Ulikheter og ulikhetssystemer er et av emnene som er i videregående skole på algebra. Når det gjelder vanskeligheter, er det ikke det vanskeligste, siden det har ukompliserte regler (om dem litt senere). Som regel er løsningen av ulikhetssystemene skolebarn tilstrekkelig nok. Dette er også knyttet til det faktum at lærerne bare "tolker" deres studenter på dette emnet. Og de kan ikke gjøre dette, fordi det blir studert i fremtiden med bruk av andre matematiske verdier, og også sjekket på OGE og EGE. I skole lærebøker er emnet dedikert til ulikheter og ulikhetssystemer om ulikheter omtalt i svært detaljert, så hvis du skal studere det, er det best å ty til dem. Denne artikkelen forteller bare store materialer, og det kan være noen omit.

Begrepet et ulikhetssystem

Hvis du refererer til det vitenskapelige språket, kan du definere konseptet "ulikhetssystem". Dette er en matematisk modell som representerer flere ulikheter. Av denne modellen, selvfølgelig, en løsning er nødvendig, og i sin kvalitet vil det være et vanlig svar for alle ulikhetene i systemet som foreslås i oppgaven (vanligvis skriver de i det, for eksempel: "Bestem ulikhetssystemet 4 x + 1\u003e 2 og 30 - x\u003e 6 ... "). Men før du går videre til typer og metoder for løsninger, må du finne ut det.

Ulikhetssystemer og system av ligninger

I prosessen med å studere et nytt emne oppstår misforståelser veldig ofte. På den ene siden er alt klart og heller, jeg vil begynne å løse oppgaver, og på den annen side forblir noen øyeblikk i "skyggene", ikke helt godt reflekterende. Også, noen elementer av kunnskapen som er oppnådd, kan være sammenflettet med nye. Som et resultat av slike "overlegg" oppstår feil ofte.

Derfor, før du fortsetter med analysen av vårt emne, bør det huskes om forskjellene i ligninger og ulikheter, deres systemer. For å gjøre dette må du igjen forklare hvilke matematiske konsepter som data. Ligningen er alltid likestilling, og det er alltid noe like (i matematikk Dette ordet er angitt av tegnet "\u003d"). Ulikheten er den samme modellen der en verdi eller mer, eller mindre enn den andre, eller inneholder påstanden om at de er ulik. Således er det i det første tilfellet hensiktsmessig å snakke om likestilling, og i det andre, uansett hvor åpenbart hørtes fra selve navnet, er ulikheten til kildedataene. Systemer av ligninger og ulikheter fra hverandre er praktisk talt ingen forskjellige metoder for å løse dem er de samme. Den eneste forskjellen er at i det første tilfellet er likestilling brukt, og ulikheter brukes i den andre.

Typer ulikheter

To typer ulikheter utmerker seg: numerisk og ukjent variabel. Den første typen er de verdsatte verdier (tallene) ulik hverandre, for eksempel 8\u003e 10. Den andre er ulikheter som inneholder en ukjent variabel (betegnet med et hvilket som helst bokstav i det latinske alfabetet, oftest x). Denne variabelen krever oppholdet. Avhengig av hvor mange av dem, i den matematiske modellen, er det ulikheter med en (utgjør et system av ulikheter med en variabel) eller flere variabler (utgjør et ulikhetssystem med flere variabler).

De to nylige synspunktene på graden av deres konstruksjon og nivået av kompleksiteten i beslutningen er delt inn i enkle og komplekse. Enkel kalt mer lineære ulikheter. De er i sin tur delt inn i strenge og utrolige. Streng spesifikt "si" at en verdi må nødvendigvis være mindre eller mer, derfor er det i sin rene form ulikhet. Du kan sitere noen få eksempler: 8 x + 9\u003e 2, 100 - 3 x\u003e 5, etc. Sinnet inkluderer likestilling. Det vil si at en verdi kan være større enn eller lik en annen verdi ("≥" -skiltet) er enten mindre eller lik en annen verdi ("≤" tegn). Fortsatt i lineære ulikheter, er variabelen ikke på roten, torget er ikke delt inn i noe, på grunn av hvilke de kalles "enkle". Komplisert inkluderer ukjente variabler, hvor det kreves en større mengde matematiske operasjoner. De er ofte i en firkant, Cuba eller under roten, kan være modulær, logaritmisk, brøkdel, etc. Men siden vår oppgave blir behovet for å forstå løsninger av ulikhetssystemer, snakker vi om systemet med lineære ulikheter. Men før dette, bør noen få ord om deres egenskaper sies.

Egenskaper av ulikheter

Egenskapene til ulikheter inkluderer følgende bestemmelser:

1. Tegnet av ulikhet endres motsatt dersom en operasjon påføres for å endre partene (for eksempel hvis t 1 ≤ t2, t 2 ≥ t 1).
2. Begge deler av ulikhet gjør det mulig å legge til det samme nummeret til seg selv (for eksempel hvis t 1 ≤ t2, t 1 + tall ≤ t 2 + nummer).
3. To eller flere ulikheter med et tegn på en retning lar deg sette sine venstre og høyre deler (for eksempel hvis T1 ≥ T2, T3 ≥ T4, T 1 + T3 ≥ T 2 + T 4).
4. Begge deler av ulikhet tillater seg å formere seg eller dele på samme positive nummer (for eksempel hvis T 1 ≤ t 2 og tallet ≤ 0, deretter tallet ≤ ≤≥ nummer · t 2).
5. To eller flere ulikheter som har positive medlemmer og et tegn på en retning, la dem formere seg på hverandre (for eksempel hvis t 1 ≤ t2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 deretter t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Begge deler av ulikhet tillater seg å formere seg eller dele på samme negative tall, men samtidig endres tegn på ulikhet (for eksempel hvis t 1 ≤ t 2 og tallet ≤ 0, deretter tallet · t 1 ≥ · T 2).
7. Alle ulikheter har egenskapen til transittivitet (for eksempel hvis T 1 ≤ T2 og T2 ≤ t 3, deretter t 1 ≤ t 3).

Nå, etter å ha studert de grunnleggende bestemmelsene i teorien om ulikheter, er det mulig å fortsette direkte til behandling av reglene for å løse sine systemer.

