Մանրադիտական \u200b\u200bհաջորդականության սահմանի վերաբերյալ Weiertrass Terorm- ի ապացույցը: Համարվում են սահմանափակ եւ անսահմանափակ հաջորդականությունների դեպքեր: Այն օրինակը, որում անհրաժեշտ է, կիրառելով Weiertrass Terorem- ը, հետագա հաջորդականության համընկնումը ապացուցելու եւ դրա սահմանը գտնելու համար:

Ցանկացած միապաղաղ սահմանափակ հաջորդականություն (x n) Այն ունի վերջավոր սահման, որը հավասար է ճշգրիտ բավականին սահմանին, sup (x n) Ոչ վաճառքի եւ ճշգրիտ ստորին սահմանի համար, inf (x n) Ոչ կրակոցների հաջորդականության համար:
Monotonous Unlimited հաջորդականություն ունի անսահմանության անսահմանափակ սահման, որը հավասար է Infinity Plus- ին, չհամապատասխանող եւ մինուս անսահմանության համար:

Վկայություն

1) Անկացած սահմանափակ հաջորդականություն.

(1.1) .

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակ է, այն ունի ճշգրիտ վերին սահման
.
Դա նշանակում է որ:

• Բոլորի համար n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Այստեղ մենք նաեւ օգտագործեցինք (1.3): Համադրելով (1.2), մենք գտնում ենք.
at.
Քանի որ, դա
,
կամ
at.
Թեորեմի առաջին մասը ապացուցված է:

2) Հիմա թող հաջորդականությունը լինի Չվերաժող սահմանափակ հաջորդականություն:
(2.1) Բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը սահմանափակ է, այն ունի ճշգրիտ ստորին սահման
.
Սա նշանակում է հետեւյալը.

• Բոլորի համար կատարվում են անհավասարություններ.
  (2.2) ;
• ցանկացած դրական համարի համար կա մի շարք, կախված դրանից
  (2.3) .

.
Այստեղ մենք նաեւ օգտագործեցինք (2.3): Հաշվի առնելով (2.2), մենք գտնում ենք.
at.
Քանի որ, դա
,
կամ
at.
Սա նշանակում է, որ համարը հաջորդականության սահմանն է:
Թեորեմի երկրորդ մասը ապացուցված է:

Հիմա հաշվի առեք անսահմանափակ հաջորդականությունները:
3) Թող հաջորդականությունը լինի Անսահմանափակ է անտեսանելի հաջորդականություն.

Քանի որ հաջորդականությունը անհամատեղելի է, անհավասարությունները իրականացվում են բոլորի համար.
(3.1) .

Քանի որ հաջորդականությունը աննկատելի է եւ անսահմանափակ, այն անսահմանափակ է աջ կողմում: Հետո ցանկացած քանակի մ-ի համար կա մի շարք, կախված մ-ից, որի համար
(3.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը անհամատեղելի է, ապա երբ ունենք.
.
Այստեղ մենք նաեւ օգտագործեցինք (3.2):

.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը հավասար է գումարած անսահմանությանը.
.
Թեորեմի երրորդ մասը ապացուցված է:

4) Վերջապես համարեք գործը, թե երբ է Անսահմանափակ չվնասի հաջորդականություն.

Նախորդի նման, քանի որ հաջորդականությունը չի շահում,
(4.1) Բոլորի համար n.

Քանի որ հաջորդականությունը չի շահում եւ անսահմանափակ, այն անսահմանափակ է ձախ կողմում: Հետո ցանկացած քանակի մ-ի համար կա մի շարք, կախված մ-ից, որի համար
(4.2) .

Քանի որ հաջորդականությունը չի շահում, ապա երբ ունենք.
.

