Ovaj članak objedinjuje informacije koje oblikuju ideju jednakosti u kontekstu matematike. Ovdje ćemo saznati šta je jednakost sa matematičke tačke gledišta, a šta su. Hajde da razgovaramo i o pisanju jednakosti i znaka jednakosti. Na kraju navodimo glavna svojstva jednakosti i navodimo primjere radi jasnoće.

Navigacija po stranici.

Šta je jednakost?

Koncept jednakosti je neraskidivo povezan sa poređenjem – poređenjem svojstava i karakteristika u cilju identifikacije sličnih karakteristika. A poređenje, pak, pretpostavlja prisustvo dva predmeta ili predmeta, od kojih se jedan uspoređuje s drugim. Osim ako, naravno, ne uporedite objekat sa samim sobom, a onda se to može smatrati posebnim slučajem poređenja dva objekta: samog objekta i njegove „tačne kopije“.

Iz gornjeg rezonovanja jasno je da jednakost ne može postojati bez prisustva najmanje dva objekta, inače jednostavno nećemo imati s čime porediti. Jasno je da za poređenje možete uzeti tri, četiri ili više predmeta. Ali to prirodno svodi se na poređenje svih mogućih parova sastavljenih od ovih objekata. Drugim riječima, svodi se na poređenje dva objekta. Dakle, jednakost zahtijeva dva objekta.

Suštinu pojma jednakosti u najopštijem smislu najjasnije prenosi riječ “identičan”. Ako uzmemo dva identična objekta, onda za njih možemo reći da jesu jednaka. Kao primjer, dajemo dva jednaka kvadrata i . Različiti objekti se zauzvrat nazivaju nejednako.

Koncept jednakosti može se primijeniti kako na objekte u cjelini, tako i na njihova pojedinačna svojstva i karakteristike. Objekti su sveukupno jednaki kada su jednaki u svim aspektima koji su im inherentni. U prethodnom primjeru, govorili smo o jednakosti objekata općenito - oba objekta su kvadrati, oni iste veličine, iste boje, i općenito su potpuno iste. S druge strane, objekti mogu biti nejednaki u celini, ali mogu imati neke jednake karakteristike. Kao primjer, razmotrite takve objekte i . Očigledno su jednakog oblika - oba su kruga. I po boji i veličini su nejednake, jedna je plava a druga je crvena, jedna je mala a druga velika.

Iz prethodnog primjera za sebe napominjemo da moramo unaprijed znati o čemu je tačno riječ o ravnopravnosti.

Svi gore navedeni argumenti se odnose na jednakosti u matematici, samo se ovdje jednakost odnosi na matematičke objekte. Odnosno, kada proučavamo matematiku, govorit ćemo o jednakosti brojeva, jednakosti vrijednosti izraza, jednakosti bilo kojih veličina, na primjer, dužine, površine, temperature, produktivnost rada itd.

Pisanje jednakosti, =

Vrijeme je da pogledamo pravila za pisanje jednakosti. U tu svrhu se koristi =(naziva se i znak jednakosti), koji ima oblik =, odnosno predstavlja dvije identične linije koje se nalaze horizontalno jedna iznad druge. Znak jednakosti = smatra se opšteprihvaćenim.

Kada pišete jednakosti, napišite jednake objekte i stavite znak jednakosti između njih. Na primjer, snimite jednaki brojevi 4 i 4 bi izgledali kao 4=4 i mogu se čitati kao "četiri jednako četiri". Drugi primjer: površina S ABC trougla ABC jednaka je sedam kvadratnih metara biće zapisano kao S ABC =7 m 2. Po analogiji, možemo dati i druge primjere pisanja jednakosti.

Vrijedi napomenuti da se u matematici razmatrane oznake jednakosti često koriste kao definicija jednakosti.

Definicija.

Zapisi koji koriste znak jednakosti za razdvajanje dva matematička objekta (dva broja, izraza, itd.) nazivaju se jednakosti.

Ako trebate pismeno naznačiti nejednakost dvaju objekata, onda koristite nije znak jednakosti≠. Vidimo da predstavlja precrtani znak jednakosti. Kao primjer, uzmimo unos 1+2≠7. Može se pročitati ovako: "Zbir jedan i dva nije jednak sedam." Drugi primjer je |AB|≠5 cm – dužina segmenta AB nije jednaka pet centimetara.

Prave i lažne jednakosti

Napisane jednakosti mogu odgovarati značenju pojma jednakosti, a mogu mu i biti u suprotnosti. U zavisnosti od toga, jednakosti se dijele na istinske jednakosti I lažne jednakosti. Hajde da to shvatimo na primjerima.

Napišimo jednakost 5=5. Brojevi 5 i 5 su nesumnjivo jednaki, pa je 5=5 prava jednakost. Ali jednakost 5=2 je netačna, jer brojevi 5 i 2 nisu jednaki.

Svojstva jednakosti

Iz načina na koji se uvodi koncept jednakosti, prirodno slijede njegovi karakteristični rezultati – svojstva jednakosti. Postoje tri glavna svojstva jednakosti:

• Svojstvo refleksivnosti, koje kaže da je objekat jednak samom sebi.
• Svojstvo simetrije, koje kaže da ako je prvi objekat jednak drugom, onda je drugi jednak prvom.
• I konačno, svojstvo tranzitivnosti, koje kaže da ako je prvi objekat jednak drugom, a drugi jednak trećem, onda je prvi jednak trećem.

Zapišimo zvučna svojstva na jeziku matematike pomoću slova:

• a=a ;
• ako je a=b onda b=a;
• ako je a=b i b=c onda a=c .

Odvojeno, vrijedi napomenuti zaslugu drugog i trećeg svojstva jednakosti - svojstva simetrije i tranzitivnosti - u činjenici da nam omogućavaju da govorimo o jednakosti tri i više objekata kroz njihovu parnu jednakost.

