Vektor kunstverk vektorer. Blandede vektorer

På denne leksjonen vil vi vurdere to operasjoner med vektorer: vector Artwork Vektorer og blandede vektorer (umiddelbart lenke, hvem trenger det. Ingenting forferdelig, så noen ganger skjer det for fullstendig lykke, i tillegg scalar produktvektorer, det er også nødvendig. Slike her er en vektor medikamentavhengighet. Det kan søke inntrykk av at vi klatrer inn i ruskene av analytisk geometri. Dette er ikke sant. I denne delen av den høyeste matematikken er det ikke nok brensel generelt, bortsett fra Pinocchio. Faktisk er materialet svært vanlig og enkelt - knapt vanskeligere enn det samme scalar Product.Selv de typiske oppgavene vil bli mindre. Det viktigste i analytisk geometri, så mange vil bli drept eller allerede vært overbevist, ikke feil i beregninger. Gjenta som en stave, og du vil bli lykkelig \u003d)

Hvis vektorene glir et sted langt som lyn i horisonten, ikke problemer, start fra leksjonen Vektorer for tekannerÅ gjenopprette eller gjenopprette grunnleggende kunnskaper om vektorene. Flere forberedte lesere kan bli kjent med informasjonen selektivt, jeg prøvde å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk arbeid.

Hva gjør du umiddelbart? Da jeg var liten, visste jeg hvordan jeg skulle jonglere to og til og med tre baller. Defelt lyktes. Nå trenger du ikke å jonglere i det hele tatt, som vi vil vurdere bare romlige vektorer, og flate vektorer med to koordinater forblir overbord. Hvorfor? Disse handlingene ble født - et vektor og blandet produkt av vektorer er definert og drevet i tredimensjonalt rom. Allerede lettere!

I denne operasjonen, på samme måte som i skalarproduktet, delta to vektorer. La det være nonsens bokstaver.

Handling selv betegner På følgende måte :. Det er andre alternativer, men jeg pleide å betegne vektor kunstverket av vektorer akkurat slik i firkantede parenteser med et kryss.

Og umiddelbart spørsmål: Hvis i det scalar produktvektorer To vektorer er involvert, og her blir to versjoner multiplisert her, da hva er forskjellen? Eksplisitt forskjell, først og fremst, som et resultat:

Resultatet av et skalarprodukt av vektorer er et tall:

Resultatet av vektor kunstvektorer er vektor: Det er, vi multipliserer vektorene og får vektoren igjen. Lukket klubb. Faktisk, dermed navnet på operasjonen. I ulike læringslitteratur kan betegnelsene også variere, jeg vil bruke brevet.

Definisjon av vektorkunst

Først vil det være en definisjon med et bilde, og deretter kommentarer.

Definisjon: Vector Work. nonollyline. Vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt vektor, lengde som er numerisk lik kvadratet av parallellogrammetbygget på disse vektordataene; vektor ortogonale vektorer Og det er rettet slik at grunnlaget har riktig orientering:

Vi demonterer definisjonen av beinene, det er mange interessante ting!

Så, du kan velge følgende viktige øyeblikk:

1) Kildevektorer merket med røde piler per definisjon ikke kollinear. Saken av kollineære vektorer vil være hensiktsmessig å vurdere litt senere.

2) Vektorer tatt i strengt definert rekkefølge: – "A" multipliseres med "være", ikke "være" på "en". Resultatet av multiplikasjonsvektorer Det er en vektor som er angitt i blått. Hvis vektorene multipliseres i omvendt rekkefølge, blir vi lik lengden og den motsatte vektoren (bringebærfarge). Det vil si likestilling er riktig .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er et veldig viktig punkt! Lengden på den blå vektoren (og derfor er bringebærvektoren) numerisk lik kvadratet av parallellogrammet bygget i vektorene. I figuren er dette parallellogramet skygget i svart.

Merk : Tegningen er skjematisk, og naturlig, er den nominelle lengden på vektorproduktet ikke lik området av parallellogrammet.

Vi husker en av de geometriske formlene: området på parallellogrammet er lik produktet av tilstøtende sider på hjørnesdisen mellom dem. Derfor, basert på det foregående, formelen for å beregne lengden på vektorproduktet:

Jeg understreker at i formelen snakker vi om lengden på vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er at i den analytiske geometriens oppgaver er området av parallellogrammet ofte funnet gjennom begrepet vektor kunst:

Vi får en annen viktig formel. Diagonalen til parallellogrammet (Red Dottedier) deler det i to like trekanter. Følgelig kan området av trekanten, bygget i vektorene (rød klekking), bli funnet med formelen:

4) Ikke mindre viktig faktum er at vektoren er ortogonale vektorer, det vil si . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (Raspberry-pilen) også ortogonal i de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har ikke sant Orientering. I klasserommet O. overgang til et nytt grunnlag Jeg snakket i detalj om orientering av flyetOg nå vil vi håndtere orienteringen av rommet. Jeg vil forklare fingrene dine høyre hånd. Mentalt kombinere pekefinger. Med vektor I. langfinger Med vektor. Named finger og en liten finger Trykk på håndflaten. Som et resultat tommel - Vektorkunst vil slå opp. Dette er den rette fledged basis (i figuren det er han). Nå endre vektorene ( indeks og midtfinger) Steder, som et resultat, som tommelfoldene utfolder seg, og vektorarbeidet vil allerede se ned. Dette er også regelmessig basis. Kanskje du har et spørsmål: Hvilket grunnlag gjør du venstreorienteringen? "Navn" de samme fingrene venstre hand vektorer og få venstre basis og venstreorientering av rommet (I dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt snakker disse basene "spin" eller orienterer plass i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe konstruert eller abstrakt - så for eksempel, for eksempel, orienteringen av rommet endrer det mest vanlige speilet, og hvis du "trekker det reflekterte objektet fra Castorcal." Det vil ikke være i stand til å kombinere det i generell. Forresten, ta med tre fingre til speilet og analyser refleksjonen ;-)

... hvordan det er bra at du nå vet om lov og venstreorientert Baser, for de forferdelige utsagnene til noen forelesere om endring av orientering \u003d)

Vector kunstverk av kollineære vektorer

Definisjonen demontert i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når kollinære vektorer. Hvis vektorene er kollinear, kan de plasseres på en rett linje og vårt parallellogram også "bretter" i en rett. Området av dette, som matematikk sier, degenerere Parallellogrammet er null. Det følger av formelen - sinus null eller 180 grader er , og derfor er området null

Dermed, If. . Strengt sett er selve vektorproduktet null vektor, men i praksis blir det ofte forsømt og skrevet at det bare er null.

Privat tilfelle - Vector produktvektor på seg selv:

Ved hjelp av et vektorprodukt kan collineariteten til tredimensjonale vektorer kontrolleres, og vi vil også se på denne oppgaven blant annet.

