Konstruksjonen av innbyrdes perpendikulære linjer og plan er en viktig grafisk operasjon for å løse metriske problemer.

Konstruksjonen av en vinkelrett på en rett linje eller et plan er basert på egenskapen til en rett vinkel, som er formulert som følger: hvis en av sidene i en rett vinkel er parallell med projeksjonsplanet, og den andre ikke er vinkelrett på det, så projiseres vinkelen i full størrelse på dette planet.

Figur 28

Side BC av rett vinkel ABC, vist i figur 28, er parallell med planet P 1. Derfor vil projeksjonen av vinkelen ABC på dette planet representere den rette vinkelen A 1 B 1 C 1 = 90.

En rett linje er vinkelrett på et plan hvis den er vinkelrett på to kryssende rette linjer som ligger i dette planet. Når du konstruerer en vinkelrett fra settet med rette linjer som tilhører planet, velges de rette linjene på nivået - de horisontale og frontale. I dette tilfellet utføres den horisontale projeksjonen av perpendikulæren vinkelrett på horisontalen, og frontalprojeksjonen er vinkelrett på fronten. Eksemplet vist i figur 29 viser konstruksjonen av en vinkelrett på planet definert av trekanten ABC fra punkt K. For å gjøre dette, tegn først en horisontal og en frontal i planet. Så fra frontalprojeksjonen av punktet K tegner vi en vinkelrett på frontprojeksjonen av fronten, og fra den horisontale projeksjonen av punktet - en vinkelrett på horisontalprojeksjonen. Deretter konstruerer vi skjæringspunktet for denne perpendikulæren med planet ved hjelp av hjelpeskjæreplanet Σ. Det søkte punktet er F. Dermed er det resulterende segmentet KF vinkelrett på planet ABC.

Figur 29

Figur 29 viser konstruksjonen av vinkelrett KF til planet ABC.

To plan er vinkelrett hvis en rett linje som ligger i det ene planet er vinkelrett på to kryssende rette linjer i det andre planet. Konstruksjonen av et plan vinkelrett på dette planet ABC er vist i figur 30. Gjennom punktet M tegnes en rett linje MN, vinkelrett på planet ABC. Den horisontale projeksjonen av denne rette linjen er vinkelrett på AC, siden AC er horisontal, og frontprojeksjonen er vinkelrett på AB, siden AB er frontal. Deretter trekkes en vilkårlig rett linje EF gjennom punktet M. Dermed er planet vinkelrett på ABC og er gitt av to kryssende rette linjer EF og MN.

Figur 30

Denne metoden brukes til å bestemme de naturlige verdiene til segmenter i generell posisjon, så vel som deres helningsvinkler til projeksjonsplanene. For å bestemme den faktiske størrelsen på segmentet på denne måten, er det nødvendig å fullføre en rettvinklet trekant til en av projeksjonene til segmentet. Det andre benet vil være forskjellen i høyder eller dybder til endepunktene til segmentet, og hypotenusen vil være en naturlig verdi.

Tenk på et eksempel: Figur 31 viser et segment AB i generell posisjon. Det er påkrevd å bestemme dens fulle størrelse og helningsvinklene til frontale og horisontale projeksjonsplaner.

Tegn en vinkelrett på en av endene av linjestykket på horisontalplanet. Vi legger på den forskjellen i høyder (ZA-ZB) til endene av segmentet og fullfører å bygge en rettvinklet trekant. Hypotenusen er den naturlige verdien av segmentet, og vinkelen mellom den naturlige verdien og projeksjonen av segmentet er den naturlige verdien av helningsvinkelen til segmentet til planet P 1. Rekkefølgen på konstruksjonen på frontplanet er den samme. Plott forskjellen i dybden på endene av segmentet (YA-YB) langs vinkellinjen. Den resulterende vinkelen mellom den naturlige verdien av segmentet og dets frontale projeksjon er helningsvinkelen til segmentet til planet P2.

Figur 31

1. Formuler et teorem om rettvinkleegenskapen.

2. I hvilket tilfelle er linjen vinkelrett på planet?

3. Hvor mange rette linjer og hvor mange plan vinkelrett på et gitt plan kan trekkes gjennom et punkt i rommet?

4. Hva brukes den rettvinklede trekantmetoden til?

5. Hvordan bruke denne metoden for å bestemme helningsvinkelen til segmentet i generell posisjon til horisontalplanet av projeksjoner?

Innenfor rammen av dette emnet må du kunne:

• 1. Sett et plan vinkelrett på en rett linje.
• 2. Sett en rett linje vinkelrett på planet.

