Kapittel V*. Ligninger av linjer og plan i rommet.

§64. Generell planligning

La oss vurdere et vilkårlig plan i rommet. La M 0 ( X 0 ; på 0 , z 0) er et punkt på dette planet, og P = (A; B; C) - hvilken som helst av dens normalvektorer. I forrige avsnitt ble det bevist at ligningen til dette planet har formen

EN( x - x 0) + V ( å - å 0) + C ( z - z 0) = 0.

La oss skrive det slik:

EN X+B y+C z- A X 0 - B y 0 - C z 0 = 0.

Utpeke nummeret - A X 0 - B y 0 - C z 0 til og med D, får vi ligningen

EN X+B y+C z+ D = 0. (1)

Dermed kan hvert plan i rommet spesifiseres ved likning (1), det vil si en lineær likning med tre variabler.

Det motsatte utsagnet er også sant: hver lineær ligning med tre variabler, det vil si hver ligning på formen (1), definerer et plan.

Faktisk, i ligning (1) er minst én av koeffisientene A, B, C ikke lik null, ellers er ligning (1) ikke lineær. La for eksempel C =/= 0, så kan ligningen skrives om som følger:

A ( X- 0) + B( på-0) + C ( z+ D / C) = 0.

I henhold til forrige avsnitt, definerer den resulterende ligningen, og derfor ligning (1), et plan som går gjennom punktet M 0 (0; 0; - D / C) vinkelrett på vektoren n(A; B; C).

Ligning (1) kalles generell planligning.

Vi understreker at i denne ligningen er koeffisientene A, B, C koordinatene til normalvektoren til planet.

For eksempel, hvis planet er gitt av ligning 3 X + 4y- 5z+ 17 = 0, da kan vi umiddelbart si at den er vinkelrett på vektoren (3; 4; -5).

Oppgave. Finn enhetsnormalvektoren til planet

7X + 4på - 4z + 1 = 0.

Som normalvektoren til dette planet kan vi ta vektoren P = (7; 4; -4). La oss finne lengden: | P | = √49 + 16 + 16 = 9. Derfor er enhetsnormalvektoren vektoren (7 / 9 ; 4 / 9 ;- 4 / 9). Vektoren motsatt av den (- 7/9 ;- 4/9 ;- 4/9) vil selvsagt også være normalenhetsvektoren til det gitte planet.

La oss vurdere hvordan flyet er plassert i forhold til koordinatsystemet avhengig av verdiene til A, B, C, D i den generelle ligningen til planet.

a) Hvis i ligning (1) A = 0, dvs. hvis denne ligningen har formen B y+C z+ D = 0, da har normalvektoren koordinater (0; B; C). En vektor med slike koordinater er vinkelrett på aksen Åh, derfor er planet parallelt med denne aksen. Hvis ikke bare A = 0, men også D = 0, det vil si hvis ligningen har formen B y+C z= 0, så går flyet gjennom origo. Derfor, i tilfellet A = D = 0, går planet gjennom aksen Åh, Tilfellene når B = 0 (planet er parallelt med ordinataksen) eller C = 0 (planet er parallelt med den aktuelle aksen) betraktes på samme måte.

b) Hvis i ligning (1) A = 0 og B = 0, dvs. hvis ligningen har formen C z+ D = 0, da har normalvektoren koordinater (0; 0; C). En vektor med disse koordinatene er vinkelrett på planet xOy derfor er i dette tilfellet planet (1) parallelt koordinatplan xOy. Hvis ikke bare A = B = 0, men også D = 0, det vil si hvis ligningen har formen C z= 0, da er ikke planet bare parallelt med koordinatplanet xOy, men går også gjennom origo. Derfor, i tilfellet A = B = D = 0, spesifiserer ligning (1) koordinatplanet xOy.

