(behalve 0 en 1) hebben minstens twee delers: 1 en zichzelf. Getallen die geen andere delers hebben, worden genoemd eenvoudig cijfers. Getallen met andere delers worden genoemd composiet(of complex) nummers. Er zijn een oneindig aantal priemgetallen. De volgende zijn priemgetallen die niet groter zijn dan 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Vermenigvuldiging- een van de vier belangrijkste rekenkundige bewerkingen, binair wiskundige operatie, waarbij het ene argument net zo vaak wordt toegevoegd als het andere laat zien. In de rekenkunde is vermenigvuldigen een korte vorm van het optellen van een bepaald aantal identieke termen.

Bijvoorbeeld, betekent de notatie 5*3 ‘drie vijven optellen’, dat wil zeggen 5+5+5. Het resultaat van de vermenigvuldiging wordt genoemd werk, en de te vermenigvuldigen getallen zijn vermenigvuldigers of factoren. De eerste factor wordt soms " vermenigvuldigtal».

Elk samengesteld getal kan worden ontleed in voornaamste factoren. Met elke methode wordt dezelfde uitbreiding verkregen als je geen rekening houdt met de volgorde waarin de factoren zijn geschreven.

Een getal ontbinden in factoren (Factorisatie).

Factorisatie (factorisatie)- opsomming van delers - een algoritme voor het ontbinden in factoren of het testen van de primairheid van een getal door alle mogelijke potentiële delers volledig op te sommen.

Die., in eenvoudige taal Factorisatie is de naam die wordt gegeven aan het proces van het ontbinden van getallen, uitgedrukt in wetenschappelijke taal.

De volgorde van acties bij het in aanmerking nemen van priemfactoren:

1. Controleer of het voorgestelde getal een priemgetal is.

2. Zo niet, dan selecteren we, geleid door de tekenen van deling, een deler uit priemgetallen, te beginnen met de kleinste (2, 3, 5 ...).

3. We herhalen deze actie totdat het quotiënt is priemgetal.

Elk samengesteld getal kan worden ontbonden in priemfactoren. Er kunnen verschillende ontbindingsmethoden zijn. Beide methoden leveren hetzelfde resultaat op.

Hoe je een getal het meest kunt ontbinden in priemfactoren op een handige manier? Laten we eens kijken hoe we dit het beste kunnen doen aan de hand van specifieke voorbeelden.

Voorbeelden. 1) Ontbind het getal 1400 in priemfactoren.

1400 is deelbaar door 2. 2 is een priemgetal; het is niet nodig om dit in factoren te ontbinden. We krijgen 700. Deel het door 2. We krijgen 350. We delen ook 350 door 2. Het resulterende getal 175 kan worden gedeeld door 5. Het resultaat is 35 - weer gedeeld door 5. Totaal - 7. Het kan alleen worden gedeeld door 7. We krijgen 1, deling voorbij.

Hetzelfde getal kan anders worden ontbonden:

Het is handig om 1400 door 10 te delen. 10 is geen priemgetal, dus moet het in priemfactoren worden verwerkt: 10=2∙5. Het resultaat is 140. We delen het opnieuw door 10=2∙5. We krijgen 14. Als 14 gedeeld wordt door 14, dan moet het ook ontbonden worden in een product van priemfactoren: 14=2∙7.

We kwamen dus opnieuw tot dezelfde ontbinding als in het eerste geval, maar sneller.

Conclusie: bij het ontleden van een getal is het niet nodig om het alleen in priemfactoren te verdelen. We delen door wat handiger is, bijvoorbeeld door 10. Je hoeft alleen maar te onthouden dat je de samengestelde delers in eenvoudige factoren moet ontbinden.

2) Ontbind het getal 1620 in priemfactoren.

De handigste manier om het getal 1620 te delen is door 10. Omdat 10 geen priemgetal is, stellen we het voor als een product van priemfactoren: 10=2∙5. We hebben 162. Het is handig om het door 2 te delen. Het resultaat is 81. Het getal 81 kan door 3 worden gedeeld, maar door 9 is het handiger. Omdat 9 geen priemgetal is, breiden we het uit als 9=3∙3. We krijgen 9. We delen het ook door 9 en breiden het uit tot het product van priemfactoren.

Elk natuurlijk nummer, heeft naast één twee of meer delers. Het getal 7 is bijvoorbeeld zonder rest alleen deelbaar door 1 en 7, dat wil zeggen dat het twee delers heeft. En het getal 8 heeft delers 1, 2, 4, 8, dat wil zeggen maar liefst 4 delers tegelijk.

Wat is het verschil tussen priemgetallen en samengestelde getallen?

Getallen met meer dan twee delers worden samengestelde getallen genoemd. Getallen die slechts twee delers hebben: één en het getal zelf, worden priemgetallen genoemd.

Het getal 1 heeft slechts één indeling, namelijk het getal zelf. Eén is noch een priemgetal, noch een samengesteld getal.

• Het getal 7 is bijvoorbeeld een priemgetal en het getal 8 is samengesteld.

Eerste 10 priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Het getal 2 is het enige even priemgetal, alle andere priemgetallen zijn oneven.

Het getal 78 is samengesteld, omdat het naast 1 en zichzelf ook deelbaar is door 2. Wanneer het wordt gedeeld door 2, krijgen we 39. Dat wil zeggen, 78 = 2*39. In dergelijke gevallen zeggen ze dat het getal werd verwerkt in de factoren 2 en 39.

Elk samengesteld getal kan worden ontleed in twee factoren, die elk groter zijn dan 1. Deze truc werkt niet met een priemgetal. Zo gaat het.

Een getal ontbinden in priemfactoren

Zoals hierboven opgemerkt, kan elk samengesteld getal in twee factoren worden ontleed. Laten we bijvoorbeeld het getal 210 nemen. Dit getal kan worden ontleed in twee factoren 21 en 10. Maar de getallen 21 en 10 zijn ook samengesteld, laten we ze ontbinden in twee factoren. We krijgen 10 = 2*5, 21=3*7. En als resultaat werd het getal 210 opgesplitst in 4 factoren: 2,3,5,7. Deze getallen zijn al priemgetallen en kunnen niet worden uitgebreid. Dat wil zeggen, we hebben het getal 210 in priemfactoren verwerkt.

Bij het ontbinden van samengestelde getallen in priemfactoren worden ze meestal in oplopende volgorde geschreven.

Houd er rekening mee dat elk samengesteld getal kan worden ontleed in priemfactoren en op een unieke manier, tot aan permutatie.

• Bij het ontleden van een getal in priemfactoren worden gewoonlijk deelbaarheidscriteria gebruikt.

Laten we het getal 378 ontbinden in priemfactoren

We zullen de cijfers opschrijven en ze scheiden met een verticale lijn. Het getal 378 is deelbaar door 2, omdat het eindigt op 8. Bij deling krijgen we het getal 189. De som van de cijfers van het getal 189 is deelbaar door 3, wat betekent dat het getal 189 zelf deelbaar is door 3. Het resultaat is 63.

Het getal 63 is ook deelbaar door 3, afhankelijk van de deelbaarheid. We krijgen 21, het getal 21 kan weer door 3 worden gedeeld, we krijgen 7. Zeven is alleen door zichzelf gedeeld, we krijgen er één. Hiermee is de verdeling voltooid. Rechts na de lijn staan ​​de belangrijkste factoren waarin het getal 378 is ontleed.

378|2
189|3
63|3
21|3

In dit artikel vind je het allemaal Nodige informatie het beantwoorden van de vraag hoe je een getal kunt ontbinden in priemfactoren. Eerst gegeven algemeen idee over de ontbinding van een getal in priemfactoren worden voorbeelden van ontledingen gegeven. Het volgende toont de canonieke vorm van het ontleden van een getal in priemfactoren. Hierna wordt een algoritme gegeven voor het ontleden van willekeurige getallen in priemfactoren en worden voorbeelden gegeven van het ontbinden van getallen met behulp van dit algoritme. Ook overwogen alternatieve manieren, waarmee u kleine gehele getallen snel kunt ontbinden in priemfactoren met behulp van deelbaarheidstests en tafels van vermenigvuldiging.

Paginanavigatie.

Wat betekent het om een ​​getal te ontbinden in priemfactoren?

Laten we eerst eens kijken naar wat de belangrijkste factoren zijn.

Het is duidelijk dat, aangezien het woord 'factoren' in deze zin voorkomt, er een product is van enkele getallen, en het kwalificerende woord 'eenvoudig' betekent dat elke factor een priemgetal is. In een product van de vorm 2·7·7·23 zijn er bijvoorbeeld vier priemfactoren: 2, 7, 7 en 23.

Wat betekent het om een ​​getal te ontbinden in priemfactoren?

Dit betekent dat dit getal moet worden weergegeven als een product van priemfactoren, en dat de waarde van dit product gelijk moet zijn aan het oorspronkelijke getal. Beschouw bijvoorbeeld het product van de drie priemgetallen 2, 3 en 5. Dit is gelijk aan 30, dus de ontbinding van het getal 30 in priemfactoren is 2·3·5. Meestal wordt de ontbinding van een getal in priemfactoren geschreven als een gelijkheid; in ons voorbeeld zal het er zo uitzien: 30=2·3·5. We benadrukken afzonderlijk dat de belangrijkste factoren in de expansie zich kunnen herhalen. Dit wordt duidelijk geïllustreerd door het volgende voorbeeld: 144=2·2·2·2·3·3. Maar een representatie van de vorm 45=3·15 is geen ontleding in priemfactoren, aangezien het getal 15 een samengesteld getal is.

De volgende vraag rijst: “Welke getallen kunnen worden ontleed in priemfactoren?”

Op zoek naar een antwoord hierop presenteren wij de volgende redenering. Priemgetallen behoren per definitie tot de getallen groter dan één. Gezien dit feit en kan worden beargumenteerd dat het product van verschillende priemfactoren een positief geheel getal groter dan één is. Daarom vindt factorisatie in priemfactoren alleen plaats voor positieve gehele getallen die groter zijn dan 1.

Maar kunnen alle gehele getallen groter dan één in priemfactoren worden verwerkt?

Het is duidelijk dat het niet mogelijk is om eenvoudige gehele getallen in priemfactoren te ontbinden. Dit wordt verklaard door het feit dat priemgetallen slechts twee positieve delers hebben: één en zichzelf, en dus niet kunnen worden weergegeven als een product van twee of meer priemgetallen. Als het gehele getal z zou kunnen worden weergegeven als het product van de priemgetallen a en b, dan zou het concept van deelbaarheid ons in staat stellen te concluderen dat z deelbaar is door zowel a als b, wat onmogelijk is vanwege de eenvoud van het getal z. Ze geloven echter dat elk priemgetal op zichzelf een ontbinding is.

Hoe zit het met samengestelde getallen? Worden samengestelde getallen ontleed in priemfactoren, en zijn alle samengestelde getallen onderhevig aan een dergelijke ontleding? De fundamentele stelling van de rekenkunde geeft een bevestigend antwoord op een aantal van deze vragen. De basisstelling van de rekenkunde stelt dat elk geheel getal a dat groter is dan 1 kan worden ontleed in het product van de priemfactoren p 1, p 2, ..., p n, en dat de ontbinding de vorm heeft a = p 1 · p 2 · … · p n, en deze uitbreiding is uniek, als je geen rekening houdt met de volgorde van de factoren

Canonieke factorisatie van een getal in priemfactoren

Bij de uitbreiding van een getal kunnen priemfactoren worden herhaald. Herhalende priemfactoren kunnen compacter worden geschreven met behulp van . Stel dat bij de ontbinding van een getal de priemfactor p 1 s 1 keer voorkomt, de priemfactor p 2 – s 2 keer, enzovoort, p n – s n keer. Dan kan de priemfactorisatie van het getal a geschreven worden als a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Deze vorm van opnemen is de zogenaamde canonieke factorisatie van een getal in priemfactoren.

Laten we een voorbeeld geven van de canonieke ontbinding van een getal in priemfactoren. Laat ons de ontbinding weten 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, de canonieke notatie heeft de vorm 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Door de canonieke factorisatie van een getal in priemfactoren kun je alle delers van het getal en het aantal delers van het getal vinden.

Algoritme voor het ontbinden van een getal in priemfactoren

Om de taak van het ontleden van een getal in priemfactoren met succes aan te kunnen, moet u een zeer goede kennis hebben van de informatie in het artikel priemgetallen en samengestelde getallen.

De essentie van het proces van het ontleden van een positief geheel getal a dat groter is dan één blijkt duidelijk uit het bewijs van de fundamentele stelling van de rekenkunde. Het gaat erom achtereenvolgens de kleinste priemdelers p 1, p 2, ..., p n van de getallen a, a 1, a 2, ..., a n-1 te vinden, waardoor we een reeks gelijkheden kunnen verkrijgen a=p 1 ·a 1, waarbij a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , waarbij a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , waarbij a n =a n-1:p n . Als blijkt dat a n =1, dan geeft de gelijkheid a=p 1 ·p 2 ·…·p n ons de gewenste ontbinding van het getal a in priemfactoren. Ook hier moet worden opgemerkt dat p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Nu moeten we nog uitzoeken hoe we bij elke stap de kleinste priemfactoren kunnen vinden, en dan hebben we een algoritme om een ​​getal in priemfactoren te ontbinden. Een tabel met priemgetallen zal ons helpen priemfactoren te vinden. Laten we laten zien hoe we dit kunnen gebruiken om de kleinste priemdeler van het getal z te verkrijgen.

We nemen achtereenvolgens priemgetallen uit de tabel met priemgetallen (2, 3, 5, 7, 11, enzovoort) en delen het gegeven getal z daardoor. Het eerste priemgetal waardoor z gelijkmatig verdeeld is, zal de kleinste priemdeler zijn. Als het getal z een priemgetal is, dan zal de kleinste priemdeler het getal z zelf zijn. Er moet hier aan worden herinnerd dat als z geen priemgetal is, de kleinste priemdeler niet groter is dan het getal , waar afkomstig is van z. Dus als er tussen de priemgetallen die niet groter zijn dan , geen enkele deler van het getal z aanwezig is, dan kunnen we concluderen dat z een priemgetal is (meer hierover staat in het theoriegedeelte onder de kop Dit getal is een priemgetal of samengesteld getal). ).

Als voorbeeld laten we zien hoe je de kleinste priemdeler van het getal 87 kunt vinden. Laten we nummer 2 nemen. Deel 87 door 2 en we krijgen 87:2=43 (resterende 1) (zie indien nodig artikel). Dat wil zeggen: als je 87 door 2 deelt, is de rest 1, dus 2 is geen deler van het getal 87. We nemen het volgende priemgetal uit de tabel met priemgetallen, dit is het getal 3. Deel 87 door 3 en we krijgen 87:3=29. 87 is dus deelbaar door 3 en daarom is het getal 3 de kleinste priemdeler van het getal 87.

Merk op dat we in het algemeen, om een ​​getal a in priemfactoren te ontbinden, een tabel nodig hebben met priemgetallen tot een getal dat niet kleiner is dan . We zullen bij elke stap naar deze tabel moeten verwijzen, dus we moeten deze bij de hand hebben. Om bijvoorbeeld het getal 95 in priemfactoren te ontbinden, hebben we alleen een tabel met priemgetallen tot en met 10 nodig (aangezien 10 groter is dan ). En om het getal 846.653 te ontleden, heb je al een tabel met priemgetallen tot 1.000 nodig (aangezien 1.000 groter is dan ).

We hebben nu genoeg informatie om op te schrijven algoritme voor het ontbinden van een getal in priemfactoren. Het algoritme voor het ontleden van het getal a is als volgt:

• Door de getallen uit de tabel met priemgetallen achtereenvolgens te sorteren, vinden we de kleinste priemdeler p 1 van het getal a, waarna we a 1 =a:p 1 berekenen. Als a 1 = 1, dan is het getal a een priemgetal, en het is zelf de ontbinding ervan in priemfactoren. Als a 1 niet gelijk is aan 1, dan hebben we a=p 1 ·a 1 en gaan we verder met de volgende stap.
• We vinden de kleinste priemdeler p 2 van het getal a 1 . Om dit te doen doorzoeken we achtereenvolgens de getallen uit de tabel met priemgetallen, beginnend met p 1 , en berekenen dan a 2 =a 1:p 2 . Als a 2 =1, dan heeft de vereiste ontbinding van het getal a in priemfactoren de vorm a=p 1 ·p 2. Als a 2 niet gelijk is aan 1, dan hebben we a=p 1 ·p 2 ·a 2 en gaan we verder met de volgende stap.
• Als we de getallen uit de tabel met priemgetallen doornemen, beginnend met p 2, vinden we de kleinste priemdeler p 3 van het getal a 2, waarna we a 3 = a 2: p 3 berekenen. Als a 3 =1, dan heeft de vereiste ontbinding van het getal a in priemfactoren de vorm a=p 1 ·p 2 ·p 3. Als a 3 niet gelijk is aan 1, dan hebben we a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 en gaan we verder met de volgende stap.
• We vinden de kleinste priemdeler p n van het getal a n-1 door de priemgetallen te sorteren, beginnend met p n-1, evenals a n = a n-1:p n, en a n is gelijk aan 1. Deze stap is laatste stap algoritme verkrijgen we hier de vereiste ontleding van het getal a in priemfactoren: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Voor de duidelijkheid worden alle resultaten verkregen bij elke stap van het algoritme voor het ontleden van een getal in priemfactoren gepresenteerd in de vorm van de volgende tabel, waarin de getallen a, a 1, a 2, ..., a n opeenvolgend worden geschreven in een kolom links van de verticale lijn en rechts van de lijn - de overeenkomstige kleinste priemdelers p 1, p 2, ..., p n.

Het enige dat overblijft is een paar voorbeelden te bekijken van de toepassing van het resulterende algoritme voor het ontbinden van getallen in priemfactoren.

Voorbeelden van priemfactorisatie

Nu zullen we in detail kijken voorbeelden van het ontbinden van getallen in priemfactoren. Bij het ontleden gebruiken we het algoritme uit de vorige paragraaf. Laten we beginnen met eenvoudige gevallen, en ze geleidelijk ingewikkelder maken, zodat we alle mogelijke nuances tegenkomen die ontstaan ​​bij het ontbinden van getallen in priemfactoren.

Voorbeeld.

Factor het getal 78 in zijn priemfactoren.

Oplossing.

We beginnen met zoeken naar de eerste kleinste priemdeler p 1 van het getal a=78. Om dit te doen, beginnen we achtereenvolgens priemgetallen uit de tabel met priemgetallen te sorteren. We nemen het getal 2 en delen 78 erdoor, we krijgen 78:2=39. Het getal 78 wordt gedeeld door 2 zonder rest, dus p 1 =2 is de eerst gevonden priemdeler van het getal 78. In dit geval is a 1 =a:p 1 =78:2=39. We komen dus tot de gelijkheid a=p 1 ·a 1 met de vorm 78=2·39. Het is duidelijk dat 1 =39 anders is dan 1, dus gaan we verder met de tweede stap van het algoritme.

Nu zoeken we naar de kleinste priemdeler p 2 van het getal a 1 =39. We beginnen met het opsommen van getallen uit de tabel met priemgetallen, beginnend met p 1 =2. Deel 39 door 2 en we krijgen 39:2=19 (resterende 1). Omdat 39 niet deelbaar is door 2, is 2 niet de deler ervan. Vervolgens nemen we het volgende getal uit de tabel met priemgetallen (nummer 3) en delen we 39 erdoor, we krijgen 39:3=13. Daarom is p 2 =3 de kleinste priemdeler van het getal 39, terwijl a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. We hebben de gelijkheid a=p 1 ·p 2 ·a 2 in de vorm 78=2·3·13. Omdat 2 =13 anders is dan 1, gaan we verder met de volgende stap van het algoritme.

Hier moeten we de kleinste priemdeler van het getal a 2 =13 vinden. Op zoek naar de kleinste priemdeler p 3 van het getal 13 zullen we achtereenvolgens de getallen uit de tabel met priemgetallen doorzoeken, te beginnen met p 2 =3. Het getal 13 is niet deelbaar door 3, aangezien 13:3=4 (rust. 1), ook 13 is niet deelbaar door 5, 7 en 11, aangezien 13:5=2 (rust. 3), 13:7=1 (rust. 6) en 13:11=1 (rust. 2). Het volgende priemgetal is 13, en 13 is erdoor deelbaar zonder rest. Daarom is de kleinste priemdeler p 3 van 13 het getal 13 zelf, en a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Omdat a 3 =1 is deze stap van het algoritme de laatste, en heeft de vereiste ontbinding van het getal 78 in priemfactoren de vorm 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Antwoord:

78=2·3·13.

Voorbeeld.

Druk het getal 83.006 uit als een product van priemfactoren.

Oplossing.

Bij de eerste stap van het algoritme voor het ontleden van een getal in priemfactoren vinden we p 1 =2 en a 1 =a:p 1 =83.006:2=41.503, waaruit 83.006=2·41.503.

Bij de tweede stap ontdekken we dat 2, 3 en 5 geen priemdelers zijn van het getal a 1 =41.503, maar het getal 7 wel, aangezien 41.503:7=5.929. We hebben p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7=5.929. Dus 83.006=2 7 5 929.

De kleinste priemdeler van het getal a 2 =5 929 is het getal 7, aangezien 5 929:7 = 847. Dus p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, waarvan 83 006 = 2,7,7,847.

Vervolgens vinden we dat de kleinste priemdeler p 4 van het getal a 3 =847 gelijk is aan 7. Dan is a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, dus 83 006=2·7·7·7·121.

Nu vinden we de kleinste priemdeler van het getal a 4 =121, dit is het getal p 5 =11 (aangezien 121 deelbaar is door 11 en niet deelbaar door 7). Dan is a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, en 83 006=2·7·7·7·11·11.

Tenslotte is de kleinste priemdeler van het getal a 5 =11 het getal p 6 =11. Dan is a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Aangezien a 6 =1 is deze stap van het algoritme voor het ontleden van een getal in priemfactoren de laatste, en heeft de gewenste ontleding de vorm 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Het verkregen resultaat kan worden geschreven als de canonieke ontleding van het getal in priemfactoren 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Antwoord:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 is een priemgetal. Het heeft inderdaad geen enkele priemdeler die niet groter is dan ( kan grofweg worden geschat als , aangezien het duidelijk is dat 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Antwoord:

897 924 289 = 937 967 991 .

Deelbaarheidstests gebruiken voor priemfactorisatie

In eenvoudige gevallen kun je een getal ontleden in priemfactoren zonder het ontledingsalgoritme uit de eerste alinea van dit artikel te gebruiken. Als de getallen niet groot zijn, is het vaak voldoende om ze in priemfactoren te ontbinden om de tekenen van deelbaarheid te kennen. Laten we voorbeelden geven ter verduidelijking.

We moeten bijvoorbeeld het getal 10 in priemfactoren verwerken. Uit de tafel van vermenigvuldiging weten we dat 2·5=10, en dat de getallen 2 en 5 duidelijk priemgetallen zijn, dus de priemfactorisatie van het getal 10 ziet eruit als 10=2·5.

Een ander voorbeeld. Met behulp van de tafel van vermenigvuldiging zullen we het getal 48 in priemfactoren ontbinden. We weten dat zes acht is - achtenveertig, dat wil zeggen 48 = 6,8. Noch 6, noch 8 zijn echter priemgetallen. Maar we weten dat tweemaal drie zes is, en tweemaal vier acht, dat wil zeggen: 6=2·3 en 8=2·4. Dan is 48=6·8=2·3·2·4. We moeten nog bedenken dat twee keer twee vier is, en dan krijgen we de gewenste ontbinding in priemfactoren 48 = 2·3·2·2·2. Laten we deze uitbreiding in canonieke vorm schrijven: 48=2 4 ·3.

Maar als je het getal 3.400 in priemfactoren ontbindt, kun je de deelbaarheidscriteria gebruiken. De tekenen van deelbaarheid door 10, 100 stellen ons in staat te stellen dat 3.400 deelbaar is door 100, waarbij 3.400=34·100, en 100 deelbaar is door 10, waarbij 100=10·10, dus 3.400=34·10·10. En op basis van de test van deelbaarheid door 2 kunnen we zeggen dat elk van de factoren 34, 10 en 10 deelbaar is door 2, we krijgen 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Alle factoren in de resulterende uitbreiding zijn eenvoudig, dus deze uitbreiding is de gewenste. Het enige dat overblijft is de factoren opnieuw te rangschikken, zodat ze in oplopende volgorde gaan: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Laten we ook de canonieke ontbinding van dit getal in priemfactoren opschrijven: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Wanneer u een bepaald getal in priemfactoren ontbindt, kunt u achtereenvolgens zowel de tekenen van deelbaarheid als de tafel van vermenigvuldiging gebruiken. Laten we ons het getal 75 voorstellen als een product van priemfactoren. De test van deelbaarheid door 5 stelt ons in staat te stellen dat 75 deelbaar is door 5, en we verkrijgen dat 75 = 5·15. En uit de tafel van vermenigvuldiging weten we dat 15=3·5, dus 75=5·3·5. Dit is de vereiste ontleding van het getal 75 in priemfactoren.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. en anderen Wiskunde. 6e leerjaar: leerboek voor instellingen voor algemeen onderwijs.
• Vinogradov I.M. Grondbeginselen van de getaltheorie.
• Mikhelovich Sh.H. Nummer theorie.
• Kulikov L.Ya. en anderen. Verzameling van problemen in de algebra en getaltheorie: leerboek voor studenten natuurkunde en wiskunde. specialiteiten van pedagogische instituten.

Elk samengesteld getal kan worden weergegeven als een product van zijn priemdelers:

28 = 2 2 7

De rechterkant van de resulterende gelijkheden worden genoemd ontbinding in priemfactoren nummers 15 en 28.

Een bepaald samengesteld getal ontbinden in priemfactoren betekent dat je dit getal representeert als een product van zijn priemfactoren.

De ontbinding van een bepaald getal in priemfactoren gebeurt als volgt:

1. Eerst moet je uit de tabel met priemgetallen het kleinste priemgetal selecteren dat het gegeven samengestelde getal zonder rest deelt, en de deling uitvoeren.
2. Vervolgens moet u opnieuw het kleinste priemgetal selecteren waarmee het reeds verkregen quotiënt zonder rest wordt gedeeld.
3. De tweede actie wordt herhaald totdat er één in het quotiënt is verkregen.

Laten we als voorbeeld het getal 940 ontbinden in priemfactoren. Zoek het kleinste priemgetal dat 940 deelt. Dit getal is 2:

Nu selecteren we het kleinste priemgetal dat deelbaar is door 470. Dit getal is weer 2:

Het kleinste priemgetal dat deelbaar is door 235 is 5:

Het getal 47 is een priemgetal, wat betekent dat het kleinste priemgetal dat door 47 gedeeld kan worden, het getal zelf is:

We krijgen dus het getal 940, verwerkt in priemfactoren:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Als de ontleding van een getal in priemfactoren resulteerde in meerdere identieke factoren, dan kunnen ze kortheidshalve in de vorm van een macht worden geschreven:

940 = 2 2 5 47

Het is het handigst om de ontbinding in priemfactoren als volgt te schrijven: eerst noteren we dit samengestelde getal en trekken we er een verticale lijn rechts van:

Rechts van de lijn schrijven we de kleinste priemdeler waardoor het gegeven samengestelde getal gedeeld wordt:

We voeren de deling uit en schrijven het resulterende quotiënt onder het deeltal:

We handelen met het quotiënt op dezelfde manier als met het gegeven samengestelde getal, d.w.z. we selecteren het kleinste priemgetal waardoor het deelbaar is zonder rest en voeren de deling uit. En we herhalen dit totdat we een eenheid in het quotiënt krijgen:

Houd er rekening mee dat het soms behoorlijk moeilijk kan zijn om een ​​getal in priemfactoren te ontbinden, omdat we tijdens het ontbinden in factoren een groot getal kunnen tegenkomen waarvan het moeilijk is om onmiddellijk te bepalen of het een priemgetal of een samengesteld getal is. En als het samengesteld is, is het niet altijd gemakkelijk om de kleinste priemdeler te vinden.

Laten we bijvoorbeeld proberen het getal 5106 te ontbinden in priemfactoren:

Nu we het quotiënt 851 hebben bereikt, is het moeilijk om onmiddellijk de kleinste deler ervan te bepalen. We gaan naar de tabel met priemgetallen. Als er een getal in zit dat ons in de problemen brengt, dan is het alleen deelbaar door zichzelf en één. Het getal 851 staat niet in de tabel met priemgetallen, wat betekent dat het samengesteld is. Het enige dat overblijft is het door sequentieel zoeken te verdelen in priemgetallen: 3, 7, 11, 13, ..., enzovoort totdat we een geschikte priemdeler vinden. Met bruut geweld ontdekken we dat 851 deelbaar is door het getal 23.