Å løse praktiske eksempler kan kreve trigonometrisk tabellFor å finne det verdiene av bihulene.

Vel, antenn brannen:

Eksempel 1.

a) Finn lengden på vektor kunstvektorer hvis

b) Finn torget i parallellogrammet innebygd i versjonene hvis

Beslutning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, de opprinnelige dataene i klausulforholdene jeg med vilje gjorde det samme. Fordi å ta avgjørelser vil være annerledes!

a) Under den tilstanden må du finne lengde Vektor (vektorkunst). Ifølge den tilsvarende formelen:

Svar:

Kohl spurte snart om lengde, så som svar, angir dimensjonsenhetene.

b) under betingelsen som kreves for å finne område Et parallellogram bygget i vektorer. Området i dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på vektorproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at det som svar på vektorproduktet av tale ikke går i det hele tatt, vi ble spurt om firkantet av figurenDerfor er dimensjonen firkantede enheter.

Vi ser alltid på hva som kreves av betingelser, og basert på dette formulerer vi klar svar. Det kan virke nøkkel, men det er nok keystoner blant lærere, og oppgaven med gode sjanser vil returnere til raffinement. Selv om dette ikke er et spesielt strukket QARID - hvis svaret er feil, så ser det ut til at en person ikke forstår enkle ting og / eller ikke en i essensen av oppgaven. Dette øyeblikket bør alltid holdes på kontroll, løse enhver oppgave i høyere matematikk, og i andre emner også.

Hvor gjorde den store bucchka "en"? I prinsippet kan det i tillegg bli med i løsningen, men for å redusere posten gjorde jeg det ikke. Jeg håper alle forstår at dette er betegnelsen av det samme.

Populært eksempel for selvløsninger:

Eksempel 2.

Finn et trekantområde bygget i vektorer hvis

Formelen for å finne trekantområdet gjennom vektorkunst er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsning og svar på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven veldig vanlig, trekanter kan generelt torturere.

For å løse andre oppgaver, trenger vi:

Egenskaper av vektor kunstverk

Noen egenskaper av vektorarbeid vi allerede har vurdert, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlig vektorer og vilkårlig tall, er følgende egenskaper rettferdige:

1) I andre kilder til informasjon, er dette elementet vanligvis ikke identifisert i egenskapene, men det er svært viktig i praksis. Derfor, la det være.

2) - Eiendommen er også demontert ovenfor, noen ganger kalles det anti-commutative.. Med andre ord, rekkefølgen av vektorer saker.

3) - dyster eller associative. Vektorens lover. Konstanter blir midlertidig tatt ut av vektorarbeidet. Faktisk, hva gjør de der?

4) - Distribusjon eller distribusjon Vektorens lover. Med beskrivelsen av parentesene er det ingen problemer.

Som en demonstrasjon, bør du vurdere et kort eksempel:

Eksempel 3.

Finn om det

Beslutning: Etter betingelse er det nødvendig å finne lengden på vektorproduktet igjen. Vi tar med vår miniatyr:

(1) Ifølge assosiative lover tåler vi konstantene for omfordeling av vektorarbeid.

(2) Vi tåler konstanten utenfor modulen, mens modulen "spiser" et "minus" tegn. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Videre er det forståelig.

Svar:

Det er på tide å kaste brensel i brannen:

Eksempel 4.

Beregn trekantområdet bygget i vektorene, hvis

Beslutning: Triangle Square Finn formelen . Snagen er at "CE" og "de" -vektorene selv er representert som summer av vektorer. Algoritme her er standard og noe ligner eksempler nummer 3 og 4 leksjoner Scalar produktvektorer. Løsningen for klarhet å bryte inn i tre trinn:

1) I det første trinnet uttrykker vi et vektorprodukt gjennom en vektorkunst, faktisk, express vektor via vektor. Om lengder ikke et ord!

(1) Vi erstatter ekspresjonen av vektorer.

(2) Bruke distribusjonsloven, avslører parentes i henhold til regelen om multiplikasjon av polynomene.

(3) Ved hjelp av assosiative lover, tåler vi alle konstantene utover vektorverkene. Under Malomal-opplevelsen kan 2 og 3 utføres samtidig.

(4) Første og siste sikt er null (null vektor) takket være en hyggelig eiendom. På andre sikt bruker vi den anti-commutativeness-egenskapen til vektorarbeidet:

(5) Vi gir slike komponenter.

Som et resultat viste vektoren ut for å bli uttrykt gjennom vektoren, som måtte oppnås:

2) På det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet du trenger. Denne handlingen ligner eksempel 3:

3) Finn området av den ønskede trekanten:

Stages 2-3 løsninger kan ordnes med en linje.

Svar:

Den vurderte oppgaven er tilstrekkelig formidlet i testene, her er et eksempel på en uavhengig beslutning:

Eksempel 5.

Finn om det

En kort løsning og svar på slutten av leksjonen. La oss se hvor oppmerksomme du er når du studerer tidligere eksempler ;-)

Vektor kunstverk av vektorer i koordinater

definert i orthonormal basis formel er uttrykt:

Formel og ekte Spryldskaya: I den aller beste linje av determinanten skriver vi ned koordinatvektorene, i andre og tredje linjer "setter" koordinatene til vektorene, og passer i streng ordre - Først, koordinatene til vektoren "Ve", deretter koordinatene til vektoren "Dubl-We". Hvis vektorene må multiplisere i en annen rekkefølge, bør radene byttes på steder:

Eksempel 10.

Kontroller om Collinear vil være følgende romvektorer:
men)
b)

Beslutning: Sjekk er basert på en av uttalelsene til denne leksjonen: Hvis kollinære vektorer, så er deres vektorprodukt null (null vektor): .

a) Velkommen en vektorkunst:

Dermed er vektorene ikke kollinear.

b) Finn en vektorkunst:

Svar: a) ikke collinear, b)

Dette er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet av vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden oppgavene der det blandede produktet av vektorer brukes, litt. Faktisk vil alt bli begrenset til definisjon, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Blandet kunstverk av vektorer er et arbeid med tre vektorer.:

Det var slik de var lined opp av et tog og vente, ville ikke vente når de ble beregnet.

Først, igjen definisjon og bilde:

Definisjon: Blandet arbeid noncomplenar. Vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt volumet av parallellepipeda, bygget på dataene til vektoren, utstyrt med "+" -tegnet, hvis grunnlaget er riktig, og skiltet "-", hvis grunnlaget er igjen.

