Znakovi konvergencije serija.
D'Alembertov znak. Cauchyjevi znaci

Rad, rad - i razumijevanje će doći kasnije
J.L. d'Alembert

Čestitamo svima početak školske godine! Danas je 1. septembar, a u čast praznika, odlučio sam da upoznam čitaoce sa onim čemu se radujete i želite da saznate već duže vreme - znaci konvergencije numeričkih pozitivnih nizova. Prvoseptembarski raspust i moje čestitke su uvijek aktuelne, u redu je ako je vani ljeto, sada polažete treći put, proučite ako ste posjetili ovu stranicu!

Za one koji tek počinju proučavati serije, preporučujem da prvo pročitaju članak Brojevi za lutke. Zapravo, ova kolica su nastavak banketa. Dakle, danas ćemo u lekciji pogledati primjere i rješenja na teme:

Jedan od uobičajenih znakova poređenja koji se nalazi u praktičnim primjerima je D'Alembertov znak. Cauchyjevi znakovi su manje uobičajeni, ali i vrlo popularni. Kao i uvijek, trudiću se da materijal predstavim jednostavno, pristupačno i razumljivo. Tema nije najteža, a svi zadaci su u određenoj mjeri standardni.

D'Alembertov test konvergencije

Jean Leron d'Alembert je bio poznati francuski matematičar iz 18. vijeka. Općenito, d’Alembert se specijalizirao za diferencijalne jednadžbe i, na osnovu svojih istraživanja, proučavao je balistiku kako bi topovske kugle Njegovog Veličanstva bolje letjele. U isto vrijeme, nisam zaboravio na niz brojeva; nije uzalud da su se redovi Napoleonovih trupa kasnije tako jasno zbližili i razišli.

Prije nego što formulišemo sam znak, razmotrimo jedno važno pitanje:
Kada treba koristiti D'Alembertov test konvergencije?

Počnimo prvo s pregledom. Prisjetimo se slučajeva kada trebate koristiti najpopularnije granica poređenja. Ograničavajući kriterijum za poređenje se primenjuje kada je u opštem terminu serije:

1) Imenilac sadrži polinom.
2) Polinomi su i u brojniku i u nazivniku.
3) Jedan ili oba polinoma mogu biti ispod korijena.
4) Naravno, može biti više polinoma i korijena.

Glavni preduslovi za primjenu d'Alembertovog testa su sljedeći:

1) Uobičajeni pojam serije („ispunjavanje” serije) uključuje neki broj do određenog stepena, na primjer, , , i tako dalje. Štaviše, uopće nije važno gdje se ta stvar nalazi, u brojniku ili u nazivniku - bitno je da je tu prisutna.

2) Uobičajeni pojam serije uključuje faktorijel. Ukrstili smo mačeve sa faktorijalima još u lekciji Brojevi niz i njegova granica. Međutim, neće škoditi da ponovo raširite stolnjak koji ste sami sastavili:





…


…

! Kada koristimo d'Alembertov test, faktorijel ćemo morati detaljno opisati. Kao iu prethodnom paragrafu, faktorijel se može nalaziti na vrhu ili na dnu razlomka.

3) Ako u opštem terminu serije postoji „lanac faktora“, npr. . Ovaj slučaj je rijedak, ali! Prilikom proučavanja takve serije često se pravi greška - vidi primjer 6.

Uz stepene i/ili faktorijele, polinomi se često nalaze u popunjavanju niza; to ne mijenja situaciju - potrebno je koristiti D'Alembertov znak.

Osim toga, u zajedničkom terminu serije i stepen i faktorijel mogu se pojaviti istovremeno; mogu postojati dva faktorijala, dva stepena, važno je da postoje barem nešto od razmatranih tačaka - a to je upravo preduslov za korišćenje D'Alembertovog znaka.

D'Alembertov znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje omjera sljedećeg termina u odnosu na prethodni: , tada:
a) Kada se vesla konvergira
b) Kada se vesla divergira
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Najčešće se dobije u slučaju kada pokušavaju primijeniti D'Alembertov test gdje je potrebno koristiti test ograničavanja poređenja.

Za one koji i dalje imaju problema sa granicama ili nerazumijevanjem granica pogledajte lekciju Ograničenja. Primjeri rješenja. Bez razumijevanja granice i sposobnosti otkrivanja neizvjesnosti, nažalost, ne može se napredovati dalje.

A sada dugo očekivani primjeri.

Primjer 1

Vidimo da u općem terminu serije imamo , a to je siguran preduvjet za korištenje d'Alembertovog testa. Prvo, kompletno rješenje i uzorak dizajna, komentari ispod.

Koristimo d'Alambertov znak:


konvergira.

(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom: . Iz uvjeta vidimo da je opći pojam serije . Da biste dobili sljedećeg člana serije to je neophodno umjesto zamjene: .
Ako imate iskustva s rješenjem, možete preskočiti ovaj korak.
(3) Otvorite zagrade u brojiocu. U nazivniku uzimamo četiri iz stepena.
(4) Smanjite za . Konstantu uzimamo izvan predznaka granice. U brojniku predstavljamo slične pojmove u zagradama.
(5) Nesigurnost se otklanja na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.
(6) Delimo brojioce član po član imeniocima i označavamo članove koji teže nuli.
(7) Pojednostavljamo odgovor i napominjemo da uz zaključak da, prema D’Alembertovom kriteriju, proučavani niz konvergira.

U razmatranom primeru, u opštem terminu niza naišli smo na polinom 2. stepena. Šta učiniti ako postoji polinom 3., 4. ili višeg stepena? Činjenica je da ako je dat polinom višeg stupnja, tada će nastati poteškoće s otvaranjem zagrada. U ovom slučaju možete koristiti metodu “turbo” rješenja.

