Količina liniji ograničenih slika. Lekcija "Izračunavanje volumena tijela rotacije pomoću određenog integralnog

Osim toga pronalaženje površine ravnog figure sa specifičnim integralnim (vidi 7.2.3.)najvažnija tema teme je izračun zapremine rotacije. Materijal je jednostavan, ali čitač mora biti pripremljen: morate se moći riješiti neizvjesni integralisrednja složenost i primenite formulu Newton-Leiborni specifičan integral, nmogu se takođe mogu samouvjerene vještine za izgradnju crteža. Općenito, u integralnom računu, mnogim zanimljivim aplikacijama, uz pomoć određenog integralnog, možete izračunati površinu figure, zapremine tijela rotacije, dužinu luka, površine Telo i još mnogo toga. Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnom ravninu. Predstavljeno? ... sada se ta brojka može zakretati i zakretati na dva načina:

- oko osi apscisa ;

- oko osi ordinate .

Mi ćemo analizirati oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, uzrokuje najveće poteškoće, ali u stvari je odluka gotovo ista kao u češćim rotaciji oko osi apscisa. Započnimo s najpopularnijom raznolikošću rotacije.

Proračun zapremine tijela formiran rotacijom ravnog oblika oko osi Vol.

Primjer 1.

Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotacijom oblika, ograničenim linijama, oko osi.

Odluka:Kao u zadatku pronalaska područja, odluka počinje crtežom ravnog lične figure. To je, u avionu Xoy. Potrebno je izgraditi liniju ograničenu linijama i ne zaboravite da jednadžba postavlja osovinu. Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura zasjenjena je u plavom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije, takva lagana leteća ploča u obliku jaja sa dva oštra vrhova na osovini Vol., simetrično o osovini Vol.. U stvari, tijelo ima matematičko ime, pogledajte u direktorij.

Kako izračunati volumen karoserije rotacije? Ako se tijelo formira kao rezultat rotacije oko osiVol.Njegov mentalno podijeljen u paralelne slojeve male debljine dX.koji su okomit na osovinu Vol.. Glasnoća cijelog tijela očito je zbroj količine takvih osnovnih slojeva. Svaki sloj, poput okruglog jahanja limuna, - niska visina cilindra dX. i sa polumjerom temelja f.(x.). Tada je količina jednog sloja proizvod bazne površine π f. 2 do visine cilindra ( dX.), ili π ∙ f. 2 (x.)∙dX.. A područje cjelokupnog tijela rotacije je količina elementarnih količina ili odgovarajuće utvrđene integralne. Glasnoća tijela rotacije može se izračunati formulom:

Kako staviti granice integracije "A" i "biti", lako se nagađaju od izrađene crtež. Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na grafikon parabole odozgo. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli. U praktičnim zadacima, ravna figura se ponekad može nalaziti ispod osi Vol.. Ne mijenja ništa - funkcija u formuli postavlja se na kvadrat: f. 2 (x.), na ovaj način, količina rotacijskog tijela uvijek nije negativnaTo je vrlo logično. Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što smo već napomenuli, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovor:

Kao odgovor, morate definirati dimenziju - kubične jedinice. To je, u našem tijelu vrtnje oko 3,35 "kockica". Zašto je kubičan jedinice? Jer je to najnižeg formulacija. Kubični centimetri mogu biti kubični brojila, mogu biti kubičnih kilometara itd., Ovo je koliko zelenih muškaraca vaša mašta biće postavljena u leteću ploču.

Primjer 2.

Pronađite jačinu tijela formirane rotacijom oko osi Vol. Brojke, ograničene linije ,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog tokom rotacije oko osi apscisa oblika, ograničene linije i.

Odluka:Pokazat ću ravnu figuru u crtežu, ograničenim linijama ,,,,, ne zaboravljam tu jednadžbu x. \u003d 0 postavlja osovinu Oy.:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kad se okreće oko osi Vol. Isključuje ravnu kutnu bagelu (perilica sa dvije stožaste površine).

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini. Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Kad se okreće oko osi Vol. Skraćeni konus se dobija. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz V. 1 .

