• Sistemi m. Linearne jednadžbe S. n. Nepoznato.
  Rješenje sistema linearnih jednadžbi - To je puno brojeva ( x 1, x 2, ..., x n), pri zamjenu koji se u svakom od sustava dobiva jednadžbe vjerna jednakost.
  gde a IJ, i \u003d 1, ..., m; J \u003d 1, ..., n - koeficijenti sistema;
  b ja, i \u003d 1, ..., m - besplatni članovi;
  x J, J \u003d 1, ..., n - Nepoznato.
  Gornji sistem može se snimiti u matričnom obliku: A · x \u003d b,
  
  
  
  
  gde ( SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:|B.) - glavna matrica sistema;
  SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: - proširena matrica sistema;
  X. - stupac nepoznatog;
  B. - Stupac besplatnih članova.
  Ako matrica B. To nije nulta matrica ∅, tada se ovaj sistem linearnih jednadžbi naziva heterogenim.
  Ako matrica B. \u003d ∅, ovaj sistem linearnih jednadžbi naziva se homogenim. Homogeni sistem uvijek ima nultu (trivijalno) rješenje: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Zajednički sistem linearnih jednadžbi - Ovo je rješenje sistema linearnih jednadžbi.
  Disholewer sistem linearnih jednadžbi - Ovo ne rješava sistem linearnih jednadžbi.
  Definirani sistem linearnih jednadžbi - Ovo je jedino rješenje sistema linearnih jednadžbi.
  Neizvjestan sistem linearnih jednadžbi - Ima beskonačne postavljene rešenja sistema linearnih jednadžbi.
• Sistemi n linearne jednadžbe sa n nepoznatim
  Ako je broj nepoznatog jednak broju jednadžbi, onda je matrica kvadrat. Odrednica matrice naziva se glavnom odrednom sustavu linearnih jednadžbi i označava se simbolom Δ.
  Metoda krme Za rješavanje sistema n. Linearne jednadžbe S. n. Nepoznato.
  Pravilo na krmi.
  Ako glavna odrednica sistema linearnih jednadžbi nije jednaka nuli, tada je sistem koordiniran i odlučan, a jedino rješenje se izračunava prema formulama gusjenica:
  gde je Δ odrednice izvedene iz glavne odrednice sistema Δ zamjenom i.-Da stupac na stupcu besplatnih članova. .
• Sistemi M linearnih jednadžbi sa n nepoznatim
  Caperera Capera Theorem.
  
  
  Da bi ovaj sustav linearnih jednadžbi zgloba, potrebno je i dovoljno za čin matrice sistema biti jednak rangu proširene matrice sustava, rang (α) \u003d Ring (α | b).
  Ako a rang (α) ≠ Rang (α | b)Sistem ne zna ne rješenja.
  Esley rang (α) \u003d Ring (α | b)Zatim su moguća dva slučaja:
  1) rang (α) \u003d n (broj nepoznatog) - rješenje je jedinstveno i može se dobiti od strane Cramer formulas;
  2) zazvonio (α)< n - Rješenja su beskonačno puno.
• Gauss metoda Za rješavanje sistema linearnih jednadžbi
  
  
  Napraviti proširenu matricu ( SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:|B.) Ovaj sistem je iz koeficijenata na nepoznatim i desnim dijelovima.
  GAUSS metoda ili metoda isključenja nepoznato je donijeti proširenu matricu ( SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:|B.) Uz pomoć elementarnih transformacija iznad njegovih linija u dijagonalni oblik (do gornjeg trokutaste oblika). Povratak u sistem jednadžbi, sve nepoznanice određuju.
  Osnovne transformacije iznad linija uključuju sljedeće:
  1) promjena u mjestima dvaju redaka;
  2) umnožavanje niza po broju osim 0;
  3) dodajte u niz druge linije pomnoženo sa proizvoljnim brojem;
  4) bacanje nulte linije.
  Proširena matrica data dijagonalnom obliku odgovara linearnoj sustavu ekvivalentnom tome, čija rješenje ne uzrokuje poteškoće. .
• Sistem homogenih linearnih jednadžbi.
  Homogeni sistem ima obrazac:
  
  To odgovara matričnoj jednadžbi A · x \u003d 0.
  1) homogeni sistem je uvijek suočaran jer r (a) \u003d r (a | b)Uvijek postoji nulta otopina (0, 0, ..., 0).
  2) Da bi homogeni sistem imao ne-nultu otopinu, potrebno je i dovoljno r \u003d r (a)< n To je ekvivalentno Δ \u003d 0.
  3) ako r.< n , onda svjesno Δ \u003d 0, onda su slobodni nepoznati c 1, C 2, ..., C N-RSistem ima netrivijalna rješenja, a oni su beskonačno puno.
  4) Opšta odluka X. za r.< n Može se snimiti u matricu na sljedeći način:
  X \u003d C 1 · X 1 + C 2 · X 2 + ... + C N-R · X N-R,
  Gdje rješenja X 1, X 2, ..., X N-R Formiraju temeljni sistem rješenja.
  5) Temeljni sistem rješenja može se dobiti iz općeg rješenja homogenog sistema:
  
  ,
  Ako ste dosljedno vjerovali da vrijednosti parametara jednake (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) .
  Dekompozicija općeg rješenja o temeljnom sistemu rješenja - Ovo je opće rješenje u obliku linearne kombinacije rješenja koja pripadaju temeljnom sustavu.
  Teorema. Da bi se sistem linearnih homogenih jednadžbi, može imati nulti rješenje, potrebno je i dovoljno za δ ≠ 0.
  Dakle, ako odrednica Δ ≠ 0, tada sistem ima jedno rješenje.
  Ako je δ ≠ 0, tada sustav linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačna više rješenja.
  Teorema. Kako bi homogeni sustav imao ne-nultu otopinu, potrebno je i dovoljno za r (a)< n .
  Dokaz:
  1) r. ne može biti više n. (Rang matrice ne prelazi broj stupaca ili žica);
  2) r.< n jer ako a r \u003d N., zatim glavna odrednica sustava Δ ≠ 0, a, prema formulama gusjenica, postoji jedno trivijalno rješenje. x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0Šta je suprotno stanju. To znači r (a)< n .
  Vijećnjak. Da bi se homogeni sistem n. Linearne jednadžbe S. n. Nepoznati su imali ne-nultu rješenje, potrebno je i dovoljno za δ \u003d 0.

Istražite sistem linearnih angebranskih jednadžbi (Slava) u jedinice znači saznati, ovaj sistem ima rešenje ili nisu. Pa, ako postoje rješenja, onda navedite koliko ih je.

Trebat će nam informacije iz teme "Sistem linearnih algebričnih jednadžbi. Osnovni pojmovi. Matrični oblik snimanja." Konkretno, potrebni su nam takvi pojmovi kao sustavu matricu i proširenu matricu sustava, jer je upravo na njima da opiše teoremu Theorem Kappeli. Kao i obično, sistemska matrica bit će označena slovom $ a $, a proširena matrica sustava je slovo $ \\ widetilde (a) $.

Caperera Capera Theorem

Sistem linearnih algebričnih jednadžbi koordinira se tada i samo ako je rang matrica sustava jednak rangu proširene matrice sistema, I.E. $ \\ Rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) $.

Da vas podsetim da se sistem naziva kolaborativno ako ima barem jedno rešenje. Theorem Capera-Capelli kaže da ako $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) $ postoji; Ako je $ \\ ring a \\ neq \\ rang \\ widetilde (a) $, onda ova padina nema rješenja (nepotpuna). Odgovor na pitanje o broju ovih odluka daje posljedicu Kronken-Capellija Teorera. U formulaciji posljedice koristi se slovo $ N $, što je jednako broju varijabli određenog nagiba.

Posljedica Kepekener-Capelie Theorem

1. Ako je $ \\ ring a \\ neq \\ rang \\ widetilde (a) $, tada je Slava nepotpuna (ne rješenja).
2. Ako $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Ako je $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) \u003d n $, tada je nagib definiran (ima potpuno jedno rješenje).

Imajte na umu da formulirana teorema i posljedica toga ne navode kako pronaći rješenje Slave. Uz pomoć, možete saznati samo da li ta rješenja postoje ili ne, a ako postoje, koliko god.

Primjer №1

Istražite $ \\ lijevo \\ (\\ početi (uskladiti) i -3x_1 + 9x_2-7x_3 \u003d 17; \\\\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 \u003d 9; \\\\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 \u003d -42. \\ End (završiti) ) \\ Desno. $ Za ujedinjenje. Ako se Slava podijeli, navedite broj rješenja.

Da biste saznali prisustvo rješenja datog slave, koristimo teoremu Caperera Caperera. Trebat će nam matrica od $ $ a $ sistem i proširenu matricu sistema $ \\ widetilde (a) $ napisati:

$$ a \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -3 i 9 & -7 \\\\ -1 i 2 & -4 \\\\ 4 & -2 i 19 \\ end (niz) \\ desno); \\; \\ Widetilde (a) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC | c) -3 i 9 & -7 i 17 \\\\ -1 i 2 i -4 i 9 \\\\ 4 & -2 i 19 i -42 \\ End (niz) \\ desno). $$.