Utfør et bilde. Usynlige linjer er battered av den stiplede linjen:

Fordyp deg i definisjon:

2) Vektorer tatt i en bestemt rekkefølge, det vil si omarrangering av vektorer i arbeidet, som du gjetter, passerer ikke uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer geometrisk betydning, vil jeg merke det åpenbare faktumet: blandede vektorer er et tall:. I utdanningslitteraturen kan designen være noe annerledes, jeg pleide å signere et blandet produkt gjennom, og resultatet av beregninger av bokstaven "PE".

A-Priory. blandet arbeid er et paralleltpipert volumBygget i vektorer (figuren rengjøres med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet av denne parallellepiped.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bli damp med begrepet orientering av grunnlaget og rommet. Betydningen av den endelige delen er at et minustegn kan legges til volumet. Enkle ord, et blandet produkt kan være negativt :.

Direkte fra definisjonen følger formelen for å beregne volumet av parallellepipede, innebygde vektorer.

7.1. Definisjon av vektorkunst

Tre noncomplete vektorer A, B og C, tatt i den angitte rekkefølgen, danner de høyeste tre hvis fra slutten av den tredje vektoren med den korteste rotasjonen fra den første vektoren A til den andre vektoren B er synlig mot urviseren, og til venstre, hvis med urviseren (se ris. seksten).

Vector produkt A på vektor B kalt vektor med, som:

1. Vinkelrett på vektorer A og B, dvs. med ^ a og c ^ b;

2. Har en lengde, numerisk lik området av parallellogram, bygget i vektorer A ogb.som på sidene (se figur 17), dvs.

3. Vektorer A, B og C danner høyre Troika.

Vektorproduktet betegnes med X B eller [A, B]. Fra bestemmelsen av vektorproduktet, måles følgende forhold mellom orthops j. og k.(Se figur 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Vi beviser for eksempel deti xj \u003d k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | K | \u003d 1, men | i X J.|. \u003d | Jeg | | J | synd (90 °) \u003d 1;

3) Vektorer I, J og k. Danner den rette troikaen (se figur 16).

7.2. Egenskaper av vektorarbeid

1. Når du permuterer faktorene, endrer vektorproduktet tegnet, dvs. og xb \u003d (b ha) (se fig. 19).

Vektorer En CHB og B H Collinearpes har de samme modulene (parallellogramområdet forblir uendret), men motsatt rettet (tre A, B, en XB og A, B, B, B, B, B, motsatt orientering). Det er en xb. = -(b xa.).

2. Vektorproduktet har en kampant eiendom i forhold til skalarfaktoren, det vil si l (en xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

La l\u003e 0. Vektor l (en xb) vinkelrett på vektorer A og B. Vektor ( l.a) H. b.også vinkelrett på vektorer A og b.(vektorer a, l.og ligg i samme plan). Så vektorer l.(og HB) og ( l.a) H. b.collinear. Tydeligvis sammenfaller de deres retninger. Har samme lengde:

derfor l.(En HB) \u003d l.og xb. På samme måte bevist l.<0.

3. To nonzero vektorer A og b.collinear da og bare hvis deres vektorkunst er lik null vektor, dvs. a || b<=>en xb \u003d 0.

Spesielt, jeg * i \u003d j * j \u003d k * k \u003d 0.

4. Vector-produktet har en distribusjonsegenskap:

(a + B) xs \u003d en xs + b. xs.

Vi aksepterer uten bevis.

7.3. Ekspresjon av vektorarbeid gjennom koordinater

Vi vil bruke Table Vector Art Vectors I, j.og k:

hvis retningen til den korteste banen fra den første vektoren til den andre sammenfaller med pilens retning, er arbeidet lik den tredje vektoren, hvis den ikke faller sammen - den tredje vektoren er tatt med "minus" -tegnet.

La to vektorer a \u003d en x i + en y j. + A Z. k.og b \u003d b x jEG. + b y. j. + B z. k. . Vi finner et vektorprodukt av disse vektorene, multipliserer dem som polynomene (i henhold til vektorproduktets egenskaper):

Den resulterende formelen kan registreres selv kortsluttet:

siden høyre side av likestilling (7.1) tilsvarer dekomponeringen av en tredje rekkefølge determinant for elementene i den første linjen. Faktumet (7.2) er lett å husket.

7.4. Noen applikasjoner vektor fungerer

Innstilling av kollinearitetsvektorer

Finne området av parallellogram og trekant

I henhold til definisjonen av vektor kunstvektorer menog B. | A HB | \u003d. | A | * | B | SIN G, dvs. s Pairs \u003d | A x b |. Og derfor d s \u003d 1/2 | a x b |.

Bestemme øyeblikket av kraft i forhold til punktet

La på poenget og kraften påføres F \u003d ab.la det gå OM- Noen punkt i rommet (se fig. 20).

Fra fysikk er det kjent det moment of Si Lia F. i forhold til punktet OM kalt vektor M,som passerer gjennom poenget OMog:

1) vinkelrett på flyet som passerer gjennom poeng Å, a, b;

2) er numerisk lik arbeidet med kraft på skulderen

3) danner den rette troikaen med OA og et sentner.

Derfor, m \u003d oa x f.

Linjær rotasjonshastighet

Hastighet v.poeng av solid kropp som roterer med vinkelhastighet w.rundt den stasjonære akse bestemmes av formelen av Euler V \u003d W XR, hvor R \u003d Ohm, hvor O-noen faste punktet på aksen (se fig. 21).

Til slutt fikk jeg hender til et omfattende og etterlengtet emne analytisk geometri. Først litt om denne delen av den høyeste matematikken .... Sikkert, du husket nå skolens geometri med mange teoremer, deres bevis, tegninger, etc. Hva å skjule, unloved og ofte et rimelig emne for en betydelig del av studentene. Analytisk geometri, merkelig nok, kan virke mer interessant og rimelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To stemplet matematisk omsetning kommer umiddelbart til å tenke: "Grafisk løsning Metode" og "Analytisk løsning Metode". Grafisk metode, Tydelig, er forbundet med konstruksjonen av grafer, tegninger. Analytisksamme metode antar løsningen av oppgaver hovedsakelig Ved hjelp av algebraisk virkning. I denne forbindelse er algoritmen av løsninger av nesten alle oppgaver av analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, ofte nok til å forsiktig bruke de nødvendige formlene - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig, ganske uten tegninger her, vil det ikke koste, dessuten, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å bringe dem over nødvendigheten.

Åpningshastigheten på leksjoner i geometri hevder ikke teoretisk fullstendighet, det er fokusert på å løse praktiske oppgaver. Jeg inkluderte i mine forelesninger bare at fra mitt synspunkt er viktig i praksis. Hvis du trenger et mer komplett sertifikat i henhold til et hvilket som helst underavsnitt, anbefaler jeg følgende ganske rimelige litteratur:

1) Ting som uten vits, er kjent for flere generasjoner: Skole lærebok på geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og selskapet. Denne hengeren av skolens omkledningsrom har allerede opprettholdt 20s (!) Reprint, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 volumer. Forfattere L.S. Atanasyan, Basilev V.T.. Dette er litteratur for høyere utdanning, du trenger første Tom.. Fra mitt synsfelt kan sjeldne funnet oppgaver falle ut, og læreboken vil gi uvurderlig hjelp.

