Oppgave 1

I noen seksjoner, rektangulære bjelker 20 × 30 cm M= 28 kNm, Q= 19 kN.

Påkrevd:

a) bestemme normal- og skjærspenningene ved et gitt punkt TIL, avstand fra den nøytrale aksen i en avstand på 11 cm,

b) sjekk styrken til en trebjelke hvis [σ] = 10 MPa, [τ] = 3 MPa.

Løsning

a) For å bestemme σ ( TIL) , τ ( TIL) og maksσ, maksτ du trenger å kjenne verdiene til det aksiale treghetsmomentet til hele seksjonen I N.O., aksialt motstandsmoment W N.O., det statiske momentet til avskjæringsdelen og det statiske momentet til halvdelen av seksjonen Smaks:

b) Styrketest:

— av tilstanden til styrken til normale påkjenninger:

— etter tilstanden til skjærspenningsstyrken:

Oppgave 2

I en del av strålen M= 10kNm, Q= 40kN. Tverrsnittet er trekantet. Finn normal- og skjærspenningene i et punkt 15 cm fra nøytralaksen.

hvor

Deretter

Oppgave 3

Velg et tverrsnitt av en trebjelke i to versjoner: rund og rektangulær (med h/b= 2), hvis [σ] = 10 MPa, [τ] = 3 MPa, og sammenlign dem når det gjelder materialforbruk.

EN og V og komponer ligningene for statikk:

(1) ∑M(V) = F·åtte - M– EN 6+ ( q 6) 3 = 0,

(2) ∑M(EN) = F 2 - M+ V 6 - ( q 6) 3 = 0,

Iplot

∑M(MED) = M(z 1) +F· z 1 =0,

MM(z 1) = -F· z 1 = - 30 z 1 —

- ligningen rett.

På z 1 = 0: M = 0,

z 1 = 2: M = - 60 kNm.

∑på= — F — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = — F= -30 kN - konstant funksjon.

II avsnitt

hvor

- ligningen parabler.

På z 2 =0: M= 0,

z 2 = 3m: M= 30 3 - 5 3 2 = 90 - 45 = 45 kNm,

z 2 = 6m: M= 30 6 - 5 6 2 = 180 - 180 = 0.

∑på= Q(z 2) — q· z 2 + B= 0,

Q(z 2) = q· z 2 — B= 10 z 2 - 30 - ligning rett,

på z 2 = 0: Q= -30,

z 2 = 6m: Q= 10 6 - 30 = 30.

Bestemmelse av det analytiske maksimum for det andre seksjonens bøyemoment:

fra tilstanden vi finner:

Og så

Merk at hoppet i ep. M lokalisert der det konsentrerte momentet påføres M= 60kNm og er lik dette momentet, og hoppet i ep. Q- under konsentrert kraft EN= 60 kN.

Valget av seksjonen av bjelkene gjøres på grunnlag av styrketilstanden i forhold til normale spenninger, hvor det største bøyemomentet i absolutt verdi fra diagrammet bør erstattes M.

I dette tilfellet er det maksimale momentet modulo M = 60kNm

hvor: :

en) rund seksjon d=?

b) rektangulært snitt kl h/b = 2:

deretter

Seksjonens dimensjoner, bestemt ut fra styrketilstanden i forhold til normale spenninger, må også tilfredsstille styrkebetingelsen med hensyn til skjærspenninger:

For enkle tverrsnittsformer er kompakte uttrykk for maksimal skjærspenning kjent:

— for rund seksjon

— for rektangulært snitt

La oss bruke disse formlene. Deretter

- for en rund stråle kl :

- for en rektangulær bjelke

For å finne ut hvilken seksjon som krever mindre materialforbruk, er det nok å sammenligne verdiene til tverrsnittsarealene:

EN rektangulær = 865,3 cm 2< EN rund = 1218,6 cm 2, derfor en rektangulær bjelke i denne forstand er mer fordelaktig enn en rund.

Oppgave 4

Velg I-seksjonen til stålbjelken hvis [σ] = 160MPa, [τ] = 80MPa.

Angi retninger for støttereaksjoner EN og V og komponer to statiske ligninger for å bestemme dem:

(1) ∑M(EN) = – M 1 –F 2 - ( q 8) 4+ M 2 + V 6 = 0,

(2) ∑M(V) = – M 1 – EN 6+ F 4+ ( q 8) 2 + M 2 =0,

Undersøkelse:

∑på = EN – F – q 8+ V= 104 - 80 - 20 8 + 136 = 240 - 240 ≡ 0.

∑M(MED) = M(z 1) -M 1 =0,

M(z 1) = M 1 = 40 kNm - konstant funksjon.

∑på= — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = 0.

II avsnitt

— parabel.

På z 2 =0: M= 40 kNm,

z 2 = 1m: M= 40 + 104 - 10 = 134 kNm,

z 2 = 2m: M= 40+ 104 2 - 10 2 2 = 208 kNm.

∑på=EN— q· z 2 — Q(z 2) = 0,

Q(z 2) =EN— q· z 2 = 104 - 20 z 2 - ligning rett,

på z 2 = 0: Q= 104kN,

z 2 = 6m: Q= 104 - 40 = 64kN.

III avsnitt

- parabel.

På z 3 =0: M= 24 + 40 = -16 kNm,

z 3 = 2m: M= 24 + 136 2 - 10 (2 + 2) 2 = 24 + 272 - 160 = 136 kNm,

z 3 = 4m: M= 24 + 136 4 - 10 (2 + 4) 2 = 24 + 544 - 360 = 208 kNm.

∑på=V— q(2+z 3) + Q(z 3) = 0,

Q(z 3) =- V+ q(2+z 3) = -136 + 20 (2+z 3) - ligning rett,

på z 3 = 0: Q= -136 + 40 = - 94kN,

z 3 = 4m: Q= - 136 + 20 (2 + 4) = - 136 + 120 = - 16kN.

IV seksjon

-parabel.

z 4 =0: M= 0kNm,

z 4 = 1m: M= - 10kNm,

z 4 = 2m: M= - 40kNm.

∑på=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 20 z 4 - ligning rett.

På z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 40kN.

Sjekke hoppene i diagrammene:

a) I diagrammet M et hopp på høyre støtte på 24kNm (fra 16 til 40) er lik det konsentrerte øyeblikket M 2 = 24 festet på dette stedet.

b) I diagrammet Q tre hopp:

den første av dem på venstre støtte tilsvarer en konsentrert reaksjon EN= 104kN,

den andre - under kraften F= 80kN og er lik den (64 + 16 = 80kN),

den tredje er på høyre støtte og tilsvarer høyre støttereaksjon 136 kN (94 + 40 = 136 kN)

Til slutt design I-seksjonen.

Valget av dimensjonene er gjort på grunnlag av styrken for normale spenninger:

∑M(MED) = M(z 1) +F· z 1 =0,

M(z 1) = -F· z 1 = -20 z 1 .

På z 1 =0: M= 0,

z 1 = 2m: M= - 40kNm,

∑på= - F— Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = - 20kN.

II avsnitt

z 2 =0: M= - 20 - 40 = -60 kNm,

z 2 = 4m: M= 200 - 20 - 120 = 200 - 140 = 60kNm.

∑på=- F+EN— Q(z 2) = 0,

Q =- F+A =-20 + 50 = 30kN.

III avsnitt

-parabel.

På z 3 =0: M= - 20 4 = - 80 kNm,

z 3 = 2m: M= 210 2 - 20 (2 + 2) 2 = 420 - 320 = 100 kNm,

z 3 = 4m: M= 210 4 - 20 (2 + 4) 2 = 840 - 720 = 120kNm.

∑på= Q(z 3) + V— q· (2+ z 3) = 0,

Q(z 3) = — V+ q· (2+ z 3) = - 210 + 40 (2+ z 3) - ligning rett.

På z 3 = 0: Q= -130kN,

z 3 = 4m: Q= 30kN.

Q(z 0) = - 210 + 40 (2+ z 0) = 0,

- 210 + 80 + 40 z 0 = 0,

40 z 0 = 130,

z 0 = 3,25 m,

IV seksjon

parabel.

På z 4 =0: M= 0 kNm,

z 4 = 1m: M= - 20kNm,

z 4 = 2m: M= - 80kNm.

