In deze les bekijken we nog twee vectorbewerkingen: vectorproduct van vectoren en gemengd product van vectoren (meteen link, wie heeft het nodig)... Het is oké, het gebeurt soms dat voor volledig geluk, naast puntproduct van vectoren, het kost steeds meer. Dat is de vectorverslaving. Je zou de indruk kunnen krijgen dat we in de jungle van de analytische meetkunde belanden. Dit is niet waar. In dit deel van de hogere wiskunde is er over het algemeen niet genoeg brandhout, behalve dat er genoeg is voor Buratino. In feite is het materiaal heel gewoon en eenvoudig - nauwelijks ingewikkelder dan hetzelfde scalair product, zelfs de typische taken zullen kleiner zijn. Het belangrijkste in analytische meetkunde, zoals velen overtuigd zullen zijn of al overtuigd zijn, is GEEN FOUTEN IN DE BEREKENINGEN. Herhaal als een spreuk, en je zult blij zijn =)

Als vectoren ergens ver weg schitteren, zoals bliksem aan de horizon, maakt het niet uit, begin met de les Vectoren voor dummies om basiskennis van vectoren te herstellen of te herwinnen. Meer voorbereide lezers kunnen selectief kennis maken met de informatie, ik heb geprobeerd de meest complete verzameling voorbeelden te verzamelen die vaak in praktische werken te vinden zijn

Hoe u meteen te plezieren? Toen ik klein was, wist ik hoe ik moest jongleren met twee of zelfs drie ballen. Behendig bleek het. Nu hoef je helemaal niet meer te jongleren, omdat we zullen overwegen alleen ruimtelijke vectoren, en vlakke vectoren met twee coördinaten worden weggelaten. Waarom? Dit is hoe deze acties zijn geboren - de vector en het gemengde product van vectoren worden gedefinieerd en werken in een driedimensionale ruimte. Het is al makkelijker!

Deze bewerking, op dezelfde manier als in het puntproduct, omvat: twee vectoren... Laat dit onvergankelijke letters zijn.

De actie zelf aangegeven op de volgende manier: . Er zijn andere opties, maar ik ben gewend om het vectorproduct van vectoren op die manier aan te duiden, tussen vierkante haken met een kruis.

En onmiddelijk vraag: als in puntproduct van vectoren er zijn twee vectoren bij betrokken, en ook hier worden twee vectoren vermenigvuldigd, dan wat is het verschil? Het voor de hand liggende verschil zit in de eerste plaats in het RESULTAAT:

Het resultaat van het puntproduct van vectoren is AANTAL:

Het vectorproduct van vectoren resulteert in een VECTOR:, dat wil zeggen, we vermenigvuldigen de vectoren en krijgen weer een vector. Gesloten clubje. Eigenlijk, vandaar de naam van de operatie. In verschillende educatieve literatuur kunnen de aanduidingen ook variëren, ik zal de brief gebruiken.

Definitie van een kruisproduct

Eerst komt er een definitie met een foto, dan commentaar.

Definitie: Op vectorproduct niet-collineair vectoren, in deze volgorde genomen, VECTOR genaamd, lengte die numeriek gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram gebouwd op deze vectoren; vector orthogonaal op vectoren, en is zo gericht dat de basis een juiste oriëntatie heeft:

We analyseren de definitie per botten, er zijn veel interessante dingen!

De volgende essentiële punten kunnen dus worden benadrukt:

1) De originele vectoren, aangegeven met rode pijlen, per definitie niet collineair... Het is gepast om het geval van collineaire vectoren wat later te beschouwen.

2) Vectoren worden genomen in een strikt gedefinieerde volgorde: – "A" wordt vermenigvuldigd met "bh", en niet "bh" naar "a". Het resultaat van vectorvermenigvuldiging is de VECTOR, die blauw is gemarkeerd. Als de vectoren in omgekeerde volgorde worden vermenigvuldigd, krijgen we een vector van gelijke lengte en tegengestelde richting (karmozijnrode kleur). Dat wil zeggen, de gelijkheid is waar .

