Prosječni nivo

Desni trougao. Potpuni ilustrirani vodič (2019)

Desni trougao. Prvi nivo.

U zadacima se pravi ugao uopće nije potrebno - lijevo dno, tako da morate naučiti prepoznati pravokutni trokut i u ovom obliku,

i u takvom

i u ovome

Šta je dobro u pravokutnog trougla? Pa ... prvo, postoje posebna prekrasna imena za njegove strane.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i ne brkajte: kateze - dva i hipotenuse - samo jedan (jedini, jedinstven i najduži)!

Pa, imena su razgovarana, sada najvažnija: Pitagora teorema.

Pitagorejska teorema.

Ova teorema je ključ za rješavanje mnogih zadataka uz sudjelovanje pravokutnog trougla. Dokazala je Pitagora u potpuno ivojmorijalnom vremenu, a od tada je donijela puno dobrodoblovane. I najbolja stvar u njemu je da je jednostavna.

Dakle, Pitagorejska teorema:

Sjetite se šale: "Pitagoras hlače na svim stranama jednake su!"?

Nacrtajmo ove najviše pitagore pantalone i gledamo ih.

Istina, izgleda kao nekih kratkih šarkica? Pa, na ono što su stranke i gdje je jednak? Zašto i odakle si se šala došla? A ova šala je povezana samo od teoreme za Pitagore, tačnije, kao što je sam Pitagor formulirao svoju teoremu. I on je formulisao ovako:

"Iznos trgovi kvadratiizgrađen na mateti jednakim kvadratni kvadratizgrađen na hipotenuzu. "

Istina, malo drugačije zvuči? I tako, kada je Pitagora izvukao odobrenje svoje teoreme, samo se pokazalo da je takva slika.

Na ovoj slici količina malih kvadrata jednaka je kvadratu velikog kvadrata. I tako se djeca bolje pamti da je zbroj kvadrata kaketa jednaka kvadratu hipotenuze, nečije duhovito i izmislio ovu šalu o gaćama za pitagore.

Zašto sada formuliramo teoremu Pitagore

A pitagora su patili i obrazložili se na trgu?

Vidite, u davnim vremenima nije bilo ... Algebrasa! Nije bilo označenosti i tako dalje. Nije bilo natpisa. Da li biste zamislili kako su siromašni drevni studenti užasno zapamtili sve riječi ??! I možemo uživati \u200b\u200bu tome da imamo jednostavnu formulaciju teorema pihagora. Ponovimo ponovo da se sjećam:

Sada bi trebalo biti lako:

Trg hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kašaša.

Pa, najvažnija teorema o pravokutnog trokuta raspravljalo se. Ako vas zanima kako se dokazuje, pročitajte sljedeće razine teorije, a sada idemo dalje ... u tamnoj šumi ... Trigonometrija! Na strašne riječi sinusa, kosinusa, tangenta i kotangena.

Sinus, Cosine, Tangent, Katangenovi u pravokutnom trouglicu.

U stvari, sve nije tako zastrašujuće. Naravno, "sadašnjost" definicija sinusa, kosinusa, tangenta i katangena treba da se posmatra u članku. Ali stvarno ne želim, zar ne? Možemo se obratiti: Da bismo riješili probleme u pravokutnog trougla, jednostavno možete ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

I zašto je to samo u uglu? Gdje se nalazi ugao? Da bismo se bavili ovim, morate znati kako su izjave 1 - 4 napisane riječima. Gledaj, razumiju i zapamti!

1.
Općenito, zvuči ovako:

Koji je ugao? Postoji li Catt koji je nasuprot uglom, odnosno suprotno (za ugao) kata! Naravno! To je kata!

Ali šta je sa kutom? Pogledajte pažljivo. Koju katatu je pored ugla? Naravno, Catat. Dakle, za kut katat - privatnost i

A sada, pažnja! Pogledajte šta smo uradili:

Pogledajte koliko cool:

Sada idemo na Tangent i Kotannce.

Kako sada napisati ovo? Gledanje šta je u odnosu na kut? Sa suprotnom, naravno, on "leži" nasuprot ugla. I Catat? Squirting do ugla. Pa šta nam se dogodilo?

Vidite, brojčanik i nazivnik promijenili su mjesta?

A sada opet uglovi i razmijenjeni:

Sažetak

Ukratko napišemo sve što smo naučili.

Pitagorejska teorema:

Glavna teorema na pravokutnog trougla je teorema Pitagore.

Pitagorejska teorema

Usput, da li se dobro sećate onim što su katenetci i hipotenuse? Ako ne baš, pogledajte crtež - uništiti znanje

Moguće je da ste već koristili teoremu Pitagore, ali jeste li razmišljali o tome zašto je takva teorema tačna. Kako to dokazati? I učinimo kao drevne Grke. Nacrtajte kvadrat sa strane.

Pogledajte kako smo ga podijelili na smanjenje dužina i!

A sada povežite označene točke

Evo nas, istina je i nešto primijetila, ali vi sebe pogledate crtež i razmislite zašto tako.

Koje je područje većeg kvadrata?

U redu,.

A to područje je manje?

Naravno,.

Ostalo je ukupne površine četiri ugla. Zamislite da smo ih odveli dvoje i vodili ih jedni drugima sa hipotenusima.

