Det gis poeng for å konstruere vektorer. Koordinater og vektorer

Algebraisk vektorprojeksjon på enhver akse er lik produktet av lengden til vektoren med cosinus til vinkelen mellom aksen og vektoren:

Pr a b = | b | cos (a, b) eller

Der a b er skalarproduktet av vektorer, | a | er modulen til vektoren a.

Instruksjon. For å finne projeksjonen av vektoren Пp a b i online-modus, må du spesifisere koordinatene til vektorene a og b. I dette tilfellet kan vektoren spesifiseres på et plan (to koordinater) og i rommet (tre koordinater). Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Hvis vektorer er spesifisert gjennom koordinatene til punktene, må denne kalkulatoren brukes.

Klassifisering av vektorprojeksjon

Typer projeksjoner per definisjon vektorprojeksjon

Koordiner projeksjonsvisninger

Vektorprojeksjonsegenskaper

Den geometriske projeksjonen av en vektor er en vektor (har en retning).
Den algebraiske projeksjonen av en vektor er et tall.

Vektorprojeksjonsteoremer

Teorem 1. Projeksjonen av summen av vektorer på en hvilken som helst akse er lik projeksjonen av leddene til vektorene på samme akse.

Teorem 2. Den algebraiske projeksjonen av en vektor på en hvilken som helst akse er lik produktet av lengden på vektoren og cosinus til vinkelen mellom aksen og vektoren:

Pr a b = | b | cos (a, b)

Typer vektorprojeksjoner

projeksjon på OX-aksen.
projeksjon på OY-aksen.
vektorprojeksjon.

OX-projeksjon	OY-akse projeksjon	Vektorprojeksjon
Hvis retningen til vektoren A'B 'sammenfaller med retningen til OX-aksen, så har projeksjonen av vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen til vektoren A'B 'sammenfaller med retningen til OY-aksen, så har projeksjonen av vektoren A'B' et positivt fortegn.	Hvis retningen til vektoren A'B 'sammenfaller med retningen til vektoren NM, så har projeksjonen av vektoren A'B' et positivt fortegn.
Hvis retningen til vektoren er motsatt av retningen til OX-aksen, har projeksjonen av vektoren A'B et negativt fortegn.	Hvis retningen til vektoren A'B 'er motsatt av retningen til OY-aksen, så har projeksjonen av vektoren A'B' et negativt fortegn.	Hvis retningen til vektor A'B 'er motsatt av retningen til vektor NM, så har projeksjonen av vektor A'B' et negativt fortegn.
Hvis vektoren AB er parallell med OX-aksen, er projeksjonen av vektoren A'B' lik den absolutte verdien av vektoren AB.	Hvis vektoren AB er parallell med OY-aksen, er projeksjonen av vektoren A'B' lik den absolutte verdien av vektoren AB.	Hvis vektor AB er parallell med vektor NM, er projeksjonen av vektor A'B' lik modulen til vektor AB.
Hvis vektoren AB er vinkelrett på OX-aksen, er projeksjonen A'B' lik null (nullvektor).	Hvis vektoren AB er vinkelrett på OY-aksen, så er projeksjonen A'B 'lik null (null-vektor).	Hvis vektor AB er vinkelrett på vektor NM, så er projeksjon A'B' lik null (null-vektor).

1. Spørsmål: Kan vektorprojeksjonen ha negativt fortegn. Svar: Ja, vektorprojeksjonen kan være negativ. I dette tilfellet har vektoren motsatt retning (se hvordan OX-aksen og AB-vektoren er rettet)
2. Spørsmål: Kan projeksjonen av vektoren være den samme som modulen til vektoren. Svar: Ja, det kan det. I dette tilfellet er vektorene parallelle (eller kollineære).
3. Spørsmål: Kan projeksjonen av en vektor være lik null (null-vektor). Svar: Ja, det kan det. I dette tilfellet er vektoren vinkelrett på den tilsvarende aksen (vektor).

Eksempel 1. Vektoren (fig. 1) danner en vinkel på 60° med OX-aksen (den er spesifisert av vektoren a). Hvis OE er en skalaenhet, så | b | = 4, altså .

Faktisk er lengden på vektoren (geometrisk projeksjon b) 2, og retningen faller sammen med retningen til OX-aksen.

Eksempel 2. Vektoren (fig. 2) danner en vinkel (a, b) = 120 o med OX-aksen (med vektoren a). Lengde | b | vektor b er lik 4, derfor pr a b = 4 · cos120 o = -2.

Faktisk er lengden på vektoren 2, og retningen er motsatt av retningen til aksen.

Første nivå

Koordinater og vektorer. Omfattende veiledning (2019)

I denne artikkelen vil vi begynne en diskusjon om en "tryllestav" som vil tillate deg å redusere mange geometriproblemer til enkel aritmetikk. Denne "pinnen" kan gjøre livet ditt mye lettere, spesielt i tilfelle du føler deg usikker i konstruksjonen av romlige figurer, seksjoner osv. Alt dette krever en viss fantasi og praktiske ferdigheter. Metoden, som vi vil begynne å vurdere her, vil tillate deg å nesten fullstendig abstrahere deg fra alle slags geometriske konstruksjoner og resonnement. Metoden kalles "Koordinatmetode"... I denne artikkelen vil vi vurdere følgende spørsmål:

Koordinat fly
Punkter og vektorer i planet
Konstruere en vektor fra to punkter
Vektorlengde (avstand mellom to punkter)
Midtpunktskoordinater
Punktprodukt av vektorer
Vinkel mellom to vektorer

Jeg tror du allerede har gjettet hvorfor koordinatmetoden kalles det? Det er sant at han fikk et slikt navn, siden han ikke opererer med geometriske objekter, men med deres numeriske egenskaper (koordinater). Og selve transformasjonen, som lar oss gå fra geometri til algebra, består i å introdusere et koordinatsystem. Hvis den opprinnelige figuren var flat, er koordinatene todimensjonale, og hvis figuren er tredimensjonale, så er koordinatene tredimensjonale. I denne artikkelen vil vi bare vurdere det todimensjonale tilfellet. Og hovedmålet med artikkelen er å lære deg hvordan du bruker noen grunnleggende teknikker for koordinatmetoden (de viser seg noen ganger å være nyttige for å løse problemer på planimetri i del B av eksamen). De neste to delene om dette emnet er viet diskusjonen om metoder for å løse problemer C2 (problemet med stereometri).

Hvor ville det være logisk å begynne å diskutere koordinatmetoden? Sannsynligvis fra begrepet et koordinatsystem. Husk når du møtte henne første gang. Det virker for meg som om du i 7. klasse, da du lærte om eksistensen av en lineær funksjon, for eksempel. La meg minne deg på at du bygget det punkt for punkt. Husker du? Du valgte et vilkårlig tall, erstattet det i formelen og regnet ut på den måten. For eksempel hvis, da, hvis, da osv. Hva fikk du til slutt? Og du fikk poeng med koordinater: og. Deretter tegnet du et "kryss" (koordinatsystem), valgte en skala på det (hvor mange celler du vil ha som enhetssegment) og markerte på det punktene du mottok, som du deretter koblet med en rett linje, den resulterende linjen er grafen til funksjonen.

Det er flere punkter her som bør forklares litt mer detaljert:

1. Du velger et enkelt segment av bekvemmelighetshensyn, slik at alt passer fint og kompakt inn i bildet.

2. Det antas at aksen går fra venstre mot høyre, og aksen går fra bunn til topp.

3. De skjærer hverandre i rette vinkler, og skjæringspunktet kalles origo. Det er angitt med en bokstav.

4. Når du skriver koordinatene til et punkt, for eksempel, til venstre i parentes er koordinaten til punktet langs aksen, og til høyre langs aksen. Spesielt betyr det ganske enkelt at på punktet

5. For å sette et punkt på koordinataksen, må du spesifisere koordinatene (2 tall)

6. For ethvert punkt på aksen,

7. For ethvert punkt på aksen,

8. Aksen kalles abscisseaksen.

9. Aksen kalles y-aksen.

La oss nå ta neste steg med deg: marker to punkter. La oss koble disse to punktene med et segment. Og vi vil sette pilen som om vi tegnet et segment fra punkt til punkt: det vil si at vi vil gjøre segmentet vårt rettet!

Husk, hva annet kalles en retningslinje? Det er riktig, det kalles en vektor!

