Overweeg axiale en centrale symmetrie als eigenschappen van sommige geometrische vormen; Overweeg axiale en centrale symmetrie als eigenschappen van sommige geometrische vormen; In staat zijn symmetrische punten te bouwen en de cijfers te herkennen die symmetrisch ten opzichte van het punt of het recht zijn; In staat zijn symmetrische punten te bouwen en de cijfers te herkennen die symmetrisch ten opzichte van het punt of het recht zijn; Verbetering van de vaardigheden van het oplossen van problemen; Verbetering van de vaardigheden van het oplossen van problemen; Ga door met werken aan de nauwkeurigheid van de opname en het uitvoeren van een geometrische tekening; Ga door met werken aan de nauwkeurigheid van de opname en het uitvoeren van een geometrische tekening;

Mondeling werk "Sparing Survey" oraal werk "Sparing Survey" welk punt wordt een midden van het segment genoemd? Welke driehoek wordt een even chagrin genoemd? Welk bezit is diagonaal rhombus? Word de eigenschappen van de bisector van een paardendriehoek. Wat is de directe worden loodrecht genoemd? Welke driehoek wordt gelijkzijdig genoemd? Welk bezit heeft de diagonaal van het plein? Welke figuren worden gelijk gebeld?

Welke nieuwe concepten bij de les hebben elkaar ontmoet? Welke nieuwe concepten bij de les hebben elkaar ontmoet? Welk nieuw geleerd over geometrische figuren? Welk nieuw geleerd over geometrische figuren? Geef voorbeelden van geometrische figuren met axiale symmetrie. Geef voorbeelden van geometrische figuren met axiale symmetrie. Geef een voorbeeld van figuren met centrale symmetrie. Geef een voorbeeld van figuren met centrale symmetrie. Geef voorbeelden van objecten uit het omliggende leven, met een of twee soorten symmetrie. Geef voorbeelden van objecten uit het omliggende leven, met een of twee soorten symmetrie.

Bepaling van symmetrie;

• Bepaling van symmetrie;

• Centrale symmetrie;

• Axiale symmetrie;

• Symmetrie ten opzichte van het vlak;

• Symmetrie van rotatie;

• Spiegel symmetrie;

• Symmetrie-gelijkenis;

• Planten symmetrie;

• Dierlijke symmetrie;

• Symmetrie in architectuur;

• Man is een symmetrisch wezen?

• Symmetrie van woorden en cijfers;

SYMMETRIE

• SYMMETRIE - evenredigheid, hetzelfde op de locatie van de delen van iets aan weerszijden vanaf het punt, direct of vlak.

• (Verklarend Woordenboek van Ozhegova)

• Het geometrische object wordt dus als symmetrisch beschouwd als iets dergelijks kan worden gedaan, waarna het zal blijven ongewijzigd.

OVER OVER OVER genoemd centrum van symmetrie figuur.

• De figuur wordt symmetrisch genoemd over het punt OVERAls voor elke punt vorm symmetrisch tot haar punt ten opzichte van het punt OVER behoort ook tot deze figuur. Punt OVER genoemd centrum van symmetrie figuur.

cirkel en parallellogram middencirkel ). Schema rare functie

Voorbeelden van figuren die centrale symmetrie bezitten zijn cirkel en parallellogram. Het centrum van symmetrie van de cirkel is middencirkel, en het centrum van symmetrie parallellogram - knop van kruising van zijn diagonalen. Elke direct heeft ook een centrale symmetrie ( elk punt direct is het middelpunt van symmetrie.). Schema rare functiesymmetrisch aan het begin van de coördinaten.

• Een voorbeeld van een figuur die geen symmetriecentrum heeft is willekeurige driehoek.

maar maar eEN. genoemd de vorm van de symmetrie-as.

• De figuur wordt symmetrisch relatief direct genoemd maarAls voor elke figuur van de figuur symmetrisch aan haar ten opzichte van de directe maar behoort ook tot deze figuur. Rechtdoor eEN. genoemd de vorm van de symmetrie-as.

In ongelijke hoek een as van symmetrie bisderhoek een as van symmetrie drie assen van symmetrie twee assen van symmetrie, en vierkant vier assen van symmetrie met betrekking tot de as van ordinaat.

In ongelijke hoek een as van symmetrie- Direct op welke zich bevindt bisderhoek. Een evenwichtige driehoek heeft ook een as van symmetrie, en gelijkzijdige driehoek- drie assen van symmetrie. Rechthoek en diamanten die geen vierkanten zijn hebben twee assen van symmetrie, en vierkant vier assen van symmetrie. De omtrek van hen is oneindig veel. Schedulefunctie bij het construeren is symmetrisch met betrekking tot de as van ordinaat.

• Er zijn figuren die geen symmetrie-as hebben. Deze cijfers zijn onder meer parallellogram, anders dan de rechthoek, veelzijdige driehoek.

Punten MAAR en A1. maar maar AA1 en loodrecht maar Overwegen symmetrisch zelf

Punten MAAR en A1. genaamd symmetrisch ten opzichte van het vliegtuig maar (symmetrie vliegtuig) als het vliegtuig maar passeert door het midden van het segment AA1 en loodrecht Naar dit segment. Elk puntvlak maar Overwegen symmetrisch zelf. Twee figuren worden symmetrisch genoemd ten opzichte van het vlak (of spiegel-symmetrisch relatief) als ze bestaan \u200b\u200buit paarsgewijze symmetrische punten. Dit betekent dat voor elk punt van één cijfer symmetrisch aan haar (familielid), het punt in een andere figuur ligt.

