Kao što znate, prilikom množenja izraza sa stupnjevima, njihovi pokazatelji su uvijek sklopljeni (a b * a c \u003d a b + c). Ovaj matematički zakon izveden je Arhimemom, a kasnije, u VIII vijeku, matematika Virasen kreirala je tablicu cijelih pokazatelja. Služili su za daljnje otvaranje logaritma. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svuda, gdje je potrebno pojednostaviti glomazno umnožavanje na jednostavnom dodatku. Ako provedete 10 minuta za čitanje ovog članka, objasnit ćemo vam koji su logaritmi i kako raditi s njima. Jednostavan i pristupačan jezik.

Definicija u matematici

Logaritam je izraz sljedeće vrste: log AB \u003d C, odnosno logaritam bilo kojeg negativnog broja (to jest pozitivan) "B" na svojoj bazi "A" smatra se stupnjem "C" , u kojem je potrebno izgraditi osnovu "a" na kraju dobiti vrijednost "B". Analizirat ćemo logaritam na primjerima, na primjer, postoji eizmion log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, morate pronaći takav stepen kako biste dobili 8 od 2. što ste učinili neke proračune u glavi, dobivamo broj 3! I tačno, jer 2 do stepena 3 daje broj 8 kao odgovor.

Sorte logaritama

Za mnoge studente i studente, ova se tema čini teškim i nerazumljivim, ali u stvari logaritam nije tako užasan, glavna stvar je razumjeti njihovo značenje i pamtiti njihova svojstva i neka pravila. Postoje tri odvojene vrste logaritamskih izraza:

1. Prirodni logaritam ln a, gdje je osnova broj Eulera (E \u003d 2,7).
2. Decimalni a, gdje je osnova broj 10.
3. Logaritam bilo kojeg broja B na osnovu a\u003e 1.

Svako od njih rješava se standardnim putem, koji uključuje pojednostavljenje, smanjenje i naknadno poravnanje jednom logaritamu uz pomoć logaritamskih teorema. Da biste dobili lojalne vrijednosti logaritma, trebali biste se sjetiti njihovih svojstava i redoslijed radnji prilikom rješavanja njih.

Pravila i neka ograničenja

U matematici postoji nekoliko ograničenja pravila koja su prihvaćena kao aksiomi, odnosno ne podliježu raspravi i istinu su. Na primjer, broj je nemoguće podijeliti na nulu, a nemoguće je i iznijeti čak i korijen stepena iz negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, nakon kojih možete lako naučiti kako raditi čak i s dugim i slabim logaritamskim izrazima:

• baza "A" uvijek treba biti nula, a istovremeno ne biti jednaka 1, u protivnom će izraz izgubiti svoje značenje, jer "1" i "0" u bilo kojem stepenu uvijek su jednak njegovim vrijednostima;
• ako je a\u003e 0, onda i b\u003e 0, ispada da bi oba "C" trebala biti više nula.

Kako riješiti logaritme?

Na primjer, zadatak je pronaći jednadžbu odgovora 10 x \u003d 100. Vrlo je jednostavno, morate pokupiti takav stepen, podići broj deset, dobićemo 100. To je, naravno, 10 2 \u003d 100 .

A sada zamislimo ovaj izraz u obliku logaritamskog. Dobivamo dnevnik 10 100 \u003d 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve se radnje praktično konvergiraju kako bi se pronašla u mjeri u kojoj se baza logaritama mora unijeti da bi dobio određeni broj.

Za definiciju nepoznatog stepena bez greške, potrebno je naučiti raditi sa stolom za diplomu. Izgleda ovako:

Kao što vidite, neki pokazatelji diplome mogu nagađati intuitivno, ako postoji tehničko skladište uma i znanja o tablici množenja. Međutim, za velike vrijednosti će zahtijevati tablicu stupnjeva. Čak i oni koji uopće nisu značeni u složenim matematičkim temama mogu ga koristiti. Lijevi stup prikazuje brojeve (baza A), gornji broj brojeva je vrijednost stepena C, u koju je postavljen broj A. Na raskrižju u ćelijama definirale su vrijednosti brojeva koji su odgovor (A C \u003d B). Uzmite, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i podignite ga u kvadrat, dobivamo vrijednost 100, što je naznačeno na raskrižju naših dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i jednostavno da će čak i najpouzdaniji humanitarni shvatiti!