∑på=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 40 z 4 - ligning rett,

z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 80kN.

3. Valg av seksjoner (farlig seksjon langs σ: | maksM| = 131,25 kNm,

farlig seksjon i τ: | maksQ| = 130kN).

Alternativ 1. Rektangulært tre ([σ] = 15MPa, [τ] = 3MPa)

Vi aksepterer: B = 0,24m,

H = 0,48m.

Sjekker med τ:

Alternativ 2. Trerunde

Kapittel 1. BØYING AV RETTEBJELKER OG BJELKESYSTEMER

1.1. De viktigste avhengighetene til teorien om bøying av bjelker

Bjelker Det er vanlig å kalle stenger som fungerer i bøyning under påvirkning av en tverrgående (normalt på stangens akse) belastning. Bjelker er de vanligste elementene i skipskonstruksjoner. Bjelkens akse er stedet for tyngdepunktene til tverrsnittene i udeformert tilstand. En bjelke kalles en rett linje hvis aksen er en rett linje. Lokuset for tyngdepunktene til tverrsnittene til bjelken i bøyd tilstand kalles bjelkens elastiske linje. Følgende retning for koordinataksene brukes: akse OKSE på linje med stråleaksen og aksen OY og OZ- med de sentrale treghetsaksene til tverrsnittet (fig. 1.1).

Bjelkebøyteori er basert på følgende forutsetninger.

1. Hypotesen om flate seksjoner er akseptert, ifølge hvilken tverrsnittene til bjelken, i utgangspunktet flate og vinkelrette på bjelkens akse, forblir etter dens bøyning flatt og vinkelrett på bjelkens elastiske linje. På grunn av dette kan bøyningsdeformasjonen av bjelken betraktes uavhengig av skjærdeformasjonen, noe som forårsaker forvrengning av planene til bjelkens tverrsnitt og deres rotasjon i forhold til den elastiske linjen (fig. 1.2, en).

2. Normale spenninger i områder parallelt med bjelkeaksen neglisjeres på grunn av deres litenhet (fig. 1.2, b).

3. Bjelkene anses å være tilstrekkelig stive, d.v.s. deres avbøyninger er små sammenlignet med høyden på bjelkene, og rotasjonsvinklene til seksjonene er små sammenlignet med enheten (fig. 1.2, v).

4. Spenninger og tøyninger er lineært relatert; Hookes lov er gyldig (fig. 1.2, G).

Ris. 1.2. Bøyte teoriantakelser

Vi vil vurdere bøyemomentene og skjærkreftene som oppstår under bøyningen av en bjelke i dens seksjon som et resultat av virkningen av den delen av bjelken som mentalt kastes over seksjonen på dens gjenværende del.

Momentet for alle krefter som virker i seksjonen om en av hovedaksene kalles bøyemomentet. Bøyemomentet er lik summen av momentene til alle krefter (inkludert støttereaksjoner og momenter) som virker på den kasserte delen av bjelken, i forhold til den spesifiserte aksen til seksjonen som vurderes.

Projeksjonen på snittplanet til hovedvektoren av kreftene som virker i snittet kalles skjærkraften. Den er lik summen av projeksjonene på seksjonsplanet av alle krefter (inkludert støttereaksjoner) som virker på den kasserte delen av bjelken.

Vi begrenser oss til å vurdere bøyningen av strålen som forekommer i planet XOZ. Slik bøying vil oppstå når sidelasten virker i et plan parallelt med planet XOZ, og dens resultant i hver seksjon går gjennom et punkt som kalles midten av seksjonsbøyningen. Merk at for seksjoner av bjelker med to aksesymmetrier, faller bøyningssenteret sammen med tyngdepunktet, og for seksjoner med en symmetriakse, ligger det på aksesymmetrien, men sammenfaller ikke med tyngdepunktet.

Lasten til bjelkene som inngår i skipets skrog kan enten fordeles (oftest jevnt fordelt langs bjelkens akse, eller endres i henhold til en lineær lov), eller påføres i form av konsentrerte krefter og momenter.

La oss betegne intensiteten til den fordelte lasten (last per lengdeenhet av bjelkeaksen) gjennom q(x), ekstern konsentrert kraft - som R, og det ytre bøyemomentet - som M... Fordelt belastning og konsentrert kraft er positive hvis deres virkeretninger sammenfaller med den positive retningen til aksen OZ(fig. 1.3, en,b). Det ytre bøyemomentet er positivt hvis det rettes med klokken (Figur 1.3, v).

Ris. 1.3. Tegnregel for eksterne laster

Vi betegner avbøyningen av en rett bjelke under bøyningen i planet XOZ på tvers w, og rotasjonsvinkelen til snittet gjennom θ. Vi vil godta skiltregelen for bøyeelementer (fig. 1.4):

1) avbøyningen er positiv hvis den faller sammen med den positive retningen til aksen OZ(fig. 1.4, en):

2) seksjonens rotasjonsvinkel er positiv hvis seksjonen, som et resultat av bøyning, roterer med klokken (fig. 1.4, b);

3) bøyemomenter er positive hvis bjelken under deres påvirkning bøyer seg konveks oppover (fig. 1.4, v);

4) skjærkrefter er positive hvis de roterer det valgte bjelkeelementet mot klokken (fig. 1.4, G).

Ris. 1.4. Skiltregel for bøyeelementer

Ut fra hypotesen om flate snitt kan man se (fig. 1.5) at den relative fiberforlengelsen ε x ligger ved z fra den nøytrale aksen, vil være lik

ε x= −z/ρ ,(1.1)

hvor ρ - bjelkens krumningsradius i seksjonen som vurderes.

Ris. 1.5. Bjelkebøyningsskjema

Den nøytrale aksen til tverrsnittet er stedet for punkter der den lineære deformasjonen under bøyning er null. Mellom krumning og derivater av w(x) det er en avhengighet

I kraft av den aksepterte antagelsen om små rotasjonsvinkler for tilstrekkelig stive bjelker, vil mengdenliten i forhold til enhet, så det kan vi anta

Erstatter 1 / ρ fra (1.2) til (1.1), får vi

Normale bøyespenninger σ x basert på Hookes lov vil være lik

Siden det følger av definisjonen av bjelkene at det ikke er noen langsgående kraft rettet langs bjelkens akse, må hovedvektoren for normale spenninger forsvinne, dvs.

hvor F Er tverrsnittsarealet til strålen.

Fra (1.5) får vi at det statiske momentet til tverrsnittsarealet til strålen er lik null. Dette betyr at seksjonens nøytrale akse går gjennom tyngdepunktet.

Momentet for indre krefter som virker i tverrsnittet i forhold til den nøytrale aksen, M y vil

Tatt i betraktning at treghetsmomentet til tverrsnittsarealet i forhold til den nøytrale aksen OY er lik, og erstatte denne verdien i (1.6), så får vi en avhengighet som uttrykker den grunnleggende differensialligningen for bjelkebøyningen

Moment for indre krefter i seksjonen om aksen OZ vil

Siden aksene OY og OZ etter tilstand er de viktigste sentrale aksene i seksjonen, da .

Derfor følger det at under påvirkning av en last i et plan parallelt med hovedplanet for bøyning, vil den elastiske linjen til bjelken være en flat kurve. Denne bøyen kalles flat... Basert på avhengigheter (1.4) og (1.7) får vi

Formel (1.8) viser at normalspenningene ved bøyning av bjelker er proporsjonale med avstanden fra bjelkens nøytralakse. Dette følger naturligvis av hypotesen om flate seksjoner. I praktiske beregninger brukes ofte motstandsmomentet til bjelkedelen for å bestemme de høyeste normalspenningene.

hvor | z| max er den absolutte verdien av avstanden til den fjerneste fiberen fra den nøytrale aksen.

Heretter abonnement y utelatt for enkelhets skyld.

Det er et forhold mellom bøyemomentet, skjærkraften og intensiteten av tverrbelastningen, som oppstår fra likevektstilstanden til elementet mentalt isolert fra bjelken.

Tenk på et bjelkeelement av lengde dx (fig. 1.6). Det antas her at deformasjonene til elementet er ubetydelige.

Hvis øyeblikket virker i den venstre delen av elementet M og skjærkraft N, så i høyre seksjon vil den tilsvarende innsatsen ha inkrementer. Vurder bare lineære trinn .