Primjer 2

Uzmimo sličan niz i ispitajmo ga na konvergenciju

Prvo kompletno rješenje, pa komentari:

Koristimo d'Alambertov znak:


Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Kreiramo relaciju .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.
(3) Razmotrimo izraz u brojniku i izrazu u nazivniku. Vidimo da u brojiocu trebamo otvoriti zagrade i podići ih na četvrti stepen: , što apsolutno ne želimo učiniti. A za one koji nisu upoznati s Newtonovim binomom, ovaj će zadatak biti još teži. Hajde da analiziramo više stepene: ako otvorimo zagrade na vrhu , onda ćemo dobiti višu diplomu. Ispod imamo istu višu diplomu: . Po analogiji sa prethodnim primjerom, očito je da kada dijelimo brojnik i imenilac član po član, na kraju imamo jedan u granici. Ili, kako matematičari kažu, polinomi i - isti red rasta. Dakle, sasvim je moguće ocrtati odnos jednostavnom olovkom i odmah naznačite da ova stvar teži jednom. Mi se bavimo drugim parom polinoma na isti način: i , oni također isti red rasta, a njihov omjer teži jedinstvu.

Zapravo, takav „hak“ je mogao biti izveden u primjeru br. 1, ali za polinom 2. stepena takvo rješenje još uvijek izgleda nekako nedostojno. Ja lično radim ovo: ako postoji polinom (ili polinomi) prvog ili drugog stepena, koristim metodu „duge“ za rješavanje primjera 1. Ako naiđem na polinom 3. ili višeg stepena, koristim “turbo” metoda slična primjeru 2.

Primjer 3

Ispitati konvergenciju serije

Pogledajmo tipične primjere sa faktorijalima:

Primjer 4

Ispitati konvergenciju serije

Uobičajeni pojam serije uključuje i stepen i faktorijel. Jasno je kao dan da se ovdje mora koristiti d'Alembertov znak. Hajde da odlučimo.

Dakle, serija koja se proučava divergira.

(1) Kreiramo relaciju . Ponavljamo ponovo. Po uslovu, zajednički termin serije je: . Da biste dobili naredni termin u nizu, umjesto toga trebate zamijeniti, Dakle: .
(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.
(3) Odvojite sedam od stepena. Detaljno opisujemo faktorijele. Kako to učiniti - pogledajte početak lekcije ili članak o nizovima brojeva.
(4) Režemo sve što se može rezati.
(5) Konstantu pomičemo izvan predznaka granice. Otvorite zagrade u brojiocu.
(6) Neizvjesnost eliminišemo na standardni način - dijeljenjem brojnika i imenioca sa “en” na najveći stepen.

Primjer 5

Ispitati konvergenciju serije

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije

Primjer 6

Ispitati konvergenciju serije

Ponekad postoje serije koje u svom popunjavanju sadrže “lanac” faktora; ovu vrstu serija još nismo razmatrali. Kako proučavati seriju sa „lancem“ faktora? Koristite d'Alembertov znak. Ali prvo, da shvatimo šta se dešava, hajde da detaljno opišemo seriju:

Iz proširenja vidimo da svaki sljedeći član niza ima dodatni faktor dodan nazivniku, dakle, ako je zajednički član niza , zatim sljedeći član serije:
. Tu često automatski griješe, formalno pišu po algoritmu koji

Primjer rješenja može izgledati ovako:

Koristimo d'Alambertov znak:

Dakle, serija koja se proučava konvergira.

Radikalni Cauchyjev znak

Augustin Louis Cauchy je još poznatiji francuski matematičar. Svaki student inženjerstva može vam reći Cauchyjevu biografiju. U najživopisnijim bojama. Nije slučajno da je ovo ime uklesano na prvom spratu Ajfelove kule.

Cauchyjev test konvergencije za pozitivne nizove brojeva je donekle sličan D'Alembertovom testu o kojem se upravo raspravljalo.

Radikalni Cauchyjev znak: Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji ograničenje: , tada:
a) Kada se vesla konvergira. Konkretno, serija konvergira na .
b) Kada se vesla divergira. Konkretno, serija se razilazi na .
c) Kada znak ne daje odgovor. Morate koristiti drugi znak. Zanimljivo je napomenuti da ako nam Cauchyjev test ne daje odgovor na pitanje konvergencije niza, onda ni D'Alembertov test neće dati odgovor. Ali ako d’Alembertov test ne daje odgovor, onda bi Cauchyjev test mogao “raditi”. To jest, Cauchyjev znak je u tom smislu jači znak.

Kada biste trebali koristiti radikalni Cauchyjev znak? Radikalni Cauchy test se obično koristi u slučajevima kada je zajednički termin serije FULLY je u stepenu ovisno o "en". Ili kada se korijen "dobar" izvuče iz uobičajenog člana serije. Ima i egzotičnih slučajeva, ali nećemo brinuti o njima.

Primjer 7

Ispitati konvergenciju serije

Vidimo da je opći pojam serije u potpunosti pod potencijom ovisno o , što znači da trebamo koristiti radikalni Cauchyjev test:


Dakle, serija koja se proučava divergira.

(1) Zajednički pojam niza formuliramo ispod korijena.
(2) Prepisujemo istu stvar, samo bez korijena, koristeći svojstvo stupnjeva.
(3) U indikatoru dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, što pokazuje da
(4) Kao rezultat, imamo neizvjesnost. Ovdje možete ići dug put: kocka, kocka, a zatim podijelite brojilac i imenilac sa “en” na najveći stepen. Ali u ovom slučaju postoji efikasnije rješenje: možete podijeliti brojnik i nazivnik po članu direktno pod konstantnom snagom. Da biste eliminisali nesigurnost, podijelite brojilac i imenilac sa (najveća snaga).
(5) Mi zapravo vršimo dijeljenje pojam i ukazujemo na članove koji teže nuli.
(6) Sjetimo se odgovora, označimo šta imamo i zaključimo da se niz razilazi.

Evo jednostavnijeg primjera koji možete sami riješiti:

Primjer 8

Ispitati konvergenciju serije

I još par tipičnih primjera.

Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije

Primjer 9

Ispitati konvergenciju serije
Koristimo radikalni Cauchy test:


Dakle, serija koja se proučava konvergira.