Potrebno je pronaći $ \\ ring a $ i $ \\ rang \\ widetilde (a) $. Za to postoji mnogo načina, od kojih su neki navedeni u odjeljku "Rang Matrix". Obično se koriste dvije metode za proučavanje takvih sistema: "Izračunavanje ocjene matrice po definiciji" ili "Izračunavanje ocjene matrice metodom osnovnih transformacija".

Metoda broj 1. Izračunavanje redova po definiciji.

Prema definiciji, rang je najviši red matrice manjine, među kojima postoji barem jedan osim nule. Studija se obično započinje s maloljetnicima prvog reda, ali ovdje je prikladnije početi odmah na izračun rudara trećeg reda matrice $ a $. Elementi manjeg reda su na raskrižju tri retka i tri stupca matrice koji se razmatraju. Budući da matrica $ $ sadrži samo 3 linije i 3 stupca, manji od trećeg reda matrice $ A $ je identifikator matrice $ a $, tj. $ \\ Delta A $. Da biste izračunali odrednicu, primjenjujemo Formulu br. 2 iz tema "formule za izračunavanje odrednica drugog i trećeg naloga":

$$ \\ delta a \u003d \\ lijevo | \\ Počnite (Array) (CCC) -3 i 9 & -7 \\\\ -1 i 2 & -4 \\\\ 4 & -2 i 19 \\ end (niz) \\ desno | \u003d -21. $$.

Dakle, postoji malo maloljetnika trećeg reda matrice $ a $, što nije jednako nuli. Malo maloljetnice je nemoguće sastaviti, jer zahtijeva 4 linije i 4 stupca, te u $ a matrix $ 3 linije i 3 stupca. Dakle, najviši red matrice manjine $ A $, među kojima postoji najmanje jedna nula, je 3. Stoga je $ \\ rind a \u003d 3 USD.

Također moramo pronaći $ \\ rang \\ widetilde (a) $. Pogledajmo strukturu matrice od $ \\ widetilde (a) $. Do linije u $ \\ širokoj matrici (a) $ postoje elementi $ A $ matrix i otkrili smo da $ \\ delta a \\ neq 0 $. Slijedom toga, matrica $ \\ WidetIlde (A) $ je manji treći redak koji nije jednak nuli. Maloljetnici četvrtog reda matrice $ \\ widetilde (a) $ ne možemo sastaviti, pa zaključujemo: $ \\ rang \\ widetilde (a) \u003d 3 $.

Od $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) $, zatim prema teorem Klekeker-Capeli, sustav se koristi, tj. Ima rješenje (barem jedno). Da biste naznačili broj rješenja, uzimamo u obzir da naša nagiba sadrži 3 nepoznanice: $ x_1 $, $ x_2 $ i $ x_3 $. Budući da je broj nepoznatih € N \u003d 3 USD, zaključimo: $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) \u003d n $, dakle, prema posljedici Theorera Capera-Capereli, sustav je definiran, tj Ima jedno rješenje.

Zadatak je riješen. Koje su nedostatke i koristi u ovoj metodi? Za početak, razgovarati o profesionalcima. Prvo, trebalo nam je pronaći samo jednu odrednicu. Nakon toga odmah smo zaključili o broju odluka. Obično su standardni tipični proračuni dati sustavi jednadžbi koji sadrže tri nepoznata i imaju jedno rješenje. Za takve sustave ova metoda je vrlo zgodna, jer unaprijed znamo da postoji rješenje (u suprotnom primjerak ne bi bio u standardnom izračunu). Oni. Moramo samo pokazati prisustvo rješenja na najbrži način. Drugo, izračunata vrijednost matrice sustava sustava (I.E. $ \\ delta a $) je korisna nakon: kada odlučite navedeni sustav pomoću upravljačkog sustava ili pomoću obrnute matrice.

Međutim, metoda izračunavanja ranga po definiciji nepoželjna je primjenjivati \u200b\u200bako je matrica $ a $ sistem pravougaonog. U ovom slučaju bolje je primijeniti drugu metodu, o kojoj će se raspravljati u nastavku. Pored toga, ako $ \\ delta a \u003d 0 USD, nećemo moći ništa reći o broju rješenja koja su data nehomogenoj padini. Možda beskonačan broj rješenja ima nagib, a možda i nijedan. Ako $ \\ delta a \u003d 0 $ zahtijeva dodatnu studiju koja je često glomazna.

Zminjući rečeno, napominjem da je prva metoda dobra za ona Slava, čiji su sistem matrice. Istovremeno, sama Slava sadrži tri ili četiri nepoznata i uzeta iz standardnih tipičnih proračuna ili testnog rada.

Broj 2. Izračun ranga od strane elementarnih transformacija.

Ova metoda je detaljno opisana u odgovarajućoj temi. Izračunat ćemo krpu od matrice $ \\ Widetilde (A) $. Zašto tačno matrica $ \\ widetilde (a) $, a ne $ a $? Činjenica je da je $ A $ matrica dio matrice $ \\ WidetIlde (A) $, tako da izračunava $ \\ široka matrica ranga (a) $ mi ćemo istovremeno pronaći i $ a $ matrix Rang.

\\ započnite (poravnate) i \\ widetilde (a) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC | C) -3 i 9 & -7 i 17 \\\\ -1 i 2 & -4 i 9 \\\\ 4 & - 2 i 19 i -42 \\ end (niz) \\ desno) \\ desnoarrow \\ lijevo | \\ tekst (mi mijenjamo prve i druge linije) \\ desno | \\ Dessorrow \\\\ & \\ desnorow \\ lijevo (\\ počnite (niz (CCC | C) -1 i 2 & -4 i 9 \\\\ - 3 i 9 & -7 i 17 \\\\ 4 & -2 i 19 & - 42 \\ end (niz) \\ desno) \\ Počnite (Array) (l) \\ Phantom (0) \\\\ II-3 \\ CDOT I \\\\ III + 4 \\ CDOT I \\ END (levo (počnite (Niz) (CCC | C) -1 i 2 i -4 i 9 \\\\ 0 i 3 i 3 i -10 \\ ed (niz) \\ desno) \\ point (araj) (l) \\ Phantom (0) \\\\ \\ Phantom (0) \\\\ III-2 \\ CDOT II \\ END (ARRAY) \\ dessorrow \\\\ & \\ desnoarrow \\ lijevo (\\ za početak (niz (CCC | C) -1 i 2 & -4 i 9 \\\\ 0 & 3 i 5 i -10 \\ end (niz) \\ desno) \\ end (usklađen)

Vodili smo $ \\ widetilde (a) $ u trapezoidni oblik. Na glavnom darogonu rezultirajuće matrice $ \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC | C) -1 i 2 i -4 i 9 \\\\ 0 i 3 i 5 i -10 \\ end (niz) \\ desno) $ Postoje tri nula elementa: -1, 3 i -7. Zaključak: Rang matrice $ \\ widetilde (a) $ je 3, i.e. $ \\ Rang \\ widetilde (a) \u003d 3 dolara. Izrada konverzija sa elementima matrice $ \\ widetilde (a) $ Imuvremeno smo pretvorili i elemente matrice $ a $, koji se nalazi do linije. $ A $ matrix također se daje u trapezoidni oblik: $ \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC) -1 i 2 & -4 \\\\ 0 i 3 i 5 \\\\ 0 i 0 i -7 \\ end (Niz) \\ desno) $. Zaključak: Rang matrice $ A $ je takođe 3, I.E. $ \\ Rang a \u003d 3 dolara.

Od $ \\ rang a \u003d \\ rang \\ widetilde (a) $, zatim prema teorem Klekeker-Capeli, sustav se koristi, tj. ima rešenje. Da biste naznačili broj rješenja, uzimamo u obzir da naša nagiba sadrži 3 nepoznanice: $ x_1 $, $ x_2 $ i $ x_3 $. Od broja nepoznatih $ N \u003d 3 USD, napravimo izlaz: $ \\ rang a \u003d \\ rng \\ widetilde (a) \u003d n $, prema tome, prema posljedici teoreme cappellija, sustav je definiran, I.E. Ima jedno rješenje.

Koje su prednosti drugog načina? Glavna prednost je njena svestranost. Nije nam važno da li je matrica kvadratni ili ne. Pored toga, zapravo smo izvršili transformacije direktnog kretanja Gauss metode. Ostaje samo nekoliko radnji, a mi bismo mogli dobiti rješenje za ovu Slavu. Iskreno, drugi način mi se više sviđa, ali izbor je stvar ukusa.

Odgovoriti: Navedena slava se dijeli i definira.

Primjer broj 2.

Istražite $ \\ lijevo \\ (\\ početi (poravnati) \\ (\\ početi (uskladiti) i x_1-x_2 + 2x_3 \u003d -1; \\\\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 \u003d 3; \\\\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 \u003d 2; \\\\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 \u003d 1; \\\\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 \u003d -4. \\ End (usklađen) \\ desno. $ Za jedinice.

