Darbo tekstas yra be vaizdų ir formulių.
Visa versija darbe yra prieinama "Darbo failai" skirtuke PDF formatu

ĮVADAS. \\ T

Suaugusiųjų kalba, galite išgirsti tokią frazę: "Palikite man savo koordinates". Ši išraiška reiškia, kad pašnekovas turėtų palikti savo adresą ar telefono numerį, kuriam jis gali būti rastas. Tie iš jūsų, kurie grojo "jūros mūšį", vartojamas su atitinkama koordinačių sistema. Panaši koordinačių sistema yra naudojama šachmatai. Vietos vizualinėje salėje kino teatre yra apibrėžti dviem numeriais: pirmasis numeris rodo eilutės skaičių, o antrasis yra kėdės skaičius šioje eilutėje. Idėja nustatyti taško padėtį plokštumoje, naudojant skaičius kilo iš senovės. Koordinatės sistema peržengia visą praktinį asmens gyvenimą ir turi didžiulį praktinį taikymą. Todėl nusprendėme sukurti šį projektą, skirtą išplėsti savo žinias apie temą "koordinačių lėktuvu"

Projekto užduotys:

susipažinkite su stačiakampio koordinačių sistemos istorija plokštumoje;

išskirtiniai duomenys apie šią temą;

rasti įdomių istorinių faktų;

gerai suvokti koordinačių klausymą; aiškiai ir švelniai atlikti statybą;

parengti pristatymą.

Skyrius. Koordinuoti plokštumą

Idėja nustatyti taško poziciją ant plokštumos, naudojant skaičių kilęs iš senovės - pirmiausia astronomai ir geografikai rengiant žvaigždės ir geografinius žemėlapius, kalendorius.

§One. Koordinatų skaičius. Koordinates geografijoje

Per 200 metų iki mūsų eros, Graikų mokslininkas Hipparch pristatė geografines koordinates. Jis pasiūlė piešti paraleles ir dienovidus geografiniame žemėlapyje ir žymi platumos ir ilgumos numerius. Naudodamiesi šių dviejų numerių pagalba galima tiksliai nustatyti salos, kaimo, kalnų ar gerai dykumoje padėtį ir įdėti juos į žemėlapį ar pasaulį, mokytis nustatyti platumos ir ilgumos laivo Atviras pasaulis, jūrininkai gavo galimybę pasirinkti reikalingą kryptį.

Rytų ilgumos ir šiaurės platumos yra žymimos numeriai su pliuso ženklu, ir vakarų ilgumos ir pietinėje platumoje - su "minus" ženklu. Taigi, pora skaičius su žymenimis unikaliai nustato tašką ant pasaulio.

Geografinė platuma? - kampas tarp vienos linijos šiuo metu ir pusiaujo plokštuma, matuojamas nuo 0 iki 90 abiem kryptimis nuo pusiaujo. Geografinė ilguma? - tarp Meridiano plokštumos, einančios per šį tašką, ir Meridiano pradžios plokštuma (žr. Grinvičo dienovidinį). Ilgas atstumas nuo 0 iki 180 iki į rytus nuo dienovidinio pradžios yra vadinamas į rytus, į vakarus - Vakarų.

Norėdami rasti tam tikrą objektą mieste, daugeliu atvejų pakanka žinoti savo adresą. Sunkumai kyla, jei reikia paaiškinti, kur yra, pavyzdžiui, šalies teritorija, vieta miške. Visuotinės vietos nuorodų priemonės yra geografinės koordinatės.

Jei pateksite į avariją, asmuo pirmiausia turėtų galėti naršyti vietovę. Kartais būtina nustatyti jų vietos geografines koordinates, pavyzdžiui, perduoti gelbėjimo tarnybą arba kitiems tikslams.

Šiuolaikinėje navigacijoje, pasaulis WGS-84 koordinačių sistema yra standartinė. Šioje sistemoje koordinatės veikia visus GPS navigatorius ir pagrindinius kartografinius projektus internete. WGS-84 sistemoje koordinatės yra tokios pat bendros ir suprantamos visiems kaip visame pasaulyje. Visuomenės tikslumas dirbant su geografinėmis koordinatėmis yra 5 - 10 metrų ant žemės.

Geografinės koordinatės yra šeimos su ženklu (platuma nuo -90 ° iki + 90 °, ilguma nuo -180 ° iki + 180 °) ir gali būti registruojami įvairiomis formomis: laipsniais (DDD.DDDDD °); laipsniai ir minutės (DDD ° mm.mmm "); laipsniai, minutės ir sekundės (DDD ° mm" ss.s "). Įrašų formos gali būti elementariškos vienas į kitą (1 laipsnis \u003d 60 minučių, 1 minutė \u003d 60 sekundžių) . Norint nurodyti koordinačių ženklą, dažniausiai naudojami raidės: N ir E - šiaurinės platumos ir rytinės ilgumos - teigiami numeriai, S ir W - Pietų platumos ir vakarų ilgumos - neigiami numeriai.

Koordinatės įrašymo forma laipsnių yra patogiausia rankiniam įvesties ir sutampa su matematiniu įrašu. Įrašų koordinatės laipsnių ir minučių forma yra pageidautina daugeliu atvejų, šis formatas yra nustatytas pagal nutylėjimą daugelyje GPS navigatorių ir yra standartiškai naudojamas aviacijos ir jūros. Klasikinė forma įrašymo koordinates laipsniais, minutėmis ir sekundėmis iš tikrųjų neranda didelės praktinės programos.

§2. Sistemos koordinatės astronomijos. Mitai apie žvaigždynus

Kaip minėta pirmiau, idėja nustatyti taško padėtį ant plokštumos su numerių pagalba buvo kilę į senovę astronomai, kai rengdamos žvaigždės korteles. Žmonės turėjo laiko imtis laiko, prognozuoti sezoninius reiškinius (potvyniai, srautas, sezoniniai lietūs, potvyniai), buvo būtina naršyti vietovėje keliaujant.

Astronomija yra žvaigždžių, planetų, dangiškųjų kūnų, jų struktūros ir plėtros mokslas.

Tūkstančiai metų praėjo, mokslas sustiprino toli į priekį, o asmuo vis dar negali nuplėšti nuo naktinio dangaus grožio.

Žvaigždynai yra žvaigždžių dangaus sritys, būdingos figūros, kurias sudaro ryškios žvaigždės. Visi dangus yra padalintas į 88 žvaigždynus, kurie palengvina žvaigždes orientaciją. Dauguma žvaigždynų skambučių atėjo iš senovės.

