De basiseigenschappen van de natuurlijke logaritme, grafiek, definitiedomein, verzameling van waarden, basisformules, afgeleide, integraal, expansie in een machtreeks en weergave van de functie ln x door middel van complexe getallen worden gegeven.

Definitie

natuurlijke logaritme is de functie y = ln x, inverse van de exponent, x \u003d e y , en wat de logaritme is van de basis van het getal e: ln x = log e x.

De natuurlijke logaritme wordt veel gebruikt in de wiskunde omdat de afgeleide de eenvoudigste vorm heeft: (ln x)′ = 1/ x.

gebaseerd definities, de basis van de natuurlijke logaritme is het getal e:
e 2.718281828459045...;
.

Grafiek van de functie y = ln x.

Grafiek van de natuurlijke logaritme (functies y = ln x) wordt verkregen uit de grafiek van de exponent door spiegelreflectie rond de rechte lijn y = x .

De natuurlijke logaritme is gedefinieerd voor positieve waarden van x. Het neemt monotoon toe op zijn domein van definitie.

Als x → 0 de limiet van de natuurlijke logaritme is min oneindig ( - ∞ ).

Als x → + ∞ is de limiet van de natuurlijke logaritme plus oneindig ( + ∞ ). Voor grote x neemt de logaritme vrij langzaam toe. Elke machtsfunctie x a met een positieve exponent a groeit sneller dan de logaritme.

Eigenschappen van de natuurlijke logaritme

Definitiedomein, waardenverzameling, extrema, toename, afname

De natuurlijke logaritme is een monotoon stijgende functie en heeft dus geen extrema. De belangrijkste eigenschappen van de natuurlijke logaritme zijn weergegeven in de tabel.

ln x-waarden

logboek 1 = 0

Basisformules voor natuurlijke logaritmen

Formules die voortkomen uit de definitie van de inverse functie:

De belangrijkste eigenschap van logaritmen en de gevolgen ervan

Basis vervangende formule

Elke logaritme kan worden uitgedrukt in natuurlijke logaritmen met behulp van de formule voor basisverandering:

De bewijzen van deze formules worden gepresenteerd in de sectie "Logaritme".

Omgekeerde functie

Het omgekeerde van de natuurlijke logaritme is de exponent.

Als dan

Als dan .

Afgeleide ln x

Afgeleide van de natuurlijke logaritme:
.
Afgeleide van de natuurlijke logaritme van de modulo x:
.
Afgeleide van de nde orde:
.
Afleiding van formules > > >

Integraal

De integraal wordt berekend door integratie in delen:
.
Dus,

Uitdrukkingen in termen van complexe getallen

Beschouw een functie van een complexe variabele z :
.
Laten we de complexe variabele uitdrukken z via module R en argument φ :
.
Met behulp van de eigenschappen van de logaritme hebben we:
.
Of
.
Het argument φ is niet uniek gedefinieerd. Als we zetten
, waarbij n een geheel getal is,
dan zal het hetzelfde getal zijn voor verschillende n.

Daarom is de natuurlijke logaritme, als functie van een complexe variabele, geen functie met één waarde.

Uitbreiding vermogensreeks

Voor , vindt de uitbreiding plaats:

Referenties:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook of Mathematics voor ingenieurs en studenten van instellingen voor hoger onderwijs, Lan, 2009.

Instructie

Schrijf de gegeven logaritmische uitdrukking op. Als de uitdrukking de logaritme van 10 gebruikt, wordt de notatie ervan verkort en ziet er als volgt uit: lg b is de decimale logaritme. Als de logaritme het getal e als grondtal heeft, dan wordt de uitdrukking geschreven: ln b is de natuurlijke logaritme. Het is duidelijk dat het resultaat van elke de macht is waartoe het grondtal moet worden verheven om het getal b te krijgen.

