", Det vil sige ligninger af første grad. I denne lektion vil vi analysere det man kalder en andengradsligning og hvordan man løser det.

Det der kaldes en andengradsligning

Vigtig!

Graden af ​​ligningen bestemmes af den største grad, hvori det ukendte står.

Hvis den maksimale effekt, som det ukendte står i, er "2", så har du en andengradsligning.

Eksempler på andengradsligninger

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Vigtig! Det generelle billede af andengradsligningen ser sådan ud:

A x 2 + b x + c = 0

"A", "b" og "c" er givet tal.

• "A" - den første eller mest signifikante koefficient;
• "B" er den anden koefficient;
• "C" er et gratis medlem.

For at finde "a", "b" og "c" skal du sammenligne din ligning med den generelle form af andengradsligningen "ax 2 + bx + c = 0".

Lad os øve os i at definere koefficienterne "a", "b" og "c" i andengradsligninger.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Ligningen	Odds
a = 5 b = -14 c = 17
a = −7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Hvordan løses andengradsligninger

I modsætning til lineære ligninger, for at løse andengradsligninger, en speciel formel til at finde rødder.

Husk!

For at løse en andengradsligning skal du bruge:

• bringe andengradsligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0". Det vil sige, at kun "0" skal forblive på højre side;
• brug formel for rødder:

Lad os tage et eksempel på, hvordan man bruger en formel til at finde rødderne til en andengradsligning. Lad os løse andengradsligningen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ligningen "x 2 - 3x - 4 = 0" er allerede blevet reduceret til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0" og kræver ikke yderligere forenklinger. For at løse det skal vi bare ansøge formlen til at finde rødderne til en andengradsligning.

Lad os definere koefficienterne "a", "b" og "c" for denne ligning.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Med dens hjælp løses enhver andengradsligning.

I formlen "x 1; 2 =" erstattes det radikale udtryk ofte
"B 2 - 4ac" med bogstavet "D" og kaldes diskriminanten. Begrebet en diskriminant diskuteres mere detaljeret i lektionen "Hvad er en diskriminant".

Overvej et andet eksempel på en andengradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

Det er ret vanskeligt at bestemme koefficienterne "a", "b" og "c" i denne form. Lad os først bringe ligningen til den generelle form "ax 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Nu kan du bruge rodformlen.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Svar: x = 3

Der er tidspunkter, hvor der ikke er rødder i andengradsligninger. Denne situation opstår, når der findes et negativt tal under roden i formlen.

Kvadratiske ligninger. Diskriminerende. Løsning, eksempler.

Opmærksomhed!
Der er yderligere
materialer i specialafsnit 555.
For dem, der er meget "ikke meget ..."
Og for dem, der er "meget jævne ...")

Typer af andengradsligninger

Hvad er en andengradsligning? Hvordan ser det ud? På sigt andengradsligning nøgleordet er "firkant". Det betyder, at i ligningen nødvendigvis der skal være et x-kvadrat. Ud over ham kan ligningen (eller måske ikke være!) Bare x (i første potens) og kun et tal (gratis medlem). Og der bør ikke være x'er i en grad større end to.

Matematisk set er en andengradsligning en ligning af formen:

Her a, b og c- nogle tal. b og c- absolut alle, men -en- alt andet end nul. For eksempel:

Her -en =1; b = 3; c = -4

Her -en =2; b = -0,5; c = 2,2

Her -en =-3; b = 6; c = -18

Nå, du forstår ideen...

I disse andengradsligninger til venstre er der komplet sæt medlemmer. X i anden kvadrat med koefficient en, x til første potens med en koefficient b og friperiode med.

Sådanne andengradsligninger kaldes fuld.

Hvad hvis b= 0, hvad får vi? Vi har X forsvinder i første grad. Dette sker fra multiplikation med nul.) Det viser sig for eksempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

Etc. Og hvis begge koefficienter, b og c er lig med nul, så er alt endnu enklere:

2x 2 = 0,

-0,3x2 = 0

Sådanne ligninger, hvor der mangler noget, kaldes ufuldstændige andengradsligninger. Hvilket er ret logisk.) Bemærk venligst, at x-kvadrat er til stede i alle ligninger.

Forresten, hvorfor -en kan ikke være nul? Og du erstatter -en nul.) X'et i firkanten forsvinder fra os! Ligningen bliver lineær. Og det besluttes på en helt anden måde ...

Disse er alle hovedtyperne af andengradsligninger. Fuldstændig og ufuldstændig.

Løsning af andengradsligninger.

Løsning af komplette andengradsligninger.

Kvadratiske ligninger er nemme at løse. Efter formler og klare, enkle regler. På det første trin er det nødvendigt at bringe den givne ligning til en standardform, dvs. at se:

Hvis ligningen allerede er givet til dig i denne form, behøver du ikke at gøre den første fase.) Det vigtigste er at bestemme alle koefficienterne korrekt, -en, b og c.

Formlen til at finde rødderne til en andengradsligning ser sådan ud:

Et udtryk under rodtegnet kaldes diskriminerende... Men om ham - nedenfor. Som du kan se, bruger vi for at finde x kun a, b og c. De der. koefficienter fra andengradsligningen. Du skal bare omhyggeligt erstatte værdierne a, b og c ind i denne formel og tæl. Erstatning med dine tegn! For eksempel i ligningen:

-en =1; b = 3; c= -4. Så vi skriver ned:

Eksemplet er praktisk løst:

Dette er svaret.

Alt er meget enkelt. Og hvad, tror du, er umuligt at tage fejl af? Nå, ja, hvordan...

De mest almindelige fejl er forveksling med betydningstegn. a, b og c... Snarere ikke med deres tegn (hvor skal man blive forvirret?), Men med substitution af negative værdier i formlen til beregning af rødderne. Her gemmer en detaljeret notation af formlen med specifikke tal. Hvis der er beregningsproblemer, gør det!

Antag, at du skal løse dette eksempel:

Her -en = -6; b = -5; c = -1

Lad os sige, at du ved, at du sjældent får svar første gang.