Så hvis vi forbinder et punkt med et punkt, dessuten vil begynnelsen være punkt A, og slutten vil være punkt B, da får vi en vektor. Du gjorde også denne formasjonen i 8. klasse, husker du?

Det viser seg at vektorer, som punkter, kan betegnes med to tall: disse tallene kalles koordinatene til vektoren. Spørsmålet er: tror du det er nok for oss å kjenne koordinatene til begynnelsen og slutten av vektoren for å finne dens koordinater? Det viser seg at ja! Og dette gjøres veldig enkelt:

Derfor, siden punktet i vektoren er begynnelsen og a er slutten, har vektoren følgende koordinater:

For eksempel hvis, så koordinatene til vektoren

La oss nå gjøre det motsatte, finne koordinatene til vektoren. Hva må vi endre for dette? Ja, du må bytte begynnelsen og slutten: nå vil begynnelsen av vektoren være på punktet, og slutten vil være på punktet. Deretter:

Se nøye, hvordan er vektorer og? Deres eneste forskjell er tegnene i koordinatene. De er motsatte. Det er vanlig å skrive dette faktum slik:

Noen ganger, hvis det ikke spesifikt er spesifisert hvilket punkt som er begynnelsen på vektoren, og hvilket som er slutten, er vektorer ikke merket med to store bokstaver, men med en liten bokstav, for eksempel:, etc.

Nå litt øve på selv og finn koordinatene til følgende vektorer:

Undersøkelse:

Løs problemet litt vanskeligere nå:

Vektor med na-cha-lom på punktet har co-eller-di-na-ty. Nei-di-de abs-cis-su-punktene.

Likevel er det ganske prosaisk: La være koordinatene til et punkt. Deretter

Jeg laget systemet ved definisjon av hva koordinatene til en vektor er. Da har punktet koordinater. Vi er interessert i abscissen. Deretter

Svar:

Hva annet kan du gjøre med vektorer? Ja, nesten alt er det samme som med vanlige tall (bortsett fra at du ikke kan dele, men du kan multiplisere på to måter, hvorav den ene skal diskuteres her litt senere)

Vektorer kan legges til hverandre
Vektorer kan trekkes fra hverandre
Vektorer kan multipliseres (eller divideres) med et vilkårlig tall som ikke er null
Vektorer kan multipliseres med hverandre

Alle disse operasjonene har en veldig tydelig geometrisk representasjon. For eksempel, trekanten (eller parallellogram) regelen for addisjon og subtraksjon:

Vektoren utvides eller trekker seg sammen eller endrer retning når den multipliseres eller divideres med et tall:

Men her vil vi være interessert i spørsmålet om hva som skjer med koordinatene.

1. Når vi adderer (subtraherer) to vektorer, legger vi til (subtraherer) deres koordinater element for element. Det er:

2. Når du multipliserer (deler) en vektor med et tall, blir alle dens koordinater multiplisert (delt) med dette tallet:

For eksempel:

· Nei-di-te summen av co-or-di-nat vek-to-ra.

La oss først finne koordinatene til hver av vektorene. De har begge samme opphav - opprinnelsespunktet. Endene deres er forskjellige. Deretter, . La oss nå beregne koordinatene til vektoren. Da er summen av koordinatene til den resulterende vektoren.

Svar:

Løs nå følgende problem selv:

Finn summen av koordinatene til en vektor

Vi sjekker:

La oss nå vurdere følgende problem: vi har to punkter på koordinatplanet. Hvordan finne avstanden mellom dem? La det første punktet være, og det andre. La oss betegne avstanden mellom dem gjennom. La oss lage følgende tegning for klarhet:

Hva jeg har gjort? Jeg koblet for det første sammen punktene, og også fra punktet tegnet jeg en linje parallelt med aksen, og fra punktet tegnet jeg en linje parallelt med aksen. Skjærte de seg på et punkt, og dannet dermed en fantastisk figur? Hva er det bemerkelsesverdig for? Ja, du og jeg vet nesten alt om en rettvinklet trekant. Vel, Pythagoras teorem - helt klart. Det søkte segmentet er hypotenusen til denne trekanten, og segmentene er bena. Hva er koordinatene til et punkt? Ja, de er enkle å finne fra bildet: Siden segmentene er parallelle med aksene, og følgelig er lengdene deres enkle å finne: hvis du angir lengdene til segmentene, henholdsvis med, så

La oss nå bruke Pythagoras teorem. Vi vet lengden på bena, vi finner hypotenusen:

Dermed er avstanden mellom to punkter roten av summen av kvadratene av forskjellene fra koordinatene. Eller - avstanden mellom to punkter er lengden på linjen som forbinder dem. Det er lett å se at avstanden mellom punktene er uavhengig av retning. Deretter:

Av dette trekker vi tre konklusjoner:

La oss øve litt på å beregne avstanden mellom to punkter:

For eksempel hvis, så er avstanden mellom og lik

Eller la oss gå annerledes: Finn koordinatene til vektoren

Og finn lengden på vektoren:

Som du kan se, det samme!

Tren litt selv:

Oppgave: Finn avstanden mellom de angitte punktene:

Vi sjekker:

Her er et par flere problemer for samme formel, selv om de høres litt annerledes ut:

1. Nay-di-te kvadratrotte av lengden av århundre-til-ra.

2. Nay-di-te kvadratrotte av lengden av århundre-til-ra

Jeg tror du gjorde det enkelt med dem? Vi sjekker:

1. Og dette er for oppmerksomhet) Vi har allerede funnet koordinatene til vektorene og tidligere:. Da har vektoren koordinater. Kvadraten på lengden vil være:

2. Finn koordinatene til vektoren

Da er kvadratet av lengden

Ikke noe komplisert, ikke sant? Enkel aritmetikk, ikke noe mer.

Følgende oppgaver kan ikke kategoriseres entydig, de er mer sannsynlige for generell lærdom og evnen til å tegne enkle bilder.

1. Nay-di-te sinus til en vinkel på-av-skjæring, co-uni-nya-yu-shch-th punkt, med abscisseaksen.

Hva skal vi gjøre her? Du må finne sinusen til vinkelen mellom og aksen. Og hvor vet vi hvordan vi ser etter en sinus? Høyre, i en rettvinklet trekant. Så hva trenger vi å gjøre? Bygg denne trekanten!

Siden koordinatene til punktet er og, er segmentet likt, og segmentet. Vi må finne sinusen til vinkelen. La meg minne deg på at sinus er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen

Hva har vi igjen å gjøre? Finn hypotenusen. Du kan gjøre det på to måter: ved Pythagoras teorem (beina er kjent!) Eller ved formelen for avstanden mellom to punkter (faktisk det samme som den første måten!). Jeg vil gå den andre veien:

Svar:

Den neste oppgaven vil virke enda enklere for deg. Hun - på koordinatene til punktet.

Mål 2. Per-pen-di-kular senkes fra punktet til abs-ciss-aksen. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

La oss lage en tegning:

Basen til perpendikulæren er punktet der den krysser abscisseaksen (aksen), for meg er dette punktet. Figuren viser at den har koordinater:. Vi er interessert i abscissen - det vil si "x"-komponenten. Det er likt.

Svar: .

Mål 3. Under betingelsene i forrige oppgave, finn summen av avstandene fra et punkt til koordinataksene.

Oppgaven er generelt elementær, hvis du vet hva avstanden fra et punkt til aksene er. Du vet? Jeg håper, men jeg minner deg likevel om:

Så på bildet mitt, som ligger litt høyere, har jeg allerede tegnet en slik vinkelrett? Hvilken akse er det til? Til aksen. Og hva er så lengden lik? Det er likt. Tegn nå vinkelrett på aksen selv og finn lengden. Det blir likt, ikke sant? Da er summen deres lik.

Svar: .

Oppgave 4. I betingelsene for oppgave 2, finn ordinaten til punktet symmetrisk til punktet i forhold til abscisseaksen.

Jeg tror du intuitivt forstår hva symmetri er? Mange gjenstander har det: mange bygninger, bord, fly, mange geometriske former: en kule, sylinder, firkant, rombe osv. Grovt sett kan symmetri forstås slik: en figur består av to (eller flere) identiske halvdeler. Denne symmetrien kalles aksial. Hva er da en akse? Dette er nøyaktig linjen langs hvilken en figur relativt sett kan "skjæres" i identiske halvdeler (i dette bildet er symmetriaksen en rett linje):

La oss nå komme tilbake til problemet vårt. Vi vet at vi ser etter et punkt som er symmetrisk om aksen. Da er denne aksen symmetriaksen. Dette betyr at vi må markere et punkt slik at aksen kutter segmentet i to like deler. Prøv å markere et slikt punkt selv. Sammenlign nå med min løsning:

Gjorde du det samme? OK! På funnpunktet er vi interessert i ordinaten. Hun er likestilt

Svar:

Fortell meg nå, etter å ha tenkt på sekunder, hva vil abscissen til et punkt som er symmetrisk til punkt A med hensyn til ordinaten? Hva er svaret ditt? Korrekt svar: .