Pronalaženje redovima matrice sistema i prošireni matrica sistem će biti način elementarnih transformacija. Proširena matrica sustava: $ \\ widetilde (a) \u003d \\ lijevo (\\ point (niz) (CCC | c) 1 & -1 i 2 & -1 \\\\ -1 i 2 &3 i 3 \\\\ 2 & -1 & 3 i 2 \\\\ 3 & -3 i 5 i 1 \\\\ 2 & -3 i 5 & -4 \\ end (niz) \\ desno) $. Pronađite potrebne rang, pretvaranjem proširene matrice sistema:

Prošireni sistemu matrice je prikazan na zakoračio obliku. Ako je matrica daje fazni formi, onda je njena rang jednak je broju nule redova. Slijedom toga, $ \\ ring a \u003d 3 USD. Matrica $ (do linija) je prikazan na trapezni oblik od $ i njen čin je 2, $ \\ Rang a \u003d $ 2.

Od $ \\ je \\z \\ neq \\ rang \\ widetilde (a) $, zatim prema Theorem Konecker-Chapel, sustav je nepotpun (I.E., bez rješenja).

Odgovoriti: Sistem je nerazumljiv.

Primjer broj 3.

Istražite $ \\ left \\ (\\ begin (poravnati) i 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 \u003d 42; \\\\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 \u003d 17; \\\\ & -3x_1 + 9x_2-11x_3-7x_5 \u003d -64 ; \\\\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 \u003d -90;. \\\\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 \u003d 132. \\ End (Aligned) \\ right $ Za jedinice.

Produženi sistemu matrice ima oblik: $ \\ widetilde (a) \u003d \\ left (\\ begin (niz) (CCCCC | C) 2 i 0 i 7 i -5 & 3 & 42 \\\\ 1 & -2 i 3 & 0 & 2 i 17 \\\\ -3 i 9 i -11 i 0 & 17 & -64 i -5 i -4 i -90 \\\\ 7 i -17 i 23 i 0 i 15 i 15 i 132 \\ end (Array) \\ desno) $. promijeniti smo prvi i drugi linija ove matrice na prvi element prve linije, $ \\ left (\\ begin (Array) (CCCCC | C) 1 i -2 i 3 & 0 & 2 & 17 \\\\ 2 i 0 i 7 i -5 i 11 i 42 \\\\ -7 i -64 \\\\ -5 i 17 & -64 i -5 i -5 i -90 \\\\ 9 & -4 i -90 \\\\ 9 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \\ end (Array) \\ right) $.

vodio smo produženi matrica i sistema matrica sama u trapezoidni oblik. Rang proširenog matrica sustava je tri, čin matrice sustava je također jednak tri. Budući da sistem sadrži $ N \u003d $ 5 Nepoznato, I.E. $ \\ Rang \\ widetilde (a) \u003d \\ ring a< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

Odgovoriti: Sistem je neizvjesna.

U drugom dijelu analizirat ćemo primjere koji su često uključeni u tipične proračune ili testni rad na višoj matematici: istraživanje jedinica i rješavanje nagiba, ovisno o vrijednostima parametara uključenih u njega.

Kao što je jasno kramer teoremePrilikom rješavanja sistema linearnih jednadžbi, može postojati tri slučaja:

Prvi slučaj: Sistem linearnih jednadžbi ima jedno rješenje

(sistem sa sustavom)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednadžbi ima bezbroj rješenja

(sistem zglobova i nesigurnog)

** ,

oni. Koeficijenti u nepoznato i besplatan članovi su proporcionalni.

Treći slučaj: Sistem linearnih rješenja nema

(Sistem je nerazumljiv)

Dakle, sistem m. Linearne jednadžbe S. n.nazvane varijable stalnoAko nema rešenje i zglobAko ima barem jedno rješenje. Zjedni sistem jednadžbi naziva se samo jednom rješenju definitivan, više od jedne - nesiguran.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednadžbi od strane Cramer

Neka se sistem dat

.

Na osnovu teoreme krme

………….
,

gde
-

definicija sistema. Preostale odrednice koje dobijamo, zamjenjujući stupac sa koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznatih) besplatnih članova:

Primjer 2.

.

Shodno tome, sistem je definiran. Da bismo pronašli njena rješenja, izračunavamo odrednice

Od strane Crawler formulas, nalazimo:

Dakle (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Da biste provjerili rješenja sustava jednadžbi 3 x 3 i 4 x 4, možete koristiti online kalkulator, rješavanjem metode krme.

Ako u sistemu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednadžbi, a zatim u determinatu, elementi koji odgovaraju njima su nula! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3. Riješite sistem linearnih jednadžbi metodom krema:

.

Odluka. Pronalazimo odrednica sistema:

Pogledajte pažljivo na sustav jednadžbi i sustava odrednica i ponovite odgovor na pitanje, u kojim slučajevima jedan ili više elemenata odrednice su nula. Dakle, odrednica nije jednaka nuli, stoga je sistem definiran. Da biste pronašli njena rješenja, izračunavamo odrednice nepoznato

Od strane Crawler formulas, nalazimo:

Dakle, rešenje sistema je (2; -1; 1).

6. Opći sistem linearnih algebričnih jednadžbi. Gauss metoda.

Kao što se sjećamo, pravilo krme i metoda matrice nisu prikladni u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili nedosljednih. Gauss metoda – najmoćniji i univerzalni alat za pronalaženje rješenja bilo kojeg sistema linearnih jednadžbi, koji je u svakom slučajuvodit će nas do odgovora! Algoritam samog metode u sva tri slučaja djeluje podjednako. Ako je potrebno poznavanje odrednica u metodama kreira i matrica, tada je poznavanje samo aritmetičke akcije potrebno za korištenje Gauss metode, što ga čini pristupačnim učenicima osnovne škole.

Prvo, neki sistematiziraju znanje o sistemima linearnih jednadžbi. Sistem linearnih jednadžbi može:

1) imaju jedino rešenje.
2) imaju beskonačno mnoga rješenja.
3) da nema rješenja (biti stalno).

Gauss metoda - najmoćniji i univerzalni alat za pronalaženje rješenja bilo koji Sistemi linearnih jednadžbi. Kako se sećamo način pravila i matrice Razumljiv u slučajevima kada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili nedosljednih. I metoda dosljedne isključenosti nepoznatog ionakovodit će nas do odgovora! U ovoj lekciji ponovo razmatramo metodu Gaussa za slučaj broj 1 (jedino rešenje sistema), članak je dodeljen pod situacijom stavova br. 2-3. Primjećujem da algoritam samog metode u sva tri slučaja djeluje podjednako.

Vratimo se najjednostavnijem sistemu iz lekcije Kako riješiti sistem linearnih jednadžbi?
i rješavanje ga metode Gauss.

U prvoj fazi morate zabilježiti proširena matrica sistema:
. Kakvo princip se koeficijenti bilježe, mislim da svi mogu vidjeti. Vertikalna značajka unutar matrice ne nosi matematičko značenje - to je samo crtež za pogodnost dizajna.

referenca: Preporučujem pamtiti uvjeti Linearna algebra. Sistemska matrica - Ovo je matrica koja se sastoji samo od koeficijenata nepoznatog, u ovom primjeru, matrica sustava :. Proširena matrica sistema - Ovo je ista matrica sistema plus stupac besplatnih članova, u ovom slučaju :. Bilo koja od matrica može se nazvati jednostavno matricom za sažetost.

Nakon što se evidentira proširena matrica sistema, potrebno je izvesti neke akcije koje se nazivaju i osnovne transformacije.

Postoje sledeće osnovne transformacije:

1) Žice Matrians možete preurediti Mjesta. Na primjer, u matrici koji se razmatra, možete bezbolno preurediti prvu i drugu liniju:

2) ako postoji matrica (ili pojavljuje se) proporcionalan (kao poseban slučaj - iste) linije, onda slijedi izbrisati Od matrice sve ove linije osim jedne. Razmislite, na primjer, matricu . U ovoj matrici posljednja tri retka su proporcionalna, tako da je dovoljno da ostavite samo jedan od njih: .

3) Ako se u matrici pojavio nulti niz tokom pretvorbe, takođe bi trebalo izbrisati. Neću crtati, jasno je, nulta linija je niz u kojem neke nule.

4) matrični niz može biti pomnožite (podijeljeno) Za bilo koji broj ne-nula. Razmislite, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo podijeliti prvi niz na -3, a drugi redak je umnožavanje 2: . Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje daljnju pretvorbu matrice.

5) Ova transformacija uzrokuje najveće poteškoće, ali u stvari ni jedno ničega nije komplicirano. Do niza matrice može dodajte još jedan niz pomnoženim po brojurazličit od nule. Razmislite o našoj matrici iz praktičnog primjera :. Isprva ću napisati pretvorbu vrlo detaljno. Pomnožavamo prvi red do -2: , I. do druge linije dodajte prvi string pomnoženi sa -2: . Sada se prva linija može podijeliti "natrag" na -2 :. Kao što vidite niz koji dodaje Lagati – nije promenjeno. Uvek Niz se mijenja na koji se dodaje Üt.

