Konstrukcija međusobno okomitih pravih i ravni je važna grafička operacija u rješavanju metričkih problema.

Konstrukcija okomice na pravu liniju ili ravan zasniva se na svojstvu pravog ugla, koje se formuliše na sledeći način: ako je jedna od stranica pravog ugla paralelna sa ravninom projekcije, a druga nije okomita na onda se ugao projektuje u punoj veličini na ovu ravan.

Slika 28

Strana BC pravog ugla ABC, prikazana na slici 28, paralelna je sa ravninom P 1. Stoga će projekcija ugla ABC na ovu ravan predstavljati pravi ugao A 1 B 1 C 1 = 90.

Prava linija je okomita na ravan ako je okomita na dvije prave linije koje se seku u ovoj ravni. Prilikom konstruisanja okomice iz skupa pravih linija koje pripadaju ravni, biraju se prave linije nivoa - horizontalne i frontalne. U ovom slučaju, horizontalna projekcija okomice se izvodi okomito na horizontalu, a frontalna projekcija je okomita na prednju stranu. Primjer prikazan na slici 29 prikazuje konstrukciju okomite na ravan definiranu trouglom ABC iz tačke K. Da biste to učinili, prvo nacrtajte horizontalu i frontal u ravnini. Zatim iz frontalne projekcije tačke K povučemo okomicu na frontalnu projekciju fronte, a iz horizontalne projekcije tačke - okomitu na horizontalnu projekciju horizontale. Zatim konstruišemo tačku preseka ove okomice sa ravninom koristeći pomoćnu reznu ravninu Σ. Tražena tačka je F. Dakle, rezultujući segment KF je okomit na ravan ABC.

Slika 29

Slika 29 prikazuje konstrukciju okomite KF na ravan ABC.

Dvije ravni su okomite ako je prava linija koja leži u jednoj ravni okomita na dvije prave linije druge ravni koje se seku. Konstrukcija ravni okomite na ovu ravan ABC prikazana je na slici 30. Kroz tačku M povučena je prava linija MN, okomita na ravan ABC. Horizontalna projekcija ove prave je okomita na AC, jer je AC horizontalna, a frontalna projekcija je okomita na AB, jer je AB frontalna. Tada se kroz tačku M povlači proizvoljna prava linija EF. Dakle, ravan je okomita na ABC i data je sa dvije prave linije EF i MN koje se seku.

Slika 30

Ova metoda se koristi za određivanje prirodnih vrijednosti segmenata u općem položaju, kao i njihovih uglova nagiba prema ravnima projekcije. Da bi se na ovaj način odredila stvarna veličina segmenta, potrebno je popuniti pravokutni trokut na jednu od projekcija segmenta. Drugi krak će biti razlika u visinama ili dubinama krajnjih tačaka segmenta, a hipotenuza će biti prirodna vrijednost.

Razmotrimo primjer: Slika 31 prikazuje segment AB u općem položaju. Potrebno je odrediti njegovu punu veličinu i uglove nagiba prema frontalnoj i horizontalnoj ravni projekcije.

Nacrtajte okomicu na jedan od krajeva segmenta linije na horizontalnoj ravni. Na nju stavljamo visinsku razliku (ZA-ZB) krajeva segmenta i završavamo izgradnju pravokutnog trokuta. Njegova hipotenuza je prirodna vrijednost segmenta, a ugao između prirodne vrijednosti i projekcije segmenta je prirodna vrijednost ugla nagiba segmenta prema ravni P 1. Redoslijed konstrukcije na frontalnoj ravni je isti. Duž okomice nacrtajte razliku u dubinama krajeva segmenta (YA-YB). Rezultirajući ugao između prirodne vrijednosti segmenta i njegove frontalne projekcije je ugao nagiba segmenta prema ravni P2.

Slika 31

1. Formulirajte teoremu o svojstvu pravog ugla.

2. U kom slučaju je prava okomita na ravan?

3. Koliko pravih i koliko ravnina okomitih na datu ravan se može povući kroz tačku u prostoru?

4. Za šta se koristi metoda pravouglog trougla?

5. Kako koristiti ovu metodu za određivanje ugla nagiba segmenta u opštem položaju prema horizontalnoj ravni projekcija?

U okviru ove teme, morate biti u stanju da:

• 1. Postavite ravan okomitu na pravu liniju.
• 2. Postavite pravu liniju okomitu na ravan.