Generelt kan regelen skrives slik:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt i forhold til abscisseaksen har koordinater:

Et punkt som er symmetrisk til et punkt rundt ordinataksen har koordinater:

Vel, nå er det helt skummelt oppgave: finn koordinatene til et punkt som er symmetrisk til et punkt, i forhold til origo. Du tenker først selv, og så ser du på tegningen min!

Svar:

Nå parallellogram problem:

Oppgave 5: Poengene er ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nei-di-te eller-di-na-tu poeng.

Du kan løse dette problemet på to måter: logikk og metoden for koordinater. Jeg skal først bruke koordinatmetoden, og så skal jeg fortelle deg hvordan du kan bestemme noe annet.

Det er helt klart at abscissen til punktet er lik. (den ligger på vinkelrett tegnet fra et punkt til abscisse-aksen). Vi må finne ordinaten. La oss dra nytte av det faktum at figuren vår er et parallellogram, som betyr det. Finn lengden på segmentet ved å bruke formelen for avstanden mellom to punkter:

Vi senker vinkelrett som forbinder punktet med aksen. Krysningspunktet vil merkes med en bokstav.

Segmentlengden er. (finn selve problemet, der vi diskuterte dette punktet), så vil vi finne lengden på segmentet ved Pythagoras teorem:

Lengden på linjen er nøyaktig den samme som ordinaten.

Svar: .

En annen løsning (jeg skal bare gi et bilde som illustrerer det)

Løsningsfremgang:

1. Oppførsel

2. Finn koordinatene til punktet og lengden

3. Bevis det.

En annen problem med segmentlengde:

Punktene vises-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-kull-ni-ka. Nay-di-te er lengden på dens midtlinje, paral-lel-noy.

Husker du hva midtlinjen i en trekant er? Da er denne oppgaven elementær for deg. Hvis du ikke husker det, vil jeg minne deg på: midtlinjen i en trekant er linjen som forbinder midtpunktene til motsatte sider. Den er parallell med basen og lik halvparten av den.

Basen er et linjestykke. Vi måtte se etter lengden tidligere, den er lik. Da er lengden på midtlinjen halv og lik.

Svar: .

Kommentar: dette problemet kan løses på en annen måte, som vi vil se på litt senere.

I mellomtiden, her er noen få oppgaver for deg, øv på dem, de er ganske enkle, men de hjelper deg å "få hånden" ved å bruke koordinatmetoden!

1. Punktene er ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te er lengden på midtlinjen.

2. Prikker og are-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nei-di-te eller-di-na-tu poeng.

3. Nay-di-te lengde fra-cut, co-single-nya-yu-shch-go point og

4. Nay-di-te-området av den vakre fi-gu-ryen på co-or-di-nat-noy-flyet.

5. Sirkelen med sentrum ved na-cha-le ko-or-di-nat går gjennom punktet. Nei-di-te hennes ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us av sirkelen, beskrevet-san-noy rundt rekt-kull-ni-ka, toppunktene til ko-to-ro-go har en co-op -di-na -du medveter-men

Løsninger:

1. Det er kjent at midtlinjen til en trapes er lik halvsummen av basene. Basen er lik, og basen er. Deretter

Svar:

2. Den enkleste måten å løse dette problemet på er å legge merke til det (parallellogramregelen). Beregn koordinatene til vektorer og er ikke vanskelig:. Når vektorer legges til, legges koordinatene til. Har så koordinater. Punktet har også de samme koordinatene, siden opprinnelsen til vektoren er punktet med koordinatene. Vi er interessert i ordinaten. Det er likt.

Svar:

3. Vi handler umiddelbart i henhold til formelen for avstanden mellom to punkter:

Svar:

4. Se på bildet og fortell meg, mellom hvilke to former er det skraverte området "sandwich"? Den er klemt mellom to firkanter. Da er arealet til den nødvendige figuren lik arealet til den store firkanten minus arealet til den lille. Siden av den lille firkanten er et linjestykke som forbinder punktene og lengden er

Da er arealet av den lille firkanten

Vi gjør det samme med en stor firkant: siden er et segment som forbinder punktene og lengden er

Da er arealet til det store torget

Vi finner arealet av den nødvendige figuren ved formelen:

Svar:

5. Hvis sirkelen har opprinnelsen til koordinater som senter og går gjennom et punkt, vil radiusen være nøyaktig lik lengden på segmentet (tegn et bilde og du vil forstå hvorfor dette er åpenbart). La oss finne lengden på dette segmentet:

Svar:

6. Det er kjent at radiusen til en sirkel omskrevet rundt et rektangel er lik halvparten av diagonalen. La oss finne lengden på en av de to diagonalene (tross alt, i et rektangel er de like!)

Svar:

Vel, har du taklet alt? Det var ikke veldig vanskelig å finne ut av det, var det? Regelen her er én - å kunne lage et visuelt bilde og ganske enkelt "lese" alle dataene fra det.

Vi har veldig lite igjen. Det er bokstavelig talt to punkter til som jeg ønsker å diskutere.

La oss prøve å løse dette enkle problemet. La to poeng og gis. Finn koordinatene til midtpunktet av segmentet. Løsningen på dette problemet er som følger: la punktet være det ønskede midtpunktet, så har det koordinatene:

Det er: koordinatene til midtpunktet av segmentet = det aritmetiske gjennomsnittet av de tilsvarende koordinatene til endene av segmentet.

Denne regelen er veldig enkel og forårsaker vanligvis ikke vanskeligheter for elevene. La oss se hvilke oppgaver og hvordan det brukes:

1. Nay-di-te or-di-na-tu-re-di-us from-cut, co-uni-nya-yu-shch-go point og

2. Punktene vises-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-kull-no-ka. Nei-di-te eller-di-na-tu poeng av pe-re-se-ch-niya hans dia-go-na-lei.

3. Nei-di-de abs-cis-su sentrum-tra av sirkelen, beskrevet-san-noy nær kull-no-ka, toppunktene til ko-to-ro-go har co-op-di- na-du co-vet-men.

Løsninger:

1. Det første problemet er bare en klassiker. Vi handler umiddelbart for å bestemme midten av segmentet. Den har koordinater. Ordinaten er.

Svar:

2. Det er lett å se at den gitte firkanten er et parallellogram (til og med en rombe!). Du kan selv bevise dette ved å beregne lengdene på sidene og sammenligne dem med hverandre. Hva vet jeg om et parallellogram? Diagonalene er halvert av skjæringspunktet! Aha! Så hva er skjæringspunktet mellom diagonalene? Dette er midten av noen av diagonalene! Jeg vil spesielt velge diagonalen. Da har punktet koordinater Ordinaten til punktet er lik.

Svar:

3.Hva er sentrum av sirkelen omskrevet om rektangelet med? Det faller sammen med skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel? De er like og krysset er halvert. Oppgaven ble redusert til den forrige. Ta for eksempel diagonalen. Så hvis er midten av den omskrevne sirkelen, så er midten. Ser etter koordinater: Abscissen er lik.

Svar:

Nå skal du trene litt selv, jeg skal bare gi svarene på hver oppgave slik at du kan teste deg selv.

1. Nai-di-te ra-di-us av sirkelen, beskrevet-san-noy rundt trekanten, toppunktene til co-to-ro-go har co-eller-di -no misters

2. Nei-di-te eller-di-na-tu sentrum-tra av sirkelen, beskriv-san-noy rundt trekanten-nik, toppunktene til ko-to-ro-go har koordinater

3. Hvordan-ra-di-u-sa skal det være en sirkel med et senter i et punkt slik at den vil berøre abs-cissa-aksen?

4. Nay-di-te eller-di-na-tu-punkter for pe-re-såing av aksen og cut-off, co-uni-nya-yu-shch-go punkt og

Svar:

Har du lyktes? Jeg håper virkelig på det! Nå - siste push. Vær spesielt forsiktig nå. Materialet som jeg nå skal forklare er direkte relatert ikke bare til enkle problemer på koordinatmetoden fra B-delen, men forekommer også overalt i C2-oppgaven.