Når du løser disse sammenhengende problemene, er det viktig å forstå hvordan projeksjonene til perpendikulæren skal rettes i forhold til projeksjonene til planet. For å forstå dette skal vi løse oppgavene A og B.

Oppgave A

Tilstand. Gjennom punkt A, tatt på den rette linjen rn, tegn et plan vinkelrett på denne rette linjen.

Løsning. Det er kjent at plan vinkelrett på en rett linje, satte seg ned to rette linjer plassert i dette planet, vinkelrett på en gitt rett linje.

Derfor, i vårt tilfelle, gjennom punkt A, er det nok å tegne to rette linjer, som hver vil være vinkelrett på m. Da vil disse rette linjene i et par definere det ønskede planet.

La en av de rette linjene som definerer dette planet være horisontale. Dens frontale fremspring 1b vil passere horisontalt (fig. 4.7), og den horisontale projeksjonen h | - under direkte vinkel til m 1 (basert på rettvinklet projeksjonsteoremet).

Den andre rette linjen som definerer det ønskede planet vil være fronten. EU horisontal projeksjon f | vil passere horisontalt.

en frontal projeksjon f2 - jod i rette vinkler til mi (basert på samme teorem).

Ris. 4.7

Dermed er problemet løst. Ved å analysere det, kan vi legge merke til at med hensyn til det konstruerte planet (f x h), er den gitte linjen m vinkelrett. En viktig praktisk konklusjon følger av dette:

den horisontale projeksjonen av vinkelrett på planet skal løpe i rette vinkler til den horisontale projeksjonen av horisontalen, og frontprojeksjonen - i rette vinkler til frontprojeksjonen av fronten.

Oppgave B

Forhold. Senk perpendikulæren fra punkt B til DEF-planet (med definisjonen av synlighet, men med hensyn til planet).

Ris. 4.8a - grafiske forhold for problemet

Ris. 4,86

Ris. 4.8c - bestemmelse av basen og den naturlige størrelsen på perpendikulæren

Løsning. Først tegner vi anslagene DEF og B (Fig.4.8a).

Vi begynner å løse problemet og velger tre

karakteristiske stadier:

• 1. Plotte retninger for vinkelrette projeksjoner.
• 2. Konstruksjon av bunnen av perpendikulæren (punktet for skjæringspunktet med planet).
• 3. Bestemmelse av den naturlige størrelsen på perpendikulæren.

La oss utføre disse konstruksjonene. Først skisserer du retningen

vinkelrette projeksjoner. For å gjøre dette, først, i DEF-planet, må du tegne en horisontal h og en frontal f, som er landemerker for projeksjonene.

Nå vil vi finne bunnen av perpendikulæren som skjæringspunktet for den resulterende linjen med DEF-planet. Vi er allerede kjent med dette problemet (se avsnitt 3.3.4). I det betraktede eksemplet ligger det ønskede punktet K utenfor trekanten som avgrenser planet (fig. 4.8c). Den ligger på linje 2-3, som konstruksjonsmessig tilhører DEF-flyet. Dette betyr at det også hører med punktet K. Hvis projeksjonene til perpendikulæren er delvis eller fullstendig skjult av projeksjonene til trekanten DEF, så er det i tillegg nødvendig å bestemme sikten vinkelrett på planet.

Naturverdien til VC perpendikulæren kan bli funnet ved hjelp av en hvilken som helst av metodene diskutert tidligere i og. 2.2. I figur 4.8c er den rettvinklede trekantmetoden brukt til dette formålet.

Merk at dette problemet ofte er formulert som å bestemme avstanden fra punkt B til planet til trekanten DEF.

Kriteriet for perpendikulæriteten til en rett linje og et plan lar en konstruere en gjensidig vinkelrett linje og et plan, det vil si å bevise eksistensen av slike rette linjer og plan. La oss starte med å bygge et plan som er vinkelrett på en gitt linje og går gjennom et gitt punkt. La oss løse to konstruksjonsproblemer som tilsvarer to muligheter i plasseringen av et gitt punkt og en gitt rett linje.

Oppgave 1. Gjennom et gitt punkt A på en gitt rett linje tegner du et plan vinkelrett på denne rette linjen.

Vi tegner hvilke som helst to plan gjennom den rette linjen a og i hvert av disse planene gjennom punktet A tegner vi langs en rett linje vinkelrett på den rette linjen a, vi betegner dem b og c (fig. 2.17). Plan a, som går gjennom rette linjer bis, inneholder punkt A og er vinkelrett på rett linje a (ved tegnet på vinkelrett på linjen og planet). Derfor er planet a det ønskede. Problemet er løst.

