Viena kitai statmenų tiesių ir plokštumų konstravimas yra svarbi grafinė operacija sprendžiant metrinius uždavinius.

Statmens tiesei ar plokštumai konstravimas grindžiamas stačiojo kampo savybe, kuri formuluojama taip: jeigu viena iš stačiojo kampo kraštinių lygiagreti projekcijos plokštumai, o kita nestatmena tada kampas visu dydžiu projektuojamas į šią plokštumą.

28 pav

Stačiojo kampo ABC kraštinė BC, parodyta 28 paveiksle, yra lygiagreti plokštumai P 1. Todėl kampo ABC projekcija šioje plokštumoje parodys stačią kampą A 1 B 1 C 1 = 90.

Tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms šioje plokštumoje. Statant statmeną iš plokštumai priklausančių tiesių aibės, parenkamos lygio tiesės - horizontalioji ir frontalioji. Šiuo atveju horizontali statmens projekcija atliekama statmenai horizontalei, o priekinė projekcija yra statmena priekiui. 29 paveiksle pateiktame pavyzdyje parodyta statmenos konstrukcija plokštumai, kurią apibrėžia trikampis ABC nuo taško K. Norėdami tai padaryti, pirmiausia nubrėžkite horizontalią ir frontalinę plokštumoje. Tada iš taško K priekinės projekcijos brėžiame statmeną frontalinei projekcijai, o iš taško horizontalios projekcijos - statmeną horizontaliai horizontaliai. Tada sukonstruojame šio statmens susikirtimo tašką su plokštuma, naudodami pagalbinę pjovimo plokštumą Σ. Ieškomas taškas yra F. Taigi gauta atkarpa KF yra statmena plokštumai ABC.

29 pav

29 paveiksle parodyta statmenos KF plokštumai ABC konstrukcija.

Dvi plokštumos yra statmenos, jei tiesė, esanti vienoje plokštumoje, yra statmena dviem susikertančioms kitos plokštumos tiesėms. Šiai plokštumai ABC statmenos plokštumos konstrukcija parodyta 30 paveiksle. Per tašką M nubrėžiama tiesė MN, statmena plokštumai ABC. Šios tiesės horizontalioji projekcija yra statmena AC, nes AC yra horizontali, o frontalioji projekcija yra statmena AB, nes AB yra priekinė. Tada per tašką M nubrėžiama savavališka tiesė EF. Taigi plokštuma yra statmena ABC ir pateikiama dviem susikertančiomis tiesėmis EF ir MN.

30 pav

Šis metodas naudojamas nustatant natūralias atkarpų vertes bendroje padėtyje, taip pat jų pasvirimo kampus į projekcijos plokštumas. Norint tokiu būdu nustatyti tikrąjį atkarpos dydį, reikia užbaigti stačiakampį trikampį į vieną iš atkarpos projekcijų. Kita kojelė bus atkarpos galinių taškų aukščių arba gylių skirtumas, o hipotenuzė bus natūrali reikšmė.

Apsvarstykite pavyzdį: 31 paveiksle parodyta atkarpa AB bendroje padėtyje. Būtina nustatyti visą jo dydį ir pasvirimo kampus priekinės ir horizontalios projekcijos plokštumose.

Nubrėžkite statmeną vienam iš linijos segmento galų horizontalioje plokštumoje. Ant jo uždedame segmento galų aukščių skirtumą (ZA-ZB) ir baigiame statyti stačiakampį trikampį. Jo hipotenuzė yra natūrali atkarpos vertė, o kampas tarp gamtinės vertės ir atkarpos projekcijos yra atkarpos pasvirimo kampo į plokštumą P 1 natūrali vertė. Konstravimo tvarka priekinėje plokštumoje yra tokia pati. Išilgai statmens nubrėžkite atkarpos galų gylių skirtumą (YA-YB). Gautas kampas tarp atkarpos natūralios vertės ir priekinės projekcijos yra atkarpos polinkio į plokštumą P2 kampas.

31 pav

1. Suformuluokite teoremą apie stačiojo kampo savybę.

2. Kokiu atveju tiesė yra statmena plokštumai?

3. Kiek tiesių ir kiek duotai plokštumai statmenų plokštumų galima nubrėžti per erdvės tašką?

4. Kam naudojamas stačiojo trikampio metodas?

5. Kaip šiuo metodu nustatyti atkarpos pasvirimo kampą bendroje padėtyje į horizontalią projekcijų plokštumą?

Šioje temoje turite sugebėti:

• 1. Nustatykite tiesei statmeną plokštumą.
• 2. Nustatykite tiesią liniją, statmeną plokštumai.

Sprendžiant šias tarpusavyje susijusias problemas, svarbu suprasti, kaip turi būti nukreiptos statmens projekcijos plokštumos projekcijų atžvilgiu. Norėdami tai suprasti, išspręsime A ir B uždavinius.

