Nejednakosti i sustavi nejednakosti jedna su od tema koja je u srednjoj školi na algebri. Što se tiče poteškoća, nije najteže, jer ima nekomplicirane pravila (o njima nešto kasnije). U pravilu, rješenje nejednakosti sistema školarice dovoljno je dovoljno. To je povezano i sa činjenicom da nastavnici jednostavno "tumače" svoje studente na ovu temu. I to ne mogu, jer se ubuduće proučavaju uz upotrebu drugih matematičkih vrijednosti, a također je provjereno na OGE i EGE. U školskim udžbenicima, tema posvećena nejednakostima i sistemima nejednakosti objavljuju se u vrlo detaljno, pa ako ćete ga proučiti, najbolje je da im se pribjegavate njima. Ovaj članak prepričava samo velike materijale, a možda će biti neki izostanak.

Koncept sistema nejednakosti

Ako se uputite na naučni jezik, možete definirati koncept "sustava nejednakosti". Ovo je matematički model koji predstavlja nekoliko nejednakosti. Ovog modela, naravno, potrebno je rješenje, a u svom kvalitetu bit će zajednički odgovor za sve nejednakosti sustava predloženog u zadatku (obično pišu u njoj, na primjer: "odlučuju o sistemu nejednakosti 4 x + 1\u003e 2 i 30 - X\u003e 6 ... "). Međutim, prije prelaska na vrste i metode rješenja, morate to shvatiti.

Sistemi nejednakosti i sistem jednadžbi

U procesu proučavanja nove teme, nesporazumi se pojavljuju vrlo često. S jedne strane, sve je jasno i radije želim započeti rješavanje zadataka, a s druge strane, neki trenuci ostaju u "sjenci", a ne baš dobro reflektirajućom. Takođe, neki elementi stečenog znanja mogu se isprepletati s novim. Kao rezultat takvih "preklapanja", često se javljaju greške.

Stoga, prije nego što nastavite sa analizom naše teme, treba ga zapamtiti o razlikama u jednadžbama i nejednakostima, njihovim sistemima. Da biste to učinili, morate još jednom objasniti koji su matematički pojmovi podaci. Jednadžba je uvijek jednakost, a uvijek je nešto jednako (u matematici ova riječ označena je znakom "\u003d"). Nejednakost je isti model u kojem jedna vrijednost ili više, ili manje od drugog ili sadrži tvrdnju da su nejednaki. Stoga je u prvom slučaju prikladno razgovarati o ravnopravnosti, a u drugom, bez obzira koliko očito zvučalo iz samog imena, nejednakosti izvornih podataka. Sistemi jednadžbi i nejednakosti jedni od drugih praktički ne postoje različite metode za rješavanje istih. Jedina razlika je da se u prvom slučaju koristi jednakost, a nejednakosti se koriste u drugom.

Vrste nejednakosti

Razlikuju se dvije vrste nejednakosti: numerička i nepoznata varijabla. Prvi tip su cijenjene vrijednosti (brojevi) jedno drugo, na primjer, 8\u003e 10. Drugo je nejednakosti koje sadrže nepoznatu varijablu (označena bilo kojeg slova latinske abecede, najčešće x). Ova varijabla zahtijeva njegov boravak. Ovisno o tome koliko njih, u matematičkom modelu, postoje nejednakosti s jednim (predstavljaju sistem nejednakosti s jednom varijablom) ili nekoliko varijabli (čine sistem nejednakosti s nekoliko varijabli).

Dva nedavna stajališta o stupnju njihove gradnje i nivo složenosti odluke podijeljeni su u jednostavan i složen. Jednostavno se naziva više linearne nejednakosti. Oni su zauzvrat podijeljeni u strogu i nevjerovatnu. Stroga posebno "recite" da jedna vrijednost mora nužno biti ili manje ili više, stoga je u njenoj nejednakosti čistog oblika. Možete citirati nekoliko primjera: 8 x + 9\u003e 2, 100 - 3 x\u003e 5, itd. Uma uključuje jednakost. Odnosno, jedna vrijednost može biti veća od ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≥") ili je manje ili jednaka drugoj vrijednosti (znak "≤"). Još uvijek u linearnim nejednakostima, varijabla nije u korijenu, kvadrat se ne podijeli u ništa, zbog čega se nazivaju "jednostavnim". Komplicirano uključuju nepoznate varijable, od kojih je nalaz zahtijeva veću količinu matematičkih operacija. Često su na kvadratu, Kuba ili pod korijenom, mogu biti modularni, logaritamski, frakcijski itd. Ali jer naš zadatak postaje potreba za razumijevanjem rješenja nejednakosti., Razgovarat ćemo o sistemu linearnih nejednakosti. Međutim, prije toga treba reći nekoliko riječi o njihovim nekretninama.

Svojstva nejednakosti

Svojstva nejednakosti uključuju sljedeće odredbe:

1. Znak nejednakosti se mijenja suprotno ako se primjenjuje operacija za promjenu strana (na primjer, ako t 1 ≤ t 2, t 2 ≥ t 1).
2. Oba dijela nejednakosti omogućavaju dodati isti broj sebi (na primjer, ako t 1 ≤ t 2, t 1 + broj ≤ t 2 + broj).
3. Dvije ili više nejednakosti koje imaju znak jednog smjera omogućavaju vam stavljanje lijeve i desne dijelove (na primjer, ako t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4).
4. Oba dijela nejednakosti omogućavaju da se množe ili podijele na isti pozitivan broj (na primjer, ako t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, zatim broj · t 2).
5. Dvije ili više nejednakosti koje imaju pozitivne članove i znak jednog smjera, omogućuju im da se međusobno pomnožuju (na primjer, ako t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 zatim t 1 · t 3 ≤ t 2 · T 4).
6. Oba dijela nejednakosti omogućavaju da se pomnoži ili podijele na isti negativni broj, ali istovremeno se znak nejednakosti mijenja (na primjer, ako t 1 ≤ t 2 i broj ≤ 0, a zatim broj · t 1 ≥ Broj · T 2).
7. Sve nejednakosti imaju svojstvo tranzicije (na primjer, ako t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, zatim t 1 ≤ t 3).

Sada, nakon proučavanja osnovnih odredbi teorije koji se odnose na nejednakosti, moguće je izravno nastaviti na razmatranje pravila za rješavanje njihovih sistema.

