Տիեզերքում ուղիղ երկուսի համար հնարավոր է չորս դեպք.

Ուղիղ համընկնում;

Ուղիղ զուգահեռ (բայց մի համընկնում);

Ուղղակի խաչմերուկ;

Ուղիղ խաչ այն, ես: Չունեն ընդհանուր կետեր եւ ոչ զուգահեռ:

Դիտարկենք ուղիղ նկարագրելու երկու եղանակ. Կանոնագրական հավասարումներ եւ ընդհանուր հավասարումներ, Թող ուղիղ տողերը սահմանվեն Canonical Cones- ի կողմից.

L 1: (x - x 1) / l 1 \u003d (y - y 1) / m 1 \u003d (Z - Z 1) / N 1, L 2: (X - X 2) / (Y - Y 2) / մ 2 \u003d (Z - Z 2) / N 2 (6.9)

Իր կանոնական հավասարումների յուրաքանչյուր ուղիղ գծի համար մենք անմիջապես որոշում ենք դրա կետը M 1 (x 1; y 1; ∈ l 1, m 2 (x 2; y 2; ∈ l 2 եւ կոորդինատներ) Ուղեցույցի վեկտորների S 1 \u003d (L 1; M 1; N 1) համար L 1, S 2 \u003d (L 2; M 2; N 2) համար l 2- ի համար:

Եթե \u200b\u200bուղիղ համընկնում կամ զուգահեռ, նրանց ուղեցույցներ S 1 եւ S 2 Collinear Bear- ը, որը համարժեք է այդ վեկտորների համակարգված հարաբերությունների հավասարությանը.

l 1 / L 2 \u003d M 1 / M 2 \u003d N 1 / N 2: (6.10)

Եթե \u200b\u200bուղիղ համընկնում է, կոլինեյի եւ վեկտորի M 1 M- ի ուղեցույցի վեկտորները.

(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (Z 2 - Z 1) / N 1: (6.11)

Այս կրկնակի հավասարությունը նաեւ նշանակում է, որ 2-րդ կետը պատկանում է ուղիղ գծին L 1-ին: Հետեւաբար, ուղիղ գծերի համընկնումը միաժամանակ հավասարությունների (6.10) եւ (6.11) իրականացումն է:

Եթե \u200b\u200bուղիղ խաչմերուկը կամ խաչը, նրանց ուղեցույցի վեկտորները նեոլլի գծային են, այսինքն: Խախտվում է պայմանը (6.10): Ուղղակի ընկած հատվածը նույն ինքնաթիռում եւ, հետեւաբար, Վեկտորներ S 1, s 2 եւ m 1 մ 2-ն են ՄիջինԵրրորդ կարգի որոշիչկազմվել են դրանց կոորդինատներից (տես 3.2).

Վիճակը (6.12) իրականացվում է չորս չորս գործով, քանի որ δ ≠ 0-ում ուղիղ գծերը չեն պատկանում նույն ինքնաթիռին եւ, հետեւաբար, խաչ:

Մենք միասին կնվազեցնենք բոլոր պայմանները.

Ուղղակի փոխադարձ դիրքը բնութագրվում է համակարգից լուծումների քանակով (6.13): Եթե \u200b\u200bուղիղը նույնն է, համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի: Եթե \u200b\u200bուղղակի հատվում է, ապա այս համակարգը ունի մեկ լուծում: Այնտեղ զուգահեռ կամ անցնելու դեպքում ուղղակի լուծումներ: Վերջին երկու դեպքերը կարելի է բաժանել, եթե ուղիղ վեկտորները ուղղակի լինեն: Դա անելու համար բավական է երկուսը հաշվարկել Վեկտորի արվեստ N 1 × N 2 եւ N 3 × N 4, որտեղ n i \u003d (a i; b i; c i), i \u003d 1, 2, 3.4. Եթե \u200b\u200bարդյունքում ստացված վեկտորները կոլինեն են, ապա տվյալներն ուղղակիորեն զուգահեռ են: Հակառակ դեպքում նրանք հատում են:

Օրինակ 6.4.

Ուղեցույցի վեկտորի S 1 ուղիղ L 1-ը հայտնաբերվում է այս ուղիղի կանոնական հավասարումների համաձայն. S 1 \u003d (1; 3; -2): Ուղեցույցի վեկտոր S 2 ուղիղ L 2 հաշվարկը `օգտագործելով նորմալ ինքնաթիռների վեկտորների վեկտորային արտադրանքը, որի խաչմերուկը հետեւյալն է.

Քանի որ S 1 \u003d -s 2-ը, ապա ուղղակի զուգահեռ կամ համընկնում: Այսպիսով, այս իրավիճակներից որ մեկն է իրականացվում ուղղակի տվյալների համար: Դա անելու համար մենք փոխարինում ենք M 0 (1; 2; -1) կետի կոորդինատներին ընդհանուր հավասարումների մեջ, ուղիղ l 2: Առաջինի համար մենք ստանում ենք 1 \u003d 0. Հետեւաբար, 0-րդ կետը չի պատկանում ուղիղ L 2-ին, եւ ուղղակիորեն համարվող ուղղակիորեն զուգահեռ:

Անկյունը ուղիղ, Երկուսի միջեւ ընկած անկյունը կարելի է գտնել օգտագործելով Ուղեցույց վեկտորներ ուղիղ Ուղղակի միջեւ սուր անկանգը հավասար է անկյունին իրենց ուղեցույցի վեկտորների միջեւ (Նկար 6.5) կամ դրա համար լրացուցիչ է, եթե ուղեցույցի վեկտորների միջեւ անկյունը հիմար է: Այսպիսով, եթե նրանց ուղեցույցի վեկտորները S X եւ S 2-ը հայտնի են L 1 եւ L 2-ով, այս ուղիղի միջեւ կտրուկ անկյունը որոշվում է սկավառակի միջոցով.