Այսպիսով, ցանկացած քանակի մ-ի համար կա բնական թիվ, որը կախված է M- ից, այնպես որ անհավասարությունները կատարվում են բոլոր համարների համար.
.
Սա նշանակում է, որ հաջորդականության սահմանը մինուս անսահմանություն է.
.
Թեորեմը ապացուցված է:

Խնդրի լուծման օրինակ

Օգտագործելով Weiertrass Terorem- ը, ապացուցեք հաջորդականության համադրությունը.
, , . . . , , . . .
Դրանից հետո գտեք նրա սահմանը:

Պատկերացրեք հաջորդականություն կրկնվող բանաձեւերի տեսքով.
,
.

Մենք ապացուցում ենք, որ նշված հաջորդականությունը սահմանափակ է վերեւից
(P1) .
Ապացույց, մենք իրականացնում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը:
.
Թող լինի: Ապա
.
Անհավասարությունը (P1) ապացուցված է:

Մենք ապացուցում ենք, որ հաջորդականությունը միապաղաղը մեծանում է:
;
(P2) .
Որովհետեւ, խմբակցության դավանանքը եւ թվանշանի առաջին գործոնը դրական է: Հաջորդականության անհավասարության սահմանափակ անդամների պատճառով երկրորդ գործոնը նույնպես դրական է: հետեւաբար
.
Այսինքն, հաջորդականությունը խստորեն աճում է:

Քանի որ հաջորդականությունը մեծանում է եւ սահմանափակվում է վերեւից, դա սահմանափակ հաջորդականություն է: Հետեւաբար, Weiertrass Terorem- ի միջոցով այն սահման ունի:

Մենք կգտնենք այս սահմանը: Նշեք այն.
.
Մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ
.
Դիմեք այս (p2) `օգտագործելով կոնվերգենտային հաջորդականությունների սահմանների թվաբանական հատկությունները.
.
Վիճակը բավարարում է արմատը:

Սահմանում1. հաջորդականություն իջնող (Գլուխ ) Եթե բոլորի համար
Կատարվում է անհավասարություն
.

Սահմանում2. հաջորդականություն
կոչված աճում (Անօրինական ) Եթե բոլորի համար
Կատարվում է անհավասարություն
.

Սահմանում3. Կոչվում են նվազել, չվնասել, աճող եւ աննկատելի հաջորդականություններ միապաղաղ Կոչվում են նաեւ հաջորդականությունները, նվազում եւ աճող հաջորդականությունները Խստորեն միապաղաղ հաջորդականություններ:

Ակնհայտ է, որ ոչ նվազող հաջորդականությունը սահմանափակվում է ներքեւում, վերեւից սահմանափակված հաջորդականությունը սահմանափակվում է: Հետեւաբար, ցանկացած միապաղաղ հաջորդականություն ակնհայտորեն սահմանափակ է մի կողմից:

Օրինակ1. հաջորդականություն
ավելանում է առանց նվազման
նվազում
չի բարձրանում
- Ոչ միապաղաղ հաջորդականություն:

Միապաղաղ հաջորդականությունների համար Կարեւոր դեր Խաղում է հաջորդը

Թեորեմ1. Եթե ոչ կոտրող (չհամընկնող) հաջորդականությունը սահմանափակ է վերեւից (ներքեւից), այն համընկնում է:

Վկայություն, Թող հաջորդականությունը
Չի նվազում եւ սահմանափակվում է վերեւից, այսինքն:
Եւ շատերը
սահմանափակված է վերեւից: Ըստ Թեորեմի 1 § 2-ի գոյություն ունի
, Մենք դա ապացուցում ենք
.

Վերցնել
կամայականորեն: Այնքանով, որքանով բայց- ճշգրիտ վերին սահմանը, կա մի շարք Ն. այնպիսին է, որ
, Քանի որ հաջորդականությունը անհամատեղելի է, ապա բոլորի համար
Մենք ունենք, ես:
, այսպես
բոլորի համար
եւ դա նշանակում է, որ
.