Lichaam (of figuur) heeft symmetrie van rotatieAls wanneer u naar de hoek wordt 360º / N, waar Nteger volledig gecombineerd

• Lichaam (of figuur) heeft symmetrie van rotatieAls wanneer u naar de hoek wordt 360º / N, waar Nteger, over een rechte AV (symmetrie-as) het volledig gecombineerdmet zijn oorspronkelijke positie.

• Radiale symmetrie- Symmetry-formulier, opgeslagen wanneer het object rond een bepaald punt of direct wordt gedraaid. Vaak valt dit punt samen met het zwaartepunt van het object, dat wil zeggen, op dat moment waarin snijden Oneindig aantal symmetrische assen. Soortgelijke objecten kunnen zijn cirkel, bal, cilinder of kegel.

Spiegel symmetrieeen banden.

Spiegel symmetrieeen banden. het object en de reflectie in een platte spiegel. Er wordt gezegd dat één figuur (of lichaam) spiegel is die symmetrisch anders is als ze samen een spiegel symmetrische figuur (of lichaam) vormen. Symmetrisch, spiegelcijfers met al hun overeenkomsten verschillen aanzienlijk van elkaar. Twee spiegel symmetrische platte figuren kunnen altijd op elkaar worden gesuperponeerd. Hiervoor is het echter noodzakelijk om een \u200b\u200bvan hen (of beide) uit hun algehele vlak te ontlenen.

Symmetrie gelijkenis matryushki.

• Symmetrie gelijkenis vertegenwoordigen een eigenaardige analogen van eerdere symmetrieën met het enige verschil dat ze geassocieerd zijn gelijktijdig afnemen of het vergroten van dergelijke delen van de vorm en afstanden tussen hen. Het eenvoudigste voorbeeld van dergelijke symmetrie is matryushki.

• Soms kunnen de cijfers verschillende soorten symmetrie hebben. Sommige letters hebben bijvoorbeeld een swivel- en spiegelsymmetrie: J., N., M., OVER, MAAR.

• Er zijn veel andere soorten symmetrieën die abstract karakter hebben. Bijvoorbeeld:

• Herschikking symmetrieDat is dat als de identieke deeltjes op plaatsen worden verwisseld, er geen veranderingen optreden;

• Kalibratie symmetrieverbonden met een schaalveranderingen. In de levenloze aard van symmetrie rijst vooral in zo'n fenomeen van de natuur als kristallenWaaruit bijna alle vaste lichamen bestaan. Het is zij die hun eigenschappen bepaalt. Het meest voor de hand liggende voorbeeld van de schoonheid en de perfectie van kristallen is iedereen bekend. sneeuwvlok.

Met Symmetry ontmoeten we elkaar overal: in de natuur, machines, kunst, wetenschap. Het concept van symmetrie passeert de gehele eeuwenoude geschiedenis van de menselijke creativiteit. De principes van symmetrie spelen een belangrijke rol. in natuurkunde en wiskunde, chemie en biologie, technologie en architectuur, schilderen en beeldhouwkunst, poëzie en muziek. De wetgeving van de natuur is ook onderworpen aan symmetr-principes.

symmetrie-as.

• Veel bloemen hebben een interessante eigenschap: ze kunnen worden geroteerd, zodat elk bloemblad de positie van de buurman zal bezetten, de bloem is met zichzelf uitgelijnd. Zo'n bloem heeft symmetrie-as.

• Schroef symmetrie Het wordt waargenomen op de locatie van de bladeren op de stelen van de meeste planten. Kamperen op een stengel lijken de bladeren in alle richtingen verspreid te zijn en elkaar niet verdoezelen van het licht, dat uiterst noodzakelijk is voor het leven van planten.

• Bilaterale symmetrieplant-organen bezitten ook, bijvoorbeeld, stengels van vele cactussen. In Nerds elkaar vaak radiaal Symmetrisch gebouwd bloemen.

scheidingslijn.

• Onder de symmetrie bij dieren, de correspondentie in maten, vorm en contouren, evenals de relatieve locatie van de delen van het lichaam aan de tegenoverliggende zijden scheidingslijn.

• De belangrijkste soorten symmetrie zijn radiaal (straling) - ze heeft iglusler, intestinale, kwallen, enz.; of bilateraal (bilateraal) - het kan worden gezegd dat elk dier (of insect, vis of vogel) bestaat van twee helft - Rechts en links.

• Sferische symmetrieer is een plaats voor Radiolearia en bodems. Elk vliegtuig doorgebracht door het centrum verdeelt het dier aan dezelfde helften.

• De symmetrie van de structuur is geassocieerd met de organisatie van zijn functies. De projectie van het symmetrievlak is de as van het gebouw - het wordt meestal bepaald door de plaatsing van de hoofdingang en het begin van de hoofdstroomstromen.

• Elk detail in een symmetrisch systeem bestaat als een tweeling van zijn verplichte paarGelegen aan de andere kant van de as, en hierdoor kan het alleen als onderdeel van het geheel worden beschouwd.