Rješavanje sistema nejednakosti. Generale. Metode rješenja

Kao što je već spomenuto, rješenje djeluje vrijednosti varijable pogodne za sve nejednakosti ovog sustava. Rješenje sustava nejednakosti je primjena matematičkih akcija koje na kraju dovode do rješenja cijelog sustava ili dokazuju da nema rješenja. U ovom slučaju kaže se da se varijabla odnosi na prazan numerički set (napisan na sljedeći način: pismo koje označava varijablu ∈ (znak "pripada") Ø (znak "prazan set"), na primjer, X ∈ Ø (pročitajte ovako: "" Ex "varijabla" pripada praznom setu "). Razlikuje se nekoliko načina za rješavanje sistema nejednakosti: grafički, algebarska metoda zamjene. Vrijedi napomenuti da se odnose na one matematičke modele koji imaju nekoliko nepoznatih varijabli. U slučaju kada postoji samo jedan, on će odgovarati metodi intervala.

Grafička metoda

Omogućuje vam rješavanje sistema nejednakosti s nekoliko nepoznatih vrijednosti (sa dva i višeg). Zahvaljujući ovoj metodi, sistem linearnih nejednakosti rješava se prilično lako i brzo, tako da je najčešći način. To se objašnjava činjenicom da izgradnja rasporeda smanjuje količinu pisanja matematičkih operacija. Naročito postaje ugodno odvratiti pažnju od ručke, uzmi olovku s linijom s vlašću i nastaviti s daljnjim radnjama uz pomoć kada je učinjeno puno posla i želite malo radnosti i želite malo raznolikosti. Međutim, ova metoda su neki obojeni zbog činjenice da morate biti polomljeni iz zadatka i prebacite mentalnu aktivnost na crtanje. Međutim, ovo je vrlo efikasan način.

Da bi se riješio sistem nejednakosti koristeći grafičku metodu, svi pripadnici svake nejednakosti su potrebni za prenos na njihov lijevi dio. Znakovi će se promijeniti na suprotno, s desne strane treba pisati nulu, a zatim trebate zasebno zapisati svaku nejednakost. Kao rezultat toga, rezultirat će nejednakosti. Nakon toga možete dobiti olovku i ravnalo: Sada ćete morati izvući grafikon svake dobivene funkcije. Sve mnoge brojeve koji će biti u intervalu njihovog raskrižja bit će rješenje sistema nejednakosti.

Algebraic metoda

Omogućuje vam rješavanje sistema nejednakosti s dvije nepoznate varijable. Takođe nejednakosti trebaju imati isti znak nejednakosti (I.E. dužan je sadržavati samo znak "više" ili samo znak "manje" itd.), Uprkos ograničenju, ova metoda je takođe složenija. Koristi se u dvije faze.

Prvo uključuje akcije koje će se riješiti jedne od nepoznate varijabli. Prvo morate odabrati, a zatim provjerite je li prisustvo brojeva prije ove varijable. Ako nisu (tada će varijabla izgledati kao jedno slovo), tada ne mijenjamo ništa ako postoji (vrsta varijable će biti, na primjer, takva - 5y ili 12y), tada je potrebno napraviti tako da u svakoj nejednakosti broj ispred odabrane varijable isti. Da biste to učinili, pomnožite svaki član nejednakosti općeg faktora, na primjer, ako je 3Y napisan u prvoj nejednakosti, a u drugom 5y-u, svi su članovi prve nejednakosti potrebni za množenje do 5, a drugi - na 3. Ispalo će se 15y i 15y, respektivno.

Druga faza rješenja. Potrebno je prenijeti lijevi dio svake nejednakosti na desne dijelove promjenom znaka svakog člana na suprotno, na pravo na snimanje nule. Tada dolazi najzanimljivija stvar: riješiti se odabrane varijable (drugačije se naziva "kratica") tokom preklopa nejednakosti. Bit će nejednakost s jednom varijablom koja treba riješiti. Nakon toga, trebali biste učiniti isto, samo s drugom nepoznatom varijatnom. Rezultati dobiveni i bit će riješili sustav.

Način zamjene

Omogućuje vam rješavanje sistema nejednakosti ako imate priliku unijeti novu varijablu. Obično se ova metoda primjenjuje kada se nepoznata varijabla u jednom članu nejednakosti postavlja u četvrti stepen, a kod drugog člana ima kvadrat. Dakle, ova metoda ima za cilj snižavanje stepena nejednakosti u sistemu. Nejednakost uzorka x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 rješava se ovom metodom. Uvedena je nova varijabla, na primjer, t. Oni pišu: "Neka t \u003d x 2", tada se model prepisuje u novom obliku. U našem slučaju ispada da je t 2 - t - 1 ≤0. Ova nejednakost treba riješiti intervalima (o tome malo kasnije), a zatim natrag u varijablu x, zatim učinite isto s drugom nejednakošću. Primljeni odgovori bit će riješeni sustav.

Intervalna metoda

Ovo je najlakši način rješavanja sustava nejednakosti, a istovremeno je univerzalno i distribuirano. Koristi se i u srednjoj školi, pa čak i u najvećem. Njegova suština je da student traži intervale nejednakosti na numeričkom direktnom, koji se nacrta u bilježnici (ovo nije grafikon, već jednostavno uobičajena ravna linija sa brojevima). Ako se intervali nejednakosti presijecaju, sistem se rješava. Da biste koristili intervalnu metodu, morate izvesti sljedeće korake:

1. Svi članovi svake nejednakosti prenose se na lijevu stranu promjenom znaka na suprotno (napisano je pravo).
2. Nejednakosti se odbacuju odvojeno, rješenje svakog od njih je određeno.
3. Na numeričkoj liniji postoje raskrižje nejednakosti. Svi brojevi na ovim raskrižjima bit će rješenje.

Kakav je način upotrebe?

Očito se čini najlakšim i zgodnijim, ali postoje takvi slučajevi kada zadaci zahtijevaju određenu metodu. Najčešće je napisano napisano da trebate riješiti ili uz pomoć grafikona ili intervalne metode. Algebarska metoda i zamjena se izuzetno rijetko koriste ili se uopće ne koriste, jer su prilično složeni i zamršeni, a osim više korištenih za rješavanje sistema jednadžbi, a ne nejednakosti, zato bi trebalo pribjeći crtanje grafova i intervala. Oni donose jasnoću koja ne može, osim ne doprinijeti efikasnom i brzom provođenju matematičkih operacija.