Tilfeller vurderes på samme måte når et annet par koeffisienter for variablene x, y, z i ligning (1) er lik null.

c) Hvis i ligning (1) D = 0, dvs. hvis ligningen har formen A X+B y+C z= 0, så går planet gjennom origo vinkelrett på vektoren (A; B; C).

d) Hvis i ligning (1) alle koeffisientene til variablene og frileddet er forskjellige fra null, kan det transformeres til en ligning av planet i segmenter:

I dette tilfellet skjærer flyet koordinataksene ved punktene:
(- D/A; 0; 0), (0;- D/B; 0), (0; 0; - D/C). Det er enkelt å konstruere et fly ved å bruke disse tre punktene.

Den generelle ligningen for en rett linje kalles fullstendig, hvis alle dens koeffisienter ikke er lik 0. ellers kalles ligningen ufullstendig.

D=0 Axe+By+Cz=0– fly, passerer gjennom opprinnelsen.

De resterende tilfellene bestemmes av posisjonen til normalvektoren n=( A;B;C).

A=0 Ву+Сz+D=0– flyets ligning, parallelt med okseaksen.(Fordi normalvektoren n=( 0;B;C) er vinkelrett på okseaksen).

B=0 Ah+Сz+D=0 - planligning, parallelt med Oy-aksen.(Fordi normalvektoren n=( A;0;C) er vinkelrett på Oy-aksen).

С=0 Ah+Woo+D=0 - planligning, parallelt med O-aksenz. (Fordi normalvektoren n=( A;B;0) er vinkelrett på Oz-aksen).

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – planligning, parallelt med flyet Oxy (siden dette planet er parallelt med Ox- og Oy-aksene).

A=C=0 Ву+D=0 - у=-D/В- ligning av et plan parallelt med Oxz-planet (siden dette planet er parallelt med Ox- og Oz-aksene).

B=C=0 Ах+D=0 – x=-D/A- ligning av et plan parallelt med Oyz-planet (siden dette planet er parallelt med Oy- og Oz-aksene).

A=D=0 Ved+Cz=0 - ligning av et plan som går gjennom okseaksen.

B=D=0 Axe+Cz=0 - ligning av et plan som passerer gjennom Oy-aksen.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Oksykoordinatplan.(siden dette planet er parallelt med Ox og går gjennom origo).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – koordinatplan Охz.(siden dette planet er parallelt med Oxz og går gjennom origo).

B=C=D=0 Ax=0 (x=0) – koordinatfly Oyz.(siden dette planet er parallelt med Оуz og går gjennom origo).

Ligning av et plan som går gjennom tre gitte punkter.

La oss utlede ligningen til et plan som går gjennom 3 forskjellige punkter M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2​; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3), ikke liggende på en rett linje. Deretter vektorene M 1 M 2 =(x2-xl;y2-yl;z2-zl) og M 1 M 3 =(x3-x1;y3-y1;z3-z1) er ikke kolineære. Derfor ligger punktet M(x,y,z) i samme plan med punktene M 1, M 2 og M 3 hvis og bare hvis vektorene M 1 M 2 , M 1 M 3 Og M 1 M=(x-x 1; y-y 1; z-z 1) - koplanar, dvs.  når deres blandede produkt er 0

(M 1 MM 1 M 2 · M 1 M 3 =0) , dvs.

(4) Ligning av et plan som går gjennom 3 gitte punkter.

(Ved å utvide determinanten langs 1. linje og forenkle får vi den generelle likningen til planet: Ax+By+Cz+D=0).

At. tre punkter definerer et plan unikt.

Ligning av et plan i segmenter på akser.

Planet Π skjærer koordinataksene i punktene M 1 (a;0;0), M 2 (0;b;0), M 3 (0;0;c).

M(x;y;z) er et variabelt punkt i planet.

M 1 M=(x-a;y;z)

M 1 M 2 =(0-a;b;0) definere dette planet

M 1 M 3 =(-a;0;c)

De. M 1 MM 1 M 2 · M 1 M 3 =0

La oss utvide langs den første linjen: (x-a)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

La oss dele likheten med abc≠0. Vi får:

(5) likning av planet i segmenter på aksene.