• Meest voorkomende in de architectuur spiegel symmetrie. Ze is ondergeschikt aan de constructie van het oude Egypte en de tempels van het oude Griekenland, amfitheaters, hun, basiliek en de bogen van de Romeinen, paleizen en de Renaissance-kerk, evenals de talrijke constructies van de moderne architectuur.

accenten

• Voor een betere weerspiegeling van symmetrie op structuren worden geplaatst accenten - Vooral belangrijke elementen (koepel, torens, tenten, ingangen en trappen, balkons en erkers).

• Een ornament wordt gebruikt om de decoratie van architectuur te versieren - een ritmisch herhalend patroon, gebaseerd op een symmetrische samenstelling van zijn elementen en een lijn die wordt uitgedrukt door een lijn, kleur of opluchting. Er zijn verschillende soorten ornamenten op basis van twee bronnen - natuurlijke vormen en geometrische vormen.

• Maar de architect is voornamelijk de kunstenaar. En daarom, zelfs de meest "klassieke" stijlen vaker gebruikt diskimmetrie - Nuance afwijking van schone symmetrie of asymmetrie - opzettelijk asymmetrische constructie.

• Niemand kan twijfelen dat de man naar buiten toe symmetrisch is gebouwd: de linkerhand komt altijd overeen met het recht en beide handen zijn precies hetzelfde. Maar de gelijkenis tussen onze handen, oren, ogen en andere delen van het lichaam is hetzelfde als tussen het onderwerp en de reflectie in de spiegel.

rechtsaf zijn voor de helft bruto functiesInherent aan de mannelijke vloer. Linker helft

Talloze metingen van gezichtsparameters bij mannen en vrouwen lieten zien dat rechtsaf zijn voor de helft Vergeleken met de linker, heeft meer uitgesproken transversale dimensies, wat het gezicht meer geeft bruto functiesInherent aan de mannelijke vloer. Linker helftpersonen hebben meer uitgesproken longitudinale maten die hem geven gladheidslijnen en vrouwelijkheid. Dit feit legt het preferentiële verlangen van vrouwelijke mensen uit om te poseren voor de kunstenaars van de linkerkant van de persoon, en de mannelijke gezichten hebben gelijk.

Palindrome

• Palindrome (Van GR. Palindromos - Rennen) is een object waarin de symmetrie van de componenten van het begin tot het einde en aan het begin tot het begin is. Bijvoorbeeld zin of tekst.

• Directe palindrome-tekst leesbaar in overeenstemming met de normale leesrichting in dit schrijven (meestal van links naar rechts), genoemd sprekerOmgekeerd - rocker of omgekeerde(van rechts naar links). Sommige getallen bezitten ook symmetrie.

"Symmetry Point" - Symmetrie in de architectuur. Voorbeelden van symmetrie van platte figuren. Twee punten A en A1 worden symmetrisch genoemd over O, indien over het midden van het AA1-segment. Voorbeelden van figuren met centrale symmetrie zijn cirkel en parallellogrammen. Het punt C wordt het symmetriecentrum genoemd. Symmetrie in wetenschap en technologie.

"Bouw van geometrische vormen" is een educatief aspect. Controle en correctie van assimilatie. Bestuderen van de theorie waarop de methode is gebaseerd. In stereometrie - niet strenge constructie. Stereometrische constructies. Algebraïsche methode. Werkwijze voor transformaties (gelijkenis, symmetrie, parallelle overdracht, enz.). Bijvoorbeeld: recht; bisderhoek; Middelste loodrecht.

"De figuur van een persoon" - de vorm en beweging van het menselijk lichaam bepaalt grotendeels het skelet. Eerlijk met theatrale weergave. Wat denk je dat er een baan zal zijn voor een kunstenaar in een circus? Het skelet speelt de rol van een frame in de structuur van de figuur. Het hoofdlichaam (buik, borst) lette niet op het hoofd, gezicht, handen. A. MATIS. Proporties. Het oude Griekenland.

"Symmetrie is relatief recht" - symmetrie is relatief direct genaamd axiale symmetrie. Directe a-as van symmetrie. Symmetrie relatief recht. Bluavin Paul, 9V-klasse. Hoeveel assen van Symmetrie heeft elk cijfer? Figuur kan een of meer symmetrieën hebben. Centrale symmetrie. Gelijke trapezium. Rechthoek.

"Square of Geometry Figures" - Pytagora Theorem. Vierkant van verschillende figuren. Bepaal de rebus. Cijfers met gelijke gebieden zijn zijnometrisch. Eenheden van meetgebieden. Gebied van een driehoek. Rechthoek, driehoek, parallellogram. Vierkante centimeter. Cijfers van gelijk gebied. Gelijke vormen b). Vierkante millimeter. in). Wat is gelijk aan de figuur die is samengesteld uit figuren A en G

"Limiet-functie op punt" -, dan in dit geval. Met het verlangen. Limietfunctie op punt. Continu op punt. Gelijk aan de waarde van functie in. Maar bij het berekenen van de limiet van de functie bij. Gelijk aan de waarde. Uitdrukking. Streven. Of het kan worden gezegd: in een voldoende kleine wijk van het punt. Gecompileerd van. Besluit. Continu met tussenpozen. Op het interval.

Het leven van mensen is gevuld met symmetrie. Het is handig, mooi, niet nodig om nieuwe normen uit te vinden. Maar wat is het echt en is het mooi in de natuur, zoals het wordt overwogen?