Jednadžbe i nejednakosti

Ispada da je pod određenim uvjetima pokazatelj logaritam. Shodno tome, bilo koji matematički numerički izrazi mogu se napisati u obliku logaritamske jednakosti. Na primjer, 3 4 \u003d 81 može se napisati u obliku logaritama broja 81 po bazi 3, jednak četiri (zapisnik 3 81 \u003d 4). Za negativne diplome, pravilo je isto: 2 -5 \u003d 1/32 Pišemo u obliku logaritama, dobivamo dnevnik 2 (1/32) \u003d -5. Jedan od najfascinantnijih dijelova matematike je tema "logaritam". Primjeri i rješenja jednadžbi pogledat ćemo malo niže, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. A sada ćemo se zapitamo kako izgleda nejednakost i kako ih razlikovati iz jednadžbi.

Sljedeći tip je dan: Log 2 (X - 1)\u003e 3 - To je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost "X" pod znakom logaritama. A također u izrazu uspoređuje dvije vrijednosti: logaritam željenog broja na bazi je dva više od tri.

Najvažnija razlika između logaritamskih jednadžbi i nejednakosti je da se jednadžbe logaritama (primjer - logaritam 2 x \u003d √9) podrazumijeva na odgovor jednu ili više specifičnih numeričkih vrijednosti, dok je prilikom rješavanja nejednakosti definirana i kao područje dopuštenih vrijednosti I bodova. Razbijanje ove funkcije. Kao rezultat toga, odgovor ne dobija jednostavan broj pojedinačnih brojeva kao u odgovoru jednadžbe, već kontinuiranog niza ili niza brojeva.

Glavne teoremi o logaritmima

Prilikom rješavanja primitivnih zadataka za pronalazak vrijednosti logaritama, njena svojstva se ne mogu znati. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednadžbe ili nejednakosti, prije svega potrebno je jasno razumjeti i primijeniti sva osnovna svojstva logaritma u praksi. Sa primjerima jednadžbe upoznat ćemo kasnije, pogledajmo prvo svojstvo prvo detaljnije.

1. Glavni identitet izgleda ovako: i logab \u003d b. Primjenjuje se samo pod uvjetom kada veći od 0 nije jednak jednom, a B je veći od nule.
2. Logaritam radova može biti zastupljen u sljedećoj formuli: dnevnik D (s 1 * s 2) \u003d dnevnik D S 1 + dnevnik D S 2. U ovom slučaju, preduvjet je: D, S 1 i S 2\u003e; A ≠ 1. Moguće je donijeti dokaze za ovu formulu logaritma, sa primjerima i rješenjima. Obavijestite 1 \u003d f 1 i dnevnik je 2 \u003d f 2, a zatim F1 \u003d S 1, A F2 \u003d S 2. Dobijamo da s 1 * s 2 \u003d A F1 + F2 (Svojstva) od stupnjeva), a zatim po definiciji: Log A (S 1 * S 2) \u003d F 1 + F 2 \u003d Log A S1 + Dnevnik kao 2, koji je potreban za dokazivanje.
3. Logaritam privatnih izgleda ovako: log a (s 1 / s 2) \u003d log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem u formuli obrasca postaje sljedeći obrazac: prijavite se q b n \u003d n / q Log a b.

Ova se formula naziva svojstvo "logaritam". Osjeća na svojstva običnih diploma, a ne iznenađujuće, jer sva matematika čuva prirodne postulate. Pogledajmo dokaz.

Ostavite da se prijavite B \u003d T dobiva T \u003d b. Ako izgradimo oba dijela u stupnju M: A TN \u003d B n;

ali od tn \u003d (a q) nt / q \u003d b n, dakle, dnevnik a q b n \u003d (n * t) / t, a zatim prijavite q b n \u003d n / q log a b. Teorem se dokazuje.

