Հանրահաշվական հավասարումների լուծման ժամանակ հաճախ անհրաժեշտ է քայքայվել բազմապատկիչների բազմամյա: Որոշում է բազմապատկերի բազմամյա բազմազանություն. Դա նշանակում է այն ներկայացնել երկու կամ մի քանի բազմակնությունների աշխատանքի տեսքով: Քաղաքի տարրալուծման որոշ մեթոդներ, որոնք մենք օգտագործում ենք բավականին հաճախ. Ընդհանուր գործոն ստեղծելը, կրճատ բազմապատկման բանաձեւերի օգտագործումը, ամբողջ քառակուսի բաշխումը, խմբավորումը: Դիտարկենք եւս մի քանի մեթոդներ:

Երբեմն, բազմապատկերի բազմամյա քանդելիս, հետեւյալ հայտարարությունները օգտակար են.

1) Եթե թոռնիկը, ամբողջական գործակիցներով, ունի ռացիոնալ արմատ (որտեղ է աննկատելի մասն, ապա անվճար անդամի մոդել եւ ավագ գործակիցի դիլեր:

2) Եթե ինչ-որ ձեւով ընտրեք աստիճանի բազմամյա արմատը, ապա բազմամյա կարող է ներկայացվել այն տեսքով, որտեղ բազմամյա է

Բազմամյակը կարելի է գտնել կամ բազմաբնույթից կամ բազմապատկիչ գործակիցների ազատման համապատասխան խմբավորումը բաժանելով բազմամոլությունը կամ բազմապատկիչի կամ անորոշ գործակիցների թողարկման համապատասխան խմբավորման:

Օրինակ. Քայքայվում է պոլինոմիալ

Որոշում Քանի որ X4- ի գործակիցը 1-ն է, ապա այս բազմամյա ռացիոնալ արմատները գոյություն ունեն 6 համարի բաժանարարների բաժանմունքներ, I.E: Կարող են լինել ամբողջ թվեր ± 1, ± 2, ± 3, ± 6: Նշեք այս պոլինոմիայով P4 (x) միջոցով: Քանի որ p p4 (1) \u003d 4 եւ p4 (-4) \u003d 23, 1 եւ -1 համարները ՀՀ բազմամյա (x) արմատները չեն: Քանի որ P4 (2) \u003d 0, x \u003d 2-ը POnynomial P4 (x) արմատն է, եւ դա նշանակում է, որ այս բազմամյա բաժանված է բարձրահասակ x - 2. Հետեւաբար x4 -5x3 + 7x2 -5x + x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Հետեւաբար, P4 (x) \u003d (x - 2) (x3 - Зх2 + X - 3): Քանի որ xz - зх2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), ապա x4 - 5x 6 \u003d (x - 2) ( x - 3) (x2 + 1):

Պարամետրերի կառավարման մեթոդ

Երբեմն բազմապատկերի բազմամյա բազմամյա ընտրության ժամանակ օգնում է պարամետր ներդնելու մեթոդը: Այս մեթոդի էությունը բացատրվում է հետեւյալ օրինակով:

Օրինակ. X3 - (√3 + 1) x2 + 3:

Որոշում Դիտարկենք բազմամյա պարամետրով `X3 - (A + 1) X2 + A2- ով, որը, երբ A \u003d √3- ը վերածվում է տրված բազմամյա: Մենք այս պոլինոմիալը գրում ենք որպես քառակուսի եռակի, որը համեմատած է A: AG2 + (x3 - x2):

Քանի որ այս հրապարակի արմատները համեմատաբար առաջարկվում են, կան A1 \u003d x եւ A2 \u003d x2 - x, ապա, հավասարությունը A2 - AH2 + (X2) (A - X2 + x): Հետեւաբար, պոլինոմիալ X3 - (√3 + 1) x2 + 3-ը քայքայվում է √3 - x եւ √3 - x2 + x, I.E- ի գործոնի վրա:

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - √3) (x2-x-√3):

Նոր անհայտի ներդրման եղանակը

Որոշ դեպքերում F (x) արտահայտությունը փոխարինելով, որը ներառված է բազմամյա RP (X), Y- ի միջոցով կարելի է ստանալ Y- ի հետ բազմամյա հարաբերություններում, որն արդեն հեշտ է քայքայվել բազմապատկիչների համար: Այնուհետեւ F (x) -ում այն \u200b\u200bփոխարինելուց հետո մենք ստանում ենք բազմամյա RP- ի (X) բազմամոլների տարրալուծում:

Օրինակ. Ուղարկեք պոլինոմիալները x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15:

Որոշում Մենք վերափոխում ենք այս բազմամյա հետեւյալը. X (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 2)] - 15 \u003d ( X2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Նշեք X2 + 3X- ը y- ի միջոցով: Հետո մենք ունենք (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d y2 + 2au + 1 - 16 \u003d (y + 1) 2 - (Y + 1 - 4) \u003d ( 1-ին) (Y - 3):

Հետեւաբար, X (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3):

Օրինակ. Քայքայվել բազմամյա բազմապատկիչների վրա (X-4) 4+ (x + 2) 4

Որոշում Նշեք x- 4 + x + 2 \u003d x - 1-ով y- ով:

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (y - 3) 4 + (y + 3) 4 \u003d Y4 - 12U3 + 54U3 - 108U + 81 + U4 + 12U3 + 81 \u003d

2U4 + 108U2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √b48) (U2 + 278) \u003d

2 ((((x - 1) 2 + 27-√b48) ((x - 1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (X2- 2x + 28 + 18√) 2):

Տարբեր մեթոդներ համատեղելով

Հաճախ, բազմապատկիչների բազմամյա բազմամյա տարրալուծման ընթացքում անհրաժեշտ է հաջորդաբար կիրառել վերեւում քննարկված մեթոդներից մի քանիսը:

Օրինակ. Ուղարկում է պոլինոմիալներ X4 - 3x2 + 4x-3:

Որոշում Օգտագործելով խմբավորում, վերաշարադրել բազմամյա ձեւը X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3):

Դիմելով առաջին փակագծին, ամբողջական հրապարակի մեկուսացման եղանակը, մենք ունենք X4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4):

Օգտագործելով ամբողջական հրապարակի բանաձեւը, այժմ կարող եք գրել այդ X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2:

Վերջապես, հրապարակների տարբերության բանաձեւը կիրառելը, մենք ստանում ենք այդ x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 + x-3) (x2 -x + 1):

§ 2. Սիմետրիկ հավասարումներ

1. երրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարումներ

AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0 եւ ≠ 0 (1) ձեւի հավասարումները կոչվում են երրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարումներ: AH3 + BX2 + BX + A \u003d A \u003d A \u003d A \u003d A (x3 + 1) bx (x + 1) \u003d (x + 1) (AH2 + 1) (AH2 + (B - A) x + A), ապա հավասարումը (1) համարժեք է X + 1 \u003d 0 եւ AH2 + (B - A) x + A \u003d 0, ինչը դժվար չէ որոշում կայացնել:

Օրինակ 1. Լուծել հավասարումը

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Որոշում Հավասարումը (2) երրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարումը է:

Քանի որ 3x3 + 4xg + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - zh + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , Հավասարումը (2) համարժեք է x + 1 \u003d 0 եւ 3x3 + x + \u003d 0-ի հավասարումների լիարժեքությանը:

Այս հավասարումներից առաջինը x \u003d -1 է, լուծումների երկրորդ հավասարումը չունի:

Պատասխան, x \u003d -1:

2. Չորրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարումներ

Դիտեք հավասարումը

(3) կոչվում է չորրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարումը:

Քանի որ x \u003d 0-ը հավասարման արմատը չէ (3), ապա երկու հավասարման երկու մասերը (3) x2 բաժանելով, մենք ստանում ենք հավասարություն, համարժեք է բնօրինակին (3).

Մենք վերաշարադրում ենք հավասարումը (4) ձեւով.

Այս հավասարման մեջ մենք կփոխարինենք, հետո կստանանք քառակուսի հավասարություն

Եթե \u200b\u200bհավասարումը (5) ունի 2 U1 եւ U2 արմատներ, ապա նախնական հավասարումը համարժեք է հավասարումների ամբողջությանը

Եթե \u200b\u200bհավասարումը (5) ունի մեկ U0 արմատ, ապա նախնական հավասարումը հավասար է հավասարմանը

Վերջապես, եթե հավասարումը (5) արմատ չունի, ապա նախնական հավասարումը նույնպես արմատներ չունի:

Օրինակ 2. Լուծել հավասարումը

Որոշում Այս հավասարումը չորրորդ աստիճանի սիմետրիկ հավասարությունն է: Քանի որ x \u003d 0-ը նրա արմատն է, այնուհետեւ հավասարումը (6) -ից x2 բաժանումը, մենք դրա համար համարժեք հավասարություն ենք ստանում.

Խմբավորել է պայմանները, վերաշարադրել հավասարումը (7) ձեւով կամ ձեւով

Ներկայացնելով, մենք ստանում ենք հավասարումը, որն ունի երկու արմատ, որն ունի երկու արմատ, որն ունի 2-ը եւ 2-ը եւ 3. Հետեւաբար, նախնական հավասարումը համարժեք է հավասարումների ամբողջությանը

Այս ընդհանուր հավասարության առաջին հավասարման լուծումը X1 \u003d 1 է, եւ կա երկրորդ եւ.