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi Vol., Također ću imati i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju njegovu količinu kroz V. 2 .

Očito je razlika u količini V. = V. 1 - V. 2 - Ovo je volumen našeg "bagela".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovor:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Što se tiče zadatka pronalaska područja, potrebne su vam samouvjerene vještine za izgradnju crteža - to je gotovo najvažnije (jer će sami integrali biti lako lagano). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku \u200b\u200bza izgradnju grafova pomoću metodičkih materijala i transformacije geometrijske grafikone. Ali, u stvari, o važnosti crteža, više puta sam govorio na lekciji.

Općenito, u integralnom kalkulusu postoji puno zanimljivih aplikacija, uz pomoć određenog integralnog, veličine figure, zapremine tijela vrtnje, dužinu luka, površine Proračunavaju se rotacija i mnogo više. Stoga će biti zabavno, molimo postavite na optimističan način!

Zamislite neku ravnu figuru na koordinatnom ravninu. Predstavljeno? ... Pitam se ko sam predstavio ... \u003d))) već smo ga pronašli. Ali, pored toga, ova se broj može biti rotirati i zakretati na dva načina:

- oko osi apscisa;
- oko ordinate osi.

Ovaj članak će rastaviti oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, uzrokuje najveće poteškoće, ali u stvari je odluka gotovo ista kao u češćim rotaciji oko osi apscisa. Kao bonus, vratit ću se zadatak pronalaženja područja figureI reći ću vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Ni toliko bonusa, koliko materijala uspješno uklapa u temu.

Započnimo s najpopularnijom raznolikošću rotacije.

ravni oblik oko osi

Primjer 1.

Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotacijom oblika, ograničenim linijama, oko osi.

Odluka: Kao u zadatku pronalaska kvadrata, odluka počinje crtežom ravnog lične figure. To je, u ravnini, potrebno je izgraditi liniju ograničenu linijama, a ne zaboraviti da jednadžba postavlja osovinu. Koliko racionalno i brže izvršite crtež, možete naučiti na stranicama Grafikoni i svojstva elementarnih funkcijai Određeni integralni. Kako izračunati područje figure. Ovo je kineski podsjetnik, a u ovom trenutku više ne prestajem.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura je zasjenjena plavom bojom, ona se okreće oko osi kao rezultat rotacije, pokazuje tako laganu leteću ploču u obliku jaja, što je simetrično u odnosu na osovinu. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali prema direktorijima nešto previše lijeno da provjeri, pa mi idemo dalje.

Kako izračunati volumen karoserije rotacije?

Zapremina rotacijskog tijela može se izračunati formulom:

U formuli se integralno nužno prisutno. Bilo je to tako neophodno - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantama.

Kako dogovoriti granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crtež izrađene.

Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na grafikon parabole odozgo. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura ponekad može biti locirana ispod osi. Ne mijenja ništa - integrirana funkcija u formuli postavlja se na kvadrat: samim tim integral je uvijek nenegativniTo je vrlo logično.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već napomenuo, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovoriti:

Kao odgovor, morate definirati dimenziju - kubične jedinice. To je, u našem tijelu vrtnje oko 3,35 "kockica". Zašto je kubičan jedinice? Jer najviše univerzalnije formulacija. Kubični centimetri mogu biti kubični brojila, mogu biti kubičnih kilometara itd., Ovo je koliko zelenih muškaraca vaša mašta biće postavljena u leteću ploču.

Primjer 2.

Pronađite volumen tijela formiran rotacijom oko liniji osobnih liniji oblika ,,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite dva složenija zadatka koja su također uobičajena u praksi.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog prilikom rotiranja oko osi apscisa na liniju ograničenih slika i

Odluka: Pokaži ravnu figuru, ograničene linijama ,,,,,,,,, jednadžbu postavlja osovinu:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se okreće oko osi, dobija se takva nadrealna bagela sa četiri ugla.

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini.

Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Sa svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz.

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju svoj obim putem.