Begge bøkene kan lastes ned gratis på Internett. I tillegg kan du bruke arkivet med ferdige løsninger som finnes på siden. Last ned eksempler på høyere matematikk.

Fra instrumentalverktøy foreslår jeg igjen min egen utvikling - software pakke Ifølge analytisk geometri, som vil betydelig forenkle livet og redde en masse tid.

Det antas at leseren er kjent med de grunnleggende geometriske konseptene og tallene: punkt, direkte, plan, trekant, parallellogram, parallellpiped, kube, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, minst teoret av Pythagora, hei til tiende år)

Og nå vil vi konsekvent vurdere: Vector Concept, handlinger med vektorer, vektor koordinater. Neste anbefaler jeg å lese Den viktigste artikkelen Scalar produktvektoreri tillegg til Vektor og blandede kunstverk vektorer. Lokal oppgave er ikke for mye - å dele segmentet i denne forbindelse. Basert på informasjonen ovenfor, kan du mestre direkte ligning på flyet fra de enkleste eksemplene på løsningerHva vil tillate lær å løse geometriutfordringer. Følgende artikler er også nyttige: Plane ligning i rommet, Ligninger direkte i rommetHovedoppgavene for rett og fly, andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vurdere samtidig typiske oppgaver.

Vektor konsept. Gratis vektor

Først gjentar vi skolens definisjon av vektoren. Vektor kalt regissert Segmentet som dens begynnelse og enden er angitt:

I dette tilfellet er begynnelsen av segmentet punktet, slutten av segmentet - punktet. Selve vectoren er angitt gjennom. Retning Det er viktig hvis du omarrangerer pilen til en annen ende av segmentet, så vil vektoren være, og dette er allerede en helt annen vektor. Begrepet av vektoren er praktisk å identifisere med bevegelsen av den fysiske kroppen: du ser, gå til instituttets dør eller komme ut av instituttets dør, er helt forskjellige ting.

Separate poeng i flyet, plassen er praktisk å vurdere den såkalte null vektor . I en slik vektor sammenfaller slutten og begynnelsen.

! Merk: I det følgende kan det betraktes at vektorene ligger i samme plan, eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av det skisserte materialet er også gyldig for flyet og for plass.

Betegnelser: Mange trakk umiddelbart oppmerksomheten til staven uten pilen i betegnelsen og sa, samtidig satte de pilen! Sant, du kan skrive med pilen: men tillatt posten som jeg skal bruke i fremtiden. Hvorfor? Tilsynelatende har en slik vane utviklet seg fra praktiske hensyn, mine piler på skolen og universitetet viste seg å være for differensisert og shaggy. I pedagogisk litteratur, noen ganger bryder de ikke med klokker i det hele tatt, men allokere bokstaver i fet skrift:, noe som betyr at dette er en vektor.

Det var stilen, og nå om metodene for opptak av vektorer:

1) Vektorer kan skrives av to store latinske bokstaver:
etc. Samtidig første bokstav før Indikerer begynnelsen av vektoren, og det andre bokstaven - Point-end-vektoren.

2) Vektorer registrerer også små latinske bokstaver:
Spesielt er vår vektor mulig for korthet å konvertere et lite latinsk brev.

Lena. eller modulen Nonzero-vektoren kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk.

Lengden på vektoren er indikert med tegn på modulen:

Hvordan finne lengden på vektoren vi vil lære (eller gjenta, for hvem som) litt senere.

At det var elementær informasjon om vektoren kjent for alle skolebarn. I den analytiske geometrien, den såkalte gratis vektor.

Hvis det er enkelt - vector kan bli utsatt fra ethvert punkt.:

Vi pleide å ringe slike vektorer (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men er rent fra et matematisk synspunkt. Dette er den samme vektoren eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi du underløser oppgaver, kan du "legge ved" en eller annen vektor i noen, punktet på flyet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul eiendom! Tenk deg en vilkårlig lengde og retninger - det kan være "kloning" et uendelig antall ganger og på et hvilket som helst sted, faktisk eksisterer det overalt. Det er en slik student tilleggsavgift: til hver lektor i f ** y via vektoren. Tross alt, ikke bare et vittig rim, alt matematisk korrekt - Vektoren kan festes der. Men ikke haste for å glede seg, studentene selv lider oftere \u003d)

Så, gratis vektor - dette er masse av identiske rettede segmenter. Skolefinisjon av en vektor gitt i begynnelsen av avsnittet: "Vektoren kalles en rettet kutt ...", innebærer spesifikk Det retningsegmentet tatt fra dette settet, som er bundet til et bestemt punkt av flyet eller rommet.

Det skal bemerkes at i form av fysikk er konseptet med fri vektor i det generelle saken feil, og punktet i vektorapplikasjonen er viktig. Faktisk er et direkte slag av den samme kraften på nesen eller i pannen nok til å utvikle mitt dumme eksempel, ta forskjellige konsekvenser. Derimot, ikke-fri Vektorer møtes og informeres (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Collinearity vektorer

I skoleåret av geometri vurderes en rekke handlinger og regler med vektorer: tilsetning av trekanten av trekanten, tillegg i henhold til regelen om parallellogram, vektorforskjellregel, vektormultiplikasjon av tallet, skalarproduktet av vektorer, etc. For frø gjentar vi to regler som er spesielt relevante for å løse problemene med analytisk geometri.

Regelen om tilsetning av vektorer i henhold til trekanten

Tenk på to vilkårlig ikke-nullvektor og:

Det kreves å finne mengden av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses å være frie, utsette vektor fra slutt Vector:

Sum av vektorer og er vektor. For en bedre forståelse av regelen i det, er det tilrådelig å investere fysisk betydning: La litt kropp gjort en vei til vektoren, og deretter av vektoren. Deretter er summen av vektorene en vektor av den resulterende banen med begynnelsen på utgangspunktet og slutten ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for mengden av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen passere seg sterkt fra en zigzag, og kanskje på autopilot - i henhold til den resulterende vektorsummen.

Forresten, hvis vektoren blir utsatt fra start vektor, så vil det være ekvivalent pollogram regel Tillegg av vektorer.

Først om vektorens kollisjonstid. To vektorer kalles collinear.Hvis de ligger på en rett linje eller på parallelle rette linjer. Grovt snakket, vi snakker om parallelle vektorer. Men i forhold til dem, adjektiv "Collinear" alltid bruk.