U praksi je tako detaljno, naravno, ne slikajte, već pišu u kratkom:

Još jednom: do druge linije dodao je prvi string pomnožen sa -2. String je obično usmeno ili na nacrt, dok je mentalni tok proračuna otprilike takav:

"Prepisujem matricu i prepisujem prvi niz: »

"Prvi prvi stupac. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga je jedinica u gornjem dijelu množina na -2: i dodajem prvu u drugu liniju: 2 + (-2) \u003d 0. Otpisujem rezultat u drugom nizu: »

"Sada drugi stupac. Top -1 Pomnožite na -2:. Do druge linije dodajem prvu: 1 + 2 \u003d 3. Zapišem rezultat u drugom nizu: »

"I treći stupac. Top -5 Pomnožite na -2:. Do drugog retka dodajem prvi: -7 + 10 \u003d 3. Zapišem rezultat u drugu liniju: »

Molimo vas da ovaj primjer shvatite pažljivo i raspršite u uzastopnom algoritmu izračuna ako to razumijete, tada je Gauss metoda praktično "u džepu". Ali, naravno, još uvijek radimo na ovoj transformaciji.

Osnovne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednadžbi

! Pažnja: Smatra se manipulacijama ne mogu koristitiAko se od vas zatraži da zadate gdje su matrice daju "sami". Na primjer, na "Classic" radnje sa matricama Nešto za preuređenje u matricama ni u kojem slučaju!

Vratimo se našem sistemu. Skoro je rastavljen oko kostiju.

Napisujemo proširenu matricu sistema i uz pomoć osnovnih transformacija mi dajemo standard:

(1) Drugi red je dodao prvi string pomnožen sa -2. I opet: Zašto se prva linija množi na -2? Da biste uzeli nulu ispod, i zato se riješite jedne varijable u drugom retku.

(2) Drugi niz podijelimo sa 3.

Svrha elementarnih transformacija – Vodite matricu na korak iznad: . U dizajnu zadatka izravno se sastavlja jednostavnom olovkom "stubištem", a također utrljajte brojeve krugovima koji se nalaze na "koracima". Izraz "početni izgled" sama nije baš teorijska, u naučnoj i obrazovnoj literaturi koju često nazivaju trapezoidne vrste ili trokutasti pogled.

Kao rezultat primljenih osnovnih transformacija ekvivalentan Početni sistem jednadžbi:

Sada sustav treba "promovirati" u suprotnom smjeru - od odozdo prema gore, ovaj se proces naziva povratak Gauss metode.

U donjoj jednadžbe imamo gotove rezultate :.

Razmislite o prvoj jednadžbi sistema i zamijenite već poznato značenje "Igarek" u njemu:

Razmislite o najčešćim situacijama kada je GAUSS metoda potrebna za rješavanje sistema tri linearne jednadžbe sa tri nepoznata.

Primjer 1.

Riješite Gauss metodu sistema jednadžbi:

Pišemo proširenu matricu sistema:

Sada odmah izvučem rezultat na koji ćemo doći tokom rješenja:

I ponavljam, naš cilj - uz pomoć elementarnih transformacija, dovode matricu na stepeni obrazac. Gdje započeti akcije?

Prvo pogledamo lijevi glavni broj:

Gotovo uvijek bi trebao biti ovdje jedinica. Generalno gledano, dogovorit će se i -1 (a ponekad i drugi brojevi), ali nekako se tradicionalno razvijao da se obično postavlja jedno. Kako organizovati jedinicu? Gledamo u prvu kolonu - gotovu jedinicu koju imamo! Prvo transformacija: Mi mijenjamo prvu i treće linije na mjestima:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja odluke. Sad dobro.

Jedinica u gornjem levom uglu je organizovana. Sada morate dobiti nule na tim mjestima:

Zeros dobivaju samo uz pomoć "tvrde" transformacije. Prvo označavamo s drugim nizom (2, -1, 3, 13). Šta treba učiniti da biste dobili nulu u prvom položaju? Treba do druge linije dodajte prvu retku pomnoženu sa -2. Mentalno ili na nacrtu pomnožite prvi niz na -2: (-2, -4, 2, -18). I dosljedno izvesti (opet mentalno ili na nacrtu) dodatak, do druge linije dodajte prvi niz, već pomnožen sa -2:

Rezultat je zabilježen u drugom retku:

Slično se bavi trećim redom (3, 2, -5, -1). Da biste ušli u prvu poziciju nula, trebate do treće linije, dodajte prvi string pomnoženi sa -3. Mentalno ili na nacrtu pomnožite prvi niz na -3: (-3, -6, 3, -27). I do trećeg retka dodajte prvi string pomnoženi sa -3:

Rezultat je napisan na treću liniju:

U praksi se ove akcije obično izvode usmeno i zabilježene u jednom koraku:

Ne treba sve razmotriti sve odmah i istovremeno. Postupak za proračune i rezultate "ugradnje" redoslijed I obično takav: prvo prepisati prvi niz i pustite se natečenim - uzastopno i Pažljivo:


Već sam sebe smatrao mentalnim tokom proračunima.

U ovom primjeru, to je lako napraviti, drugi red podijelimo na -5 (kao što su svi brojevi podijeljeni u 5 bez ostatka). Istovremeno podijelimo treću liniju na -2, jer je manji broj, to je lakše:

U posljednjoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo do trećeg retka dodajte drugi niz pomnoženo sa -2:


Pokušajte sami rastaviti ovu akciju - mentalno pomnožite drugi niz na -2 i napravite dodavanje.

Posljednja akcija je frizura, podijelimo treću liniju za 3.

Kao rezultat osnovnih transformacija dobijen je ekvivalentni izvorni sistem linearnih jednadžbi:

Cool.

Na snazi \u200b\u200bse na snazi \u200b\u200bnatjecaj na snagu. Jednadžbe su "odmotane" odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo gotove rezultate:

Gledamo drugu jednadžbu :. Vrijednost "ZET" je već poznata, pa:

I na kraju, prva jednadžba :. "Igarek" i "Zet" su poznati, mali je:

Odgovoriti:

Kao što je već više puta napomino, moguće je za bilo koji sustav jednadžbi i potrebu provjeriti pronađenu otopinu, dobro, to je lako i brzo.

Primjer 2.

Ovo je primjer za neovisno rješenje, uzorak čistog dizajna i odgovora na kraju lekcije.

Treba napomenuti da je vaš postupak možda se ne podudara sa mojom odlukom Odluke, a ovo je karakteristika Gauss metode.. Ali sada odgovori moraju biti jednaki istim!

Primjer 3.

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussom

Napišemo proširenu matricu sistema i uz pomoć osnovnih transformacija dajemo ga u odnosu na tip:

Gledamo lijevi gornji "korak". Tamo moramo imati jedinicu. Problem je što uopće nema jedinica u prvom stupcu, tako da ništa ne riješi permutaciju redova. U takvim se slučajevima treba organizirati pomoću elementarne transformacije. To se obično može obaviti na više načina. Ja sam to uradio:
(1) Do prve linije dodajte drugi niz pomnoženo sa -1. To je, mentalno pomnoženo u drugu liniju na -1 i ispunio dodavanje prve i druge linije, dok nismo promenili drugu liniju.

Sada s lijeve strane na vrhu "minus jedan" da je prilično pogodan. Ko želi dobiti +1, može izvesti dodatnu televiziju: pomnožite prvi niz na -1 (promijenite znak iz IT).

(2) Drugi red je dodao prvi niz pomnožen sa 5. na treći redak, dodao je prvi niz pomnoženo sa 3.

(3) Prvi niz je umnožen sa -1, u principu je za ljepotu. Treći redak je također promijenio znak i preuredio ga na drugom mjestu, pa na drugom "koraku imali željenu jedinicu.

(4) Na treću liniju dodala je drugi niz pomnoženo sa 2.

(5) Treći redak je podijeljen u 3.

Loša karakteristika koja ukazuje na grešku u proračunima (manje često u kucanju) je "loša" dna linija. To jest, da smo bili na dnu, nešto slično, i, u skladu s tim, , sa velikom verovatnoćom, može se tvrditi da se greška donosi u toku elementarnih transformacija.

Naplaćujemo obrnuto potez, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sustav, a jednadžbe "preuzimaju direktno iz dane matrice". Povratak, podsjećam te, djeluje, odozdo gore. Da, ovdje se pokazalo poklon:

Odgovoriti: .

Primjer 4.

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussom

Ovo je primjer za neovisno rješenje, nešto je složenije. Ništa strašno ako je neko zbunjen. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaša odluka se može razlikovati od moje odluke.

U zadnjem dijelu razmotrite neke karakteristike gauss algoritma.
Prva karakteristika je da ponekad ne postoje varijable u sustavnim jednadžbama, na primjer:

Kako snimiti produženu matricu sistema? O ovom trenutku sam već razgovarao na lekciji Pravilo na krmi. Metoda matrice. U proširenoj matrici sistema na mjestu nestalih varijabli, stavljamo nule:

Usput, ovo je prilično jednostavan primjer, jer u prvom kolonu već postoji jedna nula, a manje je osnovnih transformacija.

Druga se značajka sastoji u ovome. U svim razmatranim primjerima postavili smo ili -1 ili +1. Može li tamo biti drugih brojeva? U nekim slučajevima mogu. Razmotrite sistem: .

