Tegn på seriekonvergens.
D'Alemberts tegn. Cauchys tegn

Arbejde, arbejde – og forståelse kommer senere
J.L. d'Alembert

Tillykke til alle med skoleårets begyndelse! I dag er det den 1. september, og til ære for højtiden besluttede jeg at introducere læserne for, hvad du har glædet dig til og ivrig efter at vide i lang tid - tegn på konvergens af numeriske positive serier. Første september ferie og mine lykønskninger er altid relevante, det er okay hvis det faktisk er sommer udenfor, du tager nu eksamen igen for tredje gang, læs hvis du har besøgt denne side!

For dem, der lige er begyndt at studere serier, anbefaler jeg, at du først læser artiklen Nummerserie for dummies. Faktisk er denne vogn en fortsættelse af banketten. Så i dag i lektionen vil vi se på eksempler og løsninger på emnerne:

Et af de almindelige sammenligningstegn, der findes i praktiske eksempler, er D'Alembert-tegnet. Cauchys tegn er mindre almindelige, men også meget populære. Som altid vil jeg forsøge at præsentere materialet enkelt, tilgængeligt og forståeligt. Emnet er ikke det sværeste, og alle opgaver er til en vis grad standard.

D'Alemberts konvergenstest

Jean Leron d'Alembert var en berømt fransk matematiker fra det 18. århundrede. Generelt specialiserede d'Alembert sig i differentialligninger og studerede på baggrund af sin forskning ballistik, så Hans Majestæts kanonkugler ville flyve bedre. Samtidig glemte jeg ikke talrækken; det var ikke for ingenting, at rækken af ​​Napoleons tropper senere konvergerede og divergerede så tydeligt.

Før du formulerer selve tegnet, lad os overveje et vigtigt spørgsmål:
Hvornår skal D'Alemberts konvergenstest bruges?

Lad os starte med en anmeldelse først. Lad os huske de tilfælde, hvor du skal bruge den mest populære grænse for sammenligning. Det begrænsende kriterium for sammenligning anvendes, når i seriens generelle term:

1) Nævneren indeholder et polynomium.
2) Polynomier er både i tæller og nævner.
3) Et eller begge polynomier kan være under roden.
4) Selvfølgelig kan der være flere polynomier og rødder.

De vigtigste forudsætninger for anvendelsen af ​​d'Alemberts test er som følger:

1) Den almindelige term for serien ("fyldning" af serien) omfatter et eller andet tal i en vis grad, for eksempel, , og så videre. Desuden er det slet ikke ligegyldigt, hvor denne ting er placeret, i tælleren eller i nævneren - det, der betyder noget, er, at den er til stede der.

2) Seriens fællesbetegnelse omfatter faktorialet. Vi krydsede sværd med factorials tilbage i lektionen Nummersekvens og dens grænse. Det skader dog ikke at brede den selvsamlede dug ud igen:





…


…

! Når vi bruger d'Alemberts test, bliver vi nødt til at beskrive factorialet i detaljer. Som i det foregående afsnit kan factorialet være placeret i toppen eller bunden af ​​fraktionen.

3) Hvis der i seriens generelle term er en "kæde af faktorer", f.eks. . Dette tilfælde er sjældent, men! Når man studerer en sådan serie, begår man ofte en fejl - se eksempel 6.

Sammen med potenser og/eller fakulteter findes polynomier ofte i udfyldningen af ​​en serie, det ændrer ikke på situationen - du skal bruge D'Alemberts tegn.

Hertil kommer, at i en fælles term af en serie kan både en grad og en faktoriel forekomme samtidigt; der kan være to faktorer, to grader, det er vigtigt at der er i det mindste noget ud fra de overvejede punkter - og det er netop forudsætningen for at bruge D'Alembert-tegnet.

D'Alemberts tegn: Lad os overveje positive talrækker. Hvis der er en grænse for forholdet mellem den efterfølgende term og den foregående: , så:
a) Når rækken konvergerer
b) Når række divergerer
c) Hvornår skiltet giver ikke svar. Du skal bruge et andet tegn. Oftest opnås en i tilfældet, når de forsøger at anvende D'Alembert-testen, hvor det er nødvendigt at bruge den begrænsende sammenligningstest.

For dem, der stadig har problemer med grænser eller misforståelser af grænser, henvises til lektionen Grænser. Eksempler på løsninger. Uden en forståelse af grænsen og evnen til at afsløre usikkerhed, kan man desværre ikke komme videre.

Og nu de længe ventede eksempler.

Eksempel 1

Vi ser, at vi i seriens generelle term har , og det er en sikker forudsætning for at bruge d'Alemberts test. Først den fulde løsning og prøvedesign, kommentarer nedenfor.

Vi bruger d'Alemberts tegn:


konvergerer.

(1) Vi sammensætter forholdet mellem det næste medlem af serien og det forrige: . Ud fra betingelsen ser vi, at seriens generelle term er . For at få det næste medlem af serien er det nødvendigt i stedet for at erstatte: .
Hvis du har lidt erfaring med løsningen, kan du springe dette trin over.
(3) Åbn parenteserne i tælleren. I nævneren tager vi de fire ud af magten.
(4) Reducer med . Vi tager konstanten ud over grænsetegnet. I tælleren præsenterer vi lignende udtryk i parentes.
(5) Usikkerhed elimineres på standardmåden - ved at dividere tælleren og nævneren med "en" til højeste potens.
(6) Vi dividerer tælleren led for led med nævnerne og angiver de led, der har en tendens til nul.
(7) Vi forenkler svaret og noterer os, at med den konklusion, at serien under undersøgelse konvergerer ifølge D'Alemberts kriterium.

I det betragtede eksempel stødte vi i seriens generelle term på et polynomium af 2. grad. Hvad skal man gøre, hvis der er et polynomium af 3., 4. eller højere grad? Faktum er, at hvis et polynomium af højere grad er givet, vil der opstå vanskeligheder med at åbne parenteserne. I dette tilfælde kan du bruge "turbo" løsningsmetoden.