Ligning (5) kan fås fra den generelle ligningen til planet, forutsatt at D≠0, divider med D

Ved å angi –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c – får vi ligning 4.

Vinkelen mellom to plan. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av plan.

Vinkelen φ mellom to plan α 1 og α 2 måles ved planvinkelen mellom 2 stråler vinkelrett på den rette linjen som disse planene skjærer. Hvilke som helst to kryssende plan danner to vinkler som summerer seg til . Det er nok å bestemme en av disse vinklene.

La planene defineres ved generelle ligninger:

 1 : A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : EN 2 x+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 =0

Ligning av et plan. Hvordan skrive en ligning av et fly?
Gjensidig ordning fly. Oppgaver

Romlig geometri er ikke mye mer komplisert enn "flat" geometri, og våre flyvninger i verdensrommet begynner med denne artikkelen. For å mestre temaet må du ha god forståelse for vektorer, i tillegg er det tilrådelig å være kjent med flyets geometri - det vil være mange likheter, mange analogier, så informasjonen vil bli fordøyd mye bedre. I en serie av leksjonene mine åpner 2D-verdenen med en artikkel Ligning av en rett linje på et plan. Men nå har Batman forlatt flatskjerm-TV-skjermen og lanserer fra Baikonur Cosmodrome.

La oss starte med tegninger og symboler. Skjematisk kan flyet tegnes i form av et parallellogram, som skaper inntrykk av rom:

Flyet er uendelig, men vi har muligheten til å avbilde bare et stykke av det. I praksis, i tillegg til parallellogrammet, tegnes også en oval eller til og med en sky. Av tekniske årsaker er det mer praktisk for meg å avbilde flyet på akkurat denne måten og i akkurat denne posisjonen. Ekte fly som vi vil vurdere i praktiske eksempler, kan plasseres på hvilken som helst måte - mentalt ta tegningen i hendene og roter den i rommet, og gi flyet enhver helning, hvilken som helst vinkel.

Betegnelser: fly er vanligvis merket med små greske bokstaver, tilsynelatende for ikke å forveksle dem med rett linje på et fly eller med rett linje i rommet. Jeg er vant til å bruke bokstaven. På tegningen er det bokstaven "sigma", og ikke et hull i det hele tatt. Selv om det hullete flyet absolutt er ganske morsomt.

I noen tilfeller er det praktisk å bruke de samme greske bokstavene med lavere tegn for å angi fly, for eksempel .

Det er åpenbart at planet er unikt definert av tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme linje. Derfor er trebokstavsbetegnelser for fly ganske populære - for eksempel etter punktene som tilhører dem, etc. Ofte er bokstaver vedlagt i parentes: , for ikke å forveksle flyet med en annen geometrisk figur.

For erfarne lesere vil jeg gi hurtigtilgangsmeny:

• Hvordan lage en ligning av et plan ved å bruke et punkt og to vektorer?
• Hvordan lage en ligning av et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke syte i lang ventetid:

Generell planligning

Den generelle ligningen til planet har formen , hvor koeffisientene ikke er lik null på samme tid.

En rekke teoretiske beregninger og praktiske problemer er gyldige både for det vanlige ortonormale grunnlaget og for det affine grunnlaget for rom (hvis oljen er olje, gå tilbake til leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer). For enkelhets skyld vil vi anta at alle hendelser skjer på ortonormal basis og et kartesisk rektangulært koordinatsystem.

La oss nå øve litt på vår romlige fantasi. Det er greit hvis din er dårlig, nå skal vi utvikle den litt. Selv å spille på nerver krever trening.

I det mest generelle tilfellet, når tallene ikke er lik null, skjærer planet alle tre koordinataksene. For eksempel slik:

Jeg gjentar nok en gang at flyet fortsetter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighet til å avbilde bare en del av det.