Hvilke av løftene mine har jeg ikke holdt ennå? Husker du hvilke operasjoner på vektorer jeg lovet å introdusere og hvilke jeg til slutt introduserte? Er jeg sikker på at jeg ikke har glemt noe? Glemte! Glemte å forklare hva multiplikasjon av vektorer betyr.

Det er to måter å multiplisere en vektor med en vektor. Avhengig av valgt metode vil vi få gjenstander av en annen karakter:

Vektorproduktet er ganske vanskelig. Hvordan du gjør det og hva det er for, vil vi diskutere med deg i neste artikkel. Og i denne vil vi fokusere på punktproduktet.

Det er allerede to måter vi kan beregne det på:

Som du gjettet, bør resultatet være det samme! Så la oss først se på den første måten:

Prikk produkt i form av koordinater

Finn: - produktnotasjon med vanlig punkt

Formelen for beregningen er som følger:

Det vil si at punktproduktet = summen av produktene til koordinatene til vektorene!

Eksempel:

Nai di te

Løsning:

La oss finne koordinatene til hver av vektorene:

Vi beregner prikkproduktet med formelen:

Svar:

Se, absolutt ingenting komplisert!

Vel, prøv det selv:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat og

Klarte du deg? Kanskje du la merke til en liten hake? La oss sjekke:

Koordinatene til vektorene er de samme som i forrige oppgave! Svar: .

I tillegg til koordinaten er det en annen måte å beregne prikkproduktet på, nemlig gjennom lengdene på vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Angir vinkelen mellom vektorer og.

Det vil si at punktproduktet er lik produktet av lengdene til vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.

Hvorfor trenger vi denne andre formelen, hvis vi har den første, som er mye enklere, er det i det minste ingen cosinus i den. Og det trengs slik at vi kan utlede fra den første og andre formelen hvordan vi finner vinkelen mellom vektorer!

La Så husk formelen for lengden på vektoren!

Så hvis jeg erstatter disse dataene med prikkproduktformelen, får jeg:

Men på den andre siden:

Så hva fikk du og jeg? Vi har nå en formel for å beregne vinkelen mellom to vektorer! Noen ganger er det også skrevet slik for korthets skyld:

Det vil si at algoritmen for å beregne vinkelen mellom vektorer er som følger:

Regn ut prikkproduktet i form av koordinater
Finn lengdene på vektorene og gang dem
Del resultatet av punkt 1 med resultatet av punkt 2

La oss øve med eksempler:

1. Nay-di-te er vinkelen mellom århundre-til-ra-mi og. Gi svaret i gra-du-sakh.

2. Under betingelsene i forrige oppgave, finn cosinus mellom vektorene

La oss gjøre dette: Jeg skal hjelpe deg med å løse det første problemet, og prøve å gjøre det andre selv! Bli enige? Så la oss komme i gang!

1. Disse vektorene er våre gamle bekjente. Vi har allerede telt punktproduktet deres, og det var likt. Koordinatene deres er:,. Så finner vi lengdene deres:

Så ser vi etter cosinus mellom vektorene:

Hva er cosinus til vinkelen? Dette er hjørnet.

Svar:

Løs det andre problemet selv, og så sammenligner vi! Jeg vil bare gi deg en veldig kort løsning:

2. har koordinater, har koordinater.

La være vinkelen mellom vektorer og, da

Svar:

Det skal bemerkes at problemer direkte på vektorer og metoden for koordinat i del B av eksamensarbeidet er ganske sjeldne. Imidlertid kan de aller fleste C2-problemer enkelt løses ved å innføre et koordinatsystem. Så du kan betrakte denne artikkelen som grunnlaget for å lage ganske utspekulerte konstruksjoner som vi trenger for å løse komplekse problemer.

KOORDINATER OG VEKTORER. MIDDEL RØVEN

Du og jeg fortsetter å studere metoden for koordinater. I den siste delen utledet vi en rekke viktige formler som lar deg:

Finn vektorkoordinater
Finn lengden på en vektor (alternativt: avstanden mellom to punkter)
Legg til, trekk fra vektorer. Multipliser dem med et reelt tall
Finn midtpunktet til et linjestykke
Beregn prikkprodukt av vektorer
Finn vinkelen mellom vektorer

Hele koordinatmetoden passer selvsagt ikke inn i disse 6 punktene. Det ligger i hjertet av en slik vitenskap som analytisk geometri, som du må bli kjent med på universitetet. Jeg vil bare bygge et grunnlag som lar deg løse problemer i en enkelt stat. eksamen. Vi fant ut oppgavene til del B i Nå er det på tide å flytte til et kvalitativt nytt nivå! Denne artikkelen vil bli viet til metoden for å løse de problemene C2, der det ville være rimelig å bytte til metoden for koordinater. Denne rasjonaliteten bestemmes av hva som kreves for å finne i oppgaven, og hvilken figur som er gitt. Så jeg ville brukt koordinatmetoden hvis spørsmålene er:

Finn vinkelen mellom to plan
Finn vinkelen mellom en linje og et plan
Finn vinkelen mellom to rette linjer
Finn avstanden fra et punkt til et fly
Finn avstanden fra et punkt til en rett linje
Finn avstanden fra en rett linje til et plan
Finn avstanden mellom to rette linjer

Hvis tallet gitt i problemformuleringen er et revolusjonslegeme (kule, sylinder, kjegle ...)

Egnede former for koordinatmetoden er:

Rektangulært parallellepipedum
Pyramide (trekantet, firkantet, sekskantet)

Også etter min erfaring det er uaktuelt å bruke koordinatmetoden for:

Finne tverrsnittsarealene
Beregning av volumet av kropper

Det bør imidlertid bemerkes med en gang at tre situasjoner "ugunstige" for koordinatmetoden er ganske sjeldne i praksis. I de fleste oppgaver kan han bli din redningsmann, spesielt hvis du ikke er veldig sterk i tredimensjonale konstruksjoner (som noen ganger er ganske intrikate).

Hva er alle tallene jeg har listet opp ovenfor? De er ikke lenger flate, som for eksempel en firkant, trekant, sirkel, men tredimensjonale! Følgelig må vi ikke vurdere et todimensjonalt, men et tredimensjonalt koordinatsystem. Den bygges ganske enkelt: bare i tillegg til abscissen og ordinataksene, vil vi introdusere en akse til, applikataksen. Figuren viser skjematisk deres relative posisjon:

Alle av dem er gjensidig vinkelrett, krysser på ett punkt, som vi vil kalle opprinnelsen. Abscisseaksen, som før, vil bli betegnet, ordinataksen - og den angitte applikataksen -.

Hvis hvert punkt på planet tidligere var preget av to tall - abscissen og ordinaten, er hvert punkt i rommet allerede beskrevet av tre tall - abscissen, ordinaten, applikat. For eksempel:

Følgelig er abscissen til punktet lik, ordinaten er og applikatet er det.

Noen ganger kalles abscissen til et punkt også projeksjonen av punktet på abscisseaksen, ordinaten er projeksjonen av punktet på ordinataksen, og applikatet er projeksjonen av punktet på applikataksen. Følgelig, hvis et punkt er spesifisert, så et punkt med koordinater:

kalles projeksjon av et punkt på et plan

Et naturlig spørsmål dukker opp: er alle formler avledet for det todimensjonale tilfellet gyldige i rommet? Svaret er ja, de er rettferdige og ser like ut. For en liten detalj. Jeg tror du allerede har gjettet hvilken. Vi må legge til ett begrep til i alle formler, som er ansvarlig for applikataksen. Nemlig.

1. Hvis to poeng er gitt:, da:

Vektorkoordinater:
Avstand mellom to punkter (eller vektorlengde)
Midten av segmentet har koordinater

2. Hvis to vektorer er gitt: og, da:

Punktproduktet deres er:
Cosinus til vinkelen mellom vektorer er:

Plassen er imidlertid ikke så enkel. Som du kan forestille deg, introduserer tillegget av en koordinat til en betydelig variasjon i spekteret av figurer som "lever" i dette rommet. Og for videre fortelling må jeg introdusere noen, grovt sett, "generalisering" av den rette linjen. Denne "generaliseringen" er flyet. Hva vet du om et fly? Prøv å svare på spørsmålet, hva er et fly? Det er veldig vanskelig å si. Imidlertid har vi alle en intuitiv ide om hvordan det ser ut:

Grovt sett er dette et slags endeløst «blad» gjemt i verdensrommet. "Uendelig" skal forstås at planet strekker seg i alle retninger, det vil si at området er lik uendelig. Denne forklaringen "på fingrene" gir imidlertid ikke den minste ide om flyets struktur. Og vi vil være interessert i det.