Eksempel 2

Lad os tage en lignende serie og undersøge den for konvergens

Først den komplette løsning, derefter kommentarer:

Vi bruger d'Alemberts tegn:


Således er serien under undersøgelse konvergerer.

(1) Vi skaber relationen.
(2) Vi slipper for den fire-etagers brøk.
(3) Overvej udtrykket i tælleren og udtrykket i nævneren. Vi ser, at vi i tælleren skal åbne parenteserne og hæve dem til fjerde potens: , hvilket vi absolut ikke ønsker at gøre. Og for dem, der ikke er bekendt med Newtons binomiale, vil denne opgave være endnu sværere. Lad os analysere de højere grader: hvis vi åbner parenteserne øverst , så får vi en senioruddannelse. Nedenfor har vi samme senioruddannelse: . Analogt med det foregående eksempel er det indlysende, at når vi dividerer tæller- og nævnerleddet med led, ender vi med én i grænsen. Eller, som matematikere siger, polynomier Og - samme vækstrækkefølge. Det er således meget muligt at skitsere sammenhængen med en simpel blyant og straks angive, at denne ting er en tendens til en. Vi behandler det andet par polynomier på samme måde: og de også samme vækstrækkefølge, og deres forhold har en tendens til enhed.

Faktisk kunne et sådant "hack" have været trukket ud i eksempel nr. 1, men for et polynomium af 2. grad ser en sådan løsning stadig uværdig ud. Personligt gør jeg dette: hvis der er et polynomium (eller polynomier) af første eller anden grad, bruger jeg den "lange" metode til at løse eksempel 1. Hvis jeg støder på et polynomium af 3. eller højere grad, bruger jeg "turbo"-metode svarende til eksempel 2.

Eksempel 3

Undersøg serien for konvergens

Lad os se på typiske eksempler med factorials:

Eksempel 4

Undersøg serien for konvergens

Seriens fællesbetegnelse omfatter både graden og faktoren. Det er klart som dagen, at d'Alemberts skilt skal bruges her. Lad os bestemme.

Således er serien under undersøgelse divergerer.

(1) Vi skaber relationen. Vi gentager igen. Ved betingelse er den almindelige term for serien: . For at få den næste periode i rækken, i stedet skal du erstatte, Dermed: .
(2) Vi slipper for den fire-etagers brøk.
(3) Knib de syv af fra graden. Vi beskriver factorials i detaljer. Sådan gør du - se begyndelsen af ​​lektionen eller artiklen om talrækker.
(4) Vi skærer alt, hvad der kan skæres.
(5) Vi flytter konstanten ud over grænsetegnet. Åbn parenteserne i tælleren.
(6) Vi eliminerer usikkerhed på standardmåden - ved at dividere tælleren og nævneren med "en" til den højeste potens.

Eksempel 5

Undersøg serien for konvergens

Fuld løsning og prøvedesign i slutningen af ​​lektionen

Eksempel 6

Undersøg serien for konvergens

Nogle gange er der serier, der indeholder en "kæde" af faktorer i deres fyldning; vi har endnu ikke overvejet denne type serier. Hvordan studerer man en serie med en "kæde" af faktorer? Brug d'Alemberts tegn. Men først, for at forstå, hvad der sker, lad os beskrive serien i detaljer:

Fra udvidelsen ser vi, at hvert næste medlem af serien har en ekstra faktor tilføjet til nævneren, derfor, hvis det fælles medlem af serien , så det næste medlem af serien:
. Det er her, de ofte automatisk laver en fejl, og skriver formelt efter algoritmen, at

En prøveløsning kan se sådan ud:

Vi bruger d'Alemberts tegn:

Således er serien under undersøgelse konvergerer.

Radikal Cauchys tegn

Augustin Louis Cauchy er en endnu mere berømt fransk matematiker. Enhver ingeniørstuderende kan fortælle dig Cauchys biografi. I de mest maleriske farver. Det er ikke tilfældigt, at dette navn er udskåret på første sal i Eiffeltårnet.

Cauchys konvergenstest for positive talserier ligner noget D'Alemberts test, som netop er blevet diskuteret.

Radical Cauchys tegn: Lad os overveje positive talrækker. Hvis der er en grænse: , så:
a) Når rækken konvergerer. Især serien konvergerer kl.
b) Når række divergerer. Især afviger serien kl.
c) Hvornår skiltet giver ikke svar. Du skal bruge et andet tegn. Det er interessant at bemærke, at hvis Cauchys test ikke giver os et svar på spørgsmålet om konvergensen af ​​en serie, så vil D'Alemberts test heller ikke give et svar. Men hvis d'Alemberts test ikke giver et svar, så kan Cauchys test meget vel "virke". Det vil sige, at Cauchy-tegnet i denne forstand er et stærkere tegn.

Hvornår skal du bruge det radikale Cauchy-tegn? Den radikale Cauchy-test bruges normalt i tilfælde, hvor seriens almindelige term FULDT UD er i graden afhængig af "da". Eller når roden "gode" er udtrukket fra et fælles medlem af serien. Der er også eksotiske sager, men vi vil ikke bekymre os om dem.

Eksempel 7

Undersøg serien for konvergens

Vi ser, at den generelle term for serien er fuldstændig under en magt afhængig af , hvilket betyder, at vi skal bruge den radikale Cauchy-test:


Således er serien under undersøgelse divergerer.

(1) Vi formulerer seriens fællesbetegnelse under roden.
(2) Vi omskriver det samme, kun uden roden, ved at bruge egenskaben grader.
(3) I indikatoren dividerer vi tælleren med nævneren led for led, hvilket indikerer at
(4) Som følge heraf har vi usikkerhed. Her kan du gå den lange vej: terning, terning, divider så tælleren og nævneren med "en" til højeste potens. Men i dette tilfælde er der en mere effektiv løsning: du kan dividere tæller- og nævnerleddet for led direkte under konstant potens. For at eliminere usikkerhed skal du dividere tæller og nævner med (den højeste potens).
(5) Vi udfører faktisk term-for-term division og angiver de termer, der har tendens til nul.
(6) Vi bringer svaret i tankerne, markerer, hvad vi har, og konkluderer, at serien divergerer.