La oss vurdere de enkleste likningene av fly:

Hvordan forstå denne ligningen? Tenk på det: "Z" er ALLTID lik null, for alle verdier av "X" og "Y". Dette er ligningen til det "native" koordinatplanet. Formelt kan ligningen faktisk omskrives som følger: , hvor du tydelig kan se at vi ikke bryr oss om hvilke verdier "x" og "y" tar, er det viktig at "z" er lik null.

Like måte:
– ligning av koordinatplanet;
– ligningen til koordinatplanet.

La oss komplisere problemet litt, vurdere et plan (her og videre i avsnittet antar vi at de numeriske koeffisientene ikke er lik null). La oss omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstå det? "X" er ALLTID, for alle verdier av "Y" og "Z", lik et visst tall. Dette planet er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og går gjennom et punkt.

Like måte:
– ligning av et plan som er parallelt med koordinatplanet;
– ligning av et plan som er parallelt med koordinatplanet.

La oss legge til medlemmer: . Ligningen kan skrives om som følger: , det vil si at "zet" kan være hva som helst. Hva betyr det? "X" og "Y" er forbundet med relasjonen, som tegner en viss rett linje i planet (du vil finne ut ligning av en linje i et plan?). Siden "z" kan være hva som helst, blir denne rette linjen "replisert" i hvilken som helst høyde. Dermed definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

Like måte:
– ligning av et plan som er parallelt med koordinataksen;
– ligning av et plan som er parallelt med koordinataksen.

Hvis de frie leddene er null, vil flyene direkte passere gjennom de tilsvarende aksene. For eksempel den klassiske "direkte proporsjonalitet": . Tegn en rett linje i flyet og multipliser den mentalt opp og ned (siden "Z" er hvilken som helst). Konklusjon: planet definert av ligningen går gjennom koordinataksen.

Vi fullfører gjennomgangen: flyets ligning går gjennom origo. Vel, her er det ganske åpenbart at poenget tilfredsstiller denne ligningen.

Og til slutt, tilfellet vist på tegningen: – flyet er vennlig med alle koordinatakser, mens det alltid "skjærer av" en trekant, som kan være plassert i hvilken som helst av de åtte oktantene.

Lineære ulikheter i rommet

For å forstå informasjonen må du studere godt lineære ulikheter i planet, fordi mange ting vil være like. Avsnittet vil være av en kort oversiktskarakter med flere eksempler, siden stoffet er ganske sjeldent i praksis.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulikhetene
spørre halve mellomrom. Hvis ulikheten ikke er streng (de to siste i listen), så inkluderer løsningen av ulikheten, i tillegg til halvrommet, også selve flyet.

Eksempel 5

Finn enhetsnormalvektoren til planet .

Løsning: En enhetsvektor er en vektor hvis lengde er én. La oss betegne gitt vektor gjennom. Det er helt klart at vektorene er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra ligningen til planet: .

Hvordan finne en enhetsvektor? For å finne enhetsvektoren trenger du hver del vektorkoordinaten med vektorlengden.

La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:

I henhold til ovenstående:

Svar:

Verifikasjon: hva som kreves for å bli verifisert.

Lesere som nøye studerte det siste avsnittet i leksjonen la nok merke til det koordinatene til enhetsvektoren er nøyaktig retningscosinusene til vektoren:

La oss ta en pause fra problemet: når du får en vilkårlig vektor som ikke er null, og i henhold til tilstanden er det nødvendig å finne retningskosinusene (se de siste oppgavene i leksjonen Punktprodukt av vektorer), så finner du faktisk en enhetsvektor kollineær til denne. Egentlig to oppgaver på en flaske.

Behovet for å finne enhetsnormalvektoren oppstår i noen problemer med matematisk analyse.