Problemet har bare én (dvs. unik) løsning. Faktisk, la oss anta det motsatte. Så, i tillegg til planet a, går et annet plan P gjennom punktet A, vinkelrett på den rette linjen a (fig. 2.18). Ta inn i planet P enhver rett linje som går gjennom punkt A og ikke ligger i planet a. La oss tegne planet y gjennom de kryssende rette linjene a og. Planet y skjærer plan a langs den rette linjen q. Den rette linjen q faller ikke sammen med den rette linjen, siden q ligger i a ikke ligger i a. Begge disse rette linjene ligger i y-planet, går gjennom punkt A og er vinkelrett på den rette linjen a as og på samme måte som og. Men dette er i strid med den velkjente planimetrisetningen, ifølge hvilken bare én rett linje vinkelrett på denne rette linjen går gjennom hvert punkt i planet.

Så, forutsatt at to plan vinkelrett på den rette linjen passerer gjennom punkt A, har vi kommet til en selvmotsigelse. Derfor har problemet en unik løsning.

Oppgave 2. Gjennom et gitt punkt A, som ikke ligger på en gitt rett linje a, tegn et plan vinkelrett på denne rette linjen.

Tegn rett linje b gjennom punkt A, vinkelrett på linje a. La B være skjæringspunktet mellom a og b. Gjennom punkt B trekker vi også en rett linje c, vinkelrett på den rette linjen a (Fig. 2.19). Planet som går gjennom begge tegnede linjene vil være vinkelrett på a i henhold til perpendikularitetskriteriet (setning 2).

Som i oppgave 1 er det konstruerte planet det eneste. Faktisk, ta et hvilket som helst plan som går gjennom punkt A vinkelrett på linje a. Et slikt plan inneholder en rett linje vinkelrett på den rette linjen a og går gjennom punkt A. Men det er bare én slik rett linje. Dette er linje b, som går gjennom punkt B. Derfor må planet som går gjennom A og vinkelrett på linje a inneholde punkt B, og bare ett plan vinkelrett på linje a går gjennom punkt B (oppgave 1). Så, etter å ha løst disse konstruksjonsproblemene og bevist det unike med løsningene deres, har vi bevist følgende viktige teorem.

Teorem 3 (på et plan vinkelrett på en rett linje). Et plan vinkelrett på en gitt rett linje går gjennom hvert punkt, og dessuten bare ett.

Følge (på vinkelplanet). Linjer vinkelrett på en gitt linje ved et gitt punkt ligger i ett plan og dekker det.

La a - en gitt linje og A - noen av punktene. Et fly passerer gjennom den. Ved definisjonen av perpendiculariteten til en rett linje og et plan, er den dekket

dekket av rette linjer vinkelrett på linje a ved punkt A, dvs. gjennom hvert punkt i planet a i det går en rett linje vinkelrett på den rette linjen a.

Anta at en rett linje går gjennom punkt A som ikke ligger i planet a. La oss trekke gjennom den en rett linje et plan P. Planet P skjærer a langs en rett linje c (Fig. 2.20). Og siden har det vist seg at to rette linjer b og c, vinkelrett på den rette linjen a, går gjennom punkt A i planet P. Det er umulig. Derfor er det ingen rette linjer vinkelrett på den rette linjen a ved punktet A og som ikke ligger i planet a. De ligger alle i dette flyet.

Et eksempel på konsekvensen av teorem 3 er gitt av eikene i hjulet vinkelrett på aksen: når de roterer, sporer de et plan (mer presist, en sirkel), og tar alle posisjoner vinkelrett på rotasjonsaksen.

Setning 2 og 3 bidrar til å gi en enkel løsning på følgende problem.

Oppgave 3. Tegn en rett linje gjennom et punkt i et gitt plan, vinkelrett på dette planet.

La et plan a og et punkt A i planet a gis. La oss tegne i planet a gjennom punktet A en hvilken som helst rett linje a. Gjennom punkt A tegner vi et plan vinkelrett på den rette linjen a (oppgave 1). Flyet vil skjære plan a langs en rett linje b (fig. 2.21). La oss tegne i planet P gjennom punktet A en rett linje c, vinkelrett på den rette linjen b. Siden (siden c ligger i flyet

I), deretter ved teorem 2. Det unike med løsningen er etablert i avsnitt 2.1.