Հետեւաբար, նախնական հավասարումը երեք արմատ ունի. X1, x2 եւ x3:

Պատասխան, x1 \u003d 1 ,.

§3: Հանրահաշվական հավասարումներ

1. իջեցրեք հավասարման աստիճանը

Հանրահաշվական որոշ հավասարումներ, դրանց մեջ որոշ բազմամյա տեղեր փոխարինելով, կարող են իջնել հանրահաշվական հավասարումների, որոնց աստիճանը ավելի քիչ է, քան աղբյուրի հավասարման աստիճանը եւ դրանց լուծումը ավելի հեշտ է:

Օրինակ 1. Լուծել հավասարումը

Որոշում Նշեք, ապա հավասարումը (1) կարող է վերաշարադրել վերջին հավասարման տեսքով, ունի արմատ եւ, հետեւաբար, հավասարումը (1) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ: Այս ամբողջության առաջին հավասարման լուծումը երկրորդ հավասարման լուծումներն են

Լուծումների հավասարումը (1) են

Օրինակ 2. Լուծել հավասարումը

Որոշում 12-ի \u200b\u200bհավասարման երկու մասերը բազմապատկելով եւ նշելով

Մենք ստանում ենք հավասարումը `այս հավասարումը վերաշարադրելու համար

(3) եւ նշվում է վերաշարադրելու հավասարումը (3), քանի որ վերջին հավասարումը արմատ ունի, ուստի մենք ձեռք ենք բերում այդ հավասարումը (3) համարժեք է երկու հավասարումների համադրությանը եւ այս հավասարումների լուծմանը (2) համարժեք է հավասարումների եւ (2) չորս)

Համախմբված (4) լուծումները եւ, դրանք հավասարման լուծում են (2):

2. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(5) Որտեղ գտնվող համարները կարող են կրճատվել երկկողմանի հավասարության, օգտագործելով անհայտ, I.E. փոխարինումը

Օրինակ 3. Լուծել հավասարումը

Որոշում Նշում է, տ. ե. Մենք կփոխարինենք փոփոխականներին, կամ հետո հավասարումը (6) կարող է վերաշարադրվել ձեւի կամ ձեւի ձեւով կամ, ինչպես

Քանի որ քառակուսի հավասարման արմատները հավասարման լուծումներն են (7) Կան լուծումներ հավասարումների համադրման եւ. Հավասարումների այս ամբողջությունը երկու լուծում ունի, ուստի հավասարման լուծումները (6) են եւ

3. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(8), որտեղ համարները α, β, γ, δ եւ α եւ α եւ α են այնպիսին, որ α

Օրինակ 4. Լուծել հավասարումը

Որոշում Մենք կկատարենք անհայտ T- ի փոխարինում: E. Y \u003d x + 3 կամ x \u003d y - 3. Այնուհետեւ հավասարումը (9) կարող է վերաշարադրել որպես

(Y-2) (Y-1) (Y + 1) (Y + 2) \u003d 10, I.E. Ձեւում

(Y2- 4) (Y2-1) \u003d 10 (10)

Biqueett- ի \u200b\u200bհավասարումը (10) ունի երկու արմատ: Հետեւաբար, հավասարումը (9) նույնպես ունի երկու արմատ.

4. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը, (11)

Որտեղ, չունի X \u003d 0 արմատը, հետեւաբար, հավասարումը (11) -ից X2- ը առանձնացնելով, մենք ստանում ենք համարժեք հավասարություն

Որը, անհայտը փոխարինելուց հետո, վերաշարադրեք քառակուսի հավասարման տեսքով, որի լուծումը դժվարություններ չի ներկայացնում:

Օրինակ 5. Լուծել հավասարումը

Որոշում Քանի որ H \u003d 0-ը հավասարման արմատը չէ (12), այնուհետեւ `այն X2- ին առանձնացնելով, մենք դրա համար համարժեք ենք համարժեք

Տեղադրելով անհայտ, մենք ստանում ենք հավասարություն (Y + 1) (Y + 1) \u003d 2, որն ունի երկու արմատ, Y1 \u003d 0 եւ Y1 \u003d -3: Հետեւաբար, նախնական հավասարումը (12) համարժեք է հավասարումների ամբողջությանը

Այս համադրությունը երկու արմատ ունի. X1 \u003d -1 եւ x2 \u003d -2:

Պատասխան, X1 \u003d -1, x2 \u003d -2:

Մեկնաբանություն Տեսակի հավասարումը

Որում միշտ կարող եք հանգեցնել մտքի (11) եւ, ավելին, հաշվարկելով α\u003e 0 եւ λ\u003e 0 ձեւի:

5. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

, (13) Այնպիսին, որտեղ թվերը, α, β, γ, δ եւ α են այնպիսին, որ αβ \u003d γδ ≠ 0-ը կարող է վերաշարադրել, առաջին փակագիծը երկրորդի հետ տեղափոխելով երկրորդը, իսկ երրորդը, չորրորդը, դրա տեսքով, IE հավասարումը (13) այժմ այն \u200b\u200bգրված է ձեւով (11), եւ դրա որոշումը կարող է իրականացվել այնպես, ինչպես հավասարման լուծումը (11):

Օրինակ 6. Լուծել հավասարումը

Որոշում Հավասարումը (14) ունի ձեւը (13), այնպես որ մենք վերաշարադրում ենք այն որպես

Քանի որ x \u003d 0-ը այս հավասարման լուծում չէ, այնուհետեւ `x2- ի երկու մասի հետ առանձնացնելով, մենք ստանում ենք բնօրինակ հավասարման համարժեք: Կատարել փոփոխականների փոխարինում, մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարություն, որի լուծումը է եւ: Հետեւաբար, նախնական հավասարումը (14) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ.

Այս ընդհանուր հավասարության առաջին հավասարման լուծումը է

Լուծումների այս փաթեթի երկրորդ հավասարումը չունի: Այսպիսով, նախնական հավասարումը արմատներ ունի x1 եւ x2:

6. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(15) Այնպիսին, որտեղ այդպիսին են A, B, C, Q- ները, այդպիսին են, չունեն արմատ x \u003d 0, հետեւաբար, հավասարումը (15) դեպի X2: Մենք ստանում ենք համարժեք հավասարություն, որը, անհայտը փոխարինելուց հետո, վերաշարադրեք քառակուսի հավասարման տեսքով, որի լուծումը չի ներկայացնում դժվարություններ:

Օրինակ 7. Հավասարության լուծում

Որոշում Քանի որ x \u003d 0-ը հավասարման արմատ չէ (16), այնուհետեւ `դրա երկու մասերը x2- ով առանձնացնելով, մենք ստանում ենք հավասարումը

(17) համարժեք հավասարություն (16): Ձեւաթուղթը վերաշարադրելու համար անհայտ, հավասարման (17) փոխարինում կատարելը

Քառակուսի հավասարումը (18) ունի 2 արմատ, U1 \u003d 1 եւ Y2 \u003d -1: Հետեւաբար, հավասարումը (17) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ (19)

Հավասարումների համադրությունը (19) ունի 4 արմատ,.

Դրանք կլինեն հավասարման արմատները (16):

§ Բանական հավասարումներ

Ձեւի հավասարումներ \u003d 0, որտեղ n (x) եւ q (x) բեւեռամաղներ են, որոնք կոչվում են ռացիոնալ:

Գտեք հավասարման h (x) \u003d 0, ապա անհրաժեշտ է ստուգել, \u200b\u200bթե դրանցից որն է հավասարման q (x) \u003d 0. Այս արմատները եւ միայն դրանք կլուծեն հավասարումը:

Դիտարկենք ձեւի հավասարումը լուծելու որոշ մեթոդներ \u003d 0:

1. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(1) Որոշ պայմաններում թվերը կարող են լուծվել հետեւյալ կերպ: Հավասարումների (1) երկու անդամների խմբավորումը եւ յուրաքանչյուր զույգ ամփոփելով, անհրաժեշտ է թվային թվով առաջին կամ զրոյական աստիճանի բազմամյա բեւեռներ ձեռք բերել, տարբերվում են միայն թվային գործոններով, նույն երկու ժամկետով `երեք մետրով Այնուհետեւ փոփոխականները փոխարինելուց հետո հավասարումը կամ կունենա նաեւ ձեւը (1), բայց ավելի փոքր թվով պայմաններով, կամ դա համարժեք կլինի երկու հավասարումների համադրությանը, որոնցից մեկը կլինի առաջին աստիճանը, եւ դրանցից մեկը Երկրորդը կլինի ձեւի հավասարումը (1), բայց ավելի փոքր թվով պայմաններով:

Օրինակ. Լուծել հավասարումը

Որոշում Վերջինների հետ հավասարման ձախ մասում ընկալումը (2) առաջին անդամը, իսկ երկրորդը `նախավերջին, վերաշարադրելով հավասարումը (2) ձեւով