Vi har funnet ut hvordan vi fisker ut en normal vektor, la oss nå svare på det motsatte spørsmålet:

Hvordan lage en ligning av et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruksjonen av en normalvektor og et punkt er velkjent for dartskiven. Strekk hånden fremover og velg mentalt et vilkårlig punkt i rommet, for eksempel en liten katt i skjenken. Tydeligvis gjennom dette punktet du kan tegne et enkelt plan vinkelrett på hånden din.

Ligningen til et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på vektoren uttrykkes med formelen:

Det kan vises at enhver ligning av første grad er relativ Kartesiske koordinater x, y, z representerer ligningen til et bestemt plan. Denne ligningen er skrevet som:

Axe+By+Cz+D=0

og kalles generell ligning planet og koordinatene A, B, C her er koordinatene til normalvektoren til planet.

La oss vurdere spesielle tilfeller av den generelle ligningen. La oss finne ut hvordan planet er plassert i forhold til koordinatsystemet hvis en eller flere koeffisienter av ligningen blir null.

1. Fritiden er null D= 0.

I dette tilfellet tar flyets ligning formen Axe+Cy+Bz=0. Fordi tall x=0, y=0, z=0 tilfredsstiller ligningen til planet, så går det gjennom origo. Likeledes hvis B= 0, da er planet parallelt med aksen Oy Og C= 0 – plan parallelt med aksen Oz. Således, hvis i planligningen en av koeffisientene ved gjeldende koordinat er lik null, så er planet parallelt med den tilsvarende koordinataksen.

1. Koeffisienten ved gjeldende koordinat og frileddet er lik null. For eksempel, A=D= 0. I dette tilfellet, ligningen Av + Cz= 0 tilsvarer planet som går gjennom origo for koordinater (i henhold til punkt 1). I tillegg, med hensyn til punkt 2, må dette planet være parallelt med aksen Okse. Derfor passerer flyet gjennom aksen Okse.

På samme måte når B=D=0 fly Ax+Cz=0 går gjennom aksen Oy. På C=D=0 flyet går gjennom aksen Oz.

1. To koeffisienter ved de nåværende koordinatene til såret er null. La f.eks. A=B=0. Så flyet Cz+D=0 på grunn av punkt 2 vil være parallell med aksene Okse Og Oy, og derfor parallelt med koordinatplanet xOy, og går gjennom punktet med koordinat. På samme måte ligningene Øks+D=0 og Av+D=0 tilsvarer plan parallelt med koordinatplan yOz Og xOz.
2. To koeffisienter ved gjeldende koordinater og frileddet er lik null. La f.eks. A=B=D=0. Da har likningen til planet formen Cz=0 eller z=0. Dette planet går gjennom origo og er parallelt med aksene Okse Og Oy, dvs. ligningen definerer koordinatplanet xOy. Like måte, x=0 – ligningen til koordinatplanet yOz Og y=0 – fly xOz.

Eksempler.

1. Skriv en ligning for et plan parallelt med aksen Oy, gjennom poeng M 1(1; 0; -1), M 2(-1; 2;0).

Siden aksen Oy er parallell, deretter ligningen til planet Axe+Cy+D=0. Vurderer M 1Î α, M 2О α, erstatter vi koordinatene til disse punktene i ligningen og får et system med to lineære ligninger med tre ukjente

Sette D= 1, la oss finne EN= 1 og C= 2. Derfor har likningen til planet formen x+ 2z+1=0.

1. Skriv en ligning for et plan som går gjennom et punkt M(2;3;-4) parallelt med planet yOz(vinkelrett på aksen Okse).

Fordi yOz||α, da vil ligningen til planet være Øks+D=0. På den andre siden MО α, derfor 2A+D=0, D=-2EN. Derfor har flyet ligningen x-2=0.

Du kan stille inn forskjellige måter(ett punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankene at ligningen til flyet kan ha forskjellige typer. Under visse betingelser kan plan også være parallelle, vinkelrette, kryssende, etc. Vi vil snakke om dette i denne artikkelen. Vi vil lære hvordan du lager en generell ligning av et plan med mer.