Garsiausias žvaigždynas yra didelis lokys. Senovės Egipte jis buvo vadinamas "Hippo", o Kazachstai pavadino "arklys rizika", nors nė vienas kitas gyvūnas primena, kad reikia priminti. Kas tai?

Senovės graikai egzistavo didelių ir mažų varpų žvaigždynų legendą. Visagalis Dievas Zeus nusprendė paimti savo žmoną gražią Nymph Kaliso, vieną iš deivės aprodito tarnų, priešingai nei pastarųjų noro. Išsaugoti Calisto nuo deivės persekiojimo, Zeus pasuko Calisto į didelį neklaužada, jos mėgstamiausias šuo - mažame lokyje ir paėmė juos į dangų. Norėdami perkelti žvaigždyną didelį ir mažą lokį iš žvaigždės dangaus į koordinačių plokštumą. . Kiekviena žvaigždžių "Bass Big Bears" turi savo vardą.

Didesnis

Aš pripažįstu kibirą I!

Septynios žvaigždės sparkle čia

Bet koks jų vardas yra:

Duzhe apšviečia tamsą,

Šalia jo nudegina Mera

Tvoros pusėje su megain

Gerai ištirpinti.

Iš mešetz ištrinti

Įsikapo,

Ir už jo - Mitsar su alkoholiu

(Šie du shine choras).

Šortai mūsų kibirai

Nesuderinamas benetnash.

Tai rodo akį

Kelias į brangakmenį Volopasa,

Kur Arcturus yra gražus šviečia

Jis dabar pastebės jį!

Ne mažiau graži legenda apie žvaigždynus "Csepea", "Cassiopeia" ir "Andromeda".

Kartą Etiopija taisyklių karaliaus CEFI. Kai jo sutuoktinis "Queen Cassiopeia" buvo aplaidumas pasigirti su savo grožiu priešais jūros gyventojus - než. Pastarasis, įžeistas, skundėsi į jūros Poseidono Dievą, ir piktas iš Cassiophei akivaizdu, kad jūros valdovas bijo jūros monstras ant Etiopijos kranto - Kinija. Norėdami išgelbėti savo sunaikinimo karalystę, CEFI, apie "Oracle" patarimus, nusprendė nukentėti nuo monstrų ir suteikti jam savo mylimos dukros "Andromeda" jaudulį. Jis pakilo į pakrantės uolą ir paliko ją tikintis savo likimo sprendimą.

Ir šiuo metu, kitame pasaulio krašte, mitinis herojus Perseus padarė drąsos feat. Jis įsiskverbė į nuošalią salą, kur Gorgon gyveno - nuostabūs monstrai moterų, turinčių gyvates savo galvutėse, vietoj plaukų. Gorgon nuomonė buvo taip baisi, kad visi atrodė, kam jie iškart pavertė akmeniu.

Pasinaudojant šiais monstrais su svajonėmis, Perseus skyrius yra vienos iš jų-Goron medūzų vadovas. Tuo metu, arklys Pegasus buvo verpęs iš atjungtos medūzų kūną. Perseus sugriebino medūzų galvą, šoktelėjo į Pegasą ir skubėjo į savo tėvynę oru. Kai jis skrido per Etiopiją, jis pamatė andromeded į uolą. Tuo metu, Keith jau atsirado iš jūros bumpino, pasiruošęs nuryti savo auką. Bet Perseus, skubantis į mirtiną kovą su banginiu, laimėjo monstrą. Dar padarė Kinijos medūzų galvą, o monstras sukasi, virsta sala. Kalbant apie Perseus, jis apkabino Andromeda, jis jį sugrįžo į savo tėvą, ir palietė iš laimės Cefi davė Andromeda savo žmonai persekioti. Taigi saugiai baigėsi šią istoriją, kurių pagrindiniai simboliai buvo pateikti senovės graikai danguje.

Žvaigždžių žemėlapyje galite rasti ne tik su savo tėvu, motina ir vyru, bet ir "Pegasus" magiško arklys ir visų rūpesčių kaltininkas - Kinijos monstras.

Kinijos žvaigždynas yra žemiau Pegasus ir Andromeda. Deja, tai nėra pažymėta kai kurios būdingos ryškios žvaigždės ir todėl priklauso antrinių žvaigždynų skaičiui.

§3. Naudojant stačiakampių koordinačių idėją tapyboje.

Traces taikant stačiakampio koordinates idėjos kvadratinių akių pavidalu (Palest) pavaizduota vienos iš senovės Egipto laidojimo kamerų. Funeralinės kameros piramidės tėvo Ramses ant sienos yra kvadratų tinklas. Su jais vaizdas buvo perkeltas į padidintą formą. Renesanso menininkai taip pat naudojo stačiakampį tinklelį.

Žodis "perspektyva" lotyniškai reiškia "aš aiškiai matau". Vizualiniame mene linijinė perspektyva yra plokštumoje esančių objektų įvaizdis pagal jų dydį. Dabartinės teorijos perspektyvos padėjo dideli menininkai Renesanso - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer ir kt. Viename iš durrio graviūrų (3 pav.) Rodo pobūdžio metodą per stiklą su jam kvadratiniu tinkleliu. Šis procesas gali būti apibūdinamas taip: jei pakilsite priešais langą ir nekeičiant požiūrio, apvalinti ant stiklo, viskas, kas gali būti matoma po to, atsiradusį modelį ir bus perspektyvus erdvės vaizdas .

Egipto dizaino metodai, kurie, atrodo, yra pagrįsti kvadratinių akių schemomis. Egipto mene yra daug pavyzdžių, rodančių, kad menininkai ir skulptoriai pirmą kartą nudažė tinklelį ant sienos, kuri turėjo būti nudažyta arba supjaustyti siekiant išsaugoti nustatytus proporcijas. Paprasti skaitiniai santykiai šių tinklų tarnauti visų didelių meno kūrinių egiptiečių branduolys.

Tas pats metodas buvo naudojamas daug renesanso menininkų, įskaitant Leonardo da Vinci. Senovės Egipte jis buvo įkūnytas Didžiojoje piramidėje, kuri yra palaikoma glaudžiais ryšiais su "Marlboro-Down" modeliu.