Prilikom rješavanja ovih međusobno povezanih problema važno je razumjeti kako projekcije okomice trebaju biti usmjerene u odnosu na projekcije ravnine. Da bismo ovo razumjeli, riješit ćemo probleme A i B.

Problem A

Stanje. Kroz tačku A, uzetu na pravoj rn, povući ravan okomitu na ovu pravu.

Rješenje. To je poznato ravan okomita na pravu liniju, sjedile su dvije ravne linije koje se nalaze u ovoj ravni, okomito na datu pravu liniju.

Stoga je u našem slučaju kroz tačku A dovoljno povući dvije prave, od kojih bi svaka bila okomita na m. Tada će ove prave u paru definirati željenu ravan.

Neka jedna od pravih linija koja definira ovu ravan bude horizontala. Njegova frontalna projekcija 1b će proći horizontalno (slika 4.7), a horizontalna projekcija h | - ispod direktno ugao do m 1 (na osnovu teoreme projekcije pravog ugla).

Druga prava linija koja definira željenu ravan bit će frontalna. EU horizontalna projekcija f | proći će horizontalno.

a frontalna projekcija f2 - jod pod pravim uglom na mi (zasnovano na istoj teoremi).

Rice. 4.7

Time je problem riješen. Analizirajući ga, možemo uočiti da je u odnosu na konstruisanu ravan (f x h), data prava m okomito. Iz ovoga slijedi važan praktični zaključak:

horizontalna projekcija okomice na ravninu treba da ide pod pravim uglom u odnosu na horizontalnu projekciju horizontale, a frontalna projekcija - pod pravim uglom na frontalnu projekciju fronta.

Problem B

Uslovi. Spustite okomicu iz tačke B na ravan DEF (sa definicijom njene vidljivosti ali u odnosu na ravan).

Rice. 4.8a - grafički uslovi problema

Rice. 4.86

Rice. 4.8c - određivanje osnove i prirodne veličine okomice

Rješenje. Prvo crtamo projekcije DEF i B (Sl.4.8a).

Počevši da rešavamo problem, biramo tri

karakteristične faze:

• 1. Ucrtavanje smjerova za okomite projekcije.
• 2. Konstrukcija osnove okomice (tačka njenog preseka sa ravninom).
• 3. Određivanje prirodne veličine okomice.

Hajde da izvedemo ove konstrukcije. Prvo, ocrtajte smjer

okomite projekcije. Da biste to učinili, prvo u DEF ravnini morate nacrtati horizontalni h i frontalni f, koji su orijentiri za njegove projekcije.

Sada ćemo pronaći osnovu okomice kao tačku preseka rezultujuće prave sa DEF ravninom. Već smo upoznati sa ovim problemom (pogledajte odeljak 3.3.4). U razmatranom primeru, željena tačka K leži izvan trougla koji graniči ravan (slika 4.8c). Nalazi se na liniji 2-3, koja po konstrukciji pripada DEF avionu. To znači da joj pripada i tačka K. Ako su projekcije okomice djelimično ili potpuno zaklonjene projekcijama trougla DEF, tada je dodatno potrebno odrediti vidljivost okomitu na ravan.

Prirodna vrijednost VC okomice može se pronaći bilo kojom od metoda o kojima se govorilo ranije u i. 2.2. Na slici 4.8c u tu svrhu je korištena metoda pravokutnog trougla.

Imajte na umu da se ovaj problem često formuliše kao određivanje udaljenosti od tačke B do ravni trougla DEF.

Kriterijum za okomitost prave i ravni omogućava da se konstruišu međusobno okomite linije i ravni, odnosno da se dokaže postojanje takvih pravih i ravni. Počnimo tako što ćemo izgraditi ravan koja je okomita na datu pravu i koja prolazi kroz datu tačku. Rešimo dva konstrukcijska problema koja odgovaraju dvema mogućnostima u lokaciji date tačke i date prave linije.

Zadatak 1. Kroz datu tačku A na datoj pravoj a nacrtaj ravan okomitu na ovu pravu.

Provučemo bilo koje dvije ravni kroz pravu a iu svakoj od ovih ravnina kroz tačku A povučemo pravu pravu okomitu na pravu a, označimo ih b i c (slika 2.17). Ravan a, koja prolazi kroz prave bis, sadrži tačku A i okomita je na pravu a (po predznaku okomitosti prave i ravni). Dakle, ravan a je željena. Problem je riješen.