Ako nešto ne radi

Tokom studije određene teme na algebri, prirodno mogu se pojaviti problemi sa njegovim razumijevanjem. I to je normalno, jer je naš mozak dizajniran tako da ne može razumjeti složeni materijal odjednom. Često je potrebno ponovno pročitati odlomak, koristiti pomoć učitelja ili prakse rješavanjem tipičnih zadataka. U našem slučaju izgledaju, na primjer, tako: "Odlučite sistem nejednakosti 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1\u003e 3". Dakle, lična želja, pomoć ljudi treće strane i prakse pomaže u razumijevanju bilo koje složene teme.

Resheebnik?

A Resheebnik je i dalje vrlo dobar, samo da ne piše domaće zadatke, već za samopomoć. Oni mogu pronaći sustave nejednakosti s rješenjem, pogledajte ih (kao na predlošcima), pokušajte da shvate tačno kako je autor odluke koji suočio sa zadatkom, a zatim pokušati da to ispuni na neovisan način.

Zaključci

Algebra je jedan od najtežih predmeta u školi. Pa, šta da radim? Matematika je oduvijek bila ovako: ona nekoga nekome daje nekome, a neko s poteškoćama. Ali u svakom slučaju treba imati na umu da je generalni program izgrađen tako da se svaki student može nositi s tim. Pored toga, potrebno je imati na umu ogroman broj pomoćnika. Neki od njih su već spomenuti.

Sistem nejednakosti.
Primjer 1.. Pronađite područje izraza
Odluka. Pod znakom kvadratnog korijena trebao bi biti negativni broj, što znači da se dvije nejednakosti trebaju izvesti u isto vrijeme: U takvim se slučajevima kaže da se zadatak svodi na rješavanje sistema nejednakosti

Ali sa takvim matematičkim modelom (sistem nejednakosti) još se nismo sreli. Dakle, rješenje primjera nije u stanju donijeti do kraja.

Nejednakosti koje tvore sustav kombiniraju se sa nosačem figure (isto je isto u sustavima jednadžbi). Na primjer, pisanje

znači da nejednakosti 2x - 1\u003e 3 i zh - 2< 11 образуют систему неравенств.

Ponekad se koristi za snimanje sistema nejednakosti u obliku dvostruke nejednakosti. Na primjer, sistem nejednakosti

može se napisati u obliku dvostruke nejednakosti 3<2х-1<11.

U toku algebre od 9. razreda razmotrit ćemo samo sustave dvije nejednakosti.

Razmotrite sistem nejednakosti

Možete odabrati nekoliko svojih privatnih rješenja, na primjer x \u003d 3, x \u003d 4, x \u003d 3.5. U stvari, na x \u003d 3, prva nejednakost uzima obrazac 5\u003e 3, a druga je tip 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Istovremeno, vrijednost X \u003d 5 nije rješenje sustava nejednakosti. Na X \u003d 5 Prva nejednakost uzima obrazac 9\u003e 3 - pravu numeričku nejednakost, a druga je view 13< 11- неверное числовое неравенство .
Riješite sistem nejednakosti - znači pronaći sva njena privatna rješenja. Jasno je što pogađanje, koje je gore demonstrirano, nije metoda za rješavanje sistema nejednakosti. U sljedećem primjeru pokazat ćemo kako obično razlog prilikom rješavanja sistema nejednakosti.

Primjer 3. Riješite sistem nejednakosti:

Odluka.

ali) Rješavanje prve nejednakosti sistema, nalazimo 2x\u003e 4, x\u003e 2; Rješavanje druge nejednakosti sistema, mi nađemo SK< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
b) Rješavanje prve nejednakosti sustava, nalazimo X\u003e 2; Rješavanje druge nejednakosti sistema, mi nađemo Primjećujemo ove praznine na jednoj koordinatu izravno, koristeći gornji izlijevanje za prvi jaz, a za drugo - donje izlijevanje (Sl. 23). Rješenje sistema nejednakosti bit će raskrižje rješenja nejednakosti sistema, tj. GAP na kojem se obezglažava obje izleže. U ovom primjeru dobivamo zraku

u) Rješavanje prve nejednakosti sistema, mi nađemo x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Rezimiranje argumenata provedenih u razmatranom primjeru. Pretpostavimo da moramo riješiti sistem nejednakosti

Neka je, na primjer, interval (A, B) rješenje nejednakosti FX 2\u003e G (x), a interval (C, D) rješenje nejednakosti F 2 (x)\u003e S 2 (x) ). Primjećujemo ove praznine na istoj koordinatnoj dirdanju, koristeći gornji izlijevanje za prvi jaz, a za drugo - donje izlijevanje (Sl. 25). Rješenje sustava nejednakosti je raskrižje rješenja nejednakosti sistema, I.E. GAP na kojem se obezglažava obje izleže. Na slici. 25 Ovo je interval (c, b).

Sada lako možemo riješiti sistem nejednakosti, koji je dobijen gore, u primjeru 1:

Rješavanje prve nejednakosti sustava, nalazimo X\u003e 2; Rješavanje druge nejednakosti sistema, mi nađemo x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Naravno, sistem nejednakosti ne mora se sastojati od linearnih nejednakosti, kao što to ima do sada; Moguće su racionalne (i ne samo racionalne) nejednakosti. Tehnički, rad sa sistemom racionalnih nelinearnih nejednakosti, naravno, složeniji, ali u osnovi novi (u odnosu na linearne nejednakosti) nema ništa.

Primjer 4. Riješite sistem nejednakosti

Odluka.

1) Riješim nejednakost
Primjećujemo poantu -3 i 3 na numeričkom ravnom (Sl. 27). Podijelili su se ravno u tri praznine, a na svakom razmaku, izraz P (x) \u003d (x- 3) (X + 3) (X + 3) sprema stalni znak - ovi znakovi su navedeni na slici. 27. Zanimaju nas praznine na kojima se provodi nejednakost P (x)\u003e 0 (oni su zasjenjeni na slici 27), a točke u kojima se izvrši jednakost p (x) \u003d 0, I.E. TOČKE X \u003d -3, X \u003d 3 (označeni su na slici 2 7 tamnih krugova). Tako na slici. 27 predstavlja geometrijski model rješenja prve nejednakosti.

2) Riješimo nejednakost
Primjećujemo tačke 0 i 5 na numeričkom ravnom (Sl. 28). Podijelili su se ravno na tri praznine, a u svakom intervalu izražavanju<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) > O (zasjenjen na slici 28) i bodova u kojima se izvrši jednakost g (x), tj. TOČKE X \u003d 0, X \u003d 5 (označeni su na slici 28 tamnih krugova). Tako na slici. 28 predstavlja geometrijski model rješavanja druge nejednakosti sistema.