Normal form for ligning

La oss si at det er et rom R 3 som har et rektangulært XYZ-koordinatsystem. La oss definere vektoren α, som vil bli frigjort fra startpunktet O. Gjennom enden av vektoren α tegner vi et plan P, som vil være vinkelrett på det.

La oss betegne et vilkårlig punkt på P som Q = (x, y, z). La oss signere radiusvektoren til punktet Q med bokstaven p. I dette tilfellet er lengden på vektoren α lik р=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette er en enhetsvektor som er rettet til siden, som vektoren α. α, β og γ er vinklene som dannes mellom vektoren Ʋ og de positive retningene til henholdsvis romaksene x, y, z. Projeksjonen av et hvilket som helst punkt QϵП på vektoren Ʋ er en konstant verdi som er lik p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Ovenstående ligning gir mening når p=0. Det eneste er at planet P i dette tilfellet vil skjære punktet O (α=0), som er opprinnelsen til koordinatene, og enhetsvektoren Ʋ frigjort fra punktet O vil være vinkelrett på P, til tross for retningen, som betyr at vektoren Ʋ bestemmes nøyaktig til tegnet. Den forrige ligningen er ligningen til planet P vårt, uttrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se slik ut:

P her er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen til planet i rommet i normal form.

Generell ligning

Hvis vi multipliserer likningen i koordinater med et hvilket som helst tall som ikke er lik null, får vi en likning som tilsvarer denne, og definerer akkurat det planet. Det vil se slik ut:

Her er A, B, C tall som samtidig er forskjellige fra null. Denne ligningen kalles den generelle planligningen.

Ligninger av fly. Spesielle tilfeller

Ligning i generelt syn kan endres med ytterligere betingelser. La oss se på noen av dem.

La oss anta at koeffisienten A er 0. Dette betyr at dette planet er parallelt med den gitte Ox-aksen. I dette tilfellet vil formen på ligningen endres: Ву+Cz+D=0.

På samme måte vil formen på ligningen endres under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, vil ligningen endres til Ax + Cz + D = 0, som vil indikere parallellitet til Oy-aksen.
• For det andre, hvis C=0, vil ligningen transformeres til Ax+By+D=0, noe som vil indikere parallellitet til den gitte Oz-aksen.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ut som Ax+By+Cz=0, noe som vil bety at planet skjærer O (origo).
• For det fjerde, hvis A=B=0, vil ligningen endres til Cz+D=0, som vil vise seg parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, blir ligningen Ax+D=0, som betyr at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen ha formen Ву+D=0, det vil si at den vil rapportere parallellitet til Oxz.

Type ligning i segmenter

I tilfellet når tallene A, B, C, D er forskjellige fra null, kan formen til ligningen (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

hvor a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Vi får som et resultat. Det er verdt å merke seg at dette planet vil skjære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) og Oz - (0,0,c ).

Med tanke på likningen x/a + y/b + z/c = 1, er det ikke vanskelig å visuelt forestille seg plasseringen av planet i forhold til et gitt koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planet P har koordinater som er koeffisienter til den generelle ligningen til dette planet, det vil si n (A, B, C).

For å bestemme koordinatene til normalen n, er det nok å kjenne den generelle ligningen til et gitt plan.

Når du bruker en ligning i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, som når du bruker en generell ligning, kan du skrive koordinatene til en hvilken som helst normalvektor i et gitt plan: (1/a + 1/b + 1/ Med).

Det er verdt å merke seg at normalvektoren hjelper til med å løse en rekke problemer. De vanligste inkluderer problemer som involverer å bevise vinkelrett eller parallellitet til plan, problemer med å finne vinkler mellom plan eller vinkler mellom plan og rette linjer.

Type planligning i henhold til koordinatene til punktet og normalvektoren

En ikke-null vektor n vinkelrett på et gitt plan kalles normal for et gitt plan.