Her er et enklere eksempel, som du kan løse på egen hånd:

Eksempel 8

Undersøg serien for konvergens

Og et par mere typiske eksempler.

Fuld løsning og prøvedesign i slutningen af ​​lektionen

Eksempel 9

Undersøg serien for konvergens
Vi bruger den radikale Cauchy-test:


Således er serien under undersøgelse konvergerer.

(1) Placer seriens almindelige term under roden.
(2) Vi omskriver det samme, men uden roden, mens vi åbner parenteserne ved hjælp af den forkortede multiplikationsformel: .
(3) I indikatoren dividerer vi tælleren med nævneren led for led og angiver, at .
(4) En formusikkerhed . Her kan du i højeste grad dividere tælleren med nævneren i parentes med "en". Vi stødte på noget lignende, da vi studerede anden vidunderlige grænse. Men her er situationen anderledes. Hvis koefficienterne ved højere potenser var identisk, for eksempel: , så ville tricket med term-for-term division ikke længere fungere, og det ville være nødvendigt at bruge den anden bemærkelsesværdige grænse. Men vi har disse koefficienter forskellige(5 og 6), derfor er det muligt (og nødvendigt) at opdele led for led (i øvrigt tværtimod - den anden bemærkelsesværdige grænse for forskellige koefficienter ved højere potenser virker ikke længere). Hvis du husker, blev disse finesser diskuteret i artiklens sidste afsnit Metoder til at løse grænser.
(5) Vi udfører faktisk termin-for-term division og angiver, hvilke vilkår der har tendens til nul.
(6) Usikkerheden er elimineret, vi står tilbage med den enkleste grænse: . Hvorfor i uendelig stor tendens til nul? Fordi gradens basis opfylder uligheden. Hvis nogen er i tvivl om grænsens rimelighed , så vil jeg ikke være doven, jeg henter en lommeregner:
Hvis så
Hvis så
Hvis så
Hvis så
Hvis så
… etc. til det uendelige - det vil sige i grænsen:

Bare sådan uendeligt faldende geometrisk progression på fingrene =)

(7) Vi angiver, at vi konkluderer, at serien konvergerer.

Eksempel 10

Undersøg serien for konvergens

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.

Nogle gange tilbydes et provokerende eksempel på en løsning, for eksempel:. Her i eksponent ingen "da", kun en konstant. Her skal du kvadrere tæller og nævner (du får polynomier), og derefter følge algoritmen fra artiklen Rækker til dummies. I et sådant eksempel burde enten den nødvendige test for konvergens af serien eller den begrænsende test til sammenligning fungere.

Integral Cauchy test

Eller bare et integreret tegn. Jeg vil skuffe dem, der ikke forstod det første kursusmateriale godt. For at anvende Cauchy integraltesten skal du være mere eller mindre sikker på at finde afledte, integraler og også have evnen til at regne ukorrekt integral første slags.

I lærebøger om matematisk analyse integreret Cauchy test givet matematisk strengt, men for forvirrende, så jeg vil formulere tegnet ikke for strengt, men klart:

Lad os overveje positive talrækker. Hvis der er et ukorrekt integral, så konvergerer eller divergerer rækken sammen med dette integral.

Og lige nogle eksempler til afklaring:

Eksempel 11

Undersøg serien for konvergens

Næsten en klassiker. Naturlig logaritme og noget bullshit.

Hovedforudsætningen for at bruge Cauchy integraltesten er er det faktum, at den generelle term for serien indeholder faktorer, der ligner en bestemt funktion og dens afledte. Fra emne Afledte du husker sikkert den simpleste bordting: , og vi har netop sådan en kanonisk sag.

Fra artilleriofficer Detouche. Kort efter fødslen blev babyen smidt af sin mor på trappen til den parisiske "Rundkirke St. John" (fransk: Jean le Rond). Til ære for denne kirke fik barnet navnet Jean Leron. Han blev opdraget i familien til glarmester Rousseau, som adopterede ham.

Min far var i udlandet på det tidspunkt. Da han vendte tilbage til Frankrig, blev Detouche knyttet til sin søn, besøgte ham ofte, hjalp sine adoptivforældre og betalte for D'Alemberts uddannelse, selvom han ikke turde officielt at anerkende ham. Markisens mor viste aldrig nogen interesse for sin søn. Senere, da han blev berømt, glemte d'Alembert aldrig glarmesteren og hans kone, hjalp dem økonomisk og kaldte dem altid stolt sine forældre.

Efternavnet d'Alembert blev ifølge nogle kilder afledt af navnet på hans adoptivfar Alembert, ifølge andre blev det opfundet af drengen selv eller hans værger: først blev Jean Leron optaget i skolen som Daremberg, derefter han ændrede dette navn til D'Alembert.

1726: Detouche, der allerede er general, dør uventet. Ifølge testamentet modtager D'Alembert et godtgørelse på 1.200 livres om året og er betroet til sine pårørendes opmærksomhed. Drengen er opdraget sammen med sine fætre, men bor stadig i en glarmesterfamilie. Han boede i sine plejeforældres hus til 1765, altså til han var 48 år.

Hans tidlige talent gjorde det muligt for drengen at modtage en god uddannelse - først på Mazarin College (han modtog en mastergrad i liberal arts), derefter på Academy of Legal Sciences, hvor han modtog titlen som licentiat af rettigheder. Han kunne dog ikke lide erhvervet som advokat, og han begyndte at studere matematik.

Allerede som 22-årig præsenterede D'Alembert sine værker for Paris-akademiet, og som 23-årig blev han valgt som adjunkt af akademiet.

1743: "Treatise on Dynamics" blev udgivet, hvor det grundlæggende "D'Alemberts princip" blev formuleret, hvilket reducerede dynamikken i et ikke-frit system til statik. Her formulerede han først de generelle regler for at sammensætte differentialligninger for bevægelse af ethvert materialesystem.

Senere anvendte han dette princip i sin afhandling "Discourses on the General Cause of Winds" (1774) for at underbygge hydrodynamik, hvor han beviste eksistensen af ​​luftvande sammen med havvande.