Problema A

Būklė. Per tašką A, paimtą tiesėje rn, nubrėžkite šiai tiesei statmeną plokštumą.

Sprendimas. Yra žinoma, kad plokštuma, statmena tiesei linijai, nubrėžkite dvi tieses, esančias šioje plokštumoje, statmenas nurodytai tiesei.

Todėl mūsų atveju per tašką A pakanka nubrėžti dvi tieses, kurių kiekviena būtų statmena m. Tada šios tiesės poroje apibrėš norimą plokštumą.

Tegul viena iš tiesių linijų, apibrėžiančių šią plokštumą, yra horizontali. Jo priekinė projekcija 1b praeis horizontaliai (4.7 pav.), o horizontalioji projekcija h | - pagal tiesioginis kampas į m 1 (remiantis stačiojo kampo projekcijos teorema).

Antroji tiesė, apibrėžianti norimą plokštumą, bus priekinė. ES horizontali projekcija f | praeis horizontaliai.

a frontalinė projekcija f2 – jodas stačiu kampu į mi (remiantis ta pačia teorema).

Ryžiai. 4.7

Taigi, problema išspręsta. Ją analizuodami galime pastebėti, kad sukonstruotos plokštumos (f x h) atžvilgiu duotoji tiesė m yra statmenai. Iš to išplaukia svarbi praktinė išvada:

horizontali statmens plokštumai projekcija turi eiti stačiu kampu horizontaliajai horizontalės projekcijai, o frontalioji - stačiu kampu priekinės priekinės dalies projekcijai.

Problema B

Sąlygos. Nuleiskite statmeną nuo taško B iki DEF plokštumos (su jo matomumo apibrėžimu, bet plokštumos atžvilgiu).

Ryžiai. 4.8a - grafinės problemos sąlygos

Ryžiai. 4.86

Ryžiai. 4.8c - statmens pagrindo ir natūralaus dydžio nustatymas

Sprendimas. Pirmiausia nubrėžiame projekcijas DEF ir B (4.8a pav.).

Pradėdami spręsti problemą, pasirenkame tris

Būdingi etapai:

• 1. Statmenų projekcijų krypčių braižymas.
• 2. Statmens pagrindo (jo susikirtimo su plokštuma taško) konstravimas.
• 3. Statmens natūralaus dydžio nustatymas.

Atlikime šias konstrukcijas. Pirmiausia nubrėžkite kryptį

statmenos projekcijos. Norėdami tai padaryti, pirmiausia DEF plokštumoje turite nubrėžti horizontalią h ir priekinę f, kurios yra jos projekcijų orientyrai.

Dabar rasime statmens pagrindą kaip gautos tiesės susikirtimo tašką su DEF plokštuma. Su šia problema jau esame susipažinę (žr. 3.3.4 skyrių). Nagrinėjamame pavyzdyje norimas taškas K yra už plokštumą ribojančio trikampio (4.8c pav.). Jis yra 2-3 linijoje, kuri pagal konstrukciją priklauso DEF plokštumai. Tai reiškia, kad jam priklauso ir taškas K. Jei statmeno projekcijos iš dalies arba visiškai užstoja trikampio DEF projekcijos, tai papildomai reikia nustatyti matomumą statmenai plokštumai.

Natūralią VC statmens vertę galima rasti bet kuriuo iš metodų, aptartų anksčiau ir. 2.2. 4.8c paveiksle tam naudojamas stačiakampio trikampio metodas.

Atkreipkite dėmesį, kad ši problema dažnai formuluojama kaip atstumo nuo taško B iki trikampio DEF plokštumos nustatymas.

Tiesės ir plokštumos statmenumo kriterijus leidžia sukonstruoti viena kitai statmeną tiesę ir plokštumą, tai yra įrodyti tokių tiesių ir plokštumų egzistavimą. Pradėkime nuo plokštumos, kuri yra statmena nurodytai tiesei ir eina per nurodytą tašką. Išspręskime du konstravimo uždavinius, atitinkančius dvi galimybes tam tikro taško ir duotosios tiesės vietoje.

1 uždavinys. Per nurodytą tašką A tam tikroje tiesėje nubrėžkite plokštumą, statmeną šiai tiesei.

Per tiesę a brėžiame bet kurias dvi plokštumas ir kiekvienoje iš šių plokštumų per tašką A brėžiame išilgai tiesės, statmenos tiesei a, jas pažymime b ir c (2.17 pav.). Plokštuma a, einanti per tieses bis, turi tašką A ir yra statmena tiesei a (tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu). Todėl plokštuma a yra norima. Problema išspręsta.