I očigledno je razlika u količini upravo količina naše "bagel".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovoriti:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Sada malo odmori i pričaj o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane sa volumenom, koji su primijetili Perelman (drugi) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u isprobanom zadatku - čini se da je u tom području mali u području, a obim tijela rotacije je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini previše. Usput, prosječna osoba u cijelom svom životu pije tekućinu sa sobom sa površinom od 18 četvornih metara, koji, naprotiv, čini se premali.

Općenito, obrazovni sistem u SSSR-u bio je zaista najbolji. Ista knjiga Perelmana, objavljena 1950. godine, razvija se vrlo dobro, kao što je rekao humorist, objedinite i uči da potražite originalna nestandardna rješenja za probleme. Nedavno, neka poglavlja čitaju s velikom interesom, preporučuju se, pristupačno čak i za humanitarne. Ne, ne trebate se nasmiješiti da sam ponudio provod na utjecaj, erudiciju i širok spektar komunikacije - sjajnu stvar.

Nakon liričkog povlačenja relevantno je za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte jačinu tijela formiranog rotacijom u odnosu na osovinu ravne figure, ograničene linijama, gdje.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Imajte na umu da se sva pitanja pojavljuju u traci, drugim riječima, zapravo su date gotove granice integracije. Pravilno crpi grafikone trigonometrijskih funkcija, podsjetite materijal lekcije o transformacije geometrijske grafikone: Ako je argument podijeljen na dva: tada se grafovi dvaput ispruže duž osi. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicamaKako bi preciznije izvršili crtež. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i nije baš racionalan.

Izračunavanje volumena tijela formiranog rotacijom
ravni oblik oko osi

Drugi odlomak će biti još zanimljiviji od prvog. Zadatak izračunavanja količine tijela vrtnje oko osi ordinacije također je prilično čest gost u testovima. Uz to će se razmatrati zadatak pronalaženja područja figure Na drugom putu - integrirajući se na osovinu, ovo će vam omogućiti da ne samo poboljšavate svoje vještine, već i podučavajte najpovoljniji način za rješavanje. U njemu postoji praktičan život! Kao osmijeh, moj učitelj se sjećao na metodi podučavanja matematike, mnogi diplomirani su se zahvalili njenim riječima: "Mi smo zaista pomogli vašem temu, sada smo efikasni menadžeri i optimalno vodio osoblje." Uzimanje ove prilika, izražavam i svoju veliku zahvalnost, posebno jer koristim znanje stečeno u direktnoj svrsi \u003d).

Preporučujem da čitam sve, čak i pune čajnice. Štaviše, naučeni materijal drugog stavka imaće neprocjenjivu pomoć u izračunavanju dvostrukih integrala..

Primjer 5.

Dana ravna figura ograničena linijama ,,

1) Pronađite područje ravne slike ograničene ovim linijama.
2) Pronađite volumen tijela dobivenog rotacijom ravne slike ograničene ovim linijama oko osi.

Pažnja! Čak i ako se želite upoznati sa drugom stavkom, prvo prije Pročitajte prvo!

Odluka: Zadatak se sastoji od dva dijela. Krenimo sa trgom.

1) Izvođenje crteža:

Lako je vidjeti da funkcija postavlja gornju granu parabole, a funkcija je donja grana parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na strani".

Željena figura, čiji se područje nalazi, zasjenjeno plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se naći "običan" način, koji se razmatrao na lekciji Određeni integralni. Kako izračunati područje figure. Štaviše, područje figure je poput količine područja:
- na rezu ;
- Na segmentu.

Stoga:

Šta je u ovom slučaju uobičajeni način rješavanja? Prvo, ispostavilo je dva integrala. Drugo, pod integrali korijena, a korijenje u integralima nisu dar, osim toga, možete se zbuniti u zamjeni granica integracije. U stvari, integrali, naravno, nisu ubistva, ali u praksi je sve što je sve tužno, upravo sam pokupio za zadatak "bolje" funkcije.

Postoji racionalniji put rješenja: Sastoji se u prijelazu na obrnute funkcije i integraciju duž osi.