Darbo pradžia, Egipto menininkas išleido sieną su tiesių linijų tinkleliu ir kruopščiai išgyveno figūras. Bet geometrinis tvarkingumas netrukdė su juo atkurti gamtą su išsamiu tikslumu. Kiekvienos žuvies tuščiosios eigos, kiekvienas paukštis yra perkeliamas į tokį teisingumą, kad šiuolaikiniai zoologai yra lengvai nustatomi pagal savo nuomonę. 4 paveiksle pateikiama išsamia sudėtis su medžių iliustracija su paukščiais, užfiksuotais hnumecha tinklu. Menininko rankos judėjimas buvo nukreiptas ne tik savo įgūdžių rezervuose, bet ir akį jautriai į gamtos kontūrus.

4 pav. Paukščiai Acacia

II skyrius. Koordinatės metodas matematikoje

§One. Matematikos koordinatės naudojimas. Nuopelnai

prancūzų Matematika René Descartes

Ilgą laiką, tik geografija "įrašas" - naudojo šį nuostabų išradimą, ir tik 14 amžiuje, prancūzų matematikas Nikola Orem (1323-1382) bandė pridėti jį į "žemės matuoklis" - geometrija. Jis pasiūlė padengti plokštumą su stačiakampiu tinklu ir paskambinti pastarajam ir ilgai, ką dabar vadiname abscisiu ir įprastu.

Remiantis šia sėkminga naujovėmis, koordinatės metodas atsirado dėl algebros geometrijos. Pagrindinis nuopelnas kuriant šį metodą priklauso Didžiajai prancūzų matematikai René Descarte (1596 - 1650). Savo garbei, tokia koordinatė sistema vadinama dekartišku, žyminčią bet kokio plokštumos atstumu nuo šio taško nuo šio taško į "nulinės platumos" - abscisos ašį "ir" nulinio dienovidinio "- ordinato ašių ašį.

Tačiau šis puikus Prancūzijos mokslininkas ir XVII a. Mąstytojas (1596-1650 m.) Nedelsiant nerado savo vietos gyvenime. Gimė tauriajame šeimoje, Descartes gavo gerą išsilavinimą. 1606 m. Jo tėvas pasiuntė Jėzuitų koledžą La Flash. Atsižvelgiant į ne labai stiprią sveikatą Descartes, jis buvo šiek tiek atsipalaiduoti griežtai šios mokyklos, pavyzdžiui, leidžiama pakilti vėliau nei kiti. Įsigijimas kolegijoje daug žinių, descartes tuo pačiu metu skverbiasi antipatija į scholastinę filosofiją, kurią jis išlaikė visą savo gyvenimą.

Baigęs valdybą, "Descartes" tęsė švietimą. 1616 m. Poitijerių universitete jis gavo įstatymo bakalauro laipsnį. 1617 m. Dekartiški atvyksta į kariuomenę ir daug keliauja daug Europoje.

1619 m. Mokslinio ryšio metai buvo raktas į dekartus.

Tai buvo tuo metu, kai jis pats rašė savo dienoraštyje, jis atidarė naujo "nuostabiu mokslu". Labiausiai tikėtina, Descartes reiškė visuotinio mokslo metodo atidarymą, kurį jis vėliau taikė vaisingai įvairiose disciplinose.

1620 m. Descartes atitinka M. Messenger matematiką, per kurį jis surengė ryšį daugelį metų su visa Europos mokslo bendruomene.

1628 m. Nyderlanduose yra pateisinami daugiau kaip 15 metų, tačiau kai kuriose vietose jis nenusprendžia, o apie du dešimtys kartų keičia gyvenamąją vietą.

1633 m., Sužinojusi apie Galilėjos bažnyčios pasmerkimą, dekartiški atsisako skelbti natūralią filosofinį darbą "taiką", kuriame natūralaus visatos atsiradimo idėjos pagal mechaninius įstatymus.

1637 m. Prancūzų kalba "Descartes" darbas "argumentais apie metodą", su kuriuo susiduria kaip daug žmonių, ir prasidėjo naujas Europos filosofija.

Išleista 1649 m. "Sielos aistra" filosofinis darbas, taip pat buvo didelė įtaka Europos minties, paskelbta 1649 metais tuo pačiu metu tuo pačiu metu Švedijos karalienės Christina Descartes kvietimu nuvyko į Švediją. Atšiaurus klimatas ir neįprastas režimas (karalienė privertė descartes pakilti 5 val. Norėdami suteikti savo pamokas ir atlikti kitus užsakymus) pakenkė dekartų sveikatai, ir, pakilo šalta, jis

mirė nuo pneumonijos.

Pagal tradiciją, įvestą cartes, "platumos" taškų yra žymimi raidė X, "ilguma" - raidė y

Ši sistema turi daug būdų nurodyti erdvę.

Pavyzdžiui, biliete į kiną yra du numeriai: skaičius ir vieta - jie gali būti vertinami kaip salės kambario koordinatės.

Tokios koordinatės priimamos šachmatais. Vietoj vieno iš numerių pateikiamas laiškas: vertikalios ląstelių eilutės žymimos lotyniškos abėcėlės raidės ir horizontalūs numeriai. Taigi, kiekviena šachmatų lentos ląstelė yra suderinta su pora raidžių ir skaičių, ir šachmatų žaidėjai gauna galimybę įrašyti savo šalis. Apie koordinates naudojimą rašo savo eilėraštyje "Artillerysta sūnus" Konstantin Simonov.

Visą naktį, vaikščioti kaip švytuoklė,

Akių majoras nebuvo plaunamas

Radijoje ryte

Padaryta pirmasis signalas:

"Viskas yra gerai, gavo

Vokiečiai paliko mane

Koordinatės (3; 10),

Atvirkščiai, ugnies!

Šautuvai, įkraunami,

Pagrindinis apskaičiuotas viską.

Ir su stogu pirmuosius tulžies

Paspauskite kalnus.

Ir vėl radijo signalą:

"Vokiečiai man teisės

Koordinatės (5; 10),

Greičiau, ugnis!

Žemė ir uolos skrido,

Post pakilo dūmų.

Dabar atrodė nuo ten

Niekas nebus gyvas.

Trečiasis signalas radijuje:

"Aplink mane vokiečiai

Koordinatės (4; 10),

Nenaudokite ugnies.

Pagrindinis pasuko šviesiai, išgirdęs:

(4; 10) - Tiesiog

Ta vieta, kur jo lyanka

Turi sėdėti dabar.

Konstantin Simonovas "Artilleryano sūnus"

§2. Koordinatės sistemos išradimo legendos

Yra keletas legendų apie koordinatės sistemos išradimą, kuris atlieka dekartų pavadinimą.