cosφ \u003d | S 1 S 2 | / | S 1 || s 2 |

Օրինակ, թող s \u003d (l i; m i; n i), i \u003d 1, 2. Հաշվարկելու համար բանաձեւեր (2.9) եւ (2.14) օգտագործումը Երկարության վեկտոր եւ Scalar աշխատանքը կոորդինատներում

Այս հոդվածում մենք մանրամասն կանդրադառնանք երկրաչափության հիմնական հասկացություններից մեկի վրա `ինքնաթիռում ուղիղ գծի հայեցակարգի վրա: Նախ, մենք կսահմանենք հիմնական պայմաններն ու նոտաները: Հաջորդը, մենք կքննարկենք ուղիղ եւ կետի փոխադարձ դիրքը, ինչպես նաեւ երկուսը ուղիղ ինքնաթիռում, մենք տալիս ենք անհրաժեշտ աքսիոմներ: Եզրափակելով, հաշվի առեք ինքնաթիռը ուղղորդելու ուղիները եւ գրաֆիկական նկարազարդումներ տալ:

Նավիգացիոն էջ:

Ուղղակի ինքնաթիռում հայեցակարգ է:

Նախքան ինքնաթիռի ուղիղ հասկացությունը տալը, դուք պետք է հստակ պատկերացնեք, թե որն է ինքնաթիռը: Ինքնաթիռի դիտում Թույլ է տալիս ձեզ ստանալ, օրինակ, տան սեղանի կամ պատի հարթ մակերեսը: Այնուամենայնիվ, պետք է հաշվի առնել, որ սեղանի չափը սահմանափակ է, եւ ինքնաթիռը երկարաձգվում է եւ անսահմանության մեջ այս սահմաններից դուրս (ասես մենք կամայական մեծ սեղան ունենք):

Եթե \u200b\u200bլավ սրված մատիտ եք վերցնում եւ հպեք այն գավազանով «սեղանի» մակերեսին, ապա մենք կստանանք կետի պատկեր: Այսպիսով մենք ստանում ենք Տեսանկյունից ինքնաթիռի վրա.

Հիմա կարող եք գնալ Ինքնաթիռում ուղիղ գծի հայեցակարգը.

Ներդրեք սեղանի մակերեսին (ինքնաթիռի վրա) մաքուր թղթի թերթիկ: Ուղիղ գիծ պատկերելու համար մենք պետք է ընդունենք տիրակալ եւ մատիտի գիծ վարենք այնքան, որքան թույլ է տալիս կատարել օգտագործված գծի եւ թղթի չափը: Հարկ է նշել, որ այս կերպ մենք միայն ստանում ենք ուղիղի մի մասը: Ուղղակի գիծը լիովին ձգվում է անսահմանության մեջ, մենք միայն պատկերացնում ենք:

Ուղղակի եւ կետի փոխադարձ պայմանավորվածություն:

Պետք է սկսել Axioms- ից. Յուրաքանչյուր ուղղակի եւ յուրաքանչյուր ինքնաթիռում կան միավորներ:

Միավորները ձեռնարկվում են լատինական մեծ տառեր նշելու համար, օրինակ, միավորներ եւ զ. Իր հերթին, ուղիղ գծերը նշում են փոքր լատինական տառերը, օրինակ, ուղիղ եւ դ.

Հնարավոր է Ինքնաթիռում ուղղակի եւ կետի սահմանափակման երկու տարբերակԿամ կետը կայանում է ուղիղ գծի վրա (այս դեպքում նրանք նաեւ ասում են, որ ուղիղ անցնում է կետի միջով), կամ կետը չի ստում ուղիղ կամ ուղղակիորեն, չի պատկանում անցնել կետի միջով):

Տես մի կետի պատկանելիությանը, որոշ ուղղակի օգտագործում են «» խորհրդանիշը: Օրինակ, եթե կետը ուղիղ է, ապա կարող եք գրել: Եթե \u200b\u200bկետը եւ չի պատկանում A տողին, ապա գրեք:

Հետեւյալ հայտարարությունը ճիշտ է. Two անկացած երկու կետի միջոցով կա մեկ ուղիղ գիծ:

Այս հայտարարությունը աքսիոմ է, եւ այն պետք է ընդունվի որպես փաստ: Բացի այդ, միանգամայն ակնհայտ է. Մենք նշում ենք թղթի վրա երկու կետ, մենք նրանց համար կառավարում ենք տիրակալ եւ ուղիղ գիծ ենք ծախսում: Ուղղակի, անցնելով երկու հենակետերի միջոցով (օրինակ, A- ի եւ B կետերի միջոցով) կարելի է նշել երկու տառերով (մեր դեպքում, ուղիղ AV կամ VA):

Պետք է հասկանալ, որ ինքնաթիռում նշված ուղղակիորեն անսահման տարբեր կետեր կան, այս բոլոր կետերը գտնվում են նույն ինքնաթիռում: Այս հայտարարությունը սահմանվում է Axiom- ի կողմից. Եթե երկու կետի ուղղակիորեն ստում են ինչ-որ ինքնաթիռում, ապա այս ինքնաթիռում այս ուղիղ գծի բոլոր կետերը:

Բոլոր կետերի հավաքածուն, որը գտնվում է երկու ուղղորդված կետերի միջեւ, այս կետերի հետ միասին Ուղիղ կտրեք կամ պարզապես Կտրել, Միավորները, որոնք սահմանափակում են հատվածը, կոչվում են հատվածի հատվածներ: Սեգմենտները նշվում են հատվածի վերջի կետերին համապատասխան երկու տառերով: Օրինակ, թող A եւ B կետերը հատվածի ծայրերն են, ապա այս հատվածը կարող է մակնշել AV կամ VA: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ սեգմենտի այս նշանակումը համընկնում է նախագծի ուղիղի հետ: Խառնաշփոթությունից խուսափելու համար խորհուրդ ենք տալիս, որ նշանակեք «հատված» կամ «ուղիղ» բառը:

Աքսեսուարների համառոտ գրառման համար եւ որոշակի կետին չի պատկանում, նույն խորհրդանիշներից մի քանիսը եւ. Ցույց տալ, որ որոշ հատվածներ կայանում են կամ չեն ստում խորհրդանիշների ուղիղ եւ համապատասխանաբար: Օրինակ, եթե SEGMENT AV- ն պատկանում է Direct A- ին, կարող եք համառոտորեն այրել:

Դուք նաեւ պետք է դադարեցնեք գործի վրա, երբ երեք տարբեր կետեր պատկանում են մեկ ուղիղ գծի: Այս դեպքում, մեկը, եւ միայն մեկ միավոր է ստում երկու ուրիշի միջեւ: Այս հայտարարությունը եւս մեկ աքսիոմ է: Թող A, B եւ C կետերը ստեք մեկ ուղիղ գծի վրա, իսկ կետը ստի միջեւ ընկած է A եւ C կետերի միջեւ: Այնուհետեւ կարող ենք ասել, որ A եւ C կետերը գտնվում են կետի տարբեր կողմերում: Կարելի է ասել նաեւ, որ B եւ C կետերը ստում են կետի մի կողմում, իսկ կետերը եւ B- ն ընկած են կետի մի կողմում:

Ամբողջականության համար մենք նշում ենք, որ ցանկացած կետ ուղղակիորեն դա բաժանում է ուղիղ երկու մասի, երկուսը Ճառագայթ, Այս դեպքում Axiom- ը տրվում է. Կամայական կետ O, որն ունի ուղիղ գծի, այս ուղիղ բաժանում է երկու ճառագայթով, եւ մեկ ճառագայթների երկու կետերը տարբեր ճառագայթների մի կողմում են - կետի տարբեր կողմերում:

Ուղղակի ուղիղ դիրքը ինքնաթիռում:

Հիմա պատասխանեք հարցին. «Ինչպես կարող են երկու ուղիղ ինքնաթիռը միմյանց հետ հարաբերականորեն»:

Նախ, ինքնաթիռում երկու ուղիղ գծեր կարող են համընկնել.

Դա հնարավոր է այն դեպքում, երբ ուղղակիորեն ունենա առնվազն երկու ընդհանուր միավոր: Իսկապես, նախորդ պարբերության մեջ հնչող axioms- ի շնորհիվ, միակ ուղիղ գիծը անցնում է երկու կետով: Այլ կերպ ասած, եթե երկու ուղիղ կետեր անցնում են երկու սահմանված կետերի միջոցով, նրանք համընկնում են:

Երկրորդ, երկու ուղիղները կարող են Խաչ.

Այս դեպքում ուղիղ գծերը ունեն մեկ ընդհանուր կետ, որը կոչվում է ուղղակիորեն խաչմերուկի խաչմերուկ: Ուղղակի խաչմերուկը նշվում է «» խորհրդանիշով, օրինակ, գրառումը նշանակում է, որ A եւ B- ն խաչմերուկում է M: Ուղղակի ուղիղ գծերը մեզ տանում են դեպի անկյունի հայեցակարգը ուղիղ հատելու միջեւ: Առանձին-առանձին, արժե հաշվի առնել ինքնաթիռի ուղիղ դիրքը, երբ նրանց միջեւ անկյունը հավասար է աստիճաններին: Այս դեպքում ուղղակիորեն կոչվում է ուղիղ Ուղղահայաց (Խորհուրդ ենք տալիս հոդվածը ուղղահայաց ուղղակի, ուղղահայացության ուղղությամբ): Եթե \u200b\u200bուղիղ A- ն ուղղահայաց է, պարզապես B- ն է, կարող եք օգտագործել համառոտ գրառում:

Երրորդ, երկու ուղիղ ինքնաթիռ կարող են զուգահեռ լինել:

Գործնական տեսանկյունից ինքնաթիռում ուղիղ գիծը հարմար է դիտարկել վեկտորների հետ միասին: Հատկապես կարեւոր նշանակություն ունեն Nonzero վեկտորները, որոնք պառկած են այս ուղղակի կամ զուգահեռ ուղիղ գծերից որեւէ մեկի վրա: Ուղեցույցի վեկտորները ուղղակի են, Հոդվածում ինքնաթիռում ուղղակի գիծը տրվում է ուղեցույցի վեկտորների օրինակներ եւ առաջադրանքներ լուծելու ժամանակ ցույց է տալիս դրանց օգտագործման տարբերակները:

Բացի այդ, դուք պետք է ուշադրություն դարձնեք ոչ զրոյական վեկտորներին, որոնք ստում են որեւէ ուղղակի ուղղահայաց: Նման վեկտորները կանչվում են Նորմալ վեկտորները ուղղակի են, Նորմալ վեկտորների օգտագործման վրա ուղղակիորեն պատմել են հոդվածում նորմալ վեկտորը ուղիղ ինքնաթիռում:

Երբ ինքնաթիռում տրվում են երեք կամ ավելի ուղիղ գծեր, ապա տեղի է ունենում դրանց փոխադարձ գտնվելու վայրի շատ տարբեր տարբերակներ: Բոլոր ուղիղ գծերը կարող են լինել զուգահեռ, հակառակ դեպքում նրանցից մի քանիսը հատվում են: Միեւնույն ժամանակ, բոլոր ուղիղ գծերը կարող են հատվել մեկ կետում (տես հոդվածը ուղղակիորեն) եւ կարող է ունենալ տարբեր խաչմերուկային կետեր:

Մենք մանրամասն չենք անդրադառնանք դրան, բայց մենք կտանք մի քանի ուշագրավ եւ շատ հաճախ օգտագործվող փաստեր.

