Elk samengesteld getal kan worden weergegeven als een product van zijn priemdelers:

28 = 2 2 7

De rechterkant van de resulterende gelijkheden worden genoemd ontbinding in priemfactoren nummers 15 en 28.

Een bepaald samengesteld getal ontbinden in priemfactoren betekent dat je dit getal representeert als een product van zijn priemfactoren.

De ontbinding van een bepaald getal in priemfactoren gebeurt als volgt:

1. Eerst moet je uit de tabel met priemgetallen het kleinste priemgetal selecteren dat het gegeven samengestelde getal zonder rest deelt, en de deling uitvoeren.
2. Vervolgens moet u opnieuw het kleinste priemgetal selecteren waarmee het reeds verkregen quotiënt zonder rest wordt gedeeld.
3. De tweede actie wordt herhaald totdat er één in het quotiënt is verkregen.

Laten we als voorbeeld het getal 940 ontbinden in priemfactoren. Zoek het kleinste priemgetal dat 940 deelt. Dit getal is 2:

Nu selecteren we het kleinste priemgetal dat deelbaar is door 470. Dit getal is weer 2:

Het kleinste priemgetal dat deelbaar is door 235 is 5:

Het getal 47 is een priemgetal, wat het kleinste betekent priemgetal, die 47 deelt, zal dit getal zelf zijn:

We krijgen dus het getal 940, verwerkt in priemfactoren:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Als de ontleding van een getal in priemfactoren resulteerde in meerdere identieke factoren, dan kunnen ze kortheidshalve in de vorm van een macht worden geschreven:

940 = 2 2 5 47

Het is het handigst om de ontbinding in priemfactoren als volgt te schrijven: eerst noteren we dit samengestelde getal en trekken we er een verticale lijn rechts van:

Rechts van de lijn schrijven we de kleinste priemdeler waardoor het gegeven samengestelde getal gedeeld wordt:

We voeren de deling uit en schrijven het resulterende quotiënt onder het deeltal:

We handelen met het quotiënt op dezelfde manier als met het gegeven samengestelde getal, d.w.z. we selecteren het kleinste priemgetal waardoor het deelbaar is zonder rest en voeren de deling uit. En we herhalen dit totdat we een eenheid in het quotiënt krijgen:

Houd er rekening mee dat het soms behoorlijk moeilijk kan zijn om een ​​getal in priemfactoren te ontbinden, omdat we tijdens het ontbinden in factoren een groot getal kunnen tegenkomen waarvan het moeilijk is om onmiddellijk te bepalen of het een priemgetal of een samengesteld getal is. En als het samengesteld is, is het niet altijd gemakkelijk om de kleinste priemdeler te vinden.

Laten we bijvoorbeeld proberen het getal 5106 te ontbinden in priemfactoren:

Nu we het quotiënt 851 hebben bereikt, is het moeilijk om onmiddellijk de kleinste deler ervan te bepalen. We gaan naar de tabel met priemgetallen. Als er een getal in zit dat ons in de problemen brengt, dan is het alleen deelbaar door zichzelf en één. Het getal 851 staat niet in de tabel met priemgetallen, wat betekent dat het samengesteld is. Het enige dat overblijft is het door sequentieel zoeken te verdelen in priemgetallen: 3, 7, 11, 13, ..., enzovoort totdat we een geschikte priemdeler vinden. Met bruut geweld ontdekken we dat 851 deelbaar is door het getal 23.

Wat betekent factoring? Hoe je dat doet? Wat kun je leren als je een getal in priemfactoren ontbindt? De antwoorden op deze vragen worden geïllustreerd met concrete voorbeelden.

Definities:

Een getal dat precies twee verschillende delers heeft, wordt een priemgetal genoemd.

Een getal dat meer dan twee delers heeft, wordt samengesteld genoemd.

Uitbreiden natuurlijk nummer ontbinden betekent het representeren als een product van natuurlijke getallen.

Een natuurlijk getal ontbinden in priemfactoren betekent dat je het voorstelt als een product van priemgetallen.

Opmerkingen:

• Bij de uitbreiding van een priemgetal is dit een van de factoren gelijk aan één, en de andere - naar dit nummer zelf.
• Het heeft geen zin om over eenheid te spreken.
• Een samengesteld getal kan worden omgezet in factoren, die elk verschillend zijn van 1.

	Laten we het getal 150 ontbinden in factoren. 150 is bijvoorbeeld 15 keer 10. 15 is een samengesteld getal. Het kan worden verwerkt in de priemfactoren 5 en 3. 10 is een samengesteld getal. Het kan worden verwerkt in de priemfactoren 5 en 2. Door hun ontbindingen in priemfactoren te schrijven in plaats van 15 en 10, verkregen we de ontbinding van het getal 150.
	Het getal 150 kan op een andere manier worden ontbonden. 150 is bijvoorbeeld het product van de getallen 5 en 30. 5 is een priemgetal. 30 is een samengesteld getal. Het kan worden gezien als het product van 10 en 3. 10 is een samengesteld getal. Het kan worden verwerkt in de priemfactoren 5 en 2. We hebben de factorisatie van 150 in priemfactoren op een andere manier verkregen.
	Merk op dat de eerste en tweede uitbreidingen hetzelfde zijn. Ze verschillen alleen in de volgorde van de factoren. Het is gebruikelijk om factoren in oplopende volgorde te schrijven.
Elk samengesteld getal kan op een unieke manier worden ontbonden in priemfactoren, tot in de volgorde van de factoren.

Tijdens ontbinding grote getallen Gebruik voor priemfactoren de kolomnotatie:

	Het kleinste priemgetal dat deelbaar is door 216 is 2. Verdeel 216 door 2. We krijgen 108.
	Het resulterende getal 108 wordt gedeeld door 2. Laten we de verdeling doen. Het resultaat is 54.
	Volgens de test van deelbaarheid door 2 is het getal 54 deelbaar door 2. Na delen krijgen we 27.
	Het getal 27 eindigt met het oneven cijfer 7. Het Niet deelbaar door 2. Het volgende priemgetal is 3. Verdeel 27 door 3. We krijgen 9. Minste priemgetal Het getal waardoor 9 deelbaar is, is 3. Drie is zelf een priemgetal; het is deelbaar door zichzelf en één. Laten we door onszelf 3 delen. Uiteindelijk hebben we er 1 gekregen.

• Een getal is alleen deelbaar door de priemgetallen die deel uitmaken van de ontbinding ervan.
• Een getal is alleen deelbaar in die samengestelde getallen waarvan de ontbinding in priemfactoren volledig in het getal besloten ligt.

Laten we naar voorbeelden kijken:

	4900 is deelbaar door de priemgetallen 2, 5 en 7 (ze worden meegenomen in de uitbreiding van het getal 4900), maar is niet deelbaar door bijvoorbeeld 13.
	11 550 75. Dit komt omdat de ontbinding van het getal 75 volledig vervat zit in de ontleding van het getal 11550. Het resultaat van de deling is het product van de factoren 2, 7 en 11. 11550 is niet deelbaar door 4 omdat er een extra twee zit in de uitbreiding van vier.

Bereken het quotiënt van het delen van getal a door getal b, als deze getallen als volgt in priemfactoren worden ontleed: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	De ontbinding van het getal b is volledig vervat in de ontleding van het getal a.
	Het resultaat van het delen van a door b is het product van de drie getallen die overblijven in de uitbreiding van a. Het antwoord is dus: 30.

Bibliografie

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak AG, Polonsky V.V., Yakir M.S. Wiskunde 6e leerjaar. - Gymnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Achter de pagina's van een wiskundeboek. - M.: Onderwijs, 1989.
4. Rurukin A.N., Tsjaikovski I.V. Opdrachten voor de wiskundecursus voor groep 5 t/m 6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tsjaikovski K.G. Wiskunde 5-6. Een handleiding voor leerlingen van het 6e leerjaar van de MEPhI-correspondentieschool. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein AG, Koryakov I.O., Volkov M.V. Wiskunde: Leerboek-gesprekspartner voor groep 5-6 middelbare school. - M.: Onderwijs, Bibliotheek Wiskundedocenten, 1989.

1. Internetportaal Matematika-na.ru ().
2. Internetportaal Math-portal.ru ().

Huiswerk

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Wiskunde 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr. 127, nr. 129, nr. 141.
2. Overige taken: nr. 133, nr. 144.

Wat betekent factoring? Dit betekent het vinden van getallen waarvan het product gelijk is aan het oorspronkelijke getal.

Laten we een voorbeeld bekijken om te begrijpen wat het betekent om te factoriseren.

Een voorbeeld van het ontbinden van een getal

Ontbind het getal 8 in factoren.

Het getal 8 kan worden weergegeven als een product van 2 bij 4:

Het weergeven van 8 als een product van 2 * 4 betekent factorisatie.

Merk op dat dit niet de enige factorisatie van 8 is.

4 wordt immers als volgt ontbonden:

Vanaf hier kunnen er 8 worden weergegeven:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Laten we ons antwoord eens bekijken. Laten we eens kijken waar de factorisatie gelijk aan is:

Dat wil zeggen, we hebben het originele nummer, het antwoord is correct.

Factor het getal 24 in priemfactoren

Hoe factoreer je het getal 24 in priemfactoren?

Een getal heet een priemgetal als het alleen deelbaar is door één en zichzelf.

Het getal 8 kan worden weergegeven als het product van 3 bij 8:

Hier wordt het getal 24 ontbonden. Maar de opdracht luidt: “factoreer het getal 24 in priemfactoren”, d.w.z. Het zijn de belangrijkste factoren die nodig zijn. En in onze expansie is 3 een priemfactor, en 8 geen priemfactor.

Elk samengesteld getal kan worden ontbonden in priemfactoren. Er kunnen verschillende ontbindingsmethoden zijn. Beide methoden leveren hetzelfde resultaat op.

Hoe je een getal het meest kunt ontbinden in priemfactoren op een handige manier? Laten we eens kijken hoe we dit het beste kunnen doen aan de hand van specifieke voorbeelden.

Voorbeelden. 1) Ontbind het getal 1400 in priemfactoren.

1400 is deelbaar door 2. 2 is een priemgetal; het is niet nodig om dit in factoren te ontbinden. We krijgen 700. Deel het door 2. We krijgen 350. We delen ook 350 door 2. Het resulterende getal 175 kan worden gedeeld door 5. Het resultaat is 35 - weer gedeeld door 5. Totaal - 7. Het kan alleen worden gedeeld door 7. We krijgen 1, deling voorbij.

Hetzelfde getal kan anders worden ontbonden:

Het is handig om 1400 door 10 te delen. 10 is geen priemgetal, dus moet het in priemfactoren worden verwerkt: 10=2∙5. Het resultaat is 140. We delen het opnieuw door 10=2∙5. We krijgen 14. Als 14 gedeeld wordt door 14, dan moet het ook ontbonden worden in een product van priemfactoren: 14=2∙7.

We kwamen dus opnieuw tot dezelfde ontbinding als in het eerste geval, maar sneller.

Conclusie: bij het ontleden van een getal is het niet nodig om het alleen in priemfactoren te verdelen. We delen door wat handiger is, bijvoorbeeld door 10. Je hoeft alleen maar te onthouden dat je de samengestelde delers in eenvoudige factoren moet ontbinden.

2) Ontbind het getal 1620 in priemfactoren.

De handigste manier om het getal 1620 te delen is door 10. Omdat 10 geen priemgetal is, stellen we het voor als een product van priemfactoren: 10=2∙5. We hebben 162. Het is handig om het door 2 te delen. Het resultaat is 81. Het getal 81 kan door 3 worden gedeeld, maar door 9 is het handiger. Omdat 9 geen priemgetal is, breiden we het uit als 9=3∙3. We krijgen 9. We delen het ook door 9 en breiden het uit tot het product van priemfactoren.

Wat is er gebeurd factorisatie? Dit is een manier om van een ongemakkelijk en complex voorbeeld een eenvoudig en schattig voorbeeld te maken.) Een zeer krachtige techniek! Het wordt aangetroffen bij elke stap in zowel de elementaire als de hogere wiskunde.

Dergelijke transformaties worden in de wiskundige taal identieke transformaties van uitdrukkingen genoemd. Voor degenen die het nog niet weten: bekijk de link. Er is heel weinig, eenvoudig en nuttig.) De betekenis van elke identiteitstransformatie is het vastleggen van de uitdrukking in een andere vorm met behoud van de essentie.

Betekenis factorisatie uiterst eenvoudig en duidelijk. Al vanaf de naam zelf. Je vergeet misschien (of weet niet) wat een vermenigvuldiger is, maar je kunt erachter komen dat dit woord afkomstig is van het woord ‘vermenigvuldigen’?) Factoring betekent: vertegenwoordigen een uitdrukking in de vorm van iets met iets vermenigvuldigen. Moge de wiskunde en de Russische taal mij vergeven...) Dat is alles.

U moet bijvoorbeeld het getal 12 uitbreiden. U kunt veilig schrijven:

Daarom presenteerden we het getal 12 als een vermenigvuldiging van 3 bij 4. Let op: de getallen aan de rechterkant (3 en 4) zijn totaal anders dan aan de linkerkant (1 en 2). Maar we begrijpen heel goed dat 12 en 3 4 dezelfde. De essentie van het getal 12 uit transformatie is niet veranderd.

Is het mogelijk om 12 anders te ontbinden? Gemakkelijk!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

De ontbindingsmogelijkheden zijn eindeloos.

Het ontbinden van getallen is een nuttig iets. Het helpt bijvoorbeeld veel bij het werken met wortels. Maar het ontbinden van algebraïsche uitdrukkingen is niet alleen nuttig, dat is het ook nodig! Gewoon bijvoorbeeld:

Makkelijker maken:

Degenen die niet weten hoe ze een uitdrukking moeten verwerken, staan ​​aan de zijlijn. Degenen die weten hoe - vereenvoudigen en krijgen:

Het effect is geweldig, toch?) Trouwens, de oplossing is vrij eenvoudig. Je zult het hieronder zelf zien. Of bijvoorbeeld deze taak:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

Het wordt trouwens in de geest besloten. Factorisatie gebruiken. We zullen dit voorbeeld hieronder oplossen. Antwoord: x1 = 0; x2 = 1.

Of hetzelfde, maar dan voor de oudere):

Los De vergelijking op:

In deze voorbeelden heb ik het laten zien belangrijkste doel factorisatie: het vereenvoudigen van fractionele uitdrukkingen en het oplossen van sommige soorten vergelijkingen. Ik raad je aan het te onthouden vuistregel:

Als we een enge gebroken uitdrukking voor ons hebben, kunnen we proberen de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Heel vaak wordt de breuk verkleind en vereenvoudigd.

Als we een vergelijking voor ons hebben, waarbij aan de rechterkant nul is, en aan de linkerkant - ik begrijp niet wat, kunnen we proberen de linkerkant in factoren te ontbinden. Soms helpt het).

Basismethoden voor factorisatie.

Hier zijn ze, de meest populaire methoden:

4. Uitbreiding van een kwadratische trinominaal.

Deze methoden moeten onthouden worden. Precies in die volgorde. Complexe voorbeelden worden gecontroleerd voor iedereen mogelijke manieren ontleding. En het is beter om het op volgorde te controleren, om niet in de war te raken... Laten we dus op volgorde beginnen.)

1. De gemeenschappelijke factor tussen haakjes zetten.

Eenvoudig en betrouwbare manier. Er komt niets slechts van hem! Het gebeurt goed of helemaal niet.) Daarom komt hij op de eerste plaats. Laten we het uitzoeken.

Iedereen kent (geloof ik!) de regel:

a(b+c) = ab+ac

Of meer algemeen beeld:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Alle gelijkheden werken zowel van links naar rechts als omgekeerd, van rechts naar links. Je kan schrijven:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+advertentie+.... = a(b+c+d+.....)

Dat is het hele punt van het tussen haakjes zetten van de gemeenschappelijke factor.

Aan de linkerkant A - gemeenschappelijke vermenigvuldiger voor alle termen. Vermenigvuldigd met alles wat bestaat). Rechts is het meest A bevindt zich al buiten de beugels.

Praktisch gebruik Laten we de methode bekijken met behulp van voorbeelden. In eerste instantie is de optie eenvoudig, zelfs primitief.) Maar over deze optie zal ik opmerken ( groente) Erg belangrijke punten voor elke factorisatie.

Factoriseren:

ah+9x

Welke algemeen verschijnt de vermenigvuldiger in beide termen? Natuurlijk! We zullen het tussen haakjes zetten. Laten we dit doen. We schrijven X onmiddellijk buiten de haakjes:

bijl+9x=x(

En tussen haakjes schrijven we het resultaat van de deling elke termijn op deze X. In volgorde:

Dat is alles. Het is natuurlijk niet nodig om het zo gedetailleerd te beschrijven, dit gebeurt in de geest. Maar het is raadzaam om te begrijpen wat wat is). We registreren in het geheugen:

We schrijven de gemeenschappelijke factor buiten de haakjes. Tussen haakjes schrijven we de resultaten van het delen van alle termen door deze gemeenschappelijke factor. In volgorde.

Daarom hebben we de uitdrukking uitgebreid ah+9x door vermenigvuldigers. Ik heb het omgezet in x vermenigvuldigen met (a+9). Ik merk op dat er in de oorspronkelijke uitdrukking ook een vermenigvuldiging was, zelfs twee: a·x en 9·x. Maar het werd niet gefactoriseerd! Want naast vermenigvuldigen bevatte deze uitdrukking ook optelling, het “+” teken! En qua expressie x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldiging!

Hoe komt het!? - Ik hoor de verontwaardigde stem van het volk - En tussen haakjes!?)

Ja, er staat een toevoeging tussen haakjes. Maar de truc is dat we de haakjes wel in overweging nemen, ook al zijn ze niet geopend als één letter. En we doen alle acties geheel tussen haakjes, zoals bij één letter. In deze zin, in de uitdrukking x(a+9) Er is niets anders dan vermenigvuldigen. Dit is het hele punt van factorisatie.

Is het trouwens mogelijk om op de een of andere manier te controleren of we alles goed hebben gedaan? Gemakkelijk! Het is voldoende om wat u hebt weergegeven (x) tussen haakjes te vermenigvuldigen en te kijken of het werkt origineel uitdrukking? Als het werkt, is alles geweldig!)

x(a+9)=bijl+9x

Gebeurd.)

Er zijn geen problemen in dit primitieve voorbeeld. Maar als er meerdere termen zijn, en zelfs met verschillende tekens... Kortom, elke derde student verprutst het). Daarom:

Controleer indien nodig de factorisatie door inverse vermenigvuldiging.

Factoriseren:

3ax+9x

We zijn op zoek naar een gemeenschappelijke factor. Nou, alles is duidelijk met X, het kan eruit worden gehaald. Is er meer algemeen factor? Ja! Dit is een drie. U kunt de uitdrukking als volgt schrijven:

3ax+3 3x

Hier is het meteen duidelijk dat de gemeenschappelijke factor zal zijn 3x. Hier halen we het eruit:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Verspreiden.

Wat gebeurt er als je het eruit haalt alleen x? Niets speciaals:

3ax+9x=x(3a+9)

Ook dit zal een factorisatie zijn. Maar hierin spannend proces Het is gebruikelijk om alles zoveel mogelijk uit te leggen zolang het nog kan. Hier tussen haakjes is er de mogelijkheid om een ​​drie neer te zetten. Het zal blijken:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Hetzelfde, alleen met één extra actie.) Onthoud:

Wanneer we de gemeenschappelijke factor tussen haakjes verwijderen, proberen we deze eruit te halen maximaal veelvoorkomende factor.

Zullen we doorgaan met de pret?)

Factor de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Wat gaan we meenemen? Drie, X? Nee... Dat kun je niet. Ik herinner je eraan dat je alleen kunt afhalen algemeen vermenigvuldiger dus in alles termen van de uitdrukking. Daarom hij algemeen. Zo'n vermenigvuldiger bestaat hier niet... Wat, je hoeft het niet uit te breiden!? Nou ja, we waren zo blij... Maak kennis met:

2. Groeperen.

Eigenlijk is het moeilijk om de groep een naam te geven op een onafhankelijke manier factorisatie. Het is meer een manier om eruit te komen complex voorbeeld.) We moeten de termen groeperen zodat alles goed komt. Dit kan alleen door een voorbeeld worden aangetoond. We hebben dus de uitdrukking:

3akh+9х-8а-24

Het is duidelijk dat sommige gewone brieven en de cijfers zijn er. Maar... Algemeen er is geen vermenigvuldiger in alle termen. Laten we de moed niet verliezen en breek de uitdrukking in stukken. Groepering. Zodat elk stuk een gemeenschappelijke factor heeft, valt er iets weg te nemen. Hoe kunnen we het doorbreken? Ja, we hebben alleen haakjes gezet.

Ik wil u eraan herinneren dat haakjes overal kunnen worden geplaatst en hoe u maar wilt. Even de essentie van het voorbeeld is niet veranderd. U kunt dit bijvoorbeeld doen:

3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)

Let op de tweede haakjes! Ze worden voorafgegaan door een minteken, en 8a En 24 positief geworden! Als we, om dit te controleren, de haakjes terug openen, veranderen de borden en krijgen we origineel uitdrukking. Die. de essentie van de uitdrukking tussen haakjes is niet veranderd.

Maar als u zojuist haakjes hebt ingevoegd zonder rekening te houden met de tekenwijziging, bijvoorbeeld als volgt:

3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

het zou een vergissing zijn. Aan de rechterkant - al ander uitdrukking. Open de haakjes en alles wordt zichtbaar. Je hoeft niet verder te beslissen, ja...)

Maar laten we terugkeren naar factorisatie. Laten we naar de eerste haakjes kijken (3ax+9x) en we denken: is er iets dat we eruit kunnen halen? Welnu, we hebben dit voorbeeld hierboven opgelost, we kunnen het aan 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Laten we de tweede haakjes bestuderen, we kunnen daar een acht toevoegen:

(8a+24)=8(a+3)

Onze hele uitdrukking zal zijn:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Gefactoriseerd? Nee. Het resultaat van de ontbinding zou moeten zijn alleen vermenigvuldiging maar bij ons bederft het minteken alles. Maar... Beide termen hebben een gemeenschappelijke factor! Dit (a+3). Ik zei niet voor niets dat de hele haakjes als het ware één letter zijn. Dit betekent dat deze beugels uit de beugels gehaald kunnen worden. Ja, dat is precies hoe het klinkt.)

Wij doen zoals hierboven beschreven. We schrijven de gemeenschappelijke factor (a+3), tussen de tweede haakjes schrijven we de resultaten van het delen van de termen door (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Alle! Er is niets aan de rechterkant behalve vermenigvuldigen! Dit betekent dat de factorisatie met succes is voltooid!) Hier is het:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Laten we kort de essentie van de groep herhalen.

Als de uitdrukking dat niet doet algemeen vermenigvuldiger voor iedereen termen, delen we de uitdrukking op tussen haakjes, zodat binnen de haakjes de gemeenschappelijke factor staat was. Wij halen het eruit en kijken wat er gebeurt. Als je geluk hebt en er staan ​​absoluut identieke uitdrukkingen tussen haakjes, dan verplaatsen we deze haakjes uit de haakjes.

Ik zal hieraan toevoegen dat groeperen een creatief proces is). Het lukt niet altijd de eerste keer. Het is ok. Soms moet je termen uitwisselen en nadenken verschillende varianten groepen totdat er een succesvolle is gevonden. Het belangrijkste hier is om de moed niet te verliezen!)

Voorbeelden.

Nu je jezelf hebt verrijkt met kennis, kun je lastige voorbeelden oplossen.) Aan het begin van de les waren er drie van deze...

Makkelijker maken:

In wezen hebben we dit voorbeeld al opgelost. Zonder dat we het weten.) Ik herinner je eraan: als we een verschrikkelijke breuk krijgen, proberen we de teller en de noemer in factoren te ontbinden. Andere vereenvoudigingsopties gewoon nee.

Welnu, de noemer wordt hier niet uitgebreid, maar de teller... We hebben de teller al tijdens de les uitgebreid! Soortgelijk:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

We schrijven het resultaat van de uitbreiding in de teller van de breuk:

Volgens de regel van het reduceren van breuken (de belangrijkste eigenschap van een breuk), kunnen we (tegelijkertijd!) de teller en de noemer delen door hetzelfde getal of dezelfde uitdrukking. Fractie hiervan verandert niet. Dus delen we de teller en de noemer door de uitdrukking (3x-8). En hier en daar zullen we er eentje krijgen. Eindresultaat vereenvoudigingen:

Ik zou vooral willen benadrukken: het verkleinen van een breuk is mogelijk als en slechts als in de teller en de noemer, naast het vermenigvuldigen van uitdrukkingen er is niets. Dat is de reden waarom de transformatie van de som (verschil) in vermenigvuldiging zo belangrijk voor vereenvoudiging. Natuurlijk, als de uitdrukkingen verschillend, dan wordt er niets verlaagd. Het zal gebeuren. Maar factorisatie geeft een kans. Deze kans zonder ontbinding is er eenvoudigweg niet.

Voorbeeld met vergelijking:

Los De vergelijking op:

x5 - x4 = 0

We halen de gemeenschappelijke factor eruit x 4 buiten haakjes. We krijgen:

x4 (x-1)=0

We realiseren ons dat het product van factoren gelijk is aan nul toen en alleen dan, wanneer een van deze nul is. Als je twijfelt, zoek dan een paar getallen die niet nul zijn en die, vermenigvuldigd, nul opleveren.) Dus schrijven we eerst de eerste factor:

Bij een dergelijke gelijkheid gaat de tweede factor ons niet aan. Dat kan iedereen zijn, maar uiteindelijk zal het nog steeds nul zijn. Welk getal tot de vierde macht geeft nul? Slechts nul! En geen ander... Daarom:

We hebben de eerste factor ontdekt en één wortel gevonden. Laten we naar de tweede factor kijken. Nu geven we niet meer om de eerste factor.):

Hier hebben we een oplossing gevonden: x1 = 0; x2 = 1. Elk van deze wortels past in onze vergelijking.

Zeer belangrijke opmerking. Houd er rekening mee dat we de vergelijking hebben opgelost stuk voor stuk! Elke factor was gelijk aan nul, ongeacht andere factoren. Trouwens, als er in zo'n vergelijking niet twee factoren zijn, zoals de onze, maar drie, vijf, zoveel als je wilt, zullen we het oplossen vergelijkbaar. Stuk voor stuk. Bijvoorbeeld:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Iedereen die de haakjes opent en alles vermenigvuldigt, zal voor altijd aan deze vergelijking blijven hangen.) Een correcte leerling zal onmiddellijk zien dat er links niets anders is dan vermenigvuldigen, en nul aan de rechterkant. En hij zal beginnen (in zijn gedachten!) alle haakjes gelijk te stellen tot nul. En hij krijgt (in 10 seconden!) de juiste oplossing: x 1 = 1; x2 = -5; x 3 = 3; x4 = -2.

Cool, toch?) Zo'n elegante oplossing is mogelijk als de linkerkant van de vergelijking geldt gefactoriseerd. Snap je de hint?)

Nou, nog een laatste voorbeeld, voor de oudere):

Los De vergelijking op:

Het lijkt enigszins op de vorige, vind je niet?) Natuurlijk. Het is tijd om te onthouden dat in de algebra van de zevende klas sinussen, logaritmen en al het andere verborgen kunnen worden onder de letters! Factoring werkt in de hele wiskunde.

We halen de gemeenschappelijke factor eruit lg 4 x buiten haakjes. We krijgen:

log4x=0

Dit is één wortel. Laten we naar de tweede factor kijken.

Hier is het definitieve antwoord: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ik hoop dat je de kracht van factoring hebt gerealiseerd bij het vereenvoudigen van breuken en het oplossen van vergelijkingen.)

In deze les hebben we geleerd over gemeenschappelijke factoring en groepering. Het blijft nodig om de formules voor verkorte vermenigvuldiging en de kwadratische trinominaal te begrijpen.

Als je deze site leuk vindt...

Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)

U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)

Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.