Problema turi tik vieną (t. y. unikalų) sprendimą. Iš tiesų, manykime priešingai. Tada, be plokštumos a, per tašką A eina kita plokštuma P, statmena tiesei a (2.18 pav.). P plokštumoje paimkite bet kurią tiesę, einančią per tašką A ir nesanti plokštumoje a. Nubrėžkime plokštumą y per susikertančias tieses a ir. Plokštuma y kerta plokštumą a išilgai tiesės q. Tiesė q nesutampa su tiese, nes q yra a, nėra a. Abi šios tiesės yra y plokštumoje, eina per tašką A ir yra statmenos tiesei a kaip ir panašiai kaip ir. Bet tai prieštarauja gerai žinomai planimetrijos teoremai, pagal kurią per kiekvieną plokštumos tašką eina tik viena tiesė, statmena šiai tiesei.

Taigi, darant prielaidą, kad dvi plokštumos, statmenos tiesei, eina per tašką A, mes susiduriame su prieštaravimu. Todėl problema turi unikalų sprendimą.

2 uždavinys. Per nurodytą tašką A, esantį ne ant duotosios tiesės a, nubrėžkite šiai tiesei statmeną plokštumą.

Nubrėžkite tiesę b per tašką A, statmeną tiesei a. Tegu B yra a ir b susikirtimo taškas. Per tašką B taip pat nubrėžiame tiesę c, statmeną tiesei a (2.19 pav.). Plokštuma, einanti per abi nubrėžtas tieses, pagal statmenumo kriterijų (2 teorema) bus statmena a.

Kaip ir 1 uždavinyje, sukonstruota plokštuma yra vienintelė. Iš tiesų, paimkite bet kurią plokštumą, einantį per tašką A, statmeną tiesei a. Tokioje plokštumoje yra tiesė, statmena tiesei a ir einanti per tašką A. Tačiau tokia tiesė yra tik viena. Tai tiesė b, kuri eina per tašką B. Vadinasi, plokštumoje, einančioje per A ir statmenoje tiesei a, turi būti taškas B, ir tik viena tiesei a statmena plokštuma eina per tašką B (1 uždavinys). Taigi, išsprendę šias konstravimo problemas ir įrodę jų sprendimų unikalumą, įrodėme tokią svarbią teoremą.

3 teorema (tiesei statmenoje plokštumoje). Per kiekvieną tašką eina plokštuma, statmena nurodytai tiesei, ir, be to, tik vieną.

Išvada (statmenų plokštumoje). Tiesės, statmenos nurodytai tiesei tam tikrame taške, yra vienoje plokštumoje ir ją dengia.

Tegu a – duotoji tiesė, o A – bet kuris jos taškas. Per jį skrenda lėktuvas. Pagal tiesės ir plokštumos statmenumo apibrėžimą jis yra padengtas

padengtas tiesiomis linijomis, statmenomis tiesei a taške A, t.y. per kiekvieną plokštumos a tašką joje eina tiesė, statmena tiesei a.

Tarkime, kad per tašką A eina tiesė, kuri nėra plokštumoje a. Per ją nubrėžkime tiesę plokštumą P. Plokštuma P kerta a išilgai tiesės c (2.20 pav.). Ir nuo tada paaiškėja, kad per tašką A plokštumoje P eina dvi tiesės b ir c, statmenos tiesei a. Tai neįmanoma. Vadinasi, taške A nėra tiesių, kurios būtų statmenos tiesei a, o ne plokštumoje a. Jie visi guli šioje plotmėje.

3 teoremos išvados pavyzdį pateikia statmenai jo ašiai rato stipinai: sukdami jie brėžia plokštumą (tiksliau, apskritimą), užimdami visas sukimosi ašiai statmenas padėtis.

2 ir 3 teoremos padeda duoti paprastą šios problemos sprendimą.

3 uždavinys. Nubrėžkite tiesę per tam tikros plokštumos tašką, statmeną šiai plokštumai.

Tegu duota plokštuma a ir taškas A plokštumoje a. Plokštumoje a per tašką A nubrėžkime bet kurią tiesę a. Per tašką A nubrėžiame plokštumą, statmeną tiesei a (1 uždavinys). Plokštuma kirs plokštumą a išilgai tiesės b (2.21 pav.). Plokštumoje P per tašką A nubrėžkime tiesę c, statmeną tiesei b. Kadangi (kadangi c yra plokštumoje

I), tada pagal 2 teoremą. Jo sprendimo unikalumas nustatytas 2.1 skyriuje.

komentuoti. Apie konstrukcijas erdvėje. Prisiminkite, kad 1 skyriuje nagrinėjame „statybos geometriją“. Ir šiuo metu mes išsprendėme tris pastatymo erdvėje problemas. Kas stereometrijoje suprantama terminais „konstruoti“, „nubrėžti“, „įrašyti“ ir tt Pirmiausia prisiminkite konstrukcijas plokštumoje, nurodydami, pavyzdžiui, kaip sudaryti apskritimą, apibrėžtą apie trikampį, taip įrodant jo egzistavimą. Apskritai, spręsdami konstravimo uždavinį, įrodome figūros su nurodytomis savybėmis egzistavimo teoremą.Šis sprendimas sumažinamas iki tam tikro algoritmo, skirto norimai figūrai sudaryti, ty nurodant paprasčiausių operacijų atlikimo seką. iki norimo rezultato.apskritimai ir jų susikirtimo taškų radimas.Tada naudodamiesi piešimo įrankiais galite tiesiogiai piešti figūrą ant popieriaus ar lentos.