• Եթե \u200b\u200bերրորդը ուղիղ զուգահեռ երրորդն է, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց հետ.
• Եթե \u200b\u200bերրորդ ուղիղ գծի երկու ուղղակի ուղղահայաց, ապա դրանք զուգահեռ են միմյանց հետ.
• Եթե \u200b\u200bինքնաթիռում որոշ ուղղակի անցնում են երկու զուգահեռ ուղիղ գծերից մեկը, ապա այն անցնում է եւ երկրորդ ուղիղ:

Ինքնաթիռում ուղիղ տեղադրելու եղանակներ:

Այժմ մենք նշում ենք հիմնական եղանակները, որոնք կարող են հստակ հստակեցվել ինքնաթիռում: Այս գիտելիքները շատ օգտակար են գործնական տեսանկյունից, քանի որ այն հիմնված է լուծման վրա շատ օրինակների եւ առաջադրանքների վրա:

Նախ, ուղղակիորեն կարելի է հստակեցնել, նշելով ինքնաթիռում երկու կետ:

Իրոք, այս հոդվածի առաջին պարբերությունում դիտարկված Axiom- ից մենք գիտենք, որ երկու կետով այն ընթանում է ուղիղ, եւ ընդամենը մեկով:

Եթե \u200b\u200bերկու անհամապատասխան միավորների կոորդինատները նշված են ինքնաթիռի ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, այսինքն `հավասարման ուղիղ փոխանցման միջոցով երկու սահմանված կետերի միջոցով ձայնագրելու ունակությունը:

Երկրորդ, դուք կարող եք նշել այն ուղղակի կետը, որի միջոցով այն անցնում է, եւ ուղիղը զուգահեռ է: Այս մեթոդը վավեր է, քանի որ միակ ուղիղ գիծը, նշված ուղիղ գծին զուգահեռ, անցնում է ինքնաթիռի այս կետով: Այս փաստի ապացույցն իրականացվել է ավագ դպրոցի երկրաչափության դասում:

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռում ուղղված է այս մեթոդը սահմանել այս մեթոդը, կապված ուղղանկյուն քարտերի համակարգված համակարգի համակարգի, այսինքն, դրա հավասարումը կազմելու ունակությունը: Սա հոդվածում գրված է նշված ուղղությամբ նշված կետի հավասարման միջոցով `նշված ուղղակիորեն զուգահեռ:

Երրորդ, դուք կարող եք ուղղակիորեն նշել, եթե նշեք այն կետը, որի միջոցով այն անցնում է, եւ նրա ուղեցույցը:

Եթե \u200b\u200bուղիղ գիծը տեղադրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այս եղանակով, հեշտ է իր կանոնական հավասարումը ուղիղ դարձնել ինքնաթիռի վրա եւ ինքնաթիռում ուղղված պարամետրային հավասարումներ:

Գիծը նշելու չորրորդ եղանակն այն է, որ դուք պետք է նշեք այն կետը, որի միջոցով այն անցնում է, եւ ուղիղը ուղղահայաց է: Իրոք, ինքնաթիռի որոշակի կետի միջոցով միակ ուղիղ գիծը, ուղղահայաց այս ուղիղ գծի վրա: Եկեք թողնենք այս փաստը առանց ապացույցների:

Վերջապես, ինքնաթիռի ուղիղը կարող է սահմանվել, մատնանշելով այն կետը, որի միջոցով այն անցնում է, եւ նորմալ վեկտորը ուղիղ է:

Եթե \u200b\u200bնշված ուղղակիորեն ստում գտնվող կետի կոորդինատները, եւ նորմալ վեկտորի կոորդինատները ուղիղ են, այսինքն, ընդհանուր հավասարումը ուղղորդելու ունակությունը:

Մատենագիտություն:

• Աթանասյան Լ.Ս., Բուտուզով Վ.Ֆ., Կադոմցեւ Ս.Բ., Պոզնյակի Է.Գ., Յուդինա I.I. Երկրաչափություն: 7 - 9 Դասեր. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար:
• Աթանասյան Լ., Բուդուզովի Վ.Ֆ., Կադոմցեւ Ս.Բ., Կիսելեւա Լ.Ս., Պոզնյակ Է.Գ. Երկրաչափություն: Ձեռնարկ, 10-11 ավագ դպրոցի դասերի համար:
• Bugrov Ya.S., Նիկոլսկի S.M. Բարձրագույն մաթեմատիկա: Հատոր մեկը. Գծային հանրահաշվի եւ վերլուծական երկրաչափության տարրեր:
• Իլյա Վ.Ա., Պոզնյակ Է.Գ. Վերլուծական երկրաչափություն:

Հեղինակային իրավունքը `հաջողությամբ:

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պահակախմբի հեղինակային իրավունքի մասին օրենքը: Կայքի ոչ մի մաս, www.site, ներառյալ ներքին նյութերը եւ արտաքին դիզայնը, հնարավոր չէ վերարտադրվել ցանկացած ձեւով կամ օգտագործման մեջ, առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:

Գլուխ V *. Տարածության մեջ ուղիղ եւ հոսքի հավասարումներ:

§ 66. Ծրագրերի համընկնում եւ խաչմերուկ

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռ Ժլատ 1 I. Ժլատ 2-ը, տրված հավասարումների կողմից

Ա 1: Հ. + Բ 1: յ. + C 1: Զ. + D 1 \u003d 0 եւ 2 Հ. + B 2: յ. + C 2: Զ. + D 2 \u003d 0, (1)

Ընդհանուր կետ ունեն, դրա կոորդինատները բավարարում են հավասարումներից յուրաքանչյուրը (1): Հետեւաբար, այս ինքնաթիռների ընդհանուր կետերը գտնելու համար հարկավոր է լուծել հավասարումների համակարգը

i.E. Երկու հավասարումների համակարգը երեք անհայտ անձանց հետ: Պայմանը կատարելիս

(3)

Համակարգը (2) լուծումներ չունի: Իրականում ենթադրենք հակառակը:
Ենթադրենք, որ ( Հ. 0 ; Կ. 0 Զ. 0) - լուծման համակարգ: Հետո, եթե

Այնուհետեւ համակարգի երկրորդ հավասարման (2) ստանալուց հետո

Ա 2. Հ. 0 + բ 2 Կ. 0 + C 2 Զ. 0 \u003d - D 2,

Եւ առաջինից

Կ. (Եւ 2): Հ. 0 + բ 2 Կ. 0 + C 2 Զ. 0) \u003d - D 1,

Եվ, հետեւաբար, դա հակասում է Վալովյոյին (3):