(1) Stavite zajednički član niza ispod korijena.
(2) Prepisujemo istu stvar, ali bez korijena, dok otvaramo zagrade koristeći skraćenu formulu množenja: .
(3) U indikatoru, dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član i označavamo da .
(4) Nesigurnost oblika . Ovdje možete direktno podijeliti brojilac sa nazivnikom u zagradi sa “en” do najvišeg stepena. Sa nečim sličnim smo se susreli prilikom učenja druga divna granica. Ali ovdje je situacija drugačija. Kada bi koeficijenti na višim snagama bili identičan, na primjer: , tada trik s podjelom po članu više ne bi funkcionirao, te bi bilo potrebno koristiti drugu izvanrednu granicu. Ali mi imamo ove koeficijente drugačije(5 i 6), stoga je moguće (i potrebno) podijeliti pojam po pojam (usput, naprotiv - druga izuzetna granica za drugačije koeficijenti na višim snagama više ne rade). Ako se sjećate, o ovim suptilnostima se govorilo u posljednjem pasusu članka Metode rješavanja granica.
(5) Mi zapravo vršimo podjelu pojam i ukazujemo koji pojmovi teže nuli.
(6) Nesigurnost je eliminirana, ostaje nam najjednostavnija granica: . Zašto u beskonačno velika teži nuli? Zato što osnova stepena zadovoljava nejednakost. Ako neko sumnja u pravednost limita , onda neću biti lijen, uzeću kalkulator:
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
Ako onda
… itd. do beskonačnosti - odnosno u granici:

Samo tako beskonačno opadajuća geometrijska progresija na prstima =)

(7) Ukazujemo da zaključujemo da red konvergira.

Primjer 10

Ispitati konvergenciju serije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Ponekad se za rješenje nudi provokativan primjer, na primjer:. Ovdje u eksponentu nema "en", samo konstanta. Ovdje morate kvadrirati brojnik i nazivnik (dobijete polinome), a zatim slijedite algoritam iz članka Redovi za lutke. U takvom primjeru bi trebao raditi ili neophodan test za konvergenciju serije ili ograničavajući test za poređenje.

Integralni Cauchy test

Ili samo integralni znak. Razočarat ću one koji nisu dobro razumjeli materijal za prvi kurs. Da biste primijenili Cauchyjev integralni test, morate biti manje-više sigurni u pronalaženje izvoda, integrala, a također morate imati vještinu računanja nepravilan integral prva vrsta.

U udžbenicima matematičke analize integralni Cauchy test dat matematički strogo, ali previše zbunjujuće, pa ću znak formulisati ne prestrogo, ali jasno:

Hajde da razmotrimo niz pozitivnih brojeva. Ako postoji nepravilan integral, tada niz konvergira ili divergira zajedno sa ovim integralom.

I samo nekoliko primjera za pojašnjenje:

Primjer 11

Ispitati konvergenciju serije

Gotovo klasik. Prirodni logaritam i neko sranje.

Glavni preduvjet za korištenje Cauchyjevog integralnog testa je je činjenica da opšti pojam niza sadrži faktore slične određenoj funkciji i njenom derivatu. Iz teme Derivat vjerovatno se sjećate najjednostavnije tablice: , a mi imamo upravo takav kanonski slučaj.

Od artiljerijskog oficira Detuša. Ubrzo nakon rođenja bebu je majka bacila na stepenice pariške „Okrugle crkve sv. John" (francuski: Jean le Rond). U čast ove crkve, dijete je dobilo ime Jean Leron. Odgajan je u porodici staklara Rousseaua, koji ga je usvojio.

Moj otac je u to vrijeme bio u inostranstvu. Vrativši se u Francusku, Detouche se vezao za sina, često ga je posjećivao, pomagao njegovim usvojiteljima i plaćao D'Alembertovo školovanje, iako se nije usuđivao da ga zvanično prizna. Markizina majka nikada nije pokazivala interesovanje za svog sina. Kasnije, postavši slavan, d'Alembert nikada nije zaboravio staklara i njegovu suprugu, finansijski ih je pomagao i uvijek ih je s ponosom nazivao svojim roditeljima.

Prezime d'Alembert, prema nekim izvorima, nastalo je od imena njegovog usvojitelja Alemberta, prema drugima, izmislio ga je sam dječak ili njegovi staratelji: prvo je Jean Leron u školi bio zabilježen kao Daremberg, a zatim je on promijenio ovo ime u D'Alembert.

1726: Detuš, već general, neočekivano umire. Prema testamentu, D'Alembert prima novčanu naknadu od 1.200 livra godišnje i povjeren je brizi rodbine. Dječak je odgajan zajedno sa svojim rođacima, ali i dalje živi u porodici staklara. U hraniteljskoj kući živio je do 1765. godine, odnosno do svoje 48. godine.

Njegov rani talenat omogućio je dječaku da dobije dobro obrazovanje - prvo na koledžu Mazarin (magistrirao je slobodne umjetnosti), zatim na Akademiji pravnih nauka, gdje je dobio titulu licenciranog prava. Međutim, zanimanje advokata mu se nije svidjelo i počeo je studirati matematiku.

Već u dobi od 22 godine D'Alembert je predstavio svoja djela Pariškoj akademiji, a sa 23 godine je izabran za pomoćnika Akademije.

1743: Objavljen je “Treatise on Dynamics” u kojem je formuliran temeljni “D’Alembertov princip”, svodeći dinamiku neslobodnog sistema na statiku. Ovdje je najprije formulirao opća pravila za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja bilo kojeg materijalnog sistema.

Kasnije je ovaj princip primijenio u svojoj raspravi “Razgovori o opštem uzroku vjetrova” (1774.) da bi potkrijepio hidrodinamiku, gdje je dokazao postojanje zračnih plima zajedno s okeanskim plimama.

1748: briljantna studija problema vibracija struna.

Od 1751. D'Alembert je radio sa Didroom na stvaranju čuvene Enciklopedije nauka, umjetnosti i zanata. Članke u 17-tomnoj Enciklopediji koji se odnose na matematiku i fiziku napisao je d'Alembert. Godine 1757., ne mogavši ​​da izdrži progon reakcije kojoj je bio podvrgnut njegov rad u Enciklopediji, udaljio se od njenog objavljivanja i potpuno se posvetio naučnom radu (iako je nastavio pisati članke za Enciklopediju). Enciklopedija je odigrala veliku ulogu u širenju ideja prosvjetiteljstva i ideološkoj pripremi Francuske revolucije.

