Prag perkolacije. Teorija perkolacije

Uvod

1. Teorija perkolacije

2.1 Procesi geliranja

Zaključak

Teorija perkolacije stara je više od pedeset godina. Svake godine na Zapadu se objavljuju stotine članaka posvećenih teorijskim pitanjima perkolacije i njenim primjenama.

Teorija perkolacije bavi se formiranjem vezanih objekata u neuređenim medijima. Sa tačke gledišta matematičara, teoriju perkolacije treba klasifikovati kao teoriju verovatnoće u grafovima. Sa stanovišta fizičara, perkolacija je geometrijski fazni prijelaz. Sa stanovišta programera, postoji široko polje za razvoj novih algoritama. Sa praktične tačke gledišta, to je jednostavan, ali moćan alat koji vam omogućava da jednim pristupom rešite širok spektar životnih problema.

Ovaj rad će biti posvećen glavnim odredbama teorije perkolacije. Razmotrit ću teorijske osnove perkolacije i dati primjere za objašnjenje fenomena perkolacije. Također će se raspravljati o glavnim primjenama teorije perkolacije.

Teorija perkolacije (perkolacije) je teorija koja opisuje nastanak beskonačnih povezanih struktura (klastera) koji se sastoje od pojedinačnih elemenata. Predstavljajući okruženje u obliku diskretne rešetke, formulišemo dva najjednostavnija tipa problema. Može se selektivno nasumično slikati (otvoriti) čvorove rešetke, uzimajući u obzir proporciju obojenih čvorova kao glavni nezavisni parametar i smatrajući da dva obojena čvora pripadaju istom klasteru ako se mogu povezati neprekidnim lancem susjednih čvorova u boji.

Pitanja kao što su prosječan broj čvorova u klasteru, distribucija veličine klastera, izgled beskonačnog klastera i udio obojenih čvorova uključenih u njega čine sadržaj problema čvorova. Također možete selektivno bojati (otvorene) veze između susjednih čvorova i pretpostaviti da čvorovi povezani lancima otvorenih veza pripadaju jednom klasteru. Zatim ista pitanja o prosječnom broju čvorova u klasteru, itd. čine sadržaj komunikacijskog problema. Kada su svi čvorovi (ili sve veze) zatvoreni, rešetka je model izolatora. Kada su svi otvoreni i struja može teći kroz provodne veze kroz otvorene čvorove, rešetka modelira metal. Pri nekoj kritičnoj vrijednosti će se dogoditi perkolacijski prijelaz, koji je geometrijski analog prijelaza metal-izolator.

Teorija perkolacije je važna upravo u blizini tranzicije. Daleko od tranzicije, dovoljno je aproksimirati efektivni medij, perkolacijski prijelaz je sličan faznom prijelazu drugog reda.

Fenomen perkolacije (ili protoka medija) je određen:

Okruženje u kojem se ovaj fenomen posmatra;

Spoljni izvor koji obezbeđuje protok u ovom okruženju;

Način na koji medij teče, što zavisi od vanjskog izvora.

Kao jednostavan primjer, možemo razmotriti model toka (na primjer, električnog sloma) u dvodimenzionalnoj kvadratnoj rešetki koja se sastoji od čvorova koji mogu biti provodni ili neprovodni. U početnom trenutku vremena svi čvorovi mreže su neprovodni. S vremenom, izvor zamjenjuje nevodljive čvorove provodljivim, a broj provodnih čvorova se postepeno povećava. U ovom slučaju, čvorovi se zamjenjuju nasumično, odnosno izbor bilo kojeg od čvorova za zamjenu je jednako vjerojatan za cijelu površinu rešetke.

Perkolacija je trenutak kada se pojavljuje stanje rešetke u kojem postoji barem jedan kontinuirani put kroz susjedne provodne čvorove od jednog do suprotnog ruba. Očigledno je da će s povećanjem broja provodnih čvorova doći do ovog trenutka prije nego se cijela površina rešetke sastoji isključivo od provodnih čvorova.

Označimo neprovodna i provodna stanja čvorova nulama i jedinicama. U dvodimenzionalnom slučaju, okruženje će odgovarati binarnoj matrici. Redoslijed zamjene nula matrice jedinicama će odgovarati izvoru curenja.

U početnom trenutku vremena, matrica se u potpunosti sastoji od neprovodnih elemenata:

klaster osetljiv na perkolacioni gelacioni gas

Kako se broj provodnih čvorova povećava, dolazi do kritične tačke u kojoj dolazi do perkolacije, kao što je prikazano u nastavku:

Može se vidjeti da se od lijeve do desne granice posljednje matrice nalazi lanac elemenata koji osigurava protok struje kroz provodne čvorove (jedinice) koji neprekidno slijede jedan za drugim.