Ovdje na lijevom gornjem "koraku" imamo dvije. Ali primjećujemo činjenicu da su svi brojevi u prvom stupcu podijeljeni u 2 bez ostatka - a drugi dva puta i šest. A Deuce je otišla na vrhu će nam odgovarati! U prvom koraku morate izvršiti sljedeće transformacije: za dodavanje prvog string pomnožen sa -1 u drugu liniju; Do trećeg retka dodajte prvi string pomnoženi sa -3. Dakle, dobijamo željene nule u prvom stupcu.

Ili neko drugi uvjetni primjer: . Ovdje je Trojka na drugom "koraku" zadovoljna nama, jer 12 (mjesto na kojem trebamo dobiti nulu) podijeljen je sa 3 bez ravnoteže. Potrebno je izvršiti sljedeću transformaciju: do trećeg retka, dodajte drugi niz pomnoženo sa -4, kao rezultat kojih će se dobiti nula.

Gaussova metoda je univerzalna, ali postoji jedna posebnost. Samouvjetno naučite da reši sisteme drugim metodama (koristeći krater, matrična metoda), to je bukvalno prvi put - postoji vrlo kruti algoritam. Ali kako bi se osjećali samouvjereno u Gaussovoj metodi, trebali biste "ispuniti ruku" i razbiti najmanje 5-10 sustava. Stoga je moguće zabune, pogreške u proračunima, a nema ništa neobično ili tragično.

Kišne jesenje vreme ispred prozora .... zato, za sve one koji žele složeniji primjer za neovisno rješenje:

Primjer 5.

Riješite Gauss metodu četiri linearne jednadžbe sa četiri nepoznane.

Takav zadatak u praksi nije tako rijedak. Mislim da čak i čajnik koji je detaljno proučavao ovu stranicu, algoritam za rješavanje takvog sistema intuitivno je shvaćen. U principu, sve je isto - samo više akcije.

Slučajevi kada sustav nema rješenja (nedosljedna) ili beskonačno mnogo rješenja, razmatranih u lekciji Invobotilnosti i sistemi sa opštim rešenjem. Tamo možete konsolidovati razmatran algoritam Gauss metode.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Odluka: Pišemo proširenu matricu sistema i uz pomoć osnovnih transformacija dajemo ga korak gore.


Izvršene osnovne transformacije:
(1) Drugi red je dodao prvi string pomnožen sa -2. Na treći redak je dodao prvi string pomnožen sa -1. Pažnja! Ovdje može doći do iskušenja iz treće linije za odlaganje prvog, izuzetno se ne preporučujem odbiti - rizik od greške snažno se raste. Samo preklopite!
(2) Druga linija promijenila je znak (pomnoženo sa -1). Drugo i treće linije promijenili su mjesta. BilješkaDa je na "koracima" zadovoljan nama ne samo jedinicom, već i -1, što je još pogodnije.
(3) Na treći redak dodao je drugi niz pomnoženo sa 5.
(4) Druga linija promijenila je znak (pomnoženo sa -1). Treća linija bila je podijeljena u 14.

Povratak:

Odgovoriti: .

Primjer 4: Odluka: Napišemo proširenu matricu sistema i uz pomoć osnovnih transformacija dajemo ga u odnosu na tip:

Izvršena konverzija:
(1) Drugi red je dodan u drugu. Dakle, željena jedinica organizirana je na lijevom gornjem "koraku".
(2) Drugi red je dodan u prvi niz pomnoženim do 7. u treći redak, dodao je prvu retku pomnoženu sa 6.

S drugim "korakom" gorim, "Kandidati" na njemu - brojevi 17 i 23, a potrebni su nam niti jedan ili -1. Transformacija (3) i (4) bit će usmjerena na dobivanje željene jedinice

(3) Na treću liniju dodala je drugi, pomnoženi sa -1.
(4) Drugi red je dodao treći, pomnoženi sa -3.
Poželjna stvar na drugom koraku se dobiva .
(5) Na treću liniju dodala je drugi, pomnoženi sa 6.

Unutar lekcija gauss metoda i Nepotpuni sistemi / sistemi sa opštim rešenjemrazmotrili smo nehomogeni sistemi linearnih jednadžbigde besplatni kurac(što je obično tačno) najmanje jedan Iz jednadžbi je razlikovalo od nule.
A sada, nakon dobrog vježbanja sa rang matricaI dalje ćemo brusiti opremu osnovne transformacije na homogeni sistem linearnih jednadžbi.
Prema prvim stavcima, materijal se može činiti dosadnim i običnim, ali ovaj je dojam varljiv. Pored daljnjih tehničkih tehnika, bit će puno novih informacija, pa pokušajte da ne zanemarite primjere ovog članka.

Sistemi linearnih jednadžbi

I. Izjava o problemu.

II. Uniformne uniforme i nehomogeni sistemi.

III. Sistem t. Jednadžbe S. t. Nepoznato. Pravilo na krmi.

IV. Metoda matrice rešavanje sistema jednadžbi.

V. Gauss metoda.

I. Izjava o problemu.

Sistem pregleda jednadžbi

nazvan sistem m. Linearne jednadžbe S. n. Nepoznat
. Koeficijenti jednadžbi ovog sustava bilježe se kao matrica

pozvan sistemska matrica (1).

Brojevi koji stoje u pravim dijelovima obrasca jednadžbi stupac besplatnih članova {B.}:

.

Ako stupac ( B.}={0 ), tada se zove sistem jednadžbi uniforma. U suprotnom kada ( B.}≠{0 ) - Sistem heterogenski.

Sistem linearnih jednadžbi (1) može se zabilježiti u matričnom obliku

[SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:]{x.}={B.}. (2)

Ovdje - Stupac nepoznatog.

Riješite sistem jednadžbi (1) znači pronaći kombinaciju n. brojevi
takav da za zamjenu u sustavu (1) umjesto nepoznatog
svaka jednadžba sistema privlači identitet. Brojevi
Nazvana rješenja sistema jednadžbi.

Sistem linearnih jednadžbi može imati jedno rješenje

,

može imati bezbroj rješenja

ili ne imati rješenja uopće

.

Sustavi jednadžbi koje nemaju rješenja nazivaju se ne-kreveti. Ako sustav jednadžbi ima najmanje jedno rješenje, onda se zove zglob. Naziva se sistem jednadžbi definitivanAko ima jedino rješenje i nesiguranAko postoji bezbroj rješenja.

II. Uniformne uniforme i nehomogeni sistemi.

Stanje sistema sistema linearnih jednadžbi (1) formulisan je u capera Capera Theorem: Sistem linearnih jednadžbi ima barem jedno rješenje u toj i samo u slučaju kada je rang matrica sistem jednak rangu proširene matrice:
.

Proširena matrica sustava naziva se matricom koja proizlazi iz matrice sustava koja vam je napisana na desni stupac besplatnih članova:

.

Ako je RG. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: *, tada je sistem jednadžbi nepotpun.

Uniformne sisteme linearnih jednadžbi u skladu sa Theoremker Cappeli uvijek su zajednički. Razmotrite slučaj homogenog sistema u kojem je broj jednadžbi jednak broju nepoznatog, odnosno t \u003d P.. Ako odrednica matrice takvog sistema nije nula, i.e.
Homogeni sistem ima jedno rješenje koje je trivijalno (nula). Uniformne sustave imaju bezbroj rješenja, ako postoje linearno ovisni među jednadžbama sustava, I.E.
.

Primjer. Razmislite o homogenom sustavu tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

i istražujemo pitanje njegovih odluka. Svake jednadžbe može se smatrati jednadžbom aviona koja prolazi kroz porijeklo koordinata ( D.=0 ). Sistem jednadžbi ima jedno rješenje kada se sva tri aviona presijecaju u jednom trenutku. Istovremeno, njihovi normalni vektori su nekompletni, a samim tim se vrši stanje

.

Rješenje sistema istovremeno x.=0, y.=0, z.=0 .

Ako su najmanje dva od tri aviona, na primjer, prva i druga, paralelna, i.e. Odrednica matrice sustava je nula, a sistem ima bezbroj rješenja. I rješenja će biti koordinata x., y., z. Sve tačke leže ravno

Ako se sve tri aviona podudaraju, sistem jednadžbi bit će smanjen na jednu jednadžbu

,

a rješenje će biti koordinate svih točaka koje leže u ovom ravninu.

U istraživanju nehomogenih sistema linearnih jednačina, pitanje kompatibilnosti rješava se uz pomoć Theorem Caperera Caperera. Ako je broj jednadžbi u takvom sustavu jednak broju nepoznatog, tada sustav ima jedno rješenje ako njegova odrednica nije nula. Inače, sistem je ili nedosljedan ili nema bezbroj rješenja.

Primer. Istražujemo nehomogeni sustav dvije jednadžbe sa dva nepoznata

.

Jednadžbe sustava mogu se smatrati jednadžbama dva direktna u avionu. Sistem je nepotpun kada je ravna paralelna, i.e.
,
. U ovom slučaju, čin matrice sistema je 1:

RG. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:=1 jer
,

i čin proširene matrice
jedna dva, jer za njega, manji drugi red koji sadrži treći stupac može se odabrati kao osnovni manji.

U ovom slučaju, RG SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: * .

Ako se direktno poklapa, i.e. Sistem jednadžbi ima bezbroj rješenja: koordinate točaka na ravno
. U ovom slučaju, RG SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:= RG. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: * =1.