Problem ima samo jedno (tj. jedinstveno) rješenje. Zaista, pretpostavimo suprotno. Tada, pored ravni a, tačkom A prolazi još jedna ravan P, okomita na pravu a (slika 2.18). Uzmite u ravni P bilo koju pravu liniju koja prolazi kroz tačku A i ne leži u ravni a. Povucimo ravan y kroz prave linije a i koje se seku. Ravan y seče ravan a duž prave q. Prava linija q se ne poklapa sa pravom, jer q leži u a ne leži u a. Obje ove prave leže u ravni y, prolaze kroz tačku A i okomite su na pravu a kao i slično kao i. Ali to je u suprotnosti s dobro poznatom teoremom planimetrije, prema kojoj samo jedna ravna linija okomita na ovu pravu liniju prolazi kroz svaku tačku u ravnini.

Dakle, uz pretpostavku da dvije ravni okomite na pravu a prolaze kroz tačku A, došli smo do kontradikcije. Stoga problem ima jedinstveno rješenje.

Zadatak 2. Kroz datu tačku A, koja ne leži na datoj pravoj a, nacrtaj ravan okomitu na ovu pravu.

Povucite pravu b kroz tačku A, okomitu na pravu a. Neka je B presječna tačka a i b. Kroz tačku B povlačimo i pravu c, okomitu na pravu a (slika 2.19). Ravan koja prolazi kroz obe nacrtane prave biće okomita na a prema kriterijumu okomitosti (teorema 2).

Kao iu zadatku 1, konstruisana ravan je jedina. Zaista, uzmite bilo koju ravan koja prolazi kroz tačku A okomito na pravu a. Takva ravan sadrži pravu pravu koja je okomita na pravu a koja prolazi kroz tačku A. Ali postoji samo jedna takva prava. Ovo je prava b, koja prolazi kroz tačku B. Dakle, ravan koja prolazi kroz A i okomita na pravu a mora sadržavati tačku B, a samo jedna ravan okomita na pravu a prolazi kroz tačku B (problem 1). Dakle, nakon što smo riješili ove konstrukcijske probleme i dokazali jedinstvenost njihovih rješenja, dokazali smo sljedeću važnu teoremu.

Teorema 3 (o ravni okomitoj na pravu). Kroz svaku tačku prolazi ravan okomita na datu pravu liniju i, osim toga, samo jednu.

Korolar (na ravni okomica). Prave okomite na datu pravu u datoj tački leže u jednoj ravni i pokrivaju je.

Neka je a - data prava i A - bilo koja njena tačka. Kroz njega prolazi avion. Po definiciji okomitosti prave i ravni, ona je pokrivena

pokrivena pravim linijama okomitim na pravu a u tački A, tj. kroz svaku tačku ravni a u njoj prolazi prava prava okomita na pravu a.

Pretpostavimo da prava prolazi kroz tačku A koja ne leži u ravni a. Povučemo kroz nju pravu a ravan P. Ravan P seče a duž neke prave c (sl. 2.20). I od tada ispada da dvije prave b i c, okomite na pravu a, prolaze kroz tačku A u ravni P. To je nemoguće. Dakle, nema pravih okomitih na pravu a u tački A i koje ne leže u ravni a. Svi leže u ovoj ravni.

Primjer za posljedicu teoreme 3 daju žbice u kotaču okomito na njegovu osu: pri rotaciji prate ravan (tačnije, kružnicu), zauzimajući sve pozicije okomite na os rotacije.

Teoreme 2 i 3 pomažu da se da jednostavno rješenje sljedećeg problema.

Zadatak 3. Nacrtajte pravu liniju kroz tačku date ravni, okomitu na ovu ravan.

Neka su date ravan a i tačka A u ravni a. Povučemo u ravni a kroz tačku A bilo koju pravu a. Kroz tačku A povučemo ravan okomitu na pravu a (problem 1). Ravan će preseći ravan a duž neke prave b (slika 2.21). Povučemo u ravni P kroz tačku A pravu c, okomitu na pravu b. Budući da (pošto c leži u ravni

I), zatim teoremom 2. Jedinstvenost njegovog rješenja utvrđena je u Odjeljku 2.1.