Figur 1.6. Krefter som virker på et bjelkeelement

Tilsvarer null projeksjonen på aksen OZ av alle anstrengelser som virker på elementet, og øyeblikket av alle anstrengelser i forhold til den nøytrale aksen til høyre seksjon, får vi:

Fra disse ligningene, opp til mengder av høyere størrelsesorden, får vi

Det følger av (1.11) og (1.12) at

Avhengigheter (1.11) - (1.13) er kjent som Zhuravsky – Schwedler-teoremet. Av disse avhengighetene følger det at skjærkraften og bøyemomentet kan bestemmes ved å integrere lasten q:

hvor N 0 og M 0 - skjærkraft og bøyemoment i et snitt tilsvarendex =x 0 , som tas som opprinnelse; ξ,ξ 1 - variabler for integrering.

Fast N 0 og M 0 for statisk definerbare stråler kan bestemmes ut fra betingelsene for deres statiske likevekt.

Hvis bjelken er statisk definerbar, kan bøyemomentet i et hvilket som helst snitt finnes fra (1.14), og den elastiske linjen bestemmes ved todelt integrasjon av differensialligningen (1.7). Imidlertid er statisk definerbare bjelker ekstremt sjeldne i skipsskrogstrukturer. De fleste bjelkene som utgjør skipsstrukturer danner statisk ubestemte systemer mange ganger. I disse tilfellene er likning (1.7) upraktisk for å bestemme den elastiske linjen, og det er lurt å gå over til en fjerdeordens likning.

1.2. Differensialstrålebøyningsligning

Differensieringsligning (1.7) for det generelle tilfellet når treghetsmomentet til snittet er en funksjon av x, med tanke på (1.11) og (1.12) får vi:

hvor primtall angir differensiering mht x.

For prismatiske bjelker, dvs. bjelker med konstant tverrsnitt, får vi følgende differensialligninger for bøyning:

En vanlig inhomogen lineær differensialligning av fjerde orden (1.18) kan representeres som et sett med fire differensialligninger av første orden:

Vi bruker ytterligere ligning (1.18) eller ligningssystemet (1.19) for å bestemme avbøyningen av bjelken (dens elastiske linje) og alle ukjente bøyeelementer: w(x), θ (x), M(x), N(x).

Integrering (1.18) sekvensielt 4 ganger (forutsatt at venstre ende av strålen tilsvarer seksjonenx= x a ), vi får:

Det er lett å se at integrasjonen er konstant N a,M a,θ a , w a har en viss fysisk betydning, nemlig:

N a- skjærkraften ved opprinnelsen, dvs. på x =x a ;

M a- bøyemoment ved opprinnelsen;

θ a - rotasjonsvinkel ved origo;

w a - nedbøyning i samme seksjon.

For å bestemme disse konstantene kan du alltid lage fire grensebetingelser - to for hver ende av en enkeltspennsbjelke. Naturligvis avhenger grensebetingelsene av arrangementet av bjelkeendene. De enkleste forholdene tilsvarer hengslet støtte på stive støtter eller stiv avslutning.

Når enden av bjelken er svingbart støttet på en stiv støtte (fig. 1.7, en) avbøyningen av bjelken og bøyemomentet er lik null:

Med en stiv avslutning på en stiv støtte (fig. 1.7, b) avbøyningen og rotasjonsvinkelen til seksjonen er lik null:

Hvis enden av bjelken (konsollen) er fri (fig. 1.7, v), så i denne delen er bøyemomentet og skjærkraften lik null:

En situasjon knyttet til en glidende terminering eller en symmetriterminering er mulig (fig. 1.7, G). Dette fører til følgende randbetingelser:

Merk at grensebetingelsene (1.26) angående nedbøyninger og rotasjonsvinkler vanligvis kalles kinematisk, og betingelser (1.27) - makt.

Ris. 1.7. Typer randbetingelser

I skipskonstruksjoner er det ofte nødvendig å forholde seg til mer komplekse grenseforhold, som tilsvarer støtten av bjelken på elastiske støtter eller elastisk avslutning av endene.

En elastisk støtte (fig. 1.8, en) kalles en støtte som har en nedtrekking proporsjonal med reaksjonen som virker på støtten. Vi vil vurdere reaksjonen til den elastiske støtten R positiv hvis den virker på støtten i retning av aksens positive retning OZ... Så kan du skrive:

w =AR,(1.29)

hvor EN- proporsjonalitetskoeffisienten, kalt samsvarskoeffisienten til den elastiske støtten.

Denne koeffisienten er lik innsynkningen av den elastiske støtten under reaksjonens virkning R = 1, dvs. A =w R = 1 .

Elastiske støtter i skipskonstruksjoner kan være bjelker som støtter den aktuelle bjelken, eller søyler og andre trykkkonstruksjoner.

For å bestemme etterlevelseskoeffisienten til en elastisk støtte EN det er nødvendig å belaste den tilsvarende strukturen med en enhetskraft og finne den absolutte verdien av innsynkningen (avbøyningen) på stedet for påføring av kraften. Stiv støtte er et spesielt tilfelle av elastisk støtte når A = 0.

Elastisk tetning (fig. 1.8, b) kalles en slik støttekonstruksjon som hindrer seksjonens frie rotasjon og hvor rotasjonsvinkelen θ i denne seksjonen er proporsjonal med momentet, dvs. har en avhengighet

θ = Â M.(1.30)

Proporsjonalitetsmultiplikator  kalles den elastiske tetningens etterlevelseskoeffisient og kan defineres som rotasjonsvinkelen til den elastiske tetningen ved M = 1, dvs.  = θ M = 1 .

Et spesielt tilfelle av en elastisk forsegling når  = 0 er en vanskelig avslutning. I skipskonstruksjoner er elastiske fester vanligvis bjelker som er normale på den betraktede og ligger i samme plan. Eksempelvis kan bjelker og lignende anses som elastisk forseglet på rammer.

Ris. 1.8. Elastisk støtte ( en) og elastisk forsegling ( b)

Hvis endene på bjelken er lange L støttet på elastiske støtter (fig. 1.9), så er reaksjonene til støttene i endestykkene lik skjærkreftene, og grensebetingelsene kan skrives:

Minustegnet i første tilstand (1.31) aksepteres fordi den positive skjærkraften i venstre støtteseksjon tilsvarer reaksjonen som virker på bjelken ovenfra og ned, og på støtten fra bunn til topp.

Hvis endene på bjelken er lange Lspenstig forseglet(Fig. 1.9), så for støtteseksjoner, under hensyntagen til tegnregelen for vinklene for rotasjon og bøyemomenter, kan du skrive:

Minustegnet i den andre tilstanden (1.32) brukes fordi med et positivt moment i den høyre støtteseksjonen av bjelken, er momentet som virker på den elastiske tetningen rettet mot klokken, og den positive rotasjonsvinkelen i denne seksjonen er rettet med klokken, dvs øyeblikksretningene og rotasjonsvinkelen er ikke sammenfallende.

Betraktning av differensialligningen (1.18) og alle randbetingelser viser at de er lineære med hensyn til både nedbøyningene og deres deriverte inkludert i dem, og lastene som virker på bjelken. Linearitet er en konsekvens av antakelsene om gyldigheten av Hookes lov og den lille avbøyningen av strålen.

Ris. 1.9. En bjelke, hvis begge ender er elastisk støttet og elastisk forseglet ( en);

krefter i elastiske støtter og elastiske beslag tilsvarende positiv
retninger for bøyemoment og skjærkraft ( b)

Når flere belastninger påføres en bjelke, er hvert bøyeelement i bjelken (nedbøyning, rotasjonsvinkel, moment og skjærkraft) summen av bøyeelementene fra virkningen av hver av lastene separat. Denne svært viktige posisjonen, kalt superposisjonsprinsippet, eller prinsippet om summering av virkningen av laster, er mye brukt i praktiske beregninger og spesielt for å avsløre den statiske usikkerheten til bjelker.

