Kaip sukurta visuomenė, matematika sukūrė komplikacijas. Judėjimas nuo paprastos iki sudėtingos. Nuo įprastos apskaitos prie papildymo ir atimties metodo, su jų pakartotiniu pasikartojimu jie atėjo į dauginimo ir padalijimo koncepciją. Padidinti kartojamą dauginamąją dauginimo operaciją, tapo pratybų koncepcija į laipsnį. Pirmosios lentelės numerių iš pagrindo ir statybos skaičius buvo parengtas VIII amžiuje, Indijos matematikas buvo Varamenas. Su jais galite suskaičiuoti logaritmų laiką.

Istorinė esė

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino mechanikos kūrimą. T. aš vadovauju dideliu skaičiavimususijęs su dauginamųjų skaičių dauginimu ir padalijimu. Senovės lentelės pateikė didelę paslaugą. Jie leido pakeisti sudėtingas operacijas paprastesniu - papildymu ir atimtimu. Matematikos darbas Michael Swittel, paskelbtas 1544 m., Kai jis įgyvendino daugelio matematikų idėją buvo didelis žingsnis. Tai, ką įmanoma naudoti lenteles ne tik laipsnių paprastų numerių forma, bet ir savavališkai racionaliai.

1614 m. "Scotlandz John" niekada nesukuria šių idėjų, pirmiausia pristatė naują "Logarith'o numerį". Nauja sudėtingų lentelių buvo parengta apskaičiuoti sinusų ir kosmenų logaritmus, taip pat liestų. Tai stipriai sumažino astronomų darbą.

Naujos lentelės pradėjo atsirasti, kuri sėkmingai panaudojo mokslininkai per tris šimtmečius. Daug laiko praėjo prieš naują chirurgiją Algebra įsigijo jo baigtą išvaizdą. Buvo suteikta logaritmo apibrėžtis, o jo savybės buvo tiriamos.

Tik XX a., Su skaičiuoklės ir kompiuterio atsiradimu žmonija atsisakė senovės lentelių, kurios sėkmingai dirbo XIII a.

Šiandien mes vadiname logaritms B remiantis numeriu X, kuris yra skaičius a, kad numeris B yra. Kaip formulė, tai parašyta: x \u003d log a (b).

Pavyzdžiui, žurnalas 3 (9) bus lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimą. Jei 3 yra pastatytas į 2 laipsnį, tada mes gauname 9.

Taigi apibrėžta apibrėžtis kelia tik vieną apribojimą, numeris A ir B turi būti realus.

Logaritmo veislės

Klasikinė apibrėžtis vadinama tikru logaritmu ir iš tikrųjų yra x \u003d b lygties sprendimas. Įspekcija A \u003d 1 yra siena ir neatskiria palūkanų. Dėmesio: 1 arba laipsnio lygi 1.

Tikroji logaritmo vertė Jis nustatomas tik pagrindu ir argumentu, didesniu nei 0, o bazė neturėtų būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityje Logaritmai žaisti, kuri bus vadinama priklausomai nuo jų pagrindo vertės:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų nuosavybė yra taisyklė: darbo logaritmas yra lygus logaritminei sumai. Prisijungti ABP \u003d Prisijungti a (b) + log a (p).

Kaip šio pareiškimo variantas, tai bus: log C (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), privačios funkcijos funkcija yra lygi skirtumui skirtumą.

Nuo ankstesnių dviejų taisyklių lengva pamatyti, kad: log a (b p) \u003d p * log a (b).

Be kitų savybių galima paskirstyti:

Komentaras. Nereikia padaryti bendros klaidos - sumos logaritmas nėra lygus logaritmų sumai.

Jau daugelį šimtmečių logaritmo darbo operacija buvo gana laiko priemonė. Matematika naudojo gerai žinomą logaritminės pynimo polinomo teorijos formulę:

ln (1 + x) \u003d x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * ((x ^ n) / n), kur n yra natūralus skaičius didesnis nei 1, kuris lemia skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitomis bazėmis buvo apskaičiuoti naudojant pereinamąjį teoriją iš vienos bazės į kitą ir darbo logaritmą.

Kadangi šis metodas yra labai sunkus ir sprendžiant praktines problemas Tiesą sakant, sunku naudoti iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios žymiai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sukurti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos vertės paiešką. Funkcijos kreivė y \u003d žurnalas a (x), pastatytas keliais taškais, leidžia mums rasti funkcijų vertes bet kuriuo kitu tašku naudojant įprastinę liniją. Inžinieriai ilgą laiką šiais tikslais naudojo vadinamąjį milimetro popierių.