Legenda 1.

Iki mūsų laikų tokia istorija pasiekė.

Apsilankymas Paryžiaus teatruose, Descartes nebuvo pavargęs dėl supainiojimo, juda ir kartais ir iššūkių dvikovoje, atsiradusių dėl pradinės tvarkos dėl visuomenės platinimo auditorijoje nebuvimas. Jos siūloma numeracijos sistema, kurioje kiekviena vieta gavo daugelį skaičių ir serijos numerį iš krašto, nedelsiant pašalino visas ginčo priežastis ir parengė tikrą pratęsimą Paryžiaus aukščiausioje visuomenėje.

Legend2. Vieną dieną, Renatetuct visą dieną lovoje, galvodamas apie kažką, ir skrenda aplink ir nesuteikė jam sutelkti dėmesį. Jis pradėjo atspindėti, kaip apibūdinti muses poziciją bet kuriuo metu matematiškai, kad būtų galima jį nuplauti be misijos. Ir ... Sugalvotas, Cartesijos koordinatės, vienas iš didžiausių išradimų žmonijos istorijoje.

Markovtsev Yu.

Vieną kartą nepažįstamame mieste

Atvyko jauni dekartiški.

Jis buvo siaubingai kankinamas badu.

Stovėjo žygio mėnuo kovo mėnesį.

Aš nusprendžiau kreiptis į aistrą

Descartes, bando, drebulys:

Kur yra viešbutis, pasakykite man?

Ir ponia pradėjo paaiškinti:

- Eikite į pieno parduotuvę,

Tada į kepyklą, už jos

Čigonų parduoda kaiščius

Ir nuodų už žiurkes ir pelėms,

Juos rasite tikrai

Sūriai, sausainiai, vaisiai

Ir spalvotas šilkas ...

Visi šių klausimų paaiškinimai

Descartes, nuo šalto drebėjimo.

Jis norėjo valgyti labai

- Pirkiniai - vaistinė

(Vaistininkas yra ūsai swede),

Ir bažnyčia, kur yra amžiaus pradžioje

Nuvyko, atrodo mano senelis ...

Kai ponia tylėjo

Staiga išreiškė savo tarną:

- Eikite tris ketvirčius

Ir dvi dešinės. Įėjimas iš kampo.

Tai yra trečiasis atvejo trūkumas, kad "Cartesis" siūlo koordinates idėją.

Išvada

Sukurti, mes sužinojome apie koordinačių lėktuvo naudojimą įvairiose mokslo ir kasdienio gyvenimo srityse, tam tikra informacija iš koordinačių lėktuvo ir matematikų atsiradimo labai prisidėjo prie šio išradimo. Medžiaga, kurią surinkome rašymo metu, gali būti naudojamas mokyklos puodelyje, kaip papildoma medžiaga į pamokas. Visa tai gali būti suinteresuota moksleiviais ir pagyvinti mokymosi procesą.

Ir mes baigėme, kad norėtume šiuos žodžius:

"Įsivaizduokite savo gyvenimą su koordinačių plokštuma. Y ašis yra jūsų pozicija visuomenėje. "Axis X" - skatinimas į priekį, tikslas, jūsų svajonei. Ir kaip mes žinome, ji yra begalinis ... mes galime nukristi, toliau eiti žemyn minuso, mes galime likti nuliui ir nieko nedaryti. Mes galime pakilti, mes galime kristi, mes galime eiti į priekį arba grįžti, ir visi, nes mūsų gyvenimas yra koordinačių plokštuma ir svarbiausias dalykas čia, kas yra jūsų koordinatė ... "

Bibliografija

Glaser G.I. Matematikos istorija mokykloje: - m.: Apšvietimas, 1981. - 239 S, IL.

Lyatker Ya. A. Dekartas. M.: Maniau, 1975 m. - (praeities mąstytojai)

Matvievskaya G. P. Rena Descartes, 1596-1650. M.: Mokslas, 1976 m.

A. Savin. Koordinatės. Kvantinė. 1977. №9

Matematika - priedas prie laikraščio "Pirma, rugsėjo mėn.", №7 №20, №17, 2003, №11, 2000

Siegel F.YU. ABC žvaigždės: studentų vadovas. - m.: Apšvietimas, 1981-191 p., IL

Steve Parker, Nicholas Harris. Iliustruotas enciklopedija vaikams. Visatos paslaptys. Charkovas Belgorodas. 2008 m.

Medžiagos iš svetainės http://ista.rin.ru/

Ant paviršiaus. Leiskite vienai būti x, kita - y. Ir tegul šie tiesiogiai bus tarpusavyje statmenai (tai yra, jie susikerta stačiu kampu). Be to, jų sankirtos taškas bus koordinatės ir tiesioginio ir vieno segmento tos pačios (1 pav.).

Taigi mes turime stačiakampio koordinačių sistemaIr mūsų lėktuvas tapo koordinatės. Tiesioginis X ir Y yra vadinamos koordinatės ašimis. Be to, X ašis yra abscisos ašis, o y ašis yra ordinato ašis. Tai rodo panaši plokštuma paprastai pagal ašių pavadinimą ir atskaitos tašką - XOY. Taip pat vadinama stačiakampio koordinačių sistema cartesome koordinačių sistemaTaigi pirmą kartą jis pradėjo aktyviai naudoti prancūzų matematikas ir filosofas - Rene Descartes.

Stačiakampiai kampai, suformuoti tiesiai X ir Y koordinuoti kampus. Kiekvienas kampas turi savo numerį, kaip parodyta Fig. 2.

Taigi, kai kalbėjomės apie koordinačių tiesiogiai iš šio tiesaus, buvo vienas koordinatės. Dabar, kai kalbame apie koordinačių plokštumą, kiekvienas šios plokštumos taškas jau turės dvi koordinates. Vienas atitinka tiesioginį X (tai yra vadinamas abscissa), kita atitinka tiesią liniją y (tai koordinatė yra vadinamas ortent.). Tai yra parašyta tokiu būdu: m (x; y), kur x yra abscisa ir y - ordinatas. Skaito kaip: "taškas m su x, y koordinatėmis".