Dvostruke, trostruke jednakosti itd.

Uz uobičajene oznake za jednakosti, čije smo primjere dali u prethodnim paragrafima, tzv. dvostruke jednakosti, trostruke jednakosti i tako dalje, predstavljajući, takoreći, lance jednakosti. Na primjer, notacija 1+1+1=2+1=3 je dvostruka jednakost, a |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - primjer četverostruke jednakosti.

Koristeći duple, trojke itd. Za jednakosti je zgodno napisati jednakost tri, četiri itd. objekte u skladu sa tim. Ovi zapisi inherentno označavaju jednakost bilo koja dva objekta koja čine originalni lanac jednakosti. Na primjer, gornja dvostruka jednakost 1+1+1=2+1=3 u suštini znači jednakost 1+1+1=2+1, i 2+1=3, i 1+1+1=3, i u zbog svojstva simetrije jednakosti i 2+1=1+1+1, i 3=2+1, i 3=1+1+1.

Pogodno je pisati u obliku takvih lanaca jednakosti korak po korak rješenje primjere i probleme, dok rješenje izgleda kratko i vidljive su međufaze transformacije originalnog izraza.

Bibliografija.

• Moro M.I.. Matematika. Udžbenik za 1 razred. početak škola U 2 sata, deo 1. (prva polovina godine) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6. izd. - M.: Obrazovanje, 2006. - 112 str.: ilustr.+Add. (2 odvojena l. ilustr.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.

Materijal u članku će vam omogućiti da se upoznate s matematičkom interpretacijom koncepta jednakosti. Hajde da razgovaramo o suštini jednakosti; Pogledajmo njegove vrste i načine snimanja; Zapišimo svojstva jednakosti i ilustrirajmo teoriju primjerima.

Sam koncept jednakosti usko je isprepleten sa konceptom poređenja, kada upoređujemo svojstva i karakteristike kako bismo identifikovali slične karakteristike. Proces poređenja zahteva prisustvo dva objekta, koji se međusobno porede. Ovi argumenti sugeriraju da koncept jednakosti ne može postojati kada ne postoje barem dva objekta za poređenje. U ovom slučaju, naravno, može se uzeti veći broj objekata: tri ili više, međutim, na kraju ćemo na ovaj ili onaj način doći do upoređivanja parova prikupljenih od datih objekata.

Značenje koncepta “jednakosti” u generaliziranoj interpretaciji savršeno je definirano riječju “identičan”. O dva identična objekta možemo govoriti kao o „jednakim“. Na primjer, kvadrati i . Ali objekti koji se barem na neki način razlikuju jedan od drugog nazivat će se nejednakim.

Kada govorimo o jednakosti, možemo misliti i na objekte u cjelini i na njihova pojedinačna svojstva ili karakteristike. Objekti su općenito jednaki kada su identični po svim karakteristikama. Na primjer, kada smo dali primjer jednakosti kvadrata, mislili smo na njihovu jednakost u svim njihovim svojstvima: obliku, veličini, boji. Takođe, objekti možda uopšte nisu jednaki, ali imaju iste pojedinačne karakteristike. Na primjer: i . Ovi objekti su jednaki po obliku (oba su krugovi), ali različiti (nejednaki) po boji i veličini.

Stoga je potrebno unaprijed razumjeti na koju vrstu jednakosti mislimo.

Pisanje jednakosti, =

Da zabilježite jednakost, koristite znak jednakosti (ili znak jednakosti), označen kao =. Ova notacija je općenito prihvaćena.

Prilikom pravljenja jednakosti, jednaki predmeti se postavljaju jedan pored drugog, pišući znak jednakosti između njih. Na primjer, zapisujemo jednakost brojeva 5 i 5 kao 5 = 5. Ili, recimo, treba da zapišemo jednakost opsega trougla A B C sa 6 metara: P A B C = 6 m.

Definicija 1

Jednakost– zapis u kojem se znak jednakosti koristi za razdvajanje dva matematička objekta (ili brojeva, ili izraza, itd.).

Kada je potrebno pismeno naznačiti nejednakost objekata, koristi se znak nejednakosti, koji se označava sa ≠, tj. u suštini precrtani znak jednakosti.

Prave i lažne jednakosti

Konstruisane jednakosti mogu odgovarati suštini koncepta jednakosti, a mogu mu i biti u suprotnosti. Na osnovu ovog kriterijuma, sve jednakosti se klasifikuju na prave jednakosti i lažne jednakosti. Navedimo primjere.

Napravimo jednakost 7 = 7. Brojevi 7 i 7 su, naravno, jednaki, i stoga je 7 = 7 prava jednakost. Jednakost 7 = 2, pak, nije tačna, jer su brojevi 7 i 2 nije jednako.

Svojstva jednakosti

Zapišimo tri glavna svojstva jednakosti:

Definicija 2

• svojstvo refleksivnosti, koje kaže da je objekat jednak samom sebi;
• svojstvo simetrije: ako je prvi objekat jednak drugom, onda je drugi jednak prvom;
• svojstvo tranzitivnosti: kada je prvi objekat jednak drugom, a drugi jednak trećem, tada je prvi jednak trećem.

Zapišimo literalna svojstva na sljedeći način:

• a = a;
• Ako a = b, To b = a;
• Ako a = b I b = c, To a = c.

Zapazimo posebnu korist od drugog i trećeg svojstva jednakosti - svojstva simetrije i tranzitivnosti - one omogućavaju da se potvrdi jednakost tri ili više objekata kroz njihovu parnu jednakost.