3) Imajte na umu pronađene rješenja prvog i drugog nejednakosti sustava na jednoj koordinatu direktno, koristeći vrhunsko izlijevanje rješenja prve nejednakosti i za rastvor za drugu otopinu (Sl. 29). Rješenje sistema nejednakosti bit će raskrižje rješenja nejednakosti sistema, tj. GAP na kojem se obezglažava obje izleže. Ovaj jaz je segment.

Primjer 5. Riješite sistem nejednakosti:

Odluka:

ali) Prvog nejednakosti pronalazimo x\u003e 2. Razmotrite drugu nejednakost. Trgu tri-pola X 2 + X + 2 nema valjane korijene, a njegov viši koeficijent (koeficijent na x 2) pozitivan je. To znači da se na svim nejednakošću izvršite i nejednakost x 2 + x + 2\u003e 0, a samim tim i druga nejednakost sistema nema rješenja. Šta to znači za sistem nejednakosti? To znači da sustav nema rješenja.

b) Od prvih nejednakosti pronalazimo x\u003e 2, a druga nejednakost vrši se po bilo kojim vrijednostima x. Šta to znači za sistem nejednakosti? To znači da njegovo rješenje ima oblik x\u003e 2, tj. Podudara se s odlukom prvog nejednakosti.

O t u e t:

a) nema rješenja; b) X\u003e 2.

Ovaj primjer je ilustracija za sljedeće korisne.

1. Ako jedna nejednakost nema rješenja u sistemu nekoliko nejednakosti s jednom varijablom, tada sistem nema rješenja.

2. Ako se jedna nejednakost obavlja u sistemu dvije nejednakosti s jednom varijablom, s bilo kakvim vrijednostima varijable, rješenje sustava je rješenje druge nejednakosti sistema.

Popunjavanje ovog stavka, natrag na zadatak predviđenog broja dat na svom početku i riješiti ga, kako kažu, prema svim pravilima.

Primer 2. (Vidi str. 29). Integriran sa prirodnim brojem. Poznato je da ako se doda na Trg namijenjenog broja 13, tada će iznos biti veći od proizvoda predviđenog broja i broja 14. Ako dodate 45 na kvadrat namijenjenog broja 45, zatim iznos će biti manji od rada predviđenog broja i broja 18. Koji je broj namijenjen?

Odluka.

Prva faza. Izrada matematičkog modela.
Zamišljeni broj x, kao što smo vidjeli gore, mora zadovoljiti sistem nejednakosti

Druga faza. Rad sa matematičkim modelom. Formiramo prvu nejednakost sistema na umu
x2- 14x + 13\u003e 0.

Pronađite korijene snimka x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13. Uz pomoć parabole y \u003d x 2 - 14x + 13 (Sl. 30) Zaključujemo da nas nejednakost koja nas zanima izvodi se sa x< 1 или x > 13.

Drugo nejednakost sustava transformiramo na tip X2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Postoje samo "Xers" i samo Abscissa os, sada "paljenje" i polje aktivnosti širi se na čitavu koordinatnu ravninu. Nadalje, prema tekstu, fraza "linearna nejednakost" razumijemo u dvodimenzionalnom smislu, što će postati jasnije u nekoliko sekundi.

Pored analitičke geometrije, materijal je relevantan za niz ciljeva matematičke analize, ekonomskog i matematičkog modeliranja, pa preporučujem da se ovo predavanje zatvore sa svim ozbiljnošću.

Linearne nejednakosti

Razlikovati dvije vrste linearnih nejednakosti:

1) Strog Nejednakosti :.

2) Neztreat Nejednakosti :.

Kakvo geometrijsko značenje ovih nejednakosti? Ako linearna jednadžba postavlja direktno, linearna nejednakost određuje polu-avion.

Da biste shvatili sljedeće informacije, morate znati sorte izravne u avionu i moći graditi ravno. Ako u ovom dijelu postoje poteškoće, pročitajte certifikat Grafikoni i svojstva funkcija - odlomak o linearnoj funkciji.

Krenimo od najjednostavnijih linearnih nejednakosti. Plavi san bilo kojeg dvosmjernog - koordinatnog aviona na kojem nema ništa:

Kao što je poznato, Abscissa Axis postavlja jednadžba - "Igrek" je uvijek (sa bilo kojim značenjem "x") jednako nuli

Razmotrite nejednakost. Kako to neformalno razumjeti? "Igrek" je uvijek (sa bilo kojim značenjem "x") pozitivan je. Očito je da ova nejednakost određuje gornju polovinu ravninu - na kraju krajeva, postoje sve točke s pozitivnim "igranjem".

U slučaju da je nejednakost nevjerovatna, na gornju polovinu dodatno Sama osovina se dodaje.

Slično tome: nejednakost je zadovoljna svim točkama donje polovine ravnine, donja polovica + osi odgovara ne-strogim nejednakosti.

Sa vlasnikom ordinate, ista prozaična priča:

- nejednakost postavlja desnu polu-ravninu;
- nejednakost postavlja desnu polovinu, uključujući ordinatsku osovinu;
- nejednakost je postavlja lijevu polovinu;
- Nejednakost postavlja lijevu polovinu, uključujući ordinat osovine.

U drugom koraku razmislite o nejednakostima u kojima nema nikoga od varijabli.

Ne postoji "igra":

Ili nedostaje "X":

Sa takvim nejednakostima može se tražiti na dva načina, molimo vas da razmislite oba pristupa. Uz put, sjetimo se školskih akcija s nejednakostima koje su već rastavljene na lekciji Područje definiranja funkcije.

Primjer 1.

Riješite linearne nejednakosti:

Šta znači riješiti linearnu nejednakost?

Riješite linearnu nejednakost - znači pronaći pola ravninuČije bodove zadovoljavaju ovu nejednakost (plus vrlo direktan, ako je nejednakost nevjerovatna). Odluka, obično, grafički.

Prikladnije je odmah napraviti crtež, a zatim svi komentariše:

a) Riješite nejednakost

Prvo moda

Metoda prilično podseća na priču sa koordinatnim osi, koje smo razmotrili gore. Ideja je pretvoriti nejednakost - da ne ostavi jednu varijablu u lijevom dijelu bez konstanta, u ovom slučaju, varijabla "X".

Pravilo: U nejednakosti se komponente prenose iz dijela na dio promjenom znaka, dok je znak samog nejednakosti ne mijenja se (Na primjer, ako postoji "manje" znak, onda će ostati "manje").