Kaip nustatyti taško koordinates ant plokštumos?
Dabar žinome, kad kiekvienas taškas turi dvi koordinates plokštumoje. Siekiant išmokti savo koordinates, pakanka mums per šį tašką praleisti dvi tiesias linijas statmenai koordinatėms ašoms. Sankryžos taškai šių tiesiogiai su koordinačių ašių bus norima koordinatės. Taigi, pavyzdžiui, Fig. 3 Nustatėme, kad m punkto koordinatės yra 5 ir 3.

Kaip sukurti tašką ant plokštumos savo koordinatėse?
Taip pat atsitinka, kad mes jau žinome taško koordinates ant plokštumos. Ir mes turime rasti savo vietą. Tarkime, kad (-2; 5 punkto koordinatės). Tai reiškia, kad abcissa yra -2, o ordinatas yra lygus 5. Paimkite tiesiai X (abscissa ašį) tašką su koordinačiu -2 ir praleiskite tiesioginį a per jį, lygiagrečiai ašis y. Atkreipkite dėmesį, kad bet koks šio tiesioginio taškas turės abservuoškumą lygus -2. Dabar mes rasime tiesiai y (ordinato ašį) tašką su koordinatės 5 ir praleiskite tiesioginį B, lygiagrečią ašį x. Atkreipkite dėmesį, kad bet koks šio tiesios taškas turės ordinatą, lygų 5. ties VIOS A ir B sankirtoje, tai bus taškas su koordinatais (-2; 5). Žymi savo raide P (4 pav.).

Mes taip pat pridėjome tą tiesiai, visi punktai yra abscisa -2, yra suteikta pagal lygtį
x \u003d -2 arba kad x \u003d -2 yra lygtis tiesioginis a. Patogumui galima kalbėti ne "tiesiai, kuris yra apibrėžtas x \u003d -2 lygtys", ir tiesiog "tiesiai x \u003d -2". Iš tiesų, bet kokiam punktui tiesiogiai A, lygybė x \u003d -2 galioja. Ir tiesiai b, visi taškai, kurių taškai yra 5, savo ruožtu, yra suteikta pagal y \u003d 5 lygtį arba kad y \u003d 5 yra lygties tiesioginis b.

Nurodyti kai kurių studijų objektų abipusę vietą:

1. koordinatės spindulys, kai jų išdėstymas ar judėjimas atsiranda tiesia linija vienoje nurodyto objekto pusėje, priimtoje nuorodos pradžioje;
2. koordinuoti tiesiogiai, kai jų išdėstymas ar judėjimas įvyksta tiesia linija skirtingomis kryptimis nuo konkretaus objekto, priimto nuorodos pradžioje;
3. koordinačių plokštuma, kai jų išdėstymas ar judėjimas atsiranda kartu su savavališkai netiesiogine linija.

Koordinatės plokštumos elementai

Koordinatės plokštuma skiriasi nuo įprastos plokštumos, nes koordinatės sistema yra taikoma. Pavyzdys yra bet kurios žemyninės su paralelėmis ir dienovidiniais vaizdu, kuris nustatė geografinę koordinačių sistemą, kad rastų ar nurodytų bet kurio žemėlapio objekto padėtį.

Koordinatės sistema yra du tarpusavyje susikerta stačiu kampu koordinuoti tiesiai ties nuorodos pradžios taškuose. Horizontalia koordinatė tiesiogiai vadinama abscisos ašimi (abscisa nuo lat. Yaz. - supjaustyti). Vertikali tiesia ašis ordinatas (ordinatas su lat. Yaz. - Statybos tvarka).

Panašiai koordinačių tiesiogiai skiriasi nuo įprasto tiesioginio fakto, kad jis pasirenka tam tikrą nuorodos pradžią; Pasirinkite vieno segmento skalę, priklausomai nuo to, kokie atstumai bus pateikti; Teigiama nuoroda kryptis, nurodyta koordinatės tiesiai rodyklėje.

Objekto padėtis tokioje plokštumoje žymima tašku su dviem numeriais - koordinatės: Abscissa ir ordinatas.

Koordinatės lėktuvų naudojimas

Koordinatės lėktuvai yra plačiai naudojami norint išspręsti geometrines ir fizines problemas. Ir fizikos, abscisos ašis dažnai užima laiko ašį. Tada ordinato ašis nustato kūno koordinates koordinatės tiesiogiai, esančiu tiesiai trajektorija kūno judėjimo.

Matematika - mokslas yra gana sudėtingas. Studijavimas, turite ne tik išspręsti pavyzdžių ir užduočių, bet ir dirbti su įvairiais skaičiais ir netgi lėktuvais. Vienas iš labiausiai naudojamų matematikos yra koordinačių sistema plokštumoje. Tinkamas darbas su savo vaikais mokomi ne vieneriems metams. Todėl svarbu žinoti, kas tai yra ir kaip dirbti su juo.

Išsiaiškinkime, kad tai yra ši sistema, kurią veiksmai gali būti atliekami su juo, ir taip pat išmokti jos pagrindines savybes ir funkcijas.

Sąvoka

Koordinatės plokštuma yra plokštuma, kurioje nurodoma tam tikra koordinačių sistema. Tokia plokštuma nustatoma dviem tiesiais, susikertančiais stačiu kampu. Šių tiesiogių sankirtos taške yra koordinatės pradžia. Kiekvieną koordinačių plokštumos tašką nustato pora, vadinamos koordinatėmis.

Mokyklos matematikos kalba, moksleiviai turi dirbti gana glaudžiai glaudžiai bendradarbiauti su koordinačių sistema - statyti figūrų ir taškų ant jo, nustatyti, kuri plokščia viena ar kita koordinačių valdo, taip pat nustatyti taško koordinates ir paskambinti arba paskambinti juos. Todėl kalbėkime daugiau apie visas koordinates funkcijas. Tačiau pirmiausia paliesite kūrinio istoriją ir tada kalbės apie tai, kaip dirbti koordinačių plokštumoje.

Istorinė nuoroda

Formoninės sistemos kūrimo idėjos vis dar buvo Ptolemėjus. Jau tada astronomai ir matematika galvojo apie tai, kaip sužinoti, kaip nustatyti taško padėtį plokštumoje. Deja, tuo metu koordinatės sistema mums dar nebuvo žinoma, o mokslininkai turėjo naudoti kitas sistemas.

Iš pradžių jie nustato taškus platumos ir ilgumos. Ilgą laiką tai buvo vienas iš labiausiai naudojamų būdų, kaip kreiptis dėl informacijos apie bet kokią informaciją. Tačiau 1637 m. René Descartes sukūrė savo koordinačių sistemą, vadinamą vėliau Dekretovosa garbei.