Perkolacija se može uočiti kako u rešetkama, tako iu drugim geometrijskim strukturama, uključujući i kontinuirane, koje se sastoje od velikog broja sličnih elemenata ili kontinuiranih regija, koje mogu biti u jednom od dva stanja. Odgovarajući matematički modeli nazivaju se rešetkasti ili kontinuum.

Primjer perkolacije u kontinuiranom mediju je prolazak tekućine kroz voluminozni porozni uzorak (na primjer, vode kroz spužvu od materijala koji stvara pjenu), u kojem se mjehurići postepeno napuhavaju dok njihova veličina ne postane dovoljna da tekućina perkolirati s jedne ivice uzorka na drugu.

Induktivno, koncept perkolacije se prenosi na sve strukture ili materijale koji se nazivaju perkolacijski medij, za koje se mora odrediti vanjski izvor strujanja, način strujanja i elementi (fragmenti) od kojih mogu biti u različitim stanjima, jedno od koji (primarni) ne zadovoljava ovu metodu toka , a drugi zadovoljava. Metoda protoka podrazumijeva i određeni slijed pojavljivanja elemenata ili promjenu fragmenata medija u stanje potrebno za protok, koje obezbjeđuje izvor. Izvor postepeno prenosi elemente ili fragmente uzorka iz jednog stanja u drugo sve dok ne nastupi trenutak perkolacije.

Prag curenja

Skup elemenata kroz koji se odvija protok naziva se perkolacijski klaster. Budući da je po prirodi povezan nasumični graf, može imati različite oblike ovisno o specifičnoj implementaciji. Stoga je uobičajeno karakterizirati njegovu ukupnu veličinu. Prag perkolacije je broj elemenata perkolacionog klastera podijeljen s ukupnim brojem elemenata medija koji se razmatra.

Zbog slučajne prirode preklopnih stanja elemenata okruženja, u konačnom sistemu nema jasno definisanog praga (veličine kritičnog klastera), već postoji takozvani kritični opseg vrednosti, u koji se perkolacija padaju vrijednosti praga dobivene kao rezultat različitih nasumičnih implementacija. Kako se veličina sistema povećava, područje se sužava do tačke.

2. Opseg primjene teorije perkolacije

Primjene teorije perkolacije su široke i raznolike. Teško je imenovati oblast u kojoj se teorija perkolacije ne bi primenila. Formiranje gelova, skokovita provodljivost u poluvodičima, širenje epidemija, nuklearne reakcije, formiranje galaktičkih struktura, svojstva poroznih materijala - ovo nije potpuna lista različitih primjena teorije perkolacije. Nije moguće dati potpuni pregled radova na primjeni teorije perkolacije, pa ćemo se zadržati na nekima od njih.

2.1 Procesi geliranja

Iako su procesi geliranja bili prvi problemi u kojima je primijenjen perkolacijski pristup, ovo područje još uvijek nije iscrpljeno. Proces geliranja uključuje fuziju molekula. Kada se u sistemu pojave agregati koji se protežu kroz čitav sistem, kaže se da je došlo do sol-gel tranzicije. Obično se vjeruje da se sistem opisuje sa tri parametra - koncentracijom molekula, vjerovatnoćom stvaranja veza između molekula i temperaturom. Posljednji parametar utječe na vjerovatnoću formiranja veza. Stoga se proces geliranja može smatrati mješovitim problemom teorije perkolacije. Zanimljivo je da se ovaj pristup koristi i za opisivanje magnetnih sistema. Postoji zanimljiv smjer za razvoj ovog pristupa. Problem geliranja proteina albumina važan je za medicinsku dijagnostiku.

Postoji zanimljiv smjer za razvoj ovog pristupa. Problem geliranja proteina albumina važan je za medicinsku dijagnostiku. Poznato je da proteinski molekuli imaju izdužen oblik. Kada rastvor proteina pređe u gel fazu, značajan uticaj ima ne samo temperatura, već i prisustvo nečistoća u rastvoru ili na površini samog proteina. Dakle, u mješovitom problemu teorije perkolacije potrebno je dodatno uzeti u obzir anizotropiju molekula. Ovo u određenom smislu približava problem koji se razmatra problemu „igala“ i Nakamurinom problemu. Određivanje praga perkolacije u mješovitom problemu za anizotropne objekte novi je problem u teoriji perkolacije. Iako je za potrebe medicinske dijagnostike dovoljno riješiti problem za objekte iste vrste, zanimljivo je proučavanje problema za slučajeve objekata različite anizotropije, pa čak i oblika.

