Šioje pamokoje mes apsvarstysime dar dvi operacijas su vektoriais: vektoriniai meno kūriniai ir. \\ T mišrios vektoriai (Nedelsiant nuoroda, kuriam reikia. Nieko baisaus, todėl kartais tai atsitinka, kad už visą laimę scalar produkto vektoriai, tai taip pat reikalinga. Tokia čia yra vektorinė narkomanija. Tai gali siekti įspūdžio, kad mes pakilsime į analitinės geometrijos šiukšles. Tai netiesa. Šiame aukščiausio matematikos skyriuje apskritai nėra pakankamai malkų, išskyrus Pinokio. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta - vargu ar sunkiau nei tas pats scalar produktasNet tipinės užduotys bus mažesnės. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, nes daugelis bus nužudyta arba jau buvo įtikinami, neklysta skaičiavimais. Pakartokite kaip rašybą, ir jūs būsite laimingi \u003d)

Jei vektoriai sparkle kažkur kaip žaibas ant horizonto, o ne problemų, pradėti nuo pamokos VektoriaiAtkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorių. Daugiau paruošti skaitytuvai gali susipažinti su informacija selektyviai, bandžiau surinkti išsamiausią pavyzdžių rinkinį, kurie dažnai randami praktiniame darbe.

Ką tu iš karto prašome? Kai buvau mažas, tada aš žinojau, kaip žongliruoti du ir net trys rutuliai. Nepakankamai pavyko. Dabar jums nereikės žongliruoti, kaip apsvarstysime tik erdviniai vektoriaiir plokšti vektoriai su dviem koordinatėmis išliks už borto. Kodėl? Šie veiksmai gimė - vektorius ir mišrus produktas vektorių yra apibrėžti ir eksploatuojami trimatėje erdvėje. Jau lengviau!

Šioje operacijoje taip pat, kaip ir skalarinyje, dalyvauti du vektoriai. Tegul tai yra nesąmonės raidės.

Savo veiksmai žymi. \\ T taip :. Yra ir kitų variantų, bet aš naudoju vektorinį meno kūrinį, kaip ir skliausteliuose su kryžiumi.

Ir nedelsiant klausimas.: Jei yra scalar produkto vektoriai Dalyvauja du vektoriai, ir čia dvi versijos yra dauginamos čia koks skirtumas? \\ T Aiškus skirtumas, pirmiausia, kaip rezultatas:

Vektorių skalės produkto rezultatas yra numeris:

Vektoriaus meno vektorių rezultatas yra vektorius:, Tai yra, mes dauginame vektorių ir vėl gauti vektorių. Uždarytas klubas. Tiesą sakant, tai yra operacijos pavadinimas. Įvairioje mokymosi literatūroje, pavadinimai taip pat gali skirtis, aš naudosiu laišką.

Vektoriaus meno apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžiama su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: Vektorinis darbas nonnolyline. vektoriai, priimtas šioje eilėje, vadinama vektoriumi, ilgis. \\ T kuris yra skaitmeninis lygus lygiagretaus kvadratamspastatyti ant šių vektorinių duomenų; Vector. ortogoniniai vektoriai Ir jis yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Mes išardame kaulų apibrėžimą, yra daug įdomių dalykų!

Taigi, galite pasirinkti šias esmines akimirkas:

1) šaltinių vektoriai, pažymėti raudonomis rodyklėmis pagal apibrėžimą ne collinear.. "Collinear" vektorių atveju bus tikslinga šiek tiek vėliau apsvarstyti.

2) vektoriai griežtai apibrėžta tvarka: – "A" yra padaugintas iš "BE", ne "būti" ant "A". Dauginimo vektorių rezultatas Tai vektorius, kuris yra nurodytas mėlyna spalva. Jei vektoriai yra padauginti atvirkštine tvarka, tada mes lygūs ilgiui ir priešingam vektoriui (aviečių spalva). Tai yra, lygybė yra teisinga .