1748: en strålende undersøgelse af strengvibrationsproblemet.

Fra 1751 arbejdede D'Alembert sammen med Diderot for at skabe den berømte Encyclopedia of Sciences, Arts and Crafts. Artiklerne i 17-binds Encyclopedia relateret til matematik og fysik er skrevet af d'Alembert. I 1757, ude af stand til at modstå forfølgelsen af ​​den reaktion, som hans arbejde i Encyclopedia blev udsat for, bevægede han sig væk fra dets udgivelse og helligede sig udelukkende videnskabeligt arbejde (selvom han fortsatte med at skrive artikler til Encyclopedia). Encyclopedia spillede en stor rolle i udbredelsen af ​​oplysningstidens ideer og den ideologiske forberedelse af den franske revolution.

1754: D'Alembert bliver medlem af det franske akademi.

1764: I artiklen "Dimensionality" (til Encyclopedia) blev ideen om muligheden for at betragte tid som en fjerde dimension først udtrykt.

D'Alembert opretholdt en aktiv korrespondance med den russiske kejserinde Catherine II. I midten af ​​1760'erne blev d'Alembert inviteret af hende til Rusland som lærer af tronfølgeren, men accepterede ikke invitationen.

1772: D'Alembert blev valgt til permanent sekretær for det franske akademi.

1783: D'Alembert døde efter længere tids sygdom. Kirken nægtede at give den "udtalte ateist" plads på kirkegården, og han blev begravet i en umærket fællesgrav.

Et krater på den anden side af Månen og en bjergkæde på dens synlige side er opkaldt efter d'Alembert.

Videnskabelige resultater

Matematik

I de første bind af den berømte Encyclopedia placerede D'Alembert vigtige artikler: "Differentialer", "Ligninger", "Dynamics" og "Geometri", hvori han detaljerede sit synspunkt på aktuelle videnskabelige problemer.

D'Alembert søgte at underbygge beregningen af ​​infinitesimals ved hjælp af teorien om grænser, tæt på Newtons forståelse af "analysens metafysik." Han kaldte en størrelse grænsen for en anden, hvis den anden, der nærmer sig den første, afviger fra den med mindre end en given værdi. "Differentiering af ligninger består simpelthen i at finde grænserne for forholdet mellem de endelige forskelle af to variable inkluderet i ligningen" - denne sætning kunne forekomme i en moderne lærebog. Han udelukkede fra analysen begrebet en faktisk infinitesimal og tillod det kun for korthedens skyld.

Enhver person, der er fortrolig med mekanik, kender D'Alemberts lov, forstår dens betydning og udtaler dette navn med respekt. En sand matematiker og astronom taler om D'Alembert med glæde og ærbødighed, fordi han i ham ser efterfølgeren til Newton og den store lærer i Lagrange og Laplace. En person med en bred almen uddannelse vil helt sikkert være gennemsyret af dyb respekt for D'Alembert som en af ​​hovedbidragyderne til det berømte "Encyklopædi" i det 18. århundrede.

E.F. Litvinova

Jean Leron d'Alembert (16. november 1717 – 29. oktober 1783) var en fransk encyklopædist. Alment kendt som filosof, matematiker og mekaniker.

En af de mest omfattende og indflydelsesrige hjerner i det 18. århundrede, Jean Leron d'Alembert, blev født i Paris. Videnskabsmandens livsvej begyndte på en meget usædvanlig måde. Den 16. november 1717 blev en baby i blondebleer fundet på verandaen til den parisiske kirke Saint-Jean-le-Rhone. Hans oprindelse stod hurtigt klart - hittebarnet viste sig at være den uægte søn af forfatteren Tansen og officeren Detouche. Da Jean Leron blev født (han blev opkaldt efter kirken, hvor han blev fundet), var hans far ikke i Frankrig, og hans mor besluttede at slippe af med det uægte barn. Da han vendte tilbage til Frankrig, fandt Detouches sin søn, tog ham fra landsbyen og placerede ham i familien til glarmester Rousseau, hvor Jean boede det meste af sit liv. Faderen besøgte ofte sin søn, glædede sig over hans barndoms pranks og beundrede babyens ekstraordinære evner.

I 1726 dør Detouche, som allerede var blevet general, uventet. Ifølge testamentet modtager D'Alembert en ydelse på 1.200 livres om året og er overdraget til pårørendes opmærksomhed. Drengen er opdraget sammen med sine fætre, men bor stadig i en glarmesterfamilie. Han boede i sine plejeforældres hus til 1765, altså til han var 48 år.

I en alder af fire blev Jean Leron sendt til en kostskole, og fra den alder begyndte han at studere flittigt og forbløffede sine lærere med sine enestående mentale evner.

I en alder af 13 gik han ind på Mazarin College, hvorefter han modtog titlen Bachelor of Arts. På skolen studerede Jean Leron sprog (han kunne latin og græsk så meget, at han kunne læse Archimedes, Ptolemæus og andre forfattere i originalen), retorik, litteratur, fysik og matematik. D'Alembert forelskede sig uselvisk i det sidste emne, hvilket i høj grad blev lettet af hans lærer Caron.

Efter endt uddannelse opstod spørgsmålet om valg af erhverv. Jeans slægtninge var imod hans passion for matematik, og han kom ind på det toårige akademi for juridiske videnskaber, hvorfra han dimitterede med graden af ​​jura (en mellemgrad mellem en bachelor og en læge). Så begyndte D'Alembert at studere medicin. For at matematikken ikke skulle distrahere ham fra disse studier, samlede Jean alle sine matematiske bøger og tog dem med til en ven. Men Jean kunne ikke længere lade være med at tænke på matematik. Fra tid til anden havde han brug for en bog, så en anden - til reference, for at kontrollere rigtigheden af ​​den fundne løsning osv. Efterhånden slæbte han hele sit bibliotek tilbage til Rousseau-parrets hus, hvor han boede. Samtidig studerede Jean filosofi, litteratur og havde så stor succes i filologien, at han i en alder af 23 blev valgt til det franske akademi, dvs. blev en af ​​de fyrre "udødelige".