Taigi planimetrijoje konstravimo problemos sprendimas turi tarsi dvi puses: teorinę – konstravimo algoritmą – ir praktinę – šio algoritmo įgyvendinimą, pavyzdžiui, su kompasu ir liniuote.

Stereometrinės konstrukcijos problema turi tik vieną pusę - teorinę, nes nėra įrankių, skirtų konstravimui erdvėje, panašių į kompasą ir liniuotę.

Pagrindinės konstrukcijos erdvėje laikomos tomis, kurias pateikia tiesių ir plokštumų egzistavimo aksiomos ir teoremos. Tai yra tiesės nubrėžimas per du taškus, plokštumos braižymas (1.1 skirsnio teiginiai ir 1.4 skirsnio 1 aksioma), taip pat bet kurių dviejų sukonstruotų plokštumų susikirtimo linijos konstravimas (2 aksioma 1.4 skyriuje). Be to, natūraliai manysime, kad planimetrines konstrukcijas galima atlikti jau sukonstruotose plokštumose.

Išspręsti konstravimo problemą erdvėje reiškia nurodyti pagrindinių konstrukcijų seką, dėl kurios gaunama norima figūra. Paprastai ne visos pagrindinės konstrukcijos yra aiškiai nurodytos, bet nurodomos jau išspręstos statybos problemos, t.y. į jau įrodytus teiginius ir teoremas apie tokių konstrukcijų galimybę.

Be konstrukcijų – egzistencijos teoremų stereometrijoje, galimos dar dviejų tipų problemos, susijusios su konstrukcijomis.

Pirma, užduotys yra paveikslėlyje arba brėžinyje. Tai yra daugiakampių ar kitų kūnų atkarpų problemos. Pačios sekcijos iš tikrųjų nekuriame, o tik vaizduojame

piešinį ar piešinį, kurį jau turime. Tokios konstrukcijos atliekamos kaip planimetrinės, atsižvelgiant į stereometrijos aksiomas ir teoremas bei vaizdų taisykles. Tokio tipo problemos nuolat sprendžiamos piešimo ir projektavimo praktikoje.

Antra, užduotys statant kėbulus ant paviršių. Užduotis: „Sukonstruoti taškus kubo paviršiuje, nutolusius nuo tam tikros viršūnės tam tikru atstumu“ – sprendžiama naudojant kompasą (kaip?). Užduotis: „Sukurkite taškus rutulio paviršiuje, nutolusius nuo nurodyto taško tam tikru atstumu“ – taip pat sprendžiama naudojant kompasą (kaip?). Tokio tipo problemos geometrijos pamokose nesprendžiamos – jas nuolat sprendžia rinkodaros specialistas, žinoma, tokiu tikslumu, kokį gali pasiekti jo įrankiai. Tačiau spręsdamas tokias problemas jis remiasi geometrija.

Nebus perdėta sakyti, kad viena kitai statmenų tiesių ir plokštumų konstravimas kartu su atstumo tarp dviejų taškų nustatymu yra pagrindinės grafinės operacijos sprendžiant metrinius uždavinius.

Teorinė prielaida tiesių ir plokštumų, statmenų viena kitai, projekcijų sudarymui erdvėje Monge diagramoje, yra anksčiau pažymėta savybė (žr. § 6).

stačiojo kampo, kurio viena iš kraštinių lygiagreti bet kuriai projekcijos plokštumai, projekcija:

1. Abipusiai statmenos tiesės.

Kad būtų galima panaudoti pažymėtą savybę konstruojant dvi tieses, susikertančias 90° kampu Monge diagramoje, viena iš jų turi būti lygiagreti kokiai nors projekcijos plokštumai. Paaiškinkime tai, kas buvo pasakyta, pateikdami pavyzdžius.

PAVYZDYS 1. Per tašką A nubrėžkite tiesę l, ​​kertančią horizontaliąją h stačiu kampu (249 pav.).

Kadangi viena iš stačiojo kampo kraštinių h yra lygiagreti plokštumai π 1, tai stačias kampas projektuojamas į šią plokštumą be iškraipymų. Todėl per A "braižome horizontalią projekciją l" ⊥ h ". Pažymėkite tašką M" = l "∩ h". Raskite M "(M" ∈ h "). Taškai A" ir M "apibrėžia l" (žr. 249 pav., a).