Šta se desilo? Dva pravokutnika. Dakle, područje "obrezivanja" je jednako.

Idemo sve zajedno.

Transformiramo:

Dakle, posjetili smo Pitagore - dokazao je teorem na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut izvode se sljedeći omjeri:

Sinus akutnog ugla jednak je odnosu suprotne kategorije za hipotenuzu

Kosinus akutnog ugla jednak je odnosu susjedne kateče za hipotenuzu.

Tangenta akutnog ugla jednaka je odnosu suprotne katehe do susjedne katelete.

Kotangengeni akutnog ugla jednaki su stav susjedne katehe do suprotne kakete.

I opet, sve to u obliku tanjira:

Vrlo je zgodno!

Znakovi jednakosti pravokutnog trouglanja

I. Za dvije kategorije

II. Na katetu i hipotenuzu

III. Na hipotenuzu i akutnom kutku

IV. Na katetu i akutnom kutku

a)

b)

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su karteti "relevantni". Na primjer, ako je ovako:

Zatim trouglovi nisu jednakiUprkos činjenici da imaju jedan identični akutni ugao.

Treba U oba trougla kata je bila susjedna ili u oba - suprotno.

Jeste li primijetili koji su znakovi ravnopravnosti pravokutnih trouglanja od uobičajenih znakova jednakosti trouglova?

Ploit u temu "i obratite pažnju na činjenicu da jednakost" običnih "trouglama treba jednakost tri elementa: dvije strane i ugao između njih, dva ugla i strana između njih ili tri strane.

Ali za jednakost pravokutnih trouglova, samo su dva odgovarajuća elementa dovoljna. Sjajno, zar ne?

Otprilike ista situacija i znakovi sličnosti pravokutnog trouglova.

Znakovi sličnosti pravokutnog trouglanja

I. Za akutni ugao

II. U dvije kategorije

III. Na katetu i hipotenuzu

Medijan u pravokutnom trouglama

Zašto je tako?

Razmislite umjesto pravokutnog trokuta čitav pravokutnik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku - mjesto sjecišta dijagonala. Ono što se zna o dijagonalo pravokutnika?

I šta slijedi iz ovoga?

Pa se to ispostavilo

1. - Mediana:

Sjetite se ove činjenice! Pomaže puno!

I to je još iznenađujuće, tako da je to istina i suprotna izjava.

Koje dobro se može dobiti iz činjenice da je srednja potrošena na hipotenusu jednaka polovini hipotenuse? I pogledajmo sliku

Pogledajte pažljivo. Imamo: postoji, to jest, udaljenost od točke do sva tri vrhova trokuta pokazala se jednakim. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, udaljenost od kojih je oko sva tri vrhova trougla jednaka, a ovo je centar opisanog kruga. Pa šta se dogodilo?

Evo počnite s ovim "osim ...".

Pogledajmo i.

Ali u takvim trouglovima svi su uglovi jednaki!

Isto se može reći i

A sada ću ga sacrtati zajedno:

Kakva se koristi može naučiti iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Pišemo odnos odgovarajućih stranaka:

Da biste pronašli visinu koji rješavamo proporciju i dobijemo Visina prve formule u pravokutnog trougla ":

Dakle, primjenjujemo sličnost:.

Šta će se sada dogoditi?

Opet rešimo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se vrlo dobro pamtiti i primijeniti onaj koji je prikladniji.

Mi ih ponovo pišemo

Pitagorejska teorema:

U pravokutnom trouglu, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kaketa :.

Znakovi jednakosti pravokutnog trougla:

• u dvije kategorije:
• na katetu i hipotenuzu: ili
• na katetu i susjednim akutnim kutom: ili
• na katetu i suprotnom akutnom kutku: ili
• na hipotenuzu i akutnom kutku: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnog trouglova:

• jedan akutni kut: ili
• proporcionalnosti dvije kaljete:
• iz proporcionalnosti kateške i hipotenusa: ili.

Sinus, Cosine, Tangent, Catangen u pravougaonom trokutu

• Sinus akutnog kuta pravokutnog trougla naziva se odnosom suprotne kategorije za hipotenuzu:
• Kosinus akutnog kuta pravokutnog trougla naziva se omjer susjedne kategorije za hipotenuzu:
• Tangenta oštrog ugla pravokutnog trougla naziva se odnosom suprotne kategorije na susjedni:
• Kotangengent akutnog ugla pravokutnog trougla naziva se omjer susjedne kategorije prema suprotnom:.

Visina pravokutnog trougla: ili.

U pravokutnom trouglu, medijan koji se izvodi iz vrha direktnog ugla jednak je polovini hipotenuze :.

Područje pravokutnog trougla:

• kroz mačke:
• kroz katač i oštar ugao :.

Pa, tema je završena. Ako pročitate ove redove, onda ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi može sami savladati nešto sami. A ako pročitate do kraja, onda ste ušli u ove 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovoj temi. I, ponavljam, to ... to je samo super! Bolje si od apsolutne većine svojih vršnjaka.

Problem je u tome što ovo možda nije dovoljno ...

Za što?

Za uspješno donošenje upotrebe, za prijem u Institut o budžetu i, najvažnije, za život.

Neću te ništa uvjeriti, samo ću reći jednu stvar ...