XVII a. Pasirodė pirmosios papildomos analoginės skaičiavimo sąlygos, kurias XIX a. Įsigijo baigtą išvaizdą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas logaritminiu valdikliu. Su visais prietaiso paprastumu, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir sunku pervertinti. Šiuo metu keletas žmonių yra susipažinę su šiuo prietaisu.

Skaičiuoklių ir kompiuterių išvaizda padarė beprasmišką bet kokių kitų įrenginių naudojimą.

Lygtis ir nelygybė

Norėdami išspręsti įvairias lygtis ir nelygybę naudojant logaritmus, naudojamos šios formulės:

• Perėjimas nuo vienos bazės į kitą: log a (b) \u003d log c (b) / log c (a);
• Dėl ankstesnės versijos: log a (b) \u003d 1 / log b (A).

Siekiant išspręsti nelygybę, naudinga žinoti:

• Logaritmo vertė bus teigiama tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas vienu metu yra daugiau ar mažiau nei vienas; Jei pažeidžiama bent viena būklė, logaritmo vertė bus neigiama.
• Jei logaritmo funkcija taikoma dešinėje ir kairėje nelygybės daliai, o logaritmo pagrindas yra didesnis, išsaugomas nelygybės ženklas; Priešingu atveju jis keičiasi.

Užduočių pavyzdžiai.

Apsvarstykite keletą galimybių naudoti logaritmus ir jų savybes. Pavyzdžiai su lygčių sprendimais:

Apsvarstykite logaritmo vietą iki laipsnio:

• Užduotis 3. Apskaičiuokite 25 ^ žurnalą 5 (3). Sprendimas: pagal užduoties problemas, įrašas yra panašus į šiuos (5 ^ 2) ^ log5 (3) arba 5 ^ (2 * log 5 (3)). Mes rašome skirtingai: 5 ^ log 5 (3 * 2) arba numerio kvadratas, kaip funkcijos argumentas, gali būti parašyta kaip pačios funkcijos kvadratas (5 ^ žurnalas 5 (3)) ^ 2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra 3 ^ 2. Atsakymas: Dėl skaičiavimo gauname 9.

Praktinis naudojimas

Kaip tik matematinis instrumentas, atrodo, kad toli nuo realaus gyvenimo, kad logaritmas netikėtai įgijo didelę reikšmę apibūdinti realius pasaulio įrenginius. Sunku rasti mokslą, kur jis netaikomas. Tai visiškai taikoma ne tik natūraliems, bet ir humanitarinėms žinių sritims.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitmenų priklausomybių pavyzdžiai:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada sukūrė naudojant matematinius tyrimo metodus ir tuo pačiu metu buvo paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos įstatymų teorija yra parašyta matematikos kalba. Pateikiame tik fizinių įstatymų aprašymą, naudojant logaritmą.

Galima išspręsti tokios sudėtingos vertės apskaičiavimo problemą kaip raketų greitį, naudojant Tsiolkovskio formulę, kuri padėjo iš kosmoso plėtros teorijos pradžioje:

V \u003d i * ln (m1 / m2), kur

• V yra galutinis orlaivio greitis.
• I - specifinis variklio impulsas.
• M 1 - pradinė raketos masė.
• M 2 - galutinis svoris.

Kitas svarbus pavyzdys - Tai naudojama kitos didelės mokslininko Max Planck formulėje, kuri padeda įvertinti termodinamikos pusiausvyros būklę.

S \u003d k * ln (ω), kur

• S yra termodinaminė nuosavybė.
• k - Boltzmann pastovus.
• Ω - skirtingų valstybių statistinis svoris.

Chemija

Chemijos formulės, kurioje yra logaritmų santykiai, bus mažiau akivaizdūs. Mes taip pat pateikiame tik du pavyzdžius:

• Nernsta lygtis, termino oksidacijos ir redukcinio potencialo sąlyga, susijusi su medžiagų aktyvumu ir pusiausvyra.
• Tokių konstantų skaičiavimas, kaip aurobilizacijos rodiklis ir tirpalo rūgštingumas, taip pat nėra aplinkkelio be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir tai yra visiškai nesuprantama, kas yra psichologija. Pasirodo, kad pojūčio galia yra gerai aprašyta ši funkcija kaip atvirkštinio stimulo intensyvumo santykis mažesnei intensyvumo vertei.

Po pirmiau minėtų pavyzdžių nebėra nustebęs, kad logaritmų tema yra plačiai naudojama biologijoje. Biologinės formos, atitinkančios logaritminius spirales, galite parašyti visą kiekį.

Kitos sritys

Atrodo neįmanoma egzistuoti be bendravimo su šia funkcija, ir ji nustato visus įstatymus. Ypač tada, kai gamtos įstatymai yra susiję su geometrine pažanga. Verta susisiekti su Matprochi svetaine, ir tokie pavyzdžiai yra daug šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos modelius, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.