La oss anta at i koordinatrommet (rektangulært koordinatsystem) er Oxyz gitt:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• null vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendig å lage en ligning for et plan som vil passere gjennom punktet Mₒ vinkelrett på normalen n.

Vi velger et hvilket som helst vilkårlig punkt i rommet og betegner det M (x y, z). La radiusvektoren til et hvilket som helst punkt M (x,y,z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren til punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkt M vil tilhøre et gitt plan hvis vektoren MₒM er vinkelrett på vektor n. La oss skrive ortogonalitetsbetingelsen ved å bruke skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM = r-rₒ, vil vektorligningen til planet se slik ut:

Denne ligningen kan ha en annen form. For å gjøre dette brukes egenskapene til skalarproduktet, og transformasjonen er venstre side ligninger = - . Hvis vi betegner det som c, får vi følgende ligning: - c = 0 eller = c, som uttrykker konstansen til projeksjonene på normalvektoren til radiusvektorene til gitte punkter som hører til planet.

Nå kan vi få koordinatformen for å skrive vektorligningen til planet vårt = 0. Siden r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B *j+С*k, vi har:

Det viser seg at vi har en ligning for et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på normalen n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Type planligning i henhold til koordinatene til to punkter og en vektor kolineært til planet

La oss definere to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″), samt en vektor a (a′,a″,a‴).

Nå kan vi lage en ligning for et gitt plan som vil passere gjennom de eksisterende punktene M′ og M″, samt et hvilket som helst punkt M med koordinater (x, y, z) parallelt med den gitte vektoren a.

I dette tilfellet må vektorene M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanare med vektoren a=(a′,a″,a‴), som betyr at (M′M, M″M, a)=0.

Så, flyligningen vår i rommet vil se slik ut:

Type ligning for et plan som skjærer tre punkter

La oss si at vi har tre punkter: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke tilhører samme linje. Det er nødvendig å skrive ligningen til et plan som går gjennom gitte tre punkter. Teorien om geometri hevder at denne typen plan virkelig eksisterer, men det er det eneste og unike. Siden dette planet skjærer punktet (x′,y′,z′), vil formen på dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskjellige fra null på samme tid. Dessuten skjærer det gitte planet ytterligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I denne forbindelse må følgende betingelser være oppfylt:

Nå kan vi lage et homogent system med ukjente u, v, w:

I vår tilfelle x,y eller z fungerer som et vilkårlig punkt som tilfredsstiller ligning (1). Gitt likning (1) og likningssystemet (2) og (3), tilfredsstilles likningssystemet angitt i figuren over av vektoren N (A,B,C), som er ikke-triviell. Det er derfor determinanten til dette systemet er lik null.

Ligning (1) som vi har fått er ligningen til planet. Den går nøyaktig gjennom 3 punkter, og dette er enkelt å sjekke. For å gjøre dette må vi utvide vår determinant til elementene i den første raden. Fra de eksisterende egenskapene til determinanten følger det at planet vårt samtidig skjærer tre opprinnelig gitte punkter (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vil si at vi har løst oppgaven som er tildelt oss.

Dihedral vinkel mellom planene

En dihedral vinkel representerer en romlig geometrisk figur, dannet av to halvplan som kommer fra én rett linje. Dette er med andre ord den delen av rommet som er begrenset av disse halvplanene.

La oss si at vi har to plan med følgende ligninger:

Vi vet at vektorene N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette i henhold til de gitte planene. I denne forbindelse er vinkelen φ mellom vektorene N og N¹ lik vinkelen (dihedral) som er plassert mellom disse planene. Punktproduktet har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

nettopp fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er nok å ta hensyn til at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to plan som skjærer to vinkler (dihedral): φ 1 og φ 2. Summen deres er lik π (φ 1 + φ 2 = π). Når det gjelder cosinusene deres, er deres absolutte verdier like, men de er forskjellige i fortegn, det vil si cos φ 1 = -cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen vi får bestemme det samme planet, det eneste, vinkelen φ i ligningen cos φ= NN 1 /| N||N 1 | vil bli erstattet med π-φ.