2.2 Primjena teorije perkolacije za opisivanje magnetnih faznih prijelaza

Jedna od karakteristika spojeva zasnovanih na i je prijelaz iz antiferomagnetnog u paramagnetno stanje čak i uz neznatno odstupanje od stehiometrije. Do nestanka dalekometnog reda dolazi kada postoji višak koncentracije rupa u ravnini, dok je istovremeno antiferomagnetski poredak kratkog dometa očuvan u širokom rasponu koncentracija x do supravodljive faze.

Na kvalitativnom nivou, fenomen se objašnjava na sljedeći način. Kada se dopira, pojavljuju se rupe na atomima kisika, što dovodi do pojave konkurentske feromagnetne interakcije između spinova i potiskivanja antiferomagnetizma. Oštar pad Neelove temperature također je olakšan pomicanjem rupe, što dovodi do uništenja antiferomagnetskog reda.

S druge strane, kvantitativni rezultati se oštro ne slažu s vrijednostima praga perkolacije za kvadratnu rešetku, unutar koje je moguće opisati fazni prijelaz u izostrukturnim materijalima. Postavlja se zadatak modificiranja teorije perkolacije na način da se opiše fazni prijelaz u sloju unutar okvira.

Pri opisu sloja pretpostavlja se da za svaki atom bakra postoji jedna lokalizirana rupa, odnosno pretpostavlja se da su svi atomi bakra magnetni. Međutim, rezultati proračuna opsega i klastera pokazuju da su u nedopiranom stanju brojevi zauzimanja bakra 0,5 - 0,6, a za kiseonik - 0,1-0,2. Na kvalitativnom nivou, ovaj rezultat se može lako razumjeti analizom rezultata tačne dijagonalizacije Hamiltonijana za klaster s periodičnim graničnim uvjetima. Osnovno stanje klastera je superpozicija antiferomagnetnog stanja i stanja bez antiferomagnetskog uređenja na atomima bakra.

Možemo pretpostaviti da otprilike polovina atoma bakra ima jednu rupu, a preostali atomi nemaju nijednu ili dvije rupe. Alternativno tumačenje je da rupa troši samo polovinu svog vremena na atome bakra. Antiferomagnetno uređenje nastaje kada svaki najbliži atom bakra ima po jednu rupu. Osim toga, potrebno je da na atomu kisika između ovih atoma bakra ili nema rupe ili dvije rupe kako bi se isključila pojava feromagnetne interakcije. U ovom slučaju, nije važno da li ćemo uzeti u obzir trenutnu konfiguraciju rupa ili jednu ili komponente valne funkcije osnovnog stanja.

Koristeći terminologiju teorije perkolacije, nazvat ćemo atome bakra s jednom rupom neblokiranim mjestima, a atome kisika s jednom rupom prekinutim vezama. Prijelaz iz feromagnetskog reda dugog dometa u feromagnetni poredak kratkog dometa u ovom slučaju će odgovarati pragu perkolacije, odnosno pojavi skupljajućeg klastera - beskonačnog lanca neblokiranih čvorova povezanih neprekinutim vezama.

Najmanje dvije tačke oštro razlikuju problem od standardne teorije perkolacije: prvo, standardna teorija pretpostavlja prisustvo atoma dvije vrste, magnetnih i nemagnetnih, dok imamo samo atome jedne vrste (bakar), svojstva koje se mijenjaju ovisno o lokaciji rupe; drugo, standardna teorija smatra da su dva čvora povezana ako oba nisu blokirana (magnetski) - problem čvorova, ili, ako veza između njih nije prekinuta - problem veza; u našem slučaju, oba čvora su blokirana i veze su prekinute.

Dakle, problem se svodi na pronalaženje praga perkolacije na kvadratnoj rešetki kako bi se kombinirao problem čvorova i veza.