Symmetrie

Sinds de oudheid proberen mensen de wereld om zichzelf te stroomlijnen. Daarom wordt iets als mooi beschouwd, en iets is niet erg. Van esthetisch oogpunt worden zowel aantrekkelijk beschouwd als goud- en zilversecties, evenals natuurlijk symmetrie. Deze term heeft een Griekse oorsprong en betekent letterlijk "evenredigheid". Natuurlijk gaat het niet alleen om het toeval van deze functie, maar ook op een ander. In het algemene gevoel van symmetrie is dit het eigendom van het object, wanneer het resultaat gelijk is aan de brongegevens als gevolg van bepaalde formaties. Het wordt gevonden in zowel levend als in levenloze natuur, evenals in de onderwerpen die door een persoon zijn gemaakt.

Allereerst wordt de term "symmetrie" gebruikt in geometrie, maar het vindt gebruik in veel wetenschappelijke gebieden, en de waarde blijft in het algemeen en hetzelfde ongewijzigd. Dit fenomeen wordt vaak vrij gevonden en wordt als interessant beschouwd, omdat verschillende soorten verschilt, evenals elementen. Het gebruik van symmetrie is ook interessant, omdat het niet alleen in de natuur wordt gevonden, maar ook in ornamenten op stof, grenzen van gebouwen en vele andere door de mens gemaakte objecten. Het is de moeite waard om dit fenomeen in meer detail te overwegen omdat het buitengewoon fascinerend is.

Het gebruik van de term in andere wetenschappelijke velden

In de toekomst zal symmetrie worden overwogen vanuit het oogpunt van geometrie, maar het is de moeite waard om te vermelden dat dit woord niet alleen hier wordt gebruikt. Biologie, virologie, chemie, natuurkunde, kristallografie - al deze onvolledige lijst van gebieden waarin dit fenomeen wordt bestudeerd aan verschillende kanten en in verschillende omstandigheden. Van hoe de wetenschap naar deze termijn verwijst, hangt bijvoorbeeld af, bijvoorbeeld classificatie. Zo is de scheiding van typen ernstig gevarieerd, hoewel sommige basic, misschien overal ongewijzigd blijven.

Classificatie

Er zijn verschillende basistypen symmetrie, waarvan drie het meest voorkomt:

Bovendien worden de volgende typen ook onderscheiden in geometrie, ze zijn veel minder gebruikelijk, maar niet minder nieuwsgierig:

• glijden;
• rotatie;
• punt;
• progressief;
• schroef;
• fractal;
• enz.

In de biologie zijn alle typen enigszins anders, hoewel in wezen hetzelfde kan zijn. De divisie in bepaalde groepen is gebaseerd op de aanwezigheid of afwezigheid, evenals het aantal bepaalde elementen, zoals centra, vliegtuigen en symmetrie. Ze moeten afzonderlijk en in meer detail worden beschouwd.

Basiselementen

In het fenomeen wijst een aantal functies toe, waarvan er één noodzakelijkerwijs aanwezig is. De zogenaamde basiselementen omvatten vliegtuigen, centra en axis symmetrie. Het is in overeenstemming met hun aanwezigheid, afwezigheid en kwantiteit die een type wordt bepaald.

Het symmetriecentrum wordt een punt in de figuur of een kristal genoemd waarin de lijnen in paren van alle parallel aan elkaar worden verbonden, worden geconvergeerd. Natuurlijk is het niet altijd. Als er partijen zijn waarop er geen parallelle paar is, is een dergelijk punt niet mogelijk, omdat het dat niet is. In overeenstemming met de definitie is het duidelijk dat het symmetr-centrum is dat de figuur door zichzelf kan worden weerspiegeld. Een voorbeeld kan bijvoorbeeld een cirkel en punt in het midden dienen. Dit element wordt meestal aangeduid als C.

Het vlak van Symmetry stelt zich natuurlijk voor, maar het is dat zij de figuur in twee gelijke deel van elkaar verdeelt. Het kan een of meerdere partijen passeren, evenwijdig aan haar zijn en kan ze delen. Voor dezelfde figuur kunnen verschillende vliegtuigen tegelijk zijn. Deze elementen worden meestal aangeduid aan P.

Maar misschien voldoet het vaakst wat de "As of Symmetry" wordt genoemd. Dit is een frequent fenomeen, zowel in geometrie als in de natuur. En het is een aparte overweging waard.

As

Vaak het element ten opzichte van welke de figuur symmetrisch kan worden genoemd,

voert direct of segment uit. In ieder geval hebben we het niet over punt en niet over het vliegtuig. Dan worden de cijfers overwogen. Ze kunnen heel veel zijn, en ze kunnen zijn alsof je wilt: deel de partijen of wees parallel aan hen, evenals kruishoorns of niet doen. Symmetry-assen worden meestal L. genoemd.

Voorbeelden kunnen zo mogelijk dienen en in het eerste geval zal er een verticale symmetrieas zijn, aan beide zijden van welke gelijke gezichten, en in de tweede lijn elke hoek oversteken en samenvallen met alle bisectoren, medianen en hoogten. De gebruikelijke driehoeken bezitten het niet.

Trouwens, de combinatie van alle bovengenoemde elementen in kristallografie en stereometrie wordt de mate van symmetrie genoemd. Deze indicator is afhankelijk van het aantal assen, vliegtuigen en centra.