Løse systemer av ulikheter. Generell. Metoder løsninger

Som nevnt ovenfor virker løsningen verdiene for variabelen som er egnet for alle ulikheter i dette systemet. Løsningen av ulikhetssystemer er implementeringen av matematiske handlinger som til slutt fører til løsningen av hele systemet eller bevise at den ikke har løsninger. I dette tilfellet sies det at variabelen refererer til et tomt numerisk sett (skrevet som følger: brev betegner en variabel ∈ (tegn "tilhører" Ø (sign "tomt sett"), for eksempel x ∈ ø (les slik: "" ex "variabelen" tilhører et tomt sett "). Flere måter å løse ulikhetssystemer utmerker seg: Grafisk, algebraisk, substitusjonsmetode. Det er verdt å merke seg at de relaterer seg til de matematiske modellene som har flere ukjente variabler. I tilfelle når det bare er en, passer den til metoden for intervaller.

Grafisk metode

Tillater deg å løse systemet av ulikheter med flere ukjente verdier (fra to og høyere). Takket være denne metoden, løses det lineære ulikhetssystemet ganske enkelt og raskt, så det er den vanligste måten. Dette forklares av det faktum at konstruksjonen av planen reduserer volumet av å skrive matematiske operasjoner. Spesielt blir det hyggelig å distrahere litt fra håndtaket, ta en blyant med en linje med en linjal og fortsett til ytterligere handlinger med deres hjelp når mye arbeid har blitt gjort, og du vil ha et lite mangfold. Denne metoden er imidlertid noen misfarget på grunn av at du må brytes fra oppgaven og bytte din mentale aktivitet til å tegne. Dette er imidlertid en veldig effektiv måte.

For å løse ulikhetssystemet ved hjelp av en grafisk metode, er alle medlemmer av hver ulikhet nødvendig for å overføre til venstre del. Tegnene vil endres til motsatt, til høyre skal skrives , så må du skrive ned hver ulikhet separat. Som et resultat vil ulikhetene resultere. Etter det kan du få en blyant og en linjal: Nå må du tegne en graf for hver funksjon som er oppnådd. Alle mange tall som vil være i intervallet i skjæringspunktet, vil være en løsning av ulikhetssystemet.

Algebraisk metode

Lar deg løse systemet av ulikheter med to ukjente variabler. Også ulikheter bør ha samme ulikhetsskilt (dvs. det er forpliktet til å inneholde bare tegnet "mer", eller bare tegnet "mindre", etc.), til tross for dens begrensning, er denne metoden også mer kompleks. Den brukes i to etapper.

Den første inkluderer handlinger for å kvitte seg med en av de ukjente variablene. Først må du velge den, så sjekk for tilstedeværelsen av tall før denne variabelen. Hvis de ikke er (da vil variabelen se ut som et enkelt bokstav), så endrer vi ikke noe hvis det er (typen variabel vil være, for eksempel slik - 5Y eller 12Y), så er det nødvendig å gjøre det Slik at i hver ulikhet er tallet foran den valgte variabelen samme. For å gjøre dette, multipliser alle medlemmer av ulikheter til den generelle faktoren, for eksempel, hvis 3Y er skrevet i den første ulikheten, og i den andre 5Y, er alle medlemmer av den første ulikheten nødvendig for å formere seg med 5, og den andre - på 3. Det vil vise seg 15Y og 15Y, henholdsvis.

Den andre fasen av løsningen. Det er nødvendig å overføre den venstre delen av hver ulikhet til deres rette deler med en endring i tegn på hvert medlem til motsatt, til høyre for å registrere null. Deretter kommer den mest interessante tingen: Å bli kvitt den valgte variabelen (annerledes er det kalt "forkortelse") under folding av ulikheter. Det vil være ulikhet med en variabel som må løses. Etter det bør du gjøre det samme, bare med en annen ukjent variabel. Resultatene oppnådd og vil bli løst systemet.

Metode for substitusjon

Lar deg løse ulikhetssystemet hvis du har muligheten til å legge inn en ny variabel. Vanligvis påføres denne metoden når en ukjent variabel i ett element av ulikhet er reist i fjerde grad, og i et annet medlem har en firkant. Dermed er denne metoden rettet mot å senke graden av ulikheter i systemet. Forskjellen i prøven x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 er løst ved denne metoden. En ny variabel er introdusert, for eksempel t. De skriver: "La t \u003d x 2", så er modellen omskrevet i en ny form. I vårt tilfelle viser det seg at 2 - T - 1 ≤0. Denne ulikheten må løses med intervaller (om det litt senere), så tilbake til variabelen X, så gjør det samme med en annen ulikhet. De mottatte svarene vil bli løst systemet.

Intervallmetode

Dette er den enkleste måten å løse ulikhetssystemer på, og samtidig er det universelt og distribuert. Det brukes også i videregående skole, og til og med i høyest. Dens essens er at studenten er på utkikk etter ulikhetsintervaller på en numerisk direkte, som er trukket i notisboken (dette er ikke en graf, men bare den vanlige rette linjen med tall). Når intervaller av ulikheter krysser, er systemet løst. For å bruke intervallmetoden må du utføre følgende trinn:

1. Alle medlemmer av hver ulikhet overføres til venstre med en endring av tegn på motsatt (høyre er skrevet).
2. Ulikheter er utladet separat, løsningen av hver av dem er bestemt.
3. Det er kryss av ulikheter på en numerisk linje. Alle tall på disse kryssene vil være en løsning.

Hva er veien å bruke?

Åpenbart en som synes det enkleste og praktiske, men det er slike tilfeller når oppgaver krever en bestemt metode. Ofte i dem er det skrevet at du må løse enten med hjelp av grafen eller intervallmetoden. Den algebraiske metoden og substitusjonen er ekstremt sjelden brukt eller ikke brukt i det hele tatt, siden de er ganske komplekse og intrikate, og i tillegg til å være mer brukt til å løse systemer av ligninger, ikke ulikheter, bør det derfor brukes til å tegne grafer og intervaller. De bringer klarhet som ikke kan, men bidra til effektiv og rask oppførsel av matematiske operasjoner.