Jei vietoj horizontalės pateikiamas frontalinis f, tai geometrinės konstrukcijos tiesiajai linijai l ⊥ f nubrėžti yra panašios į ką tik nagrinėtas, tik tuo skirtumu, kad stačiojo kampo neiškraipytos projekcijos konstravimas turėtų prasidėti priekinė projekcija (žr. 249 pav., b).

PAVYZDYS 2. Per tašką A nubrėžkite tiesę l, ​​kertančią tiesę a, nurodytą atkarpa [BC], 90° kampu (250 pav.).

Kadangi ši atkarpa užima savavališką padėtį projekcijos plokštumų atžvilgiu, negalime, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, naudoti ypatingo stačiojo kampo projekcijos atvejo savybę, todėl pirmiausia reikia [BC] išversti į padėtis lygiagrečiai bet kuriai projekcijos plokštumai.

Fig. 250 [BC] perkeltas į padėtį, lygiagrečią plokštumai π 3. Tai atliekama naudojant projekcinių plokštumų pakeitimo metodą, pakeičiant plokštumą π 1 → π 3 || [Saulė].

Dėl tokio pakeitimo naujoje sistemoje x 1 π 2 / π 3 [ВС] apibrėžia horizontalią liniją, todėl visos tolimesnės konstrukcijos atliekamos taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje: po taško M rastas "1 , jis pradinėse projekcijų plokštumose buvo išverstas į padėtį M "ir M", šie taškai kartu su A "ir A" apibrėžia tiesės l projekciją.

3 PAVYZDYS. Atlikite stačiojo kampo ABC kraštinės [BC] horizontalią projekciją, jei žinoma jos frontalioji projekcija ∠A "B" C "ir horizontali kraštinės [A" B "] projekcija (251 pav.) .

1. Kampo kraštinę [VA] verčiame į padėtį || π 3 pereinant iš projekcinių plokštumų sistemos xπ 2 / π 1 į naują x 1 π 3 / π 2

2. Apibrėžkite naują frontalinę projekciją.

Iš В "1 atstatome statmeną į [В" 1 A "1]. Šiame statmenyje apibrėžiame tašką С" 1 (С "1 pašalinamas iš x ašies 1 per atstumą | С x 1 С" 1 | = | С x С "| ).

4. Horizontalioji projekcija C "apibūdinama kaip tiesių (C" 1 C x 1) ∩ (C "C x) = C" susikirtimo taškas.

2. Abipusiai statmena tiesė ir plokštuma.

Iš stereometrijos kurso žinoma, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji yra statmena bent dviem susikertančioms tiesėms, priklausančioms šiai plokštumai.

Jei plokštumoje imsime ne savavališkas susikertančias tieses, o jos horizontalias ir priekines, tada tampa įmanoma naudoti stačiojo kampo projekcijos savybę, kaip buvo padaryta 1 pavyzdyje, Fig. 249.

Apsvarstykite šį pavyzdį; tegul iš taško A ∈ α reikia atkurti statmeną plokštumai α (252 pav.).

Per tašką A nubrėžiame plokštumos α horizontaliąją h ir frontalinę f. Tada pagal apibrėžimą (AB) statmena plokštumai α turi būti statmena tiesėms h ir f, t.y. Tačiau AM pusė ∠ YOU || π 1, todėl ∠BAM projektuojamas į plokštumą π 1, be iškraipymų, t.y. ... AK pusė ∠ VAK || π 2 ir todėl plokštumoje π 2 šis kampas taip pat projektuojamas be iškraipymų, tai yra ir ... Aukščiau pateiktą samprotavimą galima suformuluoti kaip tokią teoremą: tam, kad tiesi erdvė erdvėje būtų statmena plokštumai, būtina ir pakanka, kad horizontali tiesės projekcija diagramoje būtų statmena plokštumos horizontalios plokštumos horizontaliai projekcijai, o priekinė projekcija šios plokštumos priekinės dalies frontalioji projekcija.

Jei plokštuma pateikiama pėdsakais, teorema gali būti suformuluota kitaip: kad tiesė erdvėje būtų statmena plokštumai, būtina ir pakanka, kad šios tiesės projekcijos būtų statmenos to paties pavadinimo pėdsakams plokštumoje.

Teoremoje nustatyti ryšiai tarp tiesės erdvėje, statmenos plokštumai, ir šios tiesės projekcijų į plokštumos lygių linijų (pėdsakų) projekcijas yra pagrindas grafiniam algoritmui sprendžiant statmenos tiesės nubrėžimo problemą. plokštumai, taip pat statant duotai tiesei statmeną plokštumą.

PAVYZDYS 1. Viršūnėje A atkurkite statmeną AD plokštumai ΔABC (253 pav.).

Norint nustatyti statmens projekcijų kryptį, atliekame plokštumos ΔABS horizontaliosios h ir priekinės dalies f projekcijas. Po to iš taško A „atstatome statmeną į h“, o iš taško A „– į f“.

