Iracionaliojo skaičiaus apibrėžimas

Neracionalieji skaičiai yra tie skaičiai, kurie dešimtainiu būdu reiškia begalinį neperiodinį skaičių po kablelio.

Taigi, pavyzdžiui, skaičiai, gauti paėmus kvadratinę šaknį natūraliuosius skaičius, yra neracionalūs ir nėra natūraliųjų skaičių kvadratai. Tačiau ne visi neracionalieji skaičiai gaunami paėmus kvadratines šaknis, nes skaičius pi, gautas dalijant, taip pat yra neracionalus, ir vargu ar jį gausite bandydami išgauti natūraliojo skaičiaus kvadratinę šaknį.

Iracionaliųjų skaičių savybės

Skirtingai nei skaičiai, parašyti kaip begaliniai dešimtainiai, tik neracionalūs skaičiai rašomi kaip neperiodiniai begaliniai dešimtainiai.
Dviejų neneigiamų neracionalių skaičių suma gali būti racionalusis skaičius.
Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekindo pjūvius racionaliųjų skaičių aibėje, kurios žemesnėje klasėje nėra didžiausio skaičiaus, o aukštesniojoje klasėje nėra mažesnio.
Bet koks tikras transcendentinis skaičius yra neracionalus.
Visi neracionalūs skaičiai yra algebriniai arba transcendentiniai.
Iracionaliųjų skaičių rinkinys tiesėje yra tankiai išdėstytas, o tarp bet kurių dviejų jos skaičių tikrai yra neracionalusis skaičius.
Iracionaliųjų skaičių aibė yra begalinė, neskaičiuojama ir yra 2 kategorijos aibė.
Atliekant bet kokį aritmetinis veiksmas su racionaliais skaičiais, išskyrus dalijimą iš 0, jo rezultatas bus racionalus skaičius.
Pridedant racionalųjį skaičių prie neracionaliojo skaičiaus, rezultatas visada yra iracionalusis skaičius.
Sudėjus neracionalius skaičius, galime gauti racionalųjį skaičių.
Iracionaliųjų skaičių aibė nėra lyginė.

Skaičiai nėra neracionalūs

Kartais gana sunku atsakyti į klausimą, ar skaičius yra neracionalus, ypač tais atvejais, kai skaičius yra dešimtainės trupmenos arba skaitinės išraiškos, šaknies ar logaritmo pavidalu.

Todėl nebus nereikalinga žinoti, kurie skaičiai nėra neracionalūs. Jei vadovausimės iracionaliųjų skaičių apibrėžimu, tai jau žinome, kad racionalieji skaičiai negali būti neracionalūs.

Neracionalūs skaičiai nėra:

Pirma, visi natūralieji skaičiai;
Antra, sveikieji skaičiai;
Trečia, paprastosios trupmenos;
Ketvirta, įvairūs mišrūs skaičiai;
Penkta, tai yra begalinės periodinės dešimtainės trupmenos.

Be to, kas išdėstyta aukščiau, neracionalusis skaičius negali būti bet koks racionaliųjų skaičių derinys, kurį atlieka aritmetinių operacijų ženklai, pvz., +, -, , :, nes tokiu atveju taip pat bus dviejų racionaliųjų skaičių rezultatas. racionalus skaičius.

Dabar pažiūrėkime, kurie skaičiai yra neracionalūs:

Ar žinote, kad egzistuoja fanų klubas, kuriame šio paslaptingo matematinio reiškinio gerbėjai ieško vis daugiau informacijos apie Pi, bandydami įminti jo paslaptį? Šio klubo nariu gali tapti bet kuris asmuo, mintinai žinantis tam tikrą Pi skaičių po kablelio;

Ar žinojote, kad Vokietijoje, saugomoje UNESCO, yra Castadel Monte rūmai, kurių proporcijų dėka galite apskaičiuoti Pi. Šiam numeriui karalius Frederikas II paskyrė visus rūmus.

Pasirodo, Babelio bokšto statyboje jie bandė panaudoti skaičių Pi. Bet, deja, tai lėmė projekto žlugimą, nes tuo metu tikslus Pi vertės apskaičiavimas nebuvo pakankamai ištirtas.

Dainininkė Kate Bush savo naujajame diske įrašė dainą „Pi“, kurioje skambėjo šimtas dvidešimt keturi numeriai iš garsiosios skaičių serijos 3, 141….

Matematinių sąvokų abstrakcija kartais išspinduliuoja tiek daug, kad nevalingai kyla mintis: „Kodėl visa tai? Tačiau, nepaisant pirmo įspūdžio, visos teoremos, aritmetinės operacijos, funkcijos ir kt. – ne kas kita, kaip noras patenkinti pagrindinius poreikius. Tai ypač aiškiai matyti įvairių rinkinių išvaizdos pavyzdyje.

Viskas prasidėjo nuo natūralių skaičių atsiradimo. Ir, nors vargu ar dabar kas nors galės atsakyti, kaip tiksliai buvo, bet greičiausiai mokslų karalienei kojos išauga iš kažkur oloje. Čia, analizuojant odų, akmenų ir gentainių skaičių, žmogus turi daugybę „suskaičiuotų skaičių“. Ir to jam pakako. Iki tam tikro momento, žinoma.