Hele D'Alemberts liv var fyldt med utrætteligt arbejde.Madame Rousseau kaldte sin elev for en filosof og forklarede, at "en filosof er sådan en mærkelig person, der fratager sig selv alt i løbet af sit liv, arbejder som en okse fra morgen til aften, og alt for det eneste formål, så de ville tale om ham efter hans død." Men D'Alembert tænkte ikke på fremtidig herlighed. Han fandt glæde ved at lave matematik. "Matematik," sagde han, "er min ældste og sandeste kærlighed."

D'Alemberts første værker i matematik og fysik var viet til bevægelsen af ​​faste stoffer i væsker og integralregning. D'Alemberts berømmelse kom fra hans Treatise on Dynamics (1743), som beskrev en metode til at reducere faste stoffers dynamik til statiske (D'Alemberts princip). Ifølge dette princip kan bevægelsen af ​​faste legemer reduceres til bevægelsen af ​​individuelle massepartikler.

I 1746 gav han i sit arbejde "Studies on Integral Calculus" det første (ikke helt strenge) bevis for algebras grundlæggende sætning om eksistensen af ​​rødder til en algebraisk ligning. Den endelige løsning på dette tilhører Gauss.

I 1747 publicerede videnskabsmanden en artikel om teorien om tværgående vibrationer af strenge, hvor han gav en metode til at løse en 2. ordens partiel differentialligning. Han opnåede også vigtige resultater i teorien om almindelige differentialligninger med konstante koefficienter, introducerede begrebet en grænse, og i teorien om serier indførte han et tilstrækkeligt kriterium for konvergens, som bærer hans navn; tænkt over sandsynlighedsteorien (D'Alemberts paradoks).

Sammen med Diderot var han chefredaktør for den berømte Encyclopedia, eller Explanatory Dictionary of Sciences, Arts and Crafts (28 bind), hvor han også ledede fysik- og matematikafdelingerne. Ud over artikler om matematik og fysik skrev han et indledende kapitel - Et essay om videnskabernes oprindelse og udvikling, hvor han, efter hovedsageligt F. Bacon, præsenterede en klassifikation af forskellige vidensområder, sporede deres opståen og indbyrdes sammenhæng. , og proklamerede fremkomsten af ​​naturvidenskabernes æra.

D'Alembert ydede et seriøst bidrag til udviklingen af ​​de grundlæggende principper for moderne mekanik; hans værker, sammen med værker af Euler, Bernoulli-brødrene og Clairaut, lagde grundlaget for matematisk fysik. Han skrev klassiske værker om teorien om væske bevægelse, tre-kropsproblemet, nutation af Jorden, Månens bevægelse og vindens bevægelse osv. I mekanikken søgte han at undvære begrebet kraft, som havde en stærk "metafysisk smag" for ham. D'Alemberts matematiske værker er baseret på Leibniz' kontinuitetsprincip, som gjorde det muligt for ham at komme tættest på den moderne forståelse af grænsen.

D'Alembert blev valgt til alle de dengang eksisterende videnskabsakademier (til det parisiske i 1754, til det St. Petersborg en i 1764).

D'Alembert patroniserede mange videnskabsmænd. Så efter hans forslag udnævnte den preussiske konge Frederik II J.L. Lagrange til præsident for Berlins Videnskabsakademi. D'Alembert selv nægtede at tage denne post.

Han afviste også tilbuddet fra den russiske kejserinde Catherine II om at være lærer for hendes søn Paul. D'Alembert sagde, at han ikke kunne leve uden for Frankrig, uden for Paris.I de sidste år af sit liv studerede han videnskabens historie og skrev biografier om mange medlemmer af Paris-akademiet.

I sit personlige liv var han ulykkelig. I sytten år elskede han ulykkeligt den samme kvinde - Madame Lespinasse. Da hun døde, mistede mange ting værdi for ham.

D'Alembert døde den 29. oktober 1783, en ensom gammel mand. Før sin død havde han været syg i lang tid og smertefuldt. Det var samme stormfulde aften som ved hans fødsel. Vinden hylede og en let støvregn.

Følgende matematiske objekter er opkaldt efter D'Alembert:

• operatør D'Alembert
• D'Alemberts tegn
• D'Alemberts princip
• D'Alemberts ligning
• D'Alemberts formel.

Jean Leron d'Alembert er en fransk encyklopædist. Alment kendt som filosof, matematiker og mekaniker. Medlem af Paris Academy of Sciences, French Academy, St. Petersburg og andre akademier.

Jean Leron D'Alembert (1717-1783) - fransk matematiker, mekaniker og filosof-pædagog, udenlandsk æresmedlem af St. Petersburg Academy of Sciences (1764) I 1751-57 sammen med Denis Diderot, redaktør af Encyclopedia. Formulerede reglerne for kompilering af differentialligninger for bevægelse af materialesystemer (se D'Alemberts princip nedenfor). Begrundede teorien om planetarisk forstyrrelse. Arbejder med matematisk analyse, teori om differentialligninger, serieteori, algebra.

D'Alemberts princip: hvis inertikræfter lægges til kræfterne og reaktionerne af de mekaniske forbindelser, der faktisk virker på punkterne i et mekanisk system, vil der opnås et balanceret system af kræfter. D'Alemberts princip gør det muligt at anvende enklere metoder til statik til at løse dynamiske problemer. (1743).

Oprindelse. Uddannelse

D'Alembert var den uægte søn af adelige forældre. Hans mor, markisen de Tansen, forlod ham et par timer efter hun havde født ham. Han blev fundet i en trækasse på trappen til den parisiske kirke Saint-Jean- le-Rhone og derfor modtog han ved dåben navnet Jean Le Ron (Leron). Hans far, Chevalier Louis-Camus Detouches-Canon, generalløjtnant for det franske artilleri, gav barnet til at blive opdraget af en glarmesters kone. Han betalte for sin uddannelse i en lille privat kostskole Beret og derefter - på Jansenistkollegiet Quatre Nation, som den unge mand gik ind i i 1730.