Մենք գիտենք, որ վիճակը Ինքնաթիռների զուգահեռության պայման կա: Այսպիսով, պայմանը (3) ինքնաթիռը կատարելիս Ժլատ 1 I. Ժլատ 2-ը զուգահեռ են եւ չեն համընկնում:

Այն դեպքում, երբ համակարգի գործակիցները եւ անվճար անդամները (2) բավարարում են վիճակը

(4)

Համակարգը ունի տեսակետ

Համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրը որոշում է նույն ինքնաթիռը: Այսպիսով, պայմանը (4) անհրաժեշտ եւ բավարար պայման է ինքնաթիռների համընկնումի համար:

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռ Ժլատ 1 I. Ժլատ 2-ը զուգահեռ չեն, ես: Եթե նրանք հատվում են, ապա

Այս դեպքում հավասարումները (2) ուղիղ հավասարումներ են Լ. Անցկացվող ինքնաթիռներ Ժլատ 1 I. Ժլատ 2-ը Մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես կարելի է գտնել կանոնական հավասարումները: Canonical հավասարումները ուղիղ դարձնելու համար հարկավոր է իմանալ դրա որոշ կետի կոորդինատները եւ նրա ուղեցույցի վեկտորի կոորդինատները բայց , M 0 կետի կոորդինատների համար կարող եք վերցնել ցանկացած լուծման լուծում (2): Որպես ուղեցույց վեկտոր բայց ուղիղ Լ.Կարող եք վեկտորի արվեստի գործեր ձեռնարկել Ն. 1 \u003d (A 1; B 1; 1-ից) եւ Ն. 2 \u003d (a 2; b 2; 2-ից), այսինքն. Ինքնաթիռի նորմալ վեկտորներ Ժլատ 1 I. Ժլատ 2 .

Իրականում (Նկար 203), վեկտոր [ Ն. 1 ; Ն. 2] վեկտորային աշխատանքի սահմանափակում վեկտորների նկատմամբ Ն. 1 I. Ն. 2 Եվ, հետեւաբար, զուգահեռ ինքնաթիռներ Ժլատ 1 I. Ժլատ 2 Եվ, հետեւաբար, ուղղակիորեն կոլինեն Լ. նրանց խաչմերուկները:

Առաջադրանք 1., Ստեղծեք կանոնական հավասարումներ Ուղղակի, ինչը ինքնաթիռների խաչմերուկն է

Հ. - 2Կ. + Զ.+ 1 \u003d 0 եւ 2 Հ. - Կ.+ 3Զ. - 2 = 0.

Որպես Ն. 1 = (1; - 2; 1), Ն. 2 \u003d (2; -1; 3), ապա

Այս ուղղակի կետի կոորդինատները որոշելու համար մենք կգտնենք հավասարումների համակարգի ցանկացած լուծում

Օրինակ, օրինակ, Զ. \u003d 0, հետո մենք ստանում ենք

Դեպի Հ. = 5 / 3 , յ. \u003d 4/3: Հետեւաբար, աղբյուրի համակարգը լուծում ունի (5/3; 4/3; 0), եւ, հետեւաբար, այս ուղղակի անցնում է Մ.-ի (5/3; 4/3; 0):

Իմանալով իր ուղեցույցի վեկտորի ուղղակի եւ կոորդինատների կետի կոորդինատները, գրեք այս ուղղակի կանոնները

Նկատի ունեցեք, որ եթե ինքնաթիռը 1 Հ. + Բ 1: յ. + C 1: Զ. + D 1 \u003d 0 եւ 2 Հ. + B 2: յ. + C 2: Զ. + D 2 \u003d 0 հատում, ուղղակի խաչմերուկով անցնող ցանկացած ինքնաթիռի հավասարումը կարող է գրանցվել որպես

α (եւ 1) Հ. + Բ 1: յ. + C 1: Զ. + D 1) + β (եւ 2) Հ. + B 2: յ. + C 2: Զ. + D 2) \u003d 0,

որտեղ α եւ β- ը որոշ թվեր են:

Առաջադրանք 2.Կազմեք ինքնաթիռի հավասարումը, որը տեղի է ունենում ինքնաթիռների անմիջական խաչմերուկի միջոցով x. - 2Կ. - Զ. + 4 \u003d 0 եւ Հ. - 4Կ. - 3Զ. - 2 \u003d 0 եւ կետ M 0 (1; 1; - 2):

Մենք կդարձնենք ինքնաթիռների հավասարումը, որն անցնում է այս ինքնաթիռների ուղղակի խաչմերուկով.

α (3. x. - 2Կ. - Զ. + 4) + β ( Հ. - 4Կ. - 3Զ. - 2) = 0.

Քանի որ M 0-ը պատկանում է ցանկալի ինքնաթիռին,

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) β (1- 4 1 + 6 -2) \u003d 0,

Եւ, հետեւաբար,

Որտեղ, օրինակ, α \u003d 1, β \u003d -7:

Ինքնաթիռի ցանկալի հավասարումը կլինի

3x. - 2Կ. - Զ. + 4 - 7 (Հ. - 4Կ. - 3Զ. - 2) = 0,

2x. - 13Կ. - 10Զ.- 9 = 0.

Թող երկու հավասարումն այժմ տրվի.