Primjeri zadataka i nejednakosti

Najčešće vrste zadataka na temu logaritma su primjeri jednadžbi i nejednakosti. Nalaze se u gotovo svim zadacima, a također su uključeni u obavezni dio matematičkih ispita. Za prijem na univerzitet ili stavljanje ulaznih testova u matematiku, morate znati kako tačno riješiti takve zadatke.

Nažalost, jedan plan ili shema za rješavanje i određivanje nepoznate vrijednosti logaritama ne postoji, ali određena pravila mogu se primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednadžbu. Prije svega, treba saznati je li moguće pojednostaviti izraz ili dovesti do generalnog uma. Pojednostavite duge logaritamske izraze mogu se ispravno koristiti za korištenje svojih svojstava. Upoznajmo se sa njima.

Prilikom rješavanja iste logaritamske jednadžbe, treba odrediti, što je prikaz Logaritam: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.

Evo primjera LN100, LN1026. Njihova odluka svodi se na činjenicu da je potrebno utvrditi stepen u kojem će baza 10 biti 100 i 1026. Za rješenja, prirodni logaritmi trebaju primijeniti logaritamski identitet ili njihova svojstva. Razmotrimo rješenje logaritamskih problema različitih vrsta.

Kako koristiti Logarithm formule: Sa primjerima i rješenjima

Dakle, razmotrimo primjere korištenja glavnih teoreme logaritama.

1. Logaritam imovina rada može se primijeniti u zadacima u kojima je potrebno razgraditi veliku vrijednost broja B za jednostavnije faktore. Na primjer, dnevnik 2 4 + log 2 128 \u003d Log 2 (4 * 128) \u003d Log 2 512. Odgovor je 9.
2. log 4 8 \u003d Dnevnik 2 2 2 \u003d 3/2 Log 2 2 \u003d 1,5 - Kao što vidite, primjenom četvrtog stupnja vlasništva Logaritam, moguće je riješiti složeni i bezrezervan izraz na prvi pogled. Potrebno je samo raspadati osnovu za množine, a zatim izvršiti vrijednost stupnjeva iz logaritamskog znaka.

Zadaci iz Ege-a

Logaritami se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno puno logaritamskih zadataka u EEG-u (državni ispit za sve školske maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo dijelom (najlakšim testnom dijelu ispita), već i u smislu (najsloženijih i najlakših zadataka). Ispit podrazumijeva tačno i savršeno znanje o temi "Prirodni logaritmi".

Primjeri i rješenja zadataka uzimaju se iz službenih opcija EGE. Da vidimo kako se takvi zadaci riješe.

S obzirom na dnevnik 2 (2x-1) \u003d 4. Rješenje:
prepisujem izraz, neki njegov pojednostavljeni dnevnik 2 (2x-1) \u003d 2 2, po definiciji logaritama dobivamo taj 2x-1 \u003d 2 4, dakle 2x \u003d 17; x \u003d 8.5.

• Svi logaritmi najbolje vode u jednu bazu tako da rješenje nije glomazno i \u200b\u200bzbunjujuće.
• Sav izraz pod znakom logaritama naznačen je kao pozitivan, stoga, kada pošaljem množitelj pokazatelja izraza koji stoji pod znakom logaritama i kao njezin temelj, izraz ostaje pod logaritama mora biti pozitivan.

Logaritam broj N. Na osnovu ali naziva indikator stepena h. u kojem trebate izgraditi ali Da biste dobili broj N.

Pod uslovom da
,
,

Iz definicije logaritama slijedi to
.
- Ova jednakost je glavni logaritamski identitet.

Logaritmi zasnovani na 10 nazivaju se decimalni logaritmi. Umjesto toga
pisati
.

Logaritammija na osnovu e. naziva prirodno i određeno
.

Glavna svojstva logaritma.

Logaritam jedinice za bilo koju bazu su nula

Logaritam djela jednak je zbroju logaritma faktora.