3) Dabar susipažinkime su vektorinio produkto geometrine prasme. Tai labai svarbus dalykas! Mėlynojo vektoriaus ilgis (ir todėl aviečių vektorius) yra skaitmeniniu lygus lygiagretės pastatytos vektoriuose. Paveiksle ši lygiagreti yra tamsesnė juoda.

Pastaba : Brėžinys yra schemos, ir natūraliai, nominalus ilgis vektorinio produkto nėra lygus lygiagretės ploto.

Prisimename vieną iš geometrinių formulių: lygiagretės plotas yra lygus gretimų pusių produktui ant jų kampinio sinato. Todėl, remiantis pirmiau, formulė apskaičiuojant vektorinio produkto formulę:

Pabrėžiu, kad formulėje kalbame apie vektoriaus ilgį, o ne apie labai vektorių. Kokia yra praktinė reikšmė? Ir reikšmė yra ta, kad analitinės geometrijos užduotyse lygiagretės plotas dažnai randamas per vektorinio meno koncepciją:

Mes gausime antrą svarbią formulę. Parallelogramos įstrižainė (raudona dottedeedier) padalija ją į dvi lygias trikampis. Todėl trikampio plotas, pastatytas vektoriuose (raudonųjų perinti), galima rasti pagal formulę:

4) Ne mažiau svarbus faktas yra tai, kad vektorius yra ortogoniniai vektoriai, tai yra . Žinoma, priešingiausiai nukreiptas vektorius (aviečių rodyklė) taip pat yra ortogoninis pirminiame vektoriuose.

5) Vektorius yra nukreiptas taip pagrindas. \\ T Tai turi teisė Orientacija. Klasėje O. perėjimas prie naujo pagrindo Aš išsamiai kalbėjau orientacija plokštumojeIr dabar mes susidursime su vietos orientacija. Aš paaiškinsiu jūsų pirštus dešinė ranka . Psichiškai derinti smulkintuvas Su vektoriumi I. vidurinis pirštas Su vektoriumi. Nenurodytas pirštas ir mažas pirštas Paspauskite delną. Kaip rezultatas nykštys - Vector menas ieškos. Tai yra teisingas išpilstytas pagrindas (jis yra jis yra jis). Dabar pakeiskite vektorių ( indeksas ir viduriniai pirštai) Vietos, kaip rezultatas, nykščio atsiskleidžia, o vektorinis darbas jau pažvelgs į žemyn. Tai taip pat yra reguliarus pagrindas. Galbūt turite klausimą: kokiu pagrindu yra kairioji orientacija? "Vardas" tuos pačius pirštus kairiarankis Vectors ir gauti kairįjį pagrindą ir kairiąją erdvės orientaciją (Šiuo atveju nykštis bus įsikūrusi apatinio vektoriaus kryptimi). Išsiaiaiškiai kalbant, šie pagrindai "nugara" arba nukreipia erdvę skirtingomis kryptimis. Ir ši sąvoka neturėtų būti laikoma kažkuo susilpnėjusi ar abstrakcija - todėl erdvės orientacija keičia labiausiai paprastą veidrodį, ir jei jūs "trauksite atspindėtą objektą nuo pėsčiomis." Tai negalės sujungti Bendra. Beje, atneškite tris pirštus į veidrodį ir analizuokite atspindį ;-)

... kaip gerai, kad jūs dabar žinai teisė ir į kairę orientuota Pagrindai, už baisių kai kurių dėstytojų pareiškimų apie orientacijos pasikeitimą \u003d)

"Collinear Vectors" vektorinis kūrinys

Apibrėžimas išsamiai išmontuotas, lieka išsiaiškinti, kas vyksta, kai collinear vektoriai. Jei vektoriai yra collinear, tada jie gali būti dedami į vieną tiesią liniją ir mūsų lygiagrečiai taip pat "raukšlės" į vieną tiesų. Tai, kaip matematika sako, degeneruoti Lygiagrama yra nulis. Iš formulės - sinuso nulio arba 180 laipsnių yra nulis, todėl plotas yra nulis

Taigi, jei.. \\ T . Griežtai kalbant, labai vektoriaus produktas yra nulinis vektorius, tačiau praktiškai jis dažnai yra apleistas ir parašytas, kad jis yra tiesiog nulis.