Nosimo "pet" na desnu stranu promjenom znaka:

Pravilo Pozitivno ne mijenja se.

Sada su jednostavni (plava isprekidana linija). Direktno provodi isprekidana linija iz razloga koja nejednakost strog, a točke koje pripadaju ovom direktnom neće znati odlučiti.

Kakvo je značenje nejednakosti? "X" je uvijek (sa bilo kojim značenjem "igarek") manje od. Očigledno, ova izjava zadovoljava sve točke lijeve polu-ravnine. Ovaj pola aviona, u principu, može se zasjeniti, ali ograničiti ću male plave strijelce, tako da ne pretvorim crtež u umjetničku paletu.

Metoda drugog

Ovo je svestran način. Čitali smo vrlo pažljivo!

Prvi kovač. Za jasnoću, usput, jednadžba je preporučljiva za podnošenje u obrascu.

Sada odaberite bilo koju točku aviona, ne pripadajući direktno. U većini slučajeva, naravno najvažnija točka. Zamjenjujemo koordinate ove točke na nejednakost:

Primljen nevažeća nejednakost (Jednostavne reči, ne može biti), znači da tačka ne zadovoljava nejednakost.

Ključno pravilo našeg zadatka:
ne zadovoljava nejednakost, onda Sve Bodovi ove polu-ravnine ne zadovoljavaju Ta nejednakost.
- ako bilo koja poenta polu-aviona (nije u vlasništvu linije) zadovoljiti nejednakost, onda Sve Bodovi ove polu-ravnine zadovoljiti Ta nejednakost.

Možete testirati: Bilo koja ukazivanja desno od ravnog neće zadovoljavati nejednakost.

Koji je zaključak iz iskustva sa poantama? Nigdje ne ide, nejednakost zadovoljava sve točke drugog - lijevu polovinu (možete provjeriti i).

b) riješiti nejednakost

Prvo moda

Transformiramo nejednakost:

Pravilo: Oba dijela nejednakosti mogu se umnožiti (podijeljeni) na Negativanbroj, sa znakom nejednakosti Promjenena suprotnom (na primjer, ako je postojao "ili" ili "znak, tada će postati" manje ili jednako ").

Pomnoživimo oba dijela nejednakosti na:

Nacrtajte direktnu (crvenu boju) i, nacrtajte čvrstu liniju, jer imamo nejednakost nestor, i direktno se veruje da reši.

Nakon analize rezultirajuće nejednakosti zaključujemo da je njegovo rješenje donja polovica (+ direktno).

Prikladni potez ili strelice marke na pola ravnine.

Metoda drugog

Izvući ravno. Izrađujemo proizvoljnu tačku ravnine (ne pripadaju liniji), na primjer, i zamjenjuju njegove koordinate u našoj nejednakosti:

Primljen vjerna nejednakostTo znači da tačka zadovoljava nejednakost, a uopšte - sve točke donje poluvremena zadovoljavaju ovu nejednakost.

Evo, eksperimentalna točka koju smo "pogodili" u željenom polu-ravninu.

Problem zadatka označen je crvenim ravnim i crvenim strelicama.

Lično mi se više sviđa prvo rješenje za mene, jer je druga formulirana.

Primer 2.

Riješite linearne nejednakosti:

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Pokušajte riješiti zadatak na dva načina (usput, dobar je način za provjeru rješenja). Kao odgovor na kraju lekcije, bit će samo konačni crtež.

Mislim, nakon svih onih koji su učinili u primjerima, morat ćete se udati za njih neće biti teško riješiti najjednostavniju nejednakost poput itd.

Obraćamo se razmatranju trećeg, općeg slučaja kada su obje varijable prisutne u nejednakosti:

Alternativno, besplatan pojam "CE" može biti nula.

Primjer 3.

Pronađite pola ploče koji odgovaraju sljedećim nejednakostima:

Odluka: Ovo koristi metodu univerzalnog rješenja s razlikom u točki.

a) Izgrađujemo liniju jednadžbu, dok linija treba izvesti isprekidanom linijom, jer je nejednakost stroga i sama direktna se neće prijaviti u rješenje.

Odaberite eksperimentalnu točku aviona, koja ne pripada ovom direktnom, na primjer, i zamijeni svoje koordinate u našoj nejednakosti:

Primljen nevažeća nejednakostDakle, poenta i sve točke ove polovine ne zadovoljavaju nejednakost. Rješenje nejednakosti bit će još jedan polu-ravnina, divite se plavoj muniranju:

b) Riješit ću nejednakost. Prvo izgraditi ravnu liniju. Lako je napraviti, imamo kanoničnu izravnu proporcionalnost. Izvodimo liniju sa solidnom, kao nejednakost Nestora.

Odaberite proizvoljnu tačku aviona koja ne pripada liniji. Želio bih ponovo koristiti početak koordinata, ali, nažalost, sada nije prikladan. Stoga ćete morati raditi s drugom djevojkom. Profitabilnije je uzeti u obzir tačku s malim koordinatnim vrijednostima, na primjer. Zamjena svojih koordinata u našoj nejednakosti:

Primljen vjerna nejednakostTo znači da je tačka i sve točke ove polu-ravnine zadovoljavaju nejednakost. Željeni pola ravnine označen je crvenim strelicama. Pored toga, rješenje uključuje direktno.

Primjer 4.

Pronađite pola ploče koje odgovaraju nejednakostima:

Ovo je primjer za neovisno rješenje. Kompletno rješenje, primjer dizajna i odgovor uzorka na kraju lekcije.

Mi ćemo analizirati inverzni zadatak:

Primjer 5.

a) Dana je ravno. Odrediti poluplana u kojoj se nalazi tačka, dok direktan direktan mora biti u rješenju.

b) Dana je ravno. Odrediti pola ravnine u kojem se tačka nalazi. Sama ravna linija nije uključena u otopinu.

Odluka: Ovdje nema potrebe za crtežom, a rješenje će biti analitičko. Ništa teško:

a) čine pomoćni polinom i izračunati njegovu vrijednost na pojmu:
. Dakle, željena nejednakost će biti sa "manje" znakom. Pod uvjetom je direktno rješenje, tako da će nejednakost biti nevjerovatna:

b) čine polinom i izračunavaju njegovu vrijednost na točki:
. Dakle, željena nejednakost bit će s znakom "Više". Pod uvjetom, direktno nije uključeno u odluku, stoga će nejednakost biti stroga :.

Odgovoriti:

Kreativni primjer za samostalnost:

Primjer 6.