3) logaritam privatnog je jednak razlikovanju logaritma

Faktor
naziva se tranzicijskim modulom iz logaritma u bazi sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: logaritmima u bazi b. .

Koristeći svojstva 2-5, često je moguće smanjiti logaritam složenog izraza na rezultat jednostavne aritmetičke akcije nad logaritmima.

Na primjer,

Takve transformacije logaritama nazivaju se logarithming. Pretvara inverzni logaritming naziva se potencijala.

Poglavlje 2. Elementi viših matematike.

1. Ograničenja

Ograničiti funkciju
je konačan broj A, ako sa željom xx 0 za svako definirano
Postoji takav broj
to čim
T.
.

Funkcija koja se graniči razlikuje od nje do beskonačno niske vrijednosti:
gde --- B.M.V., I.E.
.

Primjer. Razmotrite funkciju
.

Sa željom
funkcija y. Ona teži za nulu:

1.1. Glavne teoreme su o granicama.

Granica stalne vrijednosti jednaka je ovoj stalnoj vrijednosti.

.

Granica iz iznosa (razlika) konačnog broja funkcija jednaka je zbroju granica ovih funkcija.

Granica konačnog broja funkcija jednaka je proizvodu ovih funkcija.

Granica privatnih dvije funkcije jednaka je privatnim granicama ovih funkcija, ako granica nazivnika nije nula.

Divna granica

,
gde

1.2. Primjeri granica izračuna

Međutim, nisu sve granice izračunate tako jednostavne. Češće se izračunavanje ograničenja svodi na otkrivanje nesigurnosti tipa: ili.

.

2. Derivativna funkcija

Neka imamo funkciju
Kontinuirani na segmentu
.

Argument primio neki priraštaj
. Tada će funkcija dobiti priraštaj
.

Značenje argumenta odgovara vrijednosti funkcije
.

Značenje argumenta
odgovara vrijednosti funkcije.

Otuda ,.

Pronaći ćemo granicu ove veze kada
. Ako ta granica postoji, naziva se izvedenica ove funkcije.

Definicija 3-proizvodnje ove funkcije
argumentom naziva se granica odnosa funkcije funkcije na povećanje argumenta, kada se povećava argument proizvoljno teži na nuli.

Izvedena funkcija
može se naznačiti na sljedeći način:

; ; ; .

Određivanje 4 Rad pronalaska izvedenog funkcije koja se zove diferencijacija.

2.1. Mehanički derivat čula.

Razmislite o neposrednoj kretanju neke čvrste ili materijalne točke.

Neka u nekom trenutku vremena pokretna tačka
bio na daljinu iz početnog položaja
.

Nakon nekog vremena
preselila se na daljinu
. Stav =- prosječni materijal materijalne točke
. Pronašli smo granicu ove veze, s obzirom na to
.

Shodno tome, definicija trenutne brzine materijalne točke svodi se na pronalaženje izvedenog iz vremena.

2.2. Geometrijska vrijednost izvedenog

Neka ima grafički s obzirom na neku funkciju
.

Sl. 1. Geometrijsko značenje izvedeno

Ako a
, onda ukažite
kreće se oko krivulje, prilazeći poantu
.

Otuda
. Vrijednost izvedenosti s ovom vrijednošću argumenta numerirano je jednak tangenti u kutu obrazovane tangente u ovom trenutku s pozitivnom smjerom os.
.

2.3. Tabela osnovnih formula diferencijacije.

Funkcija napajanja

Eksponencijalna funkcija

Logaritamska funkcija

Trigonometrijska funkcija

Reverse trigonometrijska funkcija

2.4. Pravila diferencijacije.

Izveden iz

Izvedeni iznos (razlika) funkcija

Derivativni rad dvije funkcije

Derivati \u200b\u200bprivatnih dvije funkcije

2.5. Izvedeno iz složene funkcije.

Neka se funkcija daju
takav da se može predstavljati kao

i
gde je varijabla je tada intermedijarni argument

Derivat složene funkcije jednak je proizvodu izvedenog ove funkcije od strane intermedijarnog argumenta na derivatu intermedijarnog argumenta za x.