Taigi, prieš mus atskaito. Jei vartojate numerį iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti laipsnį, kuriame turės būti imtasi, kad gautumėte šį numerį. Pavyzdžiui, gauti 16, jums reikia dviejų, kad sukurtumėte ketvirtąjį laipsnį. Ir gauti 64, jums reikia dviejų statyti šeštąjį laipsnį. Tai matyti iš stalo.

Ir dabar - iš tikrųjų, logaritmo apibrėžimas:

Logaritmas ant pagrindo A iš X argumento yra laipsnis, kuriame numeris a turi būti imtasi gauti numerį x.

Pavadinimas: log a x \u003d b, kur yra pagrindas, X yra argumentas, B - iš tikrųjų, kas yra lygi logaritmui.

Pavyzdžiui, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (bazės logaritmas 2 iš 8 numerio yra trys, nuo 2 3 \u003d 8). Su tuo pačiu sėkmės žurnalu 2 64 \u003d 6, nuo 2 6 \u003d 64.

Nagrinėjant tam tikros bazės numerio logaritmą yra vadinamas logaritumu. Taigi, papildyti mūsų lentelę su nauja eilutė:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	Žurnalas 2 4 \u003d 2	prisijunkite 2 8 \u003d 3	Žurnalas 2 16 \u003d 4	prisijunkite 2 32 \u003d 5	Žurnalas 2 64 \u003d 6

Deja, ne visi logaritmai laikomi taip paprasta. Pavyzdžiui, pabandykite surasti žurnalą 2 5. 5 numeriai nėra lentelėje, tačiau logika rodo, kad logaritmas bus kažkur ant segmento. Kadangi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionalu: numeriai po kablelio gali būti parašyta į begalybę, ir jie niekada kartojasi. Jei logaritmas gaunamas neracionalus, geriau jį palikti: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (pagrindu ir argumentu). Daugelis iš pradžių supainioti, kur yra pagrindas, ir kur yra argumentas. Siekiant išvengti erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažvelkite į paveikslėlį:

Prieš mūsų yra ne tik logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logarithm yra laipsnisKurioje pagrindas turi būti imtasi siekiant gauti argumentą. Tai yra pamatas, kuris yra pastatytas į laipsnį - paveikslėlyje jis yra paryškintas raudonai. Pasirodo, kad pagrindas visada yra žemyn! Ši nuostabi taisyklė aš pasakysiu savo mokiniams pirmąją pamoką, ir nesupainioja.

Mes nagrinėjome apibrėžimą - lieka išmokti apsvarstyti logaritmus, t.y. Atsikratykite ženklo "Prisijungti". Pirmiausia atkreipiame dėmesį į tai, kad du svarbūs faktai yra susiję su apibrėžimu:

1. Argumentas ir pagrindas visada turi būti didesnis nei nulis. Tai išplaukia nuo racionalaus rodiklio laipsnio, į kurį sumažėja logaritmo apibrėžimas.
2. Pagrindas turėtų būti skiriasi nuo vieneto, nes vienetas iki laipsnio vis dar yra vienybė. Dėl šio klausimo "Kiek vienetas turėtų būti pastatytas gauti deuce" atimta prasmės. Nėra tokio laipsnio!

Tokie apribojimai vadinami leistinų verčių plotas (Otz). Pasirodo, kad nelyginis logaritmas atrodo taip: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad nėra jokių apribojimų B (logaritmo vertė) nėra viršijamas. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 \u003d -1, nes 0,5 \u003d 2 -1.

Tačiau dabar mes svarstoime tik skaitines išraiškas, kur žinoti OTZ logarithm nereikia. Visi apribojimai jau atsižvelgiama į užduočių sudarytojai. Bet kai vyksta logaritminės lygtys ir nelygybė, OTZ reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrindu ir argumentu, gali būti labai nepagrįstos struktūros, kurios būtinai atitinka pirmiau minėtus apribojimus.