Kommentar. Om konstruksjoner i verdensrommet. Husk at vi i kapittel 1 studerer "konstruksjonsgeometri". Og på dette tidspunktet har vi løst tre problemer med å bygge i rommet. Hva forstås i stereometri med begrepene "konstruere", "tegne", "skrive inn", osv. Husk først konstruksjonene på et plan, og angir for eksempel hvordan man konstruerer en sirkel omskrevet om en trekant, og dermed beviser dens eksistens Generelt, når vi løser konstruksjonsproblemet, beviser vi eksistensteoremet for en figur med gitte egenskaper.Denne løsningen er redusert til å tegne en algoritme for å konstruere den ønskede figuren, det vil si å indikere sekvensen for å utføre de enkleste operasjonene som fører til ønsket resultat.sirkler og finne deres skjæringspunkter.Deretter, ved hjelp av tegneverktøy, kan du direkte tegne en figur på papir eller på et brett.

Så i planimetri har løsningen på konstruksjonsproblemet så å si to sider: teoretisk - konstruksjonsalgoritmen - og praktisk - implementeringen av denne algoritmen, for eksempel med et kompass og en linjal.

Det stereometriske konstruksjonsproblemet har bare én side - den teoretiske, siden det ikke finnes verktøy for konstruksjon i rommet, som ligner på et kompass og en linjal.

For de grunnleggende konstruksjonene i rommet er tatt de som er gitt av aksiomer og teoremer om eksistensen av linjer og plan. Dette er å tegne en rett linje gjennom to punkter, tegne et plan (Proposisjoner i seksjon 1.1 og aksiom 1 i seksjon 1.4), samt å konstruere en skjæringslinje mellom to konstruerte plan (aksiom 2 i seksjon 1.4). I tillegg vil vi naturligvis anta at det er mulig å utføre planimetriske konstruksjoner i allerede konstruerte plan.

Å løse et konstruksjonsproblem i rommet betyr å indikere sekvensen av grunnleggende konstruksjoner, som et resultat av hvilket den ønskede figuren oppnås. Vanligvis er ikke alle grunnkonstruksjoner eksplisitt angitt, men det vises til allerede løste konstruksjonsproblemer, d.v.s. til allerede beviste påstander og teoremer om muligheten for slike konstruksjoner.

I tillegg til konstruksjoner - eksistensteoremer i stereometri, er ytterligere to typer problemer knyttet til konstruksjoner mulig.

Først er oppgavene på bildet eller på tegningen. Dette er problemene på deler av polyedre eller andre kropper. Vi bygger faktisk ikke selve seksjonen, men bare avbilder den på

tegning eller tegning som vi allerede har. Slike konstruksjoner utføres som planimetriske, under hensyntagen til stereometriens aksiomer og teoremer og bildereglene. Problemer av denne typen løses stadig i tegning og i designpraksis.

Dernest oppgaver for bygningskropper på overflater. Oppgaven: "Konstruer punkter på overflaten av kuben, fjernt fra et gitt toppunkt i en gitt avstand" - løses ved hjelp av et kompass (hvordan?). Oppgaven: «Konstruer punkter på ballens overflate, fjernt fra et gitt punkt i en gitt avstand» – løses også ved hjelp av et kompass (hvordan?). Problemer av denne typen løses ikke i geometritimer - de løses hele tiden av markedsføreren, selvfølgelig, med den nøyaktigheten som verktøyene hans kan oppnå. Men når han løser slike problemer, er han avhengig av geometri.

Det vil ikke være en overdrivelse å si at konstruksjonen av gjensidig vinkelrette linjer og plan, sammen med bestemmelsen av avstanden mellom to punkter, er de viktigste grafiske operasjonene for å løse metriske problemer.

Den teoretiske forutsetningen for å konstruere projeksjoner av linjer og plan vinkelrett på hverandre i rommet på Monge-diagrammet er egenskapen nevnt tidligere (se § 6).

projeksjon av en rett vinkel, hvor en av sidene er parallelle med et hvilket som helst projeksjonsplan:

1. Gjensidig vinkelrette rette linjer.

For å kunne bruke den angitte egenskapen til å konstruere to rette linjer som krysser i en vinkel på 90 ° på Monge-diagrammet, må en av dem være parallell med et projeksjonsplan. La oss forklare hva som er sagt med eksempler.

EKSEMPEL 1. Tegn en rett linje l gjennom punkt A som skjærer den horisontale h i rett vinkel (fig. 249).

Siden en av sidene h i den rette vinkelen er parallell med planet π 1, projiseres den rette vinkelen på dette planet uten forvrengning. Derfor, gjennom A "tegner vi en horisontal projeksjon l" ⊥ h ". Marker punktet M" = l "∩ h". Finn M "(M" ∈ h "). Punktene A" og M "definerer l" (se fig. 249, a).

Hvis det er gitt en frontal f i stedet for horisontal, så er de geometriske konstruksjonene for å tegne en rett linje l ⊥ f lik de som nettopp er betraktet med den eneste forskjellen at konstruksjonen av en uforvrengt projeksjon av en rett vinkel bør begynne med en frontal projeksjon (se fig. 249, b).