2.3 Primjena teorije perkolacije na proučavanje senzora osjetljivih na plin s perkolacijskom strukturom

Poslednjih godina, sol-gel procesi koji nisu termodinamički ravnotežni našli su široku primenu u nanotehnologiji. U svim fazama sol-gel procesa javljaju se različite reakcije koje utiču na konačni sastav i strukturu kserogela. U fazi sinteze i sazrevanja sola nastaju fraktalni agregati čija evolucija zavisi od sastava prekursora, njihove koncentracije, redosleda mešanja, pH vrednosti medija, temperature i vremena reakcije, sastava atmosfere itd. sol-gel tehnologije u mikroelektronici po pravilu su slojevi koji podliježu zahtjevima glatkoće, kontinuiteta i ujednačenosti sastava. Za senzore osjetljive na plin nove generacije, tehnološke metode za proizvodnju poroznih nanokompozitnih slojeva s kontroliranim i reproducibilnim veličinama pora su od većeg interesa. U ovom slučaju, nanokompoziti moraju sadržavati fazu za poboljšanje adhezije i jednu ili više faza poluvodičkih metalnih oksida n-tipa električne provodljivosti kako bi se osigurala osjetljivost na plin. Princip rada poluvodičkih senzora plina baziranih na perkolacijskim strukturama slojeva metalnih oksida (na primjer, kalaj dioksida) je promjena električnih svojstava tokom adsorpcije nabijenih oblika kisika i desorpcije proizvoda njihovih reakcija s molekulima redukujućih plinova. . Iz koncepata fizike poluvodiča slijedi da ako su poprečne dimenzije provodnih grana perkolacijskih nanokompozita srazmjerne vrijednosti karakteristične dužine Debyeovog skriniranja, osjetljivost na plin elektronskih senzora će se povećati za nekoliko redova veličine. Međutim, eksperimentalni materijal koji su akumulirali autori ukazuje na složeniju prirodu pojave efekta naglog povećanja osjetljivosti na plin. Do oštrog porasta osjetljivosti na plin može doći na mrežnim strukturama s geometrijskim dimenzijama grana nekoliko puta većim od dužine ekranizacije i ovisi o uvjetima formiranja fraktala.

Grane mrežnih struktura su matrica silicijum dioksida (ili mešana matrica kalaja i silicijum dioksida) sa uključenim kristalitima kositrnog dioksida (što je potvrđeno rezultatima modeliranja), formirajući vodljivi kontrakcijski perkolacijski klaster sa sadržajem SnO2 više od 50%. Dakle, povećanje vrijednosti praga perkolacije može se kvalitativno objasniti zbog utroška dijela sadržaja SnO2 u mješovitu neprovodnu fazu. Međutim, čini se da je priroda formiranja mrežnih struktura složenija. Brojni eksperimenti analize strukture slojeva pomoću AFM metoda blizu očekivane vrijednosti praga perkolacionog prijelaza nisu omogućili dobivanje pouzdanih dokumentarnih dokaza o evoluciji sistema sa formiranjem velikih pora prema zakonima modela perkolacije. Drugim rečima, modeli rasta fraktalnih agregata u sistemu SnO2 - SnO2 kvalitativno opisuju samo početne faze evolucije rastvora.

U strukturama sa hijerarhijom pora javljaju se složeni procesi adsorpcije-desorpcije, ponovnog punjenja površinskih stanja, relaksacionih fenomena na granicama zrna i pora, katalize na površini slojeva iu kontaktnoj površini itd. Jednostavne modelske reprezentacije unutar okvira Langmuir i Brunauer-Emmett-Teller (BET) modela) su primjenjivi samo za razumijevanje preovlađujuće prosječne uloge određene pojave. Da bi se produbilo proučavanje fizičkih karakteristika mehanizama osjetljivosti na plin, bilo je potrebno stvoriti posebnu laboratorijsku instalaciju koja bi omogućila snimanje vremenskih ovisnosti promjena analitičkog signala na različitim temperaturama u prisustvu i odsustvu redukcijskih plinova. datu koncentraciju. Kreiranje eksperimentalne postavke omogućilo je automatsko uzimanje i obradu 120 mjerenja u minuti u opsegu radne temperature od 20 - 400 ºS.

Za strukture sa mrežnom perkolacijskom strukturom, identificirani su novi efekti koji su uočeni kada su porozne nanostrukture na bazi metalnih oksida bile izložene atmosferi redukcijskih plinova.

Iz predloženog modela struktura osjetljivih na plin sa hijerarhijom pora proizlazi da je u cilju povećanja osjetljivosti slojeva adsorpcionih poluvodičkih senzora u osnovi moguće osigurati relativno visok otpor uzorka na zraku i relativno nizak otpor. filmskih nanostruktura u prisustvu gasa reagensa. Praktično tehničko rješenje može se implementirati stvaranjem sistema pora nano veličine sa visokom gustinom distribucije u zrnima, obezbjeđujući efikasnu modulaciju strujnih procesa protoka u strukturama perkolacijske mreže. To je postignuto ciljanim uvođenjem indijum oksida u sistem na bazi kositra i silicijum dioksida.

Zaključak

Teorija perkolacije je prilično nov i nedovoljno proučavan fenomen. Svake godine se ostvaruju otkrića u oblasti teorije perkolacije, pišu se algoritmi i objavljuju radovi.