Dvostruki, trostruki itd. jednakost

Zajedno sa standardnim zapisom jednakosti, čiji smo primjer dali gore, često se kompiliraju i takozvane dvostruke jednakosti, trostruke jednakosti itd. Takvi zapisi su poput lanca jednakosti. Na primjer, snimanje 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - dvostruka jednakost, i | A B | = | B C | = | C D | = | D E | = | E F |- primjer četvrtine jednakosti.

Koristeći takve lance jednakosti, optimalno je stvoriti jednakost između tri ili više objekata. Takvi zapisi u svom značenju su oznaka jednakosti bilo koja dva objekta koja čine izvorni lanac jednakosti.

Na primjer, gore napisana dvostruka jednakost 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 znači jednakosti: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , And 4 + 2 = 6 , And 2 + 2 + 2 = 6 , i zbog svojstva simetrije jednakosti i 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , And 6 = 4 + 2 , And 6 = 2 + 2 + 2 .

Prilikom sastavljanja takvih lanaca, prikladno je zapisati slijed rješavanja primjera i problema: takvo rješenje postaje vizualno i odražava sve međufaze proračuna.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

50. Svojstva jednakosti na kojima se zasniva rješenje jednačina. Uzmimo, na primjer, neku jednačinu, ne baš komplikovanu:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

U svakoj jednačini vidimo znak jednakosti: sve što je zapisano lijevo od znaka jednakosti naziva se lijevi ili prvi dio jednačine (u prvoj jednačini 7x – 24 je lijevi ili prvi dio, a u drugoj x /2 – (x – 3)/ 3 – (x – 5)/6 je prvi ili lijevi dio); sve što je zapisano desno od znaka jednakosti naziva se desnim ili drugim dijelom jednačine (15 – 3x je desna strana prve jednačine, 1 je desni, odnosno drugi dio 2. jednačine).

Svaki dio bilo koje jednačine predstavlja broj. Brojevi izraženi lijevom i desnom stranom jednačine moraju biti međusobno jednaki. Jasno nam je: ako svakom od ovih brojeva dodamo isti broj, ili oduzmemo isti broj od njih, ili svaki od njih pomnožimo istim brojem, ili, konačno, podijelimo istim brojem, tada će se dobiti rezultati ove akcije takođe treba da budu jednake jedna drugoj. Drugim riječima: ako je a = b, onda je a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc i a/c = b/c. Što se tiče dijeljenja, treba imati na umu, međutim, da u aritmetici ne postoji dijeljenje nulom – ne možemo, na primjer, broj 5 podijeliti nulom. Dakle, u jednakosti a/c = b/c, broj c ne može biti jednak nuli.

1. Isti broj se može dodati ili oduzeti od obje strane jednačine.
2. Obje strane jednačine se mogu pomnožiti ili podijeliti istim brojem, osim ako je broj nula.

Koristeći ova svojstva jednačine, možemo pronaći zgodan način rješavati jednačine. Razjasnimo ovaj slučaj primjerima.

Primjer 1. Pretpostavimo da trebamo riješiti jednačinu

5x – 7 = 4x + 15.

Vidimo da prvi dio jednačine sadrži dva člana; jedan od njih sadrži 5x nepoznati množitelj x se može nazvati nepoznatim pojmom, a drugi -7 - poznatim. Drugi dio jednačine također ima 2 člana: nepoznato 4x i poznato +15. Uvjerimo se da na lijevoj strani jednačine postoje samo nepoznati članovi (i poznati član –7 bi bio uništen), a na desnoj strani bi bili samo poznati članovi (a nepoznati član +4x bi bio uništen) . U tu svrhu dodajemo iste brojeve na obje strane jednačine: 1) dodamo +7 svaki (tako da se član –7 uništi) i 2) dodamo –4x svaki (tako da se član +4x uništi). Tada dobijamo:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Smanjenjem sličnih članova u svakom dijelu jednačine dobijamo

Ova jednakost je rješenje jednadžbe, jer ukazuje da za x moramo uzeti broj 22.

Primjer 2. Riješite jednačinu:

8x + 11 = 7 – 4x

Ponovo dodamo –11 i +4x na obje strane jednačine, dobivamo:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Smanjenjem sličnih pojmova dobijamo:

Sada podijelite obje strane jednačine sa +12, dobićemo:

x = –4/12 ili x = –1/3

(prvi dio jednačine 12x podijeljen sa 12 - dobijamo 12x/12 ili samo x; drugi dio jednačine -4 podijeljen sa +12 - dobijamo -4/12 ili -1/3).

Posljednja jednakost je rješenje jednadžbe, jer ukazuje da za x trebamo uzeti broj –1/3.

Primjer 3. Riješiti jednadžbom

x – 23 = 3 (2x – 3)

Prvo otvorimo zagrade i dobijemo:
x – 23 = 6x – 9

Dodajte +23 i –6x na obje strane jednačine, dobivamo:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Sada, da bismo naknadno ubrzali proces rješavanja jednadžbe, nećemo odmah izvršiti redukciju svih sličnih članova, već samo primijetiti da se članovi –23 i +23 na lijevoj strani jednačine međusobno poništavaju, a pojmovi +6x i –6x u prvom dijelu se međusobno poništavaju - dobijamo:

x – 6x = –9 + 23.

Uporedimo ovu jednačinu sa početnom: na početku je bila jednačina:

x – 23 = 6x – 9

Sada imamo jednačinu:

x – 6x = –9 + 23.

Vidimo da se na kraju ispostavilo da se član –23, koji je u početku bio na levoj strani jednačine, sada kao da se pomerio na desnu stranu jednačine, a njegov predznak se promenio (postojao je član –23 na lijevoj strani početne jednačine, ali sada je nema , ali na desnoj strani jednačine je član + 23, kojeg prije nije bilo). Slično, na desnoj strani jednačine bio je član +6x, sada ga nema, ali se na lijevoj strani jednačine pojavio član –6x kojeg ranije nije bilo. Uzimajući u obzir primjere 1 i 2 sa ove tačke gledišta, dolazimo do opšteg zaključka:

Možete prenijeti bilo koji član jednačine iz jednog dijela u drugi promjenom predznaka ovog člana(ovo ćemo koristiti u daljnjim primjerima).