Komentar. O konstrukcijama u prostoru. Podsjetimo da u poglavlju 1 proučavamo "konstrukcijsku geometriju". I u ovom trenutku smo riješili tri problema izgradnje u prostoru. Ono što se u stereometriji podrazumijeva pod pojmovima "konstruirati", "crtati", "upisati" itd. Prvo, zapamtite konstrukcije na ravni, pokazujući, na primjer, kako konstruirati kružnicu opisanu oko trokuta, čime se dokazuje njegovo postojanje Općenito, rješavajući problem konstrukcije, dokazujemo teoremu postojanja za figuru sa zadatim svojstvima.Ovo rješenje se svodi na izradu nekog algoritma za konstruisanje željene figure, odnosno na navođenje redoslijeda izvođenja najjednostavnijih operacija koje vode do željenog rezultata.krugove i pronalaženje njihovih tačaka preseka.Potom pomoću alata za crtanje možete direktno nacrtati figuru na papiru ili na tabli.

Dakle, u planimetriji, rješenje problema konstrukcije ima, takoreći, dvije strane: teorijsku - algoritam konstrukcije - i praktičnu - implementaciju ovog algoritma, na primjer, sa šestarom i ravnalom.

Problem stereometrijske konstrukcije ima samo jednu stranu - teorijsku, jer nema alata za konstrukciju u prostoru, slično šestiru i ravnalu.

Za osnovne konstrukcije u prostoru uzimaju se one koje daju aksiomi i teoreme o postojanju pravih i ravni. Ovo je povlačenje prave linije kroz dve tačke, crtanje ravni (Propozicije u Odeljku 1.1 i Aksiom 1 u Odeljku 1.4), kao i konstruisanje linije preseka bilo koje dve konstruisane ravni (Aksioma 2 u Odeljku 1.4). Osim toga, prirodno ćemo pretpostaviti da je moguće izvoditi planimetrijske konstrukcije u već izgrađenim ravnima.

Riješiti konstrukcijski problem u prostoru znači naznačiti redoslijed osnovnih konstrukcija, čime se dobije željena figura. Obično nisu eksplicitno naznačene sve osnovne konstrukcije, već se upućuju na već riješene konstrukcijske probleme, tj. na već dokazane propozicije i teoreme o mogućnosti takvih konstrukcija.

Pored konstrukcija – teorema postojanja u stereometriji, moguća su još dva tipa problema vezanih za konstrukcije.

Prvo, zadaci su na slici ili na crtežu. To su problemi na presjecima poliedara ili drugih tijela. Mi zapravo ne gradimo sam odeljak, već ga samo prikazujemo na njemu

crtež ili crtež koji već imamo. Takve konstrukcije se izvode kao planimetrijske, uzimajući u obzir aksiome i teoreme stereometrije i pravila slika. Problemi ovog tipa stalno se rješavaju u crtanju i u dizajnerskoj praksi.

Drugo, zadaci izgradnje tijela na površinama. Zadatak: "Konstruirati tačke na površini kocke, udaljene od datog vrha na datoj udaljenosti" - rješava se pomoću šestara (kako?). Zadatak: "Konstruirati tačke na površini lopte, udaljene od date tačke na datoj udaljenosti" - također se rješava pomoću šestara (kako?). Problemi ovog tipa se ne rješavaju na časovima geometrije - njih stalno rješava marketinški stručnjak, naravno, s točnošću koju njegovi alati mogu postići. Ali, rješavajući takve probleme, oslanja se na geometriju.

Neće biti pretjerano reći da su konstrukcija međusobno okomitih pravih i ravni, uz određivanje udaljenosti između dvije tačke, glavne grafičke operacije u rješavanju metričkih zadataka.

Teoretski preduslov za konstruisanje projekcija pravih i ravni okomitih jedna na drugu u prostoru na Mongeovom dijagramu je svojstvo koje je ranije navedeno (vidi § 6)

projekcija pravog ugla, čija je jedna strana paralelna s bilo kojom ravninom projekcije:

1. Međusobno okomite prave linije.

Da bismo mogli iskoristiti navedeno svojstvo za konstruiranje dvije prave linije koje se seku pod uglom od 90° na Mongeovom dijagramu, jedna od njih mora biti paralelna nekoj ravni projekcije. Objasnimo ono što je rečeno na primjerima.

PRIMJER 1. Kroz tačku A povući pravu liniju l koja seče horizontalu h pod pravim uglom (sl. 249).

Pošto je jedna od stranica h pravog ugla paralelna sa ravninom π 1, pravi ugao se projektuje na ovu ravan bez izobličenja. Dakle, kroz A "crtamo horizontalnu projekciju l" ⊥ h ". Označimo tačku M" = l "∩ h". Pronađite M "(M" ∈ h "). Tačke A" i M "definišu l" (vidi sliku 249, a).