Teorija perkolacije privlači pažnju različitih stručnjaka iz više razloga:

Jednostavne i elegantne formulacije problema u teoriji perkolacije su kombinovane sa teškoćom njihovog rešavanja;

Rješavanje problema perkolacije zahtijeva kombinovanje novih ideja iz geometrije, analize i diskretne matematike;

Fizička intuicija može biti vrlo plodna u rješavanju problema perkolacije;

Tehnika razvijena za teoriju perkolacije ima brojne primjene u drugim problemima slučajnih procesa;

Teorija perkolacije daje ključ za razumijevanje drugih fizičkih procesa.

Bibliografija

Tarasevich Yu.Yu. Perkolacija: teorija, aplikacije, algoritmi. - M.: URSS, 2002.
Shabalin V.N., Shatokhina S.N. Morfologija ljudskih bioloških tečnosti. - M.: Hrizostom, 2001. - 340 str.: ilustr.
Plakida N. M. Visokotemperaturni superprovodnici. - M.: Međunarodni obrazovni program, 1996.
Fizička svojstva visokotemperaturnih supravodiča/ Pod. Ed. D. M. Ginsberg - M.: Mir, 1990.
Prosandeev S.A., Tarasevich Yu.Yu. Utjecaj korelacijskih efekata na strukturu pojasa, niskoenergetske elektronske pobude i funkcije odziva u slojevitim oksidima bakra. // UFZh 36(3), 434-440 (1991).
Elsin V.F., Kashurnikov V.A., Openov L.A. Podlivaev A.I. Energija vezivanja elektrona ili rupa u Cu - O klasterima: tačna dijagonalizacija Emery Hamiltonijana. // JETP 99(1), 237-248 (1991).
Moshnikov V.A. Mrežaste nanokomponente osjetljive na plin na bazi kositra i silicijum dioksida. - Rjazanj, "Bilten RGGTU", - 2007.

Uvod

Teorija perkolacije stara je više od pedeset godina. Svake godine na Zapadu se objavljuju stotine članaka posvećenih teorijskim pitanjima perkolacije i njenim primjenama.

Teorija perkolacije

Teorija perkolacije je važna upravo u blizini tranzicije. Daleko od tranzicije, dovoljno je aproksimirati efektivni medij, perkolacijski prijelaz je sličan faznom prijelazu drugog reda.

Fenomen perkolacije (ili protoka medija) je određen:

Okruženje u kojem se ovaj fenomen posmatra;

Spoljni izvor koji obezbeđuje protok u ovom okruženju;

Način na koji medij teče, što zavisi od vanjskog izvora.

U početnom trenutku vremena, matrica se u potpunosti sastoji od neprovodnih elemenata:

klaster osetljiv na perkolacioni gelacioni gas

Kako se broj provodnih čvorova povećava, dolazi do kritične tačke u kojoj dolazi do perkolacije, kao što je prikazano u nastavku:

Može se vidjeti da se od lijeve do desne granice posljednje matrice nalazi lanac elemenata koji osigurava protok struje kroz provodne čvorove (jedinice) koji neprekidno slijede jedan za drugim.

Prag curenja

Teorija perkolacije (perkolacije) je najopštiji pristup opisivanju transportnih procesa u neuređenim sistemima. Uz njegovu pomoć, razmatraju se vjerojatnosti formiranja klastera od čestica koje se dodiruju, te vrijednosti pragova perkolacije i svojstva kompoziti (električni, mehanički, termički, itd.).

Protok električne struje u kompozitnim materijalima je najadekvatniji problemu perkolacije formulisanom za kontinuirani medij. Prema ovom problemu, svaka tačka u prostoru sa vjerovatnoćom str=x provodljivost odgovorig = g N i sa vjerovatnoćom (1- str) – provodljivostg = g D, gde g N – električna provodljivost punila,g D – električna provodljivost dielektrika. Prag curenja u ovom slučaju jednak je minimalnom udjelu prostora xC zauzimaju provodne regije, u kojima sistem još uvijek provodi. Dakle, na kritičnoj vrijednosti vjerovatnoće str=x C, u sistemu se primećuje prelaz metal-izolator. Na malom str svi provodni elementi su sadržani u klasterima konačne veličine, izolovani jedan od drugog. Kako se povećavate str prosječna veličina klastera se također povećava sa str=x C se pojavljuje po prvi put u sistemubeskonačni klaster . I konačno, na visokom nivou str Neprovodne oblasti će biti izolovane jedna od druge.