Daniteti i ravni. Među navedenim bodovima za pronalaženje onih koji zajedno s početkom koordinata leže na jednoj strani navedenog direktora.

Mali nagovještaj: Prvo morate napraviti nejednakost koja određuje pola ravninu u kojem se porijeklo nalazi. Analitičko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Sistemi linearnih nejednakosti

Sistem linearnih nejednakosti je, kao što razumijete, sustav sastavljen od nekoliko nejednakosti. LOL, pa, definicija izdata \u003d) ježev je jež, nož je nož. Ali istina - ispostavilo se jednostavno i dostupno! Ne, ako ozbiljno, ne želim da donesem neke primjere uopšte, pa ćemo se odmah pretvoriti u hitna pitanja:

Šta znači riješiti sistem linearnih nejednakosti?

Riješite linearne nejednakosti - to znači pronađite mnoge bodovne ravnineko zadovoljava svakom Nejednakost sistema.

Kao najjednostavniji primjeri, razmatramo sistem nejednakosti koji određuju koordinatne četvrti pravougaonog koordinatnog sustava ("Crtanje patuljaka" na samom početku lekcije):

Sistem nejednakosti postavlja prvu koordinatnu četvrtinu (desni vrh). Koordinate bilo koje točke prvog tromjesečja, na primjer, itd. Zadovoljiti svakom nejednakost ovog sistema.

Slično tome:
- Sistem nejednakosti postavlja drugi koordinatni kvartal (lijevi vrh);
- Sistem nejednakosti postavlja treću koordinatnu četvrtinu (levo u nastavku);
- Sistem nejednakosti postavlja četvrtu koordinatnu četvrtinu (desno niže).

Sistem linearnih nejednakosti možda neće imati rješenja, to jest stalno. Opet najjednostavniji primjer :. Sasvim je očito da "X" može istovremeno biti više od tri i manje od dva.

Rešenje sistema nejednakosti može biti direktna, na primer :. Labud, rak, bez pičke, povucite ko u dva različita smjera. Da, ko je i sada tamo - rješenje ovog sistema je direktna.

Ali najčešći slučaj kada je rješenje sistema neki avion. Odluke regije možda nije ograničeno (Na primjer, koordinatnije tromjesečje) ili ograničen. Nazvane su odluke o ograničenoj površini poligon sistemska rješenja.

Primjer 7.

Riješite linearne nejednakosti

U većini slučajeva, u većini slučajeva potrebno je nositi se sa nevjerovatnim nejednakostima, tako da će preostali dio Led ples predavanja biti oni oni.

Odluka: Činjenica da je nejednakosti previše, ne bi se trebalo uplašiti. Koliko mogu biti nejednakosti u sistemu? Da, koliko god želite. Glavna stvar je pridržavati se racionalnog algoritma za izgradnju područja odluke:

1) Prvo se bavimo najjednostavnijim nejednakostima. Nejednakosti određuju prvu koordinatnu četvrtinu, uključujući granicu od koordinatnih osovina. Već je mnogo lakše, jer se područje pretraživanja značajno suziralo. Na crtežu odmah slavite strelice koje odgovaraju polu-ravnini (crvene i plave strelice)

2) Druga jednostavnost je nejednakost - ne postoji "Igrek". Prvo, izgrađujemo vrlo direktno, i drugo, nakon pretvorbe nejednakosti u obrazac, odmah postaje jasno da su svi "Xers" manji od 6. Primjećujemo zelenu polovinu. Pa, područje pretraživanja postalo je još manje - to nije ograničeno na vrh pravokutnika.

3) U posljednjem koraku rješavamo nejednakost "s potpunom municijom" :. Algoritam rješenja koji se detaljno razmatraju u prethodnom odlomku. Ukratko: Prvo izgrađujemo ravnu liniju, a zatim uz pomoć eksperimentalne točke nađemo ono što nam treba pola ravnine.

Stalak, djeca, stajanje u krugu:


Sistem rješenja sustava je poligon, u crtežu, kruži se linijom maline i zasjenjenim. Reforn rung a malo \u003d) u bilježnici, područje rješenja je dovoljna ili zasjenjena, ili u masnoj za zaokruži jednostavnu olovku.

Svaka tačka ovog poligona zadovoljava svaku nejednakost sistema (možete provjeriti za kamate).

Odgovoriti: Rješenje od strane sustava je poligon.

Prilikom pravljenja čistih, bilo bi lijepo slikati detaljno, za koje ste bodove ugradili ravno (vidi lekciju Grafikoni i svojstva funkcija), a kako je utvrđeno pola ravnina (vidi prvi odlomak ove lekcije). Međutim, u praksi će se u većini slučajeva pripisati i jednostavno ispravan crtež. Sami proračuni mogu se izvesti na nacrtu ili čak usmeno.

Pored poligona rješenja sistema, u praksi, iako se nalazi manje često otvoreni prostor. Pokušajte rastaviti sljedeći primjer sami. Iako, zarad mirovanja ovdje nije - građevinski algoritam isti je, samo region neće biti ograničen.

Primjer 8.

Riješite sistem

Rješenje i odgovor na kraju lekcije. Najvjerojatnije ćete imati drugu pismu za notacije vrhova dobijenog područja. Nije u osnovi, glavna stvar je pronaći vrhove i pravilno izgraditi područje.

Nije neuobičajeno kada zadaci ne trebaju ne samo da izgrade područje sistemskih rješenja, već i za pronalaženje koordinata vrhova regije. U dva prethodna primjera, koordinate podataka bile su očigledne, ali u praksi se sve događa ne led:

Primjer 9.

Riješite sistem i pronađite koordinate vrhova dobivenog područja

Odluka: Prikaži se u oblasti crtanja rješenja ovog sistema. Nejednakost postavlja lijevu polovinu s vlasnikom ordinate, a nema više besplatnih. Nakon proračuna o završnom obradu / nacrtu ili dubokim mentalnim procesima, dobivamo sljedeće područje rješenja:

pogledajte također rješavanje linearnog programiranja grafički, kanonski linearni programski zadaci

Sistem ograničenja takvog zadatka sastoji se od nejednakosti iz dvije varijable:
a ciljna funkcija ima obrazac F. = C. 1 X. + C. 2 y.što se mora maksimizirati.