Ako je umjesto horizontale dat frontalni f, tada su geometrijske konstrukcije za crtanje prave l ⊥ f slične onima koje smo upravo razmatrali s jedinom razlikom što konstrukciju neiskrivljene projekcije pravog ugla treba početi sa frontalna projekcija (vidi sliku 249, b).

PRIMJER 2. Kroz tačku A povući pravu liniju l, koja siječe pravu liniju a, određenu segmentom [BC], pod uglom od 90° (Sl. 250).

Budući da ovaj segment zauzima proizvoljan položaj u odnosu na ravni projekcije, ne možemo, kao u prethodnom primjeru, koristiti svojstvo posebnog slučaja projekcije pravog ugla, stoga je prvo potrebno prevesti [BC] u položaj paralelan sa bilo kojom ravninom projekcije.

Na sl. 250 [BC] pomaknut u položaj paralelan sa ravninom π 3. Ovo se radi primenom metode zamene ravni projekcije zamenom ravni π 1 → π 3 || [Sunce].

Kao rezultat takve zamjene u novom sistemu x 1 π 2 / π 3 [VS] definira horizontalnu liniju, stoga se sve dalje konstrukcije izvode na isti način kao u prethodnom primjeru: nakon tačke M "1 je pronađena , preveden je na prvobitne ravni projekcije u poziciju M "i M", ove tačke zajedno sa A "i A" definiraju projekciju prave linije l.

PRIMJER 3. Izvršite horizontalnu projekciju stranice [BC] pravog ugla ABC, ako su poznate njena frontalna projekcija ∠A "B" C "i horizontalna projekcija stranice [A" B "] (Sl. 251) .

1. Prevodimo stranu ugla [VA] u poziciju || π 3 prelaskom iz sistema projekcijskih ravni xπ 2 / π 1 na novi x 1 π 3 / π 2

2. Definirajte novu frontalnu projekciju.

Iz V "1 vraćamo okomicu na [V" 1 A "1]. Na ovoj okomici definiramo tačku C" 1 (S "1 je udaljena od x-ose 1 na udaljenosti | S x 1 S" 1 | = | S x S "| ).

4. Horizontalna projekcija C "definisana je kao tačka preseka pravih (C" 1 C x 1) ∩ (C "C x) = C".

2. Međusobno okomita prava i ravan.

Iz kursa stereometrije je poznato da je prava okomita na ravan ako je okomita na najmanje dvije prave linije koje se seku da pripadaju ovoj ravni.

Ako u ravnini uzmemo ne proizvoljne siječne ravne linije, već njene horizontalne i frontalne, tada postaje moguće koristiti svojstvo projekcije pravog ugla, kao što je učinjeno u primjeru 1, sl. 249.

Razmotrite sljedeći primjer; neka je iz tačke A ∈ α potrebno vratiti okomicu na ravan α (slika 252).

Kroz tačku A povučemo horizontalu h i frontal f ravnine α. Tada, po definiciji (AB), okomito na ravan α mora biti okomito na prave h i f, tj. Ali strana AM ∠ VI || π 1, dakle ∠BAM se projektuje na ravan π 1, bez izobličenja, tj. ... AK strana ∠ VAK || π 2 i, prema tome, na ravan π 2, i ovaj ugao se projektuje bez izobličenja, tj. ... Gornje razmišljanje može se formulirati kao sljedeća teorema: da bi prava u prostoru bila okomita na ravan, potrebno je i dovoljno da na dijagramu horizontalna projekcija prave bude okomita na horizontalnu projekciju horizontalne ravni ravni, a frontalna projekcija na frontalnu projekciju prednjeg dijela ove ravni.

Ako je ravnina data tragovima, tada se teorema može drugačije formulirati: da bi prava u prostoru bila okomita na ravan, potrebno je i dovoljno da projekcije ove prave linije budu okomite na istoimene tragove na ravni.

Odnosi uspostavljeni teoremom između prave linije u prostoru okomite na ravan i projekcija ove prave linije na projekcije ravnih linija (tragova) ravnine leže u osnovi grafičkog algoritma za rješavanje problema povlačenja prave linije okomito. na ravan, kao i konstruisanje ravni okomite na datu pravu liniju.

PRIMJER 1. Rekonstruisati na vrhu A okomitu AD na ravan ΔABC (Sl. 253).