PAVYZDYS 2. Iš taško A, priklausančio plokštumai α (m || n), atkurkite statmeną šiai plokštumai (254 pav.).

SPRENDIMAS. Norėdami nustatyti statmenų l "ir l" projekcijų kryptį, kaip ir ankstesniame pavyzdyje, per tašką A (A ", A") nubrėžkite horizontalią h (h ", h"), priklausančią plokštumai α. Žinodami kryptį h ", sudarome horizontalią statmens l projekciją (l "⊥ h"). Norėdami nustatyti priekinės statmens projekcijos kryptį per tašką A (A ", A"), nubrėžkite plokštumos α frontalinę f (f ", f"). Dėl priekinės projekcijos plokštumos lygiagretumo f tiesus kampas tarp l ir f projektuojamas į π 2 be iškraipymų, todėl brėžiame l "⊥ f".

Fig. 255 ta pati problema išspręsta tuo atveju, kai plokštuma α pateikiama pėdsakais. Norint nustatyti statmens projekcijų kryptis, nereikia brėžti horizontalios linijos ir priekio

pakeliami, nes jų funkcijas atlieka plokštumos h 0α ir f 0α pėdsakai. Kaip matyti iš brėžinio, sprendimas redukuojamas į pro taškus A "ir A" nubrėžiant projekcijas l "⊥ h 0α ir l" ⊥ f 0α.

PAVYZDYS 3. Sukurkite plokštumą γ, statmeną duotai tiesei l ir kertančią per nurodytą tašką A (256 pav.).

SPRENDIMAS. Per tašką A nubrėžkite horizontalią h ir priekinę f. Šios dvi susikertančios linijos apibrėžia plokštumą; kad ji būtų statmena tiesei l, būtina, kad tiesės h ir f sudarytų 90° kampą su tiese l. Norėdami tai padaryti, nubrėžkite h „⊥ l“ ir f „⊥ l“. Priekinė projekcija h "ir horizontali projekcija f" nubrėžta lygiagrečiai x ašiai.

Nagrinėjamas atvejis leidžia 3 pavyzdyje pateiktą uždavinį išspręsti kitaip (p. 175 251 pav.). Kraštinė [BC] ∠ABS turi priklausyti plokštumai γ ⊥ [AB] ir eiti per tašką B (257 pav.).

Ši sąlyga lemia uždavinio sprendimo eigą, kurią sudaro: tašką B įtraukiame į plokštumą γ ⊥ [AB], tam per tašką B nubrėžiame plokštumos γ horizontaliąją ir frontalinę taip, kad h "⊥ A" B "ir f" ⊥ A "B".

Taškas С ∈ (ВС), priklausantis plokštumai γ, todėl norėdami rasti jo horizontalią projekciją, per С nubrėžkite "savavališką tiesę 1" 2 ", priklausančią plokštumai γ; apibrėžkite šios tiesės 1 horizontalią projekciją" 2 " ir pažymėkite tašką С" (С "nustato ryšio linijos sankirta - statmenas, nuleistas nuo C", su horizontalia tiesės projekcija 1 "2"). C „kartu su B“ apibrėžia horizontalią projekciją (BC) ⊥ (AB).

3. Viena kitai statmenos plokštumos.

Dvi plokštumos yra statmenos, jei vienoje iš jų yra tiesė, statmena kitai plokštumai.

Remiantis plokštumų statmenumo apibrėžimu, plokštumos β, statmenos plokštumai α, konstravimo uždavinį sprendžiame tokiu būdu: nubrėžiame tiesę l, ​​statmeną plokštumai α; plokštumoje β įtraukiame tiesę l. Plokštuma β ⊥ α, nes β ⊃ l ⊥ α.

Per tiesę l galima nubrėžti daug plokštumų, todėl problema turi daug sprendimų. Kad atsakymas būtų konkretesnis, turi būti nurodytos papildomos sąlygos.

PAVYZDYS 1. Per šią tiesę nubrėžkite plokštumą β, statmeną plokštumai α (258 pav.).

SPRENDIMAS. Nustatome statmeno projekcijų plokštumai α kryptį, tam randame horizontaliąją horizontalės projekciją (h ") ir frontalinę priekinę projekciją (f"); iš savavališko taško A ∈ α projekcijų brėžiame statmenų l "⊥ h" ir l "⊥ f" projekcijas. Plokštuma β ⊥ α, nes β ⊃ l ⊥ α.

PAVYZDYS 2. Per šį tašką A nubrėžkite horizontaliai išsikišusią plokštumą γ, statmeną plokštumai α, nurodytą pėdsakų (259 pav., a).