Primjer1.

Primjer2.

3. Diferencijalna funkcija.

Neka bude
Raspodedan za neki segment
pusti to w. ova funkcija je izvedena

,

tada možete snimiti

(1),

gde - beskonačno mala vrijednost,

od kada

Pomnožavanje svih članova jednakosti (1) na
imamo:

Gde
- B.M.V. Gornji nalog.

Vrijednost
nazvana diferencijalna funkcija
i označava

.

3.1. Geometrijska vrijednost diferencijala.

Neka se funkcija daju
.

Sl.2. Geometrijsko značenje diferencijala.

.

Očito, diferencijalna funkcija
to je jednako povećanju ordinate tangente u ovom trenutku.

3.2. Derivati \u200b\u200bi diferencijali različitih naloga.

Ako tamo
, onda
nazvao prvi derivat.

Derivati \u200b\u200bprvog izvedena naziva se derivat drugog reda i zabilježena
.

N-Th Derivat iz funkcije
derivat (N-1) naziva se narudžba i zapisi:

.

Diferencijal iz diferencijalne funkcije naziva se druga diferencijalna ili druga diferencijalna.

.

.

3.3 Rješavanje bioloških problema sa korištenjem diferencijacije.

Zadatak1. Studije su pokazale da je rast kolonije mikroorganizama podložan zakonu
gde N. - broj mikroorganizama (u hiljadama), t. - Veliki (dani).

b) Hoće li biti povećanja ili smanjenja u ovom periodu?

Odgovor. Broj kolonije će se povećati.

Zadatak 2. Voda u jezeru periodično se testira radi kontrole sadržaja patogenih bakterija. Kroz t. dana nakon testiranja koncentracije bakterija određuje se omjerom

.

Kada će jezero doći na jezeru minimalna koncentracija bakterija i mogu li plivati \u200b\u200bu njemu?

Definkrvanje doseže max ili min, kada je njen derivat nula.

,

Definiramo max ili min će biti nakon 6 dana. Da biste to učinili, uzmite drugi derivat.

Odgovor: Nakon 6 dana postojat će minimalna koncentracija bakterija.

Fokus ovog članka - logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritama, pokazati usvojenu oznaku, dajemo primjere logaritma i recimo o prirodnim i decimalnim logarima. Nakon toga razmislite o glavnom logaritamskom identitetu.

Navigacijsku stranicu.

Definicija logaritama

Koncept logaritama javlja se prilikom rješavanja problema u određenom smislu obrnutog obrnutog, kada je potrebno pronaći indikator stepena u skladu s vrijednošću stupnja i dobro poznate.

Ali dovoljno predgovora, vrijeme je da odgovorite na pitanje "Šta je logaritam? Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Logaritam broj B zasnovan, gdje je\u003e 0, a ≠ 1 i b\u003e 0 pokazatelj stupnjeva u kojem se broj A treba podići kako bi se dobilo b.

U ovoj fazi primjećujemo da bi izrazila riječ "logaritam" treba odmah nazvati rezultirajuće pitanje: "Koji je broj" i "na osnovu čega". Drugim riječima, samo logaritam kao što su bili, a iz nekog razloga postoji samo logaritam brojeva.

Odmah uvesti oznaka logaritama: Logaritam broja B zasnovana na A.-a zasnovan je da se označava kao log A B. Logaritam broja B na temelju e i logaritam zasnovane na bazi 10 ima svoje posebne oznake LNB-a i LGB-a, odnosno, ne log e b, ali LNB, a ne prijava 10 B i ne.

Sada možete dati :.
I zapisi Nema smisla, jer je u prvom od njih, pod znakom logaritama negativan broj, u drugom - negativnim brojem u bazi, a u trećem - i negativnom broju pod znakom logaritama i jedan u bazi.