1.3. Innledende parametermetode

Det generelle integralet til differensialligningen for bjelkebøyning kan brukes til å bestemme den elastiske linjen til en enkeltspennsbjelke i tilfellet når belastningen til bjelken er en kontinuerlig funksjon av koordinaten gjennom hele spennet. Dersom lasten inneholder konsentrerte krefter, momenter eller en fordelt last virker på en del av bjelkelengden (Fig. 1.10), så kan ikke uttrykk (1.24) brukes direkte. I dette tilfellet ville det være mulig, som betegner de elastiske linjene i seksjonene 1, 2 og 3 t.o.m. w 1 , w 2 , w 3, skriv ned for hver av dem integralet i formen (1.24) og finn alle vilkårlige konstanter fra grensebetingelsene ved endene av bjelken og konjugasjonsbetingelsene ved grensene til seksjonene. Konjugasjonsbetingelsene i dette tilfellet er uttrykt som følger:

på x = a 1

på x = a 2

på x = a 3

Det er lett å se at denne måten å løse problemet på fører til et stort antall vilkårlige konstanter lik 4 n, hvor n- antall seksjoner langs bjelkens lengde.

Ris. 1.10. Bjelke, i noen seksjoner hvor belastninger av forskjellige typer påføres

Det er mye mer praktisk å representere den elastiske linjen til strålen i skjemaet

hvor vilkårene bak dobbeltstreken tas i betraktning når x³ en 1, x³ en 2 osv.

Åpenbart, δ 1 w(x)=w 2 (x)−w 1 (x); δ 2 w(x)=w 3 (x)−w 2 (x); etc.

Differensialligninger for å bestemme korreksjonene til den elastiske linjen δ Jegw (x) basert på (1.18) og (1.32) kan skrives i skjemaet

Generell integral for enhver korreksjon δ Jegw (x) til den elastiske linjen kan skrives på formen (1.24) for x a = en i ... I dette tilfellet parametrene N a,M a,θ a , w a har betydningen av henholdsvis en endring (hopp): i skjærkraft, bøyemoment, rotasjonsvinkel og avbøyningspil ved passering gjennom seksjonen x =en i ... Denne teknikken kalles metoden for innledende parametere. Det kan vises at for strålen vist i fig. 1.10, vil den elastiske linjeligningen være

Dermed gjør metoden med innledende parametere det mulig, selv i nærvær av diskontinuitet i belastningene, å skrive ligningen til en elastisk linje i en form som inneholder bare fire vilkårlige konstanter N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, som er bestemt ut fra grensebetingelsene i endene av bjelken.

Merk at for et stort antall varianter av enkeltspennsbjelker som man møter i praksis, er det utarbeidet detaljerte bøyetabeller som gjør det enkelt å finne nedbøyninger, rotasjonsvinkler og andre bøyeelementer.

1.4. Bestemmelse av skjærspenninger ved bøying av bjelker

Hypotesen om plane seksjoner akseptert i teorien om bøyning av bjelker fører til det faktum at skjærdeformasjonen i bjelkens seksjon viser seg å være lik null, og vi har ikke muligheten til å bestemme ved hjelp av Hookes lov. tangentielle spenninger. Men siden det i det generelle tilfellet virker skjærkrefter i bjelkedelene, bør tilsvarende skjærspenninger oppstå. Denne motsetningen (som er en konsekvens av den aksepterte hypotesen om flate seksjoner) kan omgås ved å vurdere likevektsforholdene. Vi vil anta at når en bjelke sammensatt av tynne strimler bøyes, er skjærspenningene i tverrsnittet til hver av disse strimlene jevnt fordelt over tykkelsen og rettet parallelt med langsidene av konturen. Denne posisjonen er praktisk talt bekreftet av de eksakte løsningene til teorien om elastisitet. Tenk på en bjelke av en åpen tynnvegget I-profil. I fig. 1.11 viser positiv retning av skjærspenninger i flensene og profilbanen under bøying i bjelkebanens plan. Vi velger med et lengdesnitt JEG -Jeg og to tverrsnitt et lengdeelement dx (fig. 1.12).

Vi betegner skjærspenningen i det angitte lengdesnittet med τ, og normalkreftene i det innledende tverrsnittet med T... Normalkreftene i siste seksjon vil ha inkrementer. Vurder da bare lineære trinn.

Ris. 1.12. Lengdekrefter og skjærspenninger
i bjelkens belteelement

Betingelsen for statisk likevekt til elementet valgt fra strålen (likhet til null av projeksjonene av kreftene på aksen OKSE) vil

hvor ; f- området til delen av profilen, avskåret av linjen JEG -Jeg; δ– profiltykkelse ved snittet.

Fra (1.36) følger det:

Siden normalspenningene σ x er definert av formel (1.8), da

I dette tilfellet antar vi at bjelken har en snittkonstant langs lengden. Det statiske øyeblikket til en del av profilen (ved klippelinjen JEG -Jeg) i forhold til nøytralaksen til bjelkedelen OY er en integral

Så fra (1.37) for den absolutte verdien av spenninger får vi:

Naturligvis er den oppnådde formelen for å bestemme skjærspenningene også gyldig for ethvert lengdesnitt, for eksempel II -II(se fig. 1.11), og det statiske momentet S Ot beregnes for den avskårne delen av området til bjelkeprofilen i forhold til den nøytrale aksen uten å ta hensyn til tegnet.

Formel (1.38), i betydningen av konklusjonen som er trukket, bestemmer skjærspenningene i bjelkens lengdesnitt. Fra teoremet om paring av tangentielle spenninger, kjent fra motstandsforløpet til materialer, følger det at de samme tangentielle spenningene virker på de tilsvarende punktene i bjelkens tverrsnitt. Naturligvis er projeksjonen av hovedvektoren for skjærspenninger på aksen OZ må være lik skjærkraft N i denne delen av strålen. Siden i beltene bjelker av denne typen, som vist i fig. 1.11 er skjærspenninger rettet langs aksen OY, dvs. vinkelrett på lastens handlingsplan, og er generelt balansert, må skjærkraften balanseres av skjærspenningene i bjelkebanen. Fordelingen av skjærspenninger langs veggens høyde følger variasjonsloven til det statiske momentet S den avskårne delen av området i forhold til den nøytrale aksen (ved konstant veggtykkelse δ).

Tenk på et symmetrisk snitt av en I-bjelke med et belteområde F 1 og veggflate ω = hδ (fig. 1.13).

Ris. 1.13. I-bjelke seksjon

Det statiske momentet til den avklippede delen av området for et punkt som ligger ved z fra den nøytrale aksen, vil være

Som det fremgår av avhengigheten (1.39), endres det statiske momentet med z i henhold til loven om en kvadratisk parabel. Høyeste verdi S fra, og følgelig, skjærspenningene τ , vil vise seg ved den nøytrale aksen, hvor z = 0:

Største skjærspenning i bjelkebanen ved nøytralaksen

Siden treghetsmomentet til delen av den betraktede strålen er

da blir den største skjærspenningen

Holdning N/ ω er ikke annet enn gjennomsnittlig skjærspenning i veggen, beregnet under forutsetning av en jevn fordeling av spenninger. Ta for eksempel ω = 2 F 1, ved formel (1.41) får vi

Dermed har den betraktede bjelken den høyeste skjærspenningen i veggen ved den nøytrale aksen med kun 12,5 % overstiger gjennomsnittsverdien av disse spenningene. Det skal bemerkes at for de fleste profiler av bjelker som brukes i skipets skrog, er overskuddet av maksimale skjærspenninger over gjennomsnittet 10–15 %.

Hvis vi vurderer fordelingen av skjærspenninger under bøying i seksjonen av bjelken vist i fig. 1.14, så kan du se at de danner et moment i forhold til tyngdepunktet til seksjonen. I det generelle tilfellet, bøyningen av en slik bjelke i planet XOZ vil bli ledsaget av vridning.

Bøyningen av bjelken er ikke ledsaget av vridning hvis lasten virker i et plan parallelt med XOZ passerer gjennom et punkt kalt sentrum av svingen. Dette punktet er preget av det faktum at momentet til alle tangentielle krefter i seksjonen av bjelken i forhold til den er null.