1754: D'Alembert postaje član Francuske akademije.

1764: u članku “Dimenzionalnost” (za Enciklopediju) prvi put je izražena ideja o mogućnosti razmatranja vremena kao četvrte dimenzije.

D'Alembert je vodio aktivnu prepisku sa ruskom caricom Katarinom II. Sredinom 1760-ih, d'Alamberta je pozvala u Rusiju kao učitelja prijestolonasljednika, ali nije prihvatila poziv.

1772: D'Alembert je izabran za stalnog sekretara Francuske akademije.

1783: D'Alembert je umro nakon duge bolesti. Crkva je odbila da „iskrenom ateisti“ da mesto na groblju, pa je sahranjen u neobeleženoj zajedničkoj grobnici.

Krater na suprotnoj strani Mjeseca i planinski lanac na njegovoj vidljivoj strani nazvani su po d’Alembertu.

Naučna dostignuća

Matematika

D’Alembert je u prve tomove čuvene Enciklopedije stavio važne članke: „Diferencijale“, „Jednačine“, „Dinamiku“ i „Geometriju“, u kojima je detaljno izložio svoje gledište o aktuelnim problemima nauke.

D'Alembert je pokušao da potkrijepi račun infinitezimima koristeći teoriju granica, blisku Newtonovom razumijevanju "metafizike analize". On je jednu veličinu nazvao granicom druge ako se druga, približavajući se prvoj, razlikuje od nje za manje od bilo koje date vrijednosti. „Diferencijacija jednačina jednostavno se sastoji u pronalaženju granica omjera konačnih razlika dviju varijabli uključenih u jednačinu“ - ova fraza bi se mogla pojaviti u modernom udžbeniku. Iz analize je isključio koncept stvarnog infinitezimalnog, dopuštajući ga samo radi kratkoće.

Svaka osoba koja poznaje mehaniku poznaje D'Alembertov zakon, razumije njegovo značenje i izgovara ovo ime s poštovanjem. Pravi matematičar i astronom o D'Alambertu govori sa oduševljenjem i poštovanjem, jer u njemu vidi naslednika Njutna i velikog učitelja Lagranža i Laplasa. Osoba sa širokim opštim obrazovanjem svakako će biti prožeta dubokim poštovanjem prema D’Alambertu kao jednom od glavnih saradnika čuvene „Enciklopedije“ 18. veka.

E.F. Litvinova

Jean Leron d'Alembert (16. novembar 1717. - 29. oktobar 1783.) je bio francuski enciklopedista. Nadaleko poznat kao filozof, matematičar i mehaničar.

Jedan od najsveobuhvatnijih i najuticajnijih umova 18. veka, Jean Leron d'Alembert, rođen je u Parizu. Životni put naučnika započeo je na vrlo neobičan način. Dana 16. novembra 1717. godine, beba u čipkanim pelenama pronađena je na trijemu pariške crkve Saint-Jean-le-Rhone. Njegovo porijeklo je ubrzo postalo jasno - ispostavilo se da je nađu vanbračni sin pisca Tansena i časnika Detouchea. Kada se rodio Jean Leron (ime je dobio po crkvi u blizini koje je pronađen), njegov otac nije bio u Francuskoj, a majka je odlučila da se riješi vanbračnog djeteta. Vrativši se u Francusku, Detuš je pronašao sina, odveo ga iz sela i smjestio u porodicu staklara Rusoa, gdje je Jean proživio većinu svog života. Otac je često posjećivao sina, radovao se njegovim podvalama iz djetinjstva i divio se izvanrednim sposobnostima bebe.

Godine 1726. Detouche, koji je već postao general, neočekivano umire. Prema testamentu, D'Alembert prima naknadu od 1.200 livra godišnje i povjerava se rodbini. Dječak je odgajan zajedno sa svojim rođacima, ali i dalje živi u porodici staklara. U hraniteljskoj kući živio je do 1765. godine, odnosno do svoje 48. godine.

Sa četiri godine Jean Leron je poslat u internat, a od te godine je počeo marljivo učiti, zadivljujući svoje učitelje svojim izvanrednim mentalnim sposobnostima.

Sa 13 godina upisao je koledž Mazarin, nakon čega je dobio titulu diplomiranog umjetnika. U školi je Jean Leron studirao jezike (znao je latinski i grčki toliko da je mogao čitati Arhimeda, Ptolomeja i druge autore u originalu), retoriku, književnost, fiziku i matematiku. D'Alembert se nesebično zaljubio u posljednji predmet, čemu je umnogome pomogao njegov učitelj Caron.

Nakon završetka fakulteta, postavilo se pitanje izbora profesije. Žanovi rođaci bili su protiv njegove strasti prema matematici, pa je upisao dvogodišnju Akademiju pravnih nauka, na kojoj je diplomirao sa zvanjem licencijata prava (srednja diploma između prvostupnika i doktora). Onda je D'Alembert počeo da studira medicinu. Da ga matematika ne bi odvlačila od ovih studija, Jean je sakupio sve svoje matematičke knjige i odnio ih prijatelju. Ali Jean više nije mogao da ne razmišlja o matematici. S vremena na vrijeme mu je bilo potrebno jednu knjigu, pa drugu - za referencu, da proveri ispravnost pronađenog rešenja itd. Postepeno je celu svoju biblioteku odvukao nazad u kuću bračnog para Rousseau, gde je živeo. Istovremeno, Žan je studirao filozofiju, književnost i bio je toliko uspješan u filologiji da je sa 23 godine izabran u Francusku akademiju, odnosno postao jedan od četrdeset "besmrtnika".

D'Alembertov cijeli život bio je ispunjen neumornim radom. Madame Rousseau je svog učenika nazvala filozofom i objasnila da je „filozof tako čudna osoba koja se tokom života lišava svega, radi kao vol od jutra do večeri, i sve za jedina svrha da o njemu pričaju nakon njegove smrti." Ali D'Alembert nije razmišljao o budućoj slavi. Pronalazio je zadovoljstvo u bavljenju matematikom. „Matematika“, rekao je, „je moja najstarija i najiskrenija ljubav“.