Hvis noe ikke virker

Under studiet av et bestemt emne på Algebra, kan det selvfølgelig oppstå problemer med sin forståelse. Og dette er normalt, fordi hjernen vår er utformet slik at den ikke er i stand til å forstå det komplekse materialet om gangen. Det er ofte nødvendig å lese avsnittet på nytt, bruke hjelp av en lærer eller praksis ved å løse typiske oppgaver. I vårt tilfelle ser de for eksempel, så: "Bestem systemet for ulikheter 3 x + 1 ≥ 0 og 2 x - 1\u003e 3". Dermed er det personlige ønske, hjelp av tredjeparts folk og praksis bidrar til å forstå et komplekst tema.

Reshebnik?

Og reshebnik er fortsatt veldig bra, bare ikke å skrive av lekser, men for selvhjelp. De kan finne ulikhetssystemer med løsningen, se på dem (som på maler), prøv å forstå nøyaktig hvordan forfatteren av beslutningen klargjør oppgaven, og prøv å oppfylle dette på en selvstendig måte.

konklusjoner

Algebra er en av de vanskeligste elementene på skolen. Vel, hva skal jeg gjøre? Matematikk har alltid vært slik: Hun gir noen til noen, og noen med vanskeligheter. Men i hvert fall bør det huskes at det generelle programmet er bygget slik at enhver student kan takle den. I tillegg er det nødvendig å huske på et stort antall assistenter. Noen av dem ble nevnt ovenfor.

Ulikhetssystem.
Eksempel 1.. Finn et uttrykksområde
Beslutning. Under tegnet på en firkantet rot bør det være et ikke-negativt tall, noe som betyr at to ulikheter skal utføres samtidig: I slike tilfeller sies det at oppgaven er redusert for å løse ulikhetssystemet

Men med en slik matematisk modell (ulikhetssystem), har vi ennå ikke møtt. Så, løsningen av eksemplet er ikke i stand til å bringe til enden.

Ulikhetene som danner systemet kombineres med en figurbrakett (det samme er det samme i ligningssystemene). For eksempel skriving

betyr at ulikheter 2x - 1\u003e 3 og ZH - 2< 11 образуют систему неравенств.

Noen ganger brukes det til å registrere systemet av ulikheter i form av dobbelt ulikhet. For eksempel, ulikhetssystemet

kan skrives i form av dobbelt ulikhet 3<2х-1<11.

I løpet av algebraen i 9. klasse vil vi bare vurdere systemer fra to ulikheter.

Vurder et system av ulikhet

Du kan velge noen av sine private løsninger, for eksempel x \u003d 3, x \u003d 4, x \u003d 3.5. Faktisk, ved x \u003d 3, tar den første ulikheten skjemaet 5\u003e 3, og den andre er typen 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Samtidig er verdien X \u003d 5 ikke en løsning av ulikhetssystemet. Ved x \u003d 5 Den første ulikheten tar skjemaet 9\u003e 3 - den rette numeriske ulikheten, og den andre er visningen 13< 11- неверное числовое неравенство .
Løs systemet av ulikheter - det betyr å finne alle sine private løsninger. Det er klart hva gjetting, som er demonstrert ovenfor, ikke er en metode for å løse ulikhetssystemet. I det følgende eksemplet vil vi vise hvor ofte grunn når du løser ulikhetssystemet.

Eksempel 3. Løs systemet av ulikheter:

Beslutning.

men) Løse den første ulikheten til systemet, finner vi 2x\u003e 4, x\u003e 2; Løsning av den andre ulikheten til systemet, finner vi SK< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Løse den første ulikheten til systemet, finner vi X\u003e 2; løse den andre ulikheten til systemet, finner vi Vi merker disse hullene på en koordinat direkte, ved hjelp av den øvre klekkingen for det første gapet, og for den andre - den nedre lukeren (Fig. 23). Løsningen av ulikhetssystemet vil være skjæringspunktet mellom løsninger av system ulikheter, dvs. Gapet som begge klekkes sammen sammen. I dette eksemplet får vi en stråle

i) Løse den første ulikheten til systemet, finner vi x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Oppsummering av argumentene som ble gjennomført i det anses eksempel. Anta at vi må løse ulikhetssystemet

La for eksempel et intervall (A, B) en løsning av ulikheten FX 2\u003e g (x), og intervallet (C, D) er løsningen av ulikheten F 2 (x)\u003e S2 (x ). Vi merker disse hullene på samme koordinat direkte, ved hjelp av den øvre klekkingen for det første gapet, og for den andre - den nedre lukeren (figur 25). Løsningen av ulikhetssystemet er skjæringspunktet mellom system ulikhetsløsninger, dvs. Gapet som begge klekkes sammen sammen. I fig. 25 Dette er intervallet (C, B).

Nå kan vi enkelt løse systemet av ulikheter, som ble oppnådd ovenfor, i eksempel 1:

Løse den første ulikheten til systemet, finner vi X\u003e 2; løse den andre ulikheten til systemet, finner vi x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Selvfølgelig trenger ikke ulikhetssystemet ikke å bestå av lineære ulikheter, som det hittil har; Det kan være noen rasjonelle (og ikke bare rasjonelle) ulikheter. Teknisk sett arbeider med et system med rasjonelle ikke-lineære ulikheter, selvfølgelig, mer komplisert, men fundamentalt nye (sammenlignet med lineære ulikheter) er det ingenting her.

Eksempel 4. Løse systemet av ulikheter

Beslutning.

1) Jeg løser ulikheten
Vi merker poenget -3 og 3 på tallet rett (figur 27). De splittet rett inn i tre hull, og i hvert gap sparer ekspresjonen P (x) \u003d (X-3) (x + 3) et permanent tegn - disse tegnene er oppført i fig. 27. Vi er interessert i hullene som ulikheten p (x)\u003e 0 utføres (de er skygget i fig. 27), og punktene hvor likestilling p (x) \u003d 0 utføres, dvs. Poeng x \u003d -3, x \u003d 3 (de er merket i figur 2 7 mørke sirkler). Således, i fig. 27 presenterer den geometriske modellen av løsningen av den første ulikheten.

2) Vi løser ulikheten
Vi noterer poengene 0 og 5 på tallet rett (Fig. 28). De splittet rett på tre hull, og ved hvert intervalluttrykk<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) > O (skyggelagt i fig. 28), og punkter hvor likestillingen g (x) utføres, dvs. Poeng x \u003d 0, x \u003d 5 (de er merket i figur 28 mørke sirkler). Således, i fig. 28 presenterer en geometrisk modell for å løse den andre ulikheten til systemet.

