken schrijven in Egypte De Egyptenaren probeerden alle breuken te schrijven als sommen van breuken, dat wil zeggen breuken van de vorm 1/n. In plaats van 8/15 schreven ze bijvoorbeeld 1/3 + 1/5. De enige uitzondering was de breuk 2/3. In de Ahmes-papyrus staat een taak: "Verdeel 7 broden onder 8 personen." Als je elk brood in 8 stukken snijdt, moet je 49 sneden maken. En in het Egyptisch werd dit probleem als volgt opgelost. De breuk 7/8 werd geschreven als breuken: 1/2 + 1/4 + 1/8. Dit betekent dat elke persoon een half brood, een kwart brood en een achtste brood moet krijgen; Daarom snijden we vier broden doormidden, twee broden in vier delen en één brood in acht delen, waarna we elk een deel geven.

Dia 5

Diabeschrijving:

Dia 6

Diabeschrijving:

Babylon De Babyloniërs sloegen een heel ander pad in. Ze werkten alleen met sexagesimale breuken. Omdat de noemers van dergelijke breuken de getallen 60, 602, 603, enz. zijn, konden breuken zoals 1/7, 1/11, 1/13 niet nauwkeurig worden uitgedrukt door middel van sexagesimale breuken: ze werden er bij benadering door uitgedrukt. We gebruiken dergelijke breuken nog steeds om tijd en hoeken aan te duiden. De tijd is bijvoorbeeld 3u,17m,28s. kan als volgt worden geschreven: 3,17 "28" uur (lees 3 hele, 17 jaren zestig 28 drieduizend zeshonderdsten van een uur). In plaats van de woorden “zestigste”, “drieduizendzeshonderdste” zeiden ze kortweg: “eerste kleine breuken”, “tweede kleine breuken”. Hieruit kwamen de woorden minuut (in het Latijn - minder) en tweede (uit het Latijn - tweede). De Babylonische manier om breuken te noteren heeft tot op de dag van vandaag zijn betekenis behouden. Omdat de Babyloniërs een positioneel getalsysteem hadden, werkten ze met sexagesimale breuken en gebruikten ze dezelfde tabellen als voor natuurlijke getallen.

Dia 7

Diabeschrijving:

Dia 8

Diabeschrijving:

Het Romeinse systeem van breuken en maten was twaalfdecimaal. Zelfs nu zeggen ze wel eens: “Hij heeft deze kwestie grondig bestudeerd.” Dit betekent dat de kwestie tot het einde is bestudeerd, dat er zelfs niet de geringste dubbelzinnigheid overblijft. En het vreemde woord 'scrupuleus' komt van de Romeinse naam voor 1/288 assa - 'scrupulus'. Het Romeinse systeem van breuken en maten was twaalfdecimaal. Zelfs nu zeggen ze wel eens: “Hij heeft deze kwestie grondig bestudeerd.” Dit betekent dat de kwestie tot het einde is bestudeerd, dat er zelfs niet de geringste dubbelzinnigheid overblijft. En het vreemde woord 'scrupuleus' komt van de Romeinse naam voor 1/288 assa - 'scrupulus'. De volgende namen werden ook gebruikt: "semis" - een halve aas, "sextanes" - een zesde ervan, "semiounce" - een halve ounce, dat wil zeggen 1/24 van een aas, enz. In totaal 18 verschillende namen voor breuken werden gebruikt. Om met breuken te werken, was het noodzakelijk om zowel de opteltabel als de tafel van vermenigvuldiging voor deze breuken te onthouden. Daarom wisten de Romeinse kooplieden zeker dat bij het optellen van triens (1/3 assa) en sextans het resultaat semis is, en bij het vermenigvuldigen van imp (2/3 assa) met sescunce (3/2 ounce, dat wil zeggen 1/8 assa), wordt een ounce verkregen. Om het werk te vergemakkelijken zijn speciale tabellen samengesteld, waarvan sommige bij ons terecht zijn gekomen.