Nå, vær ikke doven. Det vil tage 30 sekunder at skrive en ekstra linje og antallet af fejl vil falde kraftigt... Så vi skriver i detaljer med alle parenteser og tegn:

Det virker utroligt svært at male så omhyggeligt. Men det ser det kun ud til at være. Prøv det. Nå, eller vælg. Hvad er bedre, hurtigt eller rigtigt? Desuden vil jeg gøre dig glad. Efter et stykke tid vil der ikke være behov for at male alt så omhyggeligt. Det vil løse sig af sig selv. Især hvis du bruger de praktiske teknikker, der er beskrevet nedenfor. Dette onde eksempel med en masse ulemper kan løses nemt og uden fejl!

Men ofte ser andengradsligninger lidt anderledes ud. For eksempel sådan her:

Fandt du ud af det?) Ja! det ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger.

De kan også løses ved hjælp af en generel formel. Du skal bare finde ud af, hvad de er lig med a, b og c.

Har du fundet ud af det? I det første eksempel a = 1; b = -4;-en c? Han er der slet ikke! Nå, ja, det er rigtigt. I matematik betyder det det c = 0 ! Det er alt. Erstat nul i formlen i stedet for c, og vi vil lykkes. Det samme er med det andet eksempel. Kun nul har vi ikke her med, a b !

Men ufuldstændige andengradsligninger kan løses meget lettere. Uden formler. Overvej den første ufuldstændige ligning. Hvad kan du gøre der i venstre side? Du kan sætte x'et ud af parentesen! Lad os tage den ud.

Og hvad med det? Og det faktum, at produktet er lig nul, hvis og kun hvis nogen af ​​faktorerne er lig nul! Tror du mig ikke? Tænk så på to tal, der ikke er nul, der, når de ganges, vil give nul!
Virker ikke? Det er det ...
Derfor kan vi trygt skrive: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alt. Disse vil være rødderne til vores ligning. Begge passer. Når du erstatter nogen af ​​dem i den oprindelige ligning, får vi den korrekte identitet 0 = 0. Som du kan se, er løsningen meget nemmere end at bruge den generelle formel. Forresten vil jeg bemærke, hvilken X der bliver den første, og hvilken der bliver den anden - det er absolut ligegyldigt. Det er praktisk at skrive ned i rækkefølge, x 1- hvad er mindre, og x 2- Hvad er mere.

Den anden ligning kan også løses enkelt. Flyt 9 til højre. Vi får:

Det er tilbage at udtrække roden fra 9, og det er det. Det vil vise sig:

Også to rødder . x 1 = -3, x 2 = 3.

Sådan løses alle ufuldstændige andengradsligninger. Enten ved at sætte x'et i parentes, eller ved blot at flytte tallet til højre og derefter trække roden ud.
Det er ekstremt svært at forveksle disse teknikker. Simpelthen fordi du i det første tilfælde bliver nødt til at udtrække roden fra x'et, hvilket på en eller anden måde er uforståeligt, og i det andet tilfælde er der intet at lægge ud af parenteserne ...

Diskriminerende. Diskriminerende formel.

Magisk ord diskriminerende ! En sjælden gymnasieelev har ikke hørt dette ord! Udtrykket "at beslutte gennem diskriminanten" er betryggende og beroligende. For der er ingen grund til at vente på beskidte tricks fra diskriminanten! Det er enkelt og problemfrit at bruge.) Jeg husker den mest generelle formel til løsning nogen andengradsligninger:

Udtrykket under rodtegnet kaldes diskriminanten. Normalt er diskriminanten angivet med bogstavet D... Diskriminerende formel:

D = b 2 - 4ac

Og hvad er så bemærkelsesværdigt ved dette udtryk? Hvorfor fortjente det et særligt navn? Hvad betydningen af ​​diskriminanten? Trods alt -b, eller 2a i denne formel nævner de ikke specifikt ... Bogstaver og bogstaver.

Her er sagen. Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det muligt kun tre tilfælde.

1. Diskriminanten er positiv. Det betyder, at du kan udtrække roden fra den. God rod udvindes, eller dårlig - et andet spørgsmål. Det er vigtigt, hvad der udvindes i princippet. Så har din andengradsligning to rødder. To forskellige løsninger.

2. Diskriminanten er nul. Så har du én løsning. Da addition-subtraktion af nul i tælleren ikke ændrer noget. Strengt taget er dette ikke én rod, men to ens... Men i en forenklet version er det sædvanligt at tale om én løsning.

3. Diskriminanten er negativ. Der udvindes ingen kvadratrod fra et negativt tal. Nå okay. Det betyder, at der ikke er nogen løsninger.

Helt ærligt, med en simpel løsning af andengradsligninger er begrebet diskriminant ikke særligt påkrævet. Vi erstatter værdierne af koefficienterne i formlen, men vi tæller. Alt kommer af sig selv, og der er to rødder, og en og ikke en. Dog når man løser mere komplekse opgaver, uden viden betydning og diskriminerende formler ikke nok. Især - i ligninger med parametre. Sådanne ligninger er kunstflyvning ved State Exam og Unified State Exam!)

Så, hvordan man løser andengradsligninger gennem den diskriminant, du huskede. Eller har lært, hvilket også er godt.) Du ved, hvordan du identificerer korrekt a, b og c... Du ved hvordan opmærksomt erstatte dem i rodformlen og opmærksomt læs resultatet. Du får den idé, at nøgleordet her er opmærksomt?

Indtil videre skal du notere dig de bedste praksisser, der drastisk vil reducere fejl. Netop dem, der skyldes uopmærksomhed. ... For som det så gør ondt og fornærmende ...

Første modtagelse ... Vær ikke doven til at bringe det til standardformen, før du løser andengradsligningen. Hvad betyder det?
Lad os sige, at du efter nogle transformationer fik følgende ligning:

Skynd dig ikke at skrive rodformlen! Du vil næsten helt sikkert blande oddsene sammen. a, b og c. Byg eksemplet rigtigt. Først kvadres X'et, derefter uden kvadratet, derefter det frie led. Sådan her:

Og igen, skynd dig ikke! Minus foran x'et i firkanten kan gøre dig rigtig ked af det. Det er nemt at glemme det ... Slip af med minus. Hvordan? Ja, som undervist i det forrige emne! Du skal gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nu kan du roligt nedskrive formlen for rødderne, beregne diskriminanten og færdiggøre eksemplet. Gør det selv. Du skal have rødderne 2 og -1.