Voorbeelden in geometrie

Het is conventioneel gedeeld door al vele objecten van het bestuderen van wiskundigen op de figuren met een symmetrie-as, en degenen die het niet hebben. In de eerste categorie vallen alle omtrek, ovalen, evenals enkele bijzondere gevallen, de resterende val in de tweede groep automatisch.

Net als in het geval dat de driedelle symmetrie-as zei, bestaat dit element voor de vierhoek niet altijd. Voor een vierkant, rechthoek, ruit of een parallellogram, is het, maar voor de verkeerde figuur, respectievelijk nee. Voor de omtrek van de as van symmetrie is veel direct, die door zijn centrum passeren.

Bovendien is het interessant om de surroundcijfers vanuit dit oogpunt te overwegen. Ten minste één symmetrieas, naast alle correcte polygonen en de bal, zullen sommige kegels, evenals piramides, parallelogrammen en sommige anderen hebben. Elke zaak moet afzonderlijk worden beschouwd.

Voorbeelden in de natuur

In het leven wordt bilateraal genoemd, het komt het meest aan
vaak. Iedereen en heel veel dieren zijn een voorbeeld. De as wordt radiaal genoemd en komt veel minder vaak voor, in de regel, in de plantenwereld. En toch zijn ze. Het is bijvoorbeeld de moeite waard om te denken hoeveel assen van symmetrie een ster heeft, en heeft ze ze überhaupt? Natuurlijk hebben we het over mariene inwoners, en niet over het onderwerp van het bestuderen van astronomen. En het juiste antwoord is als volgt: het hangt af van het aantal stralen van de ster, bijvoorbeeld vijf, als het vijfpuntig is.

Bovendien wordt radiale symmetrie in veel bloemen waargenomen: kamille, korenbloemen, zonnebloemen, enz. Voorbeelden zijn een enorm bedrag, ze zijn letterlijk overal in de buurt.

Aritmie

Deze term herinnert eerst het grootste deel van de geneeskunde en de cardiologie, maar het heeft oorspronkelijk een iets andere betekenis. In dit geval zal het synoniem "asymmetrie" zijn, dat wil zeggen, de afwezigheid of schending van de regelmaat in één vorm of een andere. Het kan worden gevonden als een ongeluk, en soms kan het een uitstekende ontvangst worden, bijvoorbeeld in kleding of architectuur. Immers, symmetrische gebouwen zijn veel, maar de beroemde enigszins gekanteld, en hoewel het niet één is, maar dit is het meest bekende voorbeeld. Het is bekend dat het toevallig gebeurde, maar dit heeft zijn eigen charme.

Bovendien is het duidelijk dat de gezichten en de lichamen van mensen en dieren ook niet volledig symmetrisch zijn. Zelfs studies werden uitgevoerd, volgens de resultaten waarvan de "juiste" personen werden beschouwd als niet-ingezetene of gewoon onaantrekkelijk. Toch is de perceptie van symmetrie en dit fenomeen op zich geweldig en zijn nog niet bestudeerd tot het einde, en zijn daarom buitengewoon interessant.

Symmetrie van ruimtelijke figuren

Volgens de beroemde Duitse wiskunde van Vaila (1885-1955), "is Symmetry het idee waardoor een persoon heeft geprobeerd te begrijpen en te creëren, schoonheid en perfectie."
Uitstekende afbeeldingen van symmetrie Demonstreren kunstwerken: architectuur, schilderen, beeldhouwkunst, enz.
Het concept van symmetrie van figuren op het vliegtuig werd in de loop van Planimetrie beschouwd. In het bijzonder werden de concepten van centrale en axiale symmetrie bepaald. Voor ruimtelijke figuren wordt het concept van symmetrie op een vergelijkbare manier bepaald.
Overweeg eerst de centrale symmetrie.
symmetrisch ten opzichte van het punt O, riep center of SymmetryAls o het midden van het AA-segment is. "Punt O wordt als symmetrisch beschouwd voor mijzelf.
De omzetting van de ruimte waarin elk punt A wordt vergeleken met een symmetrisch (ten opzichte van dit punt O) punt A centrale symmetrie. Punt o wordt genoemd center of Symmetry.
Twee figuren F en F "worden genoemd centraal symmetrischAls er een symmetrie-transformatie is die een van hen naar het andere vertaalt.
Figuur F wordt genoemd centraal symmetrischAls het centraal symmetrisch is voor zichzelf.
Parallellepiped is bijvoorbeeld centraal symmetrisch over het snijpunt van de diagonalen. De bal en bol is centraal symmetrisch over hun centra.
Van de juiste polyhedra zijn centraal symmetrisch zijn de kubus, octaëdr, ikosahedron en dodecahedron. Tetrahedron is geen centraal symmetrisch figuur.
Overweeg enkele eigenschappen van centrale symmetrie.
Eigendom 1. Als O. 1, O 2 - Symmetriecentra Figuur F, punt o 3, Symmetric O 1 ten opzichte van O 2 het is ook het centrum van symmetrie van deze figuur.
Bewijs. Laat een punt van ruimte zijn, een 2 - punt, symmetrisch eraan, relatief o 2, een 1 - punt, symmetrisch a 2 ten opzichte van O 1 en A 3 - Punt symmetrisch a 1 ten opzichte van O2 (fig. 1).