Glavni rezultat teorije perkolacije je postepena priroda ponašanja koncentracije provodljivosti u kritičnom području:

Gdje x– volumna koncentracija provodne faze sa provodljivošćug N ; x C– kritična koncentracija (prag perkolacije);g D – provodljivost dielektrične faze. Zavisnost (1)-(3) prikazana je na slici 1.

Rice. 1. Ovisnost provodljivosti kompozitnog materijala o koncentraciji punila

Odnos između eksponenata (kritični indeksi):

Q=t(1/S-1)

Verovatno jedini tačan rezultat dobijen u teoriji heterogenih sistema je rezultat za dvodimenzionalni dvofazni sistem metal-izolator sa takvom strukturom da kada x D = x N = 0,5 zamjena metala dielektrikom ne mijenja statistički strukturu. Ovo nam omogućava da odredimo kritični indeks S za dvodimenzionalne sisteme: S 2 =0,5. Tada iz (1.17) q 2 =t 2 =1.3. Za trodimenzionalne sisteme: S 3 =0,62, q 3 =1, t 3 =1,6.

Jedan od najvažnijih parametara teorije perkolacije je prag perkolacije x S. Ovaj parametar je osjetljiviji na promjene u strukturi od kritičnih indeksa. Za dvodimenzionalne sisteme varira unutar 0,30-0,50 sa teorijskim prosjekom x C=0,45, a za trodimenzionalne – unutar 0,05-0,60 s x C=0,15. Ove varijacije su povezane s raznolikošću vrsta struktura kompozitnih materijala, budući da je u stvarnim sistemima kritična koncentracija u velikoj mjeri određena tehnološkim režimom za dobivanje smjese: prirodom disperzije praha, metodom raspršivanja, načinima presovanja, toplinskom obradom. , itd. Stoga je najpoželjnije odrediti prag perkolacije eksperimentalno koristeći ovisnosti koncentracijeg (x), i ne smatra se teorijskim parametrom.

Prag perkolacije je određen prirodom raspodjele punila u matrici, oblikom čestica punila i tipom matrice.

Za strukturiranekompozitnih materijala priroda električne provodljivosti i vrsta zavisnostig (x) se kvalitativno ne razlikuju od sličnih zavisnosti za statističke sisteme, međutim, prag perkolacije se pomera prema nižim koncentracijama. Strukturiranje može biti uzrokovano interakcijom matrice i punila, ili se može izvesti na prisilan način, na primjer, pod utjecajem električnih ili magnetskih polja.

Također prag curenja zavisi od oblika čestica punila. Za izdužene čestice i čestice u obliku pahuljice, prag perkolacije je niži nego za sferne čestice. To je zbog činjenice da značajan opseg električno vodljivih presjeka, određen geometrijom čestica, povećava vjerojatnost stvaranja pouzdanog kontakta i doprinosi formiranju beskonačnog klastera pri relativno niskim stupnjevima punjenja kompozita.

Za vlakna koja imaju isti odnos dužine i prečnika, ali su uvedena u različite polimere, dobijene su različite vrednosti x C.

Unatoč značajnom napretku, teorija perkolacije nije bila široko korištena za trokomponentne i složenijekompozitnih materijala .

Također je moguće kombinirati teoriju perkolacije i druge metode proračuna

Eromagnetski poredak je očuvan u širokom rasponu koncentracija x do supravodljive faze.

Dakle, problem se svodi na pronalaženje praga perkolacije na kvadratnoj rešetki kako bi se kombinirao problem čvorova i veza.

3 Primjena teorije perkolacije na proučavanje senzora osjetljivih na plin sa perkolacijskom strukturom

Za strukture sa mrežnom perkolacijskom strukturom, identificirani su novi efekti koji su uočeni kada su porozne nanostrukture na bazi metalnih oksida bile izložene atmosferi redukcijskih plinova.

Zaključak

Teorija perkolacije je prilično nov i nedovoljno proučavan fenomen. Svake godine se ostvaruju otkrića u oblasti teorije perkolacije, pišu se algoritmi i objavljuju radovi.

Teorija perkolacije privlači pažnju različitih stručnjaka iz više razloga:

Jednostavne i elegantne formulacije problema u teoriji perkolacije su kombinovane sa teškoćom njihovog rešavanja;

Rješavanje problema perkolacije zahtijeva kombinovanje novih ideja iz geometrije, analize i diskretne matematike;

Fizička intuicija može biti vrlo plodna u rješavanju problema perkolacije;

Tehnika razvijena za teoriju perkolacije ima brojne primjene u drugim problemima slučajnih procesa;

Teorija perkolacije daje ključ za razumijevanje drugih fizičkih procesa.