Reception nummer to. Tjek rødderne! Ved Vietas sætning. Bliv ikke bange, jeg vil forklare alt! Tjekker sidste ting ligningen. De der. den, hvormed vi skrev formlen for rødderne ned. Hvis (som i dette eksempel) koefficienten a = 1, er det nemt at tjekke rødderne. Det er nok at formere dem. Du bør få et gratis medlem, dvs. i vores tilfælde -2. Vær opmærksom, ikke 2, men -2! Gratis medlem med mit skilt ... Hvis det ikke virkede, så er det allerede skruet sammen et sted. Se efter fejlen.

Hvis det lykkes, skal du folde rødderne. Den sidste og sidste kontrol. Du bør få en koefficient b med modsat velkendt. I vores tilfælde er -1 + 2 = +1. Og koefficienten b hvilket er før x er -1. Så alt er korrekt!
Det er en skam, at dette kun er så enkelt for eksempler, hvor x-kvadraten er ren, med en koefficient a = 1. Men i det mindste i sådanne ligninger, tjek! Der vil være færre fejl.

Modtagelse tredje ... Hvis du har brøkkoefficienter i din ligning, så slip med brøker! Multiplicer ligningen med fællesnævneren som beskrevet i lektionen Hvordan løser man ligninger? Identiske transformationer. Når du arbejder med brøker, har fejl af en eller anden grund en tendens til at dukke op ...

Forresten lovede jeg at forenkle det onde eksempel med en masse ulemper. Vær venlig! Her er det.

For ikke at blive forvirret i minusser gange vi ligningen med -1. Vi får:

Det er alt! Det er en fornøjelse at bestemme!

Så for at opsummere emnet.

Praktiske råd:

1. Før vi løser, bringer vi andengradsligningen til standardformen, bygger den ret.

2. Hvis der er en negativ koefficient foran x i kvadratet, eliminerer vi den ved at gange hele ligningen med -1.

3. Hvis koefficienterne er brøkdele, eliminerer vi brøkerne ved at gange hele ligningen med den passende faktor.

4. Hvis x i anden er ren, er koefficienten ved den lig med én, løsningen kan let verificeres med Vietas sætning. Gør det!

Nu kan du bestemme.)

Løs ligninger:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Svar (i uorden):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 = -0,5

x - et hvilket som helst tal

x 1 = -3
x 2 = 3

ingen løsninger

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Passer det hele sammen? Bøde! Kvadratiske ligninger er ikke din hovedpine. De første tre virkede, men resten gjorde det ikke? Så er problemet ikke med andengradsligninger. Problemet er i identiske transformationer af ligninger. Gå en tur på linket, det er nyttigt.

Træner du ikke helt? Eller virker det slet ikke? Så hjælper sektion 555. Der er alle disse eksempler sorteret i stykker. Vist det vigtigste fejl i løsningen. Den fortæller selvfølgelig også om brugen af ​​identiske transformationer i løsningen af ​​forskellige ligninger. Hjælper meget!

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Øjeblikkelig valideringstest. Lær - med interesse!)

du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Med dette matematikprogram kan du løse andengradsligningen.

Programmet giver ikke kun et svar på problemet, men viser også løsningsprocessen på to måder:
- ved at bruge diskriminanten
- ved hjælp af Vietas sætning (hvis muligt).

Desuden vises svaret nøjagtigt, ikke omtrentligt.
For eksempel, for ligningen \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \), vises svaret i denne form:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ og ikke sådan: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Dette program kan være nyttigt for seniorstuderende på gymnasier som forberedelse til test og eksamen, når de kontrollerer viden før eksamen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med en detaljeret løsning.

På den måde kan du gennemføre din egen undervisning og/eller undervise dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for de problemstillinger, der løses, stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk polynomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan bruges som en variabel.
For eksempel: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen fra helheden adskilles med enten et punkt eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimalbrøker som dette: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et heltal kan bruges som tæller, nævner og hel del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et og-tegn: &
Input: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Når du indtaster et udtryk beslag kan bruges... I dette tilfælde, når man løser en andengradsligning, forenkles først det introducerede udtryk.
For eksempel: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Beslutte

Det viste sig, at nogle scripts, der var nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Måske har du AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er rigtig mange der gerne vil løse problemet, din henvendelse står i køen.
Efter et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i beslutningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer og hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Kvadratisk ligning og dens rødder. Ufuldstændige andengradsligninger

Hver af ligningerne
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
har formen
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tal.
I den første ligning a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den anden ligning a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Sådanne ligninger kaldes andengradsligninger.

Definition.
Kvadratisk ligning er en ligning af formen ax 2 + bx + c = 0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og \ (a \ neq 0 \).

Tallene a, b og c er koefficienterne for andengradsligningen. Tallet a kaldes den første koefficient, tallet b - den anden koefficient, og tallet c - det frie led.

I hver af ligningerne på formen ax 2 + bx + c = 0, hvor \ (a \ neq 0 \), er den største potens af variablen x kvadratet. Deraf navnet: andengradsligning.

Bemærk, at en andengradsligning også kaldes en ligning af anden grad, da dens venstre side er et polynomium af anden grad.

En andengradsligning, hvor koefficienten ved x 2 er 1, kaldes reduceret andengradsligning... For eksempel er de reducerede andengradsligninger ligningerne
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Hvis i andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er mindst én af koefficienterne b eller c lig nul, så kaldes en sådan ligning ufuldstændig andengradsligning... Så ligningerne -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 er ufuldstændige andengradsligninger. I den første af dem er b = 0, i den anden c = 0, i den tredje b = 0 og c = 0.

Ufuldstændige andengradsligninger er af tre typer:
1) ax 2 + c = 0, hvor \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, hvor \ (b \ neq 0 \);
3) akse 2 = 0.

Lad os overveje løsningen af ​​ligninger af hver af disse typer.

For at løse en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + c = 0 for \ (c \ neq 0 \), overfører du dets frie led til højre side og dividerer begge sider af ligningen med a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Højrepil x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Siden \ (c \ neq 0 \), så \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Hvis \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), så har ligningen to rødder.

Hvis \ (- \ frac (c) (a) At løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 + bx = 0 med \ (b \ neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\ (x (ax + b) = 0 \ Højrepil \ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x = 0 \\ axe + b = 0 \ ende (array) \ højre. \ Højrepil \ venstre \ (\ begynde (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ højre. \)

Det betyder, at en ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 + bx = 0 for \ (b \ neq 0 \) altid har to rødder.

En ufuldstændig andengradsligning af formen ax 2 = 0 svarer til ligningen x 2 = 0 og har derfor en unik rod 0.

Formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os nu overveje, hvordan andengradsligninger løses, hvor både koefficienterne for de ukendte og det frie led er ikke-nul.

Lad os løse den andengradsligning i generel form, og som et resultat får vi formlen for rødderne. Så kan denne formel anvendes til at løse enhver andengradsligning.

Løs andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0

Ved at dividere begge dens dele med a, får vi den ækvivalente reducerede andengradsligning
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Vi transformerer denne ligning ved at vælge kvadratet af binomialet:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2- \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Højrepil \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ venstre (\ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Højrepil \) \ (\ venstre (x + \ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Højrepil \ venstre (x + \ frac (b) (2a) \ højre) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Højrepil \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Højrepil x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Højrepil \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Det radikale udtryk kaldes andengradsligningens diskriminant ax 2 + bx + c = 0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bogstavet D, dvs.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, ved hjælp af notationen af ​​diskriminanten, omskriver vi formlen for rødderne af andengradsligningen:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), hvor \ (D = b ^ 2-4ac \)

Det er tydeligt at:
1) Hvis D> 0, så har andengradsligningen to rødder.
2) Hvis D = 0, så har andengradsligningen én rod \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Hvis D Altså, afhængigt af værdien af ​​diskriminanten, kan andengradsligningen have to rødder (for D> 0), én rod (for D = 0) eller ikke have rødder (for D Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det tilrådeligt at gå frem på følgende måde:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med nul;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lig med nul, så brug rodformlen, hvis diskriminanten er negativ, så skriv ned at der ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Den givne andengradsligning ax 2 -7x + 10 = 0 har rødderne 2 og 5. Summen af ​​rødderne er 7, og produktet er 10. Vi ser, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient taget med det modsatte tegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. Enhver given andengradsligning med rødder besidder denne egenskab.

Summen af ​​rødderne af den givne andengradsligning er lig med den anden koefficient, taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led.

De der. Vietas sætning siger, at rødderne x 1 og x 2 af den reducerede andengradsligning x 2 + px + q = 0 har egenskaben:
\ (\ venstre \ (\ begyndelse (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ ende (array) \ højre. \)

Problemer for andengradsligningen studeres i skolepensum og på universiteter. De forstås som ligninger på formen a * x ^ 2 + b * x + c = 0, hvor x - variabel, a, b, c - konstanter; -en<>0. Opgaven er at finde rødderne til ligningen.

Den geometriske betydning af andengradsligningen

Grafen for en funktion, der er repræsenteret ved en andengradsligning, er en parabel. Løsningerne (rødderne) af den andengradsligning er skæringspunkterne mellem parablen og abscissen (x). Det følger heraf, at der er tre mulige tilfælde:
1) parablen har ingen skæringspunkter med abscisseaksen. Det betyder, at den er i det øverste plan med grene op eller lavere med grene ned. I sådanne tilfælde har andengradsligningen ingen reelle rødder (den har to komplekse rødder).

2) parablen har ét skæringspunkt med okseaksen. Et sådant punkt kaldes parablens apex, og andengradsligningen i den får sin minimums- eller maksimumværdi. I dette tilfælde har andengradsligningen én reel rod (eller to identiske rødder).

3) Det sidste tilfælde er mere interessant i praksis - der er to skæringspunkter mellem parablen og abscisseaksen. Det betyder, at der er to reelle rødder til ligningen.

Ud fra analysen af ​​koefficienterne ved variablernes grader kan der drages interessante konklusioner om parablens placering.

1) Hvis koefficienten a er større end nul, så er parablen rettet opad, hvis negativ er parabelgrenene rettet nedad.

2) Hvis koefficienten b er større end nul, så ligger parablens toppunkt i venstre halvplan, hvis den tager en negativ værdi, så i højre.

Udledning af en formel til løsning af en andengradsligning

Flyt konstanten fra andengradsligningen

for lighedstegnet får vi udtrykket

Gang begge sider med 4a

For at få en komplet firkant til venstre skal du tilføje b ^ 2 i begge dele og udføre transformationen

Herfra finder vi

Formel for diskriminant og rødder af en andengradsligning

Diskriminanten kaldes værdien af ​​det radikale udtryk Hvis det er positivt, har ligningen to reelle rødder, beregnet ved formlen Når diskriminanten er nul, har andengradsligningen én løsning (to sammenfaldende rødder), som let kan fås ud fra ovenstående formel, når D = 0. Når diskriminanten er negativ, har ligningen ingen reelle rødder. Imidlertid findes løsninger af en andengradsligning i det komplekse plan, og deres værdi beregnes ved formlen

Vietas sætning

Overvej to rødder af en andengradsligning og konstruer en andengradsligning på basis af disse Vietas sætning følger let af notationen: hvis vi har en andengradsligning af formen så er summen af ​​dens rødder lig med koefficienten p taget med det modsatte fortegn, og produktet af ligningens rødder er lig med det frie led q. Den formelle notation af ovenstående vil se ud som Hvis konstanten a i den klassiske ligning ikke er nul, så skal du dividere hele ligningen med den og derefter anvende Vietas sætning.

Planlæg en andengradsligning for faktorer

Lad problemet stilles: faktoriser en andengradsligning. For at udføre det løser vi først ligningen (find rødderne). Dernæst erstatter vi de fundne rødder i formlen for udvidelsen af ​​andengradsligningen. Dette vil løse problemet.

Problemer med kvadratisk ligning

Mål 1. Find rødderne til en andengradsligning

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Løsning: Vi skriver koefficienterne ned og erstatter dem med diskriminantformlen

Roden af ​​denne værdi er 14, det er nemt at finde det med en lommeregner, eller huske det med hyppig brug, men for nemheds skyld vil jeg i slutningen af ​​artiklen give dig en liste over kvadrater med tal, der ofte kan være findes i sådanne opgaver.
Vi erstatter den fundne værdi i rodformlen

og vi får

Mål 2. Løs ligningen

2x 2 + x-3 = 0.

Løsning: Vi har en komplet andengradsligning, skriver koefficienterne ud og finder diskriminanten


Ved hjælp af de velkendte formler finder vi rødderne til andengradsligningen

Mål 3. Løs ligningen

9x 2 -12x + 4 = 0.