Sistem ima jedinstveno rješenje kada beskrajno nije paralelno, i.e.
. Rješenje ovog sistema su koordinate točke raskrižje

III. Sistemt. Jednadžbe S.t. Nepoznato. Pravilo na krmi.

Razmotrite najjednostavniji slučaj kada je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatog, I.E. m.= n.. Ako se odrednica matrice sustava razlikuje od nule, sistemsko rješenje može se naći u skladu s pravilima Cramer:

(3)

Ovdje
- Odrednica matrice sistema,

- Odrednica matrice dobivena od [ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:] Zamijenite i.I stupac na stupcu besplatnih članova:

.

Primer. Riješite sistem jednadžbi metodom krme.

Odluka :

1) Pronaći ćemo determinaciju sistema

2) nalazimo pomoćne odrednice

3) Naći ćemo rješenje sistema prema pravilu krmera:

Rezultat rješenja može se provjeriti zamjenom na sistem jednadžbi.

Dobivaju se pouzdani identiteti.

IV. Metoda matrice rešavanje sistema jednadžbi.

Napišite sistem linearnih jednadžbi u matričnom obliku (2)

[SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:]{x.}={B.}

i množi se desni i lijevi dijelovi odnosa (2) s lijeve strane matrice [ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ], Reverzna matrica sistema:

[SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ][SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:]{x.}=[SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ]{B.}. (2)

Definicijom matrice povratka, rad [ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ][SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:]=[E.], i prema nekretninama jedne matrice [ E.]{x.}={x.). Zatim iz omjera (2 ") dobivamo

{x.}=[SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ]{B.}. (4)

Omjer (4) u osnovi matrične metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi: Potrebno je pronaći matricu, obrnutu matricu sustava i pomnožite na njemu na lijevom vektoru desnih dijelova sustava.

Primer. Rješavanjem matrične metode sistema jednadžbi u prethodnom primjeru.

Sistemska matrica
Njegova determinanta det. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:==183 .

Stupac desnog porcija
.

Da biste pronašli matricu [ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: -1 ], pronađite matricu priključen na [ SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:]:

ili

U formuli za izračun matrice povratka ulazi
, onda

Sada možete pronaći sistem rješenja

Onda napokon dobijete .

V. Gauss metoda.

Uz veliki broj nepoznatih rješenja sistema jednadžbi od strane kontrolera ili matrične metode, povezan je s izračunavanjem odrednica visoke narudžbi ili cirkulacijom velikih matrica. Ovi postupci su vrlo naporni čak i za moderne računare. Stoga, za rješavanje sistema velikog broja jednadžbi, češće se koristi Gauss metoda.

GAUSS metoda sastoji se u dosljednom isključenju nepoznate od strane elementarnih transformacija proširene matrice sustava. Osnovne transformacije matrice uključuju permutaciju žica, sklopivih žica, množenje reda po brojevima koji nisu nule. Kao rezultat transformacija, matrica sustava uklanja se u gornji trokutasti, na glavnoj dijagonali od kojih se nalaze jedinice, a ispod glavne dijagonale - nule. Ovo je direktan potez Gauss metode. Suprotni tok metode je izravno definirati nepoznato, počevši od potonjeg.

Ilustrujemo metodu Gaussa na primjeru rješavanja sistema jednadžbi

U prvom koraku, direktni potezi traže koeficijent
transformirani sistem postao je jednak 1 i koeficijenti
i
apelirao na nulu. Za to će se prva jednadžba umnožiti na 1/10 , druga jednadžba za množenje 10 i položite prvu, treću jednadžbu za umnožavanje -10/2 i leći s prvim. Nakon ovih transformacija dobivamo

Na drugom koraku tražimo nakon transformacija koeficijenta
postao jednak 1 , i koeficijent
. Da biste to učinili, druga jednadžba je podijeljena u 42 i treća jednadžba za množenje na -42/27 i preklopite sa drugom. Dobijamo sistem jednadžbi

U trećem koraku treba dobiti koeficijent
. Za to je treća jednadžba podijeljena u (37 - 84/27) ; Primiti

Na ovom direktnom toku GAUSS metode završava, jer Sistemska matrica svodi se na gornji trokutasti:

Povratak, pronađi nepoznato

Rješenje sistema linearnih algebričnih jednadžbi (SLAVA) nesumnjivo je najvažnija tema line linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih dionica matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednadžbi. Ovi faktori objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Članak na članak bira se i strukturiran tako da s njim možete

• odaberite optimalnu metodu rješavanja vašeg sistema linearnih algebričnih jednadžbi,
• istražite teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednadžbi, ispitujući detaljno rastavljene rješenja karakterističnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo ćemo dati sve potrebne definicije, koncepte i uvođenje notacije.

Zatim smatramo metode za rješavanje sistema linearnih algebričnih jednadžbi, u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznate varijabli i koji imaju jedno rješenje. Prvo, fokusirat ćemo se na metodu krema, na trećem mjestu, na trećoj ćemo način prikazati matricu rješavanja takvih sustava jednadžbi, analizirati Gauss metodu (način dosljedne isključenosti nepoznate varijabli). Da bi se osigurala teorija, to će nužno riješiti nekoliko usporavanja na različite načine.

Nakon toga, prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebričnih jednadžbi zajedničkog oblika u kojem se broj jednadžbi ne podudara s brojem nepoznatih varijabli ili glavne matrice sustava degenerira. Formuliramo teoremu Krocecker - Capelli, što vam omogućava uspostavljanje kompatibilnosti slave. Analizirat ćemo rješenje sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) uz pomoć koncepta osnovnog maloljetnika matrice. Takođe ćemo razmotriti Gauss metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Definitivno ćemo se fokusirati na strukturu cjelokupnog rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebričnih jednadžbi. Koncept dajemo temeljnog sustava rješenja i pokazujemo kako se opće rješenje zapisuje Slavi koristeći vektore sistema temeljnih rješenja. Za bolje razumijevanje analiziramo nekoliko primjera.

Zaključno, smatramo da su sistem jednadžbi koji se smanjuju na linearne, kao i različite zadatke, prilikom rješavanja koji se pojavljuje nagib.

Navigacijsku stranicu.

Definicije, koncepti, notacija.

Razmotrit ćemo sustave od P linearnih algebričnih jednadžbi sa n nepoznatim varijablama (P može biti jednak n)

Nepoznate varijable - koeficijenti (neki važeći ili složeni brojevi) - besplatni članovi (također važeći ili složeni brojevi).

Takav oblik pisanja naziva se koordinirati.

U obrazac matrice Zapise Ovaj sistem jednadžbi ima obrazac
Gde - Glavna matrica sistema, - matrični stupac nepoznate varijable, - matrično-stup slobodnih članova.

Ako dodate u matricu i dodate stupac matrične stupce besplatnih članova, onda dobijamo tzv proširena matrica Sistemi linearnih jednadžbi. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je vertikalnom linijom iz preostalih stubova, odnosno,

Rešavanjem sistema linearnih algebričnih jednadžbi Nazovite skup vrijednosti nepoznate varijabli, dodajući sve jednadžbe sistema u identitetu. Jednadžba matrice za ove vrijednosti nepoznatih varijabli također se bavi identitetom.

Ako sustav jednadžbi ima najmanje jedno rješenje, onda se zove zglob.

Ako sistem rješenja nema, onda se zove stalno.

Ako jedino rješenje ima jednu odluku, onda se zove definitivan; Ako su rješenja više, onda - nesiguran.

Ako su besplatni uvjeti svih jednadžbi sustava nula Tada se sistem naziva uniforma, u suprotnom - heterogenski.

Rješenje osnovnih sistema linearnih algebričnih jednadžbi.

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli, a odrednica njene glavne matrice nije nula, tada će se takav nagib zvati osnovno. Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, a u slučaju homogenog sustava sve nepoznate varijable su nula.

Počeli smo da studiramo u srednjoj školi takva lubanja. Kad su riješeni, uzeli smo neku vrstu jednadžbe, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i sudili su u preostale jednadžbe, slijedile sljedeću jednadžbu, izrazila sljedeću nepoznatu varijablu i supstituiranu u druge jednadžbe i tako na. Ili su koristili metodu dodavanja, odnosno dvije ili više jednadžbi preklopljenih da bi isključili neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljno zaustaviti na ovim metodama, jer su oni u suštini modifikacije Gauss metode.

Glavne metode rješavanja osnovnih sistema linearnih jednadžbi su metoda krema, metoda matrice i Gauss metoda. Mi ćemo ih analizirati.

Rješenje sustava linearnih jednadžbi metodom krme.

Dajemo da rešimo sistem linearnih algebričnih jednadžbi

U kojem je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i odrednica glavne matrice sustava različita od nule, odnosno,.

Neka se odrednica glavne matrice sistema i - Odrednice matrica koje se dobivaju od zamjene 1., 2., ..., N-wow Stupac, respektivno, na stupcu besplatnih članova:

Sa takvom notacijom, nepoznate varijable izračunavaju se koristeći formule metode krme . Dakle, postoji rješenje sistema linearnih algebričnih jednadžbi metodom kreira.

Primjer.

Metoda krme .

Odluka.