Hans strålende akademiske succes tiltrak sig opmærksomhed fra hans mentorer, som håbede, at et så ophøjet sind ville vælge en kirkekarriere. Jean Leron D'Alembert levede dog ikke op til deres forventninger.Efter at have modtaget en Master of Arts-grad i 1735, begyndte han jura. I 1738 dimitterede han fra det juridiske fakultet i Paris, hvorefter han deltog i undervisning på det medicinske fakultet i flere måneder, men blev desillusioneret af medicin, som før i teologi og retspraksis. Endelig fandt han i 1739 sit kald - matematik.

Matematiker og fysiker

I 1741 præsenterede Jean Leron D'Alembert sine første værker for Paris Royal Academy of Sciences og blev accepteret som assistent. Hans berømte "Treatise on Dynamics" (1743) formulerede først bevægelseslovene og bidrog til systematiseringen af ​​klassisk mekanik Næste år udgav han "Treatise on Dynamics" (1743). Væsker ligevægt og bevægelse" (1744). Disse værker bragte ham succes, og allerede i 1746 blev han et tilsvarende medlem af Videnskabernes Akademi.

Omkring samme tid begyndte D'Alembert at besøge parisiske saloner, og hans vid og evne til at opretholde en livlig og underholdende samtale gjorde D'Alembert til en velkommen gæst overalt, på trods af hans tynde stemme, lille statur, almindelige udseende og "ulovlige" oprindelse.

De næste ti år var de mest frugtbare i hans liv. Jean Leron D'Alembert udgav "Reflections on the General Cause of the Winds" (1747), som revolutionerede anvendelsen af ​​differentialligninger; "Research on the Prediction of the Equinoxes" (1749), som bidrog til løsningen af ​​en kompleks matematisk matematik. problem, der havde forvirret Isaac Newton; "Oplev ny teori om væskeresistens" (1752), som blev et trin i udviklingen af ​​hydrodynamikken. Dette blev efterfulgt af grundlæggende forskning, der underbyggede teorien om forstyrrelse af himmellegemer (1754-1756) Takket være disse værker opnåede D'Alembert berømmelse som en af ​​sin tids fremragende fysikere og matematikere.

D'Alembert og Encyclopedia

Siden 1745 tog Jean Leron D'Alembert en aktiv del i skabelsen af ​​Encyclopedia. Han var sandsynligvis tiltrukket af dette værk af en af ​​dets udgivere, M. A. David, som tidligere havde udgivet nogle af hans videnskabelige værker, samt abbed J. P. Gua de Malve, den første chefredaktør for Encyclopedia, som var glad for matematik.

Til at begynde med hjalp D'Alembert Abbe de Gua, men to måneder efter sidstnævntes afskedigelse (i oktober 1747) stod han sammen med Denis Diderot i spidsen for udgivelsen.I "Preliminary Discourse", som åbnede det første bind, D' Alembert underbyggede den metodiske frugtbarhed af empiri og sensationel for fremskridt inden for videnskab og håndværk. Med ansvar for sektioner om matematik, fysik, astronomi og musik (omkring 1.600 artikler kom fra hans pen alene), skrev Jean Leron D'Alembert også artikler som "College" og "Geneve", som styrkede Encyclopedias ry som en formidabel våbenkamp imod den gamle orden.

Mens han arbejdede på Encyclopedia, udgav D'Alembert "Elements of Musical Theory and Practice Flowing from the Principles of M. Rameau" (1753), som populariserede og udviklede teorien om musikalsk harmoni af J. F. Rameau. Derefter hans multi-bind "Reflections" om litteratur" blev udgivet. historie og filosofi" (1753). Således gjorde D'Alembert sig et navn både i litteratur og musikteori, og hans berømmelse gik langt ud over videnskabelige kredse. I 1754 blev Jean Leron d'Alembert med støtte fra den indflydelsesrige markis du Deffand valgt til medlem af det franske akademi.

Men nogle af værkerne af Jean Leron D'Alembert bragte ham ikke kun hæder, men også en masse problemer. På trods af at D'Alembert i sine encyklopædiske artikler og andre værker generelt satte stor pris på Rameaus arbejde, udgav denne komponist kritiske kommentarer til artiklerne i 1755 "Encyclopedias" dedikeret til musik. D'Alembert blev ofte beskyldt for, at hans artikler underminerede religionens grundlag.Han ville forlade udgivelsen tilbage i 1752, men besluttede først at gøre det i 1758-59: efter udgivelsen i bind 7 (1757) af artiklen "Geneve", skrevet på råd fra Voltaire, blev han ramt af en byge af kritik - både fra calvinister og katolikker.Hans afgang fra Encyclopedia forværrede D'Alemberts i forvejen vanskelige forhold til Diderot. Imidlertid vendte han i 1759 tilbage til Encyclopedia, men kun som forfatter til naturvidenskabelige artikler; hovedårsagen til hans tilbagevenden var det konstante behov for midler.

D'Alembert og de oplyste monarker i Europa

Jean Leron D'Alemberts økonomiske situation begyndte at blive bedre i midten af ​​1760'erne. Fra 1765 begyndte han regelmæssigt at modtage et stipendium fra Videnskabsakademiet. Hans indkomst blev suppleret med royalties, pensioner fra Ludvig XV og Frederik II. samt en livrente og en årlig livrente arvet fra hans far, betalt til ham af ejeren af ​​den berømte parisiske salon, Madame Geoffrin.

Omtrent på samme tid afviste D'Alembert, bekymret over sin uafhængighed, to ekstremt fristende tilbud. Det første kom fra Frederik II. Jean Leron D'Alembert mødte ham i 1755, selvom hans videnskabelige værker blev anerkendt i Preussen endnu tidligere: i 1746 "Reflections on the General Cause of Winds" blev tildelt prisen fra Berlin Academy of Sciences og Belles-lettres. Siden 1752 forsøgte Frederik II gentagne gange at invitere D'Alembert til Preussen som præsident for dette Akademi, men han nægtede regelmæssigt. Som følge heraf begyndte fra 1760 en berømt korrespondance mellem dem, som fortsatte indtil videnskabsmandens død. D' Alembert havde en meget høj opfattelse af den preussiske monark, og roste ham i hans skrifter, og i 1763 opholdt han sig ved sit hof i tre måneder.