Ljudi koji su dobili dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji je nisu dobili. Ovo su statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su sretniji (postoje takvi istraživanje). Možda zato što ih ima mnogo više mogućnosti za njih i život postaje svjetliji? Ne znam...

Ali, mislim na sebe ...

Šta trebate biti sigurni da budete bolji od drugih na ispitu i biti u konačnici ... sretniji?

Ispunite ruku rešavanjem zadataka na ovu temu.

Nećete pitati teoriju na ispitu.

Trebat će ti rešavajte zadatke neko vrijeme.

A ako ih niste riješili (puno!), Definitivno ste glupi pogrešni ili jednostavno nemate vremena.

To je kao u sportu - morate više ponavljati više puta za pobjedu sigurno.

Pronađite gdje želite kolekciju, obavezno sa rešenjima, detaljnom analizom I odlučite, odlučite, odlučite!

Možete koristiti naše zadatke (ne nužno) i mi, naravno, mi ih preporučujemo.

Da biste ispunili ruku uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život udžbeniku na tekere, koji sada čitate.

Kako? Postoje dvije mogućnosti:

1. Otvoreni pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 RUB.
2. Otvorite pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - 499 RUB.

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i pristupu za sve zadatke i svi skriveni tekstovi mogu se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima predviđen je za cijelo postojanje web mjesta.

U zakljucku...

Ako naši zadaci ne vole, pronađite druge. Samo ne prestaj na teoriji.

"Razumijem" i "mogu odlučiti" potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite zadatak i odlučite!

(ABC) I njena svojstva koja su prikazana na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranu koja leži nasuprot direktnom uglu.

Savet 1: Kako pronaći visinu u pravokutnom trouglama

Stranke koje čine pravu kut nazivaju se kategorije. Na slici strane AD, DC i BD, DC - Karteti i stranice Ac i St. - Hypotenuses.

Teorem 1. U pravokutnog trougla sa uglom od 30 ° CATT-a, nasuprot ovom uglu valjao je polovinu hipotenuze.

hC.

Au - hipotenuza;

Oglas i Db

Trougao
Postoji teorem:
sistem za komentare CacklE.

Rješenje: 1) Dijagonala bilo kojeg pravokutnika je jednak. To je 2) ako je jedan oštar ugao u trokutu, onda je ovaj trokut akutan. Nije istina. Vrste trouglova. Trokut se naziva akutno, ako su sve tri njenih uglova oštre, odnosno manje od 90 ° 3) ako se tačka nađe.

Ili, u drugom zapisu,

Prema Theorem Pitagori

Što je jednako visini u pravokutnom trouglima formule

Visina pravokutnog trougla

Visina pravokutnog trougla, koja se vrši na hipotenuzu, može se naći na ovaj ili onaj način, ovisno o podacima o problemu problema.

Ili, u drugom zapisu,

Ako BK i KC projekcija kateta na hipotenuzu (segmenti koje visina dijeli hipotenuzu).

Visina koja se provodi na hipotenuzu može se naći kroz površinu pravokutnog trougla. Ako primijenite formulu za pronalazak područja trokuta

(polovina radne strane do visine provedene na tu stranu) na hipotenuzu i visinu koja se vrši hipotenusu, dobivamo:

Odavde možemo pronaći visinu kao omjer dvostruke površine trokuta do dužine hipotenuze:

Budući da je površina pravokutnog trougla jednaka polovini djela kaketa:

To jest, dužina visine koja se provodi u hipotenuzu jednaka je omjeru proizvoda kantena do hipotenuze. Ako odredite duljinu oraha kroz A i B, dužina hipotenusa kroz C, formula se može prepisati kao

Budući da je polumjer kruga opisanog u blizini pravokutnog trougla jednak polovini hipotenuze, dužina visine može se izraziti kroz katenette i radijus opisanog kruga:

Budući da je visina napisana na hipotenuzu oblici dva rektakularna trougla, njegova dužina može se naći kroz omjere u pravokutnom trokutu.

Iz pravokutnog trokuta ABK

Iz pravokutnog trokuta ACK

Dužina visine pravokutnog trougla može se izraziti kroz dužinu kašaša. Kao

Prema Theorem Pitagori

Ako izgradite oba dijela jednakosti na trg:

Možete dobiti drugu formulu za komunikaciju visine pravokutnog trougla sa običajima:

Što je jednako visini u pravokutnom trouglima formule

Desni trougao. Prosječni nivo.

Želite testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za ispit ili OGE?

Glavna teorema na pravokutnog trougla je teorema Pitagore.

Pitagorejska teorema

Usput, da li se dobro sećate onim što su katenetci i hipotenuse? Ako ne baš, pogledajte crtež - uništiti znanje

Moguće je da ste već koristili teoremu Pitagore, ali jeste li razmišljali o tome zašto je takva teorema tačna. Kako to dokazati? I učinimo kao drevne Grke. Nacrtajte kvadrat sa strane.

Pogledajte kako smo ga podijelili na smanjenje dužina i!

A sada povežite označene točke

Evo nas, istina je i nešto primijetila, ali vi sebe pogledate crtež i razmislite zašto tako.

Koje je područje većeg kvadrata? U redu,. A to područje je manje? Naravno,. Ostalo je ukupne površine četiri ugla. Zamislite da smo ih odveli dvoje i vodili ih jedni drugima sa hipotenusima. Šta se desilo? Dva pravokutnika. Dakle, područje "obrezivanja" je jednako.