Sad recimo O. logarovmov Pravila za čitanje. Log A b snimanje se čita kao "logaritm b na osnovu". Na primjer, dnevnik 2 3 logarita je tri na bazi 2, a logaritam dva cijela tri trećine na osnovnom kvadratnom korijenu od pet. Logaritam zasnovan na e-zvani prirodni logaritamA snimanje LNB-a čita se kao "prirodni logaritam B". Na primjer, LN7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo čitati kao prirodni logaritam PI. Logaritam na bazi 10 ima i posebno ime - decimalni logaritamA LGB zapis se čita kao "decimalni logaritam B". Na primjer, LG1 je jedinicu za logaritam decimalne logaritam, a LG2,75 je decimalni logaritam od dvije cijele sedamdeset i pet stotina.

Vrijedno je odvojeno na uvjetima A\u003e 0, A ≠ 1 i B\u003e 0, pod kojim se daje definicija logaritama. Objasnimo odakle dolaze ta ograničenja. Učinite da će nam pomoći u ravnopravnosti vrsta nazvanih, koja direktno slijedi iz gornje definicije logaritama.

Krenimo sa ≠ 1. Budući da je jedinica u bilo kojem stepenu jednak jednoj, jednakost može biti važeća samo na B \u003d 1, ali dnevnik 1 1 može biti važeći broj. Da biste izbjegli ovaj višežirani i prihvaćen je ≠ 1.

Opravdajmo ekspedencija stanja a\u003e 0. Na a \u003d 0, po definiciji logaritama, imali bismo jednakost koja je moguća samo na b \u003d 0. Ali onda se prijavite 0 0 može biti bilo koji različit broj različit od nule, jer je nula u bilo kojem ne-nultu diplomu nula. Izbjegavajte ovaj višenirani omogućava stanje a ≠ 0. I sa A.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Konačno, stanje B\u003e 0 slijedi od nejednakosti A\u003e 0, od tada, a vrijednost diplome s pozitivnim bazom A uvijek je pozitivan.

U zaključku ove stavke, recimo da izražena definicija logaritama omogućava vam da odmah odredite vrijednost logaritama kada je broj pod logaritamskom znakom neki stupanj temelja. Zaista, definicija logaritama omogućava vam da potvrdite da ako je b \u003d a p, tada logaritam broja B za bazu A jednak je str. Odnosno, zapisnik za jednakost A P \u003d P je važeći. Na primjer, znamo da 2 3 \u003d 8, a zatim 2 8 \u003d 3. O tome ćemo detaljnije razgovarati u članku.

Reci iz svoje definicije. I tako logaritam brojevi b. Na osnovu aliodređeno kao pokazatelj stepena u kojem bi se trebalo izdati broj sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:Da biste dobili broj b. (Logaritam postoji samo u pozitivnim brojevima).

Iz ove formulacije slijedi taj izračun x \u003d log a bekvivalentno rješavanju jednadžbe a x \u003d b. Na primjer, log 2 8 \u003d 3jer 8 = 2 3 . Riječ logaritama omogućava vam da opravdate da ako b \u003d a sazatim logaritam brojevi b. Na osnovu sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: Gavran od. Također je jasno da je tema Logarithminga usko povezana s temom broja.

S logaritmima, kao i sa bilo kojim brojevima, može se izvesti dodatne operacije, oduzimanje i transformirati na svaki način. Ali zbog činjenice da logaritmi nisu u potpunosti obični brojevi, evo njihovih posebnih pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Dodavanje i oduzimanje logaritma.

Uzmite dva logaritama s istim bazama: prijavite se X. i log A Y.. Tada je moguće omogućiti obavljanje dodataka i operacija oduzimanja:

log A X + LOG A Y \u003d Log A (X · Y);

log A X - Log A Y \u003d Log A (X: Y).

dnevnik A.(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x K.) = prijavite se X. 1 + prijavite se X. 2 + prijavite se X. 3 + ... + prijavite se x k.

Od Theorem logaritam su privatnemožete dobiti još jednu nekretninu logaritama. Dobro je poznato taj dnevnik SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:1 \u003d 0, dakle,

dnevnik. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: 1 / B.\u003d Dnevnik. SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:1 - Dnevnik. A B.\u003d - zapisnik. A B..