Presentere to kollinære vektor. Hvis pilen av disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer sonated.. Hvis pilene ser i forskjellige retninger, vil vektorene den motsatt rettet.

Betegnelser: Vektorens collinearitet registreres med det vanlige parallelliske ikonet: Det er mulig å detaljere: (Vektorene er belagt) eller (vektorer er motsatt).

Arbeid Nonzero-vektoren på tallet er en slik vektor, hvor lengden er like, og vektorene og er belagt med den motsatt rettet mot.

Vektor multiplikasjonsregelen er lettere å forstå med tegningen:

Vi forstår mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektor endrer retningen På motsatt side.

2) Lengde. Hvis multiplikatoren er avsluttet i eller, så lengden på vektoren faller. Så, vektorlengden er to ganger mindre enn vektorens lengde. Hvis multiplikatormodulen er mer enn en, så lengden på vektoren Øker i tide.

3) Merk det alle kollineære vektorerI dette tilfellet uttrykkes en vektor gjennom en annen, for eksempel. Det motsatte er også rettferdig: Hvis en vektor kan uttrykkes gjennom den andre, så er slike vektorer nødvendigvis kollinære. På denne måten: hvis vi multipliserer vektoren til nummeret, så er kollinen (i forhold til den første) vektor.

4) Vektorene er belagt. Vektorer og er også belagt. En hvilken som helst av den første gruppen av den første gruppen er motsatt rettet mot en annen gruppevektor.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er myntet og har samme lengde.. Legg merke til at kjøleren innebærer vektorens kollisjonstid. Definisjonen vil være unøyaktig (overflødig) hvis du sier: "To vektorer er like hvis de er kollinære, er belagt og har samme lengde."

Fra utsikten over begrepet fri vektor er like vektorer den samme vektoren, som allerede skjedde i forrige avsnitt.

Koordinatene til vektoren på flyet og i rommet

Første punkt vurdere vektorer på flyet. Jeg vil skildre det kartesiske rektangulære koordinatsystemet og utsette fra begynnelsen av koordinatene enkelt Vektorer og:

Vektorer I. ortogonal. Ortogonal \u003d vinkelrett. Jeg anbefaler at sakte blir vant til terminene: i stedet for parallell og vinkelrettitet, bruker vi ord tilsvarende collinearitet og ortogonalitet.

Betegnelse: Vektorens ortogonalitet registreres av det vanlige vinkelrettikonet, for eksempel :.

Vektorene under vurdering kalles koordinere vektorer eller orthy.. Disse vektorene formes basis på overflaten. Hva er grunnlaget, tror jeg, intuitivt mange forståelige, mer detaljerte opplysninger i artikkelen. Lineær (ikke) vektoravhengighet. Basisvektorer. Sursancible ord, grunnlaget og begynnelsen av koordinatene satt hele systemet - dette er en slags fundament som et komplett og mettet geometrisk liv kokes.

Noen ganger bygget base kalt ortonformated Grunnlaget for planet: "Orto" - Fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" en, dvs. Lengden på basevektorene er lik en.

Betegnelse: Grunnlag er vanligvis registrert i parenteser innenfor hvilken i streng sekvens Listet grunnleggende vektorer, for eksempel:. Koordinere vektorer det er umulig Omorganisere på steder.

Noen Vektorplan den eneste måten uttrykt i skjemaet:
hvor - tallkalt koordinater av vektoren I denne basen. Og uttrykket selv kalt dekomponering av vektor Bondus .

Middag servert:

La oss starte med det første bokstaven i alfabetet :. Ifølge tegningen er det tydelig sett at når vektoren dekomponerer grunnlaget, bare vurdert:
1) Vektor multiplikasjonsregel etter nummer: og;
2) Tilsetning av vektorer av trekantregelen :.

Og setter nå mentalt vektoren fra noe annet punkt i flyet. Det er klart at hans nedbrytning vil bli "ubarmhjertig å følge ham." Her er det, Vectors frihet - Vektoren "alle bærer med deg." Denne egenskapen er selvsagt sant for enhver vektor. Det er morsomt at de grunnleggende (gratis) vektorer ikke er nødvendige for å utsette fra begynnelsen av koordinatene, man kan tegne for eksempel til venstre på bunnen, og den andre er til høyre over, og ingenting vil forandre seg! Sant, det er ikke nødvendig å gjøre det, fordi læreren også vil vise originalitet og trekker deg "kreditert" på et uventet sted.

Vektorer, illustrerer nøyaktig vektor multiplikasjonsregel etter nummer, vektor er medstyrt med en grunnleggende vektor, vektoren er rettet mot grunnvektoren. Dataene i vektorene er en av koordinatene er , det kan registreres som:

Og de grunnleggende vektorene, forresten, så: (Faktisk uttrykkes de seg selv gjennom seg selv).

Og endelig: ,. Forresten, hva er subtraksjon av vektorer, og hvorfor gjorde jeg ikke fortalt om fradragsregelen? Et sted i en lineær algebra, husker jeg ikke hvor, jeg bemerket at subtraksjon er et spesielt tilfelle av tillegg. Så, dekomponering av vektorene "de" og "E" er stille registrert i form av beløpet: . Omorganisere komponentene til stedene og følg tegningen, da det gamle gode tilsetningen av vektorer i henhold til trekanten av trekant fungerer tydelig i disse situasjonene.

Betraktet dekomponering av type Noen ganger kalt dekomponering av vektoren i ORT-systemet (dvs. i systemet med enkeltvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å registrere vektoren på, det følgende alternativet er distribuert:

Eller med tegn på likestilling:

De grunnleggende vektorene selv er skrevet som følger: og

Det er i parenteser, koordinatene til vektoren er angitt. I praktiske oppgaver brukes alle tre opptaksalternativene.

Tvilte om å si, men fortsatt vil jeg si: koordinatene til vektorene kan ikke omorganiseres. Strengt i første omgang Skriv ned koordinaten som tilsvarer enhetens vektor strengt på andreplass Vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetens vektor. Faktisk, og - dette er fordi to forskjellige vektor.

Koordinater på flyet funnet ut. Nå vurdere vektorene i tredimensjonal plass, her nesten alt det samme! Legg bare til en annen koordinat. Tredimensjonale tegninger utfører hardt, så jeg vil begrense den samme vektoren, som for enkelhet vil utsette fra starten av koordinatene:

Noen Vector tredimensjonal plass kan enkel måte Bla gjennom orthonormal basis:
, hvor - koordinatene til vektoren (tallene) i denne basen.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan handlingsregler med vektorer fungerer her. Først er multiplikasjonen av vektoren: (rød pil), (grønn pil) og (raulisk pil). For det andre, et eksempel på å legge til noen få, i dette tilfellet tre, vektorer:. Veket av beløpet begynner på utgangspunktet for avreise (begynnelsen av vektoren) og sitter fast i det siste ankomststedet (sluttvektor).