Dabar apsvarstykite bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

1. Pateikite pagrindinį A ir argumentą X laipsnio forma su minimalia galimu pagrindu, dideliu vienetu. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių dalių;
2. Išspręskite atsižvelgiant į kintamą B lygtį: X \u003d A B;
3. Gautas skaičius B bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas yra neracionalus, jis bus matomas pirmuoju žingsniu. Reikalavimas, kad bazė buvo daugiau vieningos yra labai svarbus: tai sumažina klaidų tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašiai su dešimtųjų frakcijų: jei jūs iš karto išversti juos į įprastą, klaidų bus kartais mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: žurnalas 5 25

1. Pateikite pagrindą ir argumentą kaip penkių: 5 \u003d 5 1 laipsnį; 25 \u003d 5 2;

Leiskite mums išspręsti lygtį:
Prisijunkite 5 25 \u003d B ⇒ (5 1) B \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ B \u003d 2;

2. Gavo atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

1. Įsivaizduokite pagrindą ir argumentą kaip twos: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Leiskite mums išspręsti lygtį:
   LOG 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒ 2 2B \u003d 2 6 ⇒ 2B \u003d 6 ⇒ B \u003d 3;
3. Gavo atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

1. Įsivaizduokite pagrindą ir argumentą kaip du: 16 \u003d 2 4 laipsnį; 1 \u003d 2 0;
2. Leiskite mums išspręsti lygtį:
   Prisijunkite 16 1 \u003d B ⇒ (2 4) B \u003d 2 0 ⇒ 2 4B \u003d 2 0 ⇒ 4B \u003d 0 ⇒ B \u003d 0;
3. Gavo atsakymą: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: žurnalas 7 14

1. Pateikite pagrindą ir argumentą kaip septyni: 7 \u003d 7 1 laipsnį; 14 Septynių laipsnio pavidalu, kad jis neatrodo, nuo 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iš ankstesnio taško matyti, kad nelaikoma logaritmas;
3. Atsakymas nėra pakeitimas: log 7 14.

Mažai pastaba iki paskutinio pavyzdžio. Kaip įsitikinti, kad numeris nėra tikslus kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta - pakankamai suyra su paprastais veiksniais. Jei skilimas yra bent du skirtingi veiksniai, skaičius nėra tikslus laipsnis.

Užduotis. Sužinokite, ar tiksli numerio laipsniai: 8; 48; 81; 35; keturiolika.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - Tikslus laipsnis, nes Daugiklis yra tik vienas;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Tai nėra tikslus laipsnis, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - Tikslus laipsnis;
35 \u003d 7 · 5 - dar nėra tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 · 2 - dar kartą, o ne tikslus laipsnis;

Mes taip pat atkreipiame dėmesį, kad patys paprasti numeriai visada yra tikslūs patys laipsniai.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai susiduria taip dažnai, kad jie turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.

Dešimtainis logaritmas iš X argumento yra logaritmas, pagrįstas 10, i.e. Laipsnis, kuriuo skaičius 10 turėtų būti pastatytas gauti numerį x. Pavadinimas: LG X.

Pavyzdžiui, LG 10 \u003d 1; LG 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 ir tt

Nuo šiol, kai vadovėlis susiduria su frazę kaip "rasti LG 0,01", žinokite: tai nėra klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau, jei esate neįprasta tokiam pavadinimui, jis visada gali būti perrašytas:
Lg x \u003d log 10 x

Visa tai pasakytina apie paprastus logaritmus dešimtainei.

Natūralus logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo paskyrimą. Tam tikra prasme ji yra dar svarbesnė už dešimtainį. Mes kalbame apie natūralų logaritmą.

Natūralus logaritmas iš argumento X yra logaritmas, pagrįstas e, i.e. Laipsnis, kuriame numeris turėtų būti pastatytas, kad gautumėte numerį x. Paskyrimas: LN X.

Daugelis paklausti: kas dar numeriu e? Tai neracionalus skaičius, tiksli vertė rasti ir rašyti tai neįmanoma. Aš duosiu tik pirmuosius duomenis:
e \u003d 2,718281828459 ...

Mes ne gilinti, kad tai yra numeris ir kodėl jums reikia. Tiesiog nepamirškite, kad e yra natūralaus logaritmo pagrindas:
ln x \u003d log e x

Taigi, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; Ln e 16 \u003d 16 - tt Kita vertus, LN 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai, natūralus logaritmas bet racionalus skaičius yra neracionalus. Be to, žinoma, vienetai: ln 1 \u003d 0.

Dėl natūralių logaritmų, visos taisyklės, kurios yra teisingos įprastiniams logaritmams.

Pagrindinės natūralaus logaritmo savybės, grafikas, apibrėžimo regionas, daugybė verčių, pagrindinių formulių, darinių, neatskiriamų, skilimo į galios diapazoną ir LN X funkcijos atstovavimas naudojant sudėtingus numerius.

Apibrėžimas

Natūralus logaritmas - tai yra y \u003d funkcija ln x.atvirkščiai į eksponentinį, x \u003d e y, ir yra logaritmas pagal numerį: ln x \u003d log e x.

Natūralus logaritmas yra plačiai naudojamas matematikai, nes jo išvestinė yra paprasčiausias vaizdas: (ln x) '\u003d 1 / x.