Tada odas ir akmenis reikėjo padalinti ir išvežti. Taip atsirado poreikis atlikti aritmetines operacijas, o kartu ir racionalias, kurias galima apibrėžti kaip trupmeną kaip m/n, kur, pavyzdžiui, m yra odų skaičius, n yra gentainių skaičius.

Atrodytų, kad jau atrasto matematinio aparato visiškai pakanka džiaugtis gyvenimu. Tačiau netrukus paaiškėjo, kad pasitaiko atvejų, kai rezultatas būna ne tik ne sveikasis skaičius, bet net ne trupmena! Ir iš tikrųjų dviejų kvadratinės šaknies negalima išreikšti jokiu kitu būdu naudojant skaitiklį ir vardiklį. Arba, pavyzdžiui, gerai žinomas skaičius Pi, kurį atrado senovės graikų mokslininkas Archimedas, taip pat nėra racionalus. Ir laikui bėgant tokių atradimų tapo tiek daug, kad visi skaičiai, kurių negalima „racionalizuoti“, buvo sujungti ir vadinami neracionaliais.

Savybės

Anksčiau aptartos aibės priklauso pagrindinių matematikos sąvokų rinkiniui. Tai reiškia, kad jų negalima apibrėžti naudojant paprastesnius matematinius objektus. Bet tai galima padaryti naudojant kategorijas (iš graikų „teiginių“) arba postulatus. Šiuo atveju geriausia buvo nurodyti šių rinkinių savybes.

o Iracionalieji skaičiai apibrėžia Dedekind pjūvius racionaliųjų skaičių aibėje, kurių mažesniame skaičiuje nėra didžiausio skaičiaus, o viršutiniame – nėra mažiausio.

o Kiekvienas transcendentinis skaičius yra neracionalus.

o Kiekvienas neracionalus skaičius yra algebrinis arba transcendentinis.

o Skaičių aibė yra tanki visur skaičių tiesėje: tarp bet kurių yra iracionalusis skaičius.

o Rinkinys yra nesuskaičiuojamas ir yra antrosios Baire kategorijos rinkinys.

o Ši aibė yra sutvarkyta, tai yra, kiekvienam dviem skirtingiems racionaliesiems skaičiams a ir b galite nurodyti, kuris iš jų yra mažesnis už kitą.
o Tarp kas dviejų skirtingų racionaliųjų skaičių yra dar bent vienas, taigi ir begalinis skaičius racionaliųjų skaičių.

o Aritmetiniai veiksmai(sudėtis, daugyba ir padalijimas) per bet kuriuos du racionalius skaičius visada galimi ir gaunamas tam tikras racionalusis skaičius. Išimtis yra padalijimas iš nulio, o tai neįmanoma.

o Kiekvienas racionalusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip dešimtainė trupmena (baigtinė arba be galo periodinė).

Iracionaliųjų skaičių aibė dažniausiai žymima didžiąja raide Aš (\displaystyle \mathbb (I) ) paryškinto stiliaus be šešėlių. Taigi: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), tai yra, neracionaliųjų skaičių aibė yra skirtumas tarp realiųjų ir racionaliųjų skaičių aibių.

Iracionaliųjų skaičių, tiksliau atkarpų, nesuderinamų su vienetinio ilgio atkarpa, egzistavimą žinojo jau senovės matematikai: jie žinojo, pavyzdžiui, kvadrato įstrižainės ir kraštinės nesuderinamumą, o tai prilygsta iracionalumui. skaičius.

Enciklopedinis „YouTube“.

• 1 / 5

  Neracionalūs yra:

  Iracionalumo įrodymų pavyzdžiai

  2 šaknis

  Tarkime, priešingai: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalus, tai yra, vaizduojamas kaip trupmena m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kur m (\displaystyle m) yra sveikasis skaičius ir n (\displaystyle n)- natūralusis skaičius.

  Pastatykime tariamą lygybę kvadratu:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\rodyklė dešinėn 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rodyklė dešinėn m^(2)=2n^(2)).

  Istorija

  Antika

  Iracionaliųjų skaičių sąvoką netiesiogiai perėmė Indijos matematikai VII amžiuje prieš Kristų, kai Manava (apie 750 m. pr. Kr. – apie 690 m. pr. Kr.) išsiaiškino, kad kvadratinės šaknys Kai kurie natūralieji skaičiai, tokie kaip 2 ir 61, negali būti aiškiai išreikšti [ ] .

  Pirmasis iracionaliųjų skaičių egzistavimo įrodymas dažniausiai priskiriamas pitagoriečiui Hipasui Metapontui (apie 500 m. pr. Kr.). Pitagoriečių laikais buvo manoma, kad yra vienas ilgio vienetas, pakankamai mažas ir nedalomas, apimantis sveiką skaičių kartų bet kuriame segmente. ] .

  Nėra tikslių duomenų, kurį skaičių Hipasas įrodė neracionalų. Pasak legendos, jis jį rado tyrinėdamas pentagramos kraštų ilgį. Todėl pagrįsta manyti, kad tai buvo auksinis pjūvis [ ] .