Ris. 1.14. Skjærspenninger under bøyning av kanalbjelken (punkt EN - bøy senter)

Angir avstanden til midten av svingen EN fra bjelkeveggens akse gjennom e, skriver vi ned betingelsen om likhet til null av momentet av tangentielle krefter i forhold til punktet EN:

hvor Q 2 - skjærkraft i veggen, lik skjærkraften, dvs. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - innsatsen i beltet, bestemt på grunnlag av (1,38) av avhengigheten

Skjærdeformasjon (eller skjærvinkel) γ varierer langs høyden på bjelkeveggen på samme måte som skjærspenninger τ , når den høyeste verdien ved den nøytrale aksen.

Som vist, for bjelker med belter, er endringen i skjærspenninger langs veggens høyde svært ubetydelig. Dette gjør at vi kan vurdere en viss gjennomsnittlig skjærvinkel i bjelkeveggen ytterligere

Skjærdeformasjon fører til det faktum at den rette vinkelen mellom planet av tverrsnittet til bjelken og tangenten til den elastiske linjen endres med verdien γ ons Et forenklet diagram over skjærdeformasjonen til et bjelkeelement er vist i fig. 1.15.

Ris. 1.15. Skjærdeformasjonsdiagram av et bjelkeelement

Ved å betegne avbøyningspilen forårsaket av gjennomskjæringen w sdv, du kan skrive:

Tatt i betraktning skiltregelen for skjærkraft N og rotasjonsvinkelen finner vi

I den grad,

Ved å integrere (1.47) får vi

Konstant en, inkludert i (1.48), bestemmer forskyvningen av bjelken som et stivt legeme og kan tas lik en hvilken som helst verdi, siden når man bestemmer den totale pilen til avbøyningen fra bøyning w eksil og skifte w SDV

summen av integrasjonskonstantene vises w 0 +en bestemt ut fra grensebetingelsene. Her w 0 - avbøyning fra bøyning ved origo.

I det følgende setter vi en= 0. Deretter tar det endelige uttrykket for den elastiske linjen forårsaket av skjæringen formen

Bøye- og skjærkomponentene til den elastiske linjen er vist i fig. 1.16.

Ris. 1.16. Bøying ( en) og skjær ( b) komponenter i den elastiske linjen til bjelken

I det betraktede tilfellet er rotasjonsvinkelen til seksjonene under skjæring lik null, derfor, tatt i betraktning skjæringen, er rotasjonsvinklene til seksjonene, bøyemomentene og skjærkreftene bare knyttet til derivatene av den elastiske linjen fra bøying:

Situasjonen er noe annerledes når det gjelder påvirkning på bjelken av konsentrerte momenter, som, som vist nedenfor, ikke forårsaker avbøyninger fra skjær, men bare fører til en ekstra rotasjon av bjelkedelene.

Tenk på en bjelke fritt støttet på stive støtter, i den venstre delen av denne øyeblikkshandlinger M... Skjærkraften i dette tilfellet vil være konstant og lik

For henholdsvis riktig støtteseksjon skaffer vi

.(1.52)

Uttrykk (1.51) og (1.52) kan skrives om som

Uttrykk i parentes karakteriserer det relative tillegget til seksjonens rotasjonsvinkel forårsaket av skjær.

Hvis vi for eksempel tar i betraktning en fritt støttet bjelke som belastes midt i spennet av kraften R(Fig. 1.18), da vil avbøyningen av bjelken under kraften være lik

Bøyeavbøyningen finner du fra bøyetabellene til bjelkene. Skjæravbøyningen bestemmes av formelen (1,50) under hensyntagen til at .

Ris. 1.18. Diagram av en fritt støttet bjelke belastet med en konsentrert kraft

Som det fremgår av formel (1.55), har det relative tillegget til bjelkeavbøyningen på grunn av skjær samme struktur som det relative tillegget til rotasjonsvinkelen, men med en annen numerisk koeffisient.

La oss introdusere notasjonen

hvor β er en numerisk koeffisient som avhenger av det spesifikke problemet som vurderes, arrangementet av støttene og belastningen til bjelken.

La oss analysere avhengigheten av koeffisienten k fra ulike faktorer.

Hvis vi tar hensyn til det, får vi i stedet for (1,56).

Treghetsmomentet til en bjelkeseksjon kan alltid representeres som

,(1.58)

hvor α er en numerisk koeffisient avhengig av formen og egenskapene til tverrsnittet. Så for en bjelke av en I-profil i henhold til formelen (1.40) ved ω = 2 F 1 funn jeg = ωh 2/3, dvs. α = 1/3.

Merk at med en økning i størrelsen på bjelkeflensene vil koeffisienten α øke.

Med hensyn til (1.58), i stedet for (1.57), kan vi skrive:

Dermed verdien av koeffisienten k avhenger betydelig av forholdet mellom lengden på bjelkespennet og dets høyde, på seksjonsformen (gjennom koeffisienten α), enheten til støttene og belastningen til bjelken (gjennom koeffisienten β). Jo relativt lengre strålen ( h /L liten), jo mindre er effekten av skjærdeformasjon. For rullede profilbjelker relatert h /L mindre enn 1/10 ÷ 1/8, kan skiftkorreksjonen praktisk talt ignoreres.

Men for bjelker med brede belter, som for eksempel kjøl, stringere og flora i bunnetasjen, virkningen av skjæring og ved spesifisert h /L kan være betydelig.

Det skal bemerkes at skjærdeformasjoner påvirker ikke bare økningen i bjelkedefleksjoner, men i noen tilfeller også resultatene av å avsløre den statiske ubestemtheten til bjelker og bjelkesystemer.

Bøyning deformasjon kalles, der stangens akse og alle dens fibre, det vil si de langsgående linjene parallelt med stangens akse, bøyes under påvirkning av ytre krefter. Det enkleste tilfellet med bøyning oppnås når ytre krefter ligger i et plan som går gjennom stangens sentrale akse og ikke gir fremspring på denne aksen. Dette tilfellet av bøyning kalles tverrgående bøying. Skille mellom flat bøy og skrå.

Flat bøy- et slikt tilfelle når stangens buede akse er plassert i samme plan som ytre krefter virker.

Skrå (kompleks) bøy- et slikt tilfelle av bøyning, når den buede aksen til stangen ikke ligger i handlingsplanet til ytre krefter.

Bøyestangen blir ofte referert til som stråle.

Med en plan tverrbøyning av bjelker i et snitt med et koordinatsystem y0x kan det oppstå to indre krefter - en tverrkraft Q y og et bøyemoment M x; i det følgende introduseres notasjonen for dem Q og M. Hvis det ikke er noen tverrkraft i seksjonen eller på seksjonen av bjelken (Q = 0), og bøyemomentet ikke er null eller M - const, kalles en slik bøy vanligvis ren.

Tverrgående kraft i enhver seksjon av bjelken er numerisk lik den algebraiske summen av projeksjonene på y-aksen av alle krefter (inkludert støttereaksjoner) plassert på den ene siden (hvilken som helst) av den tegnede seksjonen.

Bøyemoment i seksjonen av bjelken er numerisk lik den algebraiske summen av momentene til alle krefter (inkludert støttereaksjoner) plassert på den ene siden (hvilken som helst) av den tegnede seksjonen i forhold til tyngdepunktet til denne seksjonen, mer presist i forhold til aksen som går vinkelrett på tegningens plan gjennom tyngdepunktet til det tegnede snittet.

Force Q presenterer resulterende fordelt over delen av intern skjærspenninger, a øyeblikk M– summen av øyeblikk rundt den sentrale aksen til seksjonen X intern normale spenninger.

Det er et forskjellsforhold mellom intern innsats

som brukes ved konstruksjon og kontroll av tomter Q og M.

Siden noen av bjelkefibrene er strukket, og noen er komprimerte, og overgangen fra strekk til kompresjon skjer jevnt, uten hopp, er det et lag i den midtre delen av bjelken, hvis fibre bare er bøyd, men ikke opplever enten spenning eller kompresjon. Dette laget kalles nøytralt lag... Linjen som det nøytrale laget skjærer med tverrsnittet til strålen kalles nøytral linje Thor nøytral akse seksjon. Nøytrale linjer er trukket på bjelkeaksen.