3) Merk de funnet løsningene til de første og andre ulikhetene i systemet på en koordinat direkte, ved hjelp av topploking for løsninger av den første ulikheten, og for de andre luke-løsningene - den nedre lukeren (figur 29). Løsningen av ulikhetssystemet vil være skjæringspunktet mellom løsninger av system ulikheter, dvs. Gapet som begge klekkes sammen sammen. Dette gapet er et segment.

Eksempel 5. Løs systemet av ulikheter:

Beslutning:

men) Av de første ulikhetene finner vi x\u003e 2. Vurder den andre ulikheten. Square tre-halvparten x 2 + x + 2 har ikke gyldige røtter, og dens senior koeffisient (koeffisient på x 2) er positiv. Det betyr at i det hele tatt er ulikheten X 2 + X + 2\u003e 0 utført, og derfor har den andre ulikheten til systemet ikke løsninger. Hva betyr dette for ulikhetssystemet? Dette betyr at systemet ikke har noen løsninger.

b) Av de første ulikhetene finner vi x\u003e 2, og den andre ulikheten utføres på alle verdier av x. Hva betyr dette for ulikhetssystemet? Dette betyr at løsningen har skjemaet x\u003e 2, dvs. Sammenfaller med beslutningen om den første ulikheten.

Om t i e t:

a) Ingen løsninger; b) X\u003e 2.

Dette eksemplet er en illustrasjon for følgende nyttige.

1. Hvis en ulikhet ikke har løsninger i et system med flere ulikheter med en variabel, har systemet ingen løsninger.

2. Hvis en ulikhet utføres i et system med to ulikheter med en variabel, med eventuelle verdier av variabelen, er løsningen av systemet løsningen av den andre ulikheten til systemet.

Å fullføre dette avsnittet, tilbake til oppgaven med det tiltenkte nummeret som er gitt i begynnelsen og løse det, som de sier, i henhold til alle reglene.

Eksempel 2. (Se s. 29). Integrert med et naturlig tall. Det er kjent at hvis det legges til torget i det tilsiktede nummer 13, vil mengden være større enn produktet av det tilsiktede tall og nummer 14. Hvis du legger til 45 til torget i det tilsiktede nummer 45, så beløpet vil være mindre enn arbeidet med det tiltenkte antallet og nummer 18. Hvilket nummer er ment?

Beslutning.

Første fase. Utarbeide en matematisk modell.
Det oppfattede nummeret X, som vi har sett ovenfor, må tilfredsstille ulikhetssystemet

Andre fase. Arbeider med en matematisk modell. Vi danner den første ulikheten til systemet i tankene
x2- 14x + 13\u003e 0.

Finn røttene til tre-bilder x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Ved hjelp av parabola y \u003d x 2 - 14x + 13 (figur 30) konkluderer vi med at ulikheten som interesserer oss utføres med x< 1 или x > 13.

Vi forvandler den andre ulikheten til systemet til typen x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Det er bare "xers" og bare abscissa-aksen, nå "tenning" og aktivitetsområdet ekspanderer til hele koordinatplanet. Videre, ifølge teksten, uttrykket "lineær ulikhet" vi forstår i en todimensjonal forstand, som vil bli klarere om noen sekunder.

I tillegg til analytisk geometri er materialet relevant for en rekke mål for matematisk analyse, økonomisk og matematisk modellering, så jeg anbefaler å lukke dette forelesningen med all alvor.

Lineære ulikheter

Skille mellom to typer lineære ulikheter:

1) Streng ulikheter :.

2) Neztreat. ulikheter :.

Hvilken geometrisk betydning av disse ulikhetene? Hvis den lineære ligningen går direkte, bestemmer den lineære ulikheten halvfly.

For å forstå følgende informasjon, må du vite varianter av direkte på flyet og være i stand til å bygge rett. Hvis det er vanskeligheter i denne delen, les sertifikatet Diagrammer og egenskaper av funksjoner - Avsnitt om en lineær funksjon.

La oss starte med de enkleste lineære ulikhetene. Den blå drømmen om noen toveis - koordinatplanet som det ikke er noe om:

Som kjent, er abscissa-aksen satt av ligningen - "igrek" er alltid (med noen betydning "X") er lik null

Vurdere ulikhet. Hvordan forstå det uformelt? "Igrek" er alltid (med noe som betyr "x") er positiv. Det er åpenbart at denne ulikheten bestemmer det øvre halvplanet - tross alt er det alle poeng med positiv "Gaming".

I tilfelle at ulikheten er utrolig, til den øvre halvdelen i tillegg Aksen i seg selv er lagt til.

Tilsvarende: Ulikhet er fornøyd med alle punkter i det nedre halvplanet, den nedre halvplan + -aksen tilsvarer ikke-streng ulik ulikhet.

Med eieren av ordinaten, den samme prosaiske historien:

- ulikhet setter det riktige halvplanet;
- Ulikhet setter det høyre halvtplanet, inkludert ordinataksen;
- ulikhet setter venstre halvt plan;
- Ulikheten setter venstre halvt plan, inkludert ordinataksen.

I det andre trinnet, vurder ulikheter der det ikke er noen av variablene.

Det er ingen "spill":

Eller mangler "x":

Med slike ulikheter kan søkes på to måter, vennligst vurder begge tilnærmingene. Underveis, la oss huske skolehandlinger med ulikheter som allerede er demontert på leksjonen Funksjonsdefinisjonsområde.

Eksempel 1.

Løse lineære ulikheter:

Hva betyr det å løse lineær ulikhet?

Løse lineær ulikhet - det betyr å finne et halvt planhvis poeng er tilfredsstillende for denne ulikheten (pluss veldig direkte, hvis ulikheten er utrolig). Beslutning, som oftest, grafikk.

Det er mer praktisk å umiddelbart gjøre tegningen, og så kommentere:

a) løse ulikhet

Mote først

Metoden ligner ganske en historie med koordinataksene, som vi har vurdert ovenfor. Tanken er å konvertere ulikhet - for å forlate en variabel i den venstre delen uten noen konstanter, i dette tilfellet "X" -variabelen.