Als je twee functies uit de som vindt, hoef je ze alleen maar een voor een te onderscheiden en de resultaten op te tellen: (u+v)" = u"+v";

Bij het vinden van de afgeleide van het product van twee functies, is het noodzakelijk om de afgeleide van de eerste functie met de tweede te vermenigvuldigen en de afgeleide van de tweede functie op te tellen, vermenigvuldigd met de eerste functie: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Om de afgeleide van het quotiënt van twee functies te vinden, is het noodzakelijk om van het product van de afgeleide van het deeltal vermenigvuldigd met de delerfunctie het product van de afgeleide van de deler vermenigvuldigd met de delerfunctie af te trekken en te delen dit alles door de delerfunctie in het kwadraat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Als een complexe functie wordt gegeven, dan is het noodzakelijk om de afgeleide van de binnenste functie en de afgeleide van de buitenste te vermenigvuldigen. Zij y=u(v(x)), dan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Met behulp van het bovenstaande kunt u bijna elke functie onderscheiden. Laten we dus een paar voorbeelden bekijken:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^xx^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^xx^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Er zijn ook taken voor het berekenen van de afgeleide op een punt. Laat de functie y=e^(x^2+6x+5) gegeven worden, je moet de waarde van de functie vinden op het punt x=1.
1) Zoek de afgeleide van de functie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Bereken de waarde van de functie op het gegeven punt y"(1)=8*e^0=8

Gerelateerde video's

Nuttig advies

Leer de tabel van elementaire afgeleiden. Dit zal veel tijd besparen.

bronnen:

• constante afgeleide

Dus wat is het verschil tussen een irrationele vergelijking en een rationale? Als de onbekende variabele onder het vierkantswortelteken staat, wordt de vergelijking als irrationeel beschouwd.

Instructie

De belangrijkste methode voor het oplossen van dergelijke vergelijkingen is de methode om beide kanten op te heffen vergelijkingen tot een vierkant. Echter. dit is natuurlijk, de eerste stap is om van het teken af ​​te komen. Technisch gezien is deze methode niet moeilijk, maar soms kan het tot problemen leiden. Bijvoorbeeld de vergelijking v(2x-5)=v(4x-7). Door beide zijden te kwadrateren, krijg je 2x-5=4x-7. Zo'n vergelijking is niet moeilijk op te lossen; x=1. Maar de nummer 1 wordt niet gegeven vergelijkingen. Waarom? Vervang de eenheid in de vergelijking in plaats van de waarde x. En de rechter- en linkerkant zullen uitdrukkingen bevatten die niet logisch zijn, dat wil zeggen. Een dergelijke waarde is niet geldig voor een vierkantswortel. Daarom is 1 een vreemde wortel en daarom heeft deze vergelijking geen wortels.

Dus de irrationele vergelijking wordt opgelost met behulp van de methode van het kwadrateren van beide delen. En nadat de vergelijking is opgelost, moeten externe wortels worden afgesneden. Om dit te doen, vervangt u de gevonden wortels in de oorspronkelijke vergelijking.

Overweeg een andere.
2x+vx-3=0
Natuurlijk kan deze vergelijking worden opgelost met dezelfde vergelijking als de vorige. Verbindingen overbrengen vergelijkingen, die geen vierkantswortel hebben, naar de rechterkant en gebruik dan de kwadratuurmethode. los de resulterende rationale vergelijking en wortels op. Maar een andere, elegantere. Voer een nieuwe variabele in; vx=y. Dienovereenkomstig krijgt u een vergelijking als 2y2+y-3=0. Dat is de gebruikelijke kwadratische vergelijking. Vind zijn wortels; y1=1 en y2=-3/2. Los vervolgens twee op vergelijkingen vx=1; vx \u003d -3/2. De tweede vergelijking heeft geen wortels, uit de eerste vinden we dat x=1. Vergeet niet de noodzaak om de wortels te controleren.

Het oplossen van identiteiten is vrij eenvoudig. Dit vereist het maken van identieke transformaties totdat het doel is bereikt. Met behulp van de eenvoudigste rekenkundige bewerkingen zal de taak dus worden opgelost.

Je zal nodig hebben

• - papier;
• - pen.

Instructie

De eenvoudigste dergelijke transformaties zijn algebraïsche verkorte vermenigvuldigingen (zoals het kwadraat van de som (verschil), het verschil van kwadraten, de som (verschil), de derde macht van de som (verschil)). Bovendien zijn er veel trigonometrische formules die in wezen dezelfde identiteiten hebben.