Linjer tegnet på siden av bjelken vinkelrett på aksen forblir flate når de bøyes. Disse eksperimentelle dataene lar oss legge hypotesen om flate seksjoner som grunnlag for konklusjonene til formlene. I følge denne hypotesen er seksjonene av bjelken flate og vinkelrett på aksen før de bøyes, forblir flate og viser seg å være vinkelrette på bjelkens buede akse under bøyning. Tverrsnittet av bjelken er forvrengt når den bøyes. På grunn av tverrgående deformasjon øker dimensjonene til tverrsnittet i bjelkens komprimerte sone, og i den strakte sonen komprimeres de.

Forutsetninger for utledning av formler. Normale spenninger

1) Hypotesen om flate seksjoner er oppfylt.

2) Langsgående fibre presser ikke mot hverandre og derfor under påvirkning av normale påkjenninger, lineær spenning eller kompresjonsarbeid.

3) Deformasjoner av fibre er ikke avhengig av deres plassering over seksjonsbredden. Følgelig forblir de normale spenningene, som endrer seg langs høyden av seksjonen, de samme langs bredden.

4) Bjelken har minst ett symmetriplan, og alle ytre krefter ligger i dette planet.

5) Bjelkens materiale følger Hookes lov, og elastisitetsmodulen i strekk og kompresjon er den samme.

6) Forholdet mellom dimensjonene til bjelken er slik at den opererer under plane bøyeforhold uten vridning eller vridning.

Med ren bøying virker bjelkene på plattformene i sin seksjon kun normale spenninger bestemt av formelen:

hvor y er koordinaten til et vilkårlig punkt i seksjonen, målt fra nøytrallinjen - hovedsentralaksen x.

Normale bøyespenninger langs seksjonshøyden fordeles over lineær lov... Ved de ytterste fibrene når normalspenningene sin maksimale verdi, og i tyngdepunktet er snittene lik null.

Arten av diagrammene over normale spenninger for symmetriske seksjoner i forhold til nøytrallinjen

Arten av diagrammene over normale spenninger for seksjoner som ikke har symmetri om nøytrallinjen

Punktene lengst fra nøytrallinjen er farlige.

La oss velge en del

La oss kalle det et punkt for ethvert punkt i delen TIL, betingelsen for bjelkens styrke under normale spenninger er som følger:

, hvor n.o. - dette er nøytral akse

dette er seksjonens aksiale motstandsmoment i forhold til den nøytrale aksen. Dimensjonen er cm 3, m 3. Motstandsmomentet karakteriserer påvirkningen av formen og dimensjonene til tverrsnittet på størrelsen på spenningene.

Styrketilstand for normale påkjenninger:

Normal spenning er lik forholdet mellom det maksimale bøyemomentet og det aksiale motstandsmomentet til seksjonen i forhold til den nøytrale aksen.

Hvis materialet ikke like motstand mot strekk og kompresjon, er det nødvendig å bruke to styrkeforhold: for strekksonen med en tillatt strekkspenning; for en kompresjonssone med tillatt trykkspenning.

Med tverrgående bøyning fungerer bjelkene på plattformene i sin seksjon som vanlig og tangenter Spenning.

Ved beregning av bøyeelementer av bygningskonstruksjoner for styrke, brukes metoden for beregning av begrensende tilstander.

Normale spenninger i tverrsnitt er i de fleste tilfeller av primær betydning for å vurdere styrken til bjelker og rammer. I dette tilfellet bør de høyeste normalspenningene som virker i de ytterste fibrene i bjelken ikke overstige en viss verdi som er tillatt for et gitt materiale. I beregningsmetoden for begrensende tilstand er denne verdien lik konstruksjonsmotstanden R, multiplisert med arbeidstilstandsfaktoren på s.

Styrketilstanden er som følger:

Verdiene R og med for ulike materialer er gitt i SNiP på bygningskonstruksjoner.

For bjelker laget av plastmateriale som like motstandsdyktig mot spenning og kompresjon, anbefales det å bruke seksjoner med to symmetriakser. I dette tilfellet er styrkebetingelsen (7.33), tatt i betraktning formel (7.19), skrevet i skjemaet

Noen ganger brukes bjelker med et asymmetrisk tverrsnitt av designmessige årsaker som en T-bjelke, en I-bjelke osv. I disse tilfellene er styrkebetingelsen (7.33), tatt i betraktning (7.17), skrevet i skjemaet

I formlene (7.34) og (7.35) W z og W HM - motstandsmomenter av seksjonen i forhold til den nøytrale aksen Oz „ M nb - det største i absolutt verdi bøyemomentet på grunn av dimensjonerende belastninger, dvs. tar hensyn til sikkerhetsfaktoren for lasten y ^.

Den delen av bjelken der det største bøyemomentet virker i absolutt verdi kalles farlig seksjon.

Ved beregning av styrken til strukturelle elementer som arbeider i bøying, løses følgende oppgaver: kontrollere styrken til strålen; seksjonsvalg; bestemmelse av bæreevnen (bæreevnen) til bjelken, de. bestemmelse av belastningsverdiene der de høyeste spenningene i den farlige delen av bjelken ikke overstiger verdiene y c R.

Løsningen av det første problemet er redusert til å kontrollere oppfyllelsen av styrkebetingelsene under kjente belastninger, formen og dimensjonene til seksjonen og materialets egenskaper.

Løsningen på det andre problemet er redusert til å bestemme dimensjonene til en seksjon med en gitt form under kjente belastninger og materialegenskaper. Først, fra styrkebetingelsene (7.34) eller (7.35), bestemmes verdien av det nødvendige motstandsmomentet

og deretter settes dimensjonene til seksjonen.

For rullede profiler (I-bjelker, kanaler), i henhold til verdien av motstandsmomentet, velges seksjonen i henhold til sortimentet. For ikke-rullede seksjoner settes de karakteristiske dimensjonene til seksjonen.

Når du løser problemet med å bestemme bæreevnen til en bjelke, først, fra styrkebetingelsene (7.34) eller (7.35), er verdien av det største designbøyemomentet funnet av formelen

Deretter uttrykkes bøyemomentet i den farlige seksjonen i form av belastningene som påføres bjelken, og de tilsvarende verdiene for belastningene bestemmes fra det oppnådde uttrykket. For eksempel, for stål-I-bjelken 130 vist i fig. 7.47, kl R = 210 MPa, med = 0,9, W z= 472 cm 3 finner vi

Fra diagrammet over bøyemomenter finner vi

Ris. 7,47

I bjelker belastet med store konsentrerte krefter nær støttene (fig. 7.48) kan bøyemomentet M nb være relativt lite, og skjærkraften 0 nb i absolutt verdi kan være betydelig. I disse tilfellene er det nødvendig å kontrollere bjelkens styrke for de høyeste skjærspenningene t nb. Styrkebetingelsen for skjærspenninger kan skrives som

hvor R s - design skjærmotstand for bjelkematerialet. Verdiene R s for grunnleggende byggematerialer er gitt i de relevante delene av SNiP.

Skjærspenninger kan være betydelige i banene til I-bjelker, spesielt i de tynne banene til polybjelker.

Skjærspenningsanalyse kan være kritisk for tømmerbjelker da tømmeret ikke motstår flising godt langs fibrene. Så, for eksempel, for furu, design strekk- og trykkmotstand i bøying R = 13 MPa, og ved klyving langs fibrene R CK= 2,4 MPa. En slik beregning er også nødvendig når du vurderer styrken til sammenføyningselementene til komposittbjelker - sveiser, bolter, nagler, dybler, etc.

Betingelsen for skjærstyrke langs fibrene for en trebjelke med rektangulært tverrsnitt, tatt i betraktning formel (7.27), kan skrives som

Eksempel 7.15. For strålen vist i fig. 7,49, en, bygge diagrammer Q y og M v velg tverrsnittet av bjelken i form av en rullet stål I-bjelke og bygg diagrammer med x og m i seksjoner med størst Q y og M z. Lastsikkerhetsfaktor y f = 1.2, design motstand R= 210 MPa = 21 kN / cm 2, koeffisient for arbeidsforhold med = 1,0.

Vi begynner beregningen med å bestemme støttereaksjonene:

La oss beregne verdiene Q y og M z i de karakteristiske delene av bjelken.

Tverrkrefter innenfor hver seksjon av bjelken er konstante verdier og har hopp i seksjoner under kraften og på støtten V. Bøyemomentene endres lineært. Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,49, b, c.