Regel: I ulikheten overføres komponentene fra delen til den delen med endringen av tegnet, mens tegn på ulikheten selv endres ikke (For eksempel, hvis det var et "mindre" tegn, så forblir det "mindre").

Vi bærer "fem" til høyre med endringen av skiltet:

Regel Positivt endres ikke.

Nå er de enkle (blå stiplede linje). Direkte utført av en stiplet linje av grunnen til at ulikhet streng, og poeng som tilhører denne direkte vil ikke vite hvordan man bestemmer deg.

Hva er meningen med ulikhet? "X" er alltid (med noen som betyr "Igarek") mindre enn. Tydeligvis tilfredsstiller denne erklæringen alle punkter i venstre halvt plan. Dette halvflyet, i prinsippet, kan bli skygget, men jeg vil begrense de små blå skytespillene, for ikke å slå tegningen inn i den kunstneriske paletten.

Metode for den andre

Dette er en allsidig måte. Vi leser veldig nøye!

Første smed. For klarhet, forresten, er ligningen tilrådelig å sende inn i skjemaet.

Velg nå et hvilket som helst punkt på flyet, ikke tilhørende direkte. I de fleste tilfeller, det høyeste punktet, selvfølgelig. Vi erstatter koordinatene til dette punktet til ulikhet:

Mottatt ugyldig ulikhet (Enkle ord, det kan ikke være), det betyr at poenget ikke tilfredsstiller ulikhet.

Nøkkelregel av vår oppgave:
tilfredsstiller ikke ulikhet, da ALT Poeng på dette halvflyet ikke tilfredsstille det Denne ulikheten.
- Hvis noen punkt på halvfly (ikke eid av linjen) tilfredsstille ulikhet, da ALT Poeng på dette halvflyet tilfredsstille Denne ulikheten.

Du kan teste: Ethvert punkt til høyre for rett vil ikke tilfredsstille ulikhet.

Hva er konklusjonen fra opplevelsen med poenget? Det er ingen steder å gå, ulikhet tilfredsstille alle poengene til den andre - venstre halvt fly (du kan også sjekke).

b) løse ulikhet

Mote først

Vi forvandler ulikhet:

Regel: Begge deler av ulikhet kan multipliseres (delt) på Negativnummer, med tegn på ulikhet Endringerpå motsatt side (for eksempel, hvis det var et "mer enten" tegn, så blir det "mindre eller lik").

Vi multipliserer begge deler av ulikhet på:

Tegne en direkte (rød farge), og tegne en solid linje, fordi vi har ulikhet nestor, og antas direkte å løse.

Etter å ha analysert den resulterende ulikheten, konkluderer vi at løsningen er det nedre halvplanet (+ direkte).

Egnede halvløpsslag eller markerer piler.

Metode for den andre

Tegn rett. Vi velger et vilkårlig punkt i flyet (for eksempel tilhører linjen), for eksempel, og erstatter koordinatene i vår ulikhet:

Mottatt trofast ulikhetDet betyr at punktet tilfredsstiller ulikhet, og generelt - alle punkter i det nedre halvplanet tilfredsstiller denne ulikheten.

Her, det eksperimentelle punktet vi "rammet" i ønsket halvplan.

Problemet med oppgaven er merket med røde rette og røde piler.

Personlig liker jeg den første løsningen for meg mer, siden den andre er mer formulert.

Eksempel 2.

Løse lineære ulikheter:

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning. Prøv å løse oppgaven på to måter (forresten, det er en god måte å verifisere løsningen). Som svar på slutten av leksjonen vil det bare være en endelig tegning.

Jeg tror, \u200b\u200better alle de som har gjort i eksemplene, må du gifte deg med dem, vil ikke være vanskelig å løse den enkleste ulikheten som etc.

Vi vender oss til behandling av det tredje, generelle tilfellet når begge variablene er tilstede i ulikhet:

Alternativt kan en fri term "CE" være null.

Eksempel 3.

Finn halvplater som svarer til følgende ulikheter:

Beslutning: Dette bruker en universell løsningsmetode med en forskjell i punkt.

a) Vi konstruerer linjen-ligningen, mens linjen skal utføres av en stiplet linje, siden ulikheten er streng og den direkte selv vil logge inn i løsningen.

Velg det eksperimentelle punktet i flyet, som ikke tilhører denne direkte, for eksempel og erstatter koordinatene i vår ulikhet:

Mottatt ugyldig ulikhetSå, punktet og alle punktene i dette halvflyet tilfredsstiller ikke ulikhet. Løsningen av ulikhet vil være et annet halvt plan, beundre blå lyn:

b) Jeg vil løse ulikhet. Først bygge en rett linje. Det er lett å gjøre det, vi har kanonisk direkte proporsjonalitet. Vi utfører en linje med et solid, som nestorens ulikhet.

Velg et vilkårlig punkt i flyet som ikke tilhører linjen. Jeg vil gjerne bruke starten på koordinatene igjen, men dessverre, nå er det ikke egnet. Derfor må du jobbe med en annen kjæreste. Det er mer lønnsomt å ta et poeng med små koordinatverdier, for eksempel. Erstatte koordinatene i vår ulikhet:

Mottatt trofast ulikhetDet betyr at punktet og alle punkter i dette halvplanet tilfredsstiller ulikhet. Det ønskede halvplanet er merket med de røde pilene. I tillegg inkluderer løsningen direkte.

Eksempel 4.

Finn halvplater som svarer til ulikheter:

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning. En komplett løsning, et eksempel på prøveutforming og respons på slutten av leksjonen.

Vi vil analysere den omvendte oppgaven:

Eksempel 5.

a) Dana er rett. Fastslå halvflyet der punktet er plassert, mens direkte direkte må være i løsning.

b) Dana er rett. Fastslå halvplanet der punktet er plassert. Den rette linjen selv er ikke inkludert i løsningen.

Beslutning: Det er ikke behov for tegningen her, og løsningen vil bli analytisk. Ingenting vanskelig:

a) Make up auxiliary polynomial og beregne verdien på punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten være med et "mindre" tegn. Etter betingelse er den direkte i løsningen, så ulikheten vil være utrolig:

b) utgjør et polynom og beregne verdien på punktet:
. Dermed vil den ønskede ulikheten være med "mer" skiltet. Etter betingelse er direkte ikke inkludert i beslutningen, derfor vil ulikhet være strenge :.