Glavna matrica sistema ima obrazac . Izračunavamo njenu odrednicu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Budući da se odrednica glavne matrice sustava razlikuje od nule, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može naći metodom krme.

Sastavljat ćemo i izračunati potrebne odrednice (Dobivamo odrednicu, zamenjujući u matricu i prvi stupac na stupcu besplatnih članova, odrednica - zamjena drugog stupca na stupcu besplatnih članova, zamena trećeg stupca matrice i na stupcu besplatnih članova ):

Nalazimo nepoznate varijable formulama :

Odgovor:

Glavni nedostatak metode krme (ako se može nazvati nepovoljnim) složenost izračunavanja odrednica, kada je broj sustava jednadžbi više od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebričnih jednadžbi po matričnoj metodi (koristeći obrnutu matricu).

Neka se sistem linearnih algebričnih jednadžbi navedeni u obliku matrice, gdje matrica A ima dimenziju n na n i njegova determinanta razlikuje se od nule.

Od tada je matrica A reverzibilan, odnosno postoji obrnuta matrica. Ako množite oba dijela jednakosti s lijeve strane, dobivamo formulu za pronalaženje stupca u stupcu nepoznate varijable. Dakle, dobili smo rješenje sistema linearnih algebričnih jednadžbi metodom matrice.

Primjer.

Odlučite sistem linearnih jednadžbi MATRIX metoda.

Odluka.

Prepisujem sistem jednadžbi u matričnom obliku:

Kao

Da se nagib može riješiti metodom matrice. Uz pomoć obrnute matrice, rješenje ovog sistema može se naći kao .

Izgrađujemo inverzna matricu pomoću matrice iz algebarskog dodataka elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje za izračunavanje - matrica nepoznate varijabli, množi se matrica povratka Na matričnoj stupcu besplatnih članova (vidi članak ako je potrebno):

Odgovor:

Ili u drugom rekordu x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Glavni problem prilikom rješavanja rješenja linearnih algebričnih jednadžbi, matrična metoda sastoji se u složenosti inverznog matrica, posebno za kvadratne matrice narudžbe iznad trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi putem Gauss metode.

Dajemo da pronađemo rješenje sistema od N linearnih jednadžbi sa n nepoznatim varijablama
Odrednica glavne matrice različita je od nule.

Suština Gauss metode Sastoji se u uzastopnom isključenju nepoznatih varijabli: prvo isključuje X 1 svih jednadžbi sistema, počevši od drugog, a zatim X 2 svih jednadžbi, počevši od trećeg i tako dalje, sve dok ne ostane samo nepoznati varijabljiv XN u poslednjoj jednačini. Takav proces pretvaranja sustava jednadžbi za dosljedno isključenje nepoznatih varijabli direktno pokretanje Gauss metode. Nakon uklanjanja direktnog kretanja Gauss metode iz posljednje jednadžbe je x N, uz pomoć ove vrijednosti iz pretposljednjske jednadžbe, izračunava se x N-1, i tako dalje, X 1 izračunava se iz prve jednadžbe. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli prilikom vožnje iz posljednje jednadžbe sistema na prvi povratak Gauss metode.

Ukratko opišite algoritam da biste isključili nepoznate varijable.

Pretpostavit ćemo da, jer uvijek možemo postići ovu permutaciju jednadžbi sistema. Osim nepoznate varijable x 1 svih jednadžbi sistema, počevši od druge. Da biste to učinili, druga jednadžba sustava dodati će prvo, pomnoženo sa, na treću jednadžbu, dodajte prvu, pomnoženu sa i tako dalje, na N-TH jednadžbu za dodavanje prvog, pomnoženog. Sistem jednadžbi nakon takvih transformacija poduzet će obrazac

Gde, A. .

Došli bismo na isti rezultat ako bi X 1 izrazio X 1 kroz druge nepoznate varijable u prvoj jednadžbi sustava i rezultirajući izraz supstituirani u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla X 1 isključena je iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim se ponašamo slično, ali samo sa dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da bismo to učinili, drugi, pomnoželi smo sa četvrtom jednadžbom do četvrte jednadžbe, drugi, pomnoženi sa, i tako dalje, na N-TH jednadžba, dodajte drugu, pomnoženu. Sistem jednadžbi nakon takvih transformacija poduzet će obrazac

Gde, A. . Dakle, varijabla x 2 isključena je iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Dalje, nastavite sa isključenom nepoznatom X 3, dok djelujete slično dijelu sistema označenog na slici

Dakle, nastavljamo direktan potez Gauss metode dok sistem ne uzima

Od tog trenutka započinjemo povratni način GAUSS metode: Izračunajte XN iz posljednje jednadžbe, kao što je korištenje rezultirajući XN, nalazimo X N-1 iz pretposljednjske jednadžbe i tako dalje, pronalazimo x 1 od prvog jednadžba.

Primjer.

Odlučite sistem linearnih jednadžbi Gauss metoda.

Odluka.

Dopustite da izvršimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge jednadžbe drugog i trećeg sustava. Da biste to učinili, dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe na oba dijela druge i treće jednadžbe, pomnoženo sa i na respektivno:

Sada, iz treće jednadžbe, isključite x 2, dodajući lijevu i desne dijelove lijevi i desni dijelovi druge jednake pomnožene sa:

Na ovome je izravan potez Gauss metode završen, započinjumo suprotno.

Iz posljednje jednadžbe dobijenog sustava jednadžbi nalazimo X 3:

Od druge jednadžbe dobijamo.

Od prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i oni dovršavaju obrnuto pomak Gauss metode.

Odgovor:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Rješavanje sistema linearnih algebričnih jednadžbi općeg oblika.

U opštem slučaju, broj sustava P jednadžbe ne podudara se s brojem nepoznate varijabli N:

Takav nagib ne može imati rješenja, imati jednu odluku ili imati beskonačno mnogo rješenja. Ova se izjava odnosi i na sustave jednadžbi, od kojih je glavna matrica od čega je kvadratna i degenerirana.

Teorema Kronkere - Capelli.

Prije pronalaska rješenja sistema linearnih jednadžbi, potrebno je uspostaviti njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je Slava zajedno, a kada je nepotpuno, daje koncheker Theorem - Capelli:
Da bi sistem p jednadžbe sa n nepoznatim (P može biti jednak n), potrebno je i dovoljno je da je rang glavne matrice sustava bio jednak rangu proširene matrice, odnosno, rang ( A) \u003d rang (t).

Razmislite o primjeru upotrebe teoreme Krukeker - Capelli za određivanje sastavljanja sistema linearnih jednadžbi.

Primjer.

Saznajte da li je sistem linearnih jednadžbi Rješenja.

Odluka.

. Koristimo metodu užurbanog maloljetnika. Malo maloljetnika drugog reda Različit od nule. Prevladaćemo maloljetnike trećeg reda iz čela:

Budući da su sve temeljne maloljetnike treće narudžbe nula, čin glavne matrice je dva.

Zauzvrat, čin produžene matrice jednak tri, kao maloljetnicu trećeg reda

Različit od nule.

Na ovaj način, Zar (a), dakle, na Krakecker Theorem - Capelli može se zaključiti da je početni sistem linearnih jednadžbi nepotpun.

Odgovor:

Sistem rješenja nema.

Dakle, saznali smo kako uspostaviti nepotpunost sistema pomoću Klekeker - Capelli teorema.

Ali kako pronaći rješenje Slave, ako je instalirana njegova kompatibilnost?

Da biste to učinili, potreban nam je koncept osnovne matrice matrice i teoreme na prstenu matrice.

Naziva se maloljetnice najviših reda matrice A, razlikuje od nule, naziva se osnova.

Od definicije osnovnog male slijedi da je njegova narudžba jednaka rubu matrice. Za nerrošku matricu, ali može biti nekoliko osnovnih manjina, uvijek je osnovni manji broj.

Na primjer, razmislite o matrici .

Svi maloljetnici trećeg reda ove matrice su nula, jer su elementi treće linije ove matrice zbroj odgovarajućih elemenata prvog i drugog redaka.

Osnovni su sljedeći maloletnici drugog reda, jer su različite od nule

Minora Osnovni nisu, kao što su nula.

Teorema na rangu matrice.

Ako je prsten naloga p po n jednak r, zatim su svi elementi žica (i stupaca) matrice koji ne formiraju odabranu manju bazu linearno su izraženi kroz odgovarajuće elemente žica (i stupaca) koji se formiraju osnovna manja.

Šta nam daje teoremu na rangu matrice?

Ako, na teoremu Kreconeker - Capelli postavili smo jedinice sistema, mi biramo bilo kakvu osnovnu maloljetnicu glavne matrice sistema (njegova narudžba jednaka R) i isključuje se iz sistema sve jednadžbe koje nisu formiraju odabranu bazu. Tako dobiveno nagib bit će ekvivalentan originalu, jer su odbačene jednadžbe još uvijek nepotrebne (oni su linearna kombinacija preostalih jednadžbi u smjeru Theorema matrice).

Kao rezultat toga, nakon odbacivanja viška jednadžbi sistema, moguća su dva slučaja.

Ako je broj R jednadžbe u rezultiranom sustavu jednak broju nepoznatih varijabli, to će biti izvjesno i jedino rješenje može se naći metodom krema, metodom matrice ili Gaussom metodom.