Da bismo odredili smjer projekcija okomice, izvodimo projekcije horizontale h i fronta f ravnine ΔABS. Nakon toga, iz tačke A "vraćamo okomicu na h", a iz tačke A "- na f".

PRIMJER 2. Iz tačke A, koja pripada ravni α (m || n), vratite okomicu na ovu ravan (slika 254).

RJEŠENJE. Da biste odredili smjer projekcija okomite l "i l", kao u prethodnom primjeru, povucite kroz tačku A (A ", A") horizontalu h (h ", h") koja pripada ravni α. Znajući pravac h", konstruišemo horizontalnu projekciju okomice l" (l "⊥ h"). Za određivanje smjera frontalne projekcije okomice kroz tačku A (A ", A"), nacrtajte frontal f (f ", f") ravnine α. Zbog paralelizma f frontalne projekcijske ravni, pravi ugao između l i f se projektuje na π 2 bez izobličenja, pa crtamo l "⊥ f".

Na sl. 255 isti problem je riješen za slučaj kada je ravan α data tragovima. Da biste odredili smjer projekcija okomice, nije potrebno crtati vodoravnu liniju i frontu

podignute, jer njihove funkcije obavljaju tragovi ravni h 0α i f 0α. Kao što se vidi iz crteža, rješenje se svodi na povlačenje kroz tačke A"i A" projekcije l"⊥ h 0α i l" ⊥ f 0α.

PRIMJER 3. Konstruisati ravan γ, okomitu na datu pravu l i koja prolazi kroz datu tačku A (Sl. 256).

RJEŠENJE. Kroz tačku A nacrtajte horizontalno h i frontalno f. Ove dvije linije koje se seku definiraju ravan; tako da je okomita na pravu l, potrebno je da prave h i f čine ugao od 90° sa pravom l. Da biste to učinili, nacrtajte h "⊥ l" i f "⊥ l". Frontalna projekcija h "i horizontalna projekcija f" povučene su paralelno sa x-osi.

Razmatrani slučaj omogućava da se problem dat u primjeru 3 riješi na drugačiji način (str. 175, sl. 251). Strana [BC] ∠ABS mora pripadati ravni γ ⊥ [AB] i prolaziti kroz tačku B (Sl. 257).

Ovaj uslov određuje tok rješavanja zadatka koji se sastoji u sljedećem: tačku B zatvorimo u ravan γ ⊥ [AB], za to kroz tačku B povučemo horizontalu i frontal ravni γ tako da h "⊥ A" B "i f" ⊥ A "B".

Tačka S ∈ (VS) koja pripada ravni γ, dakle, da biste pronašli njenu horizontalnu projekciju, povucite kroz S "proizvoljnu pravu liniju 1" 2 "koja pripada ravni γ; definirajte horizontalnu projekciju ove prave 1" 2 " i označite tačku C" (S "određena je presjekom komunikacijske linije - okomice ispuštene iz C", sa horizontalnom projekcijom prave linije 1 "2"). C "zajedno sa B" definira horizontalnu projekciju (BC) ⊥ (AB).

3. Međusobno okomite ravni.

Dvije ravni su okomite ako jedna od njih sadrži pravu pravu okomitu na drugu ravan.

Na osnovu definicije okomitosti ravni, rešavamo zadatak konstruisanja ravni β, okomite na ravan α, na sledeći način: nacrtamo pravu liniju l, okomitu na ravan α; stavljamo pravu l u ravan β. Ravan β ⊥ α, budući da je β ⊃ l ⊥ α.

Kroz pravu l se može povući mnogo ravni, tako da problem ima mnogo rješenja. Da bi odgovor bio konkretniji, moraju se specificirati dodatni uslovi.

PRIMJER 1. Kroz ovu pravu a povucite ravan β, okomitu na ravan α (Sl. 258).

RJEŠENJE. Određujemo smjer projekcija okomice na ravan α, za to nalazimo horizontalnu projekciju horizontale (h") i frontalnu projekciju fronte (f"); iz projekcije proizvoljne tačke A ∈ α crtamo projekcije okomice l "⊥ h" i l "⊥ f". Ravan β ⊥ α, budući da je β ⊃ l ⊥ α.

PRIMJER 2. Kroz ovu tačku A nacrtajte horizontalno projektovanu ravan γ, okomitu na ravan α, datu tragovima (Sl. 259, a).