3) Laten we nu kennis maken met de geometrische betekenis van het vectorproduct. Dit is een heel belangrijk punt! De LENGTE van de blauwe vector (en dus de karmozijnrode vector) is numeriek gelijk aan het GEBIED van het parallellogram dat op de vectoren is gebouwd. In de figuur is dit parallellogram zwart gearceerd.

Opmerking : de tekening is schematisch en natuurlijk is de nominale lengte van het uitwendige product niet gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram.

We herinneren ons een van de geometrische formules: het gebied van het parallellogram is gelijk aan het product van de aangrenzende zijden door de sinus van de hoek ertussen... Daarom is op basis van het bovenstaande de formule voor het berekenen van de LENGTE van een vectorproduct geldig:

Ik benadruk dat we het in de formule hebben over de LENGTE van de vector, en niet over de vector zelf. Wat is het praktische punt? En de betekenis is dat bij problemen met analytische geometrie het gebied van een parallellogram vaak wordt gevonden door het concept van een vectorproduct:

Laten we de tweede belangrijke formule nemen. De diagonaal van het parallellogram (rode stippellijn) verdeelt het in twee gelijke driehoeken. Daarom kan het gebied van een driehoek gebouwd op vectoren (rode arcering) worden gevonden met de formule:

4) Een even belangrijk feit is dat de vector orthogonaal is op vectoren, dat wil zeggen ... Natuurlijk staat de tegengesteld gerichte vector (rode pijl) ook loodrecht op de oorspronkelijke vectoren.

5) De vector is zo gericht dat basis Het heeft Rechtsaf oriëntatie. In de les over overgang naar een nieuwe basis Ik heb voldoende gedetailleerd gesproken over vlak oriëntatie, en nu zullen we uitzoeken wat de oriëntatie van de ruimte is. Ik zal het op je vingers uitleggen rechter hand ... Mentaal combineren wijsvinger met vector en middelvinger met vectoren. Ringvinger en pink druk op de handpalm. Als resultaat duim- het kruisproduct zal omhoog kijken. Dit is de rechtsgeoriënteerde basis (in de figuur is dat het). Verander nu de vectoren ( wijs- en middelvinger) op sommige plaatsen zal de duim zich ontvouwen en zal het kruisproduct al naar beneden kijken. Ook dit is een rechtsgeoriënteerde basis. Misschien heb je een vraag: wat is de basis van de linkse oriëntatie? "Toewijzen" aan dezelfde vingers linkerhand vectoren, en verkrijg de linkerbasis en linkeroriëntatie van de ruimte (in dit geval bevindt de duim zich in de richting van de onderste vector)... Figuurlijk gesproken "draaien" of oriënteren deze bases de ruimte in verschillende richtingen. En dit concept moet niet als iets vergezocht of abstract worden beschouwd - de oriëntatie van de ruimte wordt bijvoorbeeld veranderd door de meest gewone spiegel, en als je "het gereflecteerde object uit het kijkglas trekt", dan zal het in het algemeen niet mogelijk zijn om het te combineren met het "origineel". Trouwens, breng drie vingers naar de spiegel en analyseer de reflectie ;-)

... hoe goed het is dat je nu weet over rechts en links georiënteerd gronden, omdat de uitspraken van sommige docenten over de verandering in oriëntatie verschrikkelijk zijn =)

Kruisproduct van collineaire vectoren

De definitie is in detail geanalyseerd, het blijft om uit te zoeken wat er gebeurt als de vectoren collineair zijn. Als de vectoren collineair zijn, dan kunnen ze zich op één rechte lijn bevinden en ons parallellogram "vouwt" zich ook in één rechte lijn. Het gebied van zulke, zoals wiskundigen zeggen, ontaarden parallellogram is nul. Hetzelfde volgt uit de formule - de sinus van nul of 180 graden is gelijk aan nul, wat betekent dat de oppervlakte nul is.

Dus, als, dan ... Strikt genomen is het uitwendige product zelf gelijk aan de nulvector, maar in de praktijk wordt dit vaak verwaarloosd en geschreven dat het gewoon gelijk is aan nul.