Bibliografija

Tarasevich Yu.Yu. Perkolacija: teorija, aplikacije, algoritmi. - M.: URSS, 2002.

Shabalin V.N., Shatokhina S.N. Morfologija ljudskih bioloških tečnosti. - M.: Hrizostom, 2001. - 340 str.: ilustr.

Plakida N. M. Visokotemperaturni superprovodnici. - M.: Međunarodni obrazovni program, 1996.

Fizička svojstva visokotemperaturnih supravodiča/ Pod. Ed. D. M. Ginsberg - M.: Mir, 1990.

Prosandeev S.A., Tarasevich Yu.Yu. Utjecaj korelacijskih efekata na strukturu pojasa, niskoenergetske elektronske pobude i funkcije odziva u slojevitim oksidima bakra. // UFZh 36(3), 434-440 (1991).

Elsin V.F., Kashurnikov V.A., Openov L.A. Podlivaev A.I. Energija vezivanja elektrona ili rupa u Cu - O klasterima: tačna dijagonalizacija Emery Hamiltonijana. // JETP 99(1), 237-248 (1991).

Moshnikov V.A. Mrežaste nanokomponente osjetljive na plin na bazi kositra i silicijum dioksida. - Rjazanj, "Bilten RGGTU", - 2007.

TEORIJA PERCEPCIJE(teorija perkolacije, od latinskog percolatio - naprezanje; teorija curenja) - matematika. teorija koja se koristi za proučavanje procesa koji se odvijaju u nehomogenim medijima sa slučajnim svojstvima, ali fiksiranim u prostoru i nepromijenjenim u vremenu. Nastao je 1957. godine kao rezultat rada J. Hammersleya. U P. t. se pravi razlika između rešetkastih problema P. t., problema kontinuuma i tzv. zadaci na slučajnim čvorovima. Problemi sa rešetkama se, pak, dijele na tzv. zadaci čvorova i problemi veza između njih.

Komunikacijski zadaci. Neka su veze ivice koje povezuju susjedne čvorove beskonačne periodike. rešetke (sl., o). Pretpostavlja se da veze između čvorova mogu biti dva tipa: netaknute ili prekinute (blokirane). Raspodjela netaknutih i blokiranih veza u rešetki je nasumična; vjerovatnoća da je data veza netaknuta je jednaka X. Pretpostavlja se da to ne zavisi od stanja susednih veza. Dva čvora rešetke smatraju se povezanim jedan s drugim ako su povezani lancem cijelih veza. Poziva se skup čvorova povezanih jedan s drugim. klaster. Pri malim vrijednostima x cijele veze su po pravilu udaljene jedna od druge i dominiraju klasteri malog broja čvorova, ali sa povećanjem x veličine klastera se naglo povećavaju. Prag ( x c) pozvao ovo značenje X, u kojem se po prvi put pojavljuje klaster beskonačnog broja čvorova. P.t. vam omogućava da izračunate granične vrijednosti x s, a također proučava topologiju velikih klastera u blizini praga (vidi. Fraktali C Uz pomoć P. t. moguće je opisati električnu provodljivost sistema koji se sastoji od provodnih i neprovodnih elemenata. Na primjer, ako pretpostavimo da čitave veze provode električnu energiju. struju, ali blokirani ne provode, onda ispada da kada X< х с beat električna provodljivost rešetke je O, a at x > x c razlikuje se od 0.

Protok kroz mrežu: A- problem povezivanja (nema putanje protoka kroz navedeni blok); b - zadatak čvorova (prikazan put toka).

Problemi s rešetkastim čvorovima razlikuju se od problema s vezom po tome što blokirane veze nisu raspoređene pojedinačno na rešetki - sve veze koje izlaze iz bloka su blokirane. čvor (sl. b). Čvorovi blokirani na ovaj način su nasumično raspoređeni po rešetki, sa vjerovatnoćom 1 - X. Dokazano je da je prag x s jer problem veza na bilo kojoj rešetki ne prelazi prag x s za problem čvorova na istoj rešetki. Za određene ravne rešetke pronađene su tačne vrijednosti x s. Na primjer, za probleme povezivanja na trokutnim i heksagonalnim rešetkama x s= 2sin(p/18) i x c = 1 - 2sin(p/18). Za problem čvorova na kvadratnoj rešetki x c = 0.5. Za trodimenzionalne rešetke vrijednosti x s pronađeno približno pomoću kompjuterske simulacije (tabela).