Svar:

Kreativt eksempel for selvstudium:

Eksempel 6.

Danities og rett. Blant de listede punktene for å finne de som sammen med begynnelsen av koordinatene ligger på den ene siden av den angitte direkte.

Et lite hint: Du må først gjøre en ulikhet som bestemmer halvplanet der opprinnelsen er plassert. Analytisk løsning og respons på slutten av leksjonen.

Lineære ulikheter systemer

Systemet med lineære ulikheter er, som du forstår, systemet består av flere ulikheter. Lol, vel, definisjonen utstedt \u003d) Hedgehog er en pinnsvin, kniven er en kniv. Men sannheten - det viste seg bare og tilgjengelig! Nei, hvis jeg seriøst, vil jeg ikke bringe noen eksempler generelt, så vi vil umiddelbart slå til de presserende problemene:

Hva betyr det å løse et system av lineære ulikheter?

Løse lineære ulikheter - det betyr finn mange poengflysom tilfredsstiller til hver system ulikhet.

Som de enkleste eksemplene vurderer vi systemet av ulikheter som bestemmer koordinatkvarteret i det rektangulære koordinatsystemet ("tegning av dverger" er i begynnelsen av leksjonen):

Ulikhetssystemet setter det første koordinatkvartalet (høyre øverst). Koordinater av ethvert punkt i første kvartal, for eksempel, etc. Tilfredsstille til hver ulikhet i dette systemet.

På samme måte:
- Systemet for ulikhet setter det andre koordinatkvartalet (venstre topp);
- Systemet for ulikhet setter det tredje koordinatkvartalet (venstre under);
- Ulikhetssystemet setter det fjerde koordinatkvartalet (høyre nedre).

Lineære ulikhetssystemet kan ikke ha løsninger, det vil si, være non-stop.. Igjen det enkleste eksempelet :. Det er ganske tydelig at "X" samtidig kan være mer enn tre og mindre enn to.

Løsningen av ulikhetssystemet kan være direkte, for eksempel:. Svanen, kreft, uten fitte, trekk hvem i to forskjellige retninger. Ja, hvem og nå der - løsningen av dette systemet er direkte.

Men det vanligste tilfellet når løsningen av systemet er noen flyområdet. Regionens beslutninger kan være ikke begrenset (for eksempel koordinere kvartaler) eller begrenset. Begrensede områdebeslutninger kalt polygon System Solutions.

Eksempel 7.

Løse lineære ulikheter

I praksis er det i de fleste tilfeller nødvendig å håndtere utrolige ulikheter, så den gjenværende delen av LED-danseleksjonen vil være de dem.

Beslutning: Det faktum at ulikheter er for mye, bør det ikke skremme. Hvor mye kan det være ulikheter i systemet? Ja, så mye du vil. Det viktigste er å følge en rasjonell algoritme for å bygge beslutningsområdet:

1) Først håndterer vi de enkleste ulikhetene. Ulikheter bestemmer det første koordinatkvarteret, inkludert grensen fra koordinataksene. Det er allerede mye lettere, siden søkeområdet har redusert betydelig. På tegningen feirer du pilene som svarer til halvplanet (røde og blå piler)

2) Den andre av enkelhet er ulikhet - det er ingen "igrek". Først bygger vi veldig direkte, og for det andre, etter å ha konvertert ulikhet til skjemaet, blir det umiddelbart klart at alle "xers" er mindre enn 6. Vi merker de grønne pilene tilsvarende halvplan. Vel, søkeområdet har blitt enda mindre - dette er ikke begrenset til toppen av rektangelet.

3) I det siste trinnet løser vi ulikheten "med komplett ammunisjon" :. Løsningsalgoritmen vurderes i detalj i forrige avsnitt. Kort sagt: Først bygger vi en rett linje, da med hjelp av et eksperimentelt punkt finner vi den vi trenger et halvt plan.

Stå, barn, stå i en sirkel:


Systemet med løsninger av systemet er en polygon, på tegningen, den sirkleres med bringebærlinje og skyggelagt. Omarrangert litt \u003d) I notisboken er området av løsninger tilstrekkelig eller skyggelagt, eller i fettete for å sirkle en enkel blyant.

Ethvert punkt i denne polygon tilfredsstiller hvert system ulikhet (du kan sjekke om renter).

Svar: Løsningen av systemet er en polygon.

Når du gjør en cleanstik, ville det være fint å male i detalj, for hvilke poeng du bygget rett (se leksjon Diagrammer og egenskaper av funksjoner), og hvordan halvplanet ble bestemt (se første ledd i denne leksjonen). Men i praksis, i de fleste tilfeller vil du bli kreditert og bare den riktige tegningen. Beregningene selv kan utføres på et utkast eller til og med muntlig.

I tillegg til polygonen til løsningene i systemet, i praksis, om enn mindre ofte, er det åpne området funnet. Prøv å demontere følgende eksempel på egen hånd. Selv om det for skyldfølelsen av tortur her er nei - konstruksjonsalgoritmen er den samme, bare regionen vil ikke være begrenset.

Eksempel 8.

Løse systemet

Løsning og svar på slutten av leksjonen. Du vil mest sannsynlig ha en annen brevnotasjon av vertices av det oppnådde området. Det er ikke fundamentalt, det viktigste er å finne toppene og korrekt bygge området.

Det er ikke uvanlig når oppgaver krever ikke bare å bygge området av systemløsninger, men også for å finne koordinatene til områdets hjørner. I de to tidligere eksemplene var datakoordinatene åpenbare, men i praksis skjer alt ikke is:

Eksempel 9.

Løs systemet og finn koordinatene til vertices av det oppnådde området

Beslutning: Vis i tegneområdet for løsninger av dette systemet. Ulikheten setter venstre halvt fly med eieren av ordinaten, og det er ikke flere freebies. Etter beregninger på etterbehandling / utkast eller dype mentale prosesser, oppnår vi følgende løsninger:

se også å løse lineært programmeringsproblem grafisk, kanoniske lineære programmeringsoppgaver

Systemet med begrensninger av en slik oppgave består av ulikheter fra to variabler:
og målfunksjonen har skjemaet F. = C. 1 X. + C. 2 y.som må maksimeres.