Idemo sve zajedno.

Dakle, posjetili smo Pitagore - dokazao je teorem na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut izvode se sljedeći omjeri:

Sinus akutnog ugla jednak je odnosu suprotne kategorije za hipotenuzu

Kosinus akutnog ugla jednak je odnosu susjedne kateče za hipotenuzu.

Tangenta akutnog ugla jednaka je odnosu suprotne katehe do susjedne katelete.

Kotangengeni akutnog ugla jednaki su stav susjedne katehe do suprotne kakete.

I opet, sve to u obliku tanjira:

Jeste li primijetili jednu vrlo zgodnu stvar? Pažljivo pogledajte tanjur.

Vrlo je zgodno!

Znakovi jednakosti pravokutnog trouglanja

II. Na katetu i hipotenuzu

III. Na hipotenuzu i akutnom kutku

IV. Na katetu i akutnom kutku

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su karteti "relevantni". Na primjer, ako je ovako:

Zatim trouglovi nisu jednakiUprkos činjenici da imaju jedan identični akutni ugao.

Treba U oba trougla kata je bila susjedna ili u oba - suprotno.

Jeste li primijetili koji su znakovi ravnopravnosti pravokutnih trouglanja od uobičajenih znakova jednakosti trouglova? Ploy u temi "Trokut" i obratite pažnju na činjenicu da je jednakost "običnih" trouglova potrebna jednakost tri elementa: dvije strane i ugao između njih, dva uglova i bočne strane između njih ili tri strane. Ali za jednakost pravokutnih trouglova, samo su dva odgovarajuća elementa dovoljna. Sjajno, zar ne?

Otprilike ista situacija i znakovi sličnosti pravokutnog trouglova.

Znakovi sličnosti pravokutnog trouglanja

III. Na katetu i hipotenuzu

Medijan u pravokutnom trouglama

Razmislite umjesto pravokutnog trokuta čitav pravokutnik.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku mjesta za dijagonale raskrižje. Ono što se zna o dijagonalo pravokutnika?

Tačka sjecišta dijagonale podijeljena je u polovini dijagonala jednaki su

I šta slijedi iz ovoga?

Pa se to ispostavilo

Sjetite se ove činjenice! Pomaže puno!

I to je još iznenađujuće, tako da je to istina i suprotna izjava.

Koje dobro se može dobiti iz činjenice da je srednja potrošena na hipotenusu jednaka polovini hipotenuse? I pogledajmo sliku

Pogledajte pažljivo. Imamo: postoji, to jest, udaljenost od točke do sva tri vrhova trokuta pokazala se jednakim. Ali u trouglu postoji samo jedna tačka, udaljenost od kojih je oko sva tri vrhova trougla jednaka, a ovo je centar opisanog kruga. Pa šta se dogodilo?

Evo, krenimo s tim "osim toga. "

Ali u takvim trouglovima svi su uglovi jednaki!

Isto se može reći i

A sada ću ga sacrtati zajedno:

I isti oštri uglovi!

Kakva se koristi može naučiti iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - Dvije formule za visinu pravokutnog trougla.

Pišemo odnos odgovarajućih stranaka:

Da biste pronašli visinu koji rješavamo proporciju i dobijemo Visina prve formule u pravokutnog trougla ":

Kako dobiti drugu?

A sada ćemo primijeniti sličnost trouglova i.

Dakle, primjenjujemo sličnost:.

Šta će se sada dogoditi?

Opet rešimo proporciju i dobijamo drugu formulu "Visina u pravokutnog trougla":

Obje ove formule moraju se vrlo dobro pamtiti i primijeniti onaj koji je prikladniji. Mi ih ponovo pišemo

Pa, sada, prijavljujući i kombinirajući te znanje s drugima, riješit ćete bilo koji zadatak pravougaonim trokutom!

Komentari

Distribucija materijala bez pregovora dopuštena je ako postoji dofolf veza do izvorne stranice.

Politika privatnosti

Za nas je u skladu sa vašom privatnošću. Iz tog razloga razvili smo politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i obavijestite nas ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i upotreba ličnih podataka

Pod osobnim podacima podložan je podacima koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili komunikacije s njim.

Možete se zatražiti da date svoje lične podatke u bilo kojem trenutku kada se povežete s nama.

Ispod su neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupiti i kako možemo koristiti takve informacije.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada napustite aplikaciju na web mjestu, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Dok koristimo vaše lične podatke:

Prikupili smo lične podatke omogućava nam da se kontaktiramo i izvještavamo o jedinstvenim prijedlozima, promocijama i drugim događajima i najbližim događajima. S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i poruka. Možemo koristiti i personalizirane informacije za interne svrhe, poput revizije, analize podataka i različitih studija kako bismo poboljšali usluge naših usluga i pružamo vam preporuke za naše usluge.

Nekretnina visine pravokutnog trougla, spuštena na hipotenuzu

Ako sudjelujete u nagradama, takmičenju ili sličnim stimulativnim događajima, možemo koristiti informacije koje dajete za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim osobama

Ne otkrivamo informacije koje su primljene od vas trećim stranama.