Jau XVII a. Pabaigoje. "Koordinatės plokštumos" sąvoka plačiai naudojama matematikos pasaulyje. Nepaisant to, kad nuo šios sistemos sukūrimo praėjo kelis šimtmečius, jis vis dar plačiai naudojamas matematikai ir net gyvenime.

Koordinatės plokštumos pavyzdžiai

Prieš kalbėdami apie teoriją, mes suteikiame keletą vizualių koordinačių plokštumos pavyzdžių, kad galėtumėte jį pristatyti. Visų pirma, koordinatės sistema naudojama šachmatai. Dėl lentos, kiekvienas kvadratas turi savo koordinates - tas pats koordinačių yra abėcėlinis, antrasis - skaitmeninis. Su juo galite nustatyti tam tikros figūros padėtį lentoje.

Antrasis ryškiausias pavyzdys gali būti mėgstamiausias žaidimas "jūros mūšis". Prisiminkite, kaip žaisti, jūs vadinate koordinačių, pavyzdžiui, B3, taip nurodant, kur tiksliai tikslas. Tuo pačiu metu, nustatant laivus, nurodote koordinačių plokštumos taškus.

Ši koordinatės sistema yra plačiai naudojama ne tik matematikos, loginių žaidimų, bet ir karinių reikalų, astronomijos, fizikos ir daug kitų mokslų.

Axis koordinatės

Kaip jau minėta, koordinačių sistemoje yra dvi ašys. Kalbėkime šiek tiek apie juos, nes jie turi didelę reikšmę.

Pirmoji ašis yra abscisa - horizontaliai. Jis vadinamas ( JAUTIS.). Antroji ašis yra ordinatas, kuris eina vertikaliai per atskaitos tašką ir yra nurodyta kaip ( Oy.). Tai yra šios dvi ašys, kurios sudaro koordinačių sistemą, laužo plokštumą keturiais ketvirčiais. Nuorodos pradžia yra šių dviejų ašių sankirtos taške ir trunka vertę. 0 . Tik tuo atveju, jei plokštuma formuoja dvi sankirtos statmenos ašys, turinčios atskaitos tašką, tai yra koordinačių plokštuma.

Mes taip pat atkreipiame dėmesį, kad kiekviena ašis turi savo kryptį. Paprastai, statant koordinačių sistemą, jis yra įprasta nurodyti ašies kryptį rodyklės pavidalu. Be to, statant koordinačių plokštumą, kiekviena ašis yra pasirašyta.

Ketvirtį

Dabar pasakykime keletą žodžių apie tokį dalyką kaip ketvirtadalį koordinačių plokštumos. Lėktuvas yra padalintas dviem ašimis keturių ketvirtadalių. Kiekvienas iš jų turi savo numerį, o lėktuvų numeravimas sukonfigūruotas prieš laikrodžio rodyklę.

Kiekvienas ketvirtadalis turi savo savybes. Taigi, pirmąjį ketvirtį abscisės ir ordinato teigiamas, antrąjį ketvirtį, abscissa yra neigiamas, ordinatas yra teigiamas, trečiojo ir abscisos, ir neigiamas ordinatas, ketvirtą teigiamą yra abscisa ir neigiama - ordinatas.

Prisimindami šias savybes, jį galima lengvai nustatyti, kuris ketvirtis yra vienas ar kitas taškas. Be to, ši informacija gali būti naudinga jums tuo atveju, jei turite atlikti skaičiavimus naudodamiesi Cartesian sistema.

Darbas su koordinačių plokštuma

Kai mes kalbėjome su lėktuvo sąvoka ir kalbėjome apie savo ketvirčius, galite eiti į tokią problemą, kaip dirbti su šia sistema, taip pat kalbėti apie tai, kaip kreiptis į jį, skaičiai koordinates. Koordinatės plokštumoje tai nėra taip sunku, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio.

Visų pirma, pati sistema yra pastatyta, visi svarbūs pavadinimai yra taikomi. Tada jau yra tiesiogiai su taškais ar skaičiais. Tuo pačiu metu, net tada, kai gabalai yra pastatyti pirmiausia, taškai yra taikomi plokštumoje, o tada skaičiai jau nubrėžti.

Lėktuvo statybos taisyklės

Jei nuspręsite pradėti švęsti figūras ir taškus ant popieriaus, jums reikės koordinačių plokštumos. Taškų koordinatės taikomos ant jo. Siekiant sukurti koordinačių plokštumą, reikės tik valdovo ir rašiklio ar pieštuko. Pirma, nubrėžta abscisos horizontali ašis, tada vertikalus - ordinatas. Svarbu prisiminti, kad ašys susikerta stačiu kampu.

Kitas privalomas taškas yra taikyti žymėjimą. Kiekvienoje ašyse abiem kryptimis segmentai pastebimi ir pasirašomi. Tai daroma norint dirbti su plokštuma su maksimaliu patogumu.

Mes švenčiame tašką

Dabar pakalbėkime apie tai, kaip taikyti koordinates koordinačių plokštumoje koordinates. Tai yra pagrindas žinoti, kad sėkmingai įdiegtų įvairių skaičių plokštumoje ir net pažymėjo lygtis.

Statybos taškai turėtumėte prisiminti, kaip jų koordinatės yra įrašytos teisingai. Taigi, paprastai nustatant tašką, du skaitmenys rašo skliausteliuose. Pirmasis skaitmuo rodo tašką koordinatės palei abscisa ašį, antroji yra ordinato ašis.

Sukurti tokiu būdu. Pirmasis ženklas ant ašies JAUTIS. nurodytas taškas, tada pažymėkite ašies tašką Oy.. Be to, laikykite įsivaizduojamus linijas iš šių pavadinimų ir suraskite savo sankirtos vietą - tai bus nurodytas taškas.

Jūs tiesiog pamatysite ir pasirašysite. Kaip matote, viskas yra gana paprasta ir nereikalauja specialių įgūdžių.

Įdėkite figūrą

Dabar mes kreipiamės į tokį klausimą kaip figūrų statybą koordinačių plokštumoje. Siekiant sukurti bet kokią koordinačių plokštumos formą, turėtumėte žinoti, kaip į jį pateikti taškus. Jei žinote, kaip tai padaryti, tada įdėkite figūrą ant lėktuvo nėra taip sunku.

Visų pirma jums reikės skaičiaus taškų koordinates. Būtent jie bus taikomi mūsų koordinačių sistemai, kurią pasirinkote, apsvarstykite stačiakampio, trikampio ir apskritimo taikymą.