Toen driehoeken O. 2 O 1 A 1 en O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 en O 2 O 3 A zijn gelijk. Bijgevolg een en een 3 Symmetrisch ten opzichte van O. 3 . Dus, symmetrie ten opzichte van O 3 is een samenstelling van symmetrieën ten opzichte van O 2, O 1 en O 2 . Bijgevolg, met deze symmetrie passeert de figuur F zichzelf op zich, d.w.z. O. 3 Het is het centrum van symmetrie van F. FIGUUR

Corollary. Elke figuur of heeft geen symmetriecentrum, of heeft één symmetriecentrum, of heeft oneindig veel symmetriecentra

Echt als o 1, O 2 - Symmetriecentra Figuur F, punt o 3, Symmetric O 1 ten opzichte van O 2 het is ook het centrum van symmetrie van deze figuur. Evenzo, punt o 4 Symmetric O 2 ten opzichte van O 3 ook is het centrum van symmetrie figuur F, enz. Dus in dit geval heeft de figuur F oneindig veel symmetriecentra.

Overweeg nu het concept axiale symmetrie.
Punten A en een "Ruimte worden genoemd symmetrisch relatief direct eEN., genoemd symmetrie-asAls het recht is eEN. Het passeert het midden van het segment AA "en loodrecht op dit segment. Elk punt is recht eEN. Het wordt als symmetrisch beschouwd.
De transformatie van de ruimte waarin elk punt A wordt vergeleken met een symmetrisch punt A "(ten opzichte van deze directe eEN.), genoemd axiale symmetrie. Rechtdoor eEN. Het heet symmetrie-as.
Twee figuren worden genoemd symmetrisch relatief direct eEN.Als de transformatie van symmetrie ten opzichte van deze direct een van hen naar het andere vertaalt.
Figuur f in de ruimte wordt genoemd symmetrisch relatief direct eEN.Als ze symmetrisch is voor zichzelf.
Rechthoekige parallellepiped is bijvoorbeeld symmetrisch ten opzichte van het directe passeren door de centra van tegengestelde gezichten. De rechte cirkelvormige cilinder is symmetrisch ten opzichte van zijn as, de bal en het bol is symmetrisch over een direct passeren door hun centra, enz.
De kubus heeft drie symmetrie-assen, die door de centra van tegengestelde gezichten en zes symmetrieassesoorten passeert door het midden van de tegenoverliggende ribben.
Tetrahedron heeft drie symmetrie-assen, die door de middenoverliggende ribben passeert.
De octaëder heeft drie assen van symmetrie die door de tegenovergestelde hoekpunten en zes symmetrie door het midden van de tegenoverliggende ribben passeert.
Ikosahedron en Dodecahedr hebben een vijftien assen van symmetrie die door de middenoverliggende randen passeren.
Onroerend goed 3. Als eeneEN. 1 , eEN. 2 - de as van symmetriecijfers F, dan rechteEN. 3, symmetrisch eEN. 1 met betrekking tot eEN. 2 is ook de as van symmetrie van deze figuur.

Bewijs vergelijkbaar met bewijs van eigendom 1.

Eigendom 4. Als twee doorsnijdende loodrechte rechte lijnen in de ruimte assen van symmetrie van deze figuur F zijn, zullen de directe, die door het kruispunt en loodrecht op het vlak van deze rechten passeren, ook de as van symmetrie van F.
Bewijs. Overweeg de assen van de coördinaat O x.O. y.O. z.. Symmetrie ten opzichte van de as o x. x., y., z.) tot het punt van de figuur F met coördinaten ( x, -y, -z). Evenzo, symmetrie ten opzichte van de Axis O y. Transfers het punt van de figuur F met coördinaten ( x., –y., –z.) tot het punt van de figuur F met coördinaten (- x, -y, z) . Aldus draagt \u200b\u200bde samenstelling van deze symmetrieën het punt van de figuur F met coördinaten over ( x, y, z) tot het punt van de figuur F met coördinaten (- x, -y, z). Bijgevolg de as o z.het is de as van symmetrie van F.-figuur

Corollary. Elke vorm in de ruimte kan geen zelfs (niet-nul) aantal symmetrische assen hebben.
Bepaal inderdaad wat symmetrie-as eEN.. Als een b.- As van symmetrie, gaat niet over eEN.of kruist het niet in rechte hoeken, dan voor haar is er een andere symmetrieas b ', symmetrisch over eEN.. Als de symmetrie-as b.kruispunt eEN.in rechte hoeken, dan voor haar is er een andere symmetrieas b 'door het kruispunt en loodrecht op het vlak van de directe vlakte eEN.en b.. Bijgevolg, behalve de as van symmetrie eEN.het is mogelijk of een gelijkmatig of oneindig aantal symmetrische assen. Aldus is het totaal zelfs (niet-nul) aantal symmetrieasses onmogelijk.
Naast de bovenstaande assen van symmetrie, worden ook overwogen axis Symmetry n.bestellen, n.2 .
Rechtdoor eEN. genoemd symmetrie-as n.bestellen Figuren f als bij het draaien van de figuur f rond het rechte eEN. Op de hoek van de figuur is f gecombineerd met zichzelf.