EKSEMPEL 2. Tegn en rett linje l gjennom punkt A, som skjærer den rette linjen a, spesifisert av segmentet [BC], i en vinkel på 90 ° (fig. 250).

Siden dette segmentet inntar en vilkårlig posisjon i forhold til projeksjonsplanene, kan vi ikke, som i forrige eksempel, bruke egenskapen til spesialtilfellet projeksjon av en rett vinkel, derfor er det først nødvendig å oversette [BC] til en posisjon parallelt med et hvilket som helst projeksjonsplan.

I fig. 250 [BC] flyttet til en posisjon parallelt med planet π 3. Dette gjøres ved å bruke metoden for å erstatte projeksjonsplanene ved å erstatte planet π 1 → π 3 || [Sol].

Som et resultat av en slik utskifting i det nye systemet definerer x 1 π 2 / π 3 [ВС] en horisontal linje, derfor utføres all videre konstruksjon på samme måte som i forrige eksempel: etter at punktet M "1 ble funnet , ble det oversatt på de originale projeksjonsplanene til posisjonen M "og M", disse punktene sammen med A "og A" definerer projeksjonen av den rette linjen l.

EKSEMPEL 3. Utfør en horisontal projeksjon av siden [BC] av den rette vinkelen ABC, hvis frontprojeksjonen ∠A "B" C "og den horisontale projeksjonen av siden [A" B "] er kjent (fig. 251) .

1. Vi oversetter siden av vinkelen [VA] til posisjon || π 3 ved å gå fra systemet med projeksjonsplan xπ 2 / π 1 til den nye x 1 π 3 / π 2

2. Definer en ny frontalprojeksjon.

Fra В "1 gjenoppretter vi perpendikulæren til [В" 1 A "1]. På denne perpendikulæren definerer vi punktet С" 1 (С "1 er fjernet fra x-aksen 1 i en avstand | С x 1 С" 1 | = | С x С "| ).

4. Den horisontale projeksjonen C "er definert som skjæringspunktet mellom linjer (C" 1 C x 1) ∩ (C "C x) = C".

2. Gjensidig vinkelrett linje og plan.

Det er kjent fra stereometrikurset at en rett linje er vinkelrett på et plan dersom den er vinkelrett på minst to kryssende rette linjer som tilhører dette planet.

Hvis vi i planet ikke tar vilkårlige kryssende rette linjer, men dens horisontale og frontale, blir det mulig å bruke egenskapen til projeksjonen av den rette vinkelen, som ble gjort i eksempel 1, fig. 249.

Tenk på følgende eksempel; la fra punktet A ∈ α er det nødvendig å gjenopprette perpendikulæren til planet α (fig. 252).

Gjennom punkt A tegner vi en horisontal h og en frontal f av planet α. Da må per definisjon (AB) vinkelrett på planet α være vinkelrett på linjene h og f, dvs. Men siden av AM ∠ YOU || π 1, derfor projiseres ∠BAM på planet π 1, uten forvrengning, dvs. ... AK side ∠ VAK || π 2 og derfor på planet π 2, projiseres denne vinkelen også uten forvrengning, det vil si og ... Resonnementet ovenfor kan formuleres som følgende teorem: for at en rett linje i rommet skal være vinkelrett på planet, er det nødvendig og tilstrekkelig at på diagrammet er den horisontale projeksjonen av den rette linjen vinkelrett på den horisontale projeksjonen av horisontalplanet til planet, og frontprojeksjonen til frontprojeksjonen av fronten av dette flyet.

Hvis planet er gitt av spor, kan teoremet formuleres annerledes: for at en rett linje i rommet skal være vinkelrett på planet, er det nødvendig og tilstrekkelig at projeksjonene av denne rette linjen er vinkelrett på sporene med samme navn på planet.

Forholdet etablert av teoremet mellom en rett linje i rommet vinkelrett på planet og projeksjonene av denne rette linjen til projeksjonene av nivålinjene (sporene) til planet ligger til grunn for den grafiske algoritmen for å løse problemet med å tegne en rett linje vinkelrett til planet, samt å konstruere et plan vinkelrett på en gitt rett linje.

EKSEMPEL 1. Rekonstruer ved toppunktet A vinkelrett AD til planet ΔABC (fig. 253).

For å bestemme retningen til projeksjonene til perpendikulæren, utfører vi projeksjonene av horisontal h og front f av planet ΔABS. Etter det, fra punkt A "gjenoppretter vi perpendikulæren til h", og fra punkt A "- til f".