Een speciaal geval is het vectorproduct van een vector zelf:

Met behulp van het kruisproduct kun je de collineariteit van driedimensionale vectoren controleren, en we zullen onder andere ook dit probleem analyseren.

Om praktische voorbeelden op te lossen, heb je misschien nodig: trigonometrische tafel om de sinuswaarden ervan te vinden.

Laten we een vuurtje maken:

voorbeeld 1

a) Bereken de lengte van het vectorproduct van vectoren als

b) Vind het gebied van een parallellogram gebouwd op vectoren als

Oplossing: Nee, dit is geen typfout, ik heb bewust de begingegevens in de clausules van de voorwaarde gelijk gemaakt. Omdat het ontwerp van de oplossingen anders zal zijn!

a) Op voorwaarde, is het vereist om te vinden de lengte vector (vectorproduct). Volgens de bijbehorende formule:

Antwoord geven:

Omdat de vraag werd gesteld over de lengte, geven we in het antwoord de dimensie aan - eenheden.

b) Op voorwaarde, is het vereist om te vinden vierkant een parallellogram gebouwd op vectoren. De oppervlakte van dit parallellogram is numeriek gelijk aan de lengte van het vectorproduct:

Antwoord geven:

Houd er rekening mee dat het antwoord over het vectorproduct helemaal niet mogelijk is, er werd ons gevraagd naar figuur gebied, respectievelijk, de afmeting is vierkante eenheden.

We kijken altijd WAT er nodig is om de aandoening te vinden en op basis hiervan formuleren we Doorzichtig antwoord geven. Het lijkt misschien letterlijkheid, maar er zijn genoeg literalisten onder leraren, en de taak met goede kansen zal terugkeren voor herziening. Hoewel dit geen bijzonder strak gezeur is - als het antwoord onjuist is, lijkt het erop dat de persoon eenvoudige dingen niet begrijpt en / of de essentie van de taak niet begrijpt. Dit moment moet altijd onder controle worden gehouden, om elk probleem in de hogere wiskunde, en ook in andere vakken, op te lossen.

Waar is de grote letter "en" gebleven? In principe zou het extra in de oplossing kunnen worden gestoken, maar om de opname in te korten, deed ik dat niet. Ik hoop dat iedereen dat begrijpt en een aanduiding is van hetzelfde.

Populair voorbeeld voor een doe-het-zelf oplossing:

Voorbeeld 2

Vind het gebied van een driehoek gebouwd op vectoren als

De formule voor het vinden van het gebied van een driehoek door het kruisproduct wordt gegeven in de opmerkingen bij de definitie. Oplossing en antwoord aan het einde van de les.

In de praktijk is de taak echt heel gebruikelijk, driehoeken kunnen je over het algemeen martelen.

Om andere problemen op te lossen, hebben we nodig:

Vector producteigenschappen

We hebben al enkele eigenschappen van het kruisproduct overwogen, maar ik zal ze in deze lijst opnemen.

Voor willekeurige vectoren en een willekeurig getal gelden de volgende eigenschappen:

1) In andere informatiebronnen wordt dit item meestal niet gemarkeerd in eigenschappen, maar het is erg belangrijk in praktische termen. Laat het maar zo.

2) - de woning wordt hierboven ook besproken, soms heet het anticommutativiteit... Met andere woorden, de volgorde van de vectoren is van belang.

3) - combinatie of associatief wetten van een vectorproduct. Constanten worden naadloos uit het vectorproduct gehaald. Inderdaad, wat moeten ze daar doen?

4) - distributie of distributieve wetten van een vectorproduct. Er zijn ook geen problemen met het uitbreiden van de brackets.

Beschouw als demonstratie een kort voorbeeld:

Voorbeeld 3

Zoek of

Oplossing: Afhankelijk van de conditie is het opnieuw nodig om de lengte van het kruisproduct te vinden. Laten we onze thumbnail schrijven:

(1) Volgens de associatieve wetten verplaatsen we de constanten buiten de deling van het vectorproduct.