Odgovor na pitanje: koji parovi brojeva ( X.; y.) Da li su odluke sistema nejednakosti, I.E. u isto vrijeme zadovoljavaju svaku nejednakosti? Drugim riječima, šta znači grafički rešiti sistem?
Prvo je potrebno razumjeti šta je rješenje za jednu linearnu nejednakost s dvije nepoznate.
Riješite linearnu nejednakost s dvije nepoznate znači odrediti sve parove nepoznate vrijednosti na kojima se nejednakost obavlja nejednakost.
Na primjer, nejednakost 3 x. – 5 y. ≥ 42 zadovoljavajuće parove ( x. , y.): (100, 2); (3, -10), itd. Zadatak je pronaći svu takvu paru.
Razmotrite dvije nejednakosti: SJEKIRA. + od≤ C., sJEKIRA. + od≥ C.. Ravni SJEKIRA. + od = c. dijeli avion na dvije polovine tablice tako da koordinate točaka jednog od njih zadovoljavaju nejednakost sJEKIRA. + od >c. i druga nejednakost sJEKIRA. + +od <c..
Zaista, napravite tačku sa koordinatom X. = x. 0; Tada tačka leži direktno i ima apscisu x. 0, ima ordinate

Neka sigurno SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:& lt 0, b.>0, c. \u003e 0. Sve bodove sa apscisom x. 0 ležeći iznad P. (Na primjer, poenta M.), imati Y m>y. 0, a sve bodove temeljne bodove P., sa apscisom x. 0, imati Y n.<y. 0. Ukoliko x. 0 -konska tačka, uvijek na jednoj strani ravno, bit će točke za koje sJEKIRA.+ od > c.Formiranje pola ravnine, a s druge strane - točke za koje sJEKIRA. + od< c..

Slika 1

Znak nejednakosti u poluplanu ovisi o brojevima SVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR:, b. , c..
Slijedi sljedeći način grafičke rješenja linearnih nejednakosti iz dvije varijable. Da biste rešili sistem, potrebno je:

1. Za svaku nejednakost napišite jednadžbu koja odgovara ovoj nejednakosti.
2. Konstruirajte direktno, koji su grafikoni funkcija definiranih jednadžbama.
3. Za svaku pravu liniju za određivanje pola ravnine, što je postavljeno u nejednakosti. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku koja ne leži ravno, zamijeni svoje koordinate na nejednakost. Ako je nejednakost tačna, onda pola aviona koji sadrži odabranu točku i rješenje je prvotne nejednakosti. Ako je nejednakost netačna, onda je pola ravnina s druge strane izravnog raznolikost rješenja ove nejednakosti.
4. Da bi se riješio sistem nejednakosti, potrebno je pronaći područje sjecišta svih polu-pozicija, koje su rješenje svake nejednakosti sustava.

Ovo područje može biti prazno, tada sistem nejednakosti nema rješenja, nedosljedna. Inače kažu da je sistem koordiniran.
Rješenja mogu biti konačni broj i beskonačan set. Područje može biti zatvoreni poligon ili biti neograničen.

Razmotrite tri relevantna primjera.

Primjer 1. Riješite grafički sistem:
X. + y - 1 ≤ 0;
–2 X -2y. + 5 ≤ 0.

• razmislite o jednadžbima x + y-1 \u003d 0 i -2x-2y + 5 \u003d 0, što odgovara nejednakostima;
• izgrađujemo direktno, definirane tim jednadžbama.

Slika 2.

Mi definiramo pola ravninu postavljene nejednakostima. Uzmi proizvoljnu tačku, neka (0; 0). Razmatrati x.+ y-1 0, zamjenjujemo poenta (0; 0): 0 + 0 - 1 ≤ 0. Dakle, u polu-ravnini, gdje je tačka (0; 0), x. + y. – 1 ≤ 0, I.E. Poluplanalna osnovna direktna rješenje je prve nejednakosti. Supsit se ove tačke (0; 0), drugo, dobivamo: -2 ∙ 0 - 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, I.E. U poluplanu, gdje je tačka (0; 0), -2 x. – 2y. + 5≥ 0, a pitali su nas gdje -2 x. – 2y. + 5 ≤ 0, dakle, u još jednom polupravniku - u onu koja je iznad ravno.
Pronađite raskrižje ova dva polu-pozicija. Ravno su paralelno, stoga se avion ne presijeca nigdje, što znači da sistem nejednakosti rješenja nema, nepotpune.

Primjer 2. Pronađite grafički rješenja sistema nejednakosti:

Slika 3.
1. Pijte jednadžbe koja odgovara nejednakostima i izgraditi ravno.
x. + 2y.– 2 = 0

X.	2	0
y.	0	1

y. – x. – 1 = 0

x.	0	2
y.	1	3

y. + 2 = 0;
y. = –2.
2. Odabirom tačke (0; 0) definiramo znakove nejednakosti u poluvremenu:
0 + 2 ∙ 0 - 2 ≤ 0, I.E. x. + 2y.- 2 ≤ 0 u pola ravninu ispod ravno;
0 - 0 - 1 ≤ 0, I.E. y. –x.- 1 ≤ 0 u pola ravninu ispod ravno;
0 + 2 \u003d 2 ≥ 0, I.E. y. + 2 ≥ 0 u pola ravninu iznad ravno.
3. Presijecanje ova tri polu-pozicije bit će područje koje je trokut. Lako je pronaći vrhove područja poput presečnih točaka odgovarajućeg direktnog


Na ovaj način, Ali(–3; –2), U(0; 1), Od(6; –2).

Razmotrite još jedan primjer u kojem nastaje područje sustava rješenja nije ograničeno.

Ovaj članak sadrži početne informacije o sistemima nejednakosti. Definicija sistema nejednakosti dat je ovdje i određivanje rješenja sistema nejednakosti. A također navodi glavne vrste sistema sa kojima najčešće rade u lekcijama algebre u školi, a daju se primjeri.

Navigacijsku stranicu.

Koji je sistem nejednakosti?

Sistemi nejednakosti su povoljno definirani slično na način na koji smo uveli definiciju sistema jednadžbi, odnosno prema vrsti evidentiranja i značenja umetnuta u njega.

Definicija.

Sistem nejednakosti - Ovo je zapis, što je određeni broj nejednakosti zabilježenih jedno u drugom, kombiniran na lijevoj narukvici i označavajući mnoge od svih rješenja koja su istovremeno rješenja za svaku nejednakost sustava.

Dajemo primjer sistema nejednakosti. Uzmite dva proizvoljna, na primjer, 2 · x-3\u003e 0 i 5 - X≥4 · X-11, mi ih napisamo ispod drugog
2 · X-3\u003e 0,
5-X≥4 · X-11
i ujedinite sistemski znak - nosač slike, kao rezultat, dobivamo sistem nejednakosti ove vrste:

Slično tome, daje se ideja nejednakosti u školskim udžbenicima. Vrijedno je napomenuti da su definicije date usko: za nejednakosti s jednom varijablom ili sa dvije varijable.