Kako ići na obrnute funkcije? Grubo gledano, morate izraziti "X" kroz "IREK". Prvo ćemo se pozabaviti parabolom:

To je dovoljno, ali provjerite da li se ista funkcija može ukloniti iz donje grane:

S ravnim, sve je lakše:

Sada gledamo na osovinu: molim vas, povremeno nagnite glavu udesno od 90 stepeni tokom objašnjenja (ovo nije šala!). Slika koja nam trebaju nalazi se na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. Istovremeno, na segmentu, direktno se nalazi iznad Parabole, a samim tim, površina slike treba pronaći na formuli koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo slovo i ništa više.

! Bilješka: Treba postaviti granice integracije preko osi strogo odozdo gore!

Pronađi područje:

Na segmentu, pa:

Imajte na umu kako sam implementiran integracija najracionalniji način, a u sljedećoj tački zadatka bit će jasno - zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobit će se početni integrant, to znači da se integracija pravilno postavlja.

Odgovoriti:

2) Izračunajte jačinu tijela formirane rotacijom ove slike oko osi.

Crtanje crteža malo u drugom dizajnu:

Dakle, figura, zasjenjena u plavom, rotira se oko osi. Kao rezultat toga, ispada "obješeni leptir" koji se vrti oko svoje osi.

Da bismo pronašli količinu karoserije rotacije, integrirat ćemo se uz osovinu. Prvo morate ići na obrnute funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom stavku.

Sada opet krećemo s desne strane i proučavamo našu figuru. Očito, količina tijela rotacije treba pronaći kao razlika u količini.

Zakrenite figuru, zaokružuju se crvenom bojom, oko osi, što rezultira skraćenim konusom. Označite ovaj obim.

Zakrenite figuru, zaokružuju zelenom, oko osi i označite jačinu karoserije rotacije.

Količina našeg leptira jednaka je razlici u količini.

Koristimo formulu za pronalaženje količine karoserije rotacije:

Koja je razlika iz formule prethodnog stava? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, koju sam nedavno govorila mnogo je lakše pronaći nego pre-izgraditi funkciju zamjene u četvrtom stepenu.

Odgovoriti:

Međutim, stabilan leptir.

Imajte na umu da ako se ista ravna figura zakreta oko osi, tada će ispasti potpuno različito tijelo rotacije, drugih, prirodno, jačinu zvuka.

Primjer 6.

DANA ravna figura ograničene linije i osi.

1) Idite na obrnute funkcije i pronađite površinu ravne slike ograničene ovim linijama, integrirajući se putem varijable.
2) Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotiranjem ravne slike ograničene ovim linijama oko osi.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Oni koji žele također mogu pronaći cifru slike "običnog" načina, na taj način obavljajući ček od stava 1). Ali ako, ponavljam, rotit ćete ravnu figuru oko osi, a zatim ćete dobiti potpuno drugačije tijelo rotacije s drugom jačinom, usput, tačan odgovor (također za ljubavnike za miješanje).

Potpuno rješenje dva predložena stavka zadataka na kraju lekcije.

Da, i ne zaboravite nagnite glavu udesno da biste shvatili tijela rotacije i unutar integracije!

Definicija 3. Tijelo rotacije je tijelo dobiveno rotiranjem ravne figure oko osi koja ne prelazi figuru i leži s njom u istoj ravnini.

Os rotacije može i preći na licu, ako je osa simetrije figure.

Theorem 2.
, osa
i ravne rezove
i

rotira se oko osi
. Tada se zapremine nastale rotacijskog tijela može izračunati formulom

(2)

Dokaz. Za takvo tijelo, presjek sa apsisom - Ovo je krug radijusa
Tako
i formula (1) daje traženi rezultat.

Ako je broj ograničen na grafikone dvije kontinuirane funkcije
i
i ravne rezove
i
Štaviše
i
, prilikom rotiranja oko osi apscissa, dobivamo tijelo, jačinu

Primjer 3. Izračunajte jačinu torusa dobivenog rotacijom kruga ograničen krugom

oko osi apscisa.