Pradėkime su stačiakampiu. Tai gana paprasta jį taikyti. Pirma, į lėktuvą taikomos keturi taškai, žymi stačiakampio kampus. Tada visi taškai yra iš eilės prijungti.

Trikampio taikymas nesiskiria. Vienintelis - iš jo kampai, o tai reiškia, kad trys taškai yra taikomi lėktuvui, žyminčiais jo viršūnių.

Dėl apskritimo čia turėtumėte žinoti dviejų taškų koordinates. Pirmasis taškas yra apskritimo centras, antrasis yra taškas, nurodantis jo spindulį. Šie du taškai taikomi plokštumoje. Tada yra apvalus, matuojamas atstumas tarp dviejų taškų. Cirkulės galas dedamas ant taško, žyminčiojo centru, o apskritimas yra aprašytas.

Kaip matote, taip pat nėra nieko sudėtingo, pagrindinis dalykas yra tai, kad valdovas ir apskritimas visada bus ranka.

Dabar žinote, kaip taikyti skaičių koordinates. Koordinatės plokštumoje nėra taip sunku, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio.

Išvados. \\ T

Taigi, mes peržiūrėjome su jumis vieną iš įdomiausių ir pagrindinių matematikos koncepcijų, su kuriomis jūs turite susidurti su kiekviena mokykla.

Mes sužinojome, kad koordinačių plokštuma yra plokštuma, kurią sudaro dvi ašys sankirtos. Su juo galite nustatyti taškų koordinates, taikyti figūras ant jo. Lėktuvas yra padalintas į ketvirtį, kurių kiekvienas turi savo savybes.

Pagrindinis įgūdis, kuris turėtų būti sukurtas dirbant su koordinačių plokštuma - gebėjimas teisingai taikyti nurodytus taškus. Norėdami tai padaryti, turėtumėte žinoti teisingą ašių vietą, kvartalų savybes, taip pat taisykles, kuriomis nustatomos taškų koordinatės.

Tikimės, kad pateikta informacija buvo prieinama ir suprantama, ir taip pat buvo naudinga jums ir padėjo geriau išsiaiškinti šią temą.

"Nurodytos" taškai - "gyventojai", kiekvienas taškas turi savo "namų numerį" - jos koordinatės. Jei taškas yra paimtas plokštumoje, tada savo "registracija" jums reikia nurodyti ne tik "namų numerį", bet ir "buto numerį". Prisiminkite, kaip tai daroma.

Mes atliksime du abipusiai statmenai koordinuoti tiesiogiai ir mes apsvarstysime nuorodos pradžią abiejose jų sankirtos taškuose - O. Taigi, plokštuma yra suteikta stačiakampio koordinačių sistema (20 pav.), Kuri tampa įprasta lėktuvas Koordinatėje. Taškas vadinama koordinatės pradžia, koordinatės tiesiogiai (X ašis ir ašis) vadinamos koordinatės ašimis, o koordinatės ašys, vadinamos koordinatės ašys, yra vadinami koordinačių kampais. Koordinatės stačiakampiai kampai yra sunumeruoti, kaip parodyta 20 paveiksle.

Ir dabar mes kreipiamės į 21 paveikslą, kur pavaizduota stačiakampio koordinačių sistema, ir taškas M. bus pažymėtas per jį tiesiogiai, lygiagrečios ašies y. Tiesi linija tam tikru momentu eina X ašis, šis taškas turi koordinačių - ant X ašies. Siekiant 21 paveiksle nurodytas taškas, šis koordinatas yra -1,5, jis vadinamas Abscissa Point M. Be to, mes atliksime tiesią liniją, lygiagrečią ašį x. Tiesi linija kerta ašį tam tikru momentu, šis taškas turi koordinatės - ant ašies.

Siekiant 21 paveiksle, šis koordinatas yra 2, jis vadinamas įprastu tašku M. trumpai rašyti taip: m (-1,5; 2). "Abslissue" yra įrašyta į pirmąją vietą, ordinate - antrajame. Naudokite, jei reikia to, ir kita įrašymo forma: x \u003d -1,5; y \u003d 2.

1 pastaba. . Praktiškai, norint rasti m punkto koordinates, paprastai vietoj tiesioginių, lygiagrečių koordinačių ašių ir einančių per m punktą, šių tiesiogių segmentai yra pastatyti iki koordinačių ašių (22 pav.).

Užrašas 2. Ankstesnėje pastraipoje įvedėme skirtingus skaitmeninių intervalų pavadinimus. Visų pirma, kaip mes sutarėme, įrašas (3, 5) reiškia, kad koordinatės tiesioginis intervalas su galais 3 ir 5 punktuose nurodytose dalyse, mes manome, kad pora numerių, kaip taško koordinates; Pavyzdžiui, (3; 5) yra taškas koordinuoti plokštumą Su abscissa 3 ir įprasta 5. Kaip teisingai nustatyti simbolinį įrašą, kas yra klausimas: apie intervalo ar apie taško koordinates? Dažniausiai tai atsitinka aiškiai tekstu. Ir jei neaišku? Atkreipkite dėmesį į vieną detalę: įtraukiant intervalą mes naudojome kablelius ir paskyrimą koordinates - taškas su kableliu. Tai, žinoma, nėra labai reikšminga, bet vis dar skirtumas; Mes jį taikysime.

Atsižvelgiant į įvestus terminus ir žymėjimą, horizontalia koordinatė tiesiogiai vadinama abscisa, arba X ašimi ir vertikalia koordinatė - ordinato ašis arba ašies ašis. X, Y, paprastai naudoja, kai nurodoma stačiakampio koordinačių sistemos plokštumoje (žr. 20 pav.) Ir dažnai sako: Dana Hou koordinuoti sistemą. Tačiau yra ir kitų žymių: pavyzdžiui, 23 paveiksle, TOS koordinačių sistema yra nustatyta.
Algoritmas ieškant m punkto koordinatės, pateiktos stačiakampio koordinačių sistemoje Hou

Štai kaip mes veikėme, ieškokite taško koordinates 21 pav. Jei m 1 taškas (x; y) priklauso pirmam koordinačių kampe, tada x\u003e 0, y\u003e 0; Jei taškas m 2 (x, y) priklauso antrajam koordinatiniam kampui, tada x< 0, у > 0; Jei taškas m 3 (x; y) priklauso trečiam koordinatiniam kampui, tada x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х > Ou.< 0 (рис. 24).