Ieškomoje plokštumoje γ turi būti tiesė, statmena α plokštumai, arba statmena tiesei, priklausančiai α plokštumai. Kadangi γ plokštuma turi būti horizontaliai išsikišusi, tai jai statmena tiesė turi būti lygiagreti plokštumai π 1, ty būti α plokštumos horizontalė arba (tai ta pati) šios plokštumos horizontalioji pėdsakas - h 0α Todėl , per horizontaliosios projekcijos tašką A "braižome horizontalųjį pėdsaką h 0γ ⊥ h 0α priekinį pėdsaką f 0γ ⊥ x ašies.

Fig. 259, b parodyta priekinės projekcijos plokštuma γ, einanti per tašką B ir statmena plokštumai π 2.

Iš brėžinio matyti, kad skiriamasis schemos, kurioje išdėstytos dvi viena kitai statmenos plokštumos, iš kurių viena yra priekyje, ypatybė yra jų priekinių takelių statmenumas f 0γ ⊥ f 0α, priekinės dalies horizontalus takelis. projektavimo plokštuma yra statmena x ašiai.

Iš visų galimų tiesės, kertančios plokštumą, padėčių pažymime atvejį, kai tiesė yra statmena plokštumai, ir atsižvelgiame į tokios tiesės projekcijų savybes.

Fig. 185 pateikta plokštuma, apibrėžta dviem susikertančiomis tiesėmis AN ir AM, kur AN yra horizontali, o AM yra priekinė šios plokštumos atžvilgiu. Tiesė AB, parodyta tame pačiame brėžinyje, yra statmena AN ir AM, taigi, statmena jų apibrėžtai plokštumai.

Statmenas plokštumai yra statmenas bet kuriai toje plokštumoje nubrėžtai tiesei. Bet kad statmenos projekcija bendrosios padėties plokštumai būtų statmena bet kurios šios plokštumos tiesės to paties pavadinimo projekcijai, tiesė turi būti horizontali arba frontalioji, arba profilinė tiesi. lėktuvo. Todėl, norėdami sukonstruoti statmeną plokštumai, jie paprastai ima dvi tokias tiesias linijas (pavyzdžiui, horizontalią ir frontalinę, kaip parodyta 185 pav.).

Taigi, ties statmena plokštumai, jos horizontalioji projekcija statmena horizontaliajai projekcijai, frontalioji – statmena frontalinei projekcijai, profilio projekcija – statmena šios plokštumos profilio linijos profilio projekcijai.

Akivaizdu, kad tuo atveju, kai plokštuma išreiškiama pėdsakais (186 pav.), gauname tokią išvadą: jei tiesė yra statmena plokštumai, tai šios tiesės horizontalioji projekcija yra statmena horizontaliam plokštumos pėdsakui, o frontalioji – statmena plokštumos frontaliniam pėdsakui.

Taigi, jei sistemoje π ​​1, π 2 horizontali tiesės projekcija yra statmena horizontaliam pėdsakui, o priekinė tiesės projekcija yra statmena plokštumos priekiniam pėdsakui, tada jei plokštumai yra bendroje padėtyje (186 pav.), taip pat horizontaliai ir priekyje išsikiša, tiesė yra statmena plokštumai... Tačiau profilio projekcijos plokštumai gali pasirodyti, kad tiesė šiai plokštumai nėra statmena, nors

tiesės projekcijos yra atitinkamai statmenos horizontaliajam ir frontaliniam plokštumos pėdsakams. Todėl profilio projekcijos plokštumos atveju taip pat būtina atsižvelgti į tiesės profilio projekcijos ir nurodytos plokštumos profilio takelio santykinę padėtį ir tik tada nustatyti, ar duota linija ir plokštuma bus statmenai vienas kitam,

Akivaizdu (187 pav.) horizontali statmens projekcija plokštumai susilieja su horizontalia nuolydžio linijos projekcija, nubrėžta plokštumoje per statmeno pagrindą.

Fig. 186 nuo taško A statmenas nubrėžtas į pl. α (A "C" ⊥ f "0α, A" C "⊥h" 0α) ir parodo taško E, kuriame statmenas AC kerta kvadratą, konstrukciją. α. Statyba atliekama naudojant horizontaliai išsikišusią kvadratą. β nubrėžtas per statmeną AE.

Fig. 188 parodyta trikampio ABC apibrėžtai plokštumai statmens konstrukcija. Statmenas nubrėžtas per tašką A.

Kadangi priekinė statmenos plokštumai projekcija turi būti statmena plokštumos priekinės dalies priekinei projekcijai, o jos horizontalioji projekcija yra statmena horizontaliajai projekcijai, frontalas su projekcijomis A "D" ir A "D " ir horizontalioji A "E" nubrėžta plokštumoje per tašką A ", A" E ", Žinoma, šios linijos nebūtinai turi būti tiksliai nubrėžtos per tašką A.

Toliau brėžiamos statmens projekcijos: M „N“ ⊥A „D“, M „N“ ⊥A „E“. Kodėl projekcijos pav. 188 A skyriuose „N“ ir A „M“ rodomi punktyrinėmis linijomis? Nes čia mes laikome trikampio ABC apibrėžtą plokštumą, o ne tik šį trikampį: statmenas yra iš dalies prieš plokštumą, iš dalies už jos.