Inderdaad, het kwadraat van de som van twee termen is gelijk aan het kwadraat van de eerste plus tweemaal het product van de eerste en de tweede plus het kwadraat van de tweede, dat wil zeggen, (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereenvoudig beide

Algemene principes van oplossing

Herhaal vanuit een leerboek over wiskundige analyse of hogere wiskunde, wat een duidelijke integraal is. Zoals je weet, is de oplossing van een bepaalde integraal een functie waarvan de afgeleide een integrand geeft. Deze functie wordt antiderivaat genoemd. Volgens dit principe worden de basisintegralen geconstrueerd.
Bepaal aan de hand van de vorm van de integrand welke van de tabelintegralen in dit geval geschikt is. Het is niet altijd mogelijk om dit direct vast te stellen. Vaak wordt de tabelvorm pas merkbaar na verschillende transformaties om de integrand te vereenvoudigen.

Variabele vervangingsmethode

Als de integrand een trigonometrische functie is waarvan het argument een polynoom is, probeer dan de methode voor het wijzigen van variabelen. Om dit te doen, vervangt u de polynoom in het argument van de integrand door een nieuwe variabele. Bepaal op basis van de verhouding tussen de nieuwe en oude variabele de nieuwe integratiegrenzen. Door deze uitdrukking te differentiëren, vind je een nieuw differentieel in . U krijgt dus een nieuwe vorm van de oude integraal, die in de buurt komt van of zelfs overeenkomt met een tabelvorm.

Oplossing van integralen van de tweede soort

Als de integraal een integraal is van de tweede soort, de vectorvorm van de integrand, dan moet je de regels gebruiken om van deze integralen naar scalaire integralen te gaan. Een van die regels is de Ostrogradsky-Gauss-ratio. Deze wet maakt het mogelijk om van de rotorstroom van een vectorfunctie over te gaan naar een drievoudige integraal over de divergentie van een bepaald vectorveld.

Substitutie van integratiegrenzen

Na het vinden van het antiderivaat, is het noodzakelijk om de limieten van integratie te vervangen. Vervang eerst de waarde van de bovengrens in de uitdrukking voor de primitieve. Je krijgt een nummer. Trek vervolgens van het resulterende getal een ander getal af, de resulterende ondergrens van het primitieve. Als een van de integratielimieten oneindig is, dan is het bij het substitueren ervan in de antiderivaatfunctie noodzakelijk om naar de limiet te gaan en te vinden waar de uitdrukking naar neigt.
Als de integraal tweedimensionaal of driedimensionaal is, moet u de geometrische limieten van integratie weergeven om te begrijpen hoe u de integraal kunt berekenen. In het geval van bijvoorbeeld een driedimensionale integraal kunnen de integratiegrenzen hele vlakken zijn die het te integreren volume begrenzen.

De logaritme van een positief getal b tot grondtal a (a>0, a is niet gelijk aan 1) is een getal c zodat ac = b: log ab = c ⇔ ac = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Merk op dat de logaritme van een niet-positief getal niet is gedefinieerd. Ook moet het grondtal van de logaritme een positief getal zijn dat niet gelijk is aan 1. Als we bijvoorbeeld -2 kwadrateren, krijgen we het getal 4, maar dit betekent niet dat de logaritme met grondtal -2 van 4 gelijk is aan 2.

Basis logaritmische identiteit

a log a b = b (a > 0, a 1) (2)

Het is belangrijk dat de domeinen van definitie van de rechter en linker delen van deze formule verschillend zijn. De linkerkant is alleen gedefinieerd voor b>0, a>0 en a ≠ 1. De rechterkant is gedefinieerd voor elke b en is helemaal niet afhankelijk van a. Zo kan de toepassing van de logaritmische basis "identiteit" bij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden leiden tot een verandering in de DPV.

Twee voor de hand liggende gevolgen van de definitie van de logaritme

log a a = 1 (a > 0, a 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Inderdaad, wanneer we het getal a tot de eerste macht verhogen, krijgen we hetzelfde getal, en wanneer we het verhogen tot de macht nul, krijgen we er één.

De logaritme van het product en de logaritme van het quotiënt

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Ik wil schoolkinderen waarschuwen voor het ondoordachte gebruik van deze formules bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden. Wanneer ze "van links naar rechts" worden gebruikt, wordt de ODZ smaller, en bij het verplaatsen van de som of het verschil van logaritmen naar de logaritme van het product of quotiënt, breidt de ODZ uit.