Privatus atvejis - vektoriniai produkto vektorius ant savęs:

Naudojant vektoriaus produktą, galima patikrinti trijų dimensijų vektorių kolorinį, ir mes taip pat pažvelgsime į šią užduotį tarp kitų.

Norėdami išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelėNorėdami rasti jį sinusų vertybes.

Na, užsidegkite ugnį:

1 pavyzdys.

a) Raskite vektoriaus meno vektorių ilgį, jei

b) suraskite lygiagramos kvadratą, pastatytą versijose, jei

Sprendimas Šis sprendimas: Ne, tai nėra klaida, pradiniai duomenys apie sąlygas, kurias aš tyčia padarė tą patį. Kadangi priimant sprendimus bus skirtingi!

a) pagal sąlygą, kurią reikia rasti ilgis. \\ T Vektorius (vektorinis menas). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Kohl netrukus paklausė apie ilgį, tada atsakydamas nurodykite matmenis - vienetai.

b) pagal sąlygą, reikalingą rasti plotas. \\ t Lygiagrečiai pastatyta vektoriuose. Šios lygiagretės plotas yra vienodas lygus vektorinio produkto ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakant apie kalbėjimo vektorinį produktą visai neužsidega, mes buvo paklausėme pav, atitinkamai, aspektas yra kvadratinių vienetų.

Mes visada žiūrime į tai, kas reikalinga pagal būklę, ir, remiantis tuo, mes suformuluoti išvalyti Atsakymas. Tai gali atrodyti įvedimas, tačiau mokytojų yra pakankamai raktų, o užduotis su geromis galimybėmis grįš į tobulinimą. Nors tai nėra ypač ištemptas karkasas - jei atsakymas yra neteisingas, atrodo, kad asmuo nesupranta paprastų dalykų ir / ar ne į užduotį esmę. Šis momentas visada turėtų būti kontroliuojamas, sprendžiant bet kokią užduotį aukštesnėje matematikoje ir kituose dalykuose.

Kur buvo Didžioji Buckchka "en"? Iš esmės jis gali papildomai prisijungti prie sprendimo, bet siekiant sumažinti įrašą, aš ne. Tikiuosi, kad visi supranta, kad tai yra to paties paskyrimas.

Populiarus sau sprendimų pavyzdys:

2 pavyzdys.

Raskite trikampio plotą, pastatytą vektoriuose, jei

Trikampio ploto paieškos formulė per vektorinį meną pateikiamas apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis yra tikrai labai paplitusi, trikampiai paprastai gali kankinti.

Norėdami išspręsti kitas užduotis, mums reikės:

Vektorinių kūrinių savybės

Tačiau kai kurios vektorinės darbo savybės jau apsvarstysime, tačiau įtrauksiu juos į šį sąrašą.

Dėl savavališkų vektorių ir savavališkų skaičių, šios savybės yra teisingos:

1) Kitais informacijos šaltiniais šis elementas paprastai nėra identifikuojamas savybėse, tačiau praktiškai labai svarbu. Todėl leiskite jam būti.

2) - turtas taip pat yra išmontuotas aukščiau, kartais jis vadinamas anti-komunikacinis asmuo. Kitaip tariant, vektorių klausimų tvarka.

3) - niūrus arba asociatyvus. Vektorinis darbas. Konstantos laikinai paimtos iš vektorinio darbo. Iš tiesų, ką jie ten daro?

4) - skirstymo arba distribut. Vektorinis darbas. Atskleidus skliaustelius, nėra jokių problemų.

Kaip demonstracija, apsvarstykite trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys.