Tražena ravan γ mora sadržavati pravu liniju okomitu na α ravan, ili biti okomita na pravu liniju koja pripada α ravni. Pošto γ ravan mora biti horizontalno projektovana, prava okomita na nju mora biti paralelna sa ravni π 1, tj. biti horizontala α ravni ili (što je isto) horizontalni trag ove ravni - h 0α Stoga , kroz tačku horizontalne projekcije A" crtamo horizontalni trag h 0γ ⊥ h 0α frontalni trag f 0γ ⊥ x ose.

Na sl. 259, b prikazuje ravan frontalne projekcije γ koja prolazi kroz tačku B i okomita na ravan π 2.

Iz crteža se može vidjeti da je posebnost dijagrama, na kojem su postavljene dvije međusobno okomite ravni, od kojih je jedna frontalno projektovana, okomitost njihovih čeonih tragova f 0γ ⊥ f 0α, horizontalnog kolosijeka frontalnog ravan projektovanja je okomita na x osu.

Od svih mogućih položaja prave linije koja siječe ravan, uočavamo slučaj kada je prava okomita na ravan i razmatramo svojstva projekcija takve prave linije.

Na sl. 185 je data ravan definisana sa dve prave koje se seku AN i AM, pri čemu je AN horizontala, a AM frontalna ovoj ravni. Prava AB, prikazana na istom crtežu, okomita je na AN i AM i, prema tome, okomita na ravan koju oni definiraju.

Okomita na ravan je okomita na bilo koju pravu liniju povučenu u toj ravni. Ali da bi projekcija okomice na ravan opšteg položaja bila okomita na istoimenu projekciju bilo koje ravne ove ravni, prava linija mora biti horizontalna, ili frontalna, ili profilna ravna linija aviona. Stoga, želeći konstruirati okomitu ravan, u opštem slučaju, uzimaju se dvije takve prave (na primjer, horizontalna i frontalna, kao što je prikazano na slici 185).

dakle, na okomici na ravan, njena horizontalna projekcija je okomita na horizontalnu projekciju horizontale, frontalna projekcija je okomita na frontalnu projekciju frontalne, projekcija profila je okomita na profilnu projekciju profilne linije ove ravni.

Očigledno, u slučaju kada je ravan izražena tragovima (slika 186), dobijamo sledeći zaključak: ako je prava okomita na ravan, tada je horizontalna projekcija ove prave okomita na horizontalni trag ravnine, a frontalna projekcija je okomita na frontalni trag ravnine.

Dakle, ako je u sistemu π 1, π 2 horizontalna projekcija prave linije okomita na horizontalni trag, a frontalna projekcija prave je okomita na frontalni trag ravnine, tada u slučaju ravni u opštem položaju (slika 186), kao i horizontalno i frontalno projektovane, prava je okomita na ravan... Ali za ravan projekcije profila može se ispostaviti da prava linija na ovu ravan nije okomita, iako

projekcije prave linije su okomite na horizontalni i frontalni trag ravni. Stoga je u slučaju profilno-projekcijske ravni potrebno razmotriti i relativni položaj profilne projekcije prave i profilne staze date ravni i tek onda utvrditi da li će data linija i ravan biti okomito jedno na drugo,

Očigledno (Sl. 187), horizontalna projekcija okomice na ravan spaja se sa horizontalnom projekcijom linije nagiba povučene u ravni kroz osnovu okomice.

Na sl. 186 iz tačke A povučena je okomica na pl. α (A "C" ⊥ f "0α, A" C "⊥h" 0α) i prikazuje konstrukciju tačke E, u kojoj okomita AC seče kvadrat. α. Konstrukcija se izvodi pomoću horizontalno isturenog kvadrata. β povučen kroz okomitu AE.

Na sl. 188 prikazuje konstrukciju okomice na ravan definisanu trouglom ABC. Okomita je povučena kroz tačku A.

Budući da frontalna projekcija okomice na ravan treba da bude okomita na frontalnu projekciju prednje strane ravnine, a njena horizontalna projekcija okomita na horizontalnu projekciju horizontale, frontalna sa projekcijama A "D" i A "D " i horizontala A "E" povučena je u ravni kroz tačku A", A" E", naravno, ove prave ne moraju biti povučene upravo kroz tačku A.

Zatim se crtaju projekcije okomice: M "N" ⊥A "D", M "N" ⊥A "E". Zašto projekcije na sl. 188 u odjeljcima A "N" i A "M" su prikazani isprekidanim linijama? Jer ovdje razmatramo ravan koju definira trokut ABC, a ne samo ovaj trokut: okomita je dijelom ispred ravnine, dijelom iza nje.