Alle tredimensjonale vektorer er naturlig fri, prøv mentalt for å utsette vektoren fra noe annet punkt, og du vil forstå at hans nedbrytning vil forbli med den. "

Ligner på flatt tilfelle, i tillegg til opptak Versjoner med parenteser er mye brukt: heller.

Hvis det ikke er noen (eller to) koordinatvektor i dekomponeringen, blir nullene satt i stedet. Eksempler:
Vektor (grundig. ) - skrive;
Vektor (grundig. ) - skrive;
Vektor (grundig. ) - Vi skriver.

Basisvektorer er skrevet som følger:

Dette er kanskje all den minste teoretisk kunnskap som er nødvendig for å løse problemene med analytisk geometri. Kanskje litt av vilkår og definisjoner, så jeg anbefaler å re-lese tekanner og forstå denne informasjonen igjen. Og en hvilken som helst leser vil være nyttig fra tid til annen for å kontakte den grunnleggende leksjonen for bedre å mestre materialet. Collinearity, ortogonalitet, ortonormalt basis, dekomponering av en vektor - disse og andre konsepter vil ofte bli brukt i fremtiden. Jeg merker at materialene på nettstedet ikke er nok til å passere den teoretiske testen, colloquium på geometri, siden alle teorene (dessuten uten bevis) krypterer jeg nøye - til skade for den vitenskapelige stilen til presentasjonen, men pluss til din forståelse av emnet. For å få en detaljert teoretisk referanse, ber jeg om en bue til professor Atanasyan.

Og vi vender oss til den praktiske delen:

De enkleste oppgavene til analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Oppgaver som vil bli vurdert er ekstremt ønskelig å lære å løse på en komplett maskin, og formler husk helligeSelv spesielt ikke å huske seg, vil de huske \u003d) Dette er svært viktig fordi andre oppgaver av analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og vil irritere ekstra tid for å spise bønner. Du trenger ikke å blinke de øvre knappene på skjorten, mange ting er kjent med deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil gå parallelt med flyet, og for plass. Av grunnen til at alle formler ... se seg selv.

Hvordan finne en vektor på to poeng?

Hvis to flypunkter er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis det er to plasser i rommet, og Vector har følgende koordinater:

Dvs, fra vektor ende koordinater må trekke til de tilsvarende koordinatene begynnelsen av vektoren.

Oppgaven: For de samme punktene, skriv ned formelen for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1.

Det er to poeng av flyet og. Finn koordinatene til vektoren

Beslutning: Ifølge den tilsvarende formelen:

Alternativt kan du bruke følgende oppføring:

Estetes er løst som følger:

Personlig pleide jeg å den første versjonen av opptaket.

Svar:

Etter betingelse var det ikke nødvendig å bygge en tegning (som er typisk for oppgavene til analytisk geometri), men for å forklare noen øyeblikk til tekanner, ikke passer:

Pass på å forstå forskjellen mellom koordinatene til punktene og koordinatene til vektorene:

Koordinatene til punktet - Dette er de vanlige koordinatene i det rektangulære koordinatsystemet. Lagre poeng på koordinatplanet, tror jeg at alle er i stand til fortsatt fra 5-6 klasse. Hvert punkt har et strengt sted på flyet, og beveger dem et sted kan ikke flyttes.

Koordinater av samme vektor - Dette er hans grunnlag på grunnlag, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, så om nødvendig kan vi enkelt utsette det fra et annet punkt i flyet. Interessant, for vektorer kan du ikke bygge aksen i det hele tatt, det rektangulære koordinatsystemet, bare grunnlaget er nødvendig, i dette tilfellet det ortonormale grunnlaget for flyet.

Poster av koordinatene til poengene og koordinatene til vektorene ser ut til å være like:, og betydningen av koordinatene absolutt annerledesOg du bør forstå denne forskjellen godt. Denne forskjellen er selvsagt gyldig for plass.

Damer og herrer, få hånd:

Eksempel 2.

a) Donerte poeng og. Finn vektorer og.
b) Donas. og. Finn vektorer og.
c) datoer og. Finn vektorer og.
d) Datoer. Finn vers .

Kanskje nok. Dette er eksempler på en uavhengig løsning, prøv å ikke forsømme dem, lønne seg ;-). Tegninger trenger ikke å gjøre. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig når du løser oppgaver av analytisk geometri? Det er viktig å være ekstremt oppmerksom på å forhindre at verkstedet av feilen "to pluss to er lik null." Jeg beklager umiddelbart om jeg hadde galt \u003d)

Hvordan finne en lengde på et segment?

Lengde, som allerede nevnt, er angitt med modulskiltet.

Hvis to punkter av flyet er gitt, kan lengden på segmentet beregnes med formelen

Hvis det er to plasser i rommet, og så kan lengden på segmentet beregnes med formelen

Merk: Formler vil forbli riktig dersom relevante koordinater omregnes av steder: og, men mer standard er det første alternativet.

Eksempel 3.

Beslutning: Ifølge den tilsvarende formelen:

Svar:

For klarhet, vil jeg utføre en tegning

Seksjon - dette er ikke vektorOg flytte det et sted, selvfølgelig er det umulig. Også, hvis du utfører en tegning på en skala: 1 enhet. \u003d 1 cm (to lufttalceller), så kan det resulterende svaret kontrolleres av en konvensjonell linje, direkte måling av segmentets lengde.

Ja, løsningen er kort, men det er fortsatt et par viktige øyeblikk som jeg vil gjerne avklare:

Først, som svar, legger vi dimensjonen: "Enheter". Tilstanden sier ikke at det er millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk kompetent løsning være en generell formulering: "enheter" - forkortede "enheter".

For det andre gjentar vi skolematerialet som er nyttig, ikke bare for den vurderte oppgaven:

Følg med på viktig teknisk teknikk – plugger fra under roten. Som et resultat av beregningene hadde vi et resultat, og en god matematisk stil innebærer å gjøre en faktor fra under roten (hvis mulig). Mer prosessen ser slik ut: . Selvfølgelig, å la svaret i skjemaet ikke være en feil - men den mangelfulle tingen er sikkert og det tyngre argumentet for soldatene fra læreren.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte, under roten, oppnås et tilstrekkelig stort antall for eksempel. Hvordan være i slike tilfeller? I en kalkulator, kontroller om et tall er delt inn i 4:. Ja, det ble delt, dermed delt: . Eller kanskje tallet igjen vil bli delt inn i 4? . På denne måten: . I nummeret er den siste figuren merkelig, derfor delt i tredje gang i 4, er det klart ikke mulig. Vi prøver å dele ni :. Som et resultat:
Klar.