Ամփոփելով յուրաքանչյուր փակագծի տերմիններում, վերաշարադրեք հավասարումը (3), ինչպես

Քանի որ չկա լուծման հավասարություն (4), ապա այս հավասարումը բաժանելով, մենք ստանում ենք հավասարումը

, (5) համարժեք հավասարություն (4): Մենք կփոխարինենք անհայտը, ապա հավասարումը (5) կվերեկշռի տեսքով

Այսպիսով, ձախ մասում հինգ ժամկետով հավասարման լուծումը կրճատվում է նույն տեսակների հավասարման (6) լուծույթով, բայց ձախ կողմում երեք տերմիններով: Ամփոփելով հավասարման ձախ մասում գտնվող բոլոր անդամներին (6), վերաշարադրեք այն տեսքով

Հավասարման լուծումներն են նաեւ: Այս թվերից ոչ մեկը չի հասնում զրոյի, հավասարության ձախ մասում (7) ռացիոնալ գործառույթի անվանում: Հետեւաբար, հավասարումը (7) ունի այս երկու արմատները, եւ, հետեւաբար, նախնական հավասարումը (2) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը

Այս ընդհանուր հավասարության առաջին հավասարման լուծումները

Երկրորդ հավասարման լուծումները այս տոտալությունից կա

Այսպիսով, նախնական հավասարումը արմատներ ունի

2. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(8) Որոշ պայմաններում թվերը կարող են լուծվել այսպիսին. Անհրաժեշտ է ամբողջ մասը հատկացնել հավասարման յուրաքանչյուր ֆրակցիաներից յուրաքանչյուրի մեջ, այսպես, փոխարինել հավասարումը (8)

Դա նվազեցնելու համար (1) եւ այնուհետեւ լուծել այն նախորդ պարբերությունում նկարագրված ձեւով:

Օրինակ. Լուծել հավասարումը

Որոշում Մենք գրում ենք հավասարումը (9) որպես կամ որպես

Ամփոփելով բաղադրիչները փակագծերում, վերաշարադրել հավասարումը (10), ինչպես

Անհայտ, վերաշարադրող հավասարման փոխարինում (11)

Ամփոփելով անդամներին հավասարման ձախ մասում (12), վերաշարադրեք այն որպես

Հեշտ է տեսնել, որ հավասարումը (13) ունի երկու արմատ: եւ. Հետեւաբար, նախնական հավասարումը (9) ունի չորս արմատ.

3) տեսակների հավասարումներ:

Թվերի որոշակի պայմաններում ձեւի հավասարումը (14) հավասարեցումը կարող է լուծվել այսպիսին. Debnomposition (եթե դա, իհարկե, հնարավոր է) յուրաքանչյուր մասի (14) մասում գտնվող ֆրակցիաներից յուրաքանչյուրը Ամենապարզ կոտորակները

Նվազեցնել հավասարումը (14) ձեւավորելու (1), այնուհետեւ ձեռք բերված հավասարման անդամների հարմարավետ վերադասավորումն իրականացնելը, 1-ին կետում նշված մեթոդով լուծելու համար:

Օրինակ. Լուծել հավասարումը

Որոշում Քանի որ եւ 2-ով յուրաքանչյուր խմբակցության համարը բազմապատկելը (15) 2-ով եւ նկատելով, որ այդ հավասարումը (15) կարող է գրվել որպես

Հավասարումը (16) ունի ձեւը (7): Այս հավասարման մեջ բաղադրիչների վերազինումը, վերաշարադրեք այն տեսքով կամ տեսքով

Հավասարումը (17) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ

Սահմանի երկրորդ հավասարումը (18) լուծելու համար մենք կփոխարինենք անհայտը, ապա այն վերաշարադրելու է ձեւով կամ ձեւով

Ամփոփելով հավասարման ձախ մասում գտնվող բոլոր անդամներին (19), վերաշարադրեք այն տեսքով

Քանի որ հավասարումը արմատ չունի, հավասարումը (20) նույնպես չունի:

Համախմբի (18) առաջին հավասարումը ունի միակ արմատը, քանի որ այս արմատը ներառված է հավաքածուի երկրորդ հավասարման OTZ- ում, ապա այն համախմբման միակ արմատն է (հետեւաբար, նախնական հավասարումը) ,

4. Դիտեք հավասարումները

Հավասարումը

(21) Որոշ պայմաններում `ձախ կողմում յուրաքանչյուր տերմինի ներկայացումից հետո, այն կարող է կրճատվել ձեւի (1):

Օրինակ. Լուծել հավասարումը

Որոշում Վերաշարադրել հավասարումը (22) որպես կամ որպես

Այսպիսով, հավասարումը (23) կրճատվում է ձեւի (1): Այժմ, առաջին անդամի խմբավորելով, իսկ երկրորդը, երրորդը, երրորդը, վերաշարադրել հավասարումը (23) ձեւով

Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ. (24)

Տոտալության վերջին հավասարումը (24) կարող է վերաշարադրվել որպես

Այս հավասարման լուծումներն են, եւ քանի որ այն ընդգրկված է հավաքածուի երկրորդ հավասարման OTZ- ում (30), ապա ագրեգատը (24) ունի երեք արմատ: Դրանք բոլորը բնօրինակ հավասարման լուծումներ են:

5. Տեսակների հավասարումներ:

Ձեւի հավասարումը (25)

Որոշ պայմաններում անհայտի թվերը կարող են կրճատվել տիպի հավասարման

Օրինակ. Լուծել հավասարումը

Որոշում Քանի որ դա հավասարման լուծում չէ (26), այնուհետեւ ձախ կողմում գտնվող յուրաքանչյուր բաժնի համարի քանակը եւ դավանանքը բաժանելը, վերաշարադրեք այն որպես

Փոփոխականների փոխարինումը դարձնելով հավասարումը (27) որպես

Լուծման հավասարումը (28) նույնպես է: Հետեւաբար, հավասարումը (27) համարժեք է հավասարումների լիարժեքությանը եւ. (29)

Հավասարումների օգտագործումը տարածված է մեր կյանքում: Դրանք օգտագործվում են բազմաթիվ հաշվարկներով, կառույցների եւ նույնիսկ սպորտի կառուցում: Անընդունության մեջ օգտագործված անձի հավասարումները եւ այդ ժամանակից ի վեր նրանց դիմումը միայն աճում է: Մաթեմատիկայում բոլոր գործակիցներով ավելի բարձր աստիճանի հավասարումները բավականին տարածված են: Այս տեսակի հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

Որոշեք հավասարման ռացիոնալ արմատները.

Քայքայվել է բազմամյա բազմապատկիչների վրա, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում.

Գտեք հավասարման արմատները:

Ենթադրենք, մեզ տրվում է հետեւյալ ձեւի հավասարումը.

Մենք գտնում ենք բոլոր իրական արմատները: Բազմապատկեք հավասարման ձախ եւ աջ մասերը \\

Կատարել փոփոխականների փոխարինում \\

Այսպիսով, մենք ստացանք չորրորդ աստիճանի տրված հավասարումը, որը լուծվում է ստանդարտ ալգորիթմի համաձայն. Մենք ստանում ենք բաժանարարներ, մենք իրականացնում ենք բաժին եւ արդյունքում մենք պարզում ենք, որ հավասարումը ունի երկու վավեր արմատներ եւ երկու համալիր: Մենք ստանում ենք մեր հավասարման հաջորդ պատասխանը չորրորդ աստիճանի համար.

Որտեղ կարող եմ լուծել առցանց լուծողի ամենաբարձր աստիճանի հավասարումը:

Դուք կարող եք լուծել հավասարումը մեր կայքում https: // կայք: Անվճար առցանց լուծիչը վայրկյանների ընթացքում կլուծի ցանկացած բարդության առցանց հավասարումը: Այն ամենը, ինչ դուք պետք է անեք, պարզապես մուտքագրեք ձեր տվյալները լուծի մեջ: Կարող եք դիտել նաեւ վիդեո հրահանգը եւ սովորել, թե ինչպես լուծել հավասարումը մեր կայքում: Եվ եթե ունեք հարցեր, կարող եք նրանց հարցնել մեր vkontakte խմբում http://vk.com/pocketteacher: Միացեք մեր խմբին, մենք միշտ ուրախ ենք օգնել ձեզ:

Նախադիտման ներկայացումներից օգտվելու համար ինքներդ ձեզ ստեղծեք հաշիվ (հաշիվ) Google եւ մուտք գործեք դրան, https://accounts.google.com

Սլայդների ստորագրություններ.

Ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներ (մեկ փոփոխականից բազմամյա արմատներ):

P lan դասախոսություն. № 1: Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ամենաբարձր աստիճանի հավասարումները: № 2: Բազմամյա ստանդարտ տեսակը: № 3. բազմամյա արմատները: Gorner սխեման: № 4. Պոլինոմի կոտորակային արմատները: № 5. Ձեւի հավասարումներ. (X + a) (x + c) (x + c) ... \u003d համարը 6. Վերադարձի հավասարումներ: Թիվ 7. Համազգեստի հավասարումներ: Թիվ 8. Անորոշ գործակիցների մեթոդ: 9. 9. Ֆունկցիոնալ - գրաֆիկական մեթոդ: Թիվ 10. Վիետայի բանաձեւերը `ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների համար: Թիվ 11. Ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդներ:

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում ամենաբարձր աստիճանի հավասարումները: 7-րդ դասարան: Բազմամյա ստանդարտ տեսակը: Գործողություններ բազմամոլների հետ: Բազմապատկերի վրա բազմամյա բազմապատկերի տարրալուծում: 42 ժամվա սովորական դասարանում, 56 ժամ հատուկ դասարանում: 8 հատուկ դաս: Լվիզիվի, բազմամյա բնակչության բաժանմունքի, վերադարձի հավասարումների, վերադարձի հավասարումների, ռեսուրսների հավասարումների, ռեսուրսների քանակի տարբերությունը, անորոշ գործակիցների մեթոդը: Yu.N. Makarychev «Լրացուցիչ գլուխներ դպրոցի դասընթաց 8-րդ դասի հանրահաշիվներ», M.L.Galitsky հանրահաշենքով առաջադրանքների հավաքածու 8 - 9-րդ դասարան: " 9 հատուկ դաս: Բազմամյա ռացիոնալ արմատներ: Ընդհանրացված վերադարձի հավասարումներ: Վիետայի բանաձեւերը `ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների համար: N.YA. Վիլենկինի հանրահաշիվ 9-րդ դասարան `խորը ուսումնասիրությամբ: 11 հատուկ դաս: Պոլինոմիալների ինքնությունը: Բազմամյա մի քանի փոփոխականներից: Ֆունկցիոնալ - ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման գրաֆիկական մեթոդ:

Բազմամյա ստանդարտ տեսակը: Polynomial p (x) \u003d a ⁿ x ⁿ + եւ P-1 x P-1 + ... + A₂H ² + A₁H + A₀. Կոչվում է ստանդարտ տեսակների բազմամոլություն: A P x ⁿ- ը Polynomial A P - գործակիցն է `բազմամոլի ավագ անդամի հետ գործակիցը: A P \u003d 1 p (x) կոչվում է վերը նշված բազմամյա: A ₀ - Polynomial P (x) անվճար անդամ: P - բազմաբնույթ աստիճանի:

Ամբողջ արմատները բազմամոլ են: Gorner սխեման: Թեորեմի թիվ 1. Եթե ամբողջ թիվ A- ն լոլինոմիայի p (x) արմատն է, ապա A- ն անվճար անդամ բաժանարար P (x) է: Օրինակ 1-ին: Որոշեք հավասարումը: X⁴ + 2x³ \u003d 11xx - 4x - 4 Մենք ներկայացնում ենք հավասարումը ստանդարտ ձեւին: X⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0. Մենք ունենք լոռոմիալ P (x) \u003d x ⁴ + 2 Free Member 1, ± 4: x \u003d 1 արմատային հավասարություն, քանի որ P (1) \u003d 0, x \u003d 2 արմատային հավասարություն, քանի որ P (2) \u003d 0-ի տեսակը: Bic ինոմիալ P (x) բաժանումի մնացորդը Bicacoon- ի (X - A) հավասար է P (ա): Պտտող Եթե \u200b\u200bա-ն պոլինոմիայի p (x) արմատն է, ապա p (x) բաժանված է (X - A): Մեր հավասարման մեջ p (x) այն բաժանված է (x - 1) եւ (x - 2), եւ, հետեւաբար, (x - 1) (x - 2): Երբ բաժանեք p (x) վրա (x ² - 3x + 2), պարզվում է, որ երեքնապես x ² + 5x + 2 \u003d 0 է, որն ունի արմատներ x \u003d (2)

Բռնցքամարտական \u200b\u200bարմատներ բազմամոլական: Թիվ 2 թիվ 2: Եթե \u200b\u200bP / G- ը Polynomial P (x) արմատն է, ապա P Free Member Divider- ը է, G- ն անդամակցության P (x) գործակիցի գործակիցը: Օրինակ թիվ 2. Որոշեք հավասարումը: 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Ազատ ժամկետով բաժանարարներ. ± 1, ± 2, ± 4, ± 8: Այս թվերից ոչ մեկը չի բավարարում հավասարումը: Արմատներ չկան: Ավագ անդամ P (X) գործակիցի բնական բաժանարարները. 1, 2, 3, 6. Հավասարության հնարավոր կոտորակային արմատներ. ± 2/3, 4/3, ± 8/3: Ստուգումը համոզված են, որ p (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 հավասարության արմատ: Ըստ եղջյուրի սխեմայի, մենք բաժանում ենք p (x) -ն (x - 4/3):

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: Որոշեք հավասարումներ. 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ \u003d x \u003d x - 1, x - 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, X⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 5 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - X - 0 4х³ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Պատասխաններ, 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ±± 2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -գոն; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; մեկը

Ձեւի հավասարումներ (x + a) (x + c) (x + c) (x + c) ... \u003d A. Օրինակ, թիվ 3: Որոշեք հավասարումը (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24: A \u003d 1, B \u003d 2, C \u003d 3, D \u003d 4 A + D \u003d B + C: Ես առաջին փակագիծը շրջում եմ չորրորդ եւ երկրորդի հետ երրորդի հետ: (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. Թող x ² + 5x + 4 \u003d y , ուրեմն (Y + 2) \u003d 24, u² + 2y - 24 \u003d 0 y₁ \u003d - 6, u₂ \u003d 4. x \u003d 4 \u003d 4. x ² + 5x + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, դ

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) 96 \u003d 0, x (x + 3) ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (X - 3) (x - 2) \u003d 24, (x - 3) ( X - 5) (x - 6) \u003d 1680, (x - 5x) (x + 3) (x - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, նշում, x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2) 20 \u003d (x) + 4) (x + 5) Պատասխաններ. 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -գոն; -4 ± √3:

Վերադարձի հավասարումներ: 1-ին սահմանում: Ձեւի հավասարումը. AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0-ը կոչվում է չորրորդ աստիճանի վերադարձի հավասարություն: 2-րդ սահմանում: Ձեւի հավասարումը. AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0- ը կոչվում է ընդհանրացված վերադարձված հավասարություն չորրորդ աստիճանի համար: K² A: A \u003d C²; SQ: B \u003d k. Օրինակ 6-րդ օրինակ: Որոշեք հավասարումը x ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. Մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը x: X ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Թող x + 1 / x \u003d Մենք հրապարակում ենք հավասարության երկու մասերը: x ² + 2 + 1 / x \u003d u², x ² + 1 / x \u003d u² - 2. Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարումը u² - 7U + 12 \u003d 0, 4. x + 1 / x \u003d 3 կամ x + 1 / x \u003d 4. Մենք ստանում ենք երկու հավասարում, X ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Օրինակ, 7-րդ օրինակ: 3x⁴ - 2x³ - 31x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (2) \u003d -5, (-5) \u003d \u003d 25. Ընդհանուր վերադարձի հավասարման պայմանը կատարվում է \u003d -5: Այն նման է անալոգավոր, օրինակ, թիվ 6: Մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը x: 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / X ²) - 2 (x - 5/ x) - 31 \u003d 0. Թող X - 5 / x \u003d Y, Մենք կառուցում ենք հավասարության երկու մասերը քառակուսի X ² - 10 + 25 / x \u003d u², x ² + 25 / x \u003d UQ² + 10. Մենք ունենք քառակուսի հավասարման 3ow - 1 \u003d 0, u₁ \u003d 1, U₂ \u003d - 1/3: x - 5/ x \u003d 1 կամ x - 5/ x \u003d -1/3: Մենք ստանում ենք երկու հավասարում, X ² - X - 5 \u003d 0 եւ 3x² + x - 15 \u003d 0

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 10xqm + 2x + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6,1 ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Պատասխաններ, 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2-ը

Միատեսակ հավասարումներ: Սահմանում: A₀ U³ + A₁ U₁ U² ₁ v₁₁ + + + A₃ V³ \u003d 0-ի ձեւի հավասարումը կոչվում է երրորդ կարգի համատարածքի հավասարեցում U- ի հետ: Սահմանում: A₀ U⁴ + A₁ U³V + A₂ U1 uv³ + A₄ V⁴ \u003d 0- ի ձեւի հավասարումը կոչվում է չորրորդ աստիճանի համասեռ հավասարումը U- ի հետ: Օրինակ, 8-րդ համարը: Որոշեք հավասարումը (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 երրորդ կարգի համազգեստի հավասարումը U \u003d x ² + 1, v \u003d x ²: Մենք բաժանում ենք հավասարման երկու մասերը x ⁶: Նախկինում ստուգված է, որ x \u003d 0 հավասարության արմատը չէ: (x - x + 1 / x ³) ³ + 2 (x - x + 1 / x) - 3 \u003d 0. (x - x + 1) / x ³) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 արմատային հավասարություն: Մենք բաժանում ենք պոլինոմիալ p (x) \u003d u³ + 2au - 3-ը y - 1-ը `ըստ լեռնային սխեմայի: Մասնավոր կերպով մենք ստանում ենք եռանկյուն, ինչը արմատ չունի: Պատասխան, 1.