Pagrįstas apibrėžimai. \\ T, natūralaus logaritmo pagrindas yra skaičius e.:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Tvarkaraščio funkcija Y \u003d ln x..

Gamtos logaritmo tvarkaraštis (funkcijos y \u003d ln x.) Pasirodo iš eksponento tvarkaraščio su veidrodžio atspindžiu, palyginti su tiesioginiu Y \u003d X.

Natūralus logaritmas yra apibrėžiamas su teigiamomis kintamojo x vertėmis. Jis monotoniškai padidina jo apibrėžimo srityje.

X → 0 Natūralaus logaritmo riba yra minus begalybė (- ∞).

X → + ∞ natūralaus logaritmo riba yra plius begalybė (+ ∞). Su dideliu x logaritmu didėja gana lėtai. Bet kokia galios funkcija x A su teigiamu laipsnio rodikliu auga greičiau nei logaritmas.

Natūralaus logaritmo savybės

Apibrėžimas plotas, daug vertybių, kraštutinumų, didėjantis, sumažėjimas

Natūralus logaritmas yra monotoninė vis didėjanti funkcija, todėl kraštutinumai neturi kraštutinumų. Pagrindinės natūralaus logaritmo savybės pateikiamos lentelėje.

Ln x vertybės

ln 1 \u003d 0

Pagrindinės natūralių logaritmų formulės

Formulės, atsirandančios dėl atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:

Pagrindinė logaritmų nuosavybė ir jo pasekmė

Pagrindo keitimo formulė

Bet koks logaritmas gali būti išreikštas pagal natūralius logaritmus, naudojant pagrindinę pakaitinę formulę:

Šių formulių įrodymai pateikiami skyriuje "Logarithm".

Atvirkštinė funkcija

Natūralaus logaritmo atvirkštinis yra eksponentas.

Jei tada

Jei tada.

Darinys ln x.

Natūralus logaritmas darinys:
.
Natūralaus logaritmo darinys iš X modulio:
.
Išvestinė N-oji tvarka:
.
Išėjimo formulės \u003e\u003e\u003e

Neatskiriama

Integralas apskaičiuojamas integruojant dalimis:
.
Taigi,

Integruotos išraiškos.

Apsvarstykite sudėtingo kintamojo Z funkciją:
.
Išreikšti sudėtingą kintamąjį z. Per modulį r. ir argumentas φ :
.
Naudojant logaritmų savybes, mes turime:
.
Arba. \\ T
.
Argumentas φ nėra apibrėžtas. Jei įdėta
kur n yra sveikasis skaičius
Tai bus tas pats numeris įvairiose N.

Todėl natūralus logaritmas, kaip funkcija iš sudėtingo kintamojo, nėra vienareikšmiškas funkcija.

Skilimas

Kai yra skilimas:

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, referencinė knyga apie matematikos inžinierių ir studentų palydovų, "LAN", 2009.

a ^ (b) \u003d c) \\ (logtrightarrow) \\ (log_ (a) (c) \u003d b \\ t

Paaiškinkite lengviau. Pavyzdžiui, (log_ (2) (8)) yra lygi tiek, kokiu mastu (2) turėtų būti imtasi, kad gautumėte (8). Iš čia aišku, kad (log_ (2) (8) \u003d 3).

Pavyzdžiai:		(log_ (5) (25) \u003d 2)		nes. (5 ^ (2) \u003d 25)
		(log_ (3) (81) \u003d 4 \\ t		nes. (3 ^ (4) \u003d 81 \\ t
		(Log_ (2)) \\ (FRAC (1) (32) \\ (\u003d - 5 \\) \\ (		nes. (2 ^ (- 5) \u003d \\ t (1) (32) \\ t

Argumentas ir bazinis logaritmas

Bet koks logaritmas turi tokią "anatomiją":

Logaritmų argumentas paprastai yra parašytas savo lygiu, o pagrindas yra pagrindas šriftas arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas yra skaitomas taip: "dvidešimt penki logaritmas pagal penkis."

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą - jums reikia atsakyti į klausimą: kokiu mastu turėtų būti imtasi pamatų, kad gautumėte argumentą?

pavyzdžiui, Apskaičiuokite logaritmą: a) (log_ (4) (16) b) b) b) \\ t (frac (1) (3) \\ t b) \\ t SQRT (5)) (1) d) d) (log _ (SQRT (7)) (qrt (7)) \\ t (log_ (3) (\\ t )

a) koks laipsnis turėtų būti pastatytas (4), kad gautumėte (16)? Akivaizdu, kad antrą kartą. Todėl:

(log_ (4) (16) \u003d 2)

(Log_ (3)) \\ (FRAC (1) (3) \\ (\u003d - 1)

c) Koks laipsnis turėtų būti pastatytas (SQRT (5)), kad gautumėte (1)? Ir koks yra laipsnis? Nulis, žinoma!