Het is duidelijk dat de symmetrieas van de 2e bestelling slechts de symmetrieas is.
Bijvoorbeeld in het juiste n.Bevroren piramide direct, passerend door de boven- en midden van de basis, is de as van symmetrie n.-O-volgorde.
We ontdekken welke assen van symmetrie de juiste polyhedra hebben.
De kubus heeft drie assen van symmetrie van de 4e orde die door de centra van tegenoverliggende gezichten passeert, vier assen van symmetrie van de 3e order die door de tegenovergestelde hoekpunten en zes assen van symmetrie van de 2e orde passeren door de middenoverliggende ribben.
De tetraëder heeft drie assen van de symmetrie van de tweede orde, die door de middenovergestelde randen passeert.
Ikosahedr heeft zes symmetrieasses van de 5e volgorde die door tegenovergestelde hoekpunten gaat; Tien assen van symmetrie van de 3e orde die door de centra van tegengestelde gezichten en vijftien assen van symmetrie van de 2e orde passeren die door de middenoverliggende randen passeren.
Dodecahedron heeft zes assen van de 5e ordersymmetrie, die door de centra van tegengestelde gezichten gaat; Tien assen van de symmetrie van de 3e orde die door de tegenovergestelde hoekpunten en vijftien assen van symmetrie van de 2e orde passeren die door de middenoverliggende randen passeren.
Overweeg het concept spiegel symmetrie.
Punten a en een "in de ruimte worden genoemd symmetrisch ten opzichte van het vliegtuig , of op een andere manier, spiegel symmetrischAls dit vlak door het midden van het segment AA passeert "en loodrecht op het. Elk punt van het vlak wordt als symmetrisch voor zichzelf beschouwd.
De transformatie van de ruimte waarin elk punt A wordt vergeleken met het symmetrische punt A "(ten opzichte van dit vlak), genoemd spiegel symmetrie. Het vliegtuig wordt genoemd vlak van symmetrie.
Twee figuren worden genoemd spiegel symmetrisch ten opzichte van het vlak als de symmetr-transformatie ten opzichte van dit vliegtuig een van hen naar het andere vertaalt.
Figuur f in de ruimte wordt genoemd spiegel symmetrischAls het spiegel is symmetrisch voor mezelf.
De rechthoekige parallelepiped is bijvoorbeeld spiegel symmetrisch ten opzichte van het vlak dat door de symmetrie-as en parallelle van de paren van tegenovergestelde gezichten passeert. De cilinder is spiegel-symmetrisch over elk vlak dat door zijn as gaat, enz.
Onder de juiste Polyhedra Cube en OctaHedron hebben negen vlakken van symmetrie. Tetrahedron heeft zes symmetrievliegtuigen. Ikosahedron en dodecahedr hebben vijftien vliegtuigen van symmetrie, die door de paar tegenovergestelde ribben passeren.
Onroerend goed 5. De samenstelling van twee spiegelymmetrieën ten opzichte van parallelle vlakken is een parallelle overdracht aan de vector, loodrecht op deze vlakken en gelijk aan de betwijfelde afstand tussen deze vliegtuigen.
Corollary. Parallelle overdracht kan worden vertegenwoordigd als een samenstelling van twee spiegelymmetries.
Onroerend goed 6. De samenstelling van twee spiegelymmetrieën ten opzichte van de vliegtuigen die in een rechte lijn kruisen, is een draai rond dit recht op een hoek die gelijk is aan een verdubbelde doucheshoek tussen deze vliegtuigen. In het bijzonder is de axiale symmetrie een samenstelling van twee spiegelymmetrieën ten opzichte van loodrechte vlakken.
Corollary. De beurt kan worden weergegeven als een samenstelling van twee spiegelymmetries.
Onroerend goed 7. Centrale symmetrie kan worden vertegenwoordigd als een samenstelling van drie spiegelymmetries.
We bewijzen deze accommodatie met de hulp van de coördinatenmethode. Laat punt A. de ruimte heeft coördinaten ( x, y, z). Spiegel symmetrie ten opzichte van het coördinaatvlak verandert het teken van de overeenkomstige coördinaat. Spiegel Symmetry bijvoorbeeld ten opzichte van het vliegtuig O xy. vertaalt het punt met coördinaten ( x, y, z) tot een punt met coördinaten ( x, y, -z). De samenstelling van drie spiegelymmetrieën ten opzichte van de coördinatenvlakken vertaalt het punt met coördinaten ( x, y, z) tot een punt met coördinaten (- x, -y, -z), een centraal symmetrisch startpunt A.
Bewegingen die het vertalen van het cijfer van de FE zelf vormen een groep met betrekking tot de samenstelling. Het heet groep symmetrie Figuren F.
We zullen de volgorde van de groep Symmetry Cuba vinden.
Het is duidelijk dat elke beweging die de kubus vertaalt, het centrum van Cuba op zijn plaats verlaat, de centra van de gezichten in de centra van de gezichten, het midden van de ribben in het midden van de ribben en de toppen in de bovenkant overbrengt.
Het is dus voldoende om te bepalen waar het midden van het gezicht gaat, het midden van de randen van dit gezicht en de bovenkant van de rib gaat om de kubus in te stellen.
Overweeg het splitsen van de kubus op tetrahedra, de hoekpunten van elk het centrum van Cuba, het midden van het gezicht, het midden van de randen van dit gezicht en de bovenkant van de rib. Dergelijke tetraëder 48. Aangezien de beweging volledig wordt bepaald door die waarin de tetraëder wordt vertaald door deze tetraëder, is de volgorde van de groep van symmetrie van de kubus gelijk aan 48.
Evenzo zijn er ordes van groepen symmetrieën van tetrahedra, octaheedron, ikosahedron en dodecahedron.
Zoek een groep symmetrieën van een enkele cirkel S 1 . Deze groep wordt aangegeven door O (2). Het is een eindeloze topologische groep. Stel je een enkele cirkel voor als een groep geïntegreerde cijfers in de module van gelijke eenheden. Er is een natuurlijk epimorfisme P: O (2) -\u003e S 1 het vergelijken van het element u van de O (2) element U (1) in S 1 . De kernel van deze mapping is een groep z 2 gegenereerd door de symmetrie van een enkele cirkel ten opzichte van de ossenas. Daarom, o (2) / z 2S 1. . Bovendien, als u geen rekening houdt met de groepsstructuur, dan het homeomorfisme o (2) en de directe werkzaamheden 1 en z 2.
Evenzo een groep symmetrieën van de tweedimensionale bol s 2 geeft o (3) aan en het vindt plaats isomorfisme o (3) / o (2) s 2 .
Een groep symmetrieën van n-dimensionale sferen spelen een belangrijke rol in moderne secties van de topologie: de theorie van spruitstukken, theorie van gestratificeerde ruimtes, enz.
Een van de meest levendige manifestaties van symmetrie in de natuur zijn kristallen. De eigenschappen van kristallen worden bepaald door de eigenaardigheden van hun geometrische structuur, met name de symmetrische opstelling van atomen in het kristalrooster. Externe vormen van kristallen zijn een gevolg van hun interne symmetrie.
De eerste, nog steeds vage aannames die atomen in kristallen correct zijn gelegen, natuurlijk, symmetrisch, uitgedrukt in de werken van verschillende naturalisten al in die dagen, wanneer het concept van een atoom onduidelijk was en er geen experimenteel bewijs van de atomaire structuur van de atoomstructuur was de substantie. De symmetrische buitenvorm van de kristallen die onvrijwillig naar het idee zijn gebracht dat de innerlijke structuur van kristallen symmetrisch en natuurlijk moeten zijn. De wetgeving van symmetrie van de buitenste vorm van kristallen werden volledig vastgesteld in het midden van de XIX-eeuw, en tegen het einde van deze eeuw waren de wetgeving van symmetrie duidelijk en nauwkeurig en nauwkeurig gesloten, die ondergeschikt zijn aan atomaire gebouwen in kristallen.
De oprichter van de wiskundige theorie van de structuur van kristallen is een uitstekende Russische wiskundige en kristallograph - Evgraf Stepanovich Fedorov (1853-1919). Wiskunde, chemie, geologie, mineralogie, petrografie, mijnbouw - e.fedorov heeft een aanzienlijke bijdrage geleverd aan elk van deze gebieden. In 1890 bracht het strikt wiskundig wiskundig alle mogelijke geometrische wetten van het combineren van symmetrie-elementen in kristallen structuren, met andere woorden, de symmetrie van de locatie van de deeltjes in de kristallen. Het bleek dat het aantal van dergelijke wetten beperkt is. Fedorov toonde aan dat er 230 ruimtelijke groepen symmetrie zijn, die vervolgens ter ere van de wetenschapper werden genoemd Fedorovsk. Het was een Gigan-werk van 10 jaar voordat de opening van röntgenstralen, 2 jaar voordat het bestaan \u200b\u200bvan het kristalrooster werd bewezen met hun hulp. Het bestaan \u200b\u200bvan 230 Fedorov-groepen is een van de belangrijkste geometrische wetten van moderne structurele kristallografie. "Giant Scientific Feat ES FEDOROV, die erin slaagde alle natuurlijke" chaos "van talloze kristallen formaties in onder een enkele geometrische schema te brengen, en nu bewondering roept. Deze ontdekking is verwant aan de opening van de periodieke tafel di Mendeleev." Het koninkrijk Kristallen "is een onwrikbaar monument en de ultieme de top van de klassieke Fedorovsky-kristallografie," zei Academician A.v. Shubbits.