Dakle, vraćajući se na naš primjer, imamo jednadžbu

x – 6x = –9 + 23

Podijelite obje strane jednačine sa –5. Tada dobijamo:

[–5x: (–5) dobijamo x] – ovo je rješenje naše jednačine.

Primjer 4. Riješite jednačinu:

Uvjerimo se da u jednadžbi nema razlomaka. U tu svrhu ćemo pronaći zajednički imenilac za naše razlomke - zajednički imenilac je broj 24 - i pomnožiti obje strane naše jednadžbe s njim (na kraju krajeva, moguće je da se jednakost ne bi narušila, možemo samo pomnožiti obje strane jednačine istim brojem). Prvi dio ima 3 člana, a svaki član je razlomak - stoga je potrebno svaki razlomak pomnožiti sa 24: drugi dio jednačine je 0, a pomnožiti nulu sa 24 - dobijamo nulu. dakle,

Vidimo da će se svaki od naša tri razlomka, zbog činjenice da je pomnožen zajedničkim najmanjim višekratnikom nazivnika ovih razlomaka, smanjiti i postati cijeli izraz, naime dobivamo:

(3x – 8) 4 – (2x – 1) 6 + (x – 7) 3 = 0

Naravno, preporučljivo je sve ovo raditi u mislima: trebamo zamisliti da je, na primjer, brojnik prvog razlomka stavljen u zagrade i pomnožen sa 24, nakon čega će nam naša mašta pomoći da vidimo smanjenje ovog razlomak (za 6) i konačni rezultat, tj. (3x – 8) · 4. Isto vrijedi i za ostale razlomke. Otvorimo sada zagrade u rezultirajućoj jednadžbi (na njenoj lijevoj strani):

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(imajte na umu da je ovdje bilo potrebno pomnožiti binom 2x – 1 sa 6 i od prethodnog oduzeti rezultirajući proizvod 12x – 6, zbog čega bi se predznaci pojmova ovog proizvoda trebali promijeniti - iznad je napisano –12x + 6). Pomerimo poznate članove (tj. –32, +6 i –21) sa leve strane jednačine na njenu desnu stranu i (kao što već znamo) treba da se promene predznaci ovih članova – dobićemo:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Hajde da bacimo slične pojmove:

(sa vještinom, trebali biste odmah prenijeti potrebne članove iz jednog dijela jednačine u drugi i donijeti slične članove), konačno, podijelite obje strane jednačine sa 3 - dobijamo:

x = 15(2/3) - ovo je rješenje jednačine.

Primjer 5. Riješite jednačinu:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Ovdje postoje dva razlomka, a njihov zajednički imenilac je 35. Da bismo oslobodili jednačinu od razlomaka, pomnožimo obje strane jednačine sa zajedničkim imeniocem 35. Svaki dio naše jednačine ima 2 člana. Kada pomnožite svaki dio sa 35, svaki član se mora pomnožiti sa 35 - dobijamo:

Razlomci se smanjuju i dobijamo:

175 – (3x + 1) 5 = 35x + (2x – 3) 7

(naravno, ako ste imali vještinu, mogli biste odmah napisati ovu jednačinu).

Uradimo sve korake:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Pomerimo sve nepoznate članove sa desne strane (tj. termine +35x i +14x) na lijevu, a sve poznate članove s lijeve strane (tj. članovi mijenjaju znak:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(termin –15x, kao što je nekada bio na lijevoj strani, ostao je u njemu i sada - dakle, ne bi trebao nikako mijenjati svoj predznak; slična stvar se događa i sa pojmom –21). Smanjenjem sličnih pojmova dobijamo:

–64x = –191.

[Moguće je osigurati da nema znaka minus na obje strane jednačine; Da bismo to uradili, množimo obe strane jednačine sa (–1), dobijamo 64x = 191, ali to ne moramo da radimo.]
Zatim podijelimo obje strane jednačine sa (–64) i dobijemo rješenje naše jednačine

[Ako pomnožimo obje strane jednačine sa (–1) i dobijemo jednačinu 64x = 191, sada trebamo podijeliti obje strane jednačine sa 64.]

Na osnovu onoga što smo morali učiniti u primjerima 4 i 5, možemo utvrditi: moguće je osloboditi jednačinu od razlomaka - da bismo to učinili, potrebno je pronaći zajednički nazivnik za sve razlomke uključene u jednadžbu (ili najmanje zajednički višekratnik nazivnika svih razlomaka) i pomnožite oba dijela jednačine s tim - tada bi razlomci trebali nestati.

Primjer 6. Riješite jednačinu:

Premještajući član 4x s desne strane jednačine na lijevu, dobijamo:

5x – 4x = 0 ili x = 0.

Dakle, rješenje je pronađeno: za x trebamo uzeti broj nula. Ako zamijenimo x u ovoj jednadžbi nulom, dobićemo 5 0 = 4 0 ili 0 = 0, što pokazuje da je zahtjev izražen ovom jednadžbom ispunjen: pronađite broj za x takav da se ispostavi da je monom 5x jednako tome isti broj kao i monom 4x.

Ako se od samog početka primijeti da se obje strane jednačine 5x = 4x mogu podijeliti sa x i izvrši ovu podjelu, rezultat je jasna nedosljednost: 5 = 4! Razlog za to je što se dijeljenje 5x/x u ovom slučaju ne može izvršiti, jer, kao što smo vidjeli gore, pitanje izraženo našom jednačinom zahtijeva da je x = 0, a dijeljenje sa nulom nije moguće.