Dia 9

Diabeschrijving:

Dia 10

Diabeschrijving:

Dia 11

Diabeschrijving:

Dia 12

Diabeschrijving:

Dia 13

Geschiedenis van de oorsprong van breuken

Chuiko AV

5, middelbare school St

Hand. Riplinger LA

Invoering

De behoefte aan fractionele getallen ontstond bij mensen in een zeer vroeg ontwikkelingsstadium. Reeds de verdeling van de buit, bestaande uit verschillende gedode dieren, tussen de deelnemers aan de jacht, wanneer het aantal dieren geen veelvoud bleek te zijn van het aantal jagers, kon de primitieve mens tot het concept van een fractioneel getal leiden.

Naast de noodzaak om objecten te tellen, hebben mensen sinds de oudheid ook de behoefte gehad om lengte, oppervlakte, volume, tijd en andere grootheden te meten. Het resultaat van metingen is niet altijd in een natuurlijk getal uit te drukken; er moet ook rekening gehouden worden met delen van de gebruikte maatstaf. Historisch gezien zijn fracties ontstaan ​​uit het meetproces.

De behoefte aan nauwkeurigere metingen leidde ertoe dat de aanvankelijke meeteenheden in 2, 3 of meer delen werden opgesplitst. De kleinere maateenheid, die door fragmentatie ontstond, kreeg een eigen naam, en hoeveelheden werden gemeten door deze kleinere eenheid.

Breuken in het oude Rome

De Romeinen gebruikten de basiseenheid van massameting, en ook de munteenheid was “ezel”. De ezel was verdeeld in 12 gelijke delen - ounces. Alle breuken met een noemer van 12 werden daaruit opgeteld, dat wil zeggen 1/12, 2/12, 3/12... Na verloop van tijd werden ounces gebruikt om elke hoeveelheid te meten.

Zo ontstonden de Romeinen duodecimale breuken, dat wil zeggen breuken waarvan de noemer altijd een getal is geweest 12 . In plaats van 1/12 zeiden de Romeinen “één ounce”, 5/12 – “vijf ounces”, enz. Drie ons werd een kwart genoemd, vier ons een derde, zes ons een half.

Breuken in het oude Egypte

Eeuwenlang noemden de Egyptenaren breuken ‘gebroken getallen’, en de eerste breuk waarmee ze kennis maakten was 1/2. Het werd gevolgd door 1/4, 1/8, 1/16, ..., dan 1/3, 1/6, ..., d.w.z. de eenvoudigste breuken worden eenheid of genoemd basisfracties. Hun teller is altijd één. Pas veel later begonnen de Grieken, daarna de Indiërs en andere volkeren, breuken van een algemene vorm te gebruiken, de zogenaamde gewone, waarin de teller en de noemer elk natuurlijk getal kunnen zijn.

In het oude Egypte bereikte de architectuur een hoog ontwikkelingsniveau. Om grandioze piramides en tempels te bouwen, om de lengtes, oppervlakten en volumes van figuren te berekenen, was het nodig om rekenkunde te kennen.

Uit ontcijferde informatie op papyri leerden wetenschappers dat de Egyptenaren 4000 jaar geleden een decimaal (maar niet positioneel) getallensysteem hadden en veel problemen konden oplossen die verband hielden met de behoeften van de bouw, handel en militaire zaken.

Een van de eerste bekende verwijzingen naar Egyptische breuken is de wiskundige Rhind-papyrus. Drie oudere teksten waarin Egyptische breuken worden genoemd, zijn de Egyptische Wiskundige Leren Rol, de Moskouse Wiskundige Papyrus en de Akhmim Houten Tablet. De Rhind Papyrus bevat een tabel met Egyptische breuken voor rationale getallen van de vorm 2/ N, evenals 84 wiskundige problemen, hun oplossingen en antwoorden, geschreven in de vorm van Egyptische breuken.

De Egyptenaren plaatsten de hiëroglief ( eh, "[een] van" of met betrekking tot, mond) boven het getal om in de gewone notatie een eenheidsfractie aan te duiden, maar in heilige teksten werd een lijn gebruikt. Bijv.:

Ze hadden ook speciale symbolen voor de breuken 1/2, 2/3 en 3/4, die ook gebruikt konden worden om andere breuken (groter dan 1/2) te schrijven.

De resterende breuken schreven ze op als een som van aandelen. Ze schreven de breuk in het formulier
, maar het “+” teken werd niet aangegeven. En het bedrag
geschreven in de vorm . Bijgevolg is deze notatie voor gemengde getallen (zonder het “+” teken) sindsdien bewaard gebleven.