Så snart hun besteg tronen i 1762, bad Catherine II D'Alembert om at tage sig af opdragelsen af ​​hendes søn og arving Paul, og tilbød ham en enorm årsløn på 100 tusind livres (han modtog 1200 livres årligt fra de franske og preussiske konger) D'Alembert nægtede, og forklarede, at han foretrækker at leve beskedent i sit hjemland end at nyde luksus i et fremmed land. Efter at have nægtet Frederick og Catherine, satte D'Alembert ikke desto mindre alt sit håb om Europas fornyelse på oplyste monarker støttet af den intellektuelle elite, og han behandlede samtidig aristokratiet, gejstligheden og masserne med lige stor mistillid.

Personlige liv

Jean Leron D'Alembert nægtede at forlade Paris på grund af sit forhold til Julie de Lespinasse, Marquise Du Deffants ledsager. Deres forhold blev ikke hæmmet af hverken aldersforskellen (D'Alembert var 15 år ældre) eller Madames jalousi Du Deffant. Julie var dog ikke altid tro mod D'Alembert.I 1764 grundlagde Mademoiselle de Lespinasse sin egen salon.

De sidste år. Jean Leron D'Alemberts død

Tynget af alvorlige sygdomme, oplevet forræderi og derefter sin elskedes død (1776), var Jean Leron D'Alembert konstant i en smerteligt ophidset tilstand gennem 1770'erne. De sidste år af D'Alemberts liv var forbundet med det franske akademi. I 1772, trods modstand fra Ludvig XV, blev han valgt til dens faste sekretær. De taler, han holdt inden for akademiets mure, viser, at han anså denne institution for en vigtig højborg i kampen mod uvidenhed.

Skeptisk over for religion hele sit liv, Jean Leron D'Alembert mødte døden den 29. oktober 1783 i Paris, uden at forråde sig selv, og nægtede det sidste nadver. Ærkebiskoppen af ​​Paris forbød at udføre en begravelse for ham.

JavaScript er deaktiveret i din webbrowser.
For at udføre beregninger skal du aktivere ActiveX-kontroller!

fransk encyklopædist

kort biografi

Jean Leron d'Alembert (d'Alembert, d'Alembert; fr. Jean Le Rond D"Alembert, d"Alembert; 16. november 1717 - 29. oktober 1783) - fransk videnskabsmand og encyklopædist. Alment kendt som filosof, matematiker og mekaniker. Medlem af Paris Academy of Sciences (1740), French Academy (1754), St. Petersburg (1764) og andre akademier.

D'Alembert var den uægte søn af markisen de Tansen og efter al sandsynlighed den østrigske hertug Leopold Philipp af Arenberg. Kort efter fødslen blev babyen smidt af sin mor på trappen til den parisiske "Round Church of St. John", som var placeret ved det nordlige tårn af katedralen Notre Dame. Ifølge skik hed barnet Jean Leron til ære for denne kirke. I første omgang blev barnet anbragt på Foundling Hospital. Så sørgede hertugens fortrolige, artilleriofficeren Louis-Camus Detouches, som modtog penge for at opdrage drengen, at han kunne bo i en glarmesterfamilie.

Da han vendte tilbage til Frankrig, blev Detouche knyttet til drengen, besøgte ham ofte, hjalp hans plejeforældre og betalte for D'Alemberts uddannelse. Markisens mor viste aldrig nogen interesse for sin søn. Senere, da han blev berømt, glemte D'Alembert aldrig glarmesteren og hans kone, hjalp dem økonomisk og kaldte dem altid stolt sine forældre.

Efternavnet D'Alembert blev ifølge nogle kilder afledt af navnet på hans adoptivfar Alembert, ifølge andre blev det opfundet af drengen selv eller hans værger: først blev Jean Leron optaget i skolen som D'Alembert ( Daremberg), ændrede derefter dette navn til D'Alembert.

1726: Detouche, der allerede er general, dør uventet. Ifølge testamentet modtager D'Alembert en ydelse på 1.200 livres om året og er overdraget til pårørendes opmærksomhed. Drengen er opdraget sammen med sine fætre, men bor stadig i en glarmesterfamilie. Han boede i sine plejeforældres hus til 1765, altså til han var 48 år.

Hans tidlige talent gjorde det muligt for drengen at modtage en god uddannelse - først på Mazarin College (han modtog en mastergrad i liberal arts), derefter på Academy of Legal Sciences, hvor han modtog titlen som licentiat af rettigheder. Han kunne dog ikke lide erhvervet som advokat, og han begyndte at studere matematik.

Allerede som 22-årig præsenterede D’Alembert sine værker for Paris-akademiet, og som 23-årig blev han valgt som adjunkt af akademiet.

1743: udgivet " Afhandling om dynamik”, hvor det grundlæggende "D'Alembert-princip" er formuleret, hvilket reducerer dynamikken i et ikke-frit system til statik. Her formulerede han først de generelle regler for at sammensætte differentialligninger for bevægelse af ethvert materialesystem.

Senere blev dette princip anvendt af ham i afhandlingen "Discourses on the General Cause of Winds" (1774) til at underbygge hydrodynamik, hvor han beviste eksistensen - sammen med havvande - også af luftvande.

1748: en strålende undersøgelse af strengvibrationsproblemet.

Fra 1751 arbejdede D'Alembert sammen med Diderot for at skabe den berømte " Encyclopedia of Sciences, Arts and Crafts" Artiklerne i 17-binds Encyclopedia om matematik og fysik er skrevet af D'Alembert. I 1757, ude af stand til at modstå forfølgelsen af ​​den reaktion, som hans arbejde i Encyclopedia blev udsat for, bevægede han sig væk fra dets udgivelse og helligede sig udelukkende videnskabeligt arbejde (selvom han fortsatte med at skrive artikler til Encyclopedia). Encyclopedia spillede en stor rolle i udbredelsen af ​​oplysningstidens ideer og den ideologiske forberedelse af den franske revolution.

1754: D'Alembert bliver medlem af det franske akademi.