Napominjemo i da množenje sa nulom zahtijeva određenu pažnju: množenjem sa nulom i dva nejednaka broja, dobijamo kao rezultat ovih množenja jednaki proizvodi, naime, nule.

Ako, na primjer, imamo jednačinu

x – 3 = 7 – x (njegovo rješenje: x = 5)

i ako neko želi da na njega primeni svojstvo „obe strane jednačine se mogu pomnožiti sa istim brojem“ i pomnožiti obe strane sa x, dobiće:

x 2 – 3x = 7x – x 2.

Nakon ovoga, možete primijetiti da svi članovi jednadžbe sadrže faktor x, iz čega možemo zaključiti da za rješavanje ove jednačine možemo uzeti broj nula, odnosno staviti x = 0. I zaista, tada dobijamo:
0 2 – 3 0 = 7 0 – 0 2 ili 0 = 0.

Međutim, ovo rješenje x = 0 očigledno nije prikladno za datu jednačinu x – 3 = 7 – x; zamjenom x sa nulom, dobijamo očiglednu nedosljednost: 3 = 7!

JEDNAKOSTI SA KOLIČINAMA.

Nakon što se dijete upozna s kartama količine od 1 do 20, možete prvoj fazi treninga dodati drugu fazu - jednakosti s količinama.

Šta je jednakost? Ovo je aritmetička operacija i njen rezultat.

Ovu fazu učenja započinjete temom "Sabiranje".

Dodatak.

Pokazivanjem dva seta količinskih kartica, dodajete jednadžbe za sabiranje.

Ovu operaciju je vrlo lako naučiti. U stvari, vaše dijete je već nekoliko sedmica spremno za ovo. Uostalom, svaki put kada mu pokažete novu karticu, on vidi da se na njoj pojavila još jedna tačka.

Beba još ne zna kako se zove, ali već ima ideju o tome šta je i kako funkcionira.

Već imate materijal za primjere dodavanja na poleđini svake kartice.

Tehnologija za pokazivanje jednakosti izgleda otprilike ovako: Želite djetetu dati jednakost: 1 +2 = 3. Kako to možete pokazati?

Prije nego započnete lekciju, stavite tri karte licem prema dolje u krilo, jednu na drugu. Uzimanje gornje karte sa jednim zglobom, recimo "jedan", onda ga ostavite na stranu i reci "plus", pokažite kartu sa dvije domine, recimo "dva", ostavi to sa strane posle reči "će", pokazati kartu sa tri domine, govoreći "tri".

Dnevno vodite tri časa sa jednakostima i na svakom času pokazujete tri različite jednakosti. Ukupno, beba vidi devet različitih jednakosti dnevno.

Dijete bez ikakvog objašnjenja razumije šta ta riječ znači "plus", on sam izvodi njegovo značenje iz konteksta. Izvodeći radnje, time pokazujete pravo značenje sabiranja brže od bilo kojeg objašnjenja. Kada govorite o jednakosti, uvijek se pridržavajte istog načina predstavljanja, koristeći iste pojmove. Rekavši "Jedan plus dva jednako je tri" nemoj kasnije “Dva dodato jednom je jednako tri.” Kada učite dijete činjenicama, ono donosi svoje zaključke i uči pravila. Ako promijenite uslove, onda dijete ima sve razloge da misli da su se i pravila promijenila.

Pripremite unaprijed sve karte potrebne za određenu jednakost. Nemojte misliti da će vaše dijete mirno sjediti i gledati kako preturate po hrpi karata birajući one koje su vam potrebne. Jednostavno će pobjeći i biti u pravu, jer njegovo vrijeme ne vrijedi ništa manje od vašeg.

Pokušajte ne stvarati jednakosti koje imaju nešto zajedničko i koje bi omogućile djetetu da ih unaprijed predvidi (takve jednakosti se mogu koristiti kasnije). Evo primjera takvih jednakosti:

Mnogo je bolje koristiti ove:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Dijete mora vidjeti matematičku suštinu, razvija matematičke vještine i pojmove. Nakon otprilike dvije sedmice, beba otkriva šta je sabiranje: na kraju krajeva, za to vrijeme pokazali ste mu 126 različitih jednačina za sabiranje.

Ispitivanje.

Provjerite u ovoj fazi predstavlja rješenje primjera.

Po čemu se primjer razlikuje od jednakosti?
Jednakost je radnja s rezultatom koji se pokazuje djetetu.

Primjer je radnja koju treba izvršiti. U našem slučaju djetetu pokažete dva odgovora, a ono bira tačan, tj. rješava primjer.

Možete postaviti primjer nakon redovne lekcije sa tri jednačine sabiranja. Pokazujete primjer na isti način kao što ste ranije demonstrirali jednakost. To jest, preuređujete karte u svojim rukama, izgovarajući svaku naglas. Na primjer, "dvadeset plus deset je trideset ili četrdeset pet?" i pokažite djetetu dvije kartice, od kojih jedna ima tačan odgovor.

Karte s odgovorima treba držati na istoj udaljenosti od bebinih očiju i ne smije se dozvoliti nikakva podsticanje.

At praveći pravi izbor dijete, energično izražavaš svoje oduševljenje, ljubiš ga i hvališ.

Ako odaberete pogrešan odgovor, bez izražavanja razočaranja, gurnete karticu sa tačnim odgovorom prema bebi i postavite pitanje: „Biće trideset, zar ne?“ Na takvo pitanje dijete najčešće odgovara potvrdno. Obavezno pohvalite svoje dijete za ovaj tačan odgovor.

Pa, ako od deset primjera vaše dijete riješi najmanje šest tačno, onda je definitivno vrijeme da pređete na jednačine za oduzimanje!

Ako ne mislite da je potrebno provjeravati svoje dijete (i s pravom!), onda nakon 10-14 dana ipak prijeđite na jednačine oduzimanja!