Svar på spørsmålet: Hvilke par tall ( X.; y.) Er avgjørelser fra ulikhetssystemet, dvs. tilfredsstille hver av ulikhetene samtidig? Med andre ord, hva betyr det å løse systemet grafisk?
Det er først nødvendig å forstå hva som er en løsning på en lineær ulikhet med to ukjente.
Løs lineær ulikhet med to ukjente midler for å bestemme alle parene av ukjente verdier hvor ulikheten utføres.
For eksempel, ulikhet 3 x. – 5 Y. ≥ 42 tilfredsstille par ( x. , y.): (100, 2); (3, -10), etc. Oppgaven er å finne all slik damp.
Tenk på to ulikheter: ØKS. + av≤ C., ØKS. + av≥ C.. Rett ØKS. + av = c. deler flyet i to halvplater slik at koordinatene til poengene til en av dem tilfredsstiller ulikhet ØKS. + av >c. og annen ulikhet ØKS. + +av <c..
Faktisk, ta et poeng med koordinaten X. = x. 0; Så ligger punktet på en direkte og ha abscisse x. 0, har ordinere

La til sikkerhet EN.& lt 0, b.>0, c. \u003e 0. Alle poeng med abscissa x. 0 Ligger over S (For eksempel punkt M.), HAR. Y M.>y. 0, og alle poeng underliggende poeng S, med abscisse. x. 0, har Y n.<y. 0. Insofar As. x. 0 -Konalpunkt, alltid på den ene siden av den rette vil være poengene som ØKS.+ av > c.danner et halvt plan, og på den annen side - poengene som ØKS. + av< c..

Bilde 1

Tegn på ulikhet i halvplanet avhenger av tallene EN., b. , c..
Det følger følgende metode for grafiske løsninger av lineære ulikheter fra to variabler. For å løse systemet, er det nødvendig:

1. For hver ulikhet, skriv ligningen som svarer til denne ulikheten.
2. Konstruer direkte, som er grafer av funksjoner som er definert av ligninger.
3. For hver rett linje for å bestemme halvplanet, som er satt i ulikhet. For å gjøre dette, ta et vilkårlig punkt som ikke ligger på en rett, erstatt koordinatene til ulikhet. Hvis ulikheten er riktig, så inneholder halvplanet som inneholder det valgte punktet, og er løsningen av den opprinnelige ulikheten. Hvis ulikheten er feil, er halvplanet på den andre siden av den direkte en rekke løsninger av denne ulikheten.
4. For å løse ulikhetssystemet, er det nødvendig å finne skjæringsområdet av alle halvposisjoner, som er av løsningen av hvert system ulikhet.

Dette området kan være tomt, så er ulikhetssystemet ikke løsninger, inkonsekvent. Ellers sier de at systemet er koordinert.
Løsninger kan være et begrenset tall og et uendelig sett. Området kan være en lukket polygon eller å være ubegrenset.

Vurder tre relevante eksempler.

Eksempel 1. Løs grafisk system:
X. + y - 1 ≤ 0;
–2 x -2y. + 5 ≤ 0.

• tenk på ligningene x + y-1 \u003d 0 og -2x-2y + 5 \u003d 0, tilsvarende ulikheter;
• vi konstruerer direkte, definert av disse ligningene.

Figur 2.

Vi definerer halvplanet satt av ulikheter. Ta et vilkårlig punkt, la (0; 0). Ta i betraktning x.+ y-1 0, vi erstatter punktet (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Så, i halvplanet, hvor punktet er (0; 0), x. + y. – 1 ≤ 0, dvs. Halvflyet underliggende direkte er løsningen av den første ulikheten. Ved å angi dette punktet (0; 0), for det andre, får vi: -2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, dvs. I halvplanet, hvor punktet er (0; 0), -2 x. – 2y. + 5≥ 0, og vi ble spurt hvor -2 x. – 2y. + 5 ≤ 0, derfor i et annet halvt plan - i den som er over rett.
Finn skjæringspunktet mellom disse to halvposisjonene. Rett er parallelt, derfor krysser ikke flyet hvor som helst, noe som betyr at systemet med ulikheten av løsninger ikke har, ufullstendig.

Eksempel 2. Finn grafisk løsninger av ulikhetssystemet:

Figur 3.
1. Drikk ligningene som tilsvarer ulikheter, og bygg rett.
x. + 2y.– 2 = 0

X.	2	0
Y.	0	1

y. – x. – 1 = 0

x.	0	2
y.	1	3

y. + 2 = 0;
y. = –2.
2. Ved å velge et punkt (0; 0) definerer vi tegn på ulikheter i halvplanene:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, dvs. x. + 2y.- 2 ≤ 0 i halvplanet under rett;
0 - 0 - 1 ≤ 0, dvs. y. –x.- 1 ≤ 0 i halvplanet under rett;
0 + 2 \u003d 2 ≥ 0, dvs. y. + 2 ≥ 0 i et halvt plan over rett.
3. Krysset mellom disse tre halvposisjonene vil være et område som er en trekant. Det er lett å finne vertices av området som skjæringspunktet i den tilsvarende direkte


På denne måten, MEN(–3; –2), I(0; 1), FRA(6; –2).

Tenk på et annet eksempel der det resulterende området i systemløsningen ikke er begrenset.

Denne artikkelen inneholder første opplysninger om ulikhetssystemer. Definisjonen av ulikhetssystemet er gitt her og bestemme løsningen av ulikhetssystemet. Og viser også hovedtyper av systemer som oftest jobber i leksjonene i algebra på skolen, og eksempler er gitt.

Navigeringsside.

Hva er ulikhetssystemet?

Ulikhetssystemer er praktisk definert på samme måte som om hvordan vi introduserte definisjonen av et system av ligninger, det vil si ifølge typen opptak og mening satt inn i den.

Definisjon.

Ulikhetssystemet - Dette er en plate, som er et visst antall ulikheter som er registrert i hverandre, kombinert på venstre bøyl, og betegner mange av alle løsninger som samtidig er løsninger for hvert system ulikhet.