Løsning: Vi har en fuld andengradsligning. Bestem diskriminanten

Vi har en sag, hvor rødderne er de samme. Vi finder røddernes værdier ved formlen

Opgave 4. Løs ligningen

x ^ 2 + x-6 = 0.

Løsning: I tilfælde, hvor der er små koefficienter ved x, er det tilrådeligt at anvende Vietas sætning. Ved dens tilstand får vi to ligninger

Fra den anden betingelse får vi, at produktet skal være lig med -6. Det betyder, at en af ​​rødderne er negativ. Vi har følgende mulige løsningspar (-3; 2), (3; -2). Under hensyntagen til den første betingelse afviser vi det andet par løsninger.
Ligningens rødder er lige store

Opgave 5. Find længderne af siderne af et rektangel, hvis dets omkreds er 18 cm og dets areal er 77 cm 2.

Løsning: Halvdelen af ​​rektanglets omkreds er summen af ​​de tilstødende sider. Lad os betegne x - den store side, så er 18-x dens mindre side. Arealet af rektanglet er lig med produktet af disse længder:
x (18-x) = 77;
eller
x 2 -18x + 77 = 0.
Find ligningens diskriminant

Beregn ligningens rødder

Hvis x = 11, derefter 18'er = 7, tværtimod er det også sandt (hvis x = 7, så er 21-x = 9).

Opgave 6. Faktor 10x 2 -11x + 3 = 0 kvadratligningerne.

Løsning: Vi beregner ligningens rødder, hertil finder vi diskriminanten

Erstat den fundne værdi i rodformlen og beregn

Vi anvender formlen for udvidelsen af ​​en andengradsligning i rødder

Ved at udvide parenteserne får vi en identitet.

Andengradsligning med parameter

Eksempel 1. For hvilke værdier af parameteren en , har ligningen (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 én rod?

Løsning: Ved direkte substitution af værdien a = 3 ser vi, at den ikke har nogen løsning. Dernæst vil vi bruge det faktum, at ligningen for nul diskriminant har én rod af multiplicitet 2. Lad os skrive diskriminanten ud

forenkle det og sidestille det med nul

Modtog en andengradsligning for parameteren a, hvis løsning er let at få ved Vietas sætning. Summen af ​​rødderne er 7, og deres produkt er 12. Ved simpel opregning fastslår vi, at tallene 3,4 vil være rødderne til ligningen. Da vi allerede har forkastet løsningen a = 3 i begyndelsen af ​​beregningerne, vil den eneste rigtige være - a = 4. For a = 4 har ligningen således én rod.

Eksempel 2. For hvilke værdier af parameteren en , ligningen a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 har mere end én rod?

Løsning: Overvej først entalspunkterne, de vil være værdierne a = 0 og a = -3. Når a = 0, vil ligningen blive forenklet til formen 6x-9 = 0; x = 3/2 og der vil være én rod. For a = -3 får vi identiteten 0 = 0.
Vi beregner diskriminanten

og find værdierne af en, hvor den er positiv

Fra den første betingelse får vi en > 3. For det andet finder vi ligningens diskriminant og rødder


Lad os definere de intervaller, hvor funktionen tager positive værdier. Ved at erstatte punktet a = 0 får vi 3>0 . Så uden for intervallet (-3; 1/3) er funktionen negativ. Glem ikke pointen a = 0, som bør udelukkes, da den oprindelige ligning i den har én rod.
Som et resultat får vi to intervaller, der tilfredsstiller problemets tilstand

Der vil være mange lignende opgaver i praksis, prøv selv at finde ud af opgaverne og glem ikke at tage hensyn til de forhold, der udelukker hinanden. Lær formlerne til at løse andengradsligninger godt, de er ofte nødvendige i beregninger i forskellige problemer og videnskaber.

I fortsættelse af emnet "Løsning af ligninger" vil materialet i denne artikel introducere dig til andengradsligninger.

Lad os overveje alt i detaljer: essensen og skrivningen af ​​den kvadratiske ligning, vi vil sætte relaterede termer, vi vil analysere skemaet til løsning af ufuldstændige og komplette ligninger, vi vil stifte bekendtskab med formlen for rødderne og diskriminanten, vi vil etablere sammenhænge mellem rødderne og koefficienterne, og vi vil selvfølgelig give en visuel løsning af praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definition 1

Kvadratisk ligning Er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, hvor x- variabel, a, b og c- nogle tal, mens -en er ikke nul.

Ofte kaldes andengradsligninger også andengradsligninger, da en andengradsligning i bund og grund er en algebraisk ligning af anden grad.

Lad os give et eksempel for at illustrere den givne definition: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 osv. Er andengradsligninger.

Definition 2

Tallene a, b og c Er koefficienterne for andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koefficienten -en kaldes den første, eller senior, eller koefficient ved x 2, b - den anden koefficient, eller koefficienten ved x, a c kaldet et gratis medlem.

For eksempel i en andengradsligning 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 seniorkoefficienten er 6, den anden koefficient er − 2 og fritiden er − 11 ... Lad os være opmærksomme på, at når koefficienterne b og/eller c er negative, så bruges en kort notation af formen 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Lad os også præcisere dette aspekt: ​​hvis koefficienterne -en og/eller b er lige 1 eller − 1 , så må de ikke tage eksplicit deltagelse i registreringen af ​​andengradsligningen, hvilket forklares af de særlige kendetegn ved registreringen af ​​de angivne numeriske koefficienter. For eksempel i en andengradsligning y 2 - y + 7 = 0 den højeste koefficient er 1, og den anden koefficient er − 1 .

Reducerede og ureducerede andengradsligninger

Ifølge værdien af ​​den første koefficient er andengradsligninger opdelt i reducerede og ikke-reducerede.

Definition 3

Reduceret andengradsligning Er en andengradsligning, hvor den førende koefficient er 1. For andre værdier af den førende koefficient reduceres andengradsligningen ikke.

Lad os give eksempler: andengradsligninger x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 reduceres, i hver af dem er den førende koefficient 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- ureduceret andengradsligning, hvor den første koefficient er forskellig fra 1 .

Enhver ikke-reduceret andengradsligning kan transformeres til en reduceret ligning ved at dividere begge dele med den første koefficient (ækvivalent transformation). Den transformerede ligning vil have de samme rødder som den givne ureducerede ligning, eller den vil heller ikke have nogen rødder overhovedet.

Betragtning af et specifikt eksempel vil give os mulighed for klart at demonstrere implementeringen af ​​overgangen fra en ureduceret andengradsligning til en reduceret.