Razmotrite -Oduzimanje.

Prestajete sa sabiranjem i potpuno prelazite na oduzimanje. Provedite tri dnevne lekcije sa tri različite jednakosti u svakoj.

Izrazite jednadžbe za oduzimanje ovako: "Dvanaest minus sedam je pet."

Istovremeno nastavljate da pokazujete količinske karte (dva seta, po pet karata) takođe tri puta dnevno. Ukupno ćete imati devet dnevnih vrlo kratkih lekcija. Dakle, radite ne više od dvije sedmice.

Ispitivanje

Testiranje, baš kao i u slučaju sabiranja, može uključivati ​​rješavanje primjera odabirom jednog od dva odgovora.

Razmotrite-Množenje.

Množenje nije ništa drugo do ponovljeno zbrajanje, tako da ova akcija neće biti veliko otkriće za vaše dijete. Dok nastavite da proučavate količinske karte (dva seta od po pet karata), imate priliku da kreirate jednadžbe za množenje.

Izrazite jednakosti množenja ovako: “Dva puta tri je šest.”

Dijete će razumjeti riječ "umnožiti" onoliko brzo koliko je ranije razumeo ovu reč "plus" I "oduzeti".

I dalje predajete tri lekcije dnevno, od kojih svaka sadrži tri različite jednadžbe za množenje. Ovaj rad ne traje duže od dvije sedmice.

Nastavite izbjegavati predvidljive jednakosti. Na primjer, kao što su:

Potrebno je stalno držati svoje dijete u stanju iznenađenja i iščekivanja nečeg novog. Glavno pitanje za njega bi trebalo da bude: "Šta je sledeće?"- i na svakoj lekciji treba da dobije novi odgovor na njega.

Ispitivanje

Primjere rješavate na isti način kao u temi “Sabiranje” i “Oduzimanje”. Ako su se vašem djetetu svidjele igre čekiranja kutija sa kartama količine, možete ih nastaviti igrati i tako ponavljati nove, velike količine.

Pridržavajući se sheme koju smo predložili, do ovog trenutka već možete završiti prvu fazu učenja matematike - proučavati količine unutar 100. Sada je vrijeme da se upoznate s karticom koja se djeci najviše sviđa.

Razmotrimo koncept nule.

Kažu da matematičari pet stotina godina proučavaju ideju nule. Bilo da je to istina ili ne, ali djeca, koja su jedva naučila ideju količine, odmah razumiju njeno značenje. potpuno odsustvo. Oni jednostavno obožavaju nulu, a vaše putovanje u svijet brojeva bit će nepotpuno ako bebi ne pokažete karticu na kojoj uopće nema tačaka (tj. bit će to potpuno prazna kartica).

Kako bi upoznavanje vašeg djeteta bilo nimalo zabavnim i zanimljivim, prikaz kartice možete popratiti zagonetkom:

Kod kuće je sedam vjeverica, Na tanjiru je sedam pečuraka. Sve su gljive pojele vjeverice. Šta je ostalo na tanjiru?

Prilikom izgovora posljednje fraze pokazujemo karticu "nula".

Koristićete ga skoro svaki dan. Biće korisno za operacije sabiranja, oduzimanja i množenja.

Sa "nultom" karticom možete raditi jednu sedmicu. Dijete brzo savlada ovu temu. Kao i do sada, tokom dana vodite tri časa. Na svakoj lekciji svom djetetu pokažete tri različite jednakosti za sabiranje, oduzimanje i množenje sa nulom. Ukupno ćete dobiti devet jednakosti dnevno.

Ispitivanje

Rješavanje primjera s nulom slijedi poznati obrazac.

Uzmite u obzir -Division.

Kada popunite sve karte s količinama od 0 do 100, imate sav potreban materijal za primjere dijeljenja s količinama.

Tehnologija za prikazivanje jednakosti za ovu temu je ista. Svaki dan vodite tri časa. Na svakoj lekciji svom djetetu pokažete tri različite jednakosti. Dobro je ako prolazak ovog materijala ne prelazi dvije sedmice.

Ispitivanje

Test se sastoji od rješavanja primjera uz odabir jednog od dva odgovora.

Kada prođete kroz sve količine i upoznate četiri aritmetička pravila, možete diverzificirati i zakomplikovati svoje učenje na svaki mogući način. Prvo pokažite jednakosti gdje se koristi jedna aritmetička operacija: samo zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Zatim - jednakosti gdje se kombiniraju sabiranje i oduzimanje ili množenje i dijeljenje:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Kako se ne biste zabunili u kartama, možete promijeniti način vođenja nastave. Sada nije potrebno pokazivati ​​svaku karticu igle za pletenje, možete samo pokazati odgovor i samo izgovoriti same radnje. Kao rezultat toga, vaši časovi će postati kraći. Jednostavno recite djetetu: "Dvadeset dva podeljeno sa jedanaest, podeljeno sa dva jednako je jedan"- i pokažite mu karticu "jedan".

U ovoj temi možete koristiti jednakosti između kojih postoji neka vrsta uzorka.

Na primjer:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

Kada kombinujete četiri aritmetičke operacije u jednakosti, zapamtite da množenje i deljenje moraju biti postavljeni na početak jednakosti:

Nemojte se bojati demonstrirati jednakosti, kojih ima više od sto, npr.

srednji rezultat u

42 * 3 - 36 = 90,

gdje je srednji rezultat 126 (42 * 3 = 126)

Vaša beba će se odlično snaći s njima!

Test se sastoji od rješavanja primjera uz odabir jednog od dva odgovora. Možete pokazati primjer tako što ćete pokazati sve kartice jednakosti i dvije kartice za odabir odgovora ili jednostavno reći cijelu jednakost, pokazujući samo dvije kartice za odgovor svom djetetu.