Primjer.

.

Odluka.

Rangirajte glavnu matricu sistema jednak dve, kao što je manja druga reda Različit od nule. Rang proširene matrice Takođe jednak dve, jer je jedini maloljetnik trećeg reda nula

A sporedni bivši redom raspravljao se o gore navedenom od nule. Na osnovu teoreme Krocecker - Capelli, moguće je odobriti dijeljenje izvornog sistema linearnih jednadžbi, jer je rang (a) \u003d rang (t) \u003d 2.

Kao osnovni maloljetnik, uzmi . Formira koeficijente prve i druge jednadžbe:


Treća jednadžba sistema nije uključena u formiranje baznog manji, dakle, isključit ćemo ga iz sustava na temelju teoreme na matrici prstena:


Tako smo dobili osnovni sistem linearnih algebrijskih jednadžbi. Rešavanjem ga koristeći krater:


Odgovor:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ako je broj R jednadžbe u nastali palici manji od broja nepoznatih varijabli n, zatim u lijevim dijelovima jednadžbi, ostavljamo komponente koje čine osnovnu manju, ostale komponente se prenose na desne dijelove iz sustava jednadžbi sa suprotnim znakom.

Nepoznate varijable (njihovi R komadi) koji su ostali u lijevim dijelovima jednadžbi nazivaju se osnovni.

Nepoznate varijable (njihovi n - r komadi), koji su bili u pravim dijelovima, nazivaju se slobodan.

Sada vjerujemo da besplatne nepoznate varijable mogu napraviti proizvoljne vrijednosti, dok će se osnovnim nepoznatim varijablama izražavati putem besplatnih nepoznatih varijabli. Njihov izraz može se naći rješavanje rezultirajućeg uzorka metodom pogona, metodom matrice ili metodom Gaussa.

Mi ćemo analizirati na primjeru.

Primjer.

Odlučite sistem linearnih algebričnih jednadžbi .

Odluka.

Pronalazimo čin glavne matrice sistema Metoda užurbanih maloljetnika. Kao neurono maloljetnicu prvog reda, uzmite 1 1 \u003d 1. Započnimo potragu za maloljetnicom drugog reda, koji preseče ovaj malolet:


Tako smo pronašli gluposti maloljetnice drugog reda. Započnimo potragu za nezero graničići trećim redoslijedom:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je također jednak tri, odnosno, sustav je koordiniran.

Osnovani nonrono maloljetnice trećeg reda trebat će kao osnovni.

Za jasnoću, pokazujemo elemente koji čine osnovni manji:


Komponente sustava ostavljamo u lijevom dijelu jednadžbi uključenih u manji u osnovi, ostatak se prenose suprotnim znakovima na desne dijelove:


Dajte besplatne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljnih vrijednosti, odnosno, uzet ćemo gde - proizvoljni brojevi. Istovremeno, nagib će uzeti


Rezultirajući osnovni sistem linearnih algebričnih jednadžbi rešavanjem kontrolnog sistema:


Otuda ,.

Kao odgovor, ne zaboravite navesti besplatne nepoznate varijable.

Odgovor:

Gde - proizvoljni brojevi.

Sažeti.

Da biste rešili sistem linearnih algebričnih jednadžbi zajedničkog tipa, prvo otkrivamo njegovu kompatibilnost pomoću Konpeker-ove teoreme - Capelli. Ako se rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo nepotpunost sistema.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada odaberemo osnovnu manju i odbacimo jednadžbu sustava koji ne sudjeluje u formiranju odabranog manjica baze.

Ako je red osnovne manjine jednak broju nepoznatih varijabli, tada Slava ima jedinstveno rješenje koje mi nađemo bilo kakvu metodu koja nam je poznata.

Ako je redoslijed osnovne manji od broja nepoznatih varijabli, zatim na lijevom dijelu sustava izdvojene, komponente ostavljamo glavnim nepoznatim varijablama, preostale komponente se prenose na desne dijelove i pružaju besplatne nepoznate varijable proizvoljne vrijednosti. Iz rezultiranog sustava linearnih jednadžbi nalazimo glavne nepoznate varijable od strane proizvođača, matrične metode ili metode Gaussa.

GAUSS metoda za rješavanje sistema linearnih algebričnih jednadžbi općeg oblika.

Gauss metoda može riješiti sistem linearnih algebričnih jednadžbi bilo koje vrste bez istraživanja na jedinicama. Proces dosljedne isključenosti nepoznatih varijabli omogućava nam da zaključimo obje kompatibilnosti i nepotpunosti Slave, a u slučaju postojanja rješenja omogućava ga pronalaženje.

Sa stanovišta računarskog rada preferira se Gauss metoda.

Pogledajte njegov detaljni opis i rastavljene primjere u GAUSS metodi rješavanja sistema linearnih algebričnih jednadžbi općeg oblika.

Snimite općeniti rješenje homogenih i nehomogenih sistema linearne algebreike koristeći vektore sistema temeljnih rješenja.

U ovom ćemo odjeljku razgovarati o zglobovima homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebričnih jednadžbi koje imaju beskonačnu postavljanu rješenja.

Prvo ćemo razumjeti s homogenim sistemima.

Osnovna sustavna rješenja Homogeni sustav od P linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatim varijabli nazivaju se set (N - R) linearno neovisna rješenja ovog sustava, gdje je R nalog osnovnog manjica glavne matrice sistema.

Ako odredite linearno neovisna rješenja homogene padine kao x (1), x (2), ..., x (br) (x (1), x (2), ..., x (br) - OVE Jesu li matrice dimenzijski stupci n za 1), općenjeno rješenje ovog homogenog sistema prikazano je u obliku linearne kombinacije vektora temeljnog sistema rješenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima sa 1, C 2, ..., C (br), to je ,.

Šta označava izraz opšte otopine homogenog sistema linearnih algebričnih jednadžbi (orostal)?

Značenje je jednostavno: Formula postavlja sva moguća rješenja za originalnu slavu, drugim riječima, uzimajući bilo koji niz vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (br.), Prema formuli, Dobijamo jedno od rješenja početnog homogenog nagiba.

Dakle, ako nađemo temeljni sistem rješenja, moći ćemo postaviti sva rješenja za ovu homogenu padinu kao.

Pokažimo postupak izgradnje temeljnog sistema rješenja sa homogenim nagibom.

Biramo osnovni maloljetnik izvornog sustava linearnih jednadžbi, izuzev svih ostalih jednadžbi iz sustava i prenijeli su na prave dijelove jednadžbi sistema suprotnim znakovima, svi izrazi koji sadrže besplatne nepoznate varijable. Dozvolite nam besplatno nepoznatu promjenjivu vrijednost od 1.0.0, ..., 0 i izračunati glavnu nepoznatu, na bilo koji način rješavanje nastalog osnovnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, prema načinu pogona. Dakle, dobit će se x (1) - prvo rješenje temeljnog sustava. Ako date besplatnu nepoznatu vrijednost od 0,1.0.0, ..., 0 i izračunajte glavnu nepoznatu, onda dobivamo x (2). Itd. Ako besplatne nepoznate varijable daju vrijednost od 0,0, ..., 0,1 i izračunati glavnu nepoznatu, a zatim dobivamo x (N-R). To će biti izgrađeno temeljni sistem rješenja za homogenu padinu i njegovo opće rješenje može se zabilježiti.

Za nehomogene sustave linearnih algebričnih jednadžbi predstavljeno je u obliku, gdje je opće rješenje odgovarajućeg homogenog sustava i privatno rješenje početnog nehomogene padine, što dobivamo, pružamo besplatnu nepoznatu vrijednost 0,0, ..., 0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Mi ćemo analizirati na primerima.

Primjer.

Pronađite sustav temeljnih rješenja i opće rješenje homogenog sistema linearnih algebričnih jednadžbi. .

Odluka.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Rang glavne matrice nalazimo metodom užurbanim maloljetnicima. Kao nulto maloljetnicu prvog reda, uzmite element 1 1 \u003d 9 glavne matrice sistema. Pronaći ćemo graničavanje nernog maloljetnika drugog reda:

Minor od drugog reda, drugačije od nule, pronađeno. Prevladaćemo treću narudžbu manju hranu u potrazi za nulom koja nije nula:

Sva treća narudžba za fokusiranje maloljetnika su nula, dakle, čin glavne i proširene matrice je dva. Shvatamo osnovnim manjim. Napominjemo za jasnoću elemente sistema koji ga oblikuju:

Treća jednadžba originalnog nagiba ne sudjeluje u formiranju osnovnog maloljetnika, stoga se može isključiti:

Ostavimo usklađenosti koje sadrže glavne nepoznanice u pravim dijelovima jednadžbi, a pojmovi s besplatnim nepoznanicama nosimo u pravim dijelovima:

Izgrađujemo temeljni sistem rješenja početnog homogenog sistema linearnih jednadžbi. Temeljni sistem rješenja za ovaj nagib sastoji se od dva rješenja, jer početna padina sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegove osnovne manjine je dvije. Da biste pronašli X (1), dozvolite nam besplatnu nepoznatu varijabilnu vrijednost x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim glavna nepoznata za pronalaženje iz sustava jednadžbi
.