Չմնալու հաջորդականության համար, որը սահմանափակվում է ներքեւից, ապացույցն իրականացվում է նմանապես ( Ուսանողները կարող են ինքնուրույն ապացուցել այս հայտարարությունը տանը): Թեորեմը ապացուցված է:

Մեկնաբանություն, Թեորեմ 1-ը կարող է ձեւակերպվել այլ կերպ:

Թեորեմ2. Որպեսզի միապաղաղ հաջորդականությունը համընկնի, անհրաժեշտ է եւ բավարար լինել սահմանափակ:

Բավարարությունը հաստատվում է Թեորեմ 1-ում, կարիքավորը `2 § 5-ում:

Միապաղաղության վիճակը անհրաժեշտ չէ հաջորդականության համադրման համար, քանի որ կոնվերգավոր հաջորդականությունը պարտադիր չէ միաձուլել: Օրինակ, հաջորդականությունը
Ոչ միապաղաղ, բայց համընկնում է զրոյի:

Անառակ, Եթե \u200b\u200bհաջորդականությունը
ավելանում է (նվազում է) եւ սահմանափակվում է վերեւից (ներքեւից), ապա
(
).

Իսկապես, Թեորեմ 1-ի կողմից
(
).

Սահմանում4. Եթե
համար
, ապա հաջորդականությունը Տեղակայված հատվածների խստացում .

Թեորեմ3 (բույնի հատվածների սկզբունքը): Բույնի ցանկացած խստացված համակարգ գոյություն ունի, եւ ավելին, միակ կետը դեպիպատկանել է այս համակարգի բոլոր հատվածներին:

Վկայություն, Մենք դա ապացուցում ենք, որ կետը դեպիգոյություն ունի: Այնքանով, որքանով
Շոշափել
Եվ, հետեւաբար, հաջորդականությունը
չի նվազում եւ հաջորդականությունը
չի ավելանում: Ուր
մի քանազոր
Սահմանափակ, որովհետեւ: Այնուհետեւ, Թեորեմ 1-ը գոյություն ունի
մի քանազոր
, բայց քանի որ
Շոշափել
=
, Գտեք կետ դեպիպատկանում է համակարգի բոլոր հատվածներին, քան 1-ի թեկնածուի քննությունը
,
,
Բոլոր արժեքների համար Ն..

Show ույց տալ հիմա, որ կետը դեպի- միակը. Ենթադրենք, որ երկու կետերը երկուսն են. դեպիմի քանազոր ԳցելԵւ նույնիսկ որոշակիության համար
, Ապա կտրեք
Պատկանում է բոլոր հատվածներին
,
բոլորի համար Ն.դա անհնար է, քանի որ
Եվ, դա նշանակում է, սկսած որոշ թվից,
, Թեորեմը ապացուցված է:

Նկատի ունեցեք, որ անհրաժեշտ է, որ փակ բացերը դիտարկվեն, ես: Հատվածներ: Եթե \u200b\u200bհաշվի առնենք խստացված ընդմիջումների համակարգը, ապա սկզբունքը, ընդհանուր առմամբ, սխալ է: Օրինակ, ընդմիջումներով
ակնհայտորեն խստացրեց կետը
Այնուամենայնիվ, կետը
Այն չի պատկանում այս համակարգի որեւէ ընդմիջում:

Դիտարկենք Monotone հաջորդականությունների համադրման օրինակներ:

1) համարը Ե..

Հաշվի առեք հիմա հաջորդականությունը
, Ինչպես է նա պահում: Հիմք

աստիճան
, այսպես
? Մյուս կողմից,
, բայց
, այսպես
? Կամ սահմանը գոյություն չունի:

Այս հարցերին պատասխանելու համար հաշվի առեք օժանդակ հաջորդականությունը
, Մենք ապացուցում ենք, որ այն նվազում է եւ սահմանափակվում է ներքեւում: Միեւնույն ժամանակ մեզ պետք կլինի

Լեմա, Եթե
Ապա բոլոր բնական արժեքների համար Ն.ունենալ

(Bernoulli անհավասարություն):

Վկայություն, Մենք օգտագործում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը:

Եթե
Շոշափել
, Անհավասարությունը ճշմարիտ է:

Ենթադրենք, որ դա ճիշտ է
եւ ապացուցել նրա արդարությունը
+1.