(2) We verplaatsen de constante uit de module, terwijl de module het minteken "opeet". De lengte kan niet negatief zijn.

(3) Wat volgt is duidelijk.

Antwoord geven:

Het is tijd om wat hout op het vuur te leggen:

Voorbeeld 4

Bereken de oppervlakte van een driehoek gebouwd op vectoren als

Oplossing: Het gebied van de driehoek wordt gevonden door de formule ... Het addertje onder het gras is dat de vectoren "tse" en "de" zelf worden weergegeven als sommen van vectoren. Het algoritme hier is standaard en doet een beetje denken aan voorbeeld 3 en 4 van de les Puntproduct van vectoren... Laten we de oplossing voor de duidelijkheid opsplitsen in drie fasen:

1) Bij de eerste stap drukken we het vectorproduct uit in termen van het vectorproduct, in feite, druk de vector uit in termen van de vector... Nog geen woord over lengtes!

(1) Vervang vectoruitdrukkingen.

(2) Met behulp van de distributieve wetten breiden we de haakjes uit volgens de regel van vermenigvuldiging van veeltermen.

(3) Met behulp van associatieve wetten verplaatsen we alle constanten buiten de vectorproducten. Met een beetje ervaring kunnen acties 2 en 3 tegelijkertijd worden uitgevoerd.

(4) De eerste en laatste termen zijn gelijk aan nul (nulvector) vanwege een prettige eigenschap. In de tweede term gebruiken we de anticommutativiteitseigenschap van het vectorproduct:

(5) We presenteren vergelijkbare termen.

Als resultaat werd de vector uitgedrukt in termen van de vector, wat nodig was om te bereiken:

2) Bij de tweede stap vinden we de lengte van het vectorproduct dat we nodig hebben. Deze actie lijkt op voorbeeld 3:

3) Zoek het gebied van de vereiste driehoek:

Fase 2-3 beslissingen kunnen in één regel worden voltooid.

Antwoord geven:

Het beschouwde probleem komt vrij vaak voor in testpapers, hier is een voorbeeld voor een onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 5

Zoek of

Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial. Laten we eens kijken hoe voorzichtig je was bij het bestuderen van de vorige voorbeelden ;-)

Vectorproduct van vectoren in coördinaten

gegeven in een orthonormale basis, uitgedrukt door de formule:

De formule is heel eenvoudig: in de bovenste regel van de determinant schrijven we de coördinaatvectoren, in de tweede en derde regel "zetten" we de coördinaten van de vectoren, en we zetten in strikte volgorde- eerst de coördinaten van de vector "ve", daarna de coördinaten van de vector "dubbel-ve". Als de vectoren in een andere volgorde moeten worden vermenigvuldigd, moeten de lijnen ook worden verwisseld:

Voorbeeld 10

Controleer of de volgende ruimtevectoren collineair zijn:
een)
B)

Oplossing: De controle is gebaseerd op een van de uitspraken in deze les: als vectoren collineair zijn, dan is hun uitwendig product gelijk aan nul (nulvector): .

a) Zoek het kruisproduct:

De vectoren zijn dus niet collineair.

b) Zoek het kruisproduct:

Antwoord geven: a) niet collineair, b)

Hier is misschien alle basisinformatie over het vectorproduct van vectoren.

Deze sectie zal niet erg groot zijn, aangezien er weinig taken zijn waarbij gemengd vectorproduct wordt gebruikt. In feite zal alles berusten op de definitie, geometrische betekenis en een paar werkende formules.

Gemengd product van vectoren is het product van drie vectoren:

Dus ze stonden in de rij met een treintje en wachten, ze kunnen niet wachten om ontdekt te worden.

Eerst nog de definitie en het plaatje:

Definitie: Gemengd werk niet-coplanair vectoren, in deze volgorde genomen wordt genoemd volume van een parallellepipedum, gebouwd op de gegeven vectoren, voorzien van een "+" teken als de basis goed is, en een "-" teken als de basis links is.