Literatuur
1. Adamar J. Elementaire geometrie. Deel II. Stereometrie. - 3e ed. - M.: Scrispgiz, 1958.
2. Zal symmetrieën. - M.: Wetenschap, 1968.
3. Wigner E. Etudes over Symmetry. - M.: MIR, 1971.
4. Gardner M. Dit recht, linkerwereld. - M.: MIR, 1967.
5. Guild V. Mirror World. - M.: MIR, 1982.
6. Sluiten A.S. Symmetrie in Micro en Macromir. - M.: Wetenschap, 1978.
7. Paramonova I.M. Symmetrie in wiskunde. - M.: MCNMO, 2000.
8. Perepelkin D.I. Loop van elementaire geometrie. Deel II. Geometrie in de ruimte. - M.-L.: State Ed. Technisch en theoretisch. Literatuur, 1949.
9. Sonin A.S. Begrip van excellentie (symmetrie, asymmetrie, dissimmetrie, antisymmetrie). - M.: Kennis, 1987.
10. Tarasov L.v. Deze ongelooflijk symmetrische wereld. - M.: Verlichting, 1982.
11. Symmetrie-patronen. - M.: MIR, 1980.
12. Shafranovsky I.I. Symmetrie in de natuur. - 2e ed. - l.; 1985.
13. Shubnikov A.v., Koktsik v.a. Symmetrie in wetenschap en kunst. - M.: Wetenschap, 1972.