R mjera. Navedeni dno kruga ograničen je grafikom
, a odozgo -
. Razlika kvadrata ovih funkcija:

Željena volumena

(Grafikon Integranda je gornji dijelovi, tako da je integralno napisano gore polukružno područje).

Primjer 4. Parabolički segment
i visok , rotira se oko baze. Izračunajte jačinu nastalih tijela ("limun" cavalieri).

R mjera. Parabola je postavljena kao što je prikazano na slici. Tada je jedna jednadžba
, i
. Pronađite vrijednost parametra :
. Dakle, željeni volumen:

Theorem 3. Neka se curvilinear trapezi, ograničen grafikonom neprekidne negativne funkcije
, osa
i ravne rezove
i
Štaviše
Rotira se oko osi
. Tada se formula može naći volumen prijemnog tijela rotacije

(3)

Ideja o dokazivanju. Mali rez
bodovi

, dio i provoditi direktno
. Čitav trapez raspadat će se na trakama, koje se mogu smatrati približno pravokutnicima sa bazom.
i visina
.

Cilindar se dobija prilikom rotiranja takvog pravokutnika, preseći ćemo se kroz formiranje i odvijanje. Dobijamo "gotovo" paralelepizirane dimenzije:
,
i
. Njen svezak
. Dakle, za količinu tijela rotacije imat ćemo približnu ravnopravnost

Da biste dobili tačnu jednakost, morate ići na granicu kada
. Gore navedeni iznos je integralni iznos za funkciju
Stoga u granici dobijamo integral iz formule (3). Teorem se dokazuje.

Napomena 1. U teoremima 2 i 3 uvjet
možete izostaviti: formula (2) je uglavnom neosjetljiva na znak
, a u formuli (3) dovoljno
zamijenjen sa
.

Primjer 5. Parabolički segment (baza)
, visina ) Brzina oko visine. Pronađite jačinu nastalog tijela.

Odluka. Stavite parabolu kao što je prikazano na slici. I iako se osi rotacije prelazi lik, to je osovina - je osovina simetrije. Stoga je potrebno razmotriti samo desnu polovinu segmenta. Parabolla jednadžba
, i
Tako
. Imamo za količinu:

Napomena 2. Ako je Curvilinear granica curvileinearnog trapeza postavljena parametrijskim jednadžbima
,
,
i
,
možete koristiti formule (2) i (3) zamjenom na
i
na
kad se promijeni t. od
prije .

Primjer 6. Slika je ograničena na prve crkvene cikloide
,
,
i osi apscisa. Pronađite volumen tijela dobivenog rotacijom ove slike oko: 1) Osovina
; 2) os
.

Odluka. 1) Opšta formula
U našem slučaju:

2) opšta formula
Za našu figuru:

Nudimo studentima da samostalno obavljaju sve proračune.

Napomena 3. Neka se sukver za krivine ograničio na Neur-Rive
i zrake
,

rotira se oko polarne osi. Količina nastalog tijela može se izračunati formulom.

Primjer 7. Dio oblika ograničen kardioid
opseg
rotira se oko polarne osi. Pronađite jačinu tijela koje se ispostavilo.

Odluka. Obje linije, a samim tim, figura koju ograniči je simetrična s obzirom na polarsku osovinu. Stoga je potrebno razmotriti samo dio za koji
. Krivulje presijecaju
i

za
. Nadalje, brojka se može smatrati razlikama dva sektora, što znači da se jačinu izračunava kao razlika između dva integrala. Imamo:

Zadaci Za neovisno rešenje.

1. Kružni segment čija je baza
, visina , rotira se oko baze. Pronađite opseg rotacije.

2. Pronađite jačinu paraboloida rotacije, od kojih se baza a visina je jednaka .

3. Slika ograničena astroidom
,
rotira se osmjehnu oko osi apscisa. Pronađite jačinu tijela koje se dobiva.

4. Slika ograničene linije
i
cijene oko osi apscisa. Pronađite opseg rotacije.

Kako izračunati opseg rotacije pomoću određenog integralnog?