Eksempel 1

Ligningen er 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Det er nødvendigt at konvertere den oprindelige ligning til den reducerede form.

Løsning

Ifølge ovenstående skema dividerer vi begge sider af den oprindelige ligning med den førende koefficient 6. Så får vi: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3 og dette er det samme som: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Derfor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Dermed opnås en ligning, der svarer til den givne.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Fuldstændige og ufuldstændige andengradsligninger

Lad os vende os til definitionen af ​​en andengradsligning. I den præciserede vi det a ≠ 0... En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var netop firkantet, da for a = 0 det omdannes i det væsentlige til en lineær ligning b x + c = 0.

I det tilfælde, hvor koefficienterne b og c lig med nul (hvilket er muligt, både separat og samlet), kaldes andengradsligningen ufuldstændig.

Definition 4

Ufuldstændig andengradsligning Er sådan en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor mindst en af ​​koefficienterne b og c(eller begge) er nul.

Fuld andengradsligning- en andengradsligning, hvor alle numeriske koefficienter ikke er lig med nul.

Lad os diskutere, hvorfor typerne af andengradsligninger får præcis sådanne navne.

For b = 0 antager andengradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0 hvilket er det samme som a x 2 + c = 0... På c = 0 andengradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0 hvilket svarer til a x 2 + b x = 0... På b = 0 og c = 0 ligningen bliver a x 2 = 0... De ligninger, vi opnåede, adskiller sig fra den komplette andengradsligning ved, at deres venstre side ikke indeholder hverken et led med variabel x eller et frit led eller begge dele på én gang. Faktisk gav dette faktum navnet til denne type ligninger - ufuldstændige.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 komplette andengradsligninger; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Ovenstående definition gør det muligt at skelne mellem følgende typer af ufuldstændige andengradsligninger:

• a x 2 = 0, svarer en sådan ligning til koefficienterne b = 0 og c = 0;
• a x 2 + c = 0 for b = 0;
• a x 2 + b x = 0 ved c = 0.

Lad os overveje sekventielt løsningen af ​​hver type ufuldstændig andengradsligning.

Løsning af ligningen a x 2 = 0

Som allerede angivet ovenfor svarer en sådan ligning til koefficienterne b og c lig med nul. Ligningen a x 2 = 0 kan omdannes til en ækvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved at dividere begge sider af den oprindelige ligning med tallet -en ikke lig med nul. Det er et indlysende faktum, at roden til ligningen x 2 = 0 det er nul fordi 0 2 = 0 ... Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket kan forklares med gradens egenskaber: for et hvilket som helst tal p, ikke lig med nul, er uligheden sand p 2> 0, hvoraf det følger, at for p ≠ 0 lighed p2 = 0 vil aldrig blive opnået.

Definition 5

For en ufuldstændig andengradsligning a x 2 = 0 er der således en unik rod x = 0.

Eksempel 2

Lad os for eksempel løse en ufuldstændig andengradsligning - 3 x 2 = 0... Ligning svarer til det x 2 = 0, dens eneste rod er x = 0, så har den oprindelige ligning også en enkelt rod - nul.

Kort fortalt er løsningen formaliseret som følger:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løsning af ligningen a x 2 + c = 0

Næste trin er løsningen af ​​ufuldstændige andengradsligninger, hvor b = 0, c ≠ 0, det vil sige ligninger på formen a x 2 + c = 0... Vi transformerer denne ligning ved at overføre udtrykket fra den ene side af ligningen til en anden, ændre tegnet til det modsatte og dividere begge sider af ligningen med et tal, der ikke er lig med nul:

• overføre c til højre, hvilket giver ligningen a x 2 = - c;
• vi dividerer begge sider af ligningen med -en, får vi som resultat x = - c a.

Vores transformationer er henholdsvis ækvivalente, den resulterende ligning er også ækvivalent med den oprindelige, og dette faktum gør det muligt at drage en konklusion om ligningens rødder. Ud fra hvad betydningerne er -en og c værdien af ​​udtrykket - c a afhænger: det kan have et minustegn (f.eks. if a = 1 og c = 2, så - c a = - 2 1 = - 2) eller et plustegn (f.eks. if a = - 2 og c = 6 derefter - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke nul, fordi c ≠ 0... Lad os dvæle mere detaljeret ved situationer, hvor - ca< 0 и - c a > 0 .

I det tilfælde, hvor - ca< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s ligheden p 2 = - c a kan ikke være sand.

Alt er anderledes, når - c a> 0: husk kvadratroden, og det bliver tydeligt, at roden af ​​ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, da - c a 2 = - c a. Det er let at forstå, at tallet - - c a også er roden til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke have andre rødder. Vi kan demonstrere dette ved hjælp af modstridende metoder. Til at begynde med, lad os definere notationen for rødderne fundet ovenfor som x 1 og - x 1... Lad os antage, at ligningen x 2 = - c a også har en rod x 2 som er forskellig fra rødderne x 1 og - x 1... Det ved vi ved at substituere i ligningen i stedet for x dens rødder, transformerer ligningen til en rimelig numerisk lighed.

Til x 1 og - x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a, og for x 2- x 2 2 = - ca. Baseret på egenskaberne ved numeriske ligheder trækker vi den ene sande lighed fra den anden term for led, hvilket vil give os: x 1 2 - x 2 2 = 0... Vi bruger egenskaberne for handlinger på tal til at omskrive den sidste lighed som (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Det er kendt, at produktet af to tal er nul, hvis og kun hvis mindst et af tallene er nul. Af det sagte følger det x 1 - x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0 hvilket er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = - x 1... En åbenlys modsigelse opstod, fordi man først var enige om, at roden til ligningen x 2 adskiller sig fra x 1 og - x 1... Så vi beviste, at ligningen ikke har andre rødder, bortset fra x = - c a og x = - - c a.

Vi opsummerer alle ræsonnementerne ovenfor.

Definition 6

Ufuldstændig andengradsligning a x 2 + c = 0 er ækvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

• vil ikke have rødder til - ca< 0 ;
• vil have to rødder x = - c a og x = - - c a for - c a> 0.

Lad os give eksempler på løsning af ligningerne a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Kvadratisk ligning givet 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendigt at finde en løsning på det.