(Log _ (SQRT (5)) (1) \u003d 0 \\)

d) Koks laipsnis turėtų būti pastatytas (SQRT (7)), kad gautumėte (\\ t (7))? Pirmajame - bet koks skaičius pirmojo laipsnio yra sau.

(Log _ (SQRT (7)) (\\ t (7)) \u003d 1)

e) Koks laipsnis turėtų būti pastatytas (3), kad gautumėte (\\ t (3))? Iš žinome, kad tai yra dalingas laipsnis, ir tai reiškia, kad kvadratinė šaknis yra laipsnis (1) (2) \\ t

(LOG_ (3) (SQRT (3)) \u003d \\ (FRAC (1) (2) \\) \\ t

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą (log_ (4 SQRT (2)) (8) \\ t

Sprendimas Šis sprendimas :

(Log_ (4 SQRT (2)) (8) \u003d x \\ t		Turime rasti logaritmo vertę, mes tai nurodome už X. Dabar mes naudojame logaritmo apibrėžimą: (log_ (a) (c) \u003d b) \\ (^ (b) \u003d c) \\ t
((4 SQRT (2)) ^ (x) \u003d 8)		Kas jungiasi (4) (2)) ir (8)? Du, nes abu, ir kitą numerį galima pateikti: (4 \u003d 2 ^ (2)) \\ (SQRT (2) \u003d 2 ^ (FRAC (1) (2)) \\ (8 \u003d 2 ^ (3) \\) \\ (
((2 ^ (2) CDOT2 ^ (frac (1) (2)))) ^ (x) \u003d 2 ^ (3) \\ t		Kairėje mes naudojame laipsnių savybes: (a ^ (m) cbot a ^ (n) \u003d a ^ (m + n)) ir \\ ((a ^ (m)) ^ (n) \u003d a ^ (mdot n) \\ t
(2 ^ (5) (2) x) \u003d 2 ^ (3) \\ t		Baseinai yra lygūs, eikite į lygybę rodiklių
(5x) (2) \\ (\u003d 3) \\ t		Padauginkite abiem jų lygties dalis (2) (5) \\ t
		Gauta šaknis ir yra logaritmo vertė

Atsakymas : (Log_ (4 SQRT (2)) (8) \u003d 1.2)

Kodėl atėjo su logaritmu?

Norėdami tai suprasti, išspręsime lygtį: (3 ^ (x) \u003d 9). Tiesiog pasiimkite (x) taip, kad lygybė dirbo. Žinoma, (x \u003d 2).

Ir dabar nuspręskite lygtį: (3 ^ (x) \u003d 8). Kas yra IX? Tai yra esmė.

Labiausiai garbanotas pasakys: "x yra šiek tiek mažiau nei du." Ir kaip tiksliai parašykite šį numerį? Atsakyti į šį klausimą ir atėjo su logaritmu. Dėl jam dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip (x \u003d log_ (3) (8)).

Noriu pabrėžti, kad (log_ (3) (8) \\ t bet koks logaritmas yra tik numeris. Taip, jis atrodo neįprastas, bet trumpas. Nes jei norėjome jį įrašyti į dešimtainę frakciją, tai atrodytų taip: \\ (1,892789260714 .....)

Pavyzdys : Nuspręskite lygtį (4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\)

Sprendimas Šis sprendimas :

(4 ^ (5x-4) \u003d 10 \\) \\ t		(4 ^ (5x-4)) ir (10) negali sukelti vienos bazės. Taigi nebūtina daryti be logaritmo. Mes naudojame logaritmo apibrėžimą: a ^ (b) \u003d c) \\ (logtrightarrow) \\ (log_ (a) (c) \u003d b \\ t
(log_ (4) (10) \u003d 5x-4 \\ t		Veidrodis sukasi lygtį kairėje
(5x-4 \u003d log_ (4) (10) \\) \\ t		Prieš mus. Perkelame (4) į dešinę. Ir ne panika logaritmas, gydyti jį kaip normalų skaičių.
5x \u003d log_ (4) (10) +4) \\ t		Padalinkite lygtį 5
x \u003d \\ t (frac (log_ (4) (10) +4) (5) \\ t		Čia yra mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprasta, tačiau atsakymas nėra pasirinktas.

Atsakymas : (Frac (log_ (4) (10) +4) (5) \\ t

Dešimtainis ir natūralus logaritmas

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, tai gali būti bet koks teigiamas skaičius, išskyrus įrenginį ((a\u003e 0, a neq1)). Ir tarp visų galimų priežasčių yra du žmonės, su kuriais susidūrė taip dažnai, kad logaritams jie susidūrė su specialiu trumpu įrašu:

Natūralus logaritmas: logaritmas, kuriame bazė yra euler (e) numeris (lygus maždaug (2,7182818 ...)), ir yra parašyta tokiam logaritmui kaip ir kaip (a) ). \\ T.