La oss huske en av geometriens grunnleggende aksiomer:

en rett linje går gjennom to forskjellige punkter på planet, dessuten bare ett:

Eller motstykket i verdensrommet:

Selvfølgelig husker du hvordan du utleder ligningen til en rett linje fra to gitte punkter, det er ikke i det hele tatt vanskelig: hvis det første punktet har koordinater: og det andre, vil ligningen til den rette linjen være som følger:

Du gikk gjennom dette i 7. klasse. I rommet ser likningen til en rett linje slik ut: la oss ha to punkter med koordinater: så har likningen til en rett linje som går gjennom dem formen:

For eksempel går en rett linje gjennom punktene:

Hvordan skal dette forstås? Det skal forstås som følger: et punkt ligger på en rett linje hvis koordinatene tilfredsstiller følgende system:

Vi vil ikke være veldig interessert i linjens ligning, men vi må ta hensyn til det veldig viktige konseptet med retningsvektoren til en linje. - enhver vektor som ikke er null som ligger på den gitte linjen eller parallelt med den.

For eksempel er begge vektorene retningsvektorer av en rett linje. La være et punkt som ligger på en rett linje, og være dens retningsvektor. Deretter kan ligningen til den rette linjen skrives på følgende form:

Nok en gang vil jeg ikke være veldig interessert i ligningen til en rett linje, men jeg trenger virkelig at du husker hva en retningsvektor er! En gang til: det er en hvilken som helst vektor som ikke er null som ligger på en rett linje eller parallelt med den.

Ta ut ligning av et plan ved tre gitte punkter er ikke lenger så triviell, og vanligvis tas ikke dette problemet opp i et videregående kurs. Men til ingen nytte! Denne teknikken er viktig når vi bruker koordinatmetoden for å løse komplekse problemer. Men jeg antar at du er ivrig etter å lære noe nytt? Dessuten vil du kunne imponere læreren din ved universitetet når det viser seg at du allerede vet hvordan med metodikken som vanligvis studeres i løpet av analytisk geometri. Så la oss komme i gang.

Ligningen til et plan er ikke så forskjellig fra ligningen til en rett linje på et plan, den har nemlig formen:

noen tall (ikke alle lik null), men variabler, for eksempel: osv. Som du kan se, er ligningen til planet ikke veldig forskjellig fra ligningen til en rett linje (lineær funksjon). Men husker du hva du og jeg sa? Vi sa at hvis vi har tre punkter som ikke ligger på en rett linje, så kan likningen til planet rekonstrueres unikt fra dem. Men hvordan? Jeg skal prøve å forklare deg.

Siden ligningen til planet har formen:

Og punktene tilhører dette planet, så når vi erstatter koordinatene til hvert punkt i ligningen til planet, bør vi få riktig identitet:

Dermed blir det nødvendig å løse tre ligninger selv med ukjente! Dilemma! Du kan imidlertid alltid anta det (for dette må du dele med). Dermed får vi tre ligninger med tre ukjente:

Vi vil imidlertid ikke løse et slikt system, men skrive ut et mystisk uttrykk som følger av det:

Ligning av et plan som går gjennom tre gitte punkter

\ [\ venstre | (\ begynne (matrise) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ end (matrise)) \ høyre | = 0 \]

Stoppe! Hva er dette? En veldig uvanlig modul! Objektet du ser foran deg har imidlertid ingenting med modulen å gjøre. Dette objektet kalles en tredjeordens determinant. Fra nå av, når du arbeider med metoden for koordinater på et plan, vil du veldig ofte komme over de samme determinantene. Hva er en tredjeordens determinant? Merkelig nok er dette bare et tall. Det gjenstår å forstå hvilket spesifikt tall vi vil sammenligne med determinanten.

La oss først skrive tredjeordens determinanten i en mer generell form:

Hvor er noen tall. Med den første indeksen mener vi dessuten linjenummeret, og med indeksen - kolonnenummeret. For eksempel betyr det at det gitte tallet er i skjæringspunktet mellom den andre raden og den tredje kolonnen. La oss stille det neste spørsmålet: hvordan skal vi beregne en slik determinant? Det vil si, hvilket spesifikt tall vil vi matche til det? For determinanten for den tredje orden er det en heuristisk (visuell) regel for trekanten, den ser slik ut:

Produktet av elementene i hoveddiagonalen (fra øvre venstre hjørne til nedre høyre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på hoveddiagonalen produktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på hovedtrekanten diagonal
Produktet av elementene i den sekundære diagonalen (fra øvre høyre hjørne til nedre venstre) produktet av elementene som danner den første trekanten "vinkelrett" på det sekundære diagonalproduktet av elementene som danner den andre trekanten "vinkelrett" på den sekundære diagonal
Da er determinanten lik forskjellen mellom verdiene oppnådd ved trinn og

Hvis vi skriver alt dette i tall, får vi følgende uttrykk:

Likevel trenger du ikke å huske beregningsmetoden i dette skjemaet, det er nok å bare beholde trekantene og selve ideen om hva som legger opp til hva og hva som deretter trekkes fra hva).

La oss illustrere trekantmetoden med et eksempel:

1. Regn ut determinanten:

La oss finne ut hva vi legger til og hva vi trekker fra:

Begrepene som følger med et "pluss":

Dette er hoveddiagonalen: produktet av elementene er

Den første trekanten, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er

Den andre trekanten, "vinkelrett på hoveddiagonalen: produktet av elementene er

Legg til tre tall:

Begreper som kommer med et "minus"

Dette er en sidediagonal: produktet av elementene er

Den første trekanten, "vinkelrett på sidediagonalen: produktet av elementene er

Andre trekant, "vinkelrett på sidediagonalen: produktet av elementene er

Legg til tre tall:

Alt som gjenstår å gjøre er å trekke fra summen av plussleddene summen av minusleddene:

Og dermed,

Som du kan se, er det ikke noe komplisert og overnaturlig i beregningen av determinanter av tredje orden. Det er bare viktig å huske på trekanter og ikke gjøre regnefeil. Prøv nå å beregne det selv:

Vi sjekker:

Første trekant vinkelrett på hoveddiagonalen:
Andre trekant vinkelrett på hoveddiagonalen:
Summen av termer med pluss:
Første trekant vinkelrett på sidediagonalen:
Andre trekant vinkelrett på sekundærdiagonalen:
Summen av ledd med minus:
Summen av ledd med pluss minus summen av ledd med minus:

Her er et par flere determinanter for deg, beregn verdiene deres selv og sammenlign dem med svarene:

Svar:

Vel, falt alt sammen? Flott, da kan du gå videre! Hvis det er vanskeligheter, er mitt råd dette: på Internett er det en haug med programmer for å beregne determinanten online. Alt du trenger er å komme opp med din egen determinant, beregne den selv, og deretter sammenligne den med det programmet beregner. Og så videre til resultatene begynner å falle sammen. Jeg er sikker på at dette øyeblikket ikke vil vente lenge på seg!

La oss nå gå tilbake til determinanten som jeg skrev ut da jeg snakket om ligningen til et fly som passerer gjennom tre gitte punkter:

Alt du trenger er å beregne verdien direkte (ved å bruke trekanter-metoden) og sette resultatet til null. Siden de er variabler, vil du naturligvis få et uttrykk som avhenger av dem. Det er dette uttrykket som vil være ligningen til planet som går gjennom tre gitte punkter som ikke ligger på én rett linje!