D'Alembertovi prvi radovi iz matematike i fizike bili su posvećeni kretanju čvrstih tijela u tečnostima i integralnom računu. D'Alembertova slava došla je od njegovog Traktata o dinamici (1743.), koji opisuje metodu svođenja dinamike čvrstih tijela na statiku (D'Alembertov princip). Prema ovom principu, kretanje čvrstih tijela može se svesti na kretanje pojedinačnih čestica mase.

Godine 1746., u svom djelu “Studije o integralnom računu”, dao je prvi (ne sasvim rigorozan) dokaz osnovne teoreme algebre o postojanju korijena algebarske jednačine. Konačno rješenje za ovo pripada Gaussu.

Naučnik je 1747. objavio članak o teoriji poprečnih vibracija struna, gdje je dao metodu za rješavanje parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda. Takođe je dobio važne rezultate u teoriji običnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima, uveo pojam granice, au teoriji redova uveo je dovoljan kriterijum za konvergenciju, koji nosi njegovo ime; razmišljao o teoriji vjerovatnoće (D'Alembertov paradoks).

Zajedno sa Didroom bio je glavni i odgovorni urednik čuvene Enciklopedije, odnosno Eksplanatornog rečnika nauka, umetnosti i zanata (28 tomova), gde je vodio i odsek za fiziku i matematiku. Pored članaka iz matematike i fizike, napisao je i uvodno poglavlje - Esej o nastanku i razvoju nauka, u kojem je, uglavnom prateći F. Bacona, predstavio klasifikaciju različitih oblasti znanja, pratio njihov nastanak i međusobnu povezanost. , i proglasio dolazak ere prirodnih nauka.

D'Alembert je dao ozbiljan doprinos razvoju temeljnih principa moderne mehanike, svojim radovima, zajedno sa radovima Eulera, braće Bernoulli i Clairauta, postavili su temelje matematičke fizike.Napisao je klasične radove o teoriji fluida. kretanje, problem tri tijela, nutacija Zemlje, kretanje Mjeseca i kretanje vjetra itd. U mehanici je nastojao da se izvuče bez koncepta sile, koji je za njega imao jak "metafizički ukus". D'Alembertova matematička djela zasnivaju se na Leibnizovom principu kontinuiteta, što mu je omogućilo da se što više približi modernom razumijevanju granice.

D'Alembert je biran u sve tada postojeće akademije nauka (u parišku 1754., u Petrogradsku 1764.).

D'Alembert je bio pokrovitelj mnogih naučnika, pa je, na njegov prijedlog, pruski kralj Fridrik II imenovao J. L. Lagrangea za predsjednika Berlinske akademije nauka. Sam D'Alembert je odbio da preuzme ovo mjesto.

Takođe je odbio ponudu ruske carice Katarine II da bude vaspitač njenog sina Pavla. D'Alembert je rekao da ne može da živi van Francuske, van Pariza. Poslednjih godina svog života proučavao je istoriju nauke i pisao biografije mnogih članova Pariske akademije.

U privatnom životu bio je nesrećan. Sedamnaest godina neuzvraćeno je volio istu ženu - Madame Lespinasse. Kada je umrla, mnoge stvari su za njega izgubile vrijednost.

D'Alembert je umro 29. oktobra 1783. godine, usamljeni starac. Prije smrti je dugo i bolno bio bolestan. Bilo je isto olujno veče kao i prilikom njegovog rođenja. Vjetar je urlao i mala kišica.

Sljedeći matematički objekti su nazvani po D'Alembertu:

• operater D'Alembert
• D'Alembertov znak
• D'Alambertov princip
• D'Alembertova jednadžba
• D'Alembertova formula.

Jean Leron d'Alembert je francuski enciklopedista. Nadaleko poznat kao filozof, matematičar i mehaničar. Član Pariške akademije nauka, Francuske akademije, Sankt Peterburga i drugih akademija.

Jean Leron D'Alembert (1717-1783) - francuski matematičar, mehaničar i filozof-prosvetitelj, strani počasni član Petrogradske akademije nauka (1764), 1751-57, zajedno sa Denisom Didroom, urednikom Enciklopedije. Formulisao pravila za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja materijalnih sistema (vidi D'Alembertov princip u nastavku). Opravdao teoriju planetarne perturbacije. Radovi na matematičkoj analizi, teoriji diferencijalnih jednadžbi, teoriji redova, algebri.

D'Alembertov princip: ako se silama i reakcijama mehaničkih veza koje stvarno djeluju na tačke mehaničkog sistema dodaju inercijalne sile, onda će se dobiti uravnotežen sistem sila. D'Alembertov princip omogućava primjenu jednostavnijih metoda statike do rješavanja problema dinamike. (1743).

Porijeklo. Obrazovanje

D'Alembert je bio vanbračni sin plemenitih roditelja. Njegova majka, markiza de Tansen, napustila ga je nekoliko sati nakon što ga je rodila. Pronađen je u drvenoj kutiji na stepenicama pariške crkve Saint-Jean- le-Rhone i zbog toga je na krštenju dobio ime Jean Le Ron (Leron).Njegov otac, Chevalier Louis-Camus Detouches-Canon, general-potpukovnik francuske artiljerije, dao je bebu da odgaja žena staklara. Platio je svoje školovanje u malom privatnom internatu Beret, a zatim - na jansenističkom koledžu Quatre Nation, u koji je mladić upisao 1730. godine.

Njegov sjajan akademski uspjeh privukao je pažnju njegovih mentora, koji su se nadali da će tako uzvišeni um izabrati crkvenu karijeru. Međutim, Jean Leron D'Alembert nije opravdao njihova očekivanja. Nakon što je magistrirao 1735. godine, počeo se baviti pravom. 1738. diplomirao je na Pravnom fakultetu u Parizu, zatim pohađao nastavu na Medicinskom fakultetu. nekoliko mjeseci, ali se razočarao u medicinu, kao i prije u teologiju i jurisprudenciju. Konačno, 1739. godine pronašao je svoj poziv - matematiku.