Fig. 189 ir 190 parodyta plokštumos, einančios per tašką A statmenai tiesei BC, konstrukcija. Fig. 189 plokštuma išreiškiama pėdsakais. Konstravimas pradedamas brėžiant norimos plokštumos horizontalią liniją per tašką A: kadangi horizontalus plokštumos pėdsakas turi būti statmenas B "C", tai horizontalioji horizontalės projekcija taip pat turi būti statmena B "C". Todėl A "N" ⊥ B "C". x ašies projekcija A "N" ||, kaip turėtų būti horizontaliai. Tada per tašką N nubrėžiamas pėdsakas f "0α ⊥В" С "(N "yra horizontalaus AN frontalinio pėdsako frontalioji projekcija), gaunamas taškas X α ir pėdsakas h" 0α || A "N" “ (h „0α ⊥В“ SU“).

Fig. 190 plokštuma apibrėžiama jos priekine AM ir horizontalia AN. Šios tiesės yra statmenos BC (A "M" ⊥ B "C", A "N" ⊥ B "C"); jų apibrėžta plokštuma yra statmena BC.

Kadangi statmena plokštumai yra statmena kiekvienai tiesei, nubrėžtai šioje plokštumoje, tai išmokę nubrėžti plokštumą statmenai tiesei, galite tai panaudoti statmenai nubrėžti iš kurio nors taško A tiesei bendroje padėtyje BC . Akivaizdu, kad galite nubrėžti tokį planą, kaip sukurti norimos tiesios linijos projekcijas:

1) nubrėžkite plokštumą per tašką A (pavadinkime jį γ), statmeną BC;

2) nustatyti tiesės BC susikirtimo su pl tašką K. γ;

3) sujunkite taškus A ir K tiesia atkarpa.

Tiesės AK ir BC yra viena kitai statmenos.

Konstrukcijos pavyzdys pateiktas fig. 191. Per tašką A nubrėžta plokštuma (γ), statmena BC. Tai daroma naudojant priekinę projekciją A "F", kurios statmena priekinei projekcijai B "C", ir horizontalią liniją, kurios horizontalioji projekcija yra statmena B "C".

Tada buvo rastas taškas K, kuriame tiesė BC kerta kvadratą. γ. Tam per tiesę BC nubrėžiama horizontalios projekcijos plokštuma β (brėžinyje ją duoda tik horizontalus pėdsakas (β "). Pl. Β plotą γ tiesia linija kerta su projekcijomis 1" 2 "ir 1" 2 ". Šios tiesės ir tiesės BC susikirtimo vietoje pasirodo taškas K. Tiesė AK yra būtina statmena BC Iš tiesų, tiesė AC kerta tiesę BC ir yra kvadrate γ, statmenai tiesei BC; todėl , AK⊥BC.

§ 15 buvo parodyta (92 pav.), kaip galima nubrėžti statmeną iš taško į tiesę. Bet ten tai buvo padaryta įvedant papildomą plokštumą į sistemą π ​​1, π 2 ir taip suformuojant sistemą π 3, π 1, kurioje kvadratas. π 3 nubrėžtas lygiagrečiai nurodytai tiesei. Rekomenduojame palyginti konstrukcijas, pateiktas pav. 92 ir 191.

Fig. 192 pavaizduota plokštuma bendroje padėtyje - α, einanti per tašką A, ir statmena AM šiai plokštumai, tęsiama iki susikirtimo su pl. π 1 taške B".

Kampas φ 1 tarp pl. α, kvadratas π 1 ir kampas φ tarp tiesės AM ir kvadrato. π 1 yra stačiakampio trikampio B „AM“ smailieji kampai, todėl φ 1 + φ = 90 °. Panašiai, jei kvadratas α yra lygus kvadratui. π 2 kampas σ 2, o tiesė AM, statmena α, yra su pl. π 2 kampas σ, tada σ 2 + σ = 90 °. Iš to visų pirma išplaukia, kad plokštuma bendroje padėtyje, kuri turėtų sudaryti kampą φ 1 su kvadratu π 1 ir su kvadratu. π 2 kampas σ 2 gali būti sudarytas tik tada, kai 180 °> φ 1 + σ 2> 90 °.

Iš tiesų, sudėjus terminą prie termino φ 1 + φ = 90 ° ir σ 2 + σ = 90 °, gauname φ 1 + σ 2 + φ + σ = 180 °, tai yra, φ 1 + σ 2 90 °. Jei imame φ 1 + σ 2 = 90 °, tai gauname profilio projekcijos plokštumą, o jei φ 1 + σ 2 = 180 °, tai gauname profilio plokštumą, t.y. abiem šiais atvejais plokštuma yra ne bendroje padėtyje, o konkrečiai.