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (X² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x + 1) ⁴ - 13xqm (x + 5) 5) ² + 36x⁴ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1) ⁴ - 5 (x -1) ⁴ - 5 (x -1) + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, պատասխաններ, 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± ±2; 3 ± √2, 5) Ոչ մի արմատ:

Անորոշ գործակիցների մեթոդ: Թիվ 3 թիվ: Երկու բազմամյա P (x) եւ g (x) նույնական են, եթե եւ միայն եթե նրանք ունեն նույն աստիճանի եւ գործակիցները, որոնք ունեն նույն աստիճանի փոփոխականի նույն աստիճաններով, հավասար են: Օրինակ 9-րդ օրինակ: DECISID- ը բազմապատկերի բազմապատկերի u⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1. u⁴ - 4u³ + 5U² - 4U + 1 \u003d (u ₁u + C) (₁ + C) (₁ + C) + u² (s₁ + c + v₁v) u (Sun ₁ + SV ₁) + SS ₁. Ըստ Թիվ 3-ի Թեորեմի, մենք ունենք հավասարումների համակարգ. ₁ + B \u003d -4, C + C + v₁b \u003d 5, Sun ₁ + SV ₁ \u003d -4, SS ₁ \u003d 1. Անհրաժեշտ է լուծել համակարգը ամբողջ թվերով: Integers- ի վերջին հավասարումը կարող է լուծումներ ունենալ. C \u003d 1, c₁ \u003d 1; C \u003d -1, s₁ \u003d -1: Թող C \u003d c ₁ \u003d 1, ապա մենք ունենք առաջին հավասարման \u003d -4-in- ի: Մենք փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ հավասարումը C² + 4B + 3 \u003d 0, B \u003d -1, V₁ \u003d -3 կամ B \u003d -3, v₁ \u003d -1: Այս արժեքները հարմար են համակարգի երրորդ հավասարման համար: Երբ c \u003d c ₁ \u003d -1 դ

Օրինակ, թիվ 10: Դա բազմամոլ է, որը քայքայվում է ³ - 5u + 2. u ³ -5u + 2 \u003d (u + a) (u + a) (U² + VO) \u003d \u200b\u200bu ³ + (a + c) u² + (AV + C) y + բարձրախոսներ: Մենք ունենք հավասարումների համակարգ, A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Հնարավոր է երրորդ հավասարման հնարավոր բոլոր լուծումները. (2; 1), (-2; -1) ), (-1; -2): Թող A \u003d -2, C \u003d -1: B \u003d 2 համակարգի առաջին հավասարման արդյունքում, ինչը բավարարում է երկրորդ հավասարումը: Այս արժեքները փոխարինելով ցանկալի հավասարության մեջ, մենք կստանանք պատասխանը. (Y - 2) (U² + 2-րդ - 1): Երկրորդ ճանապարհը: U ³ - 5u + 2 \u003d Y ³ -5U + 10 - 8 \u003d (Y ³ - 8) - 5 (Y - 2) \u003d (Y - 2) (u² + 2U):

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: Տարածեք բազմապատկերի բազմապատկիչների վրա. 1. U⁴ + 4U³ + 66 ² + 4U -8, 2. u⁴ - 4U³ + 7u² - 6u + 2, 4. 5. Որոշեք հավասարումը `օգտագործելով տարրալուծման մեթոդը բազմապատկիչների մեջ. Ա) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x + 5x³ -6x² \u003d 0. 2) (u² + 2U) (U² + 2U +4), 2) (Y - 1) ² (u² -2u + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (Y - 1) ) (u² - 4u + 5), 5 ա) ± 1; ±2, 5 բ) 0; մեկը

Ֆունկցիոնալ - ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման գրաֆիկական մեթոդ: Օրինակ, թիվ 11: Որոշեք հավասարումը x ⁵ \u200b\u200b+ 5x -42 \u003d 0. Գործառույթը y \u003d x ⁵ աճող, գործառույթը Y \u003d 42 - 5x նվազում է (դեպի

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: 1. Օգտագործելով գործառույթի միապաղաղության գույքը, ապացուցեք, որ հավասարումը ունի միակ արմատը եւ գտեք այս արմատը. Ա) x ³ \u003d 10 - x: Պատասխաններ, ա) 2, բ) √2: 2. Որոշեք հավասարումը `օգտագործելով ֆունկցիոնալ մեթոդը` գրաֆիկական մեթոդ, ա) x \u003d ³ √h, b) l x l \u003d ⁵h, գ) 2 \u003d 6 - x, դ) (1/3) \u003d x + 4, D) ( X - 1) ² \u003d Log₂ X, E) Log \u003d (x + ½) ², G) 1 - √h \u003d ln x, h) √h - 2 \u003d 9 / x: Պատասխաններ, ա) 0; ± 1, բ) 0; 1, գ) 2, դ) -1, ե) 1; 2, ե) ½, G) 1, H) 9:

Վիետայի բանաձեւերը `ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների համար: Թիվ 5 (Վիետա Թեորեմ): Եթե \u200b\u200bհավասանման կացինը + կացին + ... + A₁h + A₀- ն ունի տարբեր վավեր արմատներ x ₁, x ₂, ..., x, ապա նրանք բավարարում են հավասարությունները. A AH² + VX + C \u003d o : x ₁ + x ₂ \u003d -b / a, x₁h ₂ \u003d s / a; Խորանարդ հավասարման համար. ³ + a₂h ² + a₁h + a₀ \u003d O \u003d O: x ₁ + x + x ₃ \u003d -ա; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂h ₃ \u003d А₁ / А₃; x₁h₂h ₃ \u003d -a₀ / а₃; ... N- աստիճանի հավասարման համար `x ₁ + x ₂ + ... x \u003d - a / a, x₁x ₂ + x ₃ x ₃ + ..., xx \u003d A / A, ..., x ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ А₀ / A. Հակադարձ տեսակը կատարվում է:

Օրինակ №13: Գրեք խորանարդի հավասարումը, որի արմատները հակադարձվում են x ³ հավասարման արմատները x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, իսկ X ³ գործակիցը, 2. 1. Վիետայի, խորանարդի համար, մենք ունեն. x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁ ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂h ₃ \u003d 18. 2. Մենք կատարում ենք այդ արմատների եւ դրանց համար մենք օգտագործում ենք հակադարձ տեսականի արժեքներ Վիետա: 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂h ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3: 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂h ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3x ₃ \u003d 1/18: Մենք ստանում ենք հավասարումը x ³ + 2 / 3xqm + 1/3x - 1/18 \u003d 0 · 2 պատասխան, 2x³ + 4/3xqm + 2 / 3x -1/9 \u003d 0:

Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: 1. Գրեք խորանարդ հավասարություն, որի արմատները հակադարձում են x ³ հավասարման արմատների հրապարակները x ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, իսկ X ³ գործակիցը 8. Պատասխան է: Պատասխան, 8x³ - 98/9xqm + 28 / 9X -2/9 \u003d 0. Ավելի բարձր աստիճանի հավասարումների լուծման ոչ ստանդարտ մեթոդներ: Օրինակ, թիվ 12: Որոշեք x ⁴ -8x + 63 հավասարումը \u003d 0. Թեքեք գործոնների հավասարման ձախ մասը: Մենք կարեւորում ենք ճշգրիտ հրապարակները: X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x) (x² - 4x) + 7) \u003d 0. Երկու տարբերակիչները բացասական են: Պատասխան, ոչ արմատ:

Օրինակ 14 տարեկան: Որոշեք 21x³ + x - 5x - 1 \u003d 0. Եթե հավասարման ազատ անդամը ± 1 է, հավասարումը վերածվում է տվյալ հավասարության, փոխարինելով X \u003d 1 / Y: 21 / u³ + 1 / u² - 5 / y - 1 \u003d 0 u ³, Y ³ + 5U² - 21 \u003d 0. u \u003d3 root հավասարում: (IN + 3) (U² + 2-րդ -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2: x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, x₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 , Օրինակ, թիվ 15: Լուծեք հավասարումը 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Բազմապատկեք հավասարման երկու մասերը, 2-րդ 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0 (2x) -10 \u003d 28) ² + 14 (2x) -10 \u003d 0. Մենք ներկայացնում ենք նոր փոփոխական Y \u003d 2x, մենք ստանում ենք կրճատված հավասարումը ³ - 5u ² + 14U -10 \u003d 0, Y \u003d 1 Արմատ: (Y - 1) (u² - 4-րդ + 10) \u003d 0, դ