Glavne vrste nejednakosti

Jasno je da možete bez raznovitih nejednakosti napraviti beskrajno nejednakosti. Da se ne izgubimo u ovom razvodu, preporučljivo ih je razmotriti u grupama koje imaju svoje karakteristične karakteristike. Sve nejednakosti mogu se podijeliti u grupe prema sljedećim kriterijima:

• u broju nejednakosti u sistemu;
• po broju varijabli uključenih u zapisnik;
• prema samim nejednakosti.

U broju nejednakosti uključenih u ulaz postoje dva, tri, četiri sistema itd. nejednakosti. U prethodnom odlomku vodili smo primjer sistema koji je sistem dviju nejednakosti. Pokažemo još jedan primjer sustava od četiri nejednakosti .

Odvojeno, recite da nema smisla govoriti o sistemu jedne nejednakosti, u ovom slučaju, u stvari, govorimo o samom nejednakosti, a ne o sistemu.

Ako pogledate broj varijabli, postoji sistem nejednakosti s jednim, dva, tri itd. varijable (ili, kao i drugdje su nepoznate). Pogledajte posljednji sistem nejednakosti zabilježenih dva paragrafa gore. Ovo je sistem sa tri varijable x, y i z. Imajte na umu da njegova dva prva nejednakosti ne sadrže sve tri varijable, već samo jedan od njih. U kontekstu ovog sistema, treba ih shvatiti kao nejednakosti s tri varijable vrste X + 0 · y + 0 · z≥-2 i 0 · x + y + 0 · z≤5, respektivno. Imajte na umu da se u školi glavna pažnja posvećuje nejednakostima s jednom varijablom.

Ostaje da se razgovara o tome koje su vrste nejednakosti uključene u evidenciju sistema. Škola uglavnom smatra sisteme dviju nejednakosti (manje često - tri, još manje često - četiri ili više) s jednom ili dvije varijable, a same nejednakosti su obično cijele nejednakosti Prvi ili drugi stepen (rjeđi - viši stepeni ili frakcijski racionalni). Ali nemojte se iznenaditi ako u pripremnim materijalima nailaze u sustavima nejednakosti koji sadrže iracionalnu, logarimsku, indikativnu i druge nejednakosti. Kao primjer, dajemo sustav nejednakosti Ona je uzeta iz.

Šta se naziva rješenje sistema nejednakosti?

Uvodimo drugu definiciju povezanu sa sistemima nejednakosti - određivanje rešenja sistema nejednakosti:

Definicija.

Rešavanjem sistema nejednakosti sa jednom varijablom Naziva se tako varijabilnom vrijednošću koja svaku nejednakosti sustava dodaje vjernom, drugim riječima, što je rješenje svake nejednakosti sustava.

Objasnimo na primjeru. Uzmite sistem od dvije nejednakosti s jednom varijablom. Uzmite vrijednost varijable x jednako 8, to je rješenje našeg sustava nejednakosti po definiciji, jer njegova zamjena u nejednakosti sustava daje dvije vjerne numeričke nejednakosti 8\u003e 7 i 2-3 · 8≤0. Naprotiv, jedinica nije rješenje sistema, jer je zamijenjen umjesto varijablu x, prva nejednakost pretvoriće se u netačnu numeričku nejednakost 1\u003e 7.

Slično tome, moguće je uvesti određivanje rješenja sistema nejednakosti sa dva, tri i velikom broju varijabli:

Definicija.

Rješenjem sistema nejednakosti sa dva, tri itd. varijable Zove se parom, trostrukom itd. Vrijednosti ovih varijabli, koje su istovremeno rješenje za svaku nejednakost sustava, odnosno izvlači svaku nejednakost sustava u pravu numeričku nejednakost.

Na primjer, par vrijednosti X \u003d 1, y \u003d 2 ili drugi zapis (1, 2) rješenje je sustava nejednakosti s dvije varijable, kao 1 + 2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemi nejednakosti možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja i mogu imati beskonačno mnogo rješenja. Često govore o skupu rješenja sistema nejednakosti. Kad sistem nema rešenja, tada postoji prazan skup svojih rješenja. Kada su rješenja konačni broj, tada se skup rješenja sadrži konačni broj predmeta, a kada su rješenja beskonačno puno, tada se skup rješenja sastoji od beskonačnog broja elemenata.

U nekim izvorima uvode se definicije privatnog i općeg rješenja sistema nejednakosti, na primjer, u Mordovichovim udžbenicima. Ispod privatno rješenje sistema nejednakosti Razumiju njenu jednu odvojenu odluku. Zauzvrat opće rešenje sistema nejednakosti - To je sva njena privatna rješenja. Međutim, u ovim uvjetima ima smisla samo kad je potrebno naglasiti da je jasno u kojoj je odluku, ali obično je jasno iz konteksta, toliko češće kažu da jednostavno "rješava sistem nejednakosti".

Iz definisanja nejednakosti i rješenja unesenih u ovaj članak slijedi da je rješenje sustava nejednakosti presekcija seta rješenja svih nejednakosti ovog sistema.

Bibliografija.

1. Algebra: Studije. Za 8 cl. Opšte obrazovanje. Institucije / [YU. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Prosvetljenje, 2008. - 271 str. : Il. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algebra: 9. razred: Studije. Za opšte obrazovanje. Institucije / [YU. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. Telikovsky. - 16. ed. - M.: Prosvetljenje, 2009. - 271 str. : Il. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. MORDKOVICH A. G. Algebra. 9. razred. U 2 TSP. 1. TUTORIJALJ za studente općih obrazovnih ustanova / A. MORDKOVICH, P. V. Semenov. - 13. Ed. Čak i. - M.: Mnemozina, 2011. - 222 c.: Il. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. MORDKOVICH A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 2 TSP. 1. Udžbenik za studente općeg obrazovnog institucija (nivo profila) / A. MORDKOVICH, P. V. Semenov. - Drugo ed., Ched. - M.: Mnemozina, 2008. - 287 str.: Il. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Ege-2013. Matematika: Tipični pregledi: 30 opcija / ed. SVEDOK ŠEŠELJ - ODGOVOR: L. Semenova, I. V. Yashchenko. - M.: Izdavačka kuća "Nacionalno obrazovanje", 2012. - 192 str. - (EGE-2013. FIPI škola).