La oss illustrere dette med et enkelt eksempel:

1. Konstruer ligningen til planet som går gjennom punktene

La oss komponere determinanten for disse tre punktene:

La oss forenkle:

Nå beregner vi det direkte ved hjelp av trekantens regel:

\ [(\ venstre | (\ begynnelse (matrise) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (matrise)) \ høyre | = \ venstre ((x + 3) \ høyre) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ venstre ((z + 1) \ høyre) + \ venstre ((y - 2) \ høyre) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

Dermed har ligningen til planet som går gjennom punktene formen:

Prøv nå å løse ett problem selv, og så vil vi diskutere det:

2. Finn ligningen til planet som går gjennom punktene

Vel, la oss nå diskutere løsningen:

Vi komponerer determinanten:

Og vi beregner verdien:

Da har likningen til planet formen:

Eller, etter å ha redusert med, får vi:

Nå to oppgaver for selvkontroll:

Konstruer ligningen til et plan som går gjennom tre punkter:

Svar:

Var det hele sammen? Igjen, hvis det er visse vanskeligheter, så er mitt råd dette: du tar tre punkter fra hodet (med stor sannsynlighet vil de ikke ligge på samme rette linje), du bygger et fly langs dem. Og så sjekker du deg selv på nettet. For eksempel på nettstedet:

Men ved hjelp av determinanter vil vi konstruere ikke bare ligningen til planet. Husk at jeg fortalte deg at det ikke bare er punktproduktet som er definert for vektorer. Det finnes også et vektorprodukt, samt et blandet produkt. Og hvis punktproduktet til to vektorer er et tall, vil vektorproduktet til to vektorer være en vektor, og denne vektoren vil være vinkelrett på de gitte:

Dessuten vil modulen være lik arealet til parallellogrammet bygget på vektorene og. Vi trenger denne vektoren for å beregne avstanden fra et punkt til en rett linje. Hvordan kan vi beregne kryssproduktet til vektorer, og hvis deres koordinater er gitt? Determinanten for den tredje orden kommer oss til unnsetning igjen. Men før jeg går videre til algoritmen for beregning av vektorproduktet, må jeg gjøre en liten lyrisk digresjon.

Denne digresjonen gjelder basisvektorer.

De er vist skjematisk i figuren:

Hvorfor tror du de kalles grunnleggende? Faktum er at:

Eller på bildet:

Gyldigheten av denne formelen er åpenbar, fordi:

Vektor produkt

Nå kan jeg begynne å introdusere kryssproduktet:

Vektorproduktet av to vektorer er en vektor som beregnes i henhold til følgende regel:

La oss nå gi noen eksempler på beregning av et kryssprodukt:

Eksempel 1: Finn kryssproduktet av vektorer:

Løsning: Jeg komponerer en determinant:

Og jeg regner det ut:

Nå, fra notasjon når det gjelder basisvektorer, vil jeg gå tilbake til den vanlige notasjonen for en vektor:

Og dermed:

Prøv det nå.

Klar? Vi sjekker:

Og tradisjonelt to oppgaver for kontroll:

Finn kryssproduktet til følgende vektorer:
Finn kryssproduktet til følgende vektorer:

Svar:

Blandet produkt av tre vektorer

Den siste konstruksjonen jeg trenger er et blandet produkt av tre vektorer. Det, som en skalar, er et tall. Det er to måter å beregne det på. - gjennom en determinant, - gjennom et blandet produkt.

La oss nemlig ha tre vektorer:

Deretter kan det blandede produktet av tre vektorer, betegnet med, beregnes som:

1. - det vil si at det blandede produktet er punktproduktet av en vektor ved kryssproduktet av to andre vektorer

For eksempel er det blandede produktet av tre vektorer:

Prøv å beregne det selv gjennom kryssproduktet og sørg for at resultatene stemmer overens!

Og igjen - to eksempler for en uavhengig løsning:

Svar:

Koordinatsystemvalg

Vel, nå har vi alt nødvendig kunnskapsgrunnlag for å løse komplekse stereometriske problemer i geometri. Men før jeg går direkte videre til eksemplene og algoritmene for deres løsning, tror jeg at det vil være nyttig å dvele ved et annet spørsmål: hvordan nøyaktig velg et koordinatsystem for en bestemt figur. Det er tross alt valget av den relative posisjonen til koordinatsystemet og figuren i rommet som til syvende og sist vil avgjøre hvor tungvinte beregningene blir.

La meg minne deg på at i denne delen ser vi på følgende former:

Rektangulært parallellepipedum
Rett prisme (trekantet, sekskantet ...)
Pyramide (trekantet, firkantet)
Tetraeder (samme som trekantet pyramide)

For en rektangulær boks eller kube anbefaler jeg deg følgende konstruksjon:

Det vil si at jeg skal plassere figuren "i hjørnet". Terningen og parallellepipedet er veldig fine former. For dem kan du alltid enkelt finne koordinatene til hjørnene. For eksempel, hvis (som vist på bildet)

da er koordinatene til toppunktene som følger:

Du trenger selvfølgelig ikke huske dette, men det er ønskelig å huske hvordan du best plasserer en kube eller rektangulært parallellepiped.

Rett prisme

Prismet er en mer skadelig figur. Den kan plasseres i rommet på forskjellige måter. Imidlertid virker følgende alternativ for meg det mest akseptable:

Trekantet prisme:

Det vil si at vi legger en av sidene av trekanten helt på aksen, og en av toppunktene faller sammen med opprinnelsen.

Sekskantet prisme:

Det vil si at en av toppunktene faller sammen med origo, og en av sidene ligger på aksen.

Firkantet og sekskantet pyramide:

En situasjon som ligner på en kube: juster de to sidene av basen med koordinataksene, juster en av toppunktene med origo. Den eneste lille vanskeligheten vil være å beregne koordinatene til punktet.

For en sekskantet pyramide - det samme som for et sekskantet prisme. Hovedoppgaven, igjen, vil være å finne koordinatene til toppunktet.

Tetraeder (trekantet pyramide)

Situasjonen er veldig lik den jeg ga for et trekantet prisme: ett toppunkt faller sammen med origo, en side ligger på koordinataksen.

Vel, nå er du og jeg endelig nær ved å komme i gang med å løse problemer. Fra det jeg sa helt i begynnelsen av artikkelen, kan du trekke følgende konklusjon: de fleste C2-problemer er delt inn i 2 kategorier: hjørneproblemer og avstandsproblemer. Først vil vi vurdere problemet med å finne en vinkel. De er på sin side delt inn i følgende kategorier (ettersom vanskeligheten øker):

Finne hjørner

Finne vinkelen mellom to rette linjer
Finne vinkelen mellom to plan

La oss vurdere disse oppgavene sekvensielt: start med å finne vinkelen mellom to rette linjer. Vel, husk, har ikke du og jeg løst lignende eksempler før? Husk at vi allerede hadde noe lignende ... Vi lette etter en vinkel mellom to vektorer. Jeg vil minne deg om at hvis to vektorer er gitt: og da er vinkelen mellom dem funnet fra forholdet:

Nå har vi et mål - å finne vinkelen mellom to rette linjer. La oss gå til det "flate bildet":

Hvor mange vinkler fikk vi når to rette linjer krysser hverandre? Like mange ting. Riktignok er bare to av dem ikke like, mens andre er vertikale til dem (og derfor sammenfaller med dem). Så hvilken vinkel bør vi vurdere vinkelen mellom to rette linjer: eller? Her er regelen: vinkelen mellom to rette linjer er alltid ikke mer enn grader... Det vil si at fra to vinkler vil vi alltid velge vinkelen med det minste gradmålet. Det vil si at i dette bildet er vinkelen mellom to rette linjer lik. For ikke å bry seg med å finne den minste av to vinkler hver gang, foreslo snedige matematikere å bruke modulen. Dermed bestemmes vinkelen mellom to rette linjer av formelen:

Du, som en oppmerksom leser, bør ha et spørsmål: hvor får vi egentlig disse tallene som vi trenger for å beregne cosinus til en vinkel? Svar: vi tar dem fra retningsvektorene til de rette linjene! Dermed er algoritmen for å finne vinkelen mellom to rette linjer som følger:

Vi bruker formel 1.

Eller mer detaljert:

Vi ser etter koordinatene til retningsvektoren til den første rette linjen
Vi ser etter koordinatene til retningsvektoren til den andre rette linjen
Beregn modulen til punktproduktet deres
Vi ser etter lengden på den første vektoren
Vi ser etter lengden på den andre vektoren
Multipliser resultatene fra punkt 4 med resultatene fra punkt 5
Del resultatet av punkt 3 med resultatet av punkt 6. Vi får cosinus til vinkelen mellom linjene
Hvis dette resultatet lar deg beregne vinkelen nøyaktig, se etter den
Ellers skriver vi gjennom invers cosinus

Vel, nå er tiden inne for å gå videre til problemene: Jeg vil demonstrere løsningen av de to første i detalj, jeg vil presentere løsningen for en annen i en kort form, og for de to siste problemene vil jeg bare gi svar, du må utføre alle beregningene for dem selv.