Et farlig parti er midt i bjelkespennet, hvor bøyemomentet er av størst betydning. La oss beregne den beregnede verdien av det største bøyemomentet:

Det nødvendige motstandsmomentet er

I henhold til sortimentet tar vi seksjon 127 og skriver ut de nødvendige geometriske egenskapene til seksjonen (fig. 7.50, en):

La oss beregne verdiene for de høyeste normale spenningene i den farlige delen av bjelken og sjekke styrken:

Styrken på bjelken er sikret.

Skjærspenninger har de største verdiene i seksjonen av bjelken, der den største i absolutt verdi virker skjærkraft (2 nb = 35 kN.

Beregnet skjærkraft

La oss beregne verdiene av skjærspenningene i I-bjelkeveggen på nivået av den nøytrale aksen og på nivået av grensesnittet mellom veggen og hyllene:

Diagrammer med x og x, i snitt l: = 2,4 m (til høyre) er vist i fig. 7,50, b, c.

Tegnet på skjærspenningene tas som negativt, som tilsvarer tegnet på skjærkraften.

Eksempel 7.16. For en trebjelke med rektangulært tverrsnitt (fig. 7.51, en) bygge diagrammer Q og M z, bestemme høyden på seksjonen h fra styrketilstanden, tar R = = 14 MPa, yy = 1,4 og med = 1.0, og kontroller skjærstyrken til bjelken langs det nøytrale laget, ta R CK = 2,4 MPa.

La oss definere støttereaksjoner:

La oss beregne verdiene Q v og M z
i de karakteristiske delene av bjelken.

Innenfor den andre seksjonen forsvinner sidekraften. Vi finner plasseringen av denne seksjonen fra likheten til trekantene på diagrammet Q y:

La oss beregne ekstremverdien av bøyemomentet i denne delen:

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,51, b, c.

Seksjonen av bjelken, der det maksimale bøyemomentet virker, er farlig. La oss beregne den beregnede verdien av bøyemomentet i denne delen:

Nødvendig motstandsmoment for seksjonen

La oss uttrykke ved hjelp av formel (7.20) motstandsmomentet gjennom høyden av snittet h og sidestille det med det nødvendige motstandsmomentet:

Vi aksepterer en rektangulær seksjon på 12x18 cm. Beregn de geometriske egenskapene til seksjonen:

La oss bestemme de høyeste normale spenningene i den farlige delen av bjelken og sjekke styrken:

Styrkebetingelsen er oppfylt.

For å kontrollere skjærstyrken til bjelken langs fibrene, er det nødvendig å bestemme verdiene for de maksimale skjærspenningene i seksjonen med den høyeste absolutte verdien av tverrkraften 0 nb = 6 kN. Den beregnede verdien av skjærkraften i denne delen

De maksimale skjærspenningene i tverrsnittet virker på nivå med nøytralaksen. I henhold til loven om paring virker de også i det nøytrale laget, og prøver å forårsake en forskyvning av en del av strålen i forhold til den andre delen.

Ved å bruke formel (7.27) beregner vi verdien av m maks og kontrollerer skjærstyrken til bjelken:

Skjærstyrkebetingelsen er oppfylt.

Eksempel 7.17. For en trebjelke med sirkulært tverrsnitt (fig. 7.52, en) bygge diagrammer Q y n M z n bestemme ønsket tverrsnittsdiameter fra styrketilstanden. I beregningene tar vi R= 14 MPa, yy = 1,4 og med = 1,0.

La oss definere støttereaksjoner:

La oss beregne verdiene Q og M 7 i de karakteristiske delene av bjelken.

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,52, b, c. Avsnittet om støtten er farlig. V med det største bøyemomentet i absolutt verdi M nb = 4 kNm. Den beregnede verdien av bøyemomentet i denne delen

Vi beregner det nødvendige motstandsmomentet til seksjonen:

Ved å bruke formel (7.21) for motstandsmomentet til en sirkulær seksjon, finner vi den nødvendige diameteren:

Vi vil godta D = 16 cm og bestemme de høyeste normalspenningene i bjelken:

Eksempel 7.18. Bestem bæreevnen til en boks-seksjonsbjelke 120x180x10 mm, lastet i henhold til diagrammet i fig. 7,53, en. La oss bygge diagrammer med x og t i en farlig del. Bjelkemateriale - stålkvalitet ВСтЗ, R = 210 MPa = 21 kN / cm 2, Y / = U, Oss =° '9 -

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,53, en.

Farlig er tverrsnittet av bjelken nær innstøpingen, der det største i absolutt verdi bøyemomentet M nb virker - Р1 = 3,2 R.

La oss beregne treghetsmomentet og motstandsmomentet til bokseksjonen:

Ved å ta hensyn til formelen (7.37) og den oppnådde verdien for L / nb, bestemmer vi den beregnede verdien av kraften R:

Normativ verdi av kraft

De største normalspenningene i bjelken fra designkraften

Vi beregner det statiske momentet til halvparten av seksjonen ^ 1/2 og det statiske momentet til hyllens tverrsnittsareal S n om den nøytrale aksen:

Skjærspenninger på nivå med nøytralaksen og på nivå med grensesnittet mellom flensen og veggene (fig. 7.53, b) er like:

Diagrammer Åh og t wow i seksjonen nær innstøpingen er vist i fig. 7,53, i, g.

For en utkragende bjelke belastet med en fordelt belastning av intensitet kN / m og et konsentrert moment kN tangentielle spenninger ved en tillatt tangentiell spenning kN / cm2. Bjelkedimensjoner m; m; m.

Designmodell for problemstillingen ved rett tverrbøying

Ris. 3.12

Løsningen på problemet "rett tverrbøyning"

Bestemme støttereaksjoner

Den horisontale reaksjonen i innstøpingen er null, siden ytre belastninger i z-retningen ikke virker på bjelken.

Vi velger retningene til de gjenværende reaktive kreftene som oppstår i tetningen: rett den vertikale reaksjonen, for eksempel nedover, og øyeblikket - med klokken. Deres verdier bestemmes fra ligningene for statikk:

Ved å komponere disse ligningene anser vi øyeblikket som positivt når vi roterer mot klokken, og projeksjonen av kraften er positiv hvis retningen sammenfaller med den positive retningen til y-aksen.

Fra den første ligningen finner vi øyeblikket i avslutningen:

Fra den andre ligningen - vertikal reaksjon:

De positive verdiene vi oppnådde for øyeblikket og vertikal reaksjon i avslutningen indikerer at vi gjettet retningene deres.

I samsvar med arten av festingen og belastningen av bjelken deler vi lengden i to seksjoner. Langs grensene til hver av disse seksjonene skisserer vi fire tverrsnitt (se fig. 3.12), der vi vil beregne verdiene av skjærkrefter og bøyemomenter ved hjelp av seksjonsmetoden (ROSU).

Seksjon 1. La oss mentalt kaste den høyre delen av strålen. Erstatt handlingen på den gjenværende venstre siden med en skjærkraft og et bøyemoment. For å gjøre det lettere å beregne verdiene deres, dekker vi den kasserte høyre siden av strålen med et stykke papir, og justerer venstre kant av arket med delen som vurderes.

Husk at skjærkraften som oppstår i ethvert tverrsnitt må balansere alle ytre krefter (aktive og reaktive) som virker på den delen av bjelken som vurderes (dvs. synlig). Derfor må skjærkraften være lik den algebraiske summen av alle kreftene vi ser.

La oss også gi tegnregelen for skjærkraften: en ytre kraft som virker på den betraktede delen av bjelken og har en tendens til å "rotere" denne delen i forhold til seksjonen med klokken, forårsaker en positiv skjærkraft i seksjonen. En slik ytre kraft er inkludert i den algebraiske summen for definisjonen med et plusstegn.

I vårt tilfelle ser vi bare reaksjonen til støtten, som roterer den delen av strålen vi ser i forhold til den første delen (i forhold til kanten av papirarket) mot klokken. Derfor

kN.

Bøyemomentet i enhver seksjon må balansere momentet som skapes av de ytre kreftene som er synlige for oss, i forhold til seksjonen som vurderes. Derfor er den lik den algebraiske summen av momentene til alle anstrengelser som virker på den delen av strålen som vurderes, i forhold til seksjonen som vurderes (med andre ord i forhold til kanten av papirarket). I dette tilfellet forårsaker den ytre belastningen, som bøyer den betraktede delen av bjelken med konveksiteten nedover, et positivt bøyemoment i seksjonen. Og øyeblikket opprettet av en slik belastning er inkludert i den algebraiske summen for definisjonen med et plusstegn.