Løsning

Vi overfører det frie led til højre side af ligningen, så vil ligningen antage formen 9 x 2 = - 7.
Vi dividerer begge sider af den resulterende ligning med 9 , når vi frem til x 2 = - 7 9. På højre side ser vi et tal med et minustegn, hvilket betyder: den givne ligning har ingen rødder. Derefter den oprindelige ufuldstændige andengradsligning 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke have rødder.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen rødder.

Eksempel 4

Det er nødvendigt at løse ligningen - x 2 + 36 = 0.

Løsning

Flyt 36 til højre: - x 2 = - 36.
Lad os dele begge dele op i − 1 , vi får x 2 = 36... På højre side er der et positivt tal, hvorfra vi kan konkludere det x = 36 eller x = -36.
Lad os udtrække roden og skrive det endelige resultat ned: en ufuldstændig andengradsligning - x 2 + 36 = 0 har to rødder x = 6 eller x = -6.

Svar: x = 6 eller x = -6.

Løsning til ligningen a x 2 + b x = 0

Lad os analysere den tredje slags ufuldstændige andengradsligninger, når c = 0... At finde en løsning på en ufuldstændig andengradsligning a x 2 + b x = 0, brug faktoriseringsmetoden. Vi udregner polynomiet i venstre side af ligningen, idet vi udtager den fælles faktor uden for parenteserne x... Dette trin vil gøre det muligt at konvertere den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til dens ækvivalent x (a x + b) = 0... Og denne ligning svarer til gengæld til et sæt ligninger x = 0 og a x + b = 0... Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rod er: x = - b a.

Definition 7

Altså den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + b x = 0 vil have to rødder x = 0 og x = - b a.

Lad os rette materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendigt at finde en løsning på ligningen 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Løsning

Tag ud x parentes og få ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Denne ligning svarer til ligningerne x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nu skal du løse den resulterende lineære ligning: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Vi skriver kort løsningen til ligningen som følger:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formlen for rødderne til en andengradsligning

For at finde en løsning til andengradsligninger er der en rodformel:

Definition 8

x = - b ± D2a, hvor D = b 2 - 4 a c- andengradsligningens såkaldte diskriminant.

Notationen x = - b ± D 2 · a betyder i det væsentlige, at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det vil ikke være overflødigt at forstå, hvordan den angivne formel blev afledt, og hvordan man anvender den.

Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os stå over for opgaven med at løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0... Lad os udføre en række tilsvarende transformationer:

• divider begge sider af ligningen med tallet -en ikke nul, får vi den reducerede andengradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0;
• vælg den fulde firkant på venstre side af den resulterende ligning:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Efter dette vil ligningen antage formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• nu er det muligt at overføre de sidste to led til højre ved at ændre tegnet til det modsatte, hvorefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• til sidst transformerer vi udtrykket skrevet på højre side af den sidste lighed:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dermed er vi kommet til ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, som svarer til den oprindelige ligning a x 2 + b x + c = 0.

Vi analyserede løsningen af ​​sådanne ligninger i de foregående afsnit (løsning af ufuldstændige andengradsligninger). De allerede opnåede erfaringer gør det muligt at drage en konklusion vedrørende rødderne af ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• ved b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• for b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 har ligningen formen x + b 2 a 2 = 0, derefter x + b 2 a = 0.

Derfor er den eneste rod x = - b 2 · a indlysende;

• for b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 vil det være sandt: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 eller x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, hvilket er det samme som x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 eller x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, dvs. ligningen har to rødder.

Det er muligt at konkludere, at tilstedeværelsen eller fraværet af rødder af ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (og dermed den oprindelige ligning) afhænger af fortegnet af udtrykket b 2 - 4 a c 4 · A 2 skrevet på højre side. Og tegnet for dette udtryk er sat af tællerens fortegn, (nævner 4 a 2 vil altid være positiv), det vil sige ved udtrykkets fortegn b 2 - 4 a c... Dette udtryk b 2 - 4 a c navnet er givet - andengradsligningens diskriminant og bogstavet D er defineret som dens betegnelse. Her kan du nedskrive essensen af ​​diskriminanten - ved dens værdi og fortegn konkluderes det, om andengradsligningen vil have reelle rødder, og i givet fald hvad er antallet af rødder - en eller to.

Lad os vende tilbage til ligningen x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Vi omskriver det ved at bruge notationen for diskriminanten: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Lad os formulere konklusionerne igen:

Definition 9

• på D< 0 ligningen har ingen reelle rødder;
• på D = 0 ligningen har en enkelt rod x = - b 2 · a;
• på D> 0 ligningen har to rødder: x = - b 2 a + D 4 a 2 eller x = - b 2 a - D 4 a 2. Ud fra radikalers egenskaber kan disse rødder skrives som: x = - b 2 a + D 2 a eller - b 2 a - D 2 a. Og når vi åbner modulerne og bringer brøkerne til en fællesnævner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet af vores ræsonnement var udledningen af ​​formlen for rødderne af andengradsligningen:

x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminanten D beregnet med formlen D = b 2 - 4 a c.

Disse formler gør det muligt, med en diskriminant større end nul, at bestemme begge reelle rødder. Når diskriminanten er nul, vil anvendelse af begge formler give den samme rod som den eneste løsning til andengradsligningen. I det tilfælde, hvor diskriminanten er negativ, og prøver at bruge kvadratrodsformlen, vil vi blive konfronteret med behovet for at udtrække kvadratroden af ​​et negativt tal, hvilket vil føre os ud over de reelle tal. Med en negativ diskriminant vil andengradsligningen ikke have reelle rødder, men et par komplekse konjugerede rødder er muligt, bestemt af de samme rodformler, som vi fik.

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

Det er muligt at løse andengradsligningen ved straks at bruge rodformlen, men som udgangspunkt gøres dette, når det er nødvendigt at finde komplekse rødder.

I størstedelen af ​​tilfælde er det normalt beregnet til ikke at søge efter komplekse, men efter reelle rødder af en andengradsligning. Så er det optimalt, før man bruger formlerne for rødderne til andengradsligningen, først at bestemme diskriminanten og sikre sig, at den ikke er negativ (ellers konkluderer vi, at ligningen ikke har nogen reelle rødder), og derefter fortsætte med at beregne røddernes værdier.

Begrundelsen ovenfor gør det muligt at formulere en algoritme til løsning af en andengradsligning.