Zapamtite! Što duže učite, brže trebate uvoditi nove teme. Čim primijetite prve znakove djetetove nepažnje ili dosade, prijeđite na novu temu. Nakon nekog vremena možete se vratiti na prethodnu temu (ali da se upoznate sa jednakostima koje još nisu prikazane).

Sekvence

Nizovi su iste jednakosti. Iskustvo roditelja sa ovom temom pokazalo je da su deci sekvence veoma interesantne.

Plus sekvence su sve veće sekvence. Sekvence sa minusom se smanjuju.

Što su sekvence raznovrsnije, to su interesantnije za bebu.

Evo nekoliko primjera sekvenci:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Tehnologija prikazivanje sekvenci može biti ovako. Pripremili ste tri sekvence za plus.

Najavite djetetu temu lekcije, položite kartice prvog niza jednu za drugom na pod, izgovarajući ih.

Premjestite se s djetetom u drugi ugao sobe i rasporedite drugu sekvencu na isti način.

U trećem uglu sobe postavljate treću sekvencu, dok je izgovarate.

Sekvence se također mogu postaviti jedna ispod druge, ostavljajući praznine između njih.

Pokušajte uvijek ići naprijed, krećući se od jednostavnog ka složenom. Promjenite aktivnosti: ponekad recite naglas ono što pokazujete, a ponekad pokažite kartice u tišini. U svakom slučaju, dijete vidi niz koji se odvija pred njim.

Za svaku sekvencu morate koristiti najmanje šest kartica, ponekad i više, kako biste djetetu olakšali određivanje principa samog niza.

Čim vidite sjaj u djetetovim očima, pokušajte dodati primjer u tri niza (tj. testirajte njegovo znanje).

Pokazujete primjer ovako: prvo rasporedite cijeli niz, kao što to obično radite, a na kraju uzmete dvije karte (jedna karta je ona koja slijedi u nizu, a druga je nasumična) i pitate dijete: "Koji je sljedeći?"

Najprije rasporedite karte u nizovima jednu za drugom, a zatim možete promijeniti forme rasporeda: stavite karte u krug, po obodu sobe itd.

Kako postajete sve bolji i bolji, nemojte se bojati koristiti množenje i dijeljenje u svojim nizovima.

Primjeri sekvenci:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - u ovom nizu svaki sljedeći broj se povećava za 2;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - u ovom nizu naizmjenično množenje i sabiranje (x 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - u ovom nizu svaki sljedeći broj se povećava za 2 puta;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - u ovom nizu svaki sljedeći broj se smanjuje za 4;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - u ovom nizu naizmjenično dijeljenje i oduzimanje (: 2; - 2);

Znakovi "veće od", "manje od"

Ove kartice su uključene u 110 kartica sa brojevima i znakovima (druga komponenta ANASTA metode).

Lekcije za upoznavanje vašeg djeteta sa konceptima „više i manje“ će biti vrlo kratke. Sve što treba da uradite je da pokažete tri karte.

Tehnologija prikaza

Sjednite na pod i položite svaku kartu ispred djeteta tako da može vidjeti sve tri karte odjednom. Imenujte svaku karticu.

Možete to reći ovako: "šest je više od tri" ili "šest je više od tri."

Na svakom času svom djetetu pokažete tri različite opcije nejednakosti sa

kartice “više” - “manje”. nejednakosti po danu.

Dakle, prikazujete devet različitih

Kao i prije, svaku nejednakost prikazujete samo jednom.

Nakon nekoliko dana, možete dodati primjer u tri emisije. Već je pregled, a to ide ovako:

Stavite unaprijed pripremljene karte na pod, na primjer, karticu sa brojem "68" i karticu sa znakom "više". Pitajte svoju bebu: "Šezdeset osam je veće od kog broja?" ili "Da li je šezdeset osam više od pedeset ili devedeset pet?" Pozovite svoje dijete da od dvije karte odabere onu koja mu je potrebna. Vi (ili on sam) stavljate ispravnu kartu koju je dijete naznačilo nakon znaka “više”.

Možete staviti dvije karte sa količinama ispred djeteta i dati mu mogućnost da odabere znak koji mu odgovara, odnosno > ili<.

Jednakosti i nejednakosti

Jednakosti i nejednakosti je lako naučiti kao i koncepte „više“ i „manje“.

Trebaće vam šest kartica sa aritmetičkim simbolima. Naći ćete ih i kao dio 110 kartica s brojevima i znakovima (druga komponenta ANASTA metode).

Tehnologija prikaza

Odlučili ste da svom djetetu pokažete sljedeće dvije nejednakosti i jednu jednakost:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Postavljate ih na pod uzastopno tako da dijete može vidjeti svaki od njih odjednom. U isto vrijeme kažete sve, na primjer: "Osam minus šest nije jednako deset minus sedam."

Na isti način izgovarate preostalu jednakost i nejednakost prilikom polaganja.

U početnoj fazi podučavanja ove teme, sve karte su postavljene.

Tada možete prikazati samo kartice "jednako" i "ne jednako".

Jednog dana svom djetetu date priliku da pokaže svoje znanje. Položite karte s količinama i zamolite ga da odabere koju karticu s kojim znakom treba staviti: „jednako“ ili „nejednako“.

Prije nego što počnete učiti algebru sa svojim djetetom, morate ga upoznati s konceptom varijable predstavljene slovom.

Slovo x se obično koristi u matematici, ali budući da se lako može pomiješati sa znakom množenja, preporučuje se korištenje y.

Prvo stavite kartu sa pet domino perli, zatim znakom plus (+), zatim znakom y, zatim znakom jednakosti i na kraju kartu sa sedam perli domina. Zatim postavljate pitanje: "Šta misliš ovdje?"

I sami odgovorite: "U ovoj jednačini to znači dva."

pregled:

Nakon otprilike jednu do sedmicu i po časova u ovoj fazi, svom djetetu možete dati priliku da izabere odgovor.

ČETVRTA FAZA JEDNAKOSTI SA BROJEVIMA I KOLIČINAMA

Kada ste prošli kroz brojeve od 1 do 20, vrijeme je da „izgradite mostove“ između brojeva i količina. Postoji mnogo načina da se to uradi. Jedna od najjednostavnijih je upotreba jednakosti i nejednakosti, odnosa "više" i "manje", prikazana pomoću kartica s brojevima i domina.

Tehnologija prikaza.

Uzmite karticu sa brojem 12, stavite je na pod, zatim stavite znak "veće od" pored nje, a zatim karticu sa brojem 10, dok kažete: "Dvanaest je više od deset".

Nejednakosti (jednakosti) mogu izgledati ovako:

Svaki dan (jednakosti) sastoji se od tri lekcije, a svaki čas se sastoji od tri nejednakosti u količinama i brojevima. Ukupan broj dnevnih jednakosti bit će devet. Istovremeno, nastavljate da proučavate brojeve koristeći dva seta od po pet kartica, takođe tri puta dnevno.

Ispitivanje.

Možete dati svom djetetu priliku da bira kartice „više od“, „manje od“, „jednako“ ili da kreira primjer na način da ga dijete može samo završiti. Na primjer, stavljamo brojčanu karticu 7, zatim znak "veće od" i dajemo djetetu priliku da dovrši primjer, odnosno da odabere brojčanu karticu, na primjer, 9 ili brojčanu karticu, na primjer, 5.

Nakon što dijete shvati vezu između količina i brojeva, možete početi rješavati jednakosti pomoću kartica s brojevima i količinama.

Jednakosti sa brojevima i količinama.

Koristeći kartice s brojevima i količinama, prolazite kroz već poznate teme: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, nizovi, jednakosti i nejednačine, razlomci, jednačine, jednakosti u dvije ili više operacija.

Ako pažljivo pogledate približnu šemu nastave matematike (str. 20), vidjet ćete da časovima nema kraja. Smislite vlastite primjere za razvoj mentalnog brojanja djeteta, povežite količine sa stvarnim predmetima (orasi, žlice za goste, komadi nasjeckane banane, hljeba itd.) - jednom riječju, odvažite se, stvarajte, izmišljajte, pokušajte! I uspjet ćete!

- (jednakost zastarjela), jednakost, usp. (knjiga). 1. samo jedinice rasejan imenica na jednakost, istost, potpunu sličnost (po veličini, kvaliteti, dostojanstvu itd.). “Bez kolektivnih farmi postoji nejednakost, u kolektivnim farmama je jednakost prava.” Staljin. Jednakost moći. jednakost...... Ushakov's Explantatory Dictionary

- (jednakost) Činjenično i/ili normativno potvrdjivanje jednake nadležnosti ili jednakog statusa osoba, što dovodi do prava na pravičnu raspodjelu (distributivna pravda). Kvaziempirijska jednakost pojedinaca odnosi se na čisto fizičku ... ... Političke nauke. Rječnik.

Svi ljudi su rođeni slobodni i jednaki u dostojanstvu i pravima. Univerzalna deklaracija o ljudskim pravima (1948) Svi ljudi su rođeni jednaki i bore se protiv toga do svoje smrti. Leszek Kumor Ljudi se rađaju slobodni i nejednaki. Grant Allen..... Konsolidovana enciklopedija aforizama

Jedan od osnovnih pojmova društvene filozofije i samog društvenog života. Osnova za sve vrste R. je formalna R., koja, u zavisnosti od obima primene i izbora vrednosne osnove izjednačavanja, formira različite sadržajne... ... Philosophical Encyclopedia

Društvena, karakteristika određenog društvenog stanja, sastavni dio mnogih društvenih ideala. Zahtjevi za političkom i društvenom jednakošću igrali su aktivnu, često revolucionarnu ulogu u istorijskom procesu. Stoicizam se razvio...... Moderna enciklopedija

Društvena karakteristika određenog društvenog stanja, sastavni dio mnogih društvenih ideala. Zahtjevi za političkom i društvenom jednakošću igrali su aktivnu, često revolucionarnu ulogu u istorijskom procesu. Stoicizam se razvio......

- (jednakost) Imaju istu vrijednost. Označeno znakom jednakosti (=) i primjenjivo na brojeve ili algebarske izraze. Ako su x i y realni brojevi, x=y znači da su x i y isti. Ako su x i y kompleksni...... Ekonomski rječnik

Jednakost- Jednakost ♦ Égalité Dva bića su jednaka kada su iste veličine ili imaju istu količinu nečega. Dakle, pojam dobiva značenje samo relativno i pretpostavlja postojanje određene referentne vrijednosti. Dakle, mi kažemo... Sponvilleov filozofski rječnik

Cm … Rečnik sinonima

jednakost- 1. Potpuna sličnost, sličnost (po veličini, kvaliteti, dostojanstvu). 2. Kvalitativni koncept koji se koristi u ekonomiji u smislu „jednakosti prihoda“, „imovinske jednakosti“, „jednakosti mogućnosti“, tako da ... ... Vodič za tehnički prevodilac

U logici i matematici, odnos međusobne zamjenjivosti objekata, koji se upravo zbog te zamjenjivosti smatraju jednakim (a = b). Odnos jednakosti ima svojstva refleksivnosti (svaki predmet je jednak sam sebi), simetrije (ako je ... Veliki enciklopedijski rječnik

Knjige

• Jednakost, Danny Dorling. Knjiga Dannyja Dorlinga "Jednakost" bogata je vrlo zanimljivim idejama. Veća jednakost poboljšava stvarni kvalitet života za veliku većinu stanovništva. Poboljšava kvalitet...