Vi ser to forsøk: reaksjon og øyeblikk i avslutning. Kraften har imidlertid en skulder i forhold til seksjon 1 lik null. Derfor

kN m.

Vi tok plusstegnet fordi det reaktive momentet bøyer den synlige delen av strålen med en bule nedover.

Seksjon 2. Som før vil vi dekke hele høyre side av bjelken med et stykke papir. Nå, i motsetning til den første delen, har kraften en skulder: m. Derfor

kN; kN m.

Seksjon 3. Lukking av høyre side av bjelken finner vi

kN;

Seksjon 4. Lukk venstre side av bjelken med et blad. Deretter

kN m.

kN m.

.

Ved å bruke de funnet verdiene plotter vi diagrammene over skjærkrefter (fig. 3.12, b) og bøyemomenter (fig. 3.12, c).

Under de ubelastede seksjonene går skjærkraftdiagrammet parallelt med bjelkeaksen, og under den fordelte lasten q, langs en skråstilt rett linje oppover. Under støttereaksjonen på diagrammet er det et hopp ned med verdien av denne reaksjonen, det vil si med 40 kN.

I bøyemomentdiagrammet ser vi en knekk under støttereaksjonen. Bøyevinkelen er rettet mot reaksjonen til støtten. Under en distribuert last q endres diagrammet langs en kvadratisk parabel, hvis konveksitet er rettet mot lasten. I seksjon 6 på diagrammet er det et ekstremum, siden diagrammet over skjærkraften på dette stedet går gjennom en nullverdi her.

Bestem den nødvendige tverrsnittsdiameteren til bjelken

Den normale stressstyrketilstanden er som følger:

,

hvor er motstandsmomentet til bjelken under bøyning. For en bjelke med sirkulært tverrsnitt er det lik:

.

Det største bøyemomentet i absolutt verdi skjer i den tredje delen av bjelken: kN cm.

Deretter bestemmes den nødvendige bjelkediameteren av formelen

cm.

Vi aksepterer mm. Deretter

kN / cm2 kN / cm2.

"Overspenning" er

,

hva som er tillatt.

Vi sjekker bjelkens styrke for de høyeste skjærspenningene

De største skjærspenningene som oppstår i tverrsnittet til en sirkulær bjelke, beregnes med formelen

,

hvor er tverrsnittsarealet.

I følge diagrammet er skjærkraften med høyest algebraisk verdi kN. Deretter

kN / cm2 kN / cm2,

det vil si at også styrkebetingelsen for skjærspenninger er oppfylt, og med stor margin.

Et eksempel på løsning av problemet "rett tverrbøyning" nr. 2

Betingelse for et eksempel på et problem på en rett tverrbend

For en hengselstøttet bjelke belastet med en fordelt last av intensitet kN/m, konsentrert kraft kN og konsentrert moment kN tillatt skjærspenning kN/cm2. Bjelkespenn m.

Et eksempel på et problem med rett bøyning - designmodell

Ris. 3.13

Løse et eksempel på et problem med rett bøyning

Bestemme støttereaksjoner

For en gitt hengslet støttet bjelke er det nødvendig å finne tre støttereaksjoner:, og. Siden bare vertikale laster vinkelrett på dens akse virker på bjelken, er den horisontale reaksjonen til det faste dreielageret A null:.

Retninger av vertikale reaksjoner og vi velger vilkårlig. La oss for eksempel rette begge vertikale reaksjoner oppover. For å beregne verdiene deres, la oss komponere to statiske ligninger:

Husk at den resulterende lineære lasten, jevnt fordelt over en seksjon med lengde l, er lik, det vil si lik arealet av diagrammet for denne lasten, og den påføres i tyngdepunktet til dette diagrammet, det vil si, midt på lengden.

;

kN.

Vi gjør en sjekk:.

Husk at krefter hvis retning faller sammen med den positive retningen til y-aksen, projiseres (projiseres) på denne aksen med et plusstegn:

det er sant.

Plotte skjærkrefter og bøyemomenter

Vi deler lengden på bjelken i separate seksjoner. Grensene for disse seksjonene er brukspunktene for konsentrert innsats (aktiv og / eller reaktiv), samt punkter som tilsvarer begynnelsen og slutten av handlingen til den distribuerte lasten. Det er tre slike områder i vår problemstilling. Langs grensene til disse seksjonene skisserer vi seks tverrsnitt, der vi vil beregne verdiene av skjærkrefter og bøyemomenter (fig. 3.13, a).

Seksjon 1. La oss mentalt kaste den høyre delen av strålen. For å gjøre det lettere å beregne skjærkraften og bøyemomentet som oppstår i denne seksjonen, dekker vi delen av bjelken som er kastet av oss med et stykke papir, og justerer venstre kant av papiret med selve seksjonen.

Skjærkraften i bjelkesnittet er lik den algebraiske summen av alle ytre krefter (aktive og reaktive) som vi ser. I dette tilfellet ser vi reaksjonen til støtten og den lineære lasten q, fordelt over en uendelig liten lengde. Den resulterende lineære lasten er null. Derfor

kN.

Plusstegnet tas fordi kraften roterer den synlige delen av strålen i forhold til den første delen (kanten av papirarket) med klokken.

Bøyemomentet i seksjonen av bjelken er lik den algebraiske summen av momentene til alle kreftene vi ser, i forhold til seksjonen som vurderes (det vil si i forhold til kanten av papirarket). Vi ser reaksjonen til støtten og den lineære lasten q, fordelt over en uendelig liten lengde. Styrken har imidlertid en skulder på null. Den resulterende lineære lasten er også null. Derfor

Seksjon 2. Som før vil vi dekke hele høyre side av bjelken med et stykke papir. Nå ser vi reaksjonen og belastningen q som virker på et lengdesnitt. Den resulterende lineære lasten er lik. Den er festet i midten av en lang seksjon. Derfor

Husk at når vi bestemmer tegnet på bøyemomentet, frigjør vi mentalt den delen av bjelken som er synlig for oss fra alle faktiske støttefester og forestiller oss den som om den er klemt fast i den aktuelle delen (det vil si venstre kant av papirarket) er mentalt representert av oss som en stiv sel).

Seksjon 3. Lukk høyre side. Vi får

Seksjon 4. Lukk høyre side av bjelken med et ark. Deretter

Nå, for å kontrollere riktigheten av beregningene, vil vi dekke venstre side av strålen med et stykke papir. Vi ser den konsentrerte kraften P, reaksjonen til høyre støtte og den lineære lasten q, fordelt over en uendelig liten lengde. Den resulterende lineære lasten er null. Derfor

kN m.

Det vil si at alt stemmer.

Seksjon 5. Lukk som før venstre side av bjelken. Vil ha

kN;

kN m.

Seksjon 6. Igjen, lukk venstre side av strålen. Vi får

kN;

Ved å bruke de funnet verdiene plotter vi diagrammene over skjærkrefter (fig. 3.13, b) og bøyemomenter (fig. 3.13, c).

Vi sørger for at under den ubelastede seksjonen løper skjærkraftdiagrammet parallelt med bjelkeaksen, og under den fordelte lasten q - langs en rett linje som skråner nedover. Det er tre hopp på diagrammet: under reaksjonen - oppover med 37,5 kN, under reaksjonen - oppover med 132,5 kN, og under kraften P - nedover med 50 kN.

På diagrammet over bøyemomenter ser vi knekk under den konsentrerte kraften P og under støttereaksjonene. Vinklene på knekkene er rettet mot disse kreftene. Under en fordelt belastning av intensitet q, endres diagrammet langs en kvadratisk parabel, hvis konveksitet er rettet mot belastningen. Under det konsentrerte øyeblikket - et hopp på 60 kN · m, det vil si etter størrelsen på selve øyeblikket. I seksjon 7 på diagrammet er det et ekstremum, siden diagrammet over skjærkraften for denne seksjonen går gjennom nullverdien (). Bestem avstanden fra seksjon 7 til venstre støtte.