Ճիշտ
, Բազմացրեք այս անհավասարությունը
:

Այս կերպ, . Այսպիսով, ըստ մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքի, Բեռնիլիի անհավասարությունը ճշմարիտ է բոլոր բնական արժեքների համար: Ն., Լեման ապացուցվում է:

Մենք ցույց ենք տալիս, որ հաջորդականությունը
նվազում է: Ունենալ

| Bernoulli անհավասարություն |
, եւ սա նշանակում է, որ հաջորդականությունը
նվազում է:

Ստորեւ սահմանափակումը հետեւում է անհավասարությունից
| Bernoulli անհավասարություն |
Բոլոր բնական արժեքների համար Ն..

Թեորեմ 1-ը գոյություն ունի
Այն, ինչ նշվում է նամակում Ե., հետեւաբար
.

Թիվ Ե.Իռացիոնալ եւ տրանսցենդենտ Ե.\u003d 2,718281828 .... Հայտնի է, բնական լոգարիթմների հիմքը:

Նշումներ, 1) Բեռնուլիի անհավասարությունը կարող է օգտագործվել դրա ապացույցների համար
համար
, Իսկապես, եթե
Շոշափել
, Այնուհետեւ, Բեռնուլիի անհավասարության կողմից,
, Հետեւաբար, ply
ունենալ
, ես
համար
.

2) վերը նշված օրինակում, աստիճանի հիմքը հակված է 1-ի, բայց աստիճանի ցուցանիշը Ն.- Կ. Այսինքն, կա տեսակների անորոշություն , Այսպիսի անորոշությունը, ինչպես ցույց տվեցինք, բացահայտվում է `օգտագործելով հիանալի սահման:
.

2)
(*)

Մենք ապացուցում ենք, որ այս հաջորդականությունը համընկնում է: Դա անելու համար մենք ցույց ենք տալիս, որ այն սահմանափակված է ներքեւից եւ չի ավելանում: Միեւնույն ժամանակ մենք օգտագործում ենք անհավասարություն
բոլորի համար
ինչը անհավասարության հետեւանք է
.

Ունենալ
cm վերը նշված անհավասարությունը
, Հաջորդը սահմանափակվում է համարի ներքեւի մասով:
.

Ավելին,
 այնպես, ինչպես

, Հաջորդականությունը չի աճում:

Թեորեմ 1-ը գոյություն ունի
որը նշվում է Հ., Անցնելով հավասարության (*) սահմանը, երբ
, Ստացեք

,
From!
(Մենք վերցնում ենք գումարած նշան, քանի որ բոլոր հաջորդականության անդամները դրական են):

Հերթականությունը (*) կիրառվում է հաշվարկելիս
մոտավորապես: Մեկ Վերցրեք որեւէ դրական համար: Օրինակ, մենք կգտնենք
, Թե
, Ապա
, Այս կերպ,
.

3)
.

Ունենալ
, Այնքանով, որքանով
համար
, Կա մի շարք Ն., այդ ամենի համար
Կատարվում է անհավասարություն
, Այսպիսով, հաջորդականությունը
Սկսելով որոշ թվից Ն., նվազում եւ սահմանափակվում է ներքեւում, քանի որ
Բոլոր արժեքների համար Ն., Այսպիսով, Թեորեմ 1-ը գոյություն ունի
, Այնքանով, որքանով
, ունենալ
.

Այսպիսով,
.

4)
, աջ - Ն. Արմատներ

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ Մենք դա ցույց ենք տալիս
Բոլոր արժեքների համար Ն., Ունենալ
, Թե
, Այնուհետեւ, հետեւաբար մենք ստանում ենք հայտարարություն մաթեմատիկական ինդուկցիայի սկզբունքի վերաբերյալ: Օգտագործելով այս փաստը, մենք գտնում ենք, այսինքն: հաջորդականություն
բարձրացում եւ սահմանափակվում է վերեւից: Հետեւաբար գոյություն ունի, քանի որ
.

Այս կերպ,
.