Pored toga pronalaženje ravne figure sa specifičnim integralnim najvažnija tema teme je izračun zapremine rotacije. Materijal je jednostavan, ali čitač mora biti pripremljen: morate se moći riješiti neizvjesni integrali Srednja složenost i primenite formulu Newton-Leiborni određeni integralni . Što se tiče zadatka pronalaska područja, potrebne su vam samouvjerene vještine za izgradnju crteža - to je gotovo najvažnije (jer će sami integrali biti lako lagano). Možete savladati kompetentnu i brzu tehniku \u200b\u200bza izgradnju grafova pomoću metodičkog materijala. . Ali, u stvari, o važnosti crteža, više puta sam govorio na lekciji .

Općenito, u integralnom računu, ima puno zanimljivih aplikacija, uz pomoć određenog integralnog, površine cifre, količine tijela, dužinu luka, površine tijela i još mnogo toga mogući su. Stoga će biti zabavno, molimo postavite na optimističan način!

– oko osi apscisa; - oko ordinate osi.

Ovaj članak će rastaviti oba slučaja. Drugi način rotacije je posebno zanimljiv, uzrokuje najveće poteškoće, ali u stvari je odluka gotovo ista kao u češćim rotaciji oko osi apscisa. Kao bonus, vratit ću se zadatak pronalaženja područja figure I reći ću vam kako pronaći područje na drugi način - duž osi. Ni toliko bonusa, koliko materijala uspješno uklapa u temu.

Započnimo s najpopularnijom raznolikošću rotacije.

Primjer 1.

Izračunajte jačinu tijela dobivenog rotacijom oblika, ograničenim linijama, oko osi.

Odluka: Kao u zadatku pronalaska područja, odluka počinje crtežom ravnog lične figure. To je, u avionu, potrebno je izgraditi liniju ograničenu linijama, dok ne zaboravite da je jednadžba os. Koliko racionalno i brže izvršite crtež, možete naučiti na stranicama Grafikoni i svojstva elementarnih funkcija i Određeni integralni. Kako izračunati područje figure . Ovo je kineski podsjetnik, a u ovom trenutku više ne prestajem.

Crtež je ovdje prilično jednostavan:

Željena ravna figura zasjenjena je u plavom, ona se okreće oko osi. Kao rezultat rotacije, takva lagana leteća ploča u obliku jaja, koja je simetrična u odnosu na osovinu. U stvari, tijelo ima matematičko ime, ali u referentnoj knjizi nešto previše lijeno za gledanje, pa idemo dalje.

Kako izračunati volumen karoserije rotacije?

Glasnoća tijela rotacije može se izračunati formulom:

U formuli se integralno nužno prisutno. Bilo je to tako neophodno - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantama.

Kako dogovoriti granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crtež izrađene.

Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na vrh Parabolys. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura ponekad može biti locirana ispod osi. Ne mijenja ništa - funkcija u formuli je ugrađena na trg: tako količina rotacijskog tijela uvijek nije negativnaTo je vrlo logično.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već napomenuo, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovor:

Primjer 2.

Pronađite jačinu tijela formirane rotacijom oko osovine oblika ograničena linijama ,,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite dva složenija zadatka koja su također uobičajena u praksi.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog prilikom rotiranja oko osi apscisne linije limite lista ,, i

Odluka:Pokazaću ravnu figuru u crtežu, ograničenim linijama ,,,, ne zaboravljajući tu jednadžbu je osovina:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se okreće oko osi, dobija se takva nadrealna bagela sa četiri ugla.

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini.

Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Sa svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz.

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju svoj obim putem.

I očigledno je razlika u količini upravo količina naše "bagel".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovor:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Sada malo odmori i pričaj o geometrijskim iluzijama.

Ljudi često imaju iluzije povezane sa volumenom, koji su primijetili Perelman (ne) u knjizi Zabavna geometrija. Pogledajte ravnu figuru u isprobanom zadatku - čini se da je u tom području mali u području, a obim tijela rotacije je nešto više od 50 kubnih jedinica, što se čini previše. Usput, prosječna osoba u cijelom svom životu pije tekućinu sa sobom sa površinom od 18 četvornih metara, koji, naprotiv, čini se premali.