Rasti, jei

Sprendimas: Pagal sąlygą reikia vėl rasti vektorinio produkto ilgį. Mes atnešime mūsų miniatiūrinį:

(1) Remiantis asociatyviais įstatymais, mes išsiaiškiname konstantus už vektorinio darbo perskirstymą.

(2) Mes išgyvename pastovią už modulio ribų, o modulis "valgo" "minus" ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) toliau yra suprantama.

Atsakymas:

Atėjo laikas mesti malkas į ugnį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite trikampio plotą, pastatytą vektoriuose, jei

Sprendimas Šis sprendimas: Trikampio aikštė suranda formulę . Snag yra tai, kad "CE" ir "de" vektoriai yra atstovaujami kaip sumas vektorių. Čia yra standartinis algoritmas ir kažkas panašaus 3 ir 4 pamokų pavyzdžių Scalar produkto vektoriai. Sprendimas dėl aiškumo nutraukti į tris etapus:

1) Pirmajame etape išreiškiame vektorinį produktą per vektorinį meną, iš tikrųjų, "Express" vektorius per vektorių. Apie ilgius ne žodis!

(1) Mes pakeisime vektorių išraišką.

(2) Naudojant paskirstymo įstatymus, atskleidžia skliausteliuose pagal polinomalių dauginimo taisyklę.

(3) Naudojant asociatyvius įstatymus, mes išgyvename visas konstantas už vektorinių darbų. Pagal Malomos patirtį, 2 ir 3 gali būti atliekami vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis terminas yra nulinis (nulinis vektorius) dėka maloniam turtui. Antruoju laikotarpiu mes naudojame vektoriaus darbo anti-komunikacijos turtą:

(5) Mes suteikiame tokius komponentus.

Kaip rezultatas, vektorius pasirodė išreiškiamas per vektorių, kuris buvo reikalaujama pasiekti:

2) Antrajame etape rasime jums reikalingo vektorinio produkto ilgį. Šis veiksmas primena 3 pavyzdį:

3) Raskite norimo trikampio sritį:

2-3 etapai gali būti išdėstyti su viena eilute.

Atsakymas:

Nagrinėjama užduotis yra pakankamai platinama bandymuose, čia yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys.

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, kaip atidžiai vertinate ankstesnius pavyzdžius ;-)

Vektorių vektorių kūriniai koordinatėse

apibrėžta ortonormaliu pagrindu formulė išreiškiama:

Formulė ir tikroji SPRYDSKAYA: viršutinėje veiksnio eilutėje mes užrašome koordinatės vektoriai, antroje ir trečioje eilutėse "įdėti" vektorių koordinates ir tinka griežtai - Pirma, vektoriaus koordinatės "ve", tada vektoriaus "DULB-WE" koordinatės. Jei vektoriai turi daugintis kitokiu būdu, tada eilutės turėtų būti pakeistos į vietas:

10 pavyzdys.

Patikrinkite, ar collinear bus šie kosmoso vektoriai:
bet)
b) b)

Sprendimas Šis sprendimas: Tikrinimas grindžiamas vienu iš šios pamokos teiginių: jei collinear vektoriai, tada jų vektorinis produktas yra nulis (nulinis vektorius): .

a) Sveiki atvykę į vektorinį meną:

Taigi vektoriai nėra collinear.

b) rasti vektorinį meną:

Atsakymas: a) ne collinear, b)

Tai galbūt visa pagrindinė informacija apie vektorių produktą.

Šis skyrius nebus labai didelis, nes užduotys, kuriose naudojami mišrūs vektorių produktas, šiek tiek. Tiesą sakant, viskas bus apribota į apibrėžimą, geometrinę reikšmę ir pora darbo formulių.

Mišrus vektorių kūrinys yra trijų vektorių darbas.:

Štai kaip jie buvo išstumti traukiniu ir laukti, nebūtų laukti, kai jie buvo apskaičiuoti.