Laten we de tekening afmaken. Voor ons onzichtbare lijnen worden getekend door een stippellijn:

Laten we in de definitie duiken:

2) Vectoren worden genomen in een bepaalde volgorde, dat wil zeggen, de permutatie van vectoren in het product, zoals je zou kunnen raden, gaat niet zonder gevolgen door.

3) Voordat ik commentaar geef op de geometrische betekenis, zal ik een duidelijk feit opmerken: het gemengde product van vectoren is een GETAL:. In de educatieve literatuur kan het ontwerp enigszins anders zijn, ik ben gewend om een ​​gemengd doorwerk en het resultaat van berekeningen aan te duiden met de letter "pe".

A-priorij gemengd product is het volume van een parallellepipedum gebouwd op vectoren (de figuur is getekend met rode vectoren en zwarte lijnen). Dat wil zeggen, het aantal is gelijk aan het volume van dit parallellepipedum.

Opmerking : de tekening is schematisch.

4) Laten we niet opnieuw zweten met het concept van oriëntatie van de basis en ruimte. De betekenis van het laatste deel is dat er een minteken aan het volume kan worden toegevoegd. In eenvoudige bewoordingen kan een gemengd werk negatief zijn:.

De formule voor het berekenen van het volume van een parallellepipedum gebouwd op vectoren volgt direct uit de definitie.

De oppervlakte van een parallellogram gebouwd op vectoren is gelijk aan het product van de lengtes van deze vectoren door de hoek van de hoek die ertussen ligt.

Het is goed als, volgens de voorwaarden, de lengtes van deze zelfde vectoren worden gegeven. Het komt echter ook voor dat de formule voor het gebied van een parallellogram gebouwd op vectoren alleen kan worden toegepast na berekeningen met coördinaten.
Als je geluk hebt, en volgens de voorwaarden, worden de lengtes van de vectoren gegeven, dan hoef je alleen maar de formule toe te passen die we al in detail in het artikel hebben geanalyseerd. Het gebied is gelijk aan het product van de modules door de sinus van de hoek ertussen:

Laten we een voorbeeld bekijken van het berekenen van het gebied van een parallellogram dat op vectoren is gebouwd.

Taak: het parallellogram is gebouwd op de vectoren en. Zoek het gebied als, en de hoek ertussen is 30 °.
Laten we vectoren uitdrukken in termen van hun waarden:

Misschien heb je een vraag - waar komen de nullen vandaan? Het is de moeite waard eraan te denken dat we met vectoren werken, en voor hen ... Houd er ook rekening mee dat als het resultaat een uitdrukking is, het zal worden geconverteerd naar. Nu voeren we de laatste berekeningen uit:

Laten we terugkeren naar het probleem wanneer de vectorlengten niet zijn gespecificeerd in de voorwaarden. Als uw parallellogram in een Cartesiaans coördinatenstelsel ligt, moet u het volgende doen.

Berekening van de lengtes van de zijden van een figuur gegeven door coördinaten

Om te beginnen zoeken we de coördinaten van de vectoren en trekken we de corresponderende coördinaten van het begin af van de coördinaten van het einde. Stel dat de coördinaten van de vector a (x1; y1; z1) en de vector b (x3; y3; z3) zijn.
Nu vinden we de lengte van elke vector. Om dit te doen, moet elke coördinaat worden gekwadrateerd, de resultaten optellen en de wortel uit het eindige getal halen. Volgens onze vectoren zullen de volgende berekeningen worden gemaakt:


Nu moeten we het puntproduct van onze vectoren vinden. Om dit te doen, worden hun corresponderende coördinaten vermenigvuldigd en opgeteld.

Als we de lengtes van de vectoren en hun puntproduct hebben, kunnen we de cosinus vinden van de hoek die ertussen ligt.
Nu kunnen we de sinus van dezelfde hoek vinden:
Nu hebben we alle benodigde hoeveelheden en kunnen we gemakkelijk het gebied van een parallellogram vinden dat op vectoren is gebouwd met behulp van een reeds bekende formule.