Babylonische sexagesimale breuken

De inwoners van het oude Babylon creëerden ongeveer drieduizend jaar voor Christus een meetsysteem dat vergelijkbaar was met ons metrische systeem, alleen was het niet gebaseerd op het getal 10, maar op het getal 60, waarin de kleinere meeteenheid was onderdeel van de hogere eenheid. Dit systeem werd door de Babyloniërs volledig gevolgd voor het meten van tijd en hoeken, en wij erfden van hen de verdeling van uren en graden in 60 minuten, en minuten in 60 seconden.

Onderzoekers verklaren op verschillende manieren de opkomst van het sexagesimale getalsysteem onder de Babyloniërs. Hoogstwaarschijnlijk is hier rekening gehouden met het grondtal 60, wat een veelvoud is van 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60, wat alle berekeningen enorm vereenvoudigt.

Zestigsten waren gebruikelijk in het leven van de Babyloniërs. Daarom gebruikten ze zestigtallig breuken waarvan de noemer altijd het getal 60 is of de machten ervan: 60 2, 60 3, enz. In dit opzicht kunnen sexagesimale breuken worden vergeleken met onze decimale breuken.

De Babylonische wiskunde beïnvloedde de Griekse wiskunde. Sporen van het Babylonische sexagesimale getalsysteem zijn in de moderne wetenschap blijven hangen bij het meten van tijd en hoeken. De verdeling van uren in 60 minuten, minuten in 60 seconden, cirkels in 360 graden, graden in 60 minuten, minuten in 60 seconden is tot op de dag van vandaag bewaard gebleven.

De Babyloniërs leverden waardevolle bijdragen aan de ontwikkeling van de astronomie. Wetenschappers van alle landen gebruikten tot de 17e eeuw sexagesimale fracties in de astronomie en noemden ze astronomisch in breuken. Daarentegen werden de algemene breuken die we gebruiken genoemd normaal.

Nummering en breuken in het oude Griekenland

Omdat de Grieken slechts sporadisch met breuken werkten, gebruikten ze verschillende notaties. Heron en Diophantus, de beroemdste rekenkundigen onder de oude Griekse wiskundigen, schreven breuken in alfabetische vorm, waarbij de teller onder de noemer werd geplaatst. Maar in principe werd de voorkeur gegeven aan breuken met een eenheidsteller of aan sexagesimale breuken.

De tekortkomingen van de Griekse notatie voor breuken, inclusief het gebruik van sexagesimale breuken in het decimale getalsysteem, waren niet te wijten aan gebreken in de fundamentele principes. De tekortkomingen van het Griekse getalsysteem kunnen eerder worden toegeschreven aan hun nadruk op nauwkeurigheid, waardoor de moeilijkheden die gepaard gaan met het analyseren van de relatie tussen incommensurabele grootheden aanzienlijk groter zijn geworden. De Grieken begrepen het woord 'getal' als een reeks eenheden, dus wat we nu beschouwen als een enkel rationeel getal - een breuk - begrepen de Grieken als de verhouding van twee gehele getallen. Dit verklaart waarom breuken zelden werden aangetroffen in de Griekse rekenkunde.

Breuken in Rus'

In de Russische handgeschreven rekenkunde uit de 17e eeuw werden breuken breuken genoemd, later ‘gebroken getallen’. In oude handleidingen vinden we de volgende namen van breuken in Rus':

Slavische nummering werd in Rusland gebruikt tot de 16e eeuw, waarna het decimale positienummersysteem geleidelijk het land binnendrong. Het verving uiteindelijk de Slavische nummering onder Peter I.

Breuken in andere staten van de oudheid

In het Chinese ‘Wiskunde in Negen Secties’ vinden reducties van breuken en alle bewerkingen met breuken al plaats.

Bij de Indiase wiskundige Brahmagupta vinden we een redelijk ontwikkeld systeem van breuken. Hij komt verschillende breuken tegen: zowel basische als afgeleide met welke teller dan ook. De teller en de noemer worden op dezelfde manier geschreven als wij nu doen, maar dan zonder horizontale lijn, maar gewoon boven elkaar geplaatst.