Pirma, vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus darbas nedomplenar. vektoriai, priimtas šioje eilėje, vadinama parallefepipeda tūris, pastatytas ant vektoriaus duomenų, įrengtas su "+" ženklu, jei pagrindas yra dešinė ir ženklas "-", jei pagrindas yra paliktas.

Atlikite nuotrauką. Nematomos linijos yra sudaužytos pagal punktyrinę liniją:

Pasinerti į apibrėžimą:

2) vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių pertvarkymas darbe, kaip manote, nepraeina be pasekmių.

3) Prieš komentuojant geometrinę reikšmę, pastebėsiu akivaizdų faktą: mišrios vektoriai yra numeris:. Švietimo literatūroje dizainas gali būti šiek tiek kitoks, aš pasirašiau mišrią produktą, o raidės "PE" skaičiavimų rezultatas.

A-Priory. mišrus darbas yra lygiagretus tūrisPastatytas vektoriuose (skaičius valomas su raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai reiškia, kad skaičius yra lygus šio lygiagreažai.

Pastaba : Piešinys yra schema.

4) Neišleiskime pagrindo orientacijos ir erdvės orientavimo sąvokos. Paskutinės dalies reikšmė yra tai, kad gali būti pridėta minuso ženklas. Paprasti žodžiai, mišrus produktas gali būti neigiamas :.

Tiesiogiai iš apibrėžimo seka formulę lygiagrečios, pastatytos vektoriuose.

Versijų pastatytos lygiagraus plotas yra lygus šių vektorių ilgio produktui kampo kampo kampu, kuris slypi tarp jų.

Na, kai šių vektorių ilgiai pateikiami pagal sąlygas. Tačiau taip pat atsitinka, kad būtų taikoma lygiagretės ploto formulė, pastatyta vektoriuose tik po skaičiavimų pagal koordinates.
Jei pasisekė, ir pagal sąlygas suteikiama vektorių ilgis, tuomet jums reikia taikyti formulę, kurią anksčiau išardėme straipsnyje. Plotas bus lygus modulių produktui tarp jų tarp jų:

Apsvarstykite galimybę apskaičiuoti vektorių pastatytos lygiagrogramos plotą.

Užduotis: Vectors ir. Raskite sritį, jei ir tarp jų yra 30 °.
Išreikšti vektorių per savo reikšmes:

Galbūt jūs turite klausimą - kur kilo nulis? Verta prisiminti, kad dirbame su vektoriais ir už juos . Taip pat atkreipkite dėmesį, kad jei gauname išraišką, jis bus konvertuojamas į. Dabar mes atliekame galutinius skaičiavimus:

Grįžkime prie problemos, kai vektorių ilgiai nenurodo sąlygomis. Jei jūsų lygiagrečiai yra Carteso koordinačių sistemoje, reikės atlikti šiuos veiksmus.

Koordinatės apibrėžto skaičiaus šoninių ilgių apskaičiavimas

Norėdami pradėti, mes randame vektorių koordinates ir imtis atitinkamų koordinačių pradžios nuo pabaigos koordinates. Leiskite mums prisiimti vektoriaus koordinates (x1, y1; Z1) ir vektorinį B (x3; y3; Z3).
Dabar mes randame kiekvieno vektoriaus ilgį. Norėdami tai padaryti, kiekvienas koordinatas turi būti pakeltas iki kvadrato, tada sulenkite gautus rezultatus ir iš galutinio numerio išgauti šaknį. Pasak mūsų vektorių, bus tokie skaičiavimai:


Dabar reikės rasti mūsų vektorių skalarų produktą. Dėl to jų atitinkamos koordinatės padaugina ir vystosi.

Turėdamas vektorių ir jų skalarino produkto ilgius, mes galime rasti tarp jų kampo masinę.
Dabar mes galime rasti to paties kampo sinusą:
Dabar mes turime visus reikiamus kiekius, ir mes galime lengvai rasti lygiagrogramos plotą, pastatytą jau žinomos formulės versijose.