De uitdrukking log a (f (x) g (x)) wordt inderdaad in twee gevallen gedefinieerd: wanneer beide functies strikt positief zijn of wanneer f(x) en g(x) beide kleiner dan nul zijn.

Door deze uitdrukking om te zetten in de som log a f (x) + log a g (x) , zijn we genoodzaakt ons alleen te beperken tot het geval waarin f(x)>0 en g(x)>0. Er is een vernauwing van het bereik van toelaatbare waarden, en dit is absoluut onaanvaardbaar, omdat dit kan leiden tot het verlies van oplossingen. Een soortgelijk probleem bestaat voor formule (6).

De graad kan uit het teken van de logaritme worden gehaald

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0) (7)

En nogmaals, ik zou willen pleiten voor nauwkeurigheid. Beschouw het volgende voorbeeld:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

De linkerkant van de gelijkheid is uiteraard gedefinieerd voor alle waarden van f(x) behalve nul. De rechterkant is alleen voor f(x)>0! Door de kracht uit de logaritme te halen, verkleinen we de ODZ opnieuw. De omgekeerde procedure leidt tot een uitbreiding van het bereik van toelaatbare waarden. Al deze opmerkingen zijn niet alleen van toepassing op de macht van 2, maar ook op elke even macht.

Formule om naar een nieuwe basis te verhuizen

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Dat zeldzame geval wanneer de ODZ niet verandert tijdens de conversie. Als je de basis c verstandig hebt gekozen (positief en niet gelijk aan 1), is de formule om naar een nieuwe basis te verhuizen volkomen veilig.

Als we het getal b als een nieuwe basis c kiezen, krijgen we een belangrijk bijzonder geval van formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Enkele eenvoudige voorbeelden met logaritmen

Voorbeeld 1 Bereken: lg2 + lg50.
Oplossing. lg2 + lg50 = lg100 = 2. We gebruikten de formule voor de som van logaritmen (5) en de definitie van de decimale logaritme.

Voorbeeld 2 Bereken: lg125/lg5.
Oplossing. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. We gebruikten de nieuwe basisovergangsformule (8).

Tabel met formules gerelateerd aan logaritmen

a log a b = b (a > 0, a 1)

log a a = 1 (a > 0, a 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritmische uitdrukkingen, oplossing van voorbeelden. In dit artikel gaan we in op problemen die te maken hebben met het oplossen van logaritmen. De taken roepen de vraag op om de waarde van de uitdrukking te vinden. Opgemerkt moet worden dat het concept van de logaritme in veel taken wordt gebruikt en dat het uiterst belangrijk is om de betekenis ervan te begrijpen. Wat de USE betreft, wordt de logaritme gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen, bij toegepaste problemen en ook bij taken die verband houden met de studie van functies.

Hier zijn voorbeelden om de betekenis van de logaritme te begrijpen:

Basis logaritmische identiteit:

Eigenschappen van logaritmen die u altijd moet onthouden:

*De logaritme van het product is gelijk aan de som van de logaritmen van de factoren.

* * *

* De logaritme van het quotiënt (breuk) is gelijk aan het verschil van de logaritmen van de factoren.

* * *

* De logaritme van de graad is gelijk aan het product van de exponent en de logaritme van zijn grondtal.

* * *

*Overgang naar nieuwe basis

* * *

Meer eigenschappen:

* * *

Het berekenen van logaritmen is nauw verwant aan het gebruik van de eigenschappen van exponenten.

We noemen er enkele:

De essentie van deze eigenschap is dat bij het overzetten van de teller naar de noemer en vice versa, het teken van de exponent verandert in het tegenovergestelde. Bijvoorbeeld:

Gevolg van deze eigenschap:

* * *

Bij het verheffen van een macht tot een macht blijft het grondtal hetzelfde, maar worden de exponenten vermenigvuldigd.

* * *

Zoals u kunt zien, is het concept van de logaritme eenvoudig. Het belangrijkste is dat goede oefening nodig is, wat een bepaalde vaardigheid geeft. Zeker kennis van formules is verplicht. Als de vaardigheid in het converteren van elementaire logaritmen niet is gevormd, kan men bij het oplossen van eenvoudige taken gemakkelijk een fout maken.

Oefen, los eerst de eenvoudigste voorbeelden uit de wiskundecursus op en ga dan verder met complexere. In de toekomst zal ik zeker laten zien hoe de "lelijke" logaritmen worden opgelost, die zullen er niet zijn op het examen, maar ze zijn interessant, mis het niet!

Dat is alles! Veel succes!

Met vriendelijke groet, Alexander Krutitskikh

P.S: Ik zou het op prijs stellen als u op sociale netwerken over de site vertelt.

Zoals je weet, tellen hun exponenten altijd op bij het vermenigvuldigen van uitdrukkingen met machten (a b * a c = a b + c). Deze wiskundige wet is afgeleid door Archimedes en later, in de 8e eeuw, creëerde de wiskundige Virasen een tabel met integer-indicatoren. Zij waren het die dienden voor de verdere ontdekking van logaritmen. Voorbeelden van het gebruik van deze functie zijn bijna overal te vinden waar het nodig is om omslachtige vermenigvuldiging te vereenvoudigen tot eenvoudig optellen. Als je 10 minuten besteedt aan het lezen van dit artikel, leggen we je uit wat logaritmen zijn en hoe je ermee kunt werken. Eenvoudige en toegankelijke taal.

Definitie in de wiskunde

De logaritme is een uitdrukking van de volgende vorm: log ab=c, dat wil zeggen, de logaritme van elk niet-negatief getal (dat wil zeggen, elk positief) "b" met zijn grondtal "a" wordt beschouwd als de macht van "c" , waartoe het grondtal "a" moet worden verheven, zodat je uiteindelijk de waarde "b" krijgt. Laten we de logaritme analyseren aan de hand van voorbeelden, laten we zeggen dat er een expressie is log 2 8. Hoe vind je het antwoord? Het is heel eenvoudig, je moet zo'n graad vinden dat je van 2 tot de vereiste graad 8 krijgt. Na wat berekeningen in je hoofd te hebben gedaan, krijgen we het nummer 3! En terecht, want 2 tot de macht van 3 geeft het getal 8 in het antwoord.

Soorten logaritmen

Voor veel leerlingen en studenten lijkt dit onderwerp ingewikkeld en onbegrijpelijk, maar in feite zijn logaritmen niet zo eng, het belangrijkste is om hun algemene betekenis te begrijpen en hun eigenschappen en enkele regels te onthouden. Er zijn drie verschillende soorten logaritmische uitdrukkingen:

1. Natuurlijke logaritme ln a, waarbij het grondtal het Euler-getal is (e = 2,7).
2. Decimaal a, waarbij het grondtal 10 is.
3. De logaritme van een willekeurig getal b met het grondtal a>1.

Elk van hen wordt op een standaardmanier opgelost, inclusief vereenvoudiging, reductie en daaropvolgende reductie tot één logaritme met behulp van logaritmische stellingen. Om de juiste waarden van logaritmen te verkrijgen, moet men hun eigenschappen en de volgorde van acties in hun beslissingen onthouden.

Regels en enkele beperkingen

In de wiskunde zijn er verschillende regels-beperkingen die als axioma worden geaccepteerd, dat wil zeggen dat ze niet ter discussie staan ​​en waar zijn. Het is bijvoorbeeld onmogelijk om getallen door nul te delen, en het is ook onmogelijk om de wortel van een even graad uit negatieve getallen te extraheren. Logaritmen hebben ook hun eigen regels, waardoor u gemakkelijk kunt leren werken, zelfs met lange en ruime logaritmische uitdrukkingen:

• het grondtal "a" moet altijd groter zijn dan nul en tegelijkertijd niet gelijk zijn aan 1, anders verliest de uitdrukking zijn betekenis, omdat "1" en "0" tot op zekere hoogte altijd gelijk zijn aan hun waarden;
• als a > 0, dan a b > 0, blijkt dat "c" groter moet zijn dan nul.

Hoe logaritmen op te lossen?

De taak werd bijvoorbeeld gegeven om het antwoord op de vergelijking 10 x \u003d 100 te vinden. Het is heel eenvoudig, je moet zo'n macht kiezen en het getal tien verhogen waar we 100 krijgen. Dit is natuurlijk 10 2 \u003d 100.

Laten we deze uitdrukking nu weergeven als een logaritmische. We krijgen log 10 100 = 2. Bij het oplossen van logaritmen convergeren alle acties praktisch naar het vinden van de mate waarin het grondtal van de logaritme moet worden ingevoerd om een ​​bepaald getal te verkrijgen.

Om de waarde van een onbekende graad nauwkeurig te bepalen, moet je leren werken met een tabel met graden. Het ziet er zo uit:

Zoals je kunt zien, kunnen sommige exponenten intuïtief worden geraden als je een technische instelling hebt en kennis hebt van de tafel van vermenigvuldiging. Voor grotere waarden is echter een vermogenstabel vereist. Het kan zelfs worden gebruikt door mensen die helemaal niets begrijpen van complexe wiskundige onderwerpen. De linkerkolom bevat getallen (grondtal a), de bovenste rij getallen is de waarde van de macht c, waartoe het getal a wordt verheven. Op de kruising in de cellen worden de waarden van de getallen bepaald, die het antwoord zijn (a c = b). Laten we bijvoorbeeld de allereerste cel met het getal 10 nemen en kwadrateren, we krijgen de waarde 100, die wordt aangegeven op de kruising van onze twee cellen. Alles is zo eenvoudig en gemakkelijk dat zelfs de meest echte humanist het zal begrijpen!

Vergelijkingen en ongelijkheden

Het blijkt dat onder bepaalde omstandigheden de exponent de logaritme is. Daarom kunnen alle wiskundige numerieke uitdrukkingen worden geschreven als een logaritmische vergelijking. 3 4 =81 kan bijvoorbeeld worden geschreven als de logaritme van 81 tot grondtal 3, wat vier is (log 3 81 = 4). Voor negatieve machten zijn de regels hetzelfde: 2 -5 = 1/32 we schrijven als een logaritme, we krijgen log 2 (1/32) = -5. Een van de meest fascinerende onderdelen van de wiskunde is het onderwerp "logaritmen". We zullen voorbeelden en oplossingen van vergelijkingen iets lager beschouwen, onmiddellijk na het bestuderen van hun eigenschappen. Laten we nu eens kijken naar hoe ongelijkheden eruit zien en hoe we ze kunnen onderscheiden van vergelijkingen.

Een uitdrukking van de volgende vorm wordt gegeven: log 2 (x-1) > 3 - het is een logaritmische ongelijkheid, aangezien de onbekende waarde "x" onder het teken van de logaritme staat. En ook in de uitdrukking worden twee grootheden vergeleken: de logaritme van het gewenste getal in grondtal twee is groter dan het getal drie.

Het belangrijkste verschil tussen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden is dat vergelijkingen met logaritmen (bijvoorbeeld de logaritme van 2 x = √9) een of meer specifieke numerieke waarden in het antwoord impliceren, terwijl bij het oplossen van de ongelijkheid zowel het bereik van acceptabele waarden en de punten die deze functie verbreken. Als gevolg hiervan is het antwoord niet een eenvoudige reeks individuele getallen, zoals in het antwoord van de vergelijking, maar een continue reeks of reeks getallen.

Basisstellingen over logaritmen

Bij het oplossen van primitieve taken bij het vinden van de waarden van de logaritme, zijn de eigenschappen mogelijk niet bekend. Als het echter gaat om logaritmische vergelijkingen of ongelijkheden, is het allereerst noodzakelijk om alle basiseigenschappen van logaritmen duidelijk te begrijpen en in de praktijk toe te passen. We zullen later kennis maken met voorbeelden van vergelijkingen, laten we eerst elke eigenschap in meer detail analyseren.

1. De basisidentiteit ziet er als volgt uit: een logaB =B. Het is alleen van toepassing als a groter is dan 0, niet gelijk aan één, en B groter is dan nul.
2. De logaritme van het product kan worden weergegeven in de volgende formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In dit geval is de voorwaarde: d, s 1 en s 2 > 0; a≠1. Je kunt deze formule van logaritmen bewijzen, met voorbeelden en een oplossing. Laat loggen als 1 = f 1 en loggen als 2 = f 2 , dan a f1 = s 1 , a f2 = s 2. We krijgen dat s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (graden eigenschappen ), en verder per definitie: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log als 2, wat bewezen moest worden.
3. De logaritme van het quotiënt ziet er als volgt uit: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. De stelling in de vorm van een formule heeft de volgende vorm: log a q b n = n/q log a b.

Deze formule wordt "eigenschap van de graad van de logaritme" genoemd. Het lijkt op de eigenschappen van gewone graden, en het is niet verwonderlijk, omdat alle wiskunde op reguliere postulaten berust. Laten we naar het bewijs kijken.

Laat een b \u003d t loggen, het blijkt een t \u003d b te zijn. Als je beide delen verheft tot de macht m: a tn = b n ;

maar aangezien a tn = (a q) nt/q = b n , dus log a q b n = (n*t)/t, log dan a q b n = n/q log a b. De stelling is bewezen.

Voorbeelden van problemen en ongelijkheden

De meest voorkomende soorten logaritmeproblemen zijn voorbeelden van vergelijkingen en ongelijkheden. Ze zijn te vinden in bijna alle probleemboeken en zijn ook opgenomen in het verplichte deel van examens wiskunde. Om naar een universiteit te gaan of toelatingsexamens voor wiskunde te halen, moet je weten hoe je dergelijke taken correct kunt oplossen.

Helaas is er geen enkel plan of schema voor het oplossen en bepalen van de onbekende waarde van de logaritme, maar bepaalde regels kunnen worden toegepast op elke wiskundige ongelijkheid of logaritmische vergelijking. Allereerst moet u uitzoeken of de uitdrukking kan worden vereenvoudigd of teruggebracht tot een algemene vorm. U kunt lange logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen als u hun eigenschappen correct gebruikt. Laten we ze snel leren kennen.

Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen is het noodzakelijk om te bepalen welk type logaritme we voor ons hebben: een voorbeeld van een uitdrukking kan een natuurlijke logaritme of een decimale bevatten.

Hier zijn voorbeelden ln100, ln1026. Hun oplossing komt erop neer dat je moet bepalen in welke mate de basis 10 gelijk zal zijn aan respectievelijk 100 en 1026. Voor oplossingen van natuurlijke logaritmen moet men logaritmische identiteiten of hun eigenschappen toepassen. Laten we eens kijken naar voorbeelden van het oplossen van logaritmische problemen van verschillende typen.

Logaritmeformules gebruiken: met voorbeelden en oplossingen

Laten we dus eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van de belangrijkste stellingen op logaritmen.

1. De eigenschap van de logaritme van het product kan worden gebruikt in taken waarbij het nodig is om een ​​grote waarde van het getal b te ontleden in eenvoudiger factoren. Bijvoorbeeld log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Het antwoord is 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - zoals je kunt zien, zijn we erin geslaagd om op het eerste gezicht een complexe en onoplosbare uitdrukking op te lossen met behulp van de vierde eigenschap van de graad van de logaritme. Het is alleen nodig om de basis te ontbinden en vervolgens de exponentwaarden uit het teken van de logaritme te halen.

Taken uit het examen

Logaritmen komen vaak voor bij toelatingsexamens, vooral veel logaritmische problemen bij het Unified State Exam (staatsexamen voor alle afgestudeerden). Meestal zijn deze taken niet alleen aanwezig in deel A (het gemakkelijkste testdeel van het examen), maar ook in deel C (de moeilijkste en meest omvangrijke taken). Het examen impliceert een nauwkeurige en perfecte kennis van het onderwerp "Natuurlijke logaritmen".

Voorbeelden en probleemoplossing zijn ontleend aan de officiële versies van het examen. Laten we eens kijken hoe dergelijke taken worden opgelost.

Gegeven log 2 (2x-1) = 4. Oplossing:
laten we de uitdrukking herschrijven, het een beetje vereenvoudigen log 2 (2x-1) = 2 2, door de definitie van de logaritme krijgen we dat 2x-1 = 2 4, dus 2x = 17; x = 8.5.

• Alle logaritmen kunnen het beste worden teruggebracht tot hetzelfde grondtal, zodat de oplossing niet omslachtig en verwarrend wordt.
• Alle uitdrukkingen onder het teken van de logaritme worden als positief aangegeven, daarom moet bij het verwijderen van de exponent van de exponent van de uitdrukking, die onder het teken van de logaritme staat en als basis, de uitdrukking die onder de logaritme blijft positief zijn.