Օրինակ, թիվ 16: Ապացուցեք, որ x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0-ը ունի մեկ դրական արմատ: Թող F (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, F '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e O x\u003e o: F (x) գործառույթը ավելանում է X\u003e O- ում, իսկ F (o) արժեքը \u003d -2: Ակնհայտ է, որ հավասարումը ունի Ch.T.D- ի մեկ դրական արմատ: Օրինակ 17-րդ օրինակ: Որոշեք հավասարում 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Եթե 11-րդ դասարանի մաթեմատիկայի համար ստացողը: Կրթություն 1991 P90: 1. L x L 1 2x² - 1\u003e 1 եւ 8x⁴ -8x² + 1\u003e 2. Մենք կփոխարինենք x \u003d հարմարավետ, € (0; N): Y- ի մնացած արժեքներով X- ի արժեքները կրկնվում են, եւ հավասարումը չունի ավելի քան 7 արմատ: 2xqm - 1 \u003d 2 cos² - 1 \u003d COS2Y, 8x⁴ - 8xqm + 1 \u003d 2 (2xqm - 1) ² - 1 \u003d 2 cos²2y: 3. Հավասարումը ձեւավորում է 8 cosycos2ycos4y \u003d 1. Բազմապատկեք սին-ի հավասարման երկու մասերը: 8 sinycosycos2ycos4y \u003d siny. Կիրառելով կրկնակի անկյունի բանաձեւը, մենք ստանում ենք հավասարումը sin8y \u003d siny, sin8y - siny \u003d 0

Թիվ 17 օրինակի որոշման ավարտը: Մենք օգտագործում ենք sinus տարբերության բանաձեւը: 2 SIN7Y / 2 · COR9Y / 2 \u003d 0: Հաշվի առնելով դա € (0; P), y \u003d 2 հատ / 3, k \u003d 1, 2, 3 կամ Y \u003d N / 9 + 2PK / 9, k \u003d 0, 1, 2, 3. Վերադառնալով մենք Ստացեք պատասխան. COS2 P / 7, COS4 P / 7, COS6 P / 7, COS P / 9, ½, COS5 P / 9, COS7 P / 9: Օրինակներ ինքնադրսեւորման համար: Գտեք A- ի բոլոր արժեքները, որոնցում հավասարումը (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d եւ ունի երեք արմատ: Պատասխան, 9/16: Նշում. Հավասարության ձախ մասի գծապատկերը կառուցեք: F MAX \u003d F (0) \u003d 9/16: Ուղիղ y \u003d 9/16 հատում է գործառույթի գրաֆիկը երեք կետով: Որոշեք հավասարումը (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Պատասխան: -4; 2. Որոշեք հավասարումը (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Պատասխան: -5; -3: Որոշեք հավասարումը 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) \u003d 13 (x ³ - 1): Պատասխանը `-1; -1/2, 2; 4 Գտեք հավասարման վավեր արմատների քանակը x ³ - 12x + 10 \u003d 0 դեպի [-3; 3/2]: Նշում. Գտեք ածանցյալ եւ ուսումնասիրեք Monot- ը:

Օրինակներ ինքնուրույն լուծումների համար (շարունակություն): 6. Գտեք հավասարման վավեր արմատների քանակը x ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Պատասխան. 2 7. Թող x ₁, x ₂, x - - ro³³ theი roი ³ - 6xqm -15x + 1. Գտեք x₁₁ + x ₂₂ + x ₃₃: Պատասխան, 66. Նշում. Դիմեք Վիետա Թեորեմին: 8. Ապացուցեք, որ A\u003e O եւ կամայական նյութում x ³ + AA + B \u003d O- ն ունի միայն մեկ իրական արմատ: Նշում. Սահեցրեք ապացույցը տհաճից: Կիրառեք Վիետա Թեորեմը: 9. Որոշեք 2-րդ հավասարումը 2 (x ² + 2) \u003d 9 (x ³ + 1): Պատասխան: ½; մեկը; (3 ± √13) / 2. Նշում. Հավասարությունը տվեք միատարրին, օգտագործելով հավասարությունը x² + 2 \u003d x \u003d x - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x - x + 1): 10. Որոշեք x + y- ի հավասարումների համակարգը `x \u003d x \u003d 3ow - x \u003d u²: Պատասխան. (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2): 11. Որոշեք համակարգը. 4U² -3HU \u003d 2x -u, 5xqm - 3u² \u003d 4x - 2-րդ: Պատասխան. (O; O), (1; 1), (297/265; - 27/53):

Փորձարկում. 1 տարբերակ: 1. Որոշեք հավասարումը (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Որոշեք հավասարումը (x + 1) (x + 5) \u003d - 15) . 3. Որոշեք հավասարումը 12xqm (x - 3) + 64 (x - 3) \u003d x ⁴: 4. Որոշեք x ⁴ հավասարումը x ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Որոշեք տարիքի համակարգը. X ² + 2 ² - X + 2 - 6, 1.5xqm + 3 ² 12:

2 տարբերակ 1. (X ² - 4x) ² + 7 (x - 4x) + 12 \u003d 0. 2. X (x + 1) (x + 6) \u003d 24. 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4): 4. x ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. X - 2H + O² + 2xQM - 9 \u003d 0, տարբերակ: 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (X - 5) (X - 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. x4 + 8х² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ²: 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. X + U + x ² + in \u003d 18, HU + X ² + u² \u003d 19:

4 տարբերակ: (X ² - 2x) ² - 11 (X - 2x) + 24 \u003d օ. (X -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36: X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x): X⁴ - 6x³ + 7xqm - 6x + 1 \u003d 0. X² + 3 հա + usar \u003d - 1, 2xqm - 3h - 3U \u003d - 4. Լրացուցիչ առաջադրանք (X - X) 1) 4-րդ է, բաժանման մնացորդը (x + 1) 2-ն է, իսկ բաժանելիս (X - 2) 8-ը: Գտեք հաշվեկշիռը p (x) -ից (x ³ - 2x² - x + 2) ,

Պատասխաններ եւ հրահանգներ. 1-ին տարբերակի համարը. 2. Թիվ 3. Թիվ 3. 4. 5. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3: -Մեկը; -Մոռ; մեկը; 2. Համազգեստի հավասարություն. U \u003d x -3, v \u003d x² -2; -գոն; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3): Նշում. 1 · (3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6: -3 ± 2√3; - չորս; - 2. 1 ± √11; չորս; - 2. Համազգեստի հավասարություն. U \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13: (2; 1); (0; 3); (- երեսուն): Նշում. 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; չորս; 12 -3; -2; չորս; 12 -6; -3; -գոն; 2. Համազգեստ u \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7): Նշում, 2 -1: 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± ± ±3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2): Նշում, 1 · 4 + 2:

Որոշում լրացուցիչ առաջադրանք: Թեորեմի ցեխով. P (1) \u003d 4, p (1) \u003d 2, p (2) \u003d 8. p (x) \u003d g (x) (x ³ - 2) + Փոխարինող 1; - մեկ; 2. p (1) \u003d g (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (1) \u003d A - B + C \u003d 4, P (2) \u003d 4A² + 2V + C \u003d 8. Մենք ձեռք ենք բերում երեք հավասարումների արդյունքում լուծելը. A \u003d B \u003d 1, C \u003d 2. Պատասխան, X ² + X + 2:

Թիվ 1 - 2 միավոր: 1 միավորը մեկ հաշվարկային սխալ է: № 2,3,4 - 3 միավոր: 1 միավոր - հանգեցրեց քառակուսի հավասարման: 2 միավոր - մեկ հաշվիչ սխալ: 5. 5. - 4 միավոր: 1 միավոր - արտահայտեց մեկ փոփոխական, մյուսի միջոցով: 2 միավոր - ստացել է լուծումներից մեկը: 3 միավոր - մեկ հաշվարկային սխալ: Լրացուցիչ առաջադրանք. 4 միավոր: 1 միավոր - կիրառեց Mouture- ի տեսակը բոլոր չորս դեպքերի համար: 2 միավոր - հաշվարկվում է հավասարումների համակարգ: 3 միավոր - մեկ հաշվարկային սխալ:

Ավելի բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարությունների լուծման մեթոդներ:

Հաբիբուլինա Ալֆիա Յակուբովնա ,

mBOU SOSH №177 ամենաբարձր կարգի մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Կազան քաղաքներ, Թաթարստանի Հանրապետության վաստակավոր ուսուցիչ,

Մանկավարժական գիտությունների թեկնածու:

Սահմանում 1. Անվանի հանրահաշվական հավասարումը n P N- ի (x) \u003d 0, որտեղ p n (x) որակի հավասարության մակարդակը N, I.E: P N (x) \u003d A 0 x n + a 1 x n-1 + ... + A N-1 X + A N A 0:

Սահմանում 2. Արմատ Հավասարումներ `փոփոխական x թվային արժեքը, որը փոխարինում է, հավատարիմ հավասարություն է տալիս այս հավասարմանը:

Սահմանում 3. Որոշել Հավասարումը նշանակում է գտնել իր բոլոր արմատները կամ ապացուցել, որ դրանք չեն:

Ես Հետագա կրակոցով բազմապատկերի տարրալուծման մեթոդ.