Matematičar i fizičar

Godine 1741. Jean Leron D'Alembert predstavio je svoje prve radove Pariškoj Kraljevskoj akademiji nauka i primljen je za asistenta.Njegova čuvena „Traktat o dinamici“ (1743) prvi je formulisao zakone kretanja i doprineo sistematizaciji klasične mehanike. Sljedeće godine objavio je „Traktat o dinamici“ (1743). ravnoteža i kretanje tekućina“ (1744). Ova djela su mu donijela uspjeh, a već 1746. postao je dopisni član Akademije nauka.

Otprilike u isto vrijeme, D'Alembert je počeo posjećivati ​​pariške salone.Njegova duhovitost i sposobnost da održi živahan i zabavan razgovor učinili su D'Alemberta posvuda rado viđenim gostom, uprkos njegovom tankom glasu, niskom rastu, običnom izgledu i "ilegalnim" porijeklom.

Sljedećih deset godina bile su najplodnije u njegovom životu. Jean Leron D'Alembert objavio je “Razmišljanja o opštem uzroku vjetrova” (1747.), koja je revolucionirala primjenu diferencijalnih jednačina; “Istraživanje o predviđanju ekvinocija” (1749.), koja su doprinijela rješavanju složenog matematičkog problem koji je zbunio Isaka Njutna; "Doživite novu teoriju otpora tečnosti" (1752), koja je postala faza u razvoju hidrodinamike. Nakon toga usledilo je fundamentalno istraživanje koje je potkrepilo teoriju perturbacije nebeskih tela (1754-1756) Zahvaljujući ovim radovima, D'Alembert je stekao slavu kao jedan od istaknutih fizičara i matematičara svog vremena.

D'Alembert i Enciklopedija

Od 1745. godine Jean Leron D'Alembert je aktivno učestvovao u stvaranju Enciklopedije. Vjerovatno ga je ovo djelo privukao jedan od njenih izdavača M. A. David, koji je ranije objavio neke od njegovih naučnih radova, kao i opat J. P. Gua de Malve, prvi glavni urednik Enciklopedije, koji je volio matematiku.

D'Alembert je isprva pomagao Abbe de Gua, ali dva mjeseca nakon njegovog otpuštanja (u oktobru 1747.), on je zajedno sa Denisom Diderotom na čelu publikacije. U "Preliminarnom diskursu", koji je otvorio prvi tom, D' Alembert je obrazložio metodološku plodnost empirizma i senzacionalizma za napredak nauke i zanata. Odgovoran za odeljke o matematici, fizici, astronomiji i muzici (oko 1.600 članaka došlo je samo iz njegovog pera), Jean Leron D'Alembert je napisao i članke poput "Koledž" i "Ženeva", koji su ojačali reputaciju Enciklopedije kao strašne borbe oružjem. protiv starog poretka.

Dok je radio na Enciklopediji, D'Alembert je objavio „Elemente muzičke teorije i prakse koji proizilaze iz principa M. Rameaua” (1753), koji je popularizovao i razvio teoriju muzičke harmonije J. F. Rameaua. Zatim njegove višetomne „Reflekcije o književnosti” objavljeni su. historija i filozofija” (1753). Tako je D'Alembert stekao ime i u književnosti i u teoriji muzike, a njegova slava je nadišla naučne krugove. Godine 1754., uz podršku utjecajne markize Du Deffand, Jean Leron d'Alembert je izabran za člana Francuske akademije.

Međutim, neka od djela Jeana Lerona D'Alemberta donijela su mu ne samo počasti, već i dosta nevolja.I pored toga što je D'Alembert u svojim enciklopedijskim člancima i drugim djelima općenito visoko cijenio Rameauov rad, ovaj kompozitor je objavio kritički komentari na članke u "Enciklopedijama" iz 1755. posvećene muzici. D'Alemberta su često optuživali da njegovi članci potkopavaju temelje religije.On je namjeravao da napusti publikaciju još 1752. godine, ali se na to odlučio tek 1758-59: nakon objavljivanja u tomu 7 (1757.) članak “Ženeva”, napisan po Volterovom savjetu, naišao je na salvu kritika - i kalvinista i katolika. Njegov odlazak iz Enciklopedije pogoršao je D'Alembertov ionako težak odnos sa Didroom. Međutim, 1759. vratio se Enciklopediji, ali samo kao autor prirodnih naučnih članaka; glavni razlog njegovog povratka bila je stalna potreba za sredstvima.

D'Alembert i prosvijećeni monarsi Evrope

Finansijska situacija Jean Leron D'Alemberta počela je da se popravlja sredinom 1760-ih. Od 1765. počeo je redovno primati stipendiju Akademije nauka. Njegovi prihodi su dopunjeni honorarima, penzijama Luja XV i Fridrika II, kao kao i doživotnu i godišnju rentu koju je naslijedio od oca, a koju mu je isplaćivala vlasnica poznatog pariskog salona Madame Geoffrin.

Otprilike u isto vrijeme, D'Alembert, zabrinut za svoju nezavisnost, odbio je dvije izuzetno primamljive ponude.Prva je stigla od Fridrika II. Jean Leron D'Alembert ga je upoznao 1755. godine, iako su njegovi naučni radovi dobili priznanje u Pruskoj još ranije: 1746. “Razmišljanja o opštem uzroku vjetrova” nagrađena je nagradom Berlinske akademije nauka i književnošću. Od 1752. godine Fridrih II je u više navrata pokušavao da pozove D'Alemberta u Prusku kao predsjednika ove Akademije, ali je on to redovno odbijao. Kao rezultat toga, od 1760. između njih je započela čuvena prepiska koja se nastavila sve do smrti naučnika. Alembert je imao vrlo visoko mišljenje o pruskom monarhu, hvaleći ga u svojim spisima, te je 1763. ostao na njegovom dvoru tri mjeseca.