Produksjon: Hvis nummeret er på roten, er tallet oppnådd, så prøver vi å tåle en multiplikator fra under roten - på kalkulatoren kontrollerer vi om tallet er delt med: 4, 9, 16, 25, 36, 49, etc.

Under løsningen av ulike problemer blir røttene ofte funnet, prøv alltid å trekke ut multiplikatorer fra under roten for å unngå en lavere vurdering av ja unødvendige problemer med forbedringen av dine beslutninger i henhold til lærerens kommentar.

La oss samtidig gjenta konstruksjonen av røttene inn i torget og andre grader:

Virkningsplanene med grader generelt finnes i skolen læreboken på algebra, men jeg tror, \u200b\u200bfra eksemplene ovenfor, alt eller nesten alt er allerede klart.

Oppgave for en uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4.

Dana Dots og. Finn lengden på segmentet.

Løsning og svar på slutten av leksjonen.

Hvordan finner du lengden på vektoren?

Hvis et vektorplan er gitt, beregnes lengden med formelen.

Hvis vector av plass er gitt, beregnes lengden med formelen .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Før du gir begrepet vektorarbeid, vri på spørsmålet om orienteringen av en bestilt trippel av vektorer A →, B →, C → i tredimensjonalt rom.

Vi vil utsette vektorene A →, B →, C → fra ett punkt. Orienteringen av trippel A →, B →, C → er høyre eller venstre, avhengig av veorretningsretningen C →. På hvilken retning den korteste rotasjonen av vektoren a → k b → fra enden av vektoren C →, er typen av Troika A →, B →, C → bestemt.

Hvis den korteste rotasjonen utføres mot klokka, så trippelt av vektorer a →, b →, c → kalt ikke santhvis klokken - leva..

Deretter tar du to ikke-kollinære vektor A → og b →. Jeg vil da legge ut fra punkt en vektorer a b → \u003d a → og en c → \u003d b →. Vi konstruerer vektoren A D → \u003d C →, som samtidig er vinkelrett på både A B → og en C →. Således, når du bygger vektoren selv en D → \u003d C → kan vi gjøre en bicon, sette den eller en retning, eller det motsatte (se illustrasjon).

Bestilte tre vektorer A →, B →, C → Kanskje, som vi regnet ut høyre eller venstre, avhengig av veorretningen.

Fra det foregående kan vi komme inn i definisjonen av et vektorarbeid. Denne definisjonen er gitt for to vektorer som er definert i det rektangulære koordinatsystemet med tredimensjonal plass.

Definisjon 1.

Vektorprodukt av to vektorer A → og b → Vi vil kalle en slik vektor spesifisert i det rektangulære koordinatsystemet med tredimensjonal plass slik at:

hvis vektorer er → og b → Collinear, vil det være null;
det vil være vinkelrett på vektoren A → og vektoren B → dvs. ∠ A → C → \u003d ∠ b → C → \u003d π 2;
lengden bestemmes med formelen: C → \u003d A → · B → · SIN ∠ A →, B →;
troop av vektorer A →, B →, C → har samme orientering som det angitte koordinatsystemet.

Vector Artwork of Vectors A → og B → Har følgende betegnelse: A → × B →.

Koordinater av vektorarbeid

Siden en vektor har visse koordinater i koordinatsystemet, kan du angi den andre definisjonen av et vektorprodukt, som lar deg finne koordinatene i henhold til de angitte koordinatene for vektorer.

Definisjon 2.

I det rektangulære koordinatsystemet med tredimensjonal plass vektorprodukt av to vektorer a → \u003d (en x; a y; a z) og b → \u003d (B x; b y; b z) Kalt vektor c → \u003d a → × b → \u003d (ay · bz - az · av) · i → + (az · bx - økse · bz) · j → + (AX · BY - AY · BX) · K →, Hvor jeg →, J →, K → er koordinatvektorer.

Vector-produktet kan innføres som en tredje-ordens firkantede matrise-determinant, hvor den første linjen er eller → J →, K →, den andre linjen inneholder koordinatene til vektoren A →, og den tredje - koordinatene til vektoren b → I et gitt rektangulært koordinatsystem ser denne determinanten av matrisen den slik: C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → Axayazbxbybz

Decuting denne determinanten for elementene i den første linjen, oppnår vi likestilling: C → \u003d A → × B → \u003d I → J → K → Axazbxbybz \u003d AyazbyBx · I → Axazbxbz · J → + \u003d A → K → \u003d \u003d A → x B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · BY - AY · BX) · K →

Egenskaper av vektorarbeid

Det er kjent at vektoren produkt i koordinatene synes å være den bestemmende faktor for matrisen C → \u003d A → x B → \u003d i → j → k → en x en y z b x b y b z, deretter på basis egenskaper av determinant av matrisen Viser følgende egenskaper av vektorarbeid:

anti-commutativeness A → × B → \u003d - B → × A →;
distribution A (1) → + A (2) → x b \u003d a (1) → x b → + a (2) → x b → eller → x b (1) → + b (2) → \u003d en → x b (1) → + A → × b (2) →;
associativity λ · a → × b → \u003d λ · a → × b → eller → × (λ · b →) \u003d λ · a → × b →, hvor λ er et vilkårlig gyldig nummer.

Disse egenskapene har ikke vanskelige bevis.

For eksempel kan vi bevise den anti-kommutative egenskapen til vektorproduktet.

Bevis på anti-commutativivitet

Per definisjon A → × B → \u003d I → J → K → A x A y a z b x b y b z og b → k → \u003d i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Og hvis de to linjene i matrisene omarrangerer på steder, bør verdien av denerminanten av matrisen endres til det motsatte, derfor A → × B → \u003d I → J → K → Axayazbxbybz \u003d - I → J → K → BXBYBZAXAZ \u003d - B → × A → at Og beviser anti-commutativeness av vektoren arbeid.

Vector Art - Eksempler og løsninger

I de fleste tilfeller er det tre typer oppgaver.

I oppgavene til den første typen er lengden på to vektorer og vinkelen mellom dem vanligvis satt, og du må finne lengden på vektorproduktet. I så fall bruk følgende formel C → \u003d A → · B → SIN ∠ A →, B →.

Eksempel 1.

Finn lengden på vektorproduktet med vektorer A → og B →, hvis det er kjent A → \u003d 3, B → \u003d 5, ∠ A →, B → \u003d π 4.

Beslutning

Ved å bruke definisjonen av lengden av vektoren produkt av vektorene A → og B → jeg løser denne oppgave: A → x B → \u003d A → • B → · SIN ∠ A →, B → \u003d 3 · 5 · SIN π 4 \u003d 15 2 2.