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskom postupkom, na suđenju i / ili na osnovu javnih upita ili zahtjeva državnih tijela na teritoriji Ruske Federacije - da otkrije vaše lične podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako definiramo da je takvo objavljivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, održavanje zakona i reda ili drugih društvenih važnih slučajeva. U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupljamo u toku treću stranu - nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Pravimo mjere predostrožnosti - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - za zaštitu vaših ličnih podataka od gubitka, krađe i beskrupulozne upotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, promjena i razaranja.

Usklađenost sa vašom privatnošću na nivou kompanije

Da biste bili sigurni da su vaši lični podaci sigurni, donosimo normu povjerljivosti i sigurnosti našim zaposlenima, a strogo slijedimo izvršavanje mjera povjerljivosti.

Hvala na poruci!

Vaš komentar je prihvaćen, nakon umjerenosti će biti objavljen na ovoj stranici.

Želite znati šta je skriveno ispod reza i dobiva ekskluzivne materijale na pripremi za Oge i Ege? Ostavite e-mail

Svojstva pravougaonog trougla

Razmislite o pravougaonom trokutu (ABC) I njena svojstva koja su prikazana na slici. Pravokutni trokut ima hipotenuzu - stranu koja leži nasuprot direktnom uglu. Stranke koje čine pravu kut nazivaju se kategorije. Na slici strane AD, DC i BD, DC - Karteti i stranice Ac i St. - Hypotenuses.

Znakovi ravnopravnosti pravokutnog trougla:

Teorem 1. Ako su hipotenuse i kotrljanje pravokutnog trougla sličnih hipotenurima i kotrljanjem drugog trougla, tada su takvi trouglovi jednaki.

Teorem 2. Ako su dva centa pravokutnog trougla jednaka dvije kategorije drugog trougla, tada su takvi trouglovi jednaki.

Teorem 3. Ako su hipotenuza i akutni ugao pravokutnog trougli slični hipotenournom i akutnom uglu drugog trougla, tada su takvi trouglovi jednaki.

Teorem 4. Ako je katanac i susjedan (suprotan), oštri ugao pravokutnog trougla jednak je kateli i susjednim (suprotnom) akutnom uglu drugog trougla, tada su takvi trouglovi jednaki.

Nekretnine kategorije, suprotan ugao od 30 °:

Theorem 1.

Visina u pravougaonom trokutu

U pravokutnom trouglu sa uglom od 30 ° CATT-a, nasuprot ovom uglu valjao je polovinu hipotenuse.

Theorem 2. Ako je u pravokutnom trouglima, katanac jednak polovini hipotenuse, ugao suprotno od nje je 30 °.

Ako se visina izvrši iz vrha direktnog ugla do hipotenuze, takav je trougao podijeljen u dva manja, slična odlaznom i sličnom drugom drugom. Ovim zaključcima se slijede iz ovoga:

1. Visina je prosječna geometrijska (srednja proporcionalna) dva segmenta hipotenuze.
2. Svaki trokut Catt je srednji proporcionalni hipotenuzi i susjedni segmenti.

U pravokutnom trouglima u ulozi visine koje stršeče koje strše. Ortoncentre je takav trenutak na kojem se događa visina trougla. Poklapa se vrhom ravnog ugla figure.

hC. - visina napuštanja izravnog ugla trougla;

Au - hipotenuza;

Oglas i Db - segmenti koji su nastali prilikom razdvajanja visine hitotenusa.

Povratak na pregled certifikata na disciplini "Geometrija"

Trougao - Ovo je geometrijski oblik koji se sastoji od tri poena (vrhova) koji nisu na istoj ravnoj liniji i tri segmenta koja povezuju ove bodove. Pravokutni trokut naziva se trokut koji ima jedan od uglova na 90 ° (ravni ugao).
Postoji teorem: Zbroj oštrih uglova pravokutnog trougla iznosi 90 °.
sistem za komentare CacklE.

Ključne riječi: Trokut, pravokutna, kata, hipotenuza, teorema Pitagore, krug

Trokut zvan pravokutniAko ima pravog ugla.
Pravokutni trokut ima dvije međusobno okomičke strane, nazvane mateti; Treća strana se zove hypotenuze.

• Prema svojstvima okomičnih i nagnutih hipotekusa duže su od svake od kaketa (ali manje od njihove sume).
• Zbroj dva oštra uglova pravokutnog trougla jednaka je direktnom uglu.
• Dvije visine pravokutnog trougla podudaraju se sa svojim običajima. Stoga jedna od četiri divna boda spada u vrh direktnog ugla trokuta.
• Središte opisanog kruga pravokutnog trokuta nalazi se usred hipotenuse.
• Medijan pravougaonog trougla, provedenog sa vrha kuta sfere na hipotenuzu, radijus je obima opisanog u blizini ovog trougla.

Razmislite o proizvoljnom pravokutnom trokutu ABC i potrošite visinu CD \u003d HC iz vrha iz njenog direktnog ugla.

To trokulo ovaj trokut u dva pravokutna trougla ACD-a i adm; Svaki od ovih trouglova ima zajednički oštar ugao s trokutom i zato je sličan Trougli ABC-a.

Sva tri trougla ABC, ACD i ALD slični su jedni drugima.