Pragovi protoka za različite mreže

Tip rešetke	x s za problem veze	x s Za zadatak čvora
Ravne rešetke
hexagonal
kvadrat
trouglasti
Trodimenzionalne rešetke
tip dijamanta
jednostavna kubična
tjelesno centriran kubik
lice centriran kubik

Kontinualni zadaci. U ovom slučaju, umjesto da teku kroz veze i čvorove, oni se smatraju u neuređenom kontinuiranom mediju. Kontinuirana slučajna funkcija koordinata je specificirana kroz cijeli prostor. Popravimo određenu vrijednost funkcije i nazovimo regije prostora u kojima su crne. Pri dovoljno malim vrijednostima, ova područja su rijetka i, po pravilu, izolirana jedna od druge, a pri dovoljno velikim vrijednostima zauzimaju gotovo cijeli prostor. Morate pronaći tzv. nivo protoka - min. što znači kada crne oblasti formiraju povezani lavirint puteva koji idu u beskonačnu udaljenost. U trodimenzionalnom slučaju, tačno rješenje za problem kontinuuma još nije pronađeno. Međutim, kompjuterska simulacija pokazuje da je za Gaussove slučajne funkcije u trodimenzionalnom prostoru udio volumena koji zauzimaju crne površine otprilike jednak 0,16. U dvodimenzionalnom slučaju, udio površine koju zauzimaju crne regije na je tačno 0,5.

Zadaci na slučajnim čvorovima. Neka čvorovi ne formiraju pravilnu rešetku, već nasumično raspoređeni u prostoru. Dva čvora se smatraju povezanim ako rastojanje između njih ne prelazi fiksnu vrijednost.Malo u poređenju sa prosječnom. udaljenost između čvorova, tada su klasteri koji sadrže 2 ili više čvorova povezanih jedan s drugim rijetki, ali broj takvih klastera naglo raste s povećanjem G i sa malo kritičnosti. značenje nastaje beskonačan klaster. Kompjuterska simulacija pokazuje da je u trodimenzionalnom slučaju 0,86, gdje je N- koncentracija čvorova. Problemi na slučajnim čvorovima i njihovim različitim tipovima. generalizacije igraju važnu ulogu u teoriji skokovita provodljivost.

Efekti koje je opisao P. t. odnose se na kritični događaji, koju karakteriše kritičnost tačka, u blizini reza sistem se raspada na blokove i veličinu delova. blokova se neograničeno povećava kada se približi kritičnom. tačka. Pojava beskonačnog klastera u P.T. problemima je na mnogo načina slična fazni prelaz druge vrste. Za matematiku. uvode se opisi ovih pojava parametar naloga,Krim u slučaju problema s rešetkama je udio P(x) čvorovi rešetke koji pripadaju beskonačnom klasteru. Blizu praga funkcije P(x) ima oblik

gdje je - numerički koeficijent, b - kritični. indeks parametara narudžbe. Slična formula opisuje ponašanje ritma. električna provodljivost s(x) blizu praga protoka:

Gdje U 2- numerički koeficijent, s(1) - spec. električna provodljivost na c= 1, f - kritično. indeks električne provodljivosti. Prostorne dimenzije klastera karakteriziraju radijusi korelacije R(x), prijavljivanje na

Evo B 3 - numerički koeficijent, A- konstanta rešetke, v - kritična. indeks radijusa korelacije.

Pragovi pojave značajno zavise od vrste problema P. t., ali su kritični. indeksi su isti za različite problema i određuju ih samo dimenzija prostora d(svestranost). Koncepti pozajmljeni iz teorije faznih prelaza 2. reda omogućavaju dobijanje odnosa koji povezuju različite kritične faktore. indeksi. Aproksimacija samokonzistentno polje primjenjivo na probleme s P. t d> 6. U ovoj aproksimaciji, kritično. indeksi ne zavise od d; b = 1, = 1/2.

Rezultati P.T.-a se koriste u proučavanju elektronskih svojstava poremećeni sistemi, faza metalni prelazi - dielektrik, feromagnetizamčvrsti rastvori, kinetički. pojave u visoko heterogenim medijima, fizičko-hemijske. procesi u čvrstim materijama itd.

Lit.: Mott N., Davis E., Elektronski procesi V nekristalne supstance, trans. s engleskog, 2. izdanje, tom 1-2, M., 1982; Shklovsky B.I., Efros A.L., Elektronska svojstva dopiranih materijala, M., 1979; 3 i y-man D. M., Modeli nereda, trans. sa engleskog, M., 1982; Efros A.L., Fizika i geometrija nereda, M., 1982; Sokolov I.M., Dimenzije i drugi geometrijski kritični eksponenti u teoriji strujanja, "UFN", 1986, v. 150 str. 221. A. L. Efros.