T.y, (a)) yra tas pats kaip ir (log_ (e) (a) \\ t

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kuriame bazė yra 10, įrašoma (LG (A)).

T.y, (a)) yra tas pats kaip ir (log_ (10) (a) \\ tkur (a) yra numeris.

Pagrindinis logaritminis tapatumas

Logaritmai turi daugybę savybių. Vienas iš jų vadinamas "pagrindiniu logaritminiu tapatybe" ir atrodo taip:

a ^ (log_ (a) (c)) \u003d c)

Šis turtas tiesiogiai teka iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip pasirodė ši formulė.

Prisiminkite LogarithM apibrėžimo trumpą įrašą:

jei (a ^ b) \u003d c), tada (log_ (a) (c) \u003d b \\ t

Tai yra, b) yra toks pat kaip ir (log_ (a) (c)). Tada mes galime į formulę (a ^ (b) \u003d c) rašyti (log_ (a) (c) vietoj (b). Jis pasirodė (a ^ (log_ (a) (c) \u003d c) yra pagrindinis logaritminis tapatumas.

Likusios logaritmų savybės rasite. Naudodamiesi savo pagalba, galite supaprastinti ir apskaičiuoti išraiškų vertes su logaritmais, kuriuos sunku apskaičiuoti ant kaktos.

Pavyzdys : Raskite išraiškos vertę (36 ^ (log_ (6) (5)) \\ t

Sprendimas Šis sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip įrašyti numerį kaip logaritmą?

Kaip jau minėta pirmiau - bet koks logaritmas yra tik skaičius. Teisė ir atvirkščiai: bet koks skaičius gali būti įrašytas kaip logaritmas. Pavyzdžiui, žinome, kad (log_ (2) (4)) yra lygi dviem. Tada galite rašyti vietoj du kartus (log_ (2) (4).

Bet (log_ (3) (9)) taip pat yra lygus (2), tai reiškia, kad taip pat galite rašyti (2 \u003d log_ (3) (9).). Panašiai ir C (log_ (5) (25)) ir c (log_ (9) (81)) ir kt. Tai yra, tai paaiškėja

(2 \u003d rog_ (2) (4) \u003d 2 log_ (3) (9) \u003d \\ l log_ (4) (16) \u003d \\ l log_ (5) (25) \u003d \\ l log_ (6) (36) \u003d \\ t log_ (7) (49) ... \\ t

Taigi, jei mums reikia, bet kur (bent jau lygtyje, bent jau išraiška bent jau nelygybe), parašykite du kaip logaritmą su bet kuriuo pagrindu - tiesiog parašykite pagrindą aikštėje kaip argumentas .

Panašiai, su trigumu - jis gali būti parašytas kaip ir ("Log_" (2) (8)), arba kaip (log_ (3) (27) \\ t), arba kaip (log_ (4) (64) ) ... čia mes esame kaip argumentas, mes parašytume bazę Kuboje:

(3 \u003d 2 log_ (2) (8) \u003d \\ l log_ (3) (27) \u003d \\ l log_ (4) (64) \u003d \\ l log_ (5) (125) \u003d \\ l log_ (6) (216) \u003d \\ t log_ (7) (343) ... \\ t

Ir ketvertas:

(4 \u003d 2 log_ (2) (16) \u003d \\ l log_ (3) (81) \u003d \\ l log_ (4) (256) \u003d \\ l log_ (5) (625) \u003d \\ l log_ (6) (1296) \u003d \\ t log_ (7) (2401) ... \\ t

Ir su minusu:

(- 1 \u003d rog_ (2)) \\ (frac (1) (2) \\ (\u003d \\ l log_ (3)) \\ (FRAC (1) (\\ t 3) \\ (\u003d (\u003d) (Log_ (4)) \\ (FRAC (1) (4) \\ ("Log_" (5)) \\ (FRAC (1 \\ t ) (5) \\ (\u003d \\ l log_ (6)) \\ (FRAC (1) (6) \\ (° C) \\ (frac \\ t (1) (7) \\ (... \\ t

Ir su vienu trečdaliu:

(1) (3) \\ (sqrt (2) (SQRT (2)) \u003d \\ l log_ (3) (qrt (3)) \u003d \\ l log_ (4) (\\ t 4) \u003d log log_ (5) (sqrt (5)) \u003d \\ l log_ (6) (SQRT (6)) \u003d \\ l log_ (7) (\\ t \\ t