I zbog toga se odvija jednakost:

log A 1 / B \u003d - Log a b.

Logaritami dva međusobno obrnuta brojevagotovo će se baza razlikovati jedan od drugog isključivo poznatog. Dakle:

Log 3 9 \u003d - Log 3 1/9; Log 5 1/125 \u003d -Log 5 125.

Započnimo od S. svojstva Logaritamm jedinice. Njegova formulacija je sljedeća: Logaritamska jedinica je nula, odnosno, prijavite se 1 \u003d 0 Za bilo koji a\u003e 0, a ≠ 1. Dokaz ne uzrokuje poteškoće: jer 0 \u003d 1 za bilo koji a, zadovoljavajući uvjete navedene iznad A\u003e 0 i A 1, zatim proviviranoj evidenciji A 1 \u003d 0 odmah slijedi iz definicije logaritama.

Dajemo primjere primjene razmatranih svojstava: log 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 i.

Idite na sljedeću nekretninu: logaritam broja jednakoj bazi jednak je jednoj, ja, prijavite se A \u003d 1 Na a\u003e 0, a ≠ 1. Zaista, od 1 \u003d a za bilo koji a, zatim po definiciji Logarithm Log A \u003d 1.

Primjeri korištenja ove nekretnine logaritma su Termini dnevnik 5 5 \u003d 1, dnevnik 5.6 5.6 i lne \u003d 1.

Na primjer, zapisnik 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 i .

Logaritam djeluju dva pozitivna brojeva X i Y jednaki su proizvodu logaritma ovih brojeva: log A (X · Y) \u003d Log A X + Log A y, A\u003e 0, ≠ 1. Dokazujemo vlasništvo logaritama rada. Na osnovu stepena prijavite A x + Log A y \u003d A Log A X · A Log A y, a od glavnog logaritamskog identiteta dnevnik A x \u003d x i log a y \u003d y, a zatim log A x · a log a y \u003d x · y. Dakle, dnevnik A x + log a y \u003d x · y, odakle definicija logaritama podrazumijeva dokazanu ravnopravnost.

Pokažimo primjere upotrebe logaritam osovina: Log 5 (2 · 3) \u003d Log 5 2 + Log 5 3 i .

Logaritam nekretnina rada može se generalizirati na proizvodu konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1, x 2, ..., x n as log A (X 1 · X 2 · ... · X N) \u003d log A X 1 + Log A x 2 + ... + Log A x N . Ova jednakost se dokazuje bez problema.

Na primjer, prirodni logaritamski radovi mogu se zamijeniti zbrojem tri prirodna logaritma brojeva 4, E i.

Logaritam privatnih dva pozitivna brojeva X i Y jednaki su razlici u logaritmima ovih brojeva. Svojstva logaritama privatnih odgovaraju formuli obrasca, gdje su a\u003e 0, a ≠ 1, x i y neki pozitivni brojevi. Valjanost ove formule dokazuje se kao logaritamska formula: od , Po definiciji logaritama.

Dajmo primjer korištenja ove nekretnine Logaritma: .

Idi na K. nekretnina diplome logaritama. Stupanj logaritama jednak je proizvodu stupnja logaritama modula baza ovog stepena. Napisamo ovu nekretninu logaritama u formuli: prijavite se B P \u003d P · Log A | B |gdje je\u003e 0, a ≠ 1, b i p takav broj koji stupanj b p ima smisla i b p\u003e 0.

Prvo dokazujemo ovu nekretninu za pozitivne b. Glavni logaritamski identitet omogućava nam da predstavimo broj B kao log a b, a zatim B P \u003d (log a b) p, a rezultirajući izraz po vrlini objekta je p · log a b. Dolazimo na jednakost B P \u003d A P · Log A B, iz kojeg, po definiciji Logaritam, zaključujemo da se dnevnik A b p \u003d p · log a b.