EKSEMPEL 2. Fra punkt A, som tilhører planet α (m || n), gjenopprett vinkelrett på dette planet (fig. 254).

LØSNING. For å bestemme retningen til projeksjonene til den perpendikulære l "og l", som i forrige eksempel, tegn gjennom punktet A (A ", A") en horisontal h (h ", h") som tilhører planet α. Når vi kjenner retningen h ", konstruerer vi en horisontal projeksjon av perpendikulæren l" (l "⊥ h"). For å bestemme retningen til frontprojeksjonen av perpendikulæren gjennom punktet A (A ", A"), tegn frontal f (f ", f") av planet α. På grunn av parallelliteten f til frontprojeksjonsplanet, projiseres den rette vinkelen mellom l og f på π 2 uten forvrengning, så vi tegner l "⊥ f".

I fig. 255 det samme problemet er løst for tilfellet når planet α er gitt av spor. For å bestemme retningene til projeksjonene til perpendikulæren, er det ikke nødvendig å tegne en horisontal linje og en front

heist, siden deres funksjoner utføres av sporene til planet h 0α og f 0α. Som det fremgår av tegningen er løsningen redusert til å trekke gjennom punktene A "og A" projeksjonene l "⊥ h 0α og l" ⊥ f 0α.

EKSEMPEL 3. Konstruer et plan γ, vinkelrett på en gitt rett linje l og som går gjennom et gitt punkt A (fig. 256).

LØSNING. Tegn en horisontal h og en frontal f gjennom punkt A. Disse to kryssende linjene definerer et plan; slik at den er vinkelrett på linjen l, er det nødvendig at linjene h og f danner en vinkel på 90 ° med linjen l. For å gjøre dette, tegn h "⊥ l" og f "⊥ l". Frontprojeksjon h "og horisontal projeksjon f" er tegnet parallelt med x-aksen.

Det vurderte tilfellet gjør det mulig å løse problemet gitt i eksempel 3 på en annen måte (s. 175 fig. 251). Siden [BC] ∠ABS må tilhøre planet γ ⊥ [AB] og passere gjennom punkt B (fig. 257).

Denne tilstanden bestemmer forløpet for å løse problemet, som består i følgende: vi omslutter punkt B i planet γ ⊥ [AB], for dette, gjennom punkt B, tegner vi horisontal og frontal av planet γ slik at h "⊥ A" B "og f" ⊥ A "B".

Punkt С ∈ (ВС) som tilhører planet γ, derfor, for å finne dens horisontale projeksjonen, trekk gjennom С "en vilkårlig rett linje 1" 2 "tilhører planet γ; definer den horisontale projeksjonen av denne rette linjen 1" 2 " og merk punktet є (С "bestemmes av skjæringspunktet mellom kommunikasjonslinjen - vinkelrett falt fra C", med horisontal projeksjon av den rette linjen 1 "2"). C "sammen med B" definerer en horisontal projeksjon (BC) ⊥ (AB).

3. Gjensidig vinkelrette plan.

To plan er vinkelrett hvis ett av dem inneholder en rett linje vinkelrett på det andre planet.

Basert på definisjonen av vinkelrettheten til planene løser vi problemet med å konstruere planet β, vinkelrett på planet α, på følgende måte: tegne en rett linje l, vinkelrett på planet α; vi omslutter den rette linjen l i planet β. Planet β ⊥ α, siden β ⊃ l ⊥ α.

Mange plan kan trekkes gjennom linjen l, så problemet har mange løsninger. For å gjøre svaret mer spesifikt må tilleggsbetingelser spesifiseres.

EKSEMPEL 1. Gjennom denne rette linjen a tegner du planet β, vinkelrett på planet α (fig. 258).

LØSNING. Vi bestemmer retningen til projeksjonene til vinkelrett på planet α, for dette finner vi den horisontale projeksjonen av horisontalen (h ") og frontprojeksjonen av fronten (f"); fra projeksjonene til et vilkårlig punkt A ∈ α tegner vi projeksjonene av perpendikulæren l "⊥ h" og l "⊥ f". Planet β ⊥ α, siden β ⊃ l ⊥ α.

EKSEMPEL 2. Tegn gjennom dette punktet A et horisontalt utstikkende plan γ, vinkelrett på planet α, gitt av sporene (Fig. 259, a).

Det søkte planet γ må inneholde en rett linje vinkelrett på α-planet, eller være vinkelrett på en rett linje som tilhører α-planet. Siden γ-planet må projisere horisontalt, må den rette linjen vinkelrett på det være parallell med π 1-planet, det vil si være horisontalplanet til α-planet eller (som er det samme) horisontalsporet til dette planet - h 0α Derfor, gjennom det horisontale projeksjonspunktet A "tegner vi et horisontalt spor h 0γ ⊥ h 0α et frontalt spor f 0γ ⊥ av x-aksen.