Vi gir et eksempel på ulikhetssystemet. Ta to vilkårlig, for eksempel 2 · x-3\u003e 0 og 5 - x≥4 · x-11, skriver vi dem en under den andre
2 · x-3\u003e 0,
5-x≥4 · x-11
Og forene systemskiltet - en figurbrakett, som et resultat vi får et system av ulikheter av denne typen:

På samme måte er en ide om ulikheter i skole lærebøker gitt. Det er verdt å merke seg at definisjonene blir gitt mer smal: for ulikheter med en variabel eller med to variabler.

Hovedtyper av ulikheter

Det er klart at du kan gjøre uendelig mange forskjellige ulikheter. For ikke å gå seg vill i denne manifolden, er det tilrådelig å vurdere dem i grupper som har sine egne karakteristiske trekk. Alle ulikheter kan deles inn i grupper i henhold til følgende kriterier:

• i antall ulikheter i systemet;
• av antall variabler som er involvert i posten;
• i henhold til ulikheten selv.

I antall ulikheter som er inkludert i oppføringen, er det to, tre, fire systemer, etc. ulikheter. I forrige avsnitt ledet vi et eksempel på et system som er et system med to ulikheter. La oss vise et annet eksempel på et system med fire ulikheter .

Separat, si at det ikke er noe fornuftig å snakke om systemet av en ulikhet, i dette tilfellet, faktisk snakker vi om selve ulikheten, og ikke om systemet.

Hvis du ser på antall variabler, er det et ulikhetssystem med en, to, tre, etc. variabler (eller som andre steder er de ukjente). Se på det siste systemet av ulikheter som er registrert med to avsnitt ovenfor. Dette er et system med tre variabler x, y og z. Vær oppmerksom på at de to første ulikhetene ikke inneholder alle tre variabler, men bare en av dem. I sammenheng med dette systemet bør de forstås som ulikheter med tre variabler av arten x + 0 · y + 0 · z≥2 og 0 · x + y + 0 · z≤5, henholdsvis. Merk at i skolen er hovedopplevelsen betalt til ulikheter med en variabel.

Det gjenstår å diskutere hvilke typer ulikheter som er involvert i registreringene i systemene. Skolen vurderer hovedsakelig systemene til to ulikheter (sjeldnere - tre, enda mindre ofte - fire eller flere) med en eller to variabler, og ulikhetene selv er vanligvis hele ulikheter Den første eller andre graden (sjeldnere - høyere grader eller fraksjonal rasjonell). Men vær ikke overrasket om i forberedelsesmaterialene som kommer over i ulikhetssystemer som inneholder irrasjonelle, logaritmiske, indikative og andre ulikheter. Som et eksempel gir vi systemet av ulikheter Hun er tatt fra.

Hva kalles løsningen av ulikhetssystemet?

Vi introduserer en annen definisjon assosiert med ulikhetssystemer - bestemme løsningen av ulikhetssystemet:

Definisjon.

Ved å løse systemet av ulikheter med en variabel Det kalles en slik variabel verdi som legger til hver av systemet ulikheter til de troende, med andre ord, som er løsningen av hver system ulikhet.

La oss forklare eksemplet. Ta et system med to ulikheter med en variabel. Ta verdien av den variable X lik 8, det er løsningen av vårt ulikhetssystem per definisjon, siden substitusjonen i systemet ulikhet gir to trofaste numeriske ulikheter 8\u003e 7 og 2-3 · 8≤0. Tvert imot er enheten ikke en løsning på systemet, siden når den er substituert i stedet for en variabel x, vil den første ulikheten bli en feil numerisk ulikhet 1\u003e 7.

På samme måte er det mulig å innføre bestemmelsen av løsningen av systemet av ulikheter med to, tre og store antall variabler:

Definisjon.

Av løsningen av ulikhetssystemet med to, tre, etc. variabler kalt damp, trippel, etc. Verdiene av disse variablene, som samtidig er en løsning på hver system ulikhet, det vil si tegner hver system ulikhet til den riktige numeriske ulikheten.

For eksempel er et par verdier x \u003d 1, y \u003d 2 eller en annen plate (1, 2) en løsning av et ulikhetssystem med to variabler, som 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Ulikhetssystemer kan ikke ha løsninger, kan ha et begrenset antall løsninger, og kan ha uendelig mange løsninger. Snakk ofte om settet av løsninger av ulikhetssystemet. Når systemet ikke har noen løsninger, er det et tomt sett med sine løsninger. Når løsningene er et begrenset antall, inneholder settet av løsninger et begrenset antall elementer, og når løsninger er uendelig mye, består settet av løsninger av et uendelig antall elementer.

I noen kilder blir definisjonene av en privat og generell løsning av ulikhetssystemet introdusert, som for eksempel i Mordkovich lærebøker. Under privat løsning av ulikhetssystemet Forstå hennes en separat beslutning. I sin tur. generell løsning av ulikhetssystemet - Det er alle sine private løsninger. Men i disse vilkårene er det imidlertid fornuftig når det er nødvendig å understreke at det er klart om hvilken avgjørelse som er, men vanligvis er det klart fra konteksten, så mye oftere sier de bare "Løsning av ulikhetssystemet".

Fra definisjonene av ulikheter og løsninger som er angitt i denne artikkelen, følger det at løsningen av ulikhetssystemet er krysset mellom sett med løsninger av alle ulikheter i dette systemet.

Bibliografi.

1. Algebra: studier. For 8 cl. allmennutdanning. institusjoner / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. NESHKOV, S. B. SUVOROV]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. Ed. - M.: Opplysning, 2008. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: Grade 9: Studier. For generell utdanning. institusjoner / [yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. NESHKOV, S. B. SUVOROV]; Ed. S. A. TELIKOVSKY. - 16. Ed. - M.: Opplysning, 2009. - 271 s. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9. I 2 ts. 1. Tutorial for studenter av generelle utdanningsinstitusjoner / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Ed., Selv. - M.: MNEMOZINA, 2011. - 222 C.: IL. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. Klasse 11. I 2 ts. 1. lærebok for studenter av generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Ed., Ched. - M.: MNEMOZINA, 2008. - 287 P.: IL. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Ege-2013. Matematikk: Typiske undersøkelser: 30 opsjoner / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M.: Forlagsvirksomhet "National Education", 2012. - 192 p. - (egge-2013. FIPI SCHOOL).