Svar: 15 2 2 .

Objektene for den andre typen er relatert til koordinatene til vektorene, i dem et vektorprodukt, dens lengde, etc. Søkte gjennom de kjente koordinatene til de angitte vektorene en → \u003d (en x; en y; a z) og B → \u003d (B x; b y; b z) .

For denne typen oppgave kan du løse mange oppgaveralternativer. For eksempel kan koordinatene til vektorene A → og B →, men deres dekomponeringer på koordinatvektorene i skjemaet kan gis. B → \u003d b x · i → + b y · j → + b z · k → og c → \u003d en → x b → \u003d (ay · bz - az · ved) · i → + (a-· bx - ax · bz) · j → + (ax · ved - ay · bx) · k →, eller Vektorer A → og B → kan stilles inn av koordinatene til punktene i begynnelsen og slutten.

Vurder følgende eksempler.

Eksempel 2.

I det rektangulære koordinatsystemet er to vektorer a → \u003d (2; 1; - 3), b → \u003d (0; - 1; 1) er gitt. Finn deres vektorkunst.

Beslutning

På den annen definisjon, finner vi en vektor av to vektorer i de spesifiserte koordinater: A → x B → \u003d (AY · BZ - AZ · BY) · I → + (AZ · BX - AX · BZ) · J → + (AX · ved - AY · Bx) · k → \u003d \u003d (1 * 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 * 1) · j → + ( 2 * (- 1) - 1 · 0) · k → \u003d - 2 i → 2 j → - 2 k →.

Hvis man tar opp en vektor som produkt gjennom matrisen determinant, hvorpå løsningen i dette eksempel er som følger: a → x b → \u003d i → j → k → axayazbxbybz \u003d i → j → k → 2-en - 3 0 - 1 1 \u003d - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Svar: A → × B → \u003d - 2 I → 2 J → - 2 K →.

Eksempel 3.

Finn lengden av vektoren produkt av vektorene I → - j → og jeg → + j + k → →, hvor jeg →, j →, k → - orthops i den rektangulære kartesiske koordinatsystem.

Beslutning

Til å begynne med finner vi koordinatene til det angitte vektorproduktet I → - J → → → + J → + K → i dette rektangulære koordinatsystemet.

Det er kjent at vektorer jeg → - J → og jeg → + J → + k → har koordinater (1; - 1; 0) og (1; 1; 1), henholdsvis. Finn lengden av vektoren produkt ved hjelp av determinanten til matrisen, så har vi i → - j → x I → + j → k → 1 - 1 0 1 1 1 \u003d - i → - j → + 2 k →.

Følgelig har vektorproduktet i → J → × I → + J → + K → koordinater (- 1; - 1; 2) i et gitt koordinatsystem.

Vi finner lengden på vektorproduktet i henhold til formelen (se avsnittet Finne lengden på vektoren): I → - J → × I → + J → + K → \u003d - 1 2 + - 1 2 + 2 2 \u003d 6.

Svar: Jeg → - J → × I → + J → + K → \u003d 6. .

Eksempel 4.

I et rektangulært dekartet koordinatsystem settes koordinatene til tre punkter A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Finn noen vektor vinkelrett en B → og en C → på samme tid.

Beslutning

Vektorer A B → og en C → har følgende koordinater (- 1; 2; 2) og (0; 4; 1), henholdsvis. Etter å ha funnet et vektorprodukt av vektorer A B → og en C →, er det åpenbart at det er en vinkelrett vektor per definisjon og til en b → og til en C →, det vil si, er løsningen av vår oppgave. Vi finner det en B → × A C → \u003d I → J → K → 1 2 2 0 4 1 \u003d - 6 I → + J → - 4 K →.

Svar: - 6 I → + J → - 4 K →. - En av de vinkelrette vektorer.

Tredje type oppgaver er fokusert på å bruke vektor kunstegenskaper. Etter bruken av hvilken vil vi motta en løsning på en gitt oppgave.

Eksempel 5.

Vektorer a → og b → vinkelrett og deres lengder er like, henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på vektorproduktet 3 · A → - B → × A → 2 · B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → × A → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →.

Beslutning

Av eiendommen til fordelingen av vektorproduktet kan vi skrive 3 · a → - B → × A → 2 × B → \u003d 3 · A → × A → - 2 · B → + - B → → - 2 · B → \u003d \u003d 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - B → × - 2 · B →

Ved eiendommen til assosiativitet vil vi utføre numeriske koeffisienter for tegn på vektorverk i det siste uttrykket: 3 · A → × A → + 3 · A → × - 2 · B → + - B → × A → + - b → × - 2 · b → \u003d \u003d 3 · a → × A → + 3 · (- 2) · A → × B → + (- 1) · b → × A → + (- 1) · (- 2 ) · B → × b → \u003d \u003d 3 · a → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + 2 · B → × B →

Vector fungerer a → × A → og b → × b → lik 0, som en → × A → \u003d A → → → → Sin 0 \u003d 0 og b → × B → \u003d B → → × B → \u003d B → → × B → \u003d B → → B → → Sin 0 \u003d 0, Deretter 3 · A → × A → - 6 · A → × B → - B → × A → + - B → × A → + - 6 → × B → \u003d - 6 · A → × B → - B → × A →. .

Fra den anti-commutativiteten til vektorproduktet, 6 · a → × B → - B → → → \u003d - 6 · A → × B → (- 1) → → × B → \u003d - 5 → → × B → . .

Ved å bruke egenskapene til vektorarbeidet, får vi likestilling 3 · A → - B → × A → - 2 · b → \u003d \u003d - 5 · A → × b →.

Etter betingelse, vektorene a → og b → vinkelrett, det vil si at vinkelen mellom dem er lik π 2. Nå forblir det bare for å erstatte verdiene som finnes i de tilsvarende formlene: 3 · A → - B → × A → - 2 · B → \u003d - 5 · A → × B → \u003d 5 · A → × B → \u003d 5 · A → · b → · SIN (A →, B →) \u003d 5 · 3 · 4 · SIN π 2 \u003d 60.

Svar: 3 · A → - B → × A → - 2 · b → \u003d 60.

Lengden på vektorproduktet av ereksjonsvektorene er lik A → × b → \u003d A → → B → SIN ∠ A →, B →. Siden det allerede er kjent (fra skolekurset) at trekantområdet er lik halvparten av arbeidet med lengden på sine to sider multiplisert med hjørnet mellom disse partene. Derfor er lengden på vektproduktet lik området av parallellogrammet - en dobbelt trekant, nemlig produktet av partene i form av vektorer A → og B →, venter fra ett punkt, på hjørnet sinus mellom dem synd ∠ a →, b →.

Dette er den geometriske betydningen av vektorproduktet.