Od sličnosti trouglova, određuju se odnosi:

• $$ H \u003d \\ sqrt (A_ (c) \\ CDOT B_ (C)) \u003d \\ frac (A \\ CDOT B) (C) $$;
• c \u003d AC + BC;
• $$ a \u003d \\ sqrt (a_ (c) \\ cdot c), b \u003d \\ sqrt (b_ (c) \\ cdot c) $$;
• $$ (\\ frac (a) (b)) ^ (2) \u003d \\ frac (a_ (c)) (B_ (c)) $$.

Pitagorejska teorema Jedna od temeljnih teorema euklidejske geometrije, koja uspostavlja omjer između strana pravokutnog trougla.

Geometrijsko formulacija. U pravokutnom trouglima, kvadrat kvadrata izgrađen na hipotenuzi jednak je zbroju kvadrata ugrađenih na kategorije.

Algebarska formulacija.U pravokutnom trouglima, kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kašaša.
Odnose se na dužinu hipotenuse trokuta kroz c, i dužinu kaša kroz A i B:
A2 + B2 \u003d C2

Pitagorejska reverzna teorema.

Visina pravokutnog trougla

Za bilo koji trostruki pozitivni brojevi A, B i C, takav
A2 + B2 \u003d C2,
Postoji pravokutni trokut sa Catesom A i B i Hypotenurus C.

Znakovi jednakosti pravokutnog trougla:

• na katetu i hipotenuzu;
• u dvije kategorije;
• na katetu i akutnom kutku;
• na hipotenuzu i akutnom uglu.

Vidi i:
Područje trougla, ravnoteže trokuta, ravnotežan trokut

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

Oglas : CD \u003d CD. : BD. Otuda CD2 \u003d oglas ∙ BD. Oni kazu:

Oglas : AC \u003d AC. : AB. Otuda AC2 \u003d AB ∙ AD. Oni kazu:

BD. : BC \u003d BC. : AB. Otuda BC2 \u003d AB ∙ BD.

Riješite zadatke:

1.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trokuta, izvedena na hipotenuzu, dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36.

Odrediti dužinu ove visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7.

8. Crtani film pravokutnog trougla je 30.

Kako pronaći visinu u pravokutnom trokutu?

Pronađite udaljenost od verteksa izravnog ugla do hipotenusa ako je polumjer obima opisanog u blizini ovog trougla 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Pogledajte odgovore!

G8.04.1. Proporcionalni segmenti u pravokutnog trougla

Geometrija. 8 Klasa. Test 4. Opcija 1 .

U Δ abc ∠av \u003d 90 °. AC i Sun Katenets, AB Hypotenuse.

Visina CD-a trokuta sprovedena u hipotenuzu.

Projekcija oglasa CATE AU na hipotenuzu,

BD projekcija kateza sunce na hipotenuzu.

Visina CD-a dijeli Trougao ABC na dva slična njemu (i jedni s drugima) trokuta: Δ ADC i Δ CDB.

Proporcionalnosti strana sličnog Δ ADC i Δ CDB-a slijede:

Oglas : CD \u003d CD. : BD.

Nekretnina visine pravokutnog trougla spušta se na hipotenuzu.

Otuda CD2 \u003d oglas ∙ BD. Oni kazu: visina pravokutnog trougla, izvedena na hipotenuzu,postoji prosječna proporcionalna vrijednost između projekcija kateta na hipotenuzi.

Od sličnosti Δ ADC i Δ ACB slijedi:

Oglas : AC \u003d AC. : AB. Otuda AC2 \u003d AB ∙ AD. Oni kazu: svaka katat je prosječna proporcionalna vrijednost između cjelokupne hipotenuze i projekcije ove kategorije na hipotenom.

Slično tome, iz sličnosti Δ CDV i Δ ACB slijedi:

BD. : BC \u003d BC. : AB. Otuda BC2 \u003d AB ∙ BD.

Riješite zadatke:

1. Da biste pronašli visinu pravokutnog trougla, izvedenog na hipotenuzu, ako podijelite hipotenuzu na segmente 25 cm i 81 cm.

A) 70 cm; B) 55 cm; C) 65 cm; D) 45 cm; E) 53 cm.

2. Visina pravokutnog trougla, izvedena na hipotenuzu, dijeli hipotenuzu na segmente 9 i 36. Odredite dužinu ove visine.

A) 22,5; B) 19; C) 9; D) 12; E) 18.

4. Visina pravokutnog trougla, izvedena na hipotenuzu, je 22, projekcija jedne od kaljenja je 16. Pronađite projekciju druge kategorije.

A) 30,25; B) 24,5; C) 18,45; D) 32; E) 32,25.

5. Crtani film pravokutnog trougla je 18, a njegova projekcija na hipotenusu 12. Pronađite hipotenuzu.

A) 25; B) 24; C) 27; D) 26; E) 21.

6. Hypotenuse je 32. Pronađite katat, od kojih je 2 od hipotenuze.

A) 8; B) 7; C) 6; D) 5; E) 4.

7. Hipotenuza pravougaonog trougla je 45. Pronađi katat, čija je projekcija jednaka hipotenusu 9.

8. Korijeni pravokutnog trokuta je 30. Pronađite udaljenost od vrha izravnog ugla do hipotenuze ako je polumjer opsega opisanog u blizini ovog trougla 17.

A) 17; B) 16; C) 15; D) 14; E) 12.

10. Hipotenuza pravougaonog trougla je 41, a projekcija jedne od kaljete 16. Pronađite dužinu visine koja se provodi iz vrha izravnog ugla do hipotenuze.