Oppgaver:

1. I riktig tet-ra-ed-re, nei-di-de vinkelen mellom deg-så-den tet-ra-ed-ra og med-di-a-noy bo-kovy ansiktet.

2. I den høyrehendte sekskull-noy pi-ra-mi-de, sidene av os-no-va-nia er like, og ribbene er like, finn vinkelen mellom de rette linjene og.

3. Lengdene på alle kantene på den riktige fire-du-rekh-kull pi-ra-mi-dy er lik hverandre. Nei-di-de vinkelen mellom de rette linjene og hvis fra-kutt er du-med-det gitt pi-ra-mi-dy, er poenget se-re-di-na hennes bo-ko- andre ribben

4. På kanten av kuben fra-me-che-na peker slik at Nay-di-te er vinkelen mellom rette linjer og

5. Punkt - se-re-di-på kantene av kuben Nay-di-te vinkel mellom rette linjer og.

Det er ikke tilfeldig at jeg har ordnet oppgavene i denne rekkefølgen. Mens du ennå ikke har hatt tid til å begynne å navigere i metoden for koordinater, vil jeg selv analysere de mest "problematiske" figurene, og jeg vil la deg håndtere den enkleste kuben! Gradvis må du lære deg å jobbe med alle figurene, jeg vil øke kompleksiteten til oppgavene fra emne til emne.

La oss begynne å løse problemer:

1. Tegn et tetraeder, plasser det i koordinatsystemet som jeg foreslo tidligere. Siden tetraederet er regelmessig, er alle flatene (inkludert basen) vanlige trekanter. Siden vi ikke får oppgitt lengden på siden, kan jeg ta det likt. Jeg tror du forstår at vinkelen egentlig ikke vil avhenge av hvor mye tetraederet vårt er "strukket"?. Jeg vil også tegne høyden og medianen i tetraederet. Underveis vil jeg tegne basen (den vil også være nyttig for oss).

Jeg må finne vinkelen mellom og. Hva vet vi? Vi kjenner bare koordinaten til punktet. Det betyr at vi også må finne koordinatene til punktene. Nå tenker vi: et punkt er skjæringspunktet for høydene (eller halveringslinjen eller medianene) til trekanten. Et poeng er et hevet poeng. Poenget er midten av segmentet. Så til slutt må vi finne: koordinater av poeng:.

La oss starte med det enkleste: punktkoordinater. Se på bildet: Det er tydelig at applikatet til punktet er lik null (punktet ligger på planet). Ordinaten er (siden - medianen). Det er vanskeligere å finne abscissen. Dette gjøres imidlertid enkelt basert på Pythagoras teorem: Tenk på en trekant. Hypotenusen er lik, og ett av bena er lik. Da:

Til slutt har vi:.

La oss nå finne koordinatene til punktet. Det er tydelig at dens applikasjon igjen er lik null, og dens ordinaten er den samme som den til et punkt, det vil si. La oss finne abscissen. Dette gjøres ganske trivielt hvis du husker det høydene til en likesidet trekant er delt med skjæringspunktet i forhold teller fra toppen. Siden:, er den nødvendige abscissen til punktet, lik lengden på segmentet, lik:. Dermed er koordinatene til punktet like:

La oss finne koordinatene til punktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. Og søknaden er lik lengden på segmentet. - dette er en av bena i trekanten. Hypotenusen til en trekant er et segment - et ben. Det søkes etter betraktningene som jeg har fremhevet med fet skrift:

Punktet er midtpunktet til linjestykket. Da må vi huske formelen for koordinatene til midtpunktet av segmentet:

Det er det, nå kan vi søke etter koordinatene til retningsvektorene:

Vel, alt er klart: vi erstatter alle dataene i formelen:

Og dermed,

Svar:

Du bør ikke la deg skremme av slike "skumle" svar: for C2-problemer er dette en vanlig praksis. Jeg vil heller bli overrasket over det "fine" svaret i denne delen. Dessuten, som du la merke til, tyr jeg praktisk talt ikke til noe annet enn Pythagoras teoremet og egenskapen til høyder til en likesidet trekant. Det vil si at for å løse det stereometriske problemet brukte jeg det aller minste av stereometri. Gevinsten i dette «slukkes» delvis ved ganske tungvinte beregninger. Men de er ganske algoritmiske!

2. La oss tegne en vanlig sekskantet pyramide sammen med et koordinatsystem, samt dens base:

Vi må finne vinkelen mellom linjene og. Dermed er vår oppgave redusert til å finne koordinatene til punktene:. Vi finner koordinatene til de tre siste fra det lille bildet, og vi finner koordinaten til toppunktet gjennom koordinaten til punktet. Arbeidet er i bulk, men du må starte det!

a) Koordinat: det er tydelig at applikatet og ordinaten er lik null. La oss finne abscissen. For å gjøre dette, vurder en rettvinklet trekant. Akk, i den kjenner vi bare hypotenusen, som er lik. Vi vil prøve å finne beinet (for det er klart at den doblede benlengden vil gi oss abscissen til punktet). Hvordan kan vi finne henne? La oss huske hva slags figur vi har ved bunnen av pyramiden? Dette er en vanlig sekskant. Hva betyr det? Dette betyr at alle sider og alle vinkler er like. Jeg burde finne et slikt hjørne. Noen ideer? Det er mange ideer, men det er en formel:

Summen av vinklene til en regulær n-gon er .

Dermed er summen av vinklene til en vanlig sekskant lik grader. Da er hver av vinklene lik:

Vi ser på bildet igjen. Det er tydelig at segmentet er halveringslinjen til vinkelen. Da er vinkelen lik grader. Deretter:

Hvor da.

Dermed har den koordinater

b) Nå kan vi enkelt finne koordinaten til punktet:.

c) Finn koordinatene til punktet. Siden abscissen faller sammen med lengden på segmentet, er den lik. Å finne ordinaten er heller ikke veldig vanskelig: hvis vi kobler sammen punktene og betegner skjæringspunktet til den rette linjen, si ved. (DIY enkel konstruksjon). Da er ordinaten til punkt B lik summen av lengdene til segmentene. La oss se på trekanten igjen. Deretter

Da siden Da har punktet koordinater

d) Nå finner vi koordinatene til punktet. Tenk på et rektangel og bevis at koordinatene til punktet er:

e) Det gjenstår å finne koordinatene til toppunktet. Det er tydelig at abscissen og ordinaten sammenfaller med punktets abscisse og ordinat. La oss finne applikatoren. Siden da. Tenk på en rettvinklet trekant. Ved uttalelsen av problemet, sidekanten. Dette er hypotenusen til trekanten min. Da er høyden på pyramiden beinet.

Da har punktet koordinater:

Greit, jeg har koordinatene til alle punkter av interesse for meg. Ser etter koordinatene til retningsvektorene til rette linjer:

Vi ser etter vinkelen mellom disse vektorene:

Svar:

Igjen, for å løse dette problemet, brukte jeg ingen sofistikerte triks, bortsett fra formelen for summen av vinklene til en vanlig n-gon, samt å bestemme cosinus og sinus til en rettvinklet trekant.

3. Siden vi igjen ikke får lengdene på ribbene i pyramiden, vil jeg vurdere dem som lik en. Dermed, siden ALLE kanter, og ikke bare de laterale, er like med hverandre, ligger det ved bunnen av pyramiden og meg en firkant, og sidekantene er vanlige trekanter. La oss tegne en slik pyramide, så vel som basen på et plan, og markere alle dataene gitt i oppgaveteksten:

Vi ser etter vinkelen mellom og. Jeg skal gjøre veldig korte beregninger når jeg søker etter koordinatene til punktene. Du må "dechiffrere" dem:

b) - midten av segmentet. Dens koordinater:

c) Jeg vil finne lengden på segmentet ved Pythagoras teorem i en trekant. Jeg vil finne den i en trekant ved Pythagoras teorem.

Koordinater:

d) er midtpunktet av segmentet. Koordinatene er like

e) Vektorkoordinater

f) Vektorkoordinater

g) Ser etter en vinkel:

Kuben er den enkleste figuren. Jeg er sikker på at du kan finne ut av det selv. Svarene på oppgave 4 og 5 er som følger:

Finne vinkelen mellom en rett linje og et plan

Vel, tiden for enkle oppgaver er over! Nå blir eksemplene enda mer kompliserte. For å finne vinkelen mellom en rett linje og et plan, går vi frem som følger:

Fra tre punkter konstruerer vi likningen til planet
,
ved å bruke en tredjeordens determinant.
Vi ser etter koordinatene til retningsvektoren til den rette linjen med to punkter:
Vi bruker formelen for å beregne vinkelen mellom en rett linje og et plan:

Som du kan se, er denne formelen veldig lik den vi brukte for å finne vinklene mellom to rette linjer. Strukturen på høyre side er akkurat den samme, og til venstre ser vi nå etter sinus, ikke cosinus, som før. Vel, en ekkel handling ble lagt til - søket etter flyets ligning.