1764: I artiklen "Dimensionality" (til Encyclopedia) blev ideen om muligheden for at betragte tid som en fjerde dimension først udtrykt.

D'Alembert opretholdt en aktiv korrespondance med den russiske kejserinde Catherine II. I midten af ​​1760'erne blev D'Alembert inviteret af hende til Rusland som lærer af tronfølgeren, men accepterede ikke invitationen. I 1764 blev han valgt til udenlandsk æresmedlem af Sankt Petersborgs Videnskabsakademi.

1772: D'Alembert blev valgt til permanent sekretær for det franske akademi.

1783: D'Alembert døde efter længere tids sygdom. Kirken nægtede at give den "udtalte ateist" plads på kirkegården, og han blev begravet i en umærket fællesgrav.

Et krater på den anden side af Månen er opkaldt efter D'Alembert.

Videnskabelige resultater

Matematik

I de første bind af den berømte Encyclopedia placerede D'Alembert vigtige artikler: "Differentialer", "Ligninger", "Dynamics" og "Geometri", hvori han detaljerede sit synspunkt på aktuelle videnskabelige problemer.

D'Alembert søgte at underbygge beregningen af ​​infinitesimals ved hjælp af teorien om grænser, tæt på Newtons forståelse af "analysens metafysik." Han nævnte en mængde begrænse en anden, hvis den anden, der nærmer sig den første, afviger fra den med mindre end nogen given mængde. " Differentiering af ligninger består simpelthen i at finde grænserne for forholdet mellem de endelige forskelle af de to variable inkluderet i ligningen"- denne sætning kunne forekomme i en moderne lærebog. Han udelukkede fra analysen begrebet en faktisk infinitesimal og tillod det kun for korthedens skyld.

Udsigterne for hans tilgang blev noget reduceret af det faktum, at han af en eller anden grund forstod ønsket om en grænse som monotont (tilsyneladende, så Δ x ≠ 0), og D'Alembert gav ikke en klar teori om grænser, idet han begrænsede sig selv til teoremer om grænsens unikke og om produktets grænse. De fleste matematikere (inklusive Lazare Carnot) protesterede mod teorien om grænser, da den efter deres mening etablerede unødvendige begrænsninger - den betragtede uendeligt små ikke af sig selv, men altid i forhold til hinanden, og den var umulig at frit bruge i Leibniz. stilalgebra af differentialer. Alligevel sejrede D'Alemberts tilgang til analysens berettigelse til sidst - dog først i det 19. århundrede.

I serieteori er hans navn givet til en meget brugt tilstrækkelig test for konvergens.

D'Alemberts matematiske hovedforskning relaterer sig til teorien om differentialligninger, hvor han gav en metode til at løse en 2. ordens partiel differentialligning, der beskriver en strengs tværgående vibrationer (bølgeligning). D'Alembert præsenterede løsningen som summen af ​​to vilkårlige funktioner, og ifølge den såkaldte. grænsebetingelser var i stand til at udtrykke den ene af dem gennem den anden. Disse værker af D'Alembert, såvel som de efterfølgende værker af L. Euler og D. Bernoulli, dannede grundlaget for matematisk fysik.

I 1752, mens D'Alembert løste en partiel differentialligning af elliptisk type (model af strømning omkring et legeme), der blev fundet i hydrodynamik, brugte D'Alembert først funktioner af en kompleks variabel. I D'Alembert (og samtidig i L. Euler) er der de ligninger, der forbinder de reelle og imaginære dele af den analytiske funktion, som senere blev kendt som Cauchy-Riemann-betingelserne, selvom de retfærdigvis burde have været kaldt D'Alembert-Euler forhold. Senere blev de samme metoder brugt i potentialteori. Fra dette øjeblik begynder den udbredte og frugtbare brug af komplekse mængder i hydrodynamik.

D'Alembert er også ansvarlig for vigtige resultater i teorien om almindelige differentialligninger med konstante koefficienter og systemer af sådanne ligninger af 1. og 2. orden.

D'Alembert gav det første (ikke helt strenge) bevis på algebras grundlæggende sætning. I Frankrig kaldes det D'Alembert-Gauss-sætningen.

Fysik, mekanik og andre arbejder

D'Alemberts princip, som han opdagede, var allerede nævnt ovenfor, hvilket indikerer, hvordan man bygger en matematisk model for bevægelsen af ​​ikke-frie systemer.

D'Alembert ydede også fremragende bidrag til den himmelske mekanik. Han underbyggede teorien om planetarisk forstyrrelse og var den første til strengt at forklare teorien om forventningen til jævndøgn og nutation.

Med udgangspunkt i Francis Bacons system klassificerede D'Alembert videnskaberne, hvilket gav anledning til det moderne humaniorabegreb.

D'Alembert ejer også værker om spørgsmål om musikteori og musikalsk æstetik: afhandlingen "On the Freedom of Music", som opsummerer resultaterne af den såkaldte. buffon wars - kampe omkring spørgsmål om operakunst osv.

Filosofi

Af de filosofiske værker er de vigtigste den indledende artikel til Encyclopedia, "Essay on the Origin and Development of Sciences" (1751, russisk oversættelse i bogen "The Founders of Positivism", 1910), som giver en klassificering af videnskaber , og "Elements of Philosophy" (1759).

I teorien om viden, efter J. Locke, holdt D'Alembert sig til sensationalisme. Ved at løse grundlæggende filosofiske spørgsmål var D'Alembert tilbøjelig til skepsis, idet han anså det for umuligt pålideligt at hævde noget om Gud, hans interaktion med materien, materiens evighed eller skabelse osv. Tvivler på Guds eksistens og udtaler sig med anti-gejstlige kritik, D'Alembert, dog tog han ikke stilling til ateisme.

I modsætning til de franske materialister mente D'Alembert, at der er uforanderlige moralske principper, som ikke afhænger af det sociale miljø. D'Alemberts syn på teorien om viden og religion blev kritiseret af Diderot i hans værker: "D'Alemberts drøm" (1769), "Samtale mellem D'Alembert og Diderot" (1769) osv.