Čim je stupila na tron ​​1762. godine, Katarina II je zamolila D'Alamberta da se pobrine za podizanje njenog sina i naslednika Pavla, nudeći mu ogromnu godišnju platu od 100 hiljada livara (od francuskog i pruskog kralja dobijao je 1200 livara godišnje) D'Alembert je to odbio, uz obrazloženje da više voli da živi skromno u svojoj domovini nego da uživa u luksuzu u stranoj zemlji. Odbijajući Fridriha i Katarinu, D'Alembert je, ipak, sve svoje nade u obnovu Evrope polagao na prosvećene monarhe koje je podržavala intelektualna elita, a s jednakim nepoverenjem se odnosio prema aristokratiji, sveštenstvu i narodnim masama.

Lični život

Jean Leron D'Alembert je odbio da napusti Pariz zbog veze sa Julie de Lespinasse, saputnicom markize Du Deffant. Njihovu vezu nije omela ni razlika u godinama (D'Alembert je bio 15 godina stariji) niti ljubomora gospođe Du Deffant. Međutim, Julie nije uvijek bila vjerna D'Alembertu. Godine 1764. Mademoiselle de Lespinasse je osnovala svoj salon.

Prošle godine. Smrt Jean Leron D'Alembert

Opterećen teškim bolestima, proživljavao izdaju, a potom i smrt svoje voljene (1776.), Jean Leron D'Alembert je tokom 1770-ih bio stalno u bolno uzbuđenom stanju.Posljednje godine D'Alembertovog života bile su povezane s Francuskom akademijom. Godine 1772., uprkos otporu Luja XV, izabran je za njenog stalnog sekretara. Govori koje je držao u zidovima Akademije pokazuju da je ovu instituciju smatrao važnim uporištem u borbi protiv neznanja.

Skeptičan prema religiji tokom svog života, Jean Leron D'Alembert je 29. oktobra 1783. u Parizu umro, a da nije izdao sebe i odbio je poslednju pričest.Pariski nadbiskup zabranio mu je služenje sahrane.

Javascript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da biste izvršili proračune, morate omogućiti ActiveX kontrole!

francuski enciklopedista

kratka biografija

Jean Leron d'Alembert (d'Alembert, d'Alembert; fr. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 16. novembar 1717 - 29. oktobar 1783) - francuski naučnik i enciklopedista. Nadaleko poznat kao filozof, matematičar i mehaničar. Član Pariške akademije nauka (1740), Francuske akademije (1754), Sankt Peterburga (1764) i drugih akademija.

D'Alembert je bio vanbračni sin markize de Tansen i, po svoj prilici, austrijskog vojvode Leopolda Filipa od Arenberga. Ubrzo nakon rođenja bebu je njegova majka bacila na stepenice pariske „Okrugle crkve Svetog Jovana“, koja se nalazila na sjevernom tornju katedrale Notre Dame. Prema običaju, dijete je dobilo ime Jean Leron u čast ove crkve. U početku je dijete smješteno u bolnicu za pronalaske. Tada je vojvodov pouzdanik, artiljerijski oficir Louis-Camus Detouches, koji je dobio novac za odgoj dječaka, uredio da on živi u porodici staklara.

Vrativši se u Francusku, Detouche se vezao za dječaka, često ga posjećivao, pomagao hraniteljima i plaćao D'Alembertovo školovanje. Markizina majka nikada nije pokazivala interesovanje za svog sina. Kasnije, postavši slavan, D'Alembert nikada nije zaboravio staklara i njegovu ženu, finansijski ih je pomagao i uvijek ih je s ponosom nazivao svojim roditeljima.

Prezime D'Alembert, prema nekim izvorima, nastalo je od imena njegovog usvojitelja Alemberta, prema drugima, izmislio ga je sam dječak ili njegovi staratelji: u početku je Jean Leron u školi bio zabilježen kao D'Alembert ( Daremberg), a zatim promijenio ovo ime u D'Alembert.

1726: Detuš, već general, neočekivano umire. Prema testamentu, D'Alembert prima naknadu od 1.200 livra godišnje i povjerava se rodbini. Dječak je odgajan zajedno sa svojim rođacima, ali i dalje živi u porodici staklara. U hraniteljskoj kući živio je do 1765. godine, odnosno do svoje 48. godine.

Njegov rani talenat omogućio je dječaku da dobije dobro obrazovanje - prvo na koledžu Mazarin (magistrirao je slobodne umjetnosti), zatim na Akademiji pravnih nauka, gdje je dobio titulu licenciranog prava. Međutim, zanimanje advokata mu se nije svidjelo i počeo je studirati matematiku.

Već u dobi od 22 godine D’Alembert je predstavio svoja djela Pariškoj akademiji, a sa 23 godine izabran je za pomoćnika Akademije.

1743: pušten" Traktat o dinamici“, gdje je formuliran temeljni “D’Alembertov princip”, svodeći dinamiku neslobodnog sistema na statiku. Ovdje je najprije formulirao opća pravila za sastavljanje diferencijalnih jednačina kretanja bilo kojeg materijalnog sistema.

Kasnije je ovaj princip primijenio u raspravi “Razgovori o opštem uzroku vjetrova” (1774.) kako bi potkrijepio hidrodinamiku, gdje je dokazao postojanje - uz okeanske plime - i plime i oseke.

1748: briljantna studija problema vibracija struna.

Od 1751. D'Alembert je radio sa Didroom na stvaranju čuvenog " Enciklopedije nauka, umjetnosti i zanata" Članke u Enciklopediji od 17 tomova koji se odnose na matematiku i fiziku napisao je D'Alembert. Godine 1757., ne mogavši ​​da izdrži progon reakcije kojoj je bio podvrgnut njegov rad u Enciklopediji, udaljio se od njenog objavljivanja i potpuno se posvetio naučnom radu (iako je nastavio pisati članke za Enciklopediju). Enciklopedija je odigrala veliku ulogu u širenju ideja prosvjetiteljstva i ideološkoj pripremi Francuske revolucije.

1754: D'Alembert postaje član Francuske akademije.

1764: u članku “Dimenzionalnost” (za Enciklopediju) prvi put je izražena ideja o mogućnosti razmatranja vremena kao četvrte dimenzije.