Bet koks numeris (a) gali būti atstovaujama kaip logaritmas su pagrindu (b): \\ (a \u003d log_ (b) (b ^ (a)) \\ t

Pavyzdys : Raskite išraiškos vertę (Frac (log_ (2) (14)) (1+ log_ (2) (7)) \\ t

Sprendimas Šis sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

1.1. Viso rodiklio laipsnio nustatymas

X 1 \u003d x
X 2 \u003d x * x
X 3 \u003d x * x * x
…
X n \u003d x * x * ... * x - n kartus

1.2. Nulinis laipsnis.

Pagal apibrėžimą manoma, kad nulinis bet kokio skaičiaus laipsnis yra lygus 1:

1.3. Neigiamas laipsnis.

X -N \u003d 1 / x n

1.4. Dalninis laipsnis, šaknis.

X 1 / n \u003d laipsnio šaknis n iš x.

Pavyzdžiui: x 1/2 \u003d √X.

1.5. Formulę.

X (n + m) \u003d x n * x m

1.6. Formulės atimties laipsniai.

X (n-m) \u003d x n / x m

1.7. Formulės laipsnių dauginimas.

X n * m \u003d (x n) m

1.8. Frakcijos statybos formulė.

(X / y) n \u003d x n / y n

2. Numeris E.

Numerio e vertė yra ši riba:

E \u003d Lim (1 + 1 / N), su n → ∞.

Su tikslumu 17 simbolių, numeris E yra 2.71828182845904512.

3. EULER lygybė.

Ši lygybė susieja penkis numerius, kuriame vaidina ypatingą vaidmenį matematikai: 0, 1, E numeris, PI, įsivaizduojamo vieneto numeris.

E (i * pi) + 1 \u003d 0

4. Exponentinė funkcija Exp (x)

exp (x) \u003d e x

5. Eksponentinės funkcijos darinys

Eksponentinė funkcija turi nuostabų nuosavybę: funkcijos darinys yra lygus eksponentinei funkcijai:

(exp (x)) "\u003d exp (x)

6. Logaritmas.

6.1. Logaritmo funkcijos apibrėžimas

Jei x \u003d b m, tada logaritmas vadinamas funkcija

Y \u003d log b (x).

Logaritmas rodo, kiek reikia numerio - logaritmo (B) pagrindas gauti tam tikrą skaičių (X). Logaritmo funkcija yra apibrėžta x daugiau nulio.

Pavyzdžiui: log 10 (100) \u003d 2.

6.2. Dešimtainis logaritmas

Tai yra logaritmas, pagrįstas 10:

Y \u003d log 10 (x).

Prisijungti (x): žurnalas (x) \u003d log 10 (x).

Pavyzdžiui, naudojant dešimtainį logaritmą - decibel.

6.3. Decibel.

Elementas yra paryškintas atskirame puslapio decibel

6.4. Dvejetainis logaritmas

Tai yra pagrindo 2 logaritmas:

Y \u003d log 2 (x).

LG (x): lg (x) \u003d log 2 (x)

6.5. Natūralus logaritmas

Tai yra logaritmas, pagrįstas e:

Y \u003d log e (x).

Žymi ln (x): ln (x) \u003d log e (x)
Natūralus logaritmas yra atvirkštinė funkcija į eksponentinę funkciją exp (x).

6.6. Būdingi taškai

Prisijunkite a (1) \u003d 0
Prisijunkite a (a) \u003d 1

6.7. Formulės logaritmo darbas

Prisijunkite a (x * y) \u003d log a (x) + log a (y)

6.8. Formulės logaritmas privati

Prisijunkite a (x / y) \u003d log a (x) -log a (y)

6.9. Formulės logaritmo laipsnis

Prisijunkite a (x y) \u003d y * log a (x)

6.10. Konversijos į logaritmą formulė su kita baze

Log b (x) \u003d (log a (x)) / log a (b)

Pavyzdys:

LOV 2 (8) \u003d LOG 10 (8) / LOG 10 (2) \u003d \u003d
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. Formulės naudingos gyvenime

Dažnai yra užduočių perskaičiuoti garsumą į plotą arba ilgio ir atvirkštinę užduotį - ploto perskaičiavimas į tūrį. Pavyzdžiui, lentos parduodamos kubeliai (kubiniai metrai), ir mes turime apskaičiuoti, ką sienų plotas gali būti vertinamas prie tam tikro tūrio plokščių, žr. Plokščių skaičiavimą, kiek lentų Kuboje. Arba yra žinomi sienų matmenys, būtina apskaičiuoti plytų skaičių, pamatyti plytų skaičiavimą.

Leidžiama naudoti svetainės medžiagą, kuriai taikoma aktyvi nuoroda į šaltinį.