A) 15; B) 18; C) 20; D) 16; E) 12.

A) 80; B) 72; C) 64; D) 81; E) 75.

12. Razlika u projekcijama kateta na hipotenusu je 15, a udaljenost od vrha izravnog ugla do hipotenuse je 4. Pronađite radijus opisanog kruga.

A) 7,5; B) 8; C) 6,25; D) 8,5; E) 7.

Prije svega, trokut je geometrijski oblik koji formira tri, ne leži na jednoj ravni, točkice koje su povezane sa tri segmenta. Da biste pronašli ono što je jednako visini trougla, potrebno je prije svega, odrediti njen tip. Trougle se razlikuju u vrijednostima uglova i količini jednakih uglova. Po veličini uglova trokut može biti akutno ugao, glup i pravokutni. U smislu broja jednakih strana, izolirani su ravnopravni, ravnopravni i svestrani trouglovi. Visina je okomita, koja se izostavlja na suprotnoj strani trokuta iz njene vertexa. Kako pronaći visinu trokuta?

Kako pronaći visinu izjednačenog trougla

Za ravnoteže trokut, jednakost stranaka i uglova karakteriziraju se u svojoj bazi, stoga je visina konzervirajućeg trokuta provedenog prema stranama uvijek jednak jedno drugom. Takođe, visina ovog trougla istovremeno je srednja i bisektor. U skladu s tim, visina dijeli bazu na pola. Smatramo da rezultirajući pravokutni trokut i pronalazimo stranu, odnosno visine konzervirajućeg trougla, kroz teoremu Pytagora. Iskoristite sljedeću formulu, izračunajte visinu: h \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, gdje: a je bočna strana datog trokuta izobola, B je osnova određenog izobidnog trougla.

Kako pronaći visinu ravnoteže za jednakostranični trokut

Trokut sa jednakim strankama naziva se ravnopravno. Visina takvog trougla izvedena je iz formule visine konzerviranog trougla. Ispada: H \u003d √3 / 2 * a, gdje je strana ovog ravnotežetog trokuta.

Kako pronaći visinu svestranog trougla

Svestrana se naziva trokut, čije dvije stranke nisu jednake jedna drugoj. U takvom trougu, sva tri visine bit će različite. Moguće je izračunati dužine visina pomoću formule: H \u003d SIN60 * A \u003d A * (SGRT3) / 2, gdje je strana trougla ili prvo razmotrite područje određenog trougla prema GERON Formula, koja izgleda: s \u003d (p * (PC) * (PB) * (PA)) ^ 1/2, gdje A, B, stranice svestranog trougla i P je njegova polu-verzija. Svaka visina \u003d 2 * površina / strana

Kako pronaći visinu pravokutnog trougla

Pravokutni trokut ima jedan pravi ugao. Visina koja prolazi na jednoj od kateta istovremeno je druga kaša. Stoga je potrebno koristiti promijenjenu formulu Pythagore: a \u003d √ (C 2 - b 2), gdje A, B je katenets (A - Catat, koji treba pronaći), c je dužina hipoteljivosti. Da biste pronašli drugu visinu, potrebno je staviti dobijenu vrijednost A na mjesto b. Da biste pronašli treći, temeljni trokut, visina primjenjuje sljedeću formulu: H \u003d 2S / A, gdje je H je visina pravokutnog trougla, a je njegova površina, a - dužina stranaka na koje je visina okomita.

Trokut se naziva akutno u slučaju da su svi njegovi uglovi oštri. U ovom slučaju sva tri visine nalaze se unutar akutnog trougla. Trokut se naziva glupom u prisustvu jednog glupog ugla. Dvije visine glupih trokuta su izvan trougla i padaju za nastavak strana. Treća strana je unutar trougla. Visina se određuje ista teorema Pytyagora.

Opće formule kao proračun visine trokuta

• Formula za pronalaženje visine trokuta putem stranaka: H \u003d 2 / A √p * (PC) * (PB) * (PB), gdje je H je visina koju želite pronaći, a, b i c - Stranke ovog trougla, p je to polumjere,.
• Formula za pronalazak visine trokuta kroz ugao i stranu: h \u003d b sin y \u003d C sin ß
• Formula za pronalazak visine trougla kroz površinu i stranu: h \u003d 2s / a, gdje je strana trougla, a H je izgrađena na bočnoj i visini.
• Formula za pronalaženje visine trokuta kroz radijus i bok: H \u003d BC / 2R.

Desni trougao - Ovo je trokut koji ima jedan od uglova - ravno, odnosno je 90 stepeni.

• Bočno se protivi izravnom kutu naziva se hipotenuzom (na licu označenom kao c. ili AB)
• Boka uz ravni kut naziva se CatE. Svaki pravokutni trokut ima dvije kategorije (na licu označenom kao sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i B ili AC i BC)

Formule i svojstva pravougaonog trougla

Oznake formula:

(vidi crtanje gore)

a, B. - korijenje pravokutnog trougla

c. - Hypotenuse

α, β - oštri uglovi trougla

S. - područje

h. - visina, spuštena sa vrha direktnog ugla na hipotenuzu

m A. sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: iz suprotnog ugla ( α )

m B.- Medijan, potrošen b. iz suprotnog ugla ( β )

m C.- Medijan, potrošen c. iz suprotnog ugla ( γ )

U pravokutni trokut bilo koja od kaketa manje hipotenuze (Formule 1 i 2). Ova nekretnina je posljedica pitagorejske teoreme.