D'Alembert je vodio aktivnu prepisku sa ruskom caricom Katarinom II. Sredinom 1760-ih, D'Alembert je pozvan od nje u Rusiju kao učitelj prijestolonasljednika, ali nije prihvatio poziv. Godine 1764. izabran je za stranog počasnog člana Petrogradske akademije nauka.

1772: D'Alembert je izabran za stalnog sekretara Francuske akademije.

1783: D'Alembert je umro nakon duge bolesti. Crkva je odbila da „iskrenom ateisti“ da mesto na groblju, pa je sahranjen u neobeleženoj zajedničkoj grobnici.

Krater na suprotnoj strani Mjeseca nazvan je po D'Alembertu.

Naučna dostignuća

Matematika

D’Alembert je u prve tomove čuvene Enciklopedije stavio važne članke: „Diferencijale“, „Jednačine“, „Dinamiku“ i „Geometriju“, u kojima je detaljno izložio svoje gledište o aktuelnim problemima nauke.

D'Alembert je pokušao da potkrijepi račun infinitezimima koristeći teoriju granica, blisku Newtonovom razumijevanju "metafizike analize". On je imenovao jednu količinu limit drugi, ako se drugi, približavajući se prvom, razlikuje od njega za manje od bilo kojeg danog iznosa. " Diferencijacija jednadžbi jednostavno se sastoji od pronalaženja granica omjera konačnih razlika dviju varijabli uključenih u jednadžbu“- ova fraza bi se mogla pojaviti u modernom udžbeniku. Iz analize je isključio koncept stvarnog infinitezimalnog, dopuštajući ga samo radi kratkoće.

Izgledi njegovog pristupa bili su donekle smanjeni činjenicom da je iz nekog razloga želju za granicom shvatio kao monotonu (navodno, tako da je Δ x ≠ 0), a D'Alembert nije dao jasnu teoriju granica, ograničavajući se na teoreme o jedinstvenosti granice i o granici proizvoda. Većina matematičara (uključujući Lazarea Carnota) prigovarala je teoriji granica, jer je, po njihovom mišljenju, uspostavila nepotrebna ograničenja - smatrala je beskonačno male ne same po sebi, već uvijek u odnosu jedna na drugu, i bilo ju je nemoguće slobodno koristiti u Leibnizovoj teoriji. stilska algebra diferencijala. Ipak, D'Alembertov pristup opravdanosti analize na kraju je prevladao - doduše tek u 19. vijeku.

U teoriji serija, njegovo ime je dato široko korištenom dovoljnom testu za konvergenciju.

D'Alembertovo glavno matematičko istraživanje odnosi se na teoriju diferencijalnih jednačina, gdje je dao metodu za rješavanje parcijalne diferencijalne jednačine 2. reda koja opisuje poprečne vibracije strune (valna jednačina). D'Alembert je rješenje predstavio kao zbir dvije proizvoljne funkcije, a prema tzv. granični uslovi su mogli izraziti jedan od njih kroz drugi. Ovi D'Alembertovi radovi, kao i kasniji radovi L. Eulera i D. Bernoullija, činili su osnovu matematičke fizike.

Godine 1752., prilikom rješavanja parcijalne diferencijalne jednadžbe eliptičkog tipa (model strujanja oko tijela), koja se susreće u hidrodinamici, D'Alembert je prvi put koristio funkcije kompleksne varijable. Kod D'Alemberta (i u isto vrijeme kod L. Eulera) postoje one jednadžbe koje povezuju stvarne i imaginarne dijelove analitičke funkcije, koje su kasnije postale poznate kao Cauchy-Riemannovi uvjeti, iako su ih pošteno trebali nazvati D'Alembert-Eulerovi uslovi. Kasnije su iste metode korištene u teoriji potencijala. Od ovog trenutka počinje široko rasprostranjena i plodna upotreba složenih veličina u hidrodinamici.

D'Alembert je zaslužan i za važne rezultate u teoriji običnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima i sistemima takvih jednačina 1. i 2. reda.

D'Alembert je dao prvi (ne sasvim rigorozan) dokaz osnovne teoreme algebre. U Francuskoj se to zove D'Alembert-Gaussova teorema.

Fizika, mehanika i drugi radovi

D’Alembertov princip, koji je on otkrio, već je spomenut gore, ukazujući na to kako izgraditi matematički model kretanja neslobodnih sistema.

D'Alembert je takođe dao izuzetan doprinos nebeskoj mehanici. On je potkrijepio teoriju planetarne perturbacije i prvi je striktno objasnio teoriju anticipacije ekvinocija i nutacije.

Oslanjajući se na sistem Francisa Bacona, D'Alembert je klasifikovao nauke, što je dovelo do modernog koncepta humanističkih nauka.

D’Alembert posjeduje i djela o pitanjima muzičke teorije i muzičke estetike: traktat „O slobodi muzike“, koji sumira rezultate tzv. bufonski ratovi - borbe oko problema operske umetnosti, itd.

Filozofija

Od filozofskih radova najvažniji su uvodni članak u Enciklopediju „Esej o poreklu i razvoju nauka“ (1751, ruski prevod u knjizi „Osnivači pozitivizma“, 1910), koji daje klasifikaciju nauke i "Elementi filozofije" (1759).

U teoriji znanja, slijedeći J. Lockea, D’Alembert se držao senzacionalizma. U rješavanju osnovnih filozofskih pitanja, D'Alembert je bio sklon skepticizmu, smatrajući da je nemoguće pouzdano tvrditi bilo šta o Bogu, njegovoj interakciji s materijom, vječnosti ili stvaranju materije, itd. Sumnjajući u postojanje Boga i govoreći s antiklerikalnim kritike, D'Alembert, međutim, nije zauzeo stav ateizma.

Za razliku od francuskih materijalista, D'Alembert je vjerovao da postoje nepromjenjivi moralni principi koji ne zavise od društvenog okruženja. D'Alembertove stavove o teoriji znanja i religije kritizirao je Didro u svojim djelima: "D'Alembertov san" (1769), "Razgovor između D'Alemberta i Diderota" (1769) itd.