Հավասարումը կարող է քայքայվել բազմապատկիչների վրա եւ լուծել ջախջախիչ մեթոդը, այսինքն, կոտրելով փոքր աստիճանի հավասարումների շարքը:

ՄեկնաբանությունԸնդհանրապես, հավասարումը ջախջախելով, մենք չպետք է մոռանանք, որ արտադրանքը զրո է, եւ միայն այն դեպքում, եթե միայն բազմապատկողները զրոյական են, իսկ մյուսները պահպանում են իմաստը:

Բազմապատկիչների բազմամենցիայի տարրալուծման ուղիները:

1. Փակագծերի համար ընդհանուր գործոն հեռացնելը:

2. Քառակուսի նապաստլեն կարող է տարրալուծվել բազմապատկերի հետ Բանաձեւեր 2 + Wx + c \u003d a (x-x 1 ) (xh 2 ), Որտեղ եմ 0, x 1 եւ x 2 - քառակուսի եռաստիճան արմատներ:

3. Թեթլ Կրճատ բազմապատկման բանաձեւեր :

a N - N \u003d (A - C) (եւ N-1 + CN-2 A N-2 B + CN-3 A N-3 B + ... + C 1 A N-2 + in N-2- ում N-2- ում N-2) 1), Ն. Ն.

Ամբողջ հրապարակի ընտրություն. Բազմամյակը կարող է քայքայվել քառակուսի տարբերության բանաձեւի միջոցով օգտագործող բազմապատկիչների վրա, նախապես կարեւորել արտահայտությունների գումարի կամ տարբերության ամբողջական քառակուսին:

4. Խմբավորում (Զուգակցված փակագծերի հետեւում սովորական գործոնի փոխանցման հետ):

5. Օգտագործելով թեորեմի ազդեցությունը.

1) Եթե 0 x n + a 1 x n-1 + հավասարումը ... + A N-1 X + A N \u003d 0, A 0 0 C ամբողջ գործակիցներն ունեն ռացիոնալ արմատ X 0 \u003d (Որտեղ - անկայուն կոտորակ, էջ
Գ.
), ապա P- ի անվճար տերմինի համաձայն, եւ Q- ն ավագ գործակիցի բաժանմունքն է:

2) Եթե x \u003d x 0 հավասարման p n (x) \u003d 0, ապա p n (x) \u003d 0 համարժեք է հավասարմանը

(x - x 0) p n-1 (x) \u003d 0, որտեղ r n-1 (x) բազմամյա է, որը կարելի է գտնել բաժանում

P N (x) -ում (x - x 0) «անկյուն» կամ անորոշ գործակիցների մեթոդով:

II. , Նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդ (փոխարինում )

Դիտարկենք հավասարումը f (x) \u003d g (x): Այն համարժեք է հավասարմանը F (x) -G (x) \u003d 0. Նշել տարբերությունը F (x) -G (x) \u003d H (p (x)), եւ
, Ներկայացնում ենք փոխարինող T \u003d p (x) (գործառույթը T \u003d p (x) կոչվում է փոխարինում ): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք հավասարումը h (p (x)) \u003d 0 կամ H) \u003d 0, լուծելով վերջին հավասարումը, մենք գտնում ենք T 1, t 2, ... Վերադառնալով փոխարինող P (x) \u003d t 1, P (x) \u003d t 2, ..., գտեք փոփոխական x- ի արժեքները:

III Խիստ միապաղաղության մեթոդ:

Թեորեմ: Եթե \u200b\u200by \u003d f (x) խստորեն Monotonne- ն է մեկ p- ի համար, ապա հավասարումը F (x) \u003d A (A - Const) սահմանված է ոչ ավելի, քան մեկ արմատ: (Գործառույթը խիստ միապաղաղ է. Կամ միայն նվազում կամ միայն աճում է)

Մեկնաբանություն Կարող եք օգտագործել այս մեթոդի փոփոխությունը: Դիտարկենք հավասարումը f (x) \u003d g (x): Եթե \u200b\u200bY \u003d F (x) գործառույթը նվազում է միապաղաղ, իսկ գործառույթը y \u003d g (x) միօրինակվում է p (կամ հակառակը), քան մեկ root հավասարումը F (x) \u003d g (x) Հավաքածուի վրա:

IV. Հավասարության երկու մասերի արժեքների համեմատության մեթոդ (գնահատման մեթոդ)

Թեորեմ Եթե \u200b\u200bսահմանված էջից որեւէ x- ի համար կատարվում են F (X) անհավասարությունները Ա, եւ Գ (X) a, ապա սահմանված P (x) հավասարումը f (x) \u003d P կետի վրա համարժեք է համակարգին
.

Անառակ: Եթե հավաքածուի վրա p
կամ
, Հավասարումը f (x) \u003d g (x) արմատներ չունի:

Այս մեթոդը բավականին արդյունավետ է տրանսցենդենտալ հավասարումների լուծման գործում:

Վ. Ծայրահեղ գործակիցների բաժանմունքի մարման եղանակը

Դիտարկենք 0 x n + a 1 x n-1 հավասարումը + ... + A N-1 X + A N \u003d 0

Թեորեմ: Եթե \u200b\u200bx 0 \u003d - N- ի հանրահաշվական հավասարման արմատը, եւ ես ամբողջ թվով գործակիցներն եմ, ապա P Free Member Divider- ը A N- ն է, իսկ Q ավագ գործակիցը `A 0-ի դիլերային գործակիցը: A 0 \u003d 1 x 0 \u003d P (Free Member Divider):

Անառակ Թեորեմներ. Եթե x 0-ը հանրահաշվական հավասարման արմատն է, ապա PN (x) բաժանված է (x - x 0) առանց մնացորդի, այսինքն (x - x) q (x) ,

Vi Անորոշ գործակիցների մեթոդ:

Այն հիմնված է հետեւյալ մեղադրանքների վրա.

Երկու բազմաբեւեռը նույնականորեն հավասար է, եւ միայն այն դեպքում, եթե նրանց գործակիցները հավասար են նույն աստիճանի X- ի հետ:

Երրորդ կարգի ցանկացած բազմամյա քայքայվում է երկու բազմապատկիչների աշխատանքի մեջ `գծային եւ հրապարակ:

Չորրորդ աստիճանի ցանկացած բազմամյա քայքայվում է երկու բազմամյա աշխատանքների մեջ

երկրորդ աստիճանը:

VII. Gorner սխեման .

Քաղաքի Ալգորիթմի գործակիցի օգնությամբ ընտրությունը անվճար անդամների բաժանարարների շարքում հավասարման արմատներն են:

VIII. , Ածանցյալ մեթոդ:

Թեորեմ: Եթե \u200b\u200b2 Polynomials P (x) եւ q) ունեն նույնականորեն հավասար ածանցյալներ, ապա կա այնպիսի հիմք, որ p (x) \u003d q (x) c for X. Ռ.

Վեզեմ, Եթե
(x) եւ
(x) բաժանված են
Շոշափել
(x) բաժանված է
.

Անառակ: Եթե
(x) եւ
(x) բաժանվում են բազմամյա R (x), ապա
(x) բաժանված է (x), եւ բազմամոլների ամենամեծ ընդհանուր բաժանմունքը
(x) եւ
(x) ունի արմատներ, որոնք միայն բազմամյա արմատներն են
(x) առնվազն 2-ի բազմապատկում:

Ix , Սիմետրիկ, վերադարձի հավասարումներ .

Սահմանում, Հավասարումը 0 x n + a 1 x n-1 + ... + A N-1 X + A N \u003d 0 զանգահարեց Սիմետրիկ , Եթե

1. Դիտարկենք գործը, երբ N-even, n \u003d 2k: Եթե
, ապա x \u003d 0-ը հավասարման հիմքը չէ, ինչը իրավունք է տալիս բաժանել հավասարումը

0
+
+
+\u003d 0 Մենք ներկայացնում ենք փոխարինող T \u003d
եւ, հաշվի առնելով լեմման, որոշելով քառակուսի հավասարումը `համեմատության հետ T. Հակադարձ փոխարինումը լուծում կտա փոփոխական x- ի համեմատ:

2. Դիտարկենք գործը, երբ N- տարօրինակ, n \u003d 2k + 1: Ապա \u003d -1 հավասարության արմատն է: Մենք հավասարումը բաժանում ենք ելնելով
Եվ մենք ստանում ենք գործը 1 .. Հետադարձը թույլ է տալիս գտնել արժեքներ x: Նկատի ունեցեք, որ M \u003d -1- ում հավասարումը կոչվում է վերափոխելով հանրահաշվական հավասարումը p n (x) \u003d 0 (որտեղ p n (x) աստիճանի լոռոմատ է F (x) \u003d g ( x): Մենք ստեղծում ենք գործառույթները y \u003d f (x), y \u003d g (x); Մենք նկարագրում ենք դրանց հատկությունները եւ գծապատկերներ կառուցում մեկ համակարգված համակարգում: Խաչմերուկային կետերի անբավարարությունները կլինեն հավասարման արմատները: Ստուգումը կատարվում է փոխարինմամբ `նախնական հավասարմանը:

Ընդհանուր առմամբ, 4-ից բարձր աստիճանի հավասարումը չի կարող լուծվել արմատականներով: Բայց երբեմն մենք դեռ կարող ենք գտնել բարձր մակարդակի հավասարման հավասարության մեջ գտնվող լոռինոմիալ ոտքի արմատները, եթե մենք այն ներկայացնում ենք ոչ ավելի, քան 4-րդ աստիճանի բեւեռամյալի արտադրանքի տեսքով: Նման հավասարումների լուծումը հիմնված է բազմապատկերի բազմամենցիաների տարրալուծման վրա, ուստի մենք խորհուրդ ենք տալիս կրկնել այս թեման նախքան այս հոդվածը սովորելը:

Ամենից հաճախ ստիպված են գործ ունենալ բոլոր գործակիցներով ավելի բարձր աստիճանի հավասարումներով: Այս դեպքերում մենք կարող ենք փորձել գտնել ռացիոնալ արմատներ, այնուհետեւ քայքայվել բազմամյա բազմապատկիչ, որպեսզի այն վերածվի ավելի ցածր աստիճանի հավասարության, որը պարզապես կորոշի: Որպես այս նյութի մաս, մենք կքննարկենք հենց նման օրինակներ:

Ամենաբարձր աստիճանի հավասարումները `ամբողջ գործակիցներով

Բոլոր հավասարումները, որոնք ունեն n x n + a n - 1 x n - 1 +: , , + A 1 x + a 0 \u003d 0, մենք կարող ենք հանգեցնել նույն չափի հավասարման, օգտագործելով երկու մասի բազմապատկումը երկու մասի կողմից `N N N - 1-ի կողմից եւ փոխարինելով Y \u003d A N X- ի ձեւի փոփոխականը:

a N X N + A N - 1 x N - 1 +: , , + A 1 x + a 0 \u003d 0 ann · xn + an - 1 · Ann - 1 · Xn - 1 + ... + 1 · (an) n - 1 · x + a 0 (1) N - 1 \u003d 0 y \u003d անհանգստություն ⇒ yn + bn - 1 yn - 1 + ... + B 1 Y + B 0 \u003d 0

Այն գործակիցները, որոնք պարզվել են վերջում, նույնպես ամբողջական կլինեն: Այսպիսով, մենք պետք է լուծենք N-Proep- ի տվյալ հավասարումը ամբողջ թվով գործակիցներով, որոնք ունեն x n + a n x n - 1 + ... 1 x + a 0 \u003d 0:

Հաշվարկել հավասարման ամբողջ արմատները: Եթե \u200b\u200bհավասարումը ունի ամբողջ արմատներ, ապա պետք է նրանց փնտրեք անվճար 0 տերմինի բաժանարարների շարքում: Մենք դրանք գրում ենք ներքեւ, եւ մենք իր հերթին կփոխարինի նախնական հավասարության, ստուգելով արդյունքը: Հենց մենք ստացանք ինքնություն եւ գտավ հավասարման արմատներից մեկը, մենք կարող ենք գրել այն x - x 1 · p n - 1 (x) \u003d 0: Այստեղ x 1-ը հավասարման արմատն է, իսկ p n - 1 (x) մասնավոր է բաժանել x n + a n x n - 1 + A 1 x - x 1:

Մենք փոխարինում ենք մնացած լիցքաթափված բաժանարարներին p n - 1 (x) \u003d 0-ում, սկսած X 1-ից, քանի որ արմատները կարող են կրկնվել: Ինքնությունը ստանալուց հետո X 2 արմատը համարվում է հայտնաբերված, եւ հավասարումը կարող է գրվել ձեւով (x - x 1) (x - x) \u003d 0. pn - 2 (x) մասնավոր կլինի Pent որջի բաժանումից `1 (x) -ից x - x - x 2:

Մենք շարունակում ենք անցնել բաժանարարների միջով: Մենք գտնում ենք բոլոր ամբողջ արմատները եւ նշում դրանց թիվը որպես մ: Դրանից հետո նախնական հավասարումը կարող է ներկայացվել որպես x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0: Այստեղ p n - m (x) բեւեռամյա N - աստիճանի աստիճան է: Հաշվարկի համար հարմար է օգտագործել Horner Schema- ն:

Եթե \u200b\u200bմեր նախնական հավասարումը ունենա ամբողջ գործակիցներ, մենք չենք կարող բերել կոտորակային արմատների:

Վերջիվերջո մենք ստացանք 1-ի հավասարումը p n - m (x) \u003d 0, որի արմատները կարելի է գտնել ցանկացած հարմար եղանակով: Դրանք կարող են լինել իռացիոնալ կամ բարդ:

Եկեք ցուցադրենք հատուկ օրինակով, քանի որ լուծման սխեման է դիմում:

Օրինակ 1.

Վիճակը: Գտեք x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - x \u003d 0-ի հավասարման լուծույթը:

Որոշում

Սկսենք ամբողջ արմատների արդյունքներից:

Մենք ունենք անվճար անդամ, որը հավասար է մինուս երեքին: Նա ունի բաժանարարներ 1, - 1, 3 եւ - 3: Նրանց փոխարինեք բնօրինակ հավասարմանը եւ տեսնենք, թե նրանցից որն է կտրվի ինքնությունը:

X- ի համար հավասար է մեկին, մենք ստանում ենք 1 4 + 1 3 + 2 - 1 - 1 - 3 \u003d 0, նշանակում է, որ միավորը կլինի այս հավասարման արմատը:

Այժմ մենք կկատարենք սյունակում պոլինոմիալ x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - x- ի ստորաբաժանումները:

Այսպիսով, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3:

1 3 + 2 + 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 + 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

Մենք ինքնություն ունեինք, նշանակում է, որ մենք գտել ենք հավասարման մեկ այլ արմատ 1-ին:

Մենք բաժանում ենք սյունակային x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3-ը (x + 1) սյունակում.

Մենք դա ստանում ենք

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x +) 3)

Հաջորդ բաժանարարին փոխարինում ենք հավասարության x 2 + x + 3 \u003d 0, սկսած - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Վերջում ձեռք բերված հավասարությունը սխալ կլինի, նշանակում է, որ հավասարությունն այլեւս չունի ամբողջ արմատները:

Մնացած արմատները կլինեն x 2 + x + 3 արտահայտության արմատները:

D \u003d 1 2 - 4 · 1 3 \u003d - 11< 0

Դրանից հետեւում է, որ այս քառակուսի երեք կետլիկները վավեր արմատներ չկան, բայց կա համակողմանի կոնյուկատ, x \u003d - 1 2 ± i 11 2:

Մենք նշելու ենք, որ սյունակում բաժանվելու փոխարեն կարող եք օգտագործել հրացանի սխեման: Դա արվում է այսպես. Այն բանից հետո, երբ մենք հայտնաբերել ենք հավասարման առաջին արմատը, լրացրեք աղյուսակը:

Գործակիցի աղյուսակում մենք կարող ենք անմիջապես տեսնել անհատի գործակիցները բնությունից բաժանարարներից, նշանակում է, որ x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x 3 + 2 x 3 x 3 + 3:

Հաջորդ արմատը գտնելուց հետո `1-ին, 1-ին, մենք ստանում ենք հետեւյալը.

Պատասխան: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± I 11 2:

Օրինակ 2.

Վիճակը: Որոշեք x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0:

Որոշում

Անազատություն ունի 1, - 1, 2, - 2, 3, - 4, 6, 6, 12, 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, 6, - 12, - 12, - 12, - 12, - 12, - 6, - 12, - 12:

Ստուգեք դրանք կարգով.

1 4 - 1 3 - 5 + 12 \u003d 7 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0

Այսպիսով, x \u003d 2-ը կլինի հավասարման արմատը: X - 2-ի վրա մենք բաժանեցինք X 4 - x 3 - 5 x 2 + 12, օգտագործելով հրացանի սխեման.

Արդյունքում մենք ստանում ենք X - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0:

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Այնպես որ, 2-ը նորից կլինի արմատը: Մենք բաժանեցինք x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0-ից x - 2:

Արդյունքում մենք ձեռք ենք բերում (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0:

Մնացած բաժանարարների ստուգումը իմաստ չունի, քանի որ հավասարությունը x 2 + 3 x + 3 \u003d 0-ն ավելի արագ եւ հարմար է `խտրականության օգնությամբ լուծելու համար:

Հիանալի քառակուսի հավասարումը.

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

Մենք ստանում ենք համապարփակ կապակցված զույգ արմատներ. X \u003d - 3 2 ± I 3 2:

Պատասխան: x \u003d - 3 2 ± i 3 2:

Օրինակ 3.

Վիճակը: Գտեք x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 վավեր արմատներ:

Որոշում

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

Մենք կատարում ենք հավասարման երկու մասի 2 3-ի ծառահատումները.

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 + 4 + 2 3 3 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0

Մենք փոխարինում ենք փոփոխականները y \u003d 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0

Արդյունքում մենք ունեինք ստանդարտ հավասարություն 4-րդ, որը կարող է լուծվել ըստ ստանդարտ սխեմայի: Մենք ստուգում ենք բաժանարարները, մենք արդյունքում բաժանվում եւ ստանում ենք, որ այն ունի 2 վավեր արմատներ Y \u003d - 2, Y \u003d 3 եւ երկու բարդ: Որոշումն ամբողջությամբ այստեղ, մենք չենք առաջնորդի: Այս հավասարման վավեր արմատներով փոխարինման շնորհիվ, x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 եւ x \u003d Y 2 \u003d 3 2-ը կլինի x \u003d 3 2:

Պատասխան: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Եթե \u200b\u200bտեքստում սխալ եք նկատում, ընտրեք այն եւ սեղմեք Ctrl + Enter