De Arabieren waren de eersten die de teller van de noemer scheidden met een lijn.

Leonardo van Pisa schrijft al breuken, waarbij hij in het geval van een gemengd getal het gehele getal aan de rechterkant plaatst, maar leest het op dezelfde manier als onder ons gebruikelijk is. Jordan Nemorarius (XIII eeuw) deelt breuken door de teller te delen door de teller en de noemer door de noemer, waardoor delen wordt vergeleken met vermenigvuldigen. Om dit te doen, moet je de voorwaarden van de eerste breuk aanvullen met factoren:

In de 15e – 16e eeuw neemt de studie van breuken een vorm aan die ons al bekend is en wordt geformaliseerd in ongeveer dezelfde secties die in onze leerboeken voorkomen.

Opgemerkt moet worden dat het rekengedeelte over breuken lange tijd een van de moeilijkste is geweest. Niet voor niets hebben de Duitsers nog steeds het gezegde: ‘In fracties komen’, wat betekende dat je in een hopeloze situatie terechtkwam. Men geloofde dat iedereen die geen breuken kent, geen rekenkunde kent.

Decimalen

Decimale breuken verschenen in de werken van Arabische wiskundigen in de Middeleeuwen en onafhankelijk daarvan in het oude China. Maar zelfs eerder, in het oude Babylon, werden fracties van hetzelfde type gebruikt, alleen sexagesimaal.

Later publiceerde de wetenschapper Hartmann Beyer (1563-1625) het werk “Decimal Logistics”, waarin hij schreef: “... Ik merkte dat technici en ambachtslieden, wanneer ze welke lengte dan ook meten, dit zeer zelden en alleen in uitzonderlijke gevallen uitdrukken in gehele getallen met dezelfde naam; Meestal moeten ze kleine maatregelen nemen of hun toevlucht nemen tot fracties. Op dezelfde manier meten astronomen hoeveelheden niet alleen in graden, maar ook in fracties van een graad, d.w.z. minuten, seconden, enz. Het verdelen ervan in 60 delen is niet zo handig als het verdelen in 10, 100 delen, enz., omdat het in het laatste geval veel gemakkelijker is om op te tellen, af te trekken en in het algemeen rekenkundige bewerkingen uit te voeren; Het lijkt mij dat decimale breuken, als ze worden ingevoerd in plaats van sexagesimale breuken, niet alleen nuttig zouden zijn voor de astronomie, maar ook voor allerlei soorten berekeningen.”

Tegenwoordig gebruiken we decimalen op een natuurlijke en vrije manier. Wat ons natuurlijk lijkt, vormde echter een echt struikelblok voor wetenschappers uit de Middeleeuwen. In West-Europa 16e eeuw. Naast het wijdverbreide decimale systeem voor het weergeven van gehele getallen, werden overal in berekeningen sexagesimale breuken gebruikt, die teruggaan tot de oude traditie van de Babyloniërs. Er was de slimme geest van de Nederlandse wiskundige Simon Stevin voor nodig om de opname van zowel gehele als gebroken getallen in één systeem te brengen. Blijkbaar waren de tabellen met samengestelde rente die hij samenstelde de aanleiding voor het creëren van decimale breuken. In 1585 publiceerde hij het boek Tithes, waarin hij decimale breuken uitlegde.

Vanaf het begin van de 17e eeuw begon de intensieve penetratie van decimale breuken in de wetenschap en praktijk. In Engeland werd een punt geïntroduceerd als teken dat een geheel deel scheidt van een breukdeel. De komma werd, net als de punt, in 1617 door de wiskundige Napier voorgesteld als scheidingsteken.

De ontwikkeling van industrie en handel, wetenschap en technologie vereiste steeds omslachtiger berekeningen, die gemakkelijker uit te voeren waren met behulp van decimale breuken. Decimale breuken werden in de 19e eeuw op grote schaal gebruikt na de introductie van het nauw verwante metrische systeem van maten en gewichten. In ons land, in de landbouw en de industrie, worden decimale breuken en hun speciale vorm - percentages - bijvoorbeeld veel vaker gebruikt dan gewone breuken.