Տեսնենք, երբ այս հավասարումները որոշված \u200b\u200bեն, երբ որոշվում են այս հավասարումները, զուգահեռ են լինում լայն իմաստով, երբ նրանք համընկնում են իրենց իմաստով զուգահեռ (այսինքն `ընդհանուր միավորներ չկան):

Առաջին հարցի պատասխանը ձեռք է բերվում անմիջապես. Ուղիղ D եւ D, այնուհետեւ եւ միայն դրանից հետո զուգահեռ լայն իմաստով, երբ նրանց ուղեցույցի վեկտորները կոլինեն են, եւ, հետեւաբար, համամասն է

Եթե \u200b\u200bայս համամասնությունը կարելի է շարունակել համամասնությունը

Այդ անմիջական համընկնում. Այս դեպքում երկու հավասարումներից մեկի (1), (գ) բոլոր գործակիցները ստացվում են ոմանց եւ, հետեւաբար, հավասարումների (1)-ով մեկ այլ բազմապատկման գործակիցներից (յուրաքանչյուր կետ, բավարարող մեկ հավասարություն) այլ կերպ բավարարում է):

Վերադառնալ, եթե երկու ուղիղ գծեր համընկնում են, ապա տեղի է ունենում համամասնությունը (3):

Մենք դա ապացուցելու ենք այն դեպքում, երբ մեր ուղիղ զուգահեռը `կարգի առանցքին: Այնուհետեւ մենք պետք է ապացուցենք միայն հավասարությունը:

Բայց վերջին հավասարությունը (որի մեջ հետեւում է այն փաստից, որ եւ (համընկնում) ուղիղ ճանապարհը խաչմերուկում նույն կետով խաչմերուկում են նույն պահին:

Հիմա թող համընկնումի գաղտնիությունը զուգահեռ չլինի կարգի առանցքին: Այնուհետեւ նրանք դա հատում են նույն կետում q- ի միջոցով `կարգով եւ ունենք համամասն, որը համամասնության հետ միասին (2) արտահայտելով ցանկալի համամասնությունը (3):

Իր իսկ իմաստով զուգահեռությունը նշանակում է, որ լայն իմաստով կա զուգահեռություն (այսինքն. Պայման (2)), բայց չկա համընկնում (I.E. ՉԻ ԿԱՐՈՂ): Սա նշանակում է, որ համամասնությունը

տեղի է ունենում այնտեղ, որտեղ

Երկու հարաբերությունների համադրությունը (2) եւ (4) սովորաբար գրանցվում է որպես բանաձեւ.

Եկեք ամփոփենք ամեն ինչ ապացուցված:

Թեորեմ 1. Affie անկացած Day Day Day- ը, որը հագեցած է Affine- ի համակարգված համակարգով, որոշվում է իր միավորների կոորդինատների միջեւ առաջին աստիճանի որոշակի հավասարմամբ: Վերադառնալ, ցանկացած առաջին աստիճանի հավասարություն

որոշ (միակ) ուղղակի դի հավասարումը. Միեւնույն ժամանակ, բոլոր վեկտորները, այս ուղիղ քլինարը, եւ միայն նրանք բավարարում են համասեռ հավասարումը

Այս հոդվածը վերաբերում է ուղիղ եւ ուղղակի զուգահեռ: Սկզբում իրականացվում է ինքնաթիռում եւ տարածության մեջ զուգահեռության, նոտան ներկայացվել, տրվում են զուգահեռ ուղիղ գծերի օրինակներ եւ գծապատկերներ: Հաջորդը ապամոնտաժում է ուղղակիորեն զուգահեռության նշաններն ու պայմանները: Եզրակացությունը ցույց է տալիս ուղղակիորեն ուղղված զուգահեռության ապացույցների բնորոշ առաջադրանքների լուծումները, որոնք ուղղանկյուն համակարգված համակարգում ուղիղ գծի որոշ հավասարություններ են առաջացնում ինքնաթիռում եւ եռաչափ տարածության մեջ:

Նավիգացիոն էջ:

Զուգահեռ ուղիղ - Հիմնական տեղեկություններ:

Սահմանում:

Զանգահարվում են երկու ուղիղ ինքնաթիռ ԶուգահեռԵթե \u200b\u200bդրանք ընդհանուր միավորներ չունեն:

Սահմանում:

Զանգահարվում են երեք եռաչափ տարածության մեջ ԶուգահեռԵթե \u200b\u200bնրանք ստում են նույն ինքնաթիռում եւ ընդհանուր միավորներ չունեն:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ «եթե նրանք նույն ինքնաթիռում ստում են նույն ինքնաթիռում» վերապահումը, տարածության մեջ զուգահեռ շատ կարեւոր են: Եկեք բացատրենք այս պահը. Եռաչափ երկչափ տարածություն, որոնք ընդհանուր միավորներ չունեն եւ չեն ստում նույն ինքնաթիռում, չեն զուգահեռ:

Ահա զուգահեռ ուղիղ գծերի մի քանի օրինակներ: Նոթբուքի տերեւների հակառակ եզրերը պառկած են զուգահեռ ուղիղ գծերի վրա: Ուղղակի, որով տան պատի ինքնաթիռը հատում է առաստաղի եւ հատակի ինքնաթիռը, զուգահեռ: Բնակարանային տեղանքով երկաթուղային ռելսերը կարող են դիտվել նաեւ որպես զուգահեռ ուղիղ:

Նշելու համար զուգահեռ ուղղակի օգտագործումը «» խորհրդանիշը: Այսինքն, եթե ուղիղ A եւ B- ն զուգահեռ լինեն, ապա կարող եք համառոտ արձանագրել բ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. Եթե ուղիղ A եւ B- ն զուգահեռ լինեն, ապա կարող ենք ասել, որ Direct A- ն զուգահեռ է ուղիղ գծի համար, եւ հենց այդ ուղիղը զուգահեռ է:

Եկեք բարձրաձայենք այն հայտարարությունը, որը կարեւոր դեր է խաղում ինքնաթիռում զուգահեռ ուղիղ գծերի ուսումնասիրության մեջ. Մի կետի միջոցով, որը չի ստում այս ուղղակի, միակ ուղիղ գծի վրա, դրան զուգահեռ: Այս հայտարարությունն ընդունվում է որպես փաստ (այն չի կարող ապացուցվել առանցքային պլանավորման հիման վրա), եւ այն կոչվում է զուգահեռ ուղիղ գծերի Axiom:

Տիեզերքի գործի համար, թեորեմը վավեր է. Տիեզերքի ցանկացած կետի միջոցով, որը չի ստում տվյալ ուղիղ գծի վրա, միակ ուղիղ գիծը, դրան զուգահեռ: Այս տեսակը հեշտությամբ ապացուցված է վերը նշված Axiom- ի օգնությամբ, որը վերաբերում է ուղղակիորեն (դրա ապացույցը կարող եք գտնել GeoMetry դասագրքում 10-11 հասցեում, որը նշված է գրականության հոդվածի ավարտին):