Općenito, obrazovni sistem u SSSR-u bio je zaista najbolji. Ista knjiga Perelmana, napisana 1950. godine, razvija se vrlo dobro, kao što je Humorist rekao, pretvorio i podučava da traže originalna nestandardna rješenja za probleme. Nedavno, neka poglavlja čitaju s velikom interesom, preporučuju se, pristupačno čak i za humanitarne. Ne, ne trebate se nasmiješiti da sam ponudio provod na utjecaj, erudiciju i širok spektar komunikacije - sjajnu stvar.

Nakon liričkog povlačenja relevantno je za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte volumen tijela formiran rotacijom u odnosu na osovinu ravne slike ograničene linije, gdje.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Imajte na umu da se sva pitanja pojavljuju u traci, drugim riječima, date su gotovo gotove granice integracije. Također pokušajte ispravno crpiti grafikone trigonometrijskih funkcija, ako je argument podijeljen na dva:, tada se grafovi ispružuju sadnja dva puta. Pokušajte pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama I preciznije izvesti crtež. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i nije baš racionalan.

Proračun zapremine tijela formiran rotacijom ravnog oblika oko osi

Primjer 5.

Dana ravna figura ograničena linijama ,,.

1) Pronađite područje ravne slike ograničene ovim linijama. 2) Pronađite volumen tijela dobivenog rotacijom ravne slike ograničene ovim linijama oko osi.

Pažnja! Čak i ako se želite upoznati sa drugom stavkom, prvo prije Pročitajte prvo!

Odluka: Zadatak se sastoji od dva dijela. Krenimo sa trgom.

1) Izvođenje crteža:

Lako je primijetiti da funkcija postavlja gornju granu parabole, a funkcija je donja grana parabole. Pred nama je trivijalna parabola koja "leži na strani".

Željena figura, čiji se područje nalazi, zasjenjeno plavom bojom.

Kako pronaći područje figure? Može se naći "običan" način, koji se razmatrao na lekciji Određeni integralni. Kako izračunati područje figure . Štaviše, područje slike nalazi se kao količina područja: - na segmentu ; - Na segmentu.

Stoga:

Postoji racionalniji put rješenja: Sastoji se u prijelazu na obrnute funkcije i integraciju duž osi.

Kako ići na obrnute funkcije? Grubo gledano, morate izraziti "X" kroz "IREK". Prvo ćemo se pozabaviti parabolom:

To je dovoljno, ali provjerite da li se ista funkcija može ukloniti iz donje grane:

S ravnim, sve je lakše:

Sada gledamo na osovinu: molim vas, povremeno nagnite glavu udesno od 90 stepeni tokom objašnjenja (ovo nije šala!). Slika koja nam trebaju nalazi se na segmentu, koji je označen crvenom isprekidanom linijom. Istovremeno, Parabolava, pa, stoga, područje slike treba naći na formuli koja vam je već poznata: . Šta se promijenilo u formuli? Samo slovo i ništa više.

! Napomena: Trebalo bi dogovoriti granice integracije osi.strogo odozdo gore !

Pronađi područje:

Na segmentu, pa:

Imajte na umu kako sam implementiran integracija najracionalniji način, a u sljedećoj tački zadatka bit će jasno - zašto.

Za čitatelje koji sumnjaju u ispravnost integracije, naći ću derivate:

Dobit će se početni integrant, to znači da se integracija pravilno postavlja.

Odgovor:

2) Izračunajte jačinu tijela formirane rotacijom ove slike oko osi.

Crtanje crteža malo u drugom dizajnu:

Dakle, figura, zasjenjena u plavom, rotira se oko osi. Kao rezultat toga, ispada "obješeni leptir" koji se vrti oko svoje osi.

Da bismo pronašli količinu karoserije rotacije, integrirat ćemo se uz osovinu. Prvo morate ići na obrnute funkcije. To je već učinjeno i detaljno opisano u prethodnom stavku.

Sada opet krećemo s desne strane i proučavamo našu figuru. Očito, količina tijela rotacije treba pronaći kao razlika u količini.