I fig. 259, b viser et frontprojeksjonsplan γ som går gjennom punkt B og vinkelrett på planet π 2.

Det kan sees fra tegningen at et særtrekk ved diagrammet, hvor to innbyrdes vinkelrette plan er satt, hvorav det ene er frontalt ragerende, er vinkelrettheten til deres frontale spor f 0γ ⊥ f 0α, det horisontale sporet til frontalt. det projiserte planet er vinkelrett på x-aksen.

Av alle mulige posisjoner til en rett linje som skjærer et plan, merker vi tilfellet når den rette linjen er vinkelrett på planet, og vurderer egenskapene til projeksjonene til en slik rett linje.

I fig. 185 er gitt et plan definert av to kryssende linjer AN og AM, hvor AN er horisontal og AM er frontal til dette planet. Linje AB, vist på samme tegning, er vinkelrett på AN og AM og derfor vinkelrett på planet de definerer.

En vinkelrett på et plan er vinkelrett på en hvilken som helst rett linje tegnet i det planet. Men for at projeksjonen av vinkelrett på planet med generell posisjon skal være vinkelrett på projeksjonen med samme navn av en rett linje i dette planet, må den rette linjen være en horisontal, en frontal eller en profilrett linje av flyet. Derfor, som ønsker å konstruere en perpendikulær til planet, tar de vanligvis to slike rette linjer (for eksempel en horisontal og en frontal, som vist i fig. 185).

Så, i vinkelrett på planet er dens horisontale projeksjon vinkelrett på horisontalprojeksjonen av horisontalen, frontalprojeksjonen er vinkelrett på frontalprojeksjonen av fronten, profilprojeksjonen er vinkelrett på profilprojeksjonen til profillinjen til dette planet.

Åpenbart, i tilfellet når flyet uttrykkes med spor (fig. 186), får vi følgende konklusjon: hvis linjen er vinkelrett på planet, så er den horisontale projeksjonen av denne linjen vinkelrett på det horisontale sporet av planet, og frontprojeksjonen er vinkelrett på frontalsporet til planet.

Så hvis i systemet π ​​1, π 2 er den horisontale projeksjonen av den rette linjen vinkelrett på den horisontale kurven og den frontale projeksjonen av den rette linjen er vinkelrett på den frontale kurven til planet, så når det gjelder plan i generell posisjon (fig. 186), samt horisontalt og frontalt utstående, er den rette linjen vinkelrett på planet... Men for et profilprojeksjonsplan kan det vise seg at den rette linjen til dette planet ikke er vinkelrett, selv om

projeksjonene av den rette linjen er henholdsvis vinkelrett på de horisontale og frontale sporene til planet. Derfor, i tilfelle av et profilprojeksjonsplan, er det også nødvendig å vurdere den relative posisjonen til profilprojeksjonen av den rette linjen og profilsporet til det gitte planet og først da fastslå om den gitte linjen og planet vil være vinkelrett på hverandre,

Åpenbart (fig. 187) går den horisontale projeksjonen av perpendikulæren til planet sammen med den horisontale projeksjonen av skråningslinjen tegnet i planet gjennom bunnen av perpendikulæren.

I fig. 186 fra punkt A, tegnes en perpendikulær til pl. α (A "C" ⊥ f "0α, A" C "⊥h" 0α) og viser konstruksjonen av punktet E, der den perpendikulære AC skjærer kvadratet. α. Konstruksjonen utføres ved hjelp av en horisontalt utstikkende firkant. β trukket gjennom den perpendikulære AE.

I fig. 188 viser konstruksjonen av perpendikulæren til planet definert av trekanten ABC. Perpendikulæren trekkes gjennom punkt A.

Siden frontprojeksjonen av vinkelrett på planet bør være vinkelrett på frontprojeksjonen av fronten av planet, og dens horisontale projeksjon er vinkelrett på horisontal projeksjon av horisontalen, fronten med projeksjoner A "D" og A "D " og den horisontale A "E" er tegnet i planet gjennom punkt A ", A" E ", Selvfølgelig trenger disse linjene ikke å tegnes nøyaktig gjennom punkt A.

Deretter tegnes projeksjonene av perpendikulæren: M "N" ⊥A "D", M "N" ⊥A "E". Hvorfor anslag i fig. 188 i seksjonene A "N" og A "M" er vist med stiplede linjer? For her tar vi for oss planet definert av trekanten ABC, og ikke bare denne trekanten: perpendikulæren er delvis foran planet, delvis bak.