Ostaje da dokaže ovu nekretninu za negativne b. Ovdje primjećujemo da je izraz ABP-a s negativnim b ima smisla samo u ravnomjernoj psu (budući da vrijednost diplomska b treba biti veća od nule, u protivnom, u protivnom neće imati smisla), a u ovom slučaju BP \u003d | B | str. Onda b p \u003d | b | P \u003d (dnevnik A | B |) P \u003d A P · Log A | B |Gdje se prijavite B P \u003d P · Log A | B | .

Na primjer, i ln (-3) 4 \u003d 4 · ln | -3 | \u003d 4 · · ln3.

Iz prethodnog protoka nekretnina nekretnina logaritama korijena: Logaritam korijena N-stepena jednak je proizvodu frakcije 1 / n na logaritamu ekspresije hranjenja, odnosno, , gdje je a\u003e 0, a ≠ 1, n prirodni je broj, više jedinica, b\u003e 0.

Dokaz se zasniva na ravnopravnosti (vidi), što vrijedi za bilo koje pozitivne B i Logaritam nekretnine: .

Evo primjera korištenja ove nekretnine: .

Sada dokazati formula za prijelaz u novu bazu logaritama Pogled . Da biste to učinili, dovoljno je dokazati valjanost trupaca za jednakost C B \u003d Log a B · Log C a. Glavni logaritamski identitet omogućava nam broj B za predstavljanje kao log a b, a zatim log c b \u003d log c a b. Ostaje da iskoristite imovinu logaritama: log C A Log a B \u003d Log a b · Log C a. Stoga dokazala je jednakost dnevnika C B \u003d Log a b · dnevnik C A, a samim tim i formula za prijelaz na novu bazu logaritama se također dokazuje.

Pokažimo nekoliko primjera primjene ove imovine logaritma: i .

Tranzicijska formula u novu bazu omogućava vam prelazak na posao s logaritmima koji imaju "zgodnu" bazu. Na primjer, pomoću njega možete ići na prirodne ili decimalne logaritme kako biste mogli izračunati logaritamsku vrijednost duž lokacije Logarithm. Tranzicijska formula na novu bazu logaritama također omogućava u nekim slučajevima da pronađu vrijednost ovog logaritama, kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim osnovama.

Često se koristi poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritama na C \u003d B vrste . Može se vidjeti da se dnevnik i dnevnik B. A. Na primjer, .

Takođe se često koristi formulom što je prikladno prilikom pronalaska logaritma. Da biste potvrdili svoje reči, pokazujemo kako se izračunava vrednovanjem logaritama pogleda. Imati . Da dokaže formulu Dovoljno je iskoristiti prijelaz u novu bazu logaritama A: .

Ostaje da dokaže svojstva usporedbe logaritma.

To dokazujemo za bilo koji pozitivni brojevi B 1 i B 2, B 1 log a b 2, a na A\u003e 1 - dnevnik nejednakosti A B 1

Konačno, ostaje da dokaže posljednju od navedenih svojstava logaritma. Ograničavamo se na dokaz prvog prvog dijela, to jest, dokazujemo da ako 1\u003e 1, 2\u003e 1 i 1 1 Sajam dnevnik A 1 B\u003e Log A 2 b. Preostale izjave ove imovine logaritma dokazuju se sličnim principom.

Koristimo metodu iz suprotnog. Pretpostavimo da u 1\u003e 1, 2\u003e 1 i 1 1 fer log a 1 b≤log a 2 B. Prema svojstvima logaritma, ove nejednakosti mogu prepisati kao i U skladu s tim, slijedi taj dnevnik B a 1 ≤log b a 2 i dnevnik B A 1 ≥log b a 2, respektivno. Zatim, prema nekretninama stepena s istim bazama, jednakost B LOG B A 1 ≥B Dnevnik B A 2 i B L a 1 ≥b dnevnik B A 2, odnosno 1 ≥a 2. Pa smo došli do kontradikcije a 1

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. i al. Algebra i početna analiza: udžbenik za 10 - 11 klasa općih obrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., MORDKOVICH A.G. Matematika (dodatak za podnositelje zahtjeva za tehničke škole).