  Graikų matematikai šį nesuderinamų dydžių santykį vadino alogos(neapsakoma), bet, pasak legendų, jie neatrodė deramos pagarbos Hipasui. Egzistuoja legenda, kad Hipasas atradimą padarė kelionėje jūra, o kiti pitagoriečiai jį išmetė už borto „sukūrę visatos elementą, paneigiantį doktriną, kad visas visatos esybes galima redukuoti iki sveikųjų skaičių ir jų santykio“. Hipaso atradimas sukėlė rimtą problemą Pitagoro matematikai, sugriovė pagrindinę prielaidą, kad skaičiai ir geometriniai objektai yra vienas ir neatsiejamas dalykas.

  Visi racionalūs skaičiai gali būti pavaizduoti kaip bendroji trupmena. Tai taikoma sveikiesiems skaičiams (pavyzdžiui, 12, –6, 0) ir baigtinėms dešimtainėms trupmenoms (pvz., 0,5; –3,8921) ir begalinėms periodinėms dešimtainėms trupmenoms (pavyzdžiui, 0,11(23); –3 , (87) )).

  Tačiau begalinis neperiodinis dešimtainis skaičius atstovauti formoje paprastosios trupmenos neįmanomas. Tai jie tokie neracionalūs skaičiai(tai yra neracionalu). Tokio skaičiaus pavyzdys yra skaičius π, kuris yra maždaug lygus 3,14. Tačiau, kam jis tiksliai lygus, neįmanoma nustatyti, nes po skaičiaus 4 yra begalė kitų skaičių, kuriuose negalima atskirti pasikartojančių laikotarpių. Be to, nors skaičius π negali būti tiksliai išreikštas, jis turi specifinę geometrinę reikšmę. Skaičius π yra bet kurio apskritimo ilgio ir jo skersmens ilgio santykis. Taigi neracionalūs skaičiai iš tikrųjų egzistuoja gamtoje, kaip ir racionalieji skaičiai.

  Kitas neracionaliųjų skaičių pavyzdys yra teigiamų skaičių kvadratinės šaknys. Iš vienų skaičių ištraukus šaknis, gaunamos racionalios reikšmės, iš kitų – neracionalios. Pavyzdžiui, √4 = 2, ty 4 šaknis yra racionalus skaičius. Tačiau √2, √5, √7 ir daugelis kitų lemia neracionalius skaičius, tai yra, juos galima išskirti tik apytiksliai, apvalinant iki tam tikros dešimtainės dalies. Šiuo atveju trupmena tampa neperiodinė. Tai yra, neįmanoma tiksliai ir neabejotinai pasakyti, kokia yra šių skaičių šaknis.

  Taigi √5 yra skaičius, esantis tarp skaičių 2 ir 3, nes √4 = 2, o √9 = 3. Taip pat galime daryti išvadą, kad √5 yra arčiau 2 nei 3, nes √4 yra arčiau √5 nei √9 iki √5. Iš tiesų, √5 ≈ 2,23 arba √5 ≈ 2,24.

  Iracionalūs skaičiai taip pat gaunami atliekant kitus skaičiavimus (ir ne tik išgaunant šaknis) ir gali būti neigiami.

  Kalbant apie neracionalius skaičius, galime teigti, kad nesvarbu, kokį vienetinį segmentą imtume išmatuoti tokiu skaičiumi išreikštą ilgį, mes jo tikrai negalėsime išmatuoti.

  Aritmetinėse operacijose neracionalieji skaičiai gali dalyvauti kartu su racionaliais skaičiais. Tuo pačiu metu yra keletas dėsningumų. Pavyzdžiui, jei aritmetinėje operacijoje dalyvauja tik racionalieji skaičiai, tada rezultatas visada yra racionalus skaičius. Jei operacijoje dalyvauja tik neracionalieji, tai vienareikšmiškai pasakyti, ar rezultatas bus racionalus ar neracionalus skaičius, neįmanoma.

  Pavyzdžiui, jei padauginate du neracionalius skaičius √2 * √2, gausite 2 - tai yra racionalus skaičius. Kita vertus, √2 * √3 = √6 yra neracionalus skaičius.

  Jei aritmetinė operacija apima racionalius ir neracionalius skaičius, rezultatas bus neracionalus. Pavyzdžiui, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17–4.

  Kodėl √17 – 4 yra neracionalus skaičius? Įsivaizduokime, kad gauname racionalųjį skaičių x. Tada √17 = x + 4. Bet x + 4 yra racionalus skaičius, nes manėme, kad x yra racionalus. Skaičius 4 taip pat yra racionalus, taigi x + 4 yra racionalus. Tačiau racionalusis skaičius negali būti lygus iracionaliajam skaičiui √17. Todėl prielaida, kad √17 – 4 duoda racionalų rezultatą, yra neteisinga. Aritmetinės operacijos rezultatas bus neracionalus.

  Tačiau yra šios taisyklės išimtis. Jei neracionalųjį skaičių padauginsime iš 0, gausime racionalųjį skaičių 0.