I fig. 189 og 190 viser konstruksjonen av et plan som går gjennom punkt A vinkelrett på linjen BC. I fig. 189-flyet uttrykkes med spor. Konstruksjonen begynner med å tegne den horisontale linjen til det ønskede planet gjennom punkt A: siden det horisontale sporet til planet må være vinkelrett på B "C", så må horisontalprojeksjonen av horisontalen også være vinkelrett på B "C". Derfor A "N" ⊥B "C". Projeksjon A "N" || av x-aksen, slik det skal være for horisontal. Deretter trekkes sporet f "0α ⊥В" С "gjennom punktet N" (N "er frontprojeksjonen av frontsporet til det horisontale AN), punktet X α oppnås og sporet h" 0α || A "N " (h "0α ⊥В" MED").

I fig. 190-planet er definert av dets frontale AM ​​og horisontale AN. Disse rette linjene er vinkelrett på BC (A "M" ⊥B "C", A "N" ⊥B "C"); planet de definerer er vinkelrett på BC.

Siden vinkelrett på planet er vinkelrett på hver rett linje tegnet i dette planet, kan du, etter å ha lært å tegne planet vinkelrett på den rette linjen, bruke dette til å tegne en vinkelrett fra et punkt A til linjen i generell posisjon BC . Selvfølgelig kan du skissere følgende plan for å konstruere projeksjoner av den ønskede rette linjen:

1) tegne et plan gjennom punkt A (la oss kalle det γ), vinkelrett på BC;

2) bestem punktet K for skjæringspunktet mellom den rette linjen BC med pl. y;

3) koble punktene A og K med et rett linjestykke.

Rette linjer AK og BC er innbyrdes vinkelrette.

Et eksempel på konstruksjon er gitt i fig. 191. Gjennom punkt A tegnes et plan (γ), vinkelrett på BC. Dette gjøres ved å bruke en frontal projeksjon A "F" som er tegnet vinkelrett på frontal projeksjonen B "C", og en horisontal linje, hvor en horisontal projeksjon er vinkelrett på B "C".

Da ble punktet K funnet, der linjen BC skjærer kvadratet. γ. For dette trekkes et horisontalt projeksjonsplan β gjennom den rette linjen BC (på tegningen er det gitt kun av det horisontale sporet (β "). Pl. Β skjærer området γ i en rett linje med projeksjonene 1" 2 "og 1" 2 ". Ved skjæringspunktet mellom denne rette linjen med rett linje BC viser seg punktet K. Linje AK ​​er den nødvendige vinkelrett på BC Faktisk, rett linje AC skjærer rett linje BC og er plassert i kvadrat γ, vinkelrett på rett linje BC ; derfor AK⊥BC.

I § ​​15 ble det vist (fig. 92) hvordan man kan tegne en perpendikulær fra et punkt til en rett linje. Men der ble det gjort ved å introdusere et ekstra plan i systemet π 1, π 2 og dermed danne systemet π 3, π 1, der kvadratet. π 3 er trukket parallelt med en gitt rett linje. Vi anbefaler å sammenligne konstruksjonene gitt i fig. 92 og 191.

I fig. 192 viser et plan i generell posisjon - α, som går gjennom punkt A, og vinkelrett AM på denne flatheten, fortsetter til skjæringspunktet med pl. π 1 ved punkt B ".

Vinkel φ 1 mellom pl. α, og kvadrat π 1 og vinkelen φ mellom den rette linjen AM og kvadrat. π 1 er de spisse hjørnene til den rettvinklede trekanten B "AM", og derfor φ 1 + φ = 90 °. Tilsvarende, hvis kvadrat α er lik kvadrat. π 2 vinkelen σ 2, og den rette linjen AM, vinkelrett på α, er med pl. π 2 vinkel σ, så σ 2 + σ = 90 °. Fra dette, først og fremst, følger det at planet i generell posisjon, som skal lage en vinkel φ 1 med kvadrat π 1, og med kvadrat. π 2 vinkel σ 2 kan kun konstrueres hvis 180 °> φ 1 + σ 2> 90 °.

Hvis vi legger til ledd for ledd φ 1 + φ = 90 ° og σ 2 + σ = 90 °, får vi φ 1 + σ 2 + φ + σ = 180 °, det vil si φ 1 + σ 2 90 °. Hvis vi tar φ 1 + σ 2 = 90 °, får vi et profilprojeksjonsplan, og hvis vi tar φ 1 + σ 2 = 180 °, får vi et profilplan, dvs. i begge disse tilfellene er ikke flyet i generell posisjon, men spesielt.