Definition 10

At løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendigt:

• efter formlen D = b 2 - 4 a c finde værdien af ​​diskriminanten;
• hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• for D = 0, find den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen x = - b 2 · a;
• for D> 0, bestem to reelle rødder af andengradsligningen med formlen x = - b ± D 2 · a.

Bemærk at når diskriminanten er nul, kan du bruge formlen x = - b ± D 2 · a, det vil give samme resultat som formlen x = - b 2 · a.

Lad os se på nogle eksempler.

Eksempler på løsning af andengradsligninger

Lad os give en løsning af eksempler for forskellige værdier af diskriminanten.

Eksempel 6

Det er nødvendigt at finde rødderne til ligningen x 2 + 2 x - 6 = 0.

Løsning

Vi nedskriver de numeriske koefficienter for andengradsligningen: a = 1, b = 2 og c = -6... Dernæst handler vi efter algoritmen, dvs. lad os begynde at beregne diskriminanten, som vi erstatter koefficienterne a, b og c ind i diskriminantformlen: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Så vi fik D> 0, hvilket betyder, at den oprindelige ligning vil have to reelle rødder.
For at finde dem bruger vi rodformlen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende værdier, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lad os forenkle det resulterende udtryk ved at tage faktoren uden for rodtegnet og derefter reducere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Eksempel 7

Det er nødvendigt at løse andengradsligningen - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Løsning

Lad os definere diskriminanten: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0... Med denne værdi af diskriminanten vil den oprindelige ligning kun have én rod, bestemt af formlen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Svar: x = 3, 5.

Eksempel 8

Det er nødvendigt at løse ligningen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koefficienter for denne ligning vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruger disse værdier til at finde diskriminanten: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Den beregnede diskriminant er negativ, så den oprindelige andengradsligning har ingen reelle rødder.

I det tilfælde, hvor opgaven er at angive komplekse rødder, anvender vi formlen for rødderne og udfører handlinger med komplekse tal:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: ingen gyldige rødder; de komplekse rødder er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolepensum er der ikke noget standardkrav om at lede efter komplekse rødder, derfor, hvis diskriminanten under løsningen bestemmes som negativ, bliver svaret straks registreret, at der ikke er nogen reelle rødder.

Rodformel for selv anden koefficienter

Rodformlen x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lad os vise, hvordan denne formel er afledt.

Antag, at vi står over for opgaven med at finde en løsning til andengradsligningen a x 2 + 2 n x + c = 0. Vi fortsætter i henhold til algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), og bruger derefter formlen for rødderne:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a ca.

Lad udtrykket n 2 - a · c betegnes som D 1 (nogle gange er det betegnet med D "). Så vil formlen for rødderne af den betragtede andengradsligning med den anden koefficient 2 n have formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 - a · c.

Det er let at se, at D = 4 · D 1 eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel af diskriminanten. Det er klart, at tegnet for D 1 er det samme som tegnet for D, hvilket betyder, at tegnet for D 1 også kan tjene som en indikator for tilstedeværelsen eller fraværet af rødder i en andengradsligning.

Definition 11

For at finde en løsning til andengradsligningen med den anden koefficient 2 n er det således nødvendigt:

• find D1 = n2 - a · c;
• på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• når D 1 = 0, bestem den eneste rod af ligningen ved formlen x = - n a;
• for D 1> 0 bestemmes to reelle rødder med formlen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendigt at løse andengradsligningen 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Løsning

Den anden koefficient i den givne ligning kan repræsenteres som 2 · (- 3). Derefter omskriver vi den givne andengradsligning til 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, hvor a = 5, n = - 3 og c = - 32.

Vi beregner den fjerde del af diskriminanten: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende værdi er positiv, hvilket betyder, at ligningen har to reelle rødder. Lad os definere dem i henhold til den tilsvarende rodformel:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være muligt at udføre beregninger ved hjælp af den sædvanlige formel for rødderne af en andengradsligning, men i dette tilfælde ville løsningen være mere besværlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2.

Forenkling af visningen af ​​kvadratiske ligninger

Nogle gange er det muligt at optimere formen af ​​den oprindelige ligning, hvilket vil forenkle processen med at beregne rødderne.

For eksempel er andengradsligningen 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 klart mere praktisk at løse end 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Oftere udføres forenklingen af ​​formen af ​​en andengradsligning ved at multiplicere eller dividere begge dele af den med et vist tal. For eksempel viste vi ovenfor en forenklet repræsentation af ligningen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, opnået ved at dividere begge dele af den med 100.

En sådan transformation er mulig, når andengradsligningens koefficienter ikke er coprimtal. Så er begge sider af ligningen normalt divideret med den største fælles divisor af de absolutte værdier af dens koefficienter.

Som et eksempel, brug andengradsligningen 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Bestem gcd for de absolutte værdier af dens koefficienter: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Vi dividerer begge sider af den oprindelige andengradsligning med 6 og får den ækvivalente andengradsligning 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Ved at gange begge sider af andengradsligningen slipper man normalt for brøkkoefficienterne. I dette tilfælde skal du gange med det mindste fælles multiplum af nævnerne af dets koefficienter. For eksempel, hvis hver del af andengradsligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliceres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil det blive skrevet på en enklere form x 2 + 4 x - 18 = 0.

Endelig bemærker vi, at de næsten altid slipper af med minus ved den første koefficient af andengradsligningen, og ændrer fortegnene for hvert led i ligningen, hvilket opnås ved at gange (eller dividere) begge dele med - 1. For eksempel, fra den andengradsligning - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, kan du gå til en forenklet version af den 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Forholdet mellem rødder og koefficienter

Den allerede kendte formel for rødderne af andengradsligninger x = - b ± D 2 · a udtrykker ligningens rødder i form af dens numeriske koefficienter. Baseret på denne formel er vi i stand til at specificere andre afhængigheder mellem rødder og koefficienter.

De mest berømte og anvendelige er Vieta-sætningens formler:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Især for den givne andengradsligning er summen af ​​rødderne den anden koefficient med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. For eksempel, ved form af andengradsligningen 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, er det muligt umiddelbart at bestemme, at summen af ​​dens rødder er 7 3, og produktet af rødderne er 22 3.

Du kan også finde en række andre sammenhænge mellem rødderne og koefficienterne for andengradsligningen. For eksempel kan summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning udtrykkes i form af koefficienterne:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du vælge den og trykke på Ctrl + Enter