Ir kas nutiks, jei taškas, kurio koordinatės turi būti rasta vienoje iš koordinačių ašių? Tegul taškas yra ant x ašies, o taškas B yra ant ašies (25 pav.). Elgesys per tašką ir tiesioginę, lygiagrečią ašį ir rasti šio tiesaus sankirtos tašką su ašimi X neturi prasmės, nes toks sankirtos taškas jau yra - tai taškas, jo koordinatė (abscissa) yra lygi iki 3. Panašiai nereikia atlikti taško ir tiesios, lygiagrečios ašies X, - tai tiesioginis X ašis, kertanti ašį koordinačių taške (ordinate) 0. Kaip rezultatas , už tašką ir mes gauname a (3; 0). Panašiai, už tašką gaunant (0; - 1,5). Ir už o tašką, mes turime O (0; 0).

Apskritai, bet koks X ašies taškas turi koordinates (x; 0), ir bet koks koordinatės ašies taškas (0; Y)

Taigi, kaip rasti koordinates koordinačių plokštumoje koordinates, mes aptarėme. Ir kaip išspręsti atvirkštinę problemą, t.y. Kaip, prašydama koordinates, sukurti tinkamą tašką? Norėdami išsiaiškinti algoritmą, atliksime du pagalbinius, tačiau tuo pačiu metu yra svarbūs argumentai.

Pirmasis argumentavimas. Tarkime, koordinačių sistemoje iš I, lygiagrečios ašies y ir susikerta X ašį taške su koordinačiu (abscissa) 4

(26 pav.). Bet koks taškas gulėti ant šio tiesioginio turi abscisų 4. Taigi, taškams m 1, m2, m 3, mes turime m 1 (4; 3), m2 (4; 6), m 3 (4; - 2) . Kitaip tariant, bet kurio m punkto tiesioginio veikimo abscisa atitinka sąlygą x \u003d 4. Sakoma, kad x \u003d 4 - lygtis. \\ T Tiesioginis l arba tai tiesus aš tenkina x \u003d 4 lygtį.

27 paveikslas rodo tiesiogines tenkinančias lygtis x \u003d - 4 (tiesia linija I 1), x \u003d - 1
(tiesiai I 2) x \u003d 3.5 (tiesiai 3). Ir kokia tiesioginė atitinka x \u003d 0 lygtį? Atspėk? Ašis.

Antrasis argumentavimas. Tarkime, kad koordinačių sistemoje "Xou" atliko tiesiai I, lygiagrečią ašį X ir susikertant ašį Y taške su koordinačiu (ordinatas) 3 (28 pav.). Bet koks taškas, esantis ant šio tiesioginio taško. 3. Taigi, taškams m 1, m 2, m 3 mes turime: m 1 (0; 3), m2 (4; 3), m 3 (- 2; 3). Kitaip tariant, bet kurio M. m punkto nukreipimas aš patenkina sąlygą Y \u003d 3. Sakoma, kad Y \u003d 3 yra tiesioginio I arba kad tiesiai aš patenkinu \u200b\u200blygtį Y \u003d 3 lygtis.

29 paveikslas rodo tiesiogines tenkinančias lygtis Y \u003d - 4 (tiesiai L 1), Y \u003d - 1 (tiesiai I 2), Y \u003d 3.5 (tiesiai I 3) - kas tiesioginis tenkina lygtį Y \u003d 01 atspėti? X ašis.

Atkreipkite dėmesį, kad matematika, siekia trumpumo kalbos, jie sako: "tiesiai x \u003d 4", o ne "tiesiai, patenkinti x \u003d 4 lygtį". Panašiai jie sako "tiesiai y \u003d 3", o ne "tiesiai, patenkinti paprastą y \u003d 3". Mes ateisime taip pat. Dabar leiskite mums grįžti į 21 paveikslą. Atkreipkite dėmesį, kad taškas m (- 1,5; 2), kuris yra vaizduojamas ten, yra tiesioginio x \u003d -1,5 sankirtos taškas ir tiesioginis y \u003d 2. Dabar, matyt, taško konstrukcija Algoritmas bus suprantamas pagal jo nurodytus koordinates.

Algoritmas, skirto taško montavimui m (a; b) stačiakampio koordinačių sistemoje

Priem Kaip koordinačių sistema statyti taškus: a (1; 3), (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Sprendimas. A taškas yra sankirtos taškas tiesiai X \u003d 1 ir Y \u003d 3 (žr. 30 pav.).

Taškas yra tiesioginio x \u003d - 2 ir y \u003d 1 sankirtos taškas (30 pav.). C taškas priklauso X ašiui, o D - 30 pav.).

Apibendrinant, mes dėmesį, kad pirmą kartą, stačiakampio koordinačių sistema ant lėktuvo pradėjo aktyviai naudoti algebrai pakeisti modeliai. \\ T Geometriniai prancūzų filosofo rene descartes (1596-1650). Todėl "Deartova" koordinatės sistema "," Carteso koordinatės "kartais kalba.

Visas temų sąrašas pagal klases, kalendoriaus planą pagal Matematikos mokyklų programą internete, akcijų pėda Matematikos 7 laipsnio atsisiuntimas

A. V. Pogorelov, 7-11 klasių geometrija, bendrojo lavinimo įstaigų vadovė

Pamokos projektavimas. \\ T Santrauka pamoka Nuoroda Rėmas Pristatymas Pamokos spartybos metodai Interaktyvios technologijos Praktika Užduotys ir pratimai savikontrolės dirbtuvės, mokymai, atvejai, Quest namų užduotys Diskusijos klausimai Retoriniai klausimai iš studentų Iliustracijos Garso, vaizdo įrašai ir multimedija Nuotraukos, nuotraukos, lentelės, humoro schemos, anekdotai, anekdotai, komiksai Patarlių, posakių, kryžiažodžių, citatos Papildai. \\ T Santraukos. \\ T Straipsniai Chips už įdomu apgauti lapus Vadovėliai Pagrindiniai ir papildomi globai Kitos sąlygos Vadovų knygų ir pamokų gerinimas Tvirtinimo klaidų nustatymas Atnaujinti fragmentą vadovėlyje. Inovacijų elementai pamokoje, pakeičianti pasenusias žinias naujas Tik mokytojams Puikios pamokos Kalendoriaus planas dėl metų metodinių rekomendacijų diskusijų programos Integruotos pamokos