Տիեզերքի գործի համար, թեորեմը վավեր է. Տիեզերքի ցանկացած կետի միջոցով, որը չի ստում տվյալ ուղիղ գծի վրա, միակ ուղիղ գիծը, դրան զուգահեռ: Այս տեսակը հեշտությամբ ապացուցված է, օգտագործելով վերը նշված աքսիոմի զուգահեռ ուղիղ գծերը:

Ուղղակի - զուգահեռության նշանների եւ պայմանների զուգահեռություն:

Ուղիղ զուգահեռության նշան Դա բավարար պայման է ուղղակիորեն անմիջական զուգահեռության համար, այսինքն, նման պայմանը, որի կատարումը երաշխավորում է ուղղակիորեն: Այսինքն, այս պայմանի իրականացումը բավարար է ուղղակիորեն անմիջական զուգահեռության փաստը հայտարարելու համար:

Ինքնաթիռում եւ եռաչափ տարածության մեջ կան նաեւ անհրաժեշտ եւ բավարար պայմաններ:

Եկեք բացատրենք «Ուղղակի զուգահեռության անհրաժեշտ պայմանը» արտահայտության իմաստը:

Զուգահեռության բավարար պայմանով մենք արդեն պարզել ենք: Իսկ որն է «ուղղակի զուգահեռության անհրաժեշտ պայմանը»: «Անհրաժեշտ է» անվամբ պարզ է, որ այս պայմանի կատարումը անհրաժեշտ է ուղղակիորեն զուգահեռության համար: Այլ կերպ ասած, եթե անմիջական զուգահեռության պահանջվող պայմանը չի կատարվում, ապա ուղիղ գծերը զուգահեռ չեն: Այս կերպ, Պահանջվող եւ բավարար պայման զուգահեռություն - Այս պայմանը, որի կատարումը անհրաժեշտ եւ բավարար է ուղիղ գծերի զուգահեռության համար: Այսինքն, մի կողմից, սա ուղիղ զուգահեռության նշան է, իսկ մյուս կողմից, սա է այնպիսի սեփականություն, որն ունի զուգահեռ:

Նախքան ուղղակիորեն զուգահեռության համար անհրաժեշտ եւ բավարար պայմանը ձեւակերպելը, խորհուրդ է տրվում հիշեցնել մի քանի օժանդակ սահմանումներ:

Ուղիղ երգել - Սա ուղիղ գիծ է, որը հատում է երկու սահմանված երկու սահմանված ուղիղ գծերից յուրաքանչյուրը:

Երկու ուղիղ հաշվով անցնելիս, ութ չմշակված: Ուղղակի մասնակցության զուգահեռության անհրաժեշտ եւ բավարար վիճակի ձեւակերպմամբ այսպես կոչված Առաջնորդվել է համապատասխանաբար մի քանազոր Միակողմանի անկյուններ, Show ույց տվեք նկարչության մեջ:

Թեորեմ:

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռում ուղիղ երկուսը հատում են միավորը, ապա իրենց զուգահեռ, այն անհրաժեշտ է եւ բավական է, որպեսզի հիմնական անկյունները հավասար լինեն, կամ համապատասխան անկյունները հավասար էին, կամ միակողմանի անկյունները հավասար էին, կամ մեկ միակողմանի անկյունները հավասար էին, կամ միակողմանի անկյունները կազմում էին 180 աստիճան:

Մենք ցույց ենք տալիս զուգահեռության այս անհրաժեշտ եւ բավարար վիճակի գրաֆիկական նկարազարդումը ուղղակիորեն ինքնաթիռում:

Զուգահեռության այս պայմանների վկայությունը կարող եք գտնել երկրաչափության դասագրքերում `7 -9 դասարանների համար:

Նկատի ունեցեք, որ այս պայմանները կարող են օգտագործվել նաեւ եռաչափ տարածության մեջ. Հիմնականն այն է, որ երկու ուղիղ եւ գաղտնի տեղում են նույն ինքնաթիռում:

Մենք տալիս ենք մի քանի թեորներ, որոնք հաճախ օգտագործվում են ուղղակիորեն զուգահեռության ապացույցով:

Թեորեմ:

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռում երկու ուղիղ գիծը զուգահեռ է երրորդին ուղիղ, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս հատկության ապացույցը հետեւում է զուգահեռ ուղղակիորեն:

Նման պայման կա եռաչափ տարածության մեջ ուղղակիորեն զուգահեռության համար:

Թեորեմ:

Եթե \u200b\u200bտարածության մեջ ուղիղ երկուսը երրորդին զուգահեռ են, ապա դրանք զուգահեռ են: Այս հատկության ապացույցը դիտարկվում է 10-րդ դասարանում երկրաչափության դասում:

Մենք պատկերում ենք ձայների տեսաբաններին:

Մենք տալիս ենք մեկ այլ թեորեմ, որը թույլ է տալիս ապացուցել ինքնաթիռի ուղիղի զուգահեռությունը:

Թեորեմ:

Եթե \u200b\u200bերկու ուղիղները ուղղահայաց են երրորդի ուղիղ, ապա դրանք զուգահեռ են:

Տիեզերքում ուղղակի տեսաբանություն կա:

Թեորեմ:

Եթե \u200b\u200bեռաչափ տարածության երկու ուղղակի երկուսը ուղղահայաց են մեկ ինքնաթիռի վրա, ապա դրանք զուգահեռ են:

Ես պատկերում եմ այս տեսանյութերին համապատասխան նկարները:

Վերը նշված բոլոր տեսանյութերը, ստորագրություններ եւ անհրաժեշտ եւ բավարար պայմաններ, հիանալի հարմար են երկրաչափության ուղղակի մեթոդների զուգահեռության ապացույցների համար: Այսինքն, երկու սահմանված ուղղորդման զուգահեռությունը ապացուցելու համար, որ դրանք երրորդին զուգահեռ են զուգահեռ, կամ ցույց տալ ստախոս անկյունների ընդունման հավասարությունը եւ այլն: Շատ նման առաջադրանքներ լուծվում են ավագ դպրոցի երկրաչափության դասում: Այնուամենայնիվ, հարկ է նշել, որ շատ դեպքերում հարմար է օգտագործել կոորդինատային մեթոդը `ապացուցելու համար ինքնաթիռում ուղղակիորեն կամ եռաչափ տարածության զուգահեռությունը: Մենք ձեւավորում ենք անհրաժեշտ եւ բավարար պայմաններ ուղղակիորեն անմիջական զուգահեռության համար, որոնք նշված են ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում անմիջական զուգահեռ:

Հոդվածի այս կետում մենք ձեւավորելու ենք Ուղղակի զուգահեռության պահանջվող եւ բավարար պայմաններ Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում `կախված այս ուղղակիորեն որոշող հավասարումներից, ինչպես նաեւ մանրամասն լուծումներ տալիս բնութագրական առաջադրանքներին:

Եկեք սկսենք ուղղանկյուն օկզեզային համակարգված համակարգում ինքնաթիռում ուղիղ երկուսի զուգահեռության վիճակից: Դրա ապացույցի հիմքը ուղեցույցի վեկտորի ուղղակի եւ ինքնաթիռի նորմալ վեկտորների սահմանումն է:

Թեորեմ:

Ինքնաթիռում երկու անհամապատասխան ուղիղ գծերի համասեռության համար անհրաժեշտ է եւ բավական է, որ այս տողերի ուղեցույցի վեկտորները խարխլված էին, կամ այս ուղիղ գծերի նորմալ վեկտորները կոլինեն էին, կամ մեկ ուղիղ գծի ռեժիսորը գտնվում էր նորմալ երկրորդ ուղիղի վեկտորը:

Ակնհայտ է, որ ինքնաթիռում երկու ուղիղ գծերի զուգահեռության պայմանը կրճատվում է (ուղիղ գծերի ուղղակի կամ նորմալ վեկտորների վեկտորներ) կամ K (Ուղեղի վեկտորը `մեկ ուղիղ եւ նորմալ վեկտորի երկրորդ տողի): Այսպիսով, եթե երկուսն էլ ուղղորդեք A եւ B- ի ուղղակի վեկտորներ, եւ մի քանազոր - համապատասխանաբար ուղիղ գծերի նորմալ վեկտորներ, համապատասխանաբար, ուղղակի A եւ B- ի զուգահեռության անհրաժեշտ եւ բավարար պայմանը , կամ , կամ, որտեղ T- ն որոշակի վավեր համար է: Իր հերթին, A եւ B ուղիղ գծերի նորմալ վեկտորների կոորդինատները տեղակայված են ուղղակիորեն հայտնի հավասարումների համաձայն:

Մասնավորապես, եթե ինքնաթիռում օքսի կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգում ուղղորդված համակարգը սահմանում է ուղղակի տիպի ընդհանուր հավասարումը եւ ուղիղ բ - , Այս ուղղորդների նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ եւ, ըստ այդմ, ձայնագրվելու են A եւ B- ի զուգահեռության պայմանը:

Եթե \u200b\u200bուղղակիորեն համապատասխանում է ուղիղ գծի հավասարմանը, տեսակների անկյունային գործակիցին եւ Direct B -, ապա այս ուղղորդման նորմալ վեկտորներն ունեն կոորդինատներ, եւ այդ ուղղակիորեն կվերցնեն այդ անմիջականության պայմանը , Հետեւաբար, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ինքնաթիռը ուղիղ լինի եւ կարող է սահմանվել անկյունային գործակիցների հետ անմիջական հավասարումների կողմից, անկյունային գործակիցները հավասար կլինեն: Եվ ետ. Եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գտնվող ինքնաթիռի վրա գտնվող համակարգված ուղիղ գծերը կարող են տրվել հավասար անկյունային գործակիցների ուղղակի հավասարումներով, ապա այդպիսի ուղղակիորեն զուգահեռ:

Եթե \u200b\u200bուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղղակիորեն եւ ուղիղ B- ն ուղղորդեք կանոնական հավասարումները, որոնք ուղղված են տեսակների ինքնաթիռում մի քանազոր կամ պարամետրային հավասարումները ուղղորդում են տեսակների ինքնաթիռում մի քանազոր Ըստ այդմ, այս ուղղորդների ուղեցույցի վեկտորներն ունեն կոորդինատներ եւ, եւ ուղղակի A եւ B- ի զուգահեռության պայմանը ձայնագրվում է որպես:

Մենք կվերլուծենք մի քանի օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Անկախ նրանից, թե ուղիղ գծերը զուգահեռ են Եվ

Որոշում

Ես վերաշարադրում եմ հավասարումը ուղիղ հատվածներում, ընդհանուր ուղղակի հավասարման տեսքով. , Այժմ կարելի է տեսնել, որ նորմալ վեկտոր ուղիղ , եւ - նորմալ վեկտոր ուղիղ: Այս վեկտորները չեն փչանում, քանի որ չկա այդպիսի վավեր համարը t, որի համար հավասարությունը ճշմարիտ է ( ): Հետեւաբար, ինքնաթիռում անմիջականորեն զուգահեռության անհրաժեշտ եւ բավարար պայմանը չի իրականացվում, հետեւաբար նշված ուղիղ գծերը զուգահեռ չեն:

Պատասխան:

Ոչ, ուղիղ զուգահեռ չէ:

Օրինակ.

Ուղիղ եւ զուգահեռ են:

Որոշում

Մենք Canonical Countation- ը ուղղակիորեն տալիս ենք հավասարմանը ուղղված անկյունային գործակիցին. Ակնհայտ է, որ ուղղակի եւ ոչ թե նույնի հավասարումները (այս դեպքում նշված ուղիղ գծերը կլինեն համընկնում), եւ ուղղակիորեն հավասար զուգահեռներն են: