Trefwoorden: getaltheorie, lezingen, onderling priemgetallen.

Definitie. Van gehele getallen a en b wordt gezegd dat ze relatief priem zijn als (a, b) = 1.

Twee getallen a en b zijn coprime als en slechts als er gehele getallen u en v zijn zodat au + bv = 1.

Laat X = ( x n | n = 1, 2,...) een willekeurige, strikt stijgende reeks natuurlijke getallen zijn (of, als je wilt, X een willekeurige deelverzameling van natuurlijke getallen, geordend van nature). Laten we met ξ(N; X) het aantal termen van de reeks X aangeven dat N niet overschrijdt.

Definitie. Het getal wordt de (bovenste asymptotische) dichtheid van de reeks X = (x n | n = 1, 2,...) in de verzameling N genoemd.

Voorbeeld 1. Laat x n = 2n, waarbij n door N loopt, de rij zijn van alle even getallen. Dat is duidelijk

Dit komt overigens goed overeen met onze intuïtieve ideeën dat er de helft van de even getallen bestaat.

Voorbeeld 2. Stel dat x n =2 n, waarbij n door N loopt, een geometrische progressie is. Het is intuïtief duidelijk dat er in de natuurlijke reeks weinig van zulke getallen voorkomen, want hoe verder je in de natuurlijke reeks het bos ingaat, des te minder gebruikelijk zijn de machten van twee. Het concept van dichtheid bevestigt dit gevoel: ξ (2 k; ( x n )) = k, en dat is gemakkelijk te verifiëren

Dikte is de waarschijnlijkheid dat willekeurig een getal uit een natuurlijke reeks wordt geselecteerd dat tot een bepaalde reeks behoort.

Vergelijkbaar met de definitie van de dichtheid van een reeks, kunnen we de dichtheid van een reeks paren natuurlijke getallen definiëren. Stel dat er een willekeurige verzameling X van geordende paren natuurlijke getallen is. Laten we met ξ (N; X) het aantal paren uit de verzameling X aangeven, waarvan elke component N niet overschrijdt. Het is handig om getallenparen uit de verzameling X te beschouwen als coördinaten van punten op coördinaat vlak, dan is ξ (N; X) eenvoudigweg het aantal punten van de verzameling X dat in het vierkant valt ((x, y) | 0< x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

Definitie. Nummer

wordt de (bovenste asymptotische) dichtheid van de set paren X in de set N 2 genoemd.

Voorbeeld 3. Laat X de verzameling zijn van alle paren natuurlijke getallen waarvan de eerste component strikt groter is dan de tweede. De verzameling X komt overeen met de punten van het eerste kwart van het coördinatenvlak, liggend onder de bissectrice y = x. De dichtheid van zo'n set is eenvoudig te berekenen:

Laat X de verzameling zijn van alle geordende paren (u, v) van natuurlijke getallen zodat (u, v) = 1, d.w.z. de verzameling van alle paren coprime-nummers.

Stelling (Cesaro). De waarschijnlijkheid dat je een paar coprime-getallen uit N kiest, is gelijk aan 6/π 2, preciezer Proof. Laten we onmiddellijk aannemen dat er een waarschijnlijkheid p bestaat dat willekeurig geselecteerde natuurlijke getallen a en b coprime zijn. Zij d ∈ N. Laat P(S) zoals gebruikelijk de waarschijnlijkheid van de gebeurtenis S aangeven. Wij redeneren: R

$p$ wordt een priemgetal genoemd als het slechts $2$ delers heeft: $1$ en zichzelf.

Verdeler natuurlijk nummer$a$ is een natuurlijk getal waardoor het oorspronkelijke getal $a$ deelbaar is zonder rest.

voorbeeld 1

Zoek de delers van het getal $6$.

Oplossing: We moeten alle getallen vinden waardoor het gegeven getal $6$ deelbaar is zonder rest. Dit zijn de cijfers: $1,2,3, 6$. Dus de deler van het getal $6$ zal de getallen $1,2,3,6.$ zijn

Antwoord: $1,2,3,6$.

Dit betekent dat je, om de delers van een getal te vinden, alle natuurlijke getallen moet vinden waarin het gegeven getal zonder rest deelbaar is. Het is gemakkelijk in te zien dat het getal $1$ een deler is van elk natuurlijk getal.

Definitie 2

Composiet Ze noemen een getal dat behalve één en zichzelf nog andere delers heeft.

Een voorbeeld van een priemgetal is het getal $13$, een voorbeeld van een samengesteld getal is $14.$

Notitie 1

Het getal $1$ heeft slechts één deler: het getal zelf, en is dus noch een priemgetal, noch een samengesteld getal.

Coprime-nummers

Definitie 3

Onderling priemgetallen dit zijn de getallen waarvan de ggd gelijk is aan $1$. Dit betekent dat om erachter te komen of de getallen relatief priem zijn, je hun ggd moet vinden en deze moet vergelijken met $1$.

Paarsgewijs coprime

Definitie 4

Als in een reeks getallen er twee coprime zijn, worden dergelijke getallen genoemd paarsgewijze coprime. Voor twee getallen vallen de concepten “coprime” en “paarsgewijze coprime” samen.

Voorbeeld 2

$8, $15 - niet eenvoudig, maar relatief eenvoudig.

$6, 8, 9$ - wederzijds priemgetallen, maar niet paarsgewijze relatief priem.

$8, 15, 49$ zijn paarsgewijs relatief primair.

Zoals we zien, is het, om te bepalen of getallen relatief priem zijn, noodzakelijk om ze eerst in priemfactoren te ontbinden. Laten we aandacht besteden aan hoe we dit correct kunnen doen.

ontbinding in priemfactoren

Laten we bijvoorbeeld het getal $180$ ontbinden in priemfactoren:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Laten we de eigenschap van krachten gebruiken, dan krijgen we:

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Deze notatie van de ontbinding in priemfactoren wordt canoniek genoemd, d.w.z. Om een ​​getal in canonieke vorm te ontbinden, is het noodzakelijk om de eigenschap van machten te gebruiken en het getal weer te geven als een product van machten met Voor verschillende redenen

Canonieke uitbreiding van een natuurlijk getal in algemene vorm

Canonieke uitbreiding van een natuurlijk getal in algemeen beeld heeft de vorm:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

waarbij $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ priemgetallen en exponenten zijn graden - natuurlijk cijfers.

Het weergeven van een getal als een canonieke ontleding in priemgetallen maakt het gemakkelijker om de grootste gemene deler van getallen te vinden, en werkt als een gevolg van het bewijs of de definitie van coprime-getallen.

Voorbeeld 3

Zoek de grootste gemene deler van de getallen $180$ en $240$.

Oplossing: Laten we getallen ontleden in eenvoudige sets met behulp van canonieke decompositie

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, dan $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, dan $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Laten we nu de ggd van deze getallen vinden, hiervoor kiezen we machten met dezelfde basis en dan met de kleinste exponent

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Laten we componeren algoritme voor het vinden van GCD, rekening houdend met de canonieke factorisatie in priemfactoren.

Om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden met behulp van canonieke expansie, moet je:

1. ontbind getallen in priemfactoren in canonieke vorm
2. kies machten met hetzelfde grondtal en met de kleinste exponent van de machten die in de uitbreiding van deze getallen zijn opgenomen
3. Zoek het product van de getallen gevonden in stap 2. Het resulterende getal zal de gewenste grootste gemene deler zijn.

Voorbeeld 4

Bepaal of de getallen $195$ en $336$ priemgetallen zijn.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

We zien dat de ggd van deze getallen verschilt van $1$, wat betekent dat de getallen niet relatief priemgetallen zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen geen priemgetallen zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 5

Bepaal of de getallen $39$ en $112$ priemgetallen zijn.

Oplossing: laten we de canonieke factorisatie gebruiken om te ontbinden in factoren:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen relatief priem zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen geen priemgetallen zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 6

Bepaal of de getallen $883$ en $997$ priemgetallen zijn.

Oplossing: laten we de canonieke factorisatie gebruiken om te ontbinden in factoren:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen relatief priem zijn. We zien ook dat elk getal alleen de factoren bevat die gelijk zijn aan $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen een priemgetal zijn.

$p$ wordt een priemgetal genoemd als het slechts $2$ delers heeft: $1$ en zichzelf.

De deler van een natuurlijk getal $a$ is een natuurlijk getal dat het oorspronkelijke getal $a$ deelt zonder een rest achter te laten.

voorbeeld 1

Zoek de delers van het getal $6$.

Oplossing: We moeten alle getallen vinden waardoor het gegeven getal $6$ deelbaar is zonder rest. Dit zijn de cijfers: $1,2,3, 6$. Dus de deler van het getal $6$ zal de getallen $1,2,3,6.$ zijn

Antwoord: $1,2,3,6$.

Dit betekent dat je, om de delers van een getal te vinden, alle natuurlijke getallen moet vinden waarin het gegeven getal zonder rest deelbaar is. Het is gemakkelijk in te zien dat het getal $1$ een deler is van elk natuurlijk getal.

Definitie 2

Composiet Ze noemen een getal dat behalve één en zichzelf nog andere delers heeft.

Een voorbeeld van een priemgetal is het getal $13$, een voorbeeld van een samengesteld getal is $14.$

Notitie 1

Het getal $1$ heeft slechts één deler: het getal zelf, en is dus noch een priemgetal, noch een samengesteld getal.

Coprime-nummers

Definitie 3

Onderling priemgetallen dit zijn de getallen waarvan de ggd gelijk is aan $1$. Dit betekent dat om erachter te komen of de getallen relatief priem zijn, je hun ggd moet vinden en deze moet vergelijken met $1$.

Paarsgewijs coprime

Definitie 4

Als in een reeks getallen er twee coprime zijn, worden dergelijke getallen genoemd paarsgewijze coprime. Voor twee getallen vallen de concepten “coprime” en “paarsgewijze coprime” samen.

Voorbeeld 2

$8, $15 - niet eenvoudig, maar relatief eenvoudig.

$6, 8, 9$ zijn coprime-nummers, maar geen paarsgewijze coprime-nummers.

$8, 15, 49$ zijn paarsgewijs relatief primair.

Zoals we zien, is het, om te bepalen of getallen relatief priem zijn, noodzakelijk om ze eerst in priemfactoren te ontbinden. Laten we aandacht besteden aan hoe we dit correct kunnen doen.

ontbinding in priemfactoren

Laten we bijvoorbeeld het getal $180$ ontbinden in priemfactoren:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Laten we de eigenschap van krachten gebruiken, dan krijgen we:

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Deze notatie van de ontbinding in priemfactoren wordt canoniek genoemd, d.w.z. Om een ​​getal in canonieke vorm te ontbinden, is het noodzakelijk om de eigenschap van machten te gebruiken en het getal weer te geven als een product van machten met verschillende bases

Canonieke uitbreiding van een natuurlijk getal in algemene vorm

De canonieke uitbreiding van een natuurlijk getal in algemene vorm heeft de vorm:

$m=p^(n1)_1\cdot p^(n2)_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^(nk)_k$

waarbij $p_1,p_2\dots \dots .p_k$ priemgetallen zijn, en exponenten natuurlijke getallen.

Het weergeven van een getal als een canonieke ontleding in priemgetallen maakt het gemakkelijker om de grootste gemene deler van getallen te vinden, en werkt als een gevolg van het bewijs of de definitie van coprime-getallen.

Voorbeeld 3

Zoek de grootste gemene deler van de getallen $180$ en $240$.

Oplossing: Laten we getallen ontleden in eenvoudige sets met behulp van canonieke decompositie

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, dan $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, dan $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Laten we nu de ggd van deze getallen vinden, hiervoor kiezen we machten met hetzelfde grondtal en met de kleinste exponent, en dan

$GCD\(180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Laten we componeren algoritme voor het vinden van GCD, rekening houdend met de canonieke factorisatie in priemfactoren.

Om de grootste gemene deler van twee getallen te vinden met behulp van canonieke expansie, moet je:

1. ontbind getallen in priemfactoren in canonieke vorm
2. kies machten met hetzelfde grondtal en met de kleinste exponent van de machten die in de uitbreiding van deze getallen zijn opgenomen
3. Zoek het product van de getallen gevonden in stap 2. Het resulterende getal zal de gewenste grootste gemene deler zijn.

Voorbeeld 4

Bepaal of de getallen $195$ en $336$ priemgetallen zijn.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$GCD\(195;336) =3\cdot 5=15$

We zien dat de ggd van deze getallen verschilt van $1$, wat betekent dat de getallen niet relatief priemgetallen zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen geen priemgetallen zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 5

Bepaal of de getallen $39$ en $112$ priemgetallen zijn.

Oplossing: laten we de canonieke factorisatie gebruiken om te ontbinden in factoren:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$GCD\(39;112)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen relatief priem zijn. We zien ook dat elk van de getallen factoren bevat, naast $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen geen priemgetallen zijn, maar samengesteld.

Voorbeeld 6

Bepaal of de getallen $883$ en $997$ priemgetallen zijn.

Oplossing: laten we de canonieke factorisatie gebruiken om te ontbinden in factoren:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$GCD\(883;997)=1$

We zien dat de ggd van deze getallen gelijk is aan $1$, wat betekent dat de getallen relatief priem zijn. We zien ook dat elk getal alleen de factoren bevat die gelijk zijn aan $1$ en het getal zelf, wat betekent dat de getallen een priemgetal zijn.

In dit artikel zullen we het hebben over wat coprime-nummers zijn. In de eerste paragraaf formuleren we definities voor twee, drie of meer relatief priemgetallen, geven we enkele voorbeelden en laten we zien in welke gevallen twee getallen in relatie tot elkaar als priemgetallen kunnen worden beschouwd. Hierna gaan we verder met het formuleren van de belangrijkste eigenschappen en hun bewijzen. In de laatste paragraaf zullen we het hebben over een gerelateerd concept: paarsgewijze priemgetallen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Wat zijn coprime-nummers?

Zowel twee gehele getallen als hun grote hoeveelheid. Laten we eerst een definitie voor twee getallen introduceren, waarvoor we het concept van hun grootste gemene deler nodig hebben. Herhaal indien nodig het materiaal dat eraan is gewijd.

Definitie 1

Twee van zulke getallen a en b zijn onderling priemgetallen, waarvan de grootste gemene deler gelijk is aan 1, d.w.z. GCD (a, b) = 1.

Uit deze definitie kunnen we concluderen dat de enige positieve gemene deler van twee coprime-getallen gelijk zal zijn aan 1. Slechts twee van zulke getallen hebben twee gemeenschappelijke delers: één en min één.

Wat zijn enkele voorbeelden van coprime-nummers? Een dergelijk paar zou bijvoorbeeld 5 en 11 zijn. Ze hebben slechts één gemeenschappelijke positieve deler, gelijk aan 1, wat hun onderlinge eenvoud bevestigt.

Als we twee priemgetallen nemen, dan zullen ze ten opzichte van elkaar in alle gevallen onderling priemgetallen zijn, maar zulke onderlinge relaties ontstaan ​​ook tussen samengestelde getallen. Er zijn gevallen waarin één getal in een paar relatief priemgetallen samengesteld is, en het tweede een priemgetal, of beide zijn samengesteld.

Deze verklaring wordt geïllustreerd door het volgende voorbeeld: samengestelde getallen- 9 en 8 vormen een relatief priempaar. Laten we dit bewijzen door hun grootste gemene deler te berekenen. Om dit te doen, schrijven we al hun delers op (we raden aan het artikel over het vinden van de delers van een getal opnieuw te lezen). Voor 8 zijn deze getallen ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, en voor 9 – ± 1, ± 3, ± 9. We kiezen uit alle delers degene die gemeenschappelijk en de grootste zal zijn - dit is er één. Daarom, als GCD (8, − 9) = 1, dan zullen 8 en - 9 coprime ten opzichte van elkaar zijn.

Coprime-getallen zijn niet 500 en 45, omdat ze nog een gemeenschappelijke deler hebben: 5 (zie het artikel over de criteria voor deelbaarheid door 5). Vijf is groter dan één en is een positief getal. Een ander vergelijkbaar paar zou 201 en 3 kunnen zijn, aangezien ze allebei door 3 gedeeld kunnen worden, zoals aangegeven door het overeenkomstige deelbaarheidsteken.

In de praktijk is het vaak nodig om de relatieve priemheid van twee gehele getallen te bepalen. Dit uitzoeken kan worden teruggebracht tot het vinden van de grootste gemene deler en deze vergelijken met eenheid. Het is ook handig om een ​​tabel met priemgetallen te gebruiken om geen onnodige berekeningen te maken: als een van de gegeven getallen in deze tabel staat, dan is deze alleen deelbaar door één en door zichzelf. Laten we eens kijken naar de oplossing voor een dergelijk probleem.

voorbeeld 1

Voorwaarde: zoek uit of de nummers 275 en 84 coprime zijn.

Oplossing

Beide getallen hebben duidelijk meer dan één deler, dus we kunnen ze niet meteen relatief priem noemen.

We berekenen de grootste gemene deler met behulp van het Euclidische algoritme: 275 = 84 3 + 23, 84 = 23 3 + 15, 23 = 15 1 + 8, 15 = 8 1 + 7, 8 = 7 1 + 1, 7 = 7 · 1.

Antwoord: aangezien GCD (84, 275) = 1, zullen deze getallen relatief priem zijn.

Zoals we eerder zeiden, kan de definitie van dergelijke getallen worden uitgebreid tot gevallen waarin we niet twee getallen hebben, maar meer.

Definitie 2

Gehele getallen a 1 , a 2 , … , a k , k > 2 zullen onderling een priemgetal zijn als ze een grootste gemene deler hebben die gelijk is aan 1 .

Met andere woorden: als we een verzameling getallen hebben waarvan de grootste positieve deler groter is dan 1, dan zijn al deze getallen niet onderling invers ten opzichte van elkaar.

Laten we een paar voorbeelden nemen. De gehele getallen − 99, 17 en − 27 zijn dus relatief priemgetallen. Elk aantal priemgetallen zal coprime zijn met betrekking tot alle leden van de populatie, zoals in de reeksen 2, 3, 11, 19, 151, 293 en 667. Maar de getallen 12, − 9, 900 en − 72 zal niet relatief priem zijn, omdat ze naast eenheid nog één positieve deler gelijk aan 3 zullen hebben. Hetzelfde geldt voor de getallen 17, 85 en 187: op één na zijn ze allemaal deelbaar door 17.

Meestal is de onderlinge priemgetallen van getallen op het eerste gezicht niet duidelijk; dit feit behoeft bewijs. Om erachter te komen of sommige getallen relatief priem zijn, moet je hun grootste gemene deler vinden en een conclusie trekken op basis van de vergelijking met één.

Voorbeeld 2

Voorwaarde: bepaal of de getallen 331, 463 en 733 relatief priemgetallen zijn.

Oplossing

Laten we de tabel met priemgetallen bekijken en vaststellen dat alle drie deze getallen erin voorkomen. Dan kan hun gemeenschappelijke deler slechts één zijn.

Antwoord: al deze getallen zullen coprime met elkaar zijn.

Voorbeeld 3

Voorwaarde: geef een bewijs dat de getallen − 14, 105, − 2 107 en − 91 niet coprime zijn.

Oplossing

Laten we beginnen met het identificeren van de grootste gemene deler, en er vervolgens voor zorgen dat deze niet gelijk is aan 1. Sinds negatieve getallen dezelfde delers als de overeenkomstige positieve, dan ggd (− 14, 105, 2 107, − 91) = ggd (14, 105, 2 107, 91). Volgens de regels die we hebben gegeven in het artikel over het vinden van de grootste gemene deler, zal in dit geval de ggd gelijk zijn aan zeven.

Antwoord: zeven is groter dan één, wat betekent dat deze getallen niet relatief priem zijn.

Basiseigenschappen van coprime-nummers

Dergelijke cijfers hebben er praktisch een aantal belangrijke eigenschappen. Laten we ze in volgorde opsommen en bewijzen.

Definitie 3

Als we de gehele getallen a en b delen door het getal dat overeenkomt met hun grootste gemene deler, krijgen we relatief priemgetallen. Met andere woorden, a: ggd (a, b) en b: ggd (a, b) zullen relatief priem zijn.

Deze eigenschap hebben we al bewezen. Het bewijs vind je in het artikel over de eigenschappen van de grootste gemene deler. Dankzij dit kunnen we paren van relatief priemgetallen bepalen: we hoeven alleen maar twee gehele getallen te nemen en te delen door GCD. Als gevolg hiervan zouden we coprime-nummers moeten krijgen.

Definitie 4

Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor de wederzijdse priemgetal van de getallen a en b is het bestaan ​​van dergelijke gehele getallen jij 0 En v 0, waarvoor gelijkheid a · u 0 + b · v 0 = 1 zal waar zijn.

Bewijs 1

Laten we beginnen met het bewijzen van de noodzaak van deze voorwaarde. Laten we zeggen dat we twee relatief priemgetallen hebben, aangeduid als a en b. Dan zal, volgens de definitie van dit concept, hun grootste gemene deler zijn gelijk aan één. Uit de eigenschappen van ggd weten we dat er voor gehele getallen a en b een Bezout-relatie bestaat a · u 0 + b · v 0 = ggd (a, b). Daaruit halen wij dat a · u 0 + b · v 0 = 1. Hierna moeten we de toereikendheid van de aandoening bewijzen. Laat gelijkheid a · u 0 + b · v 0 = 1 zal in dit geval waar zijn als GCD (a, b) verdeelt en een , en b , dan wordt de som ook gedeeld a · u 0 + b · v 0 en eenheid (dit kan worden beargumenteerd op basis van de eigenschappen van deelbaarheid). En dit kan alleen als GCD (a, b) = 1, wat de onderlinge eenvoud van a en b bewijst.

Als a en b coprime zijn, zal de gelijkheid volgens de vorige eigenschap waar zijn a · u 0 + b · v 0 = 1. We vermenigvuldigen beide zijden met c en krijgen dat a · c · u 0 + b · c · v 0 = c. We kunnen de eerste term verdelen a · c · u 0 + b · c · v 0 door b, omdat dit mogelijk is voor a · c, en de tweede term is ook deelbaar door b, omdat een van onze factoren gelijk is aan b. Hieruit concluderen we dat de gehele som deelbaar is door b, en aangezien deze som gelijk is aan c, kan c gedeeld worden door b.

Definitie 5

Als twee gehele getallen a en b coprime zijn, dan is ggd (ac, b) = ggd (c, b).

Bewijs 2

Laten we bewijzen dat GCD (ac, b) GCD (c, b) zal delen, en daarna dat GCD (c, b) GCD (a c, b) zal delen, wat het bewijs zal zijn van de juistheid van de gelijkheid GCD (a · c, b) = GCD (c, b) .

Omdat GCD (a · c, b) zowel a · c als b deelt, en GCD (a · c, b) b deelt, zal het ook b · c delen. Dit betekent dat GCD (a c, b) zowel a c als b c deelt, en daarom, vanwege de eigenschappen van GCD, ook GCD (a c, b c) verdeelt, wat gelijk zal zijn aan c GCD (a, b ) = c . Daarom verdeelt GCD (a · c, b) zowel b als c, en daarom verdeelt het ook GCD (c, b).

Er kan ook worden gezegd dat aangezien GCD (c, b) zowel c als b deelt, het zowel c als a c zal verdelen. Dit betekent dat GCD (c, b) zowel a · c als b deelt, en daarom ook GCD (a · c, b).

Dus ggd (ac, b) en ggd (c, b) verdelen elkaar onderling, wat betekent dat ze gelijk zijn.

Definitie 6

Als de cijfers uit de reeks komen een 1 , een 2 , … , een k zal relatief priem zijn met betrekking tot de getallen van de reeks b 1, b 2, …, b m(voor natuurlijke waarden van k en m), dan hun producten een 1 · een 2 · … · een k En b 1 · b 2 · … · b m zijn ook relatief belangrijk, met name een 1 = een 2 = … = een k = een En b1 = b2 = … = bm = b, Dat een k En b m- onderling eenvoudig.

Bewijs 3

Volgens de vorige eigenschap kunnen we gelijkheden in de volgende vorm schrijven: GCD (a 1 · a 2 · … · a k, b m) = GCD (a 2 · … · a k, b m) = … = GCD (a k, b m) = 1. De mogelijkheid van de laatste overgang wordt verzekerd door het feit dat a k en b m relatief priem zijn door voorwaarde. Dit betekent GCD (a 1 · a 2 · … · a k , b m) = 1 .

Laten we a 1 · a 2 · … · a k = A aanduiden en verkrijgen dat GCD (b 1 · b 2 · … · b m , a 1 · a 2 · … · a k) = GCD (b 1 · b 2 · … · b m , A) = GCD (b 2 · … · b · b m , A) = … = GCD (b m , A) = 1 . Dit zal waar zijn vanwege de laatste gelijkheid uit de hierboven geconstrueerde keten. We hebben dus de gelijkheid GCD (b 1 · b 2 · … · b m, a 1 · a 2 · … · a k) = 1, waarmee we de wederzijdse primeness van de producten kunnen bewijzen een 1 · een 2 · … · een k En b 1 · b 2 · … · b m

Dit zijn allemaal eigenschappen van coprime-getallen waarover wij u graag vertellen.

Het concept van paarsgewijze priemgetallen

Als we weten wat coprime-getallen zijn, kunnen we een definitie van paarsgewijze priemgetallen formuleren.

Definitie 7

Paarsgewijze priemgetallen is een reeks gehele getallen a 1 , a 2 , ... , a k , waarbij elk getal relatief priem is ten opzichte van de andere.

Een voorbeeld van een reeks paarsgewijze priemgetallen is 14, 9, 17 en −25. Hier zijn alle paren (14 en 9, 14 en 17, 14 en − 25, 9 en 17, 9 en − 25, 17 en − 25) coprime. Merk op dat de voorwaarde van wederzijdse priemgetallen verplicht is voor paarsgewijze priemgetallen, maar dat onderling priemgetallen niet in alle gevallen paarsgewijze priemgetallen zullen zijn. In de reeks 8, 16, 5 en 15 zijn de getallen bijvoorbeeld niet zulke getallen, aangezien 8 en 16 niet relatief priemgetallen zijn.

Je moet ook stilstaan ​​bij het concept van een verzameling van een bepaald aantal priemgetallen. Ze zullen altijd zowel onderling als paarsgewijs eenvoudig zijn. Een voorbeeld is de reeks 71, 443, 857, 991. In het geval van priemgetallen zullen de concepten van wederzijds en paarsgewijze priemgetallen samenvallen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Wiskundeboeken zijn soms moeilijk te begrijpen. De droge en heldere taal van de auteurs is niet altijd gemakkelijk te begrijpen. En de onderwerpen daar zijn altijd met elkaar verbonden en hebben wederzijdse consequenties. Om één onderwerp onder de knie te krijgen, moet je een aantal voorgaande onderwerpen aan de orde stellen en soms zelfs het hele leerboek doorbladeren. Moeilijk? Ja. Laten we het risico nemen deze moeilijkheden te omzeilen en proberen een niet-standaard benadering van het onderwerp te vinden. Laten we een soort excursie maken naar het land van de cijfers. We laten de definitie echter nog steeds hetzelfde, omdat de regels van de wiskunde niet kunnen worden geannuleerd. Coprime-getallen zijn dus natuurlijke getallen met een gemeenschappelijke deler gelijk aan één. Het is duidelijk? Nogal.

Voor meer duidelijk voorbeeld laten we de getallen 6 en 13 nemen. Beide zijn deelbaar door één (coprime). Maar de getallen 12 en 14 kunnen dat niet zijn, omdat ze niet alleen deelbaar zijn door 1, maar ook door 2. De volgende getallen, 21 en 47, passen ook niet in de categorie van ‘coprime-getallen’: ze kunnen niet worden gedeeld. alleen bij 1, maar ook bij 7.

Coprime-nummers worden als volgt aangegeven: ( A, y) = 1.

Je kunt het nog eenvoudiger zeggen: de gemene deler (grootste) is hier gelijk aan één.
Waarom hebben we zulke kennis nodig? Er zijn genoeg redenen.

Onderling opgenomen in sommige encryptiesystemen. Degenen die met Hill ciphers of het substitutiesysteem van Caesar werken, begrijpen: zonder deze kennis kom je nergens. Als je wel eens van generatoren hebt gehoord, durf je het waarschijnlijk niet te ontkennen: daar worden ook relatief priemgetallen gebruikt.

Laten we het nu hebben over manieren om zulke eenvoudige te verkrijgen, zoals je begrijpt, ze kunnen maar twee delers hebben: ze zijn deelbaar door zichzelf en door één. Laten we zeggen dat 11, 7, 5, 3 priemgetallen zijn, maar 9 niet, omdat dit getal al deelbaar is door 9, 3 en 1.

En als A- het getal is een priemgetal, en bij- uit de set (1, 2, ... A- 1), dan is het gegarandeerd ( A, bij) = 1, of coprime-getallen - A En bij.

Dit is niet eens een verklaring, maar een herhaling of samenvatting van wat zojuist is gezegd.

Het verkrijgen van priemgetallen is echter mogelijk; voor grote getallen (miljarden bijvoorbeeld) is deze methode te lang, maar in tegenstelling tot superformules, die soms fouten maken, is deze betrouwbaarder.

Je kunt werken door te selecteren bij > A. Om dit te doen, wordt y zo gekozen dat het getal aan staat A niet gedeeld. Om dit te doen, wordt een priemgetal vermenigvuldigd met een natuurlijk getal en wordt een hoeveelheid opgeteld (of juist afgetrokken) (bijvoorbeeld R), wat minder is A:

j = R een + k

Als, bijvoorbeeld, A = 71, R= 3, q=10, dus dienovereenkomstig bij hier is het gelijk aan 713. Een andere selectie is mogelijk, met graden.

Samengestelde getallen zijn, in tegenstelling tot relatief priemgetallen, deelbaar door zichzelf, door 1 en door andere getallen (ook zonder rest).

Met andere woorden, (op één na) zijn verdeeld in samengesteld en eenvoudig.

Priemgetallen zijn natuurlijke getallen die geen niet-triviale (anders dan het getal zelf en eenheids) delers hebben. Hun rol is vooral belangrijk in de moderne, snel ontwikkelende cryptografie van vandaag, waardoor de discipline, die voorheen als uiterst abstract werd beschouwd, zo gewild is geworden: algoritmen voor gegevensbescherming worden voortdurend verbeterd.

Het grootste priemgetal werd gevonden door oogarts Martin Nowak, die samen met andere enthousiastelingen deelnam aan het GIMPS-project (distributed computing), dat ongeveer 15 duizend telde. De berekeningen duurden er zes voor lange jaren. Er waren twee en een half dozijn computers in de oogkliniek van Novak bij betrokken. Het resultaat van gigantisch werk en doorzettingsvermogen was het nummer 225964951-1, geschreven in 7816230 decimalen. Het record voor het grootste aantal werd overigens zes maanden vóór deze ontdekking gevestigd. En er waren een half miljoen borden minder.

Een genie die het getal wil benoemen waarbij de duur van de decimale notatie de grens van tien miljoen zal ‘overstijgen’, heeft een kans om niet alleen wereldwijde bekendheid te verwerven, maar ook $100.000. Trouwens, voor het getal dat de grens van een miljoen cijfers overschreed, ontving Nayan Khairatwal een kleiner bedrag ($50.000).