Literatuur:

M.Ya.Vygodsky “Rekenkunde en algebra in de antieke wereld” (M. Nauka, 1967)

G.I. Glazer “Geschiedenis van de wiskunde op school” (M. Prosveshcheniye, 1964)

Samenvatting van het proefschrift

... verhalen normaal breuken. 1.1 Opkomst breuken. 3 1.2 Breuken in het oude Egypte. 4 1.3 Breuken in het oude Babylon. 7 1.4 Breuken in het oude Rome. 8 1.5 Breuken in het oude Griekenland. 9 1.6 Breuken ... oorsprong, – waarbij de teller breuken was aan het schrijven...

1. Onderwerp: “geschiedenis van gewone breuken en praktische toepassing van kennis erover”

   Les

   Het woord van de leraar verhalen: Goedemiddag! Het onderwerp van de les van vandaag is " Verhaal normaal breuken en praktisch... met Babylonische nummering, geeft informatie over zestigtallig breuken. Oorsprong Het sexagesimale getallenstelsel onder de Babyloniërs houdt verband met...

2. Geschiedenis van de Middeleeuwen, deel 1 en 2, geredigeerd

   Samenvatting van het proefschrift

   Gezamenlijk verwerkt door de leden, geleidelijk gefragmenteerd voor kleine individuele gezinnen die ontvingen... in Frankrijk. M, 1953. Thierry O. Ervaring verhalenoorsprong en successen van de derde stand // Tvri O. Elect...

Het systeem van breuken in het oude Egypte Breuken verschenen in de oudheid. Bij het verdelen van buit, bij het meten van hoeveelheden en in andere soortgelijke gevallen kwamen mensen de noodzaak tegen om breuken in te voeren. De oude Egyptenaren wisten al hoe ze 2 voorwerpen in drie personen moesten verdelen; voor dit getal -2/3- hadden ze een speciaal symbool. Dit was overigens de enige breuk die door Egyptische schriftgeleerden werd gebruikt en die geen eenheid in de teller had - alle andere breuken hadden zeker een eenheid in de teller (de zogenaamde basisbreuken): 1/2; 1/3; 1/28;... Als de Egyptenaar andere breuken moest gebruiken, stelde hij deze voor als een som van basisbreuken. In plaats van 8/15 schreven ze bijvoorbeeld 1/3+1/5.

Het systeem van breuken in het oude Babylon In het oude Babylon gaven ze de voorkeur aan een constante noemer gelijk aan 60. Sexagesimale breuken, geërfd van Babylon, werden gebruikt door Griekse en Arabische wiskundigen en astronomen. Maar het was lastig om te werken aan natuurlijke getallen geschreven in het decimale systeem en breuken geschreven in het sexagesimale systeem. Maar het werken met gewone breuken was al behoorlijk moeilijk. Daarom stelde de Nederlandse wiskundige Simon Stevin voor om over te stappen op decimale breuken.

Het breuksysteem in het oude Rome was gebaseerd op het verdelen van een gewichtseenheid in 12 delen, die ezel werd genoemd. Het twaalfde deel van een aas werd een ounce genoemd. En het pad, de tijd en andere grootheden werden vergeleken met iets visueels: gewicht. Een Romein zou bijvoorbeeld kunnen zeggen dat hij zeven ons van een pad heeft gelopen of vijf ons van een boek heeft gelezen. In dit geval ging het natuurlijk niet om het wegen van het pad of het boek. Dit betekende dat 7/12 van de reis was volbracht of 5/12 van het boek was gelezen. En voor breuken die werden verkregen door breuken met een noemer van 12 te verkleinen of twaalfden in kleinere te splitsen, waren er speciale namen.

Kruiswoordraadsel horizontaal: 1. De teller en de noemer delen door hetzelfde getal. 2. Het quotiënt van twee getallen. 3. Een breuk waarbij de teller en de noemer onderling priemgetallen zijn. 4. Hoeveel vermindert de breuk 24/36? 5. Een honderdste van een getal. Verticaal: 6. De naam van een breuk waarvan de teller groter is dan of gelijk is aan de noemer. 7. Moet je GCD of LCM vinden om de gemene deler te vinden? 8. Actie. Met behulp waarvan een fractie van een getal wordt gevonden.9. Moet je GCD of LCM vinden om een ​​breuk te verkleinen?