Zakrenite figuru, zaokružuju se crvenom bojom, oko osi, što rezultira skraćenim konusom. Označite ovaj obim.

Zakrenite figuru, kružite zelenom, oko osi i ukažite na jačinu nastalog tijela rotacije.

Količina našeg leptira jednaka je razlici u količini.

Koristimo formulu za pronalaženje količine karoserije rotacije:

Koja je razlika iz formule prethodnog stava? Samo u pismu.

Ali prednost integracije, koju sam nedavno govorila mnogo je lakše pronaći nego pre-izgraditi funkciju zamjene u četvrtom stepenu.

Zapremina rotacijskog tijela može se izračunati formulom:

U formuli se integralno nužno prisutno. Bilo je to tako neophodno - sve što se vrti u životu povezano je s ovom konstantama.

Kako dogovoriti granice integracije "A" i "biti", mislim da je lako pogoditi od crtež izrađene.

Funkcija ... Kakva je ova funkcija? Pogledajmo crtež. Ravna figura ograničena je na vrh Parabolys. Ovo je funkcija koja je namijenjena u formuli.

U praktičnim zadacima ravna figura ponekad može biti locirana ispod osi. To ne mijenja ništa - integrirana funkcija u formuli je ugrađena u kvadrat: tako integral je uvijek nenegativni To je vrlo logično.

Izračunajte opseg rotacije pomoću ove formule:

Kao što sam već napomenuo, integral je gotovo uvijek jednostavan, glavna stvar je biti pažljiva.

Odgovoriti:

Primjer 2.

Pronađite jačinu tijela formirane rotacijom oko osovine oblika ograničena linijama ,,,

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Razmotrite dva složenija zadatka koja su također uobičajena u praksi.

Primjer 3.

Izračunajte jačinu tela dobijenog prilikom rotiranja oko osi apscisne linije limite lista ,, i

Odluka: Pokažite ravnu figuru na crtežu, ograničene linijema ,,,, ne zaboravljajući tu jednadžbu je osovina:

Željena figura je zasjenjena plavom bojom. Kada se okreće oko osi, dobija se takva nadrealna bagela sa četiri ugla.

Zapremina karoserije rotacije izračunava se kao razlika u količini.

Prvo razmislite o ličnosti koja je kružena crvenom bojom. Sa svojom rotacijom oko osi dobiva se skraćeni konus. Označavaju količinu ovog skraćenog konusa kroz.

Razmotrite lik koji je kruži zelenim zelenom. Ako rotirate ovu figuru oko osi, dobit ćete i skraćeni konus, samo malo manje. Označavaju svoj obim putem.

I očigledno je razlika u količini upravo količina naše "bagel".

Koristimo standardnu \u200b\u200bformulu za pronalaženje količine tijela rotacije:

1) brojk krug u crvenoj boji je ograničen iznad ravno, pa:

2) Broj poseban zelenilo je ograničeno od gore, tako:

3) zapremina prvobitnog tijela rotacije:

Odgovoriti:

Radoznalo je da se u ovom slučaju rješenje može provjeriti pomoću školske formule za izračun jačine kamenca.

Sama odluka češće je uređena u kratkom, otprilike u takvom duhu:

Sada malo odmori i pričaj o geometrijskim iluzijama.

Nakon liričkog povlačenja relevantno je za rješavanje kreativnog zadatka:

Primjer 4.

Izračunajte volumen tijela formiran rotacijom u odnosu na osovinu ravne slike ograničene linije, gdje.

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Imajte na umu da se sva pitanja pojavljuju u traci, drugim riječima, zapravo su date gotove granice integracije. Pravilno crpi grafikone trigonometrijskih funkcija, podsjetite materijal lekcije o transformacije geometrijske grafikone : Ako je argument podijeljen na dva: tada se grafovi ispružuju sadnja dva puta. Preporučljivo je pronaći najmanje 3-4 boda prema trigonometrijskim tablicama Kako bi preciznije izvršili crtež. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Usput, zadatak se može riješiti racionalno i nije baš racionalan.