Na sl. 189 i 190 prikazuju konstrukciju ravni koja prolazi kroz tačku A okomitu na pravu BC. Na sl. 189 ravan je izražena tragovima. Konstrukcija počinje povlačenjem horizontalne linije željene ravni kroz tačku A: pošto horizontalni trag ravni mora biti okomit na B "C", onda i horizontalna projekcija horizontale mora biti okomita na B "C". Dakle, A "N" ⊥B "C". Projekcija A "N" || x-ose, kao što bi trebalo da bude za horizontalu. Tada se trag f "0α ⊥V" S "povuče kroz tačku N" (N "je frontalna projekcija frontalnog traga horizontale AN), dobije se tačka X α i trag h" 0α || A "N " (h "0α ⊥V" SA").

Na sl. Ravan 190 definirana je svojim frontalnim AM i horizontalnim AN. Ove prave su okomite na BC (A "M" ⊥B "C", A "N" ⊥B "C"); ravan koju oni definišu je okomita na BC.

Budući da je okomita na ravan okomita na svaku ravnu liniju povučenu u ovoj ravni, onda, nakon što ste naučili da nacrtate ravan okomitu na pravu liniju, možete koristiti ovo da nacrtate okomicu iz neke tačke A na pravu u općem položaju BC . Očigledno, možete nacrtati sljedeći plan za izgradnju projekcija željene prave linije:

1) povući ravan kroz tačku A (nazovimo je γ), okomitu na BC;

2) odrediti tačku K preseka prave BC sa pl. γ;

3) spojiti tačke A i K pravim segmentom.

Prave AK i BC su međusobno okomite.

Primjer konstrukcije dat je na sl. 191. Kroz tačku A povučena je ravan (γ), okomita na BC. To se radi pomoću frontalne projekcije A "F" koja je povučena okomito na frontalnu projekciju B "C", i horizontalne linije, čija je horizontalna projekcija okomita na B "C".

Tada je pronađena tačka K, u kojoj prava BC seče kvadrat. γ. Za to je horizontalna projekcijska ravan β povučena kroz pravu BC (na crtežu je data samo horizontalnim tragom (β "). Pl. Β seče površinu γ u pravoj liniji sa projekcijama 1" 2" i 1" 2". Na presjeku ove prave sa pravom BC ispada tačka K. Prava AK je tražena okomita na BC Zaista, prava AC seče pravu BC i nalazi se u kvadratu γ, okomita na pravu BC ; dakle, AK⊥BC.

U § 15 je pokazano (sl. 92) kako se može povući okomita iz tačke na pravu. Ali tu je to učinjeno uvođenjem dodatne ravni u sistem π ​​1, π 2 i tako formiranjem sistema π 3, π 1, u kojem je kvadrat. π 3 je povučen paralelno sa datom pravom linijom. Preporučujemo da uporedite konstrukcije date na sl. 92 i 191.

Na sl. 192 prikazuje ravan u opštem položaju - α, koja prolazi kroz tačku A, i okomitu AM na ovu ravninu, koja se nastavlja do preseka sa pl. π 1 u tački B".

Ugao φ 1 između pl. α, i kvadrat π 1 i ugao φ između prave AM i kvadrata. π 1 su oštri uglovi pravouglog trougla B "AM", pa prema tome φ 1 + φ = 90°. Slično, ako je kvadrat α jednak kvadratu. π 2 ugao σ 2, a prava AM, okomita na α, je sa pl. π 2 ugao σ, zatim σ 2 + σ = 90°. Iz ovoga, pre svega, sledi da je ravan u opštem položaju, koja treba da čini ugao φ 1 sa kvadratom π 1, i sa kvadratom. π 2 ugao σ 2 može se konstruisati samo ako je 180°> φ 1 + σ 2> 90°.

Zaista, zbrajanjem člana po članu φ 1 + φ = 90 ° i σ 2 + σ = 90 °, dobijamo φ 1 + σ 2 + φ + σ = 180 °, odnosno φ 1 + σ 2 90 °. Ako uzmemo φ 1 + σ 2 = 90°, onda dobijamo ravan profilne projekcije, a ako uzmemo φ 1 + σ 2 = 180°, onda dobijemo ravan profila, tj. u oba ova slučaja avion nije u opštem položaju, već u posebnom.