Ligning av et vinkelrett plan

Planer hvor vinkelen er 90 grader kalles vinkelrett. Ved å bruke materialet presentert ovenfor kan vi finne ligningen til et plan vinkelrett på et annet. La oss si at vi har to plan: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan si at de vil være vinkelrette hvis cosφ=0. Dette betyr at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallellplanligning

To plan som ikke inneholder fellespunkter kalles parallelle.

Betingelsen (likningene deres er de samme som i forrige avsnitt) er at vektorene N og N¹, som er vinkelrett på dem, er kollineære. Dette betyr at følgende forholdsmessighetsbetingelser er oppfylt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proporsjonalitetsbetingelsene utvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer at disse flyene faller sammen. Dette betyr at likningene Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.

Avstand til fly fra punkt

La oss si at vi har et plan P, som er gitt ved ligning (0). Det er nødvendig å finne avstanden til den fra et punkt med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For å gjøre dette, må du bringe ligningen til planet P til normal form:

(ρ,v)=р (р≥0).

I dette tilfellet er ρ (x,y,z) radiusvektoren til vårt punkt Q som ligger på P, p er lengden av vinkelrett P som ble frigjort fra nullpunkt, v er enhetsvektoren, som er plassert i retningen a.

Forskjellen ρ-ρº radiusvektoren til et punkt Q = (x, y, z), som tilhører P, samt radiusvektoren til et gitt punkt Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) er en slik vektor, absolutt verdi av projeksjonen som på v er lik avstanden d som må finnes fra Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Så det viser seg

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Dermed vil vi finne den absolutte verdien av det resulterende uttrykket, det vil si ønsket d.

Ved å bruke parameterspråket får vi det åpenbare:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Hvis et gitt punkt Q 0 er på den andre siden av planet P, som opprinnelsen til koordinatene, er det derfor mellom vektoren ρ-ρ 0 og v:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

I tilfellet når punktet Q 0, sammen med opprinnelsen til koordinatene, er plassert på samme side av P, da opprettet vinkel krydret, det vil si:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Som et resultat viser det seg at i det første tilfellet (ρ 0 ,v)>р, i det andre (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overflaten ved kontaktpunktet Mº er et plan som inneholder alle mulige tangenter til kurvene trukket gjennom dette punktet på overflaten.

Med denne typen overflateligning F(x,y,z)=0, vil ligningen til tangentplanet ved tangentpunktet Mº(xº,yº,zº) se slik ut:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Hvis du spesifiserer overflaten i eksplisitt form z=f (x,y), vil tangentplanet bli beskrevet av ligningen:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Skjæringspunktet mellom to plan

I koordinatsystemet (rektangulært) ligger Oxyz, to plan П′ og П″ er gitt, som krysser hverandre og ikke sammenfaller. Siden ethvert plan som ligger i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av en generell ligning, vil vi anta at P′ og P″ er gitt av likningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfellet har vi normalen n′ (A′,B′,C′) til planet P′ og normalen n″ (A″,B″,C″) til planet P″. Siden våre fly ikke er parallelle og ikke sammenfaller, er disse vektorene ikke kollineære. Ved å bruke matematikkens språk kan vi skrive denne betingelsen slik: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. La den rette linjen som ligger i skjæringspunktet mellom P′ og P″ betegnes med bokstaven a, i dette tilfellet a = P′ ∩ P″.

a er en rett linje som består av settet av alle punkter i de (felles) planene P′ og P″. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt som tilhører linje a samtidig må tilfredsstille ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″=0 . Dette betyr at koordinatene til punktet vil være en delløsning av følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det seg at den (generelle) løsningen av dette ligningssystemet vil bestemme koordinatene til hvert av punktene på linjen, som vil fungere som skjæringspunktet mellom P′ og P″, og bestemme den rette linjen a i Oxyz (rektangulære) koordinatsystem i rommet.