Kosinus bilo kojeg od oštrih uglova Manje jedinice (formula 3 i 4). Ova nekretnina slijedi iz prethodne. Budući da je bilo koja od kaketa manja od hipotenuze, tada je omjer kateške za hipotenuzu uvijek manje od jedinice.

Trg hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kašaša (Pitagova teorema). (Formula 5). Ova nekretnina se neprestano koristi prilikom rješavanja problema.

Kvadrat pravokutnog trougla Jednaka polovina djela kaketa (formula 6)

Zbroj kvadrata medijane Carini, jednak pet kvadrata medijaca do hipotenuse i pet kvadrata hipotenuse podijeljene sa četiri (Formula 7). Pored određenog, postoji još 5 formulaStoga se preporučuje i upoznavanje sa predavanjem lekcije "Medijan pravokutnog trougla", u kojem su svojstva medijana detaljnije opisana.

Visinapravokutni trokut jednak je proizvodu kaketa podijeljenih sa hipotenuzom (Formula 8)

Trgovi kaketa obrnuto su proporcionalni kvadrat visine, spušteni na hipotenuzu (Formula 9). Ovaj identitet je takođe jedna od posljedica pitagorejske teoreme.

Dužina hipotekusa jednak promjeru (dva polumjera) opisanog kruga (Formula 10). Hipotenus pravokutnog trougla je promjer opisanog kruga. Ova nekretnina se često koristi prilikom rješavanja problema.

Radijus je upisan u desni trougao krugoba polovina izraza možete pronaći zbroj kaketa ovog trokuta minus dužine hipotenuze. Ili kao proizvod kašaša, podijeljen sa zbrojem svih strana (obod) ovog trougla. (Formula 11)
Sinus kutak odnos suprotnog Ovaj kutak cATE za hipotenuzu (po definiciji sinusa). (Formula 12). Ova nekretnina koristi se prilikom rješavanja zadataka. Poznavanje strana strana, možete pronaći kut koji formiraju.

Cosine ugao A (α, alfa) u pravokutnom trouglama bit će jednak relacija susjedan Ovaj kutak CATE za hipotenuzu (po definiciji sinusa). (Formula 13)

Trougao - Ovo je jedan od najpoznatijih geometrijskih oblika. Koristi se svuda - ne samo u crtežima, već i kao predmetima interijera, detalji različitih dizajna i zgrada. Postoji nekoliko vrsta ove figure - pravougaona od njih. Njegova karakteristična karakteristika je prisustvo ravnopravnog ugla 90 °. Da biste pronašli dva od tri visine, dovoljno je za mjerenje karteta. Treća je veličina između verteksa izravnog ugla i sredine hipotenuze. Često je u geometriji pitanje kako pronaći visinu pravokutnog trougla. Odgovarajmo o ovom jednostavnom zadatku.

Treba:

- linija;
- knjiga o geometriji;
- Pravi trougao.

Uputstvo:

• Nacrtajte trokut sa direktnim uglom Avs.gde ugao Avs. jednako 90 ° To je, direktno je. Spustite visinu H. Iz pravog ugla na hipotenuzi - rez Kao. Mjesto gdje segmenti dolaze u kontakt, označite poantu D..
• Morate dobiti još jedan trougao - ADB.. Imajte na umu da je to slično postojećem AVS.Pošto uglovi ABS i ADB \u003d 90 °Tada su jednaki jedni drugima i ugao Loše. Uobičajeno je i za geometrijske oblike. Priopćeni mogu se zaključiti da su stranke AD / AB \u003d BD / BS \u003d AB / AS. Iz rezultirajućih odnosa mogu se izvući SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:D. jednako Ab² / as..
• Od rezultirajućeg trokuta ADB. Ima direktan ugao, za vrijeme mjerenja njegovih strana i hipotenusa, možete koristiti teoremu Pytagora. Evo kako izgleda: Ab \u003d ad² + bd². Da biste ga rešili, koristite jednakost Oglas. Trebali biste imati sljedeće: BD² \u003d AB² - (AB² / AC) ². Od izmjerenog trougla ABS je pravougaonog tada Bs² jednako AS² — Ab². Shodno tome, zabava Bd² jednako ABB² / AC²da će sa vađenjem korijena biti jednak BD \u003d AB * BS / AS.
• Slično tome, rješenje se može izvući pomoću ostalih primljenih trokuta -
  BDS.. U ovom je slučaju slično i početnoj Avs.Zahvaljujući dva uglova - ABS i BDS \u003d 90 °, i ugao DSB. je česte. Nadalje, kao u prethodnom primjeru, udio je izlaz u omjeru stranaka, gdje BD / AB \u003d DS / BS \u003d BS / AS. Otuda i veličina DS. Prikazuje jednakost Bs² / as. Kao, Ab \u003d ad * kao , to BS² \u003d DS * AS. Odavde zaključujemo to Bd² = (Ab * bs / as) ² ili AD * AS * DS * AS / AS²Šta je jednako AD * DS. Da biste pronašli visinu u ovom slučaju, dovoljno je povući korijen rada DS. i Oglas.