La oss ikke utsette løsning av eksempler:

1. Os-no-va-no-em direkte premie-vi er-la-er-lik-men-fattig-ric-ny trekantet-nick Du-så-den premien-vi er like. Nai di te vinkelen mellom rett og flat

2. I rektangulær pa-ra-le-le-pi-pe-de fra West Nay-di-te-vinkelen mellom rett linje og plan

3. I riktig sekskullprisme er alle kanter like. Nei-di-de vinkelen mellom rett linje og plan.

4. I den høyrehendte trekantede pi-ra-mi-de med os-no-va-ni-det er kjent ribber Nay-di-te vinkel, ob-ra-zo-van -gjengeflathet til os-no -va-nia og rett, pro-ho-dya-shi gjennom se-re-di-us av ribbeina og

5. Lengdene på alle ribbene til den riktige fire-hjørne pyramiden med apex er lik hverandre. Nay-di-te er vinkelen mellom en rett linje og et plan, hvis punktet er se-re-di-na bo-ko-th ribber pi-ra-mi-dy.

Igjen vil jeg løse de to første problemene i detalj, den tredje - kort, og de to siste lar jeg deg løse på egen hånd. I tillegg har du allerede jobbet med trekantede og firkantede pyramider, men ikke med prismer ennå.

Løsninger:

1. La oss skildre prismet, så vel som dets base. La oss kombinere det med koordinatsystemet og merke alle dataene gitt i problemstillingen:

Jeg beklager litt manglende overholdelse av proporsjonene, men for å løse problemet er dette faktisk ikke så viktig. Flyet er bare "bakveggen" til prismet mitt. Det er lett nok å gjette at ligningen til et slikt plan har formen:

Dette kan imidlertid vises direkte:

La oss velge vilkårlige tre punkter på dette planet: for eksempel.

La oss komponere ligningen til planet:

En øvelse for deg: beregn denne determinanten selv. Gjorde du det? Da har planligningen formen:

Eller rett og slett

Og dermed,

For å løse eksemplet må jeg finne koordinatene til retningsvektoren til en rett linje. Siden punktet har falt sammen med origo, vil koordinatene til vektoren ganske enkelt falle sammen med koordinatene til punktet.For å gjøre dette finner vi først koordinatene til punktet.

For å gjøre dette, vurder en trekant. La oss tegne høyden (det er medianen og halveringslinjen) fra toppunktet. Siden er ordinaten til punktet lik. For å finne abscissen til dette punktet, må vi beregne lengden på segmentet. Ved Pythagoras teorem har vi:

Da har punktet koordinater:

Et poeng "heves" med et punkt:

Så koordinatene til vektoren:

Svar:

Som du kan se, er det ingenting grunnleggende vanskelig å løse slike problemer. Faktisk forenkler prosessen ytterligere "rettheten" til en form som et prisme. La oss nå gå videre til neste eksempel:

2. Tegn et parallellepiped, tegn et plan og en rett linje i det, og tegn også separat den nedre basen:

Først finner vi ligningen til planet: Koordinater til tre punkter som ligger i det:

(de to første koordinatene ble innhentet på en åpenbar måte, og du finner enkelt den siste koordinaten fra bildet fra punktet). Så komponerer vi ligningen til planet:

Vi beregner:

Vi leter etter koordinatene til retningsvektoren: Det er tydelig at dens koordinater sammenfaller med koordinatene til punktet, er det ikke? Hvordan finner jeg koordinatene? Dette er koordinatene til punktet, hevet langs applikasjonens akse med én! ... Da ser vi etter ønsket vinkel:

Svar:

3. Tegn en vanlig sekskantet pyramide, og tegn deretter et plan og en rett linje i den.

Her er til og med å tegne et fly problematisk, for ikke å snakke om løsningen på dette problemet, men koordinatmetoden bryr seg ikke! Det er i allsidigheten dens største fordel ligger!

Flyet går gjennom tre punkter:. Vi ser etter deres koordinater:

1) . Tegn selv koordinatene for de to siste punktene. Løsningen på problemet med en sekskantet pyramide vil komme godt med!

2) Vi bygger likningen til planet:

Vi leter etter koordinatene til vektoren:. (se det trekantede pyramideproblemet igjen!)

3) Leter du etter en vinkel:

Svar:

Som du kan se, er det ikke noe overnaturlig vanskelig i disse oppgavene. Du må bare være veldig forsiktig med røttene. For de to siste problemene vil jeg bare gi svar:

Som du kan se, er teknikken for å løse problemer den samme overalt: hovedoppgaven er å finne koordinatene til toppunktene og erstatte dem i noen formler. Det gjenstår for oss å vurdere en annen klasse problemer for å beregne vinkler, nemlig:

Beregne vinkler mellom to plan

Løsningsalgoritmen vil være som følger:

Med tre punkter ser vi etter ligningen til det første planet:
For de tre andre punktene ser vi etter ligningen til det andre planet:
Vi bruker formelen:

Som du kan se er formelen veldig lik de to foregående, ved hjelp av disse søkte vi etter vinklene mellom rette linjer og mellom en rett linje og et plan. Så å huske denne vil ikke være vanskelig for deg. La oss gå rett til analysen av oppgaver:

1. Ett hundre-ro-na av os-no-va-nia til det høyrehendte trekantede prismet er lik, og dia-go-nalen til det store ansiktet er lik. Nei-di-de vinkelen mellom planet og prismeplanet.

2. I den riktige fire-du-rekh-kull-noy pi-ra-mi-de, hvor alle kantene er like, finn sinusen til vinkelen mellom planet og planet til-stu, pro-ho- dya-shchey gjennom punktet per-pen-di-ku-lar-men rett.

3. I riktig fire-du-rekh-kullprisme er sidene til os-no-va-nia like, og sidene like. På kanten er det et punkt slik at. Finn vinkelen mellom planet-til-sti-mi og

4. I høyre firehjørneprisme er sidene til os-no-va-nia like, og sidekantene like. På kanten fra-meg-che-til punkt slik at Nay-di-te er vinkelen mellom plan-til-st-mi og.

5. I kuben nay-di-te ko-si-nus av vinkelen mellom planet-ko-sti-mi og

Problemløsninger:

1. Jeg tegner et vanlig (ved basen - en likesidet trekant) trekantet prisme og merker på det planene som vises i problemformuleringen:

Vi må finne ligningene til to plan: Ligningen til basen er triviell: du kan komponere den tilsvarende determinanten med tre punkter, men jeg vil komponere ligningen med en gang:

Nå skal vi finne ligningen Punkt har koordinater Punkt - Siden er medianen og høyden til trekanten, er det lett å finne i en trekant ved Pythagoras teorem. Da har punktet koordinater: Finn applikatet til punktet For å gjøre dette, tenk på en rettvinklet trekant

Da får vi følgende koordinater: Tegn opp likningen til planet.

Vi beregner vinkelen mellom planene:

Svar:

2. Lage en tegning:

Det vanskeligste er å forstå hva dette mystiske planet er, som passerer gjennom et punkt vinkelrett. Vel, hovedsaken er hva er dette? Det viktigste er oppmerksomhet! Faktisk er linjen vinkelrett. Den rette linjen er også vinkelrett. Da vil flyet som går gjennom disse to rette linjene være vinkelrett på den rette linjen, og forresten passere gjennom punktet. Dette flyet går også gjennom toppen av pyramiden. Så ønsket fly - Og flyet er allerede gitt til oss. Vi leter etter koordinatene til punktene.

Finn koordinaten til punktet gjennom punktet. Fra den lille figuren er det lett å utlede at koordinatene til punktet blir som følger: Hva gjenstår nå å finne for å finne koordinatene til toppen av pyramiden? Du må også beregne høyden. Dette gjøres ved å bruke det samme Pythagoras teorem: først, bevis det (trivielt fra små trekanter som danner en firkant ved bunnen). Siden etter betingelse har vi:

Nå er alt klart: koordinatene til toppunktet:

Vi setter sammen ligningen til planet:

Du er allerede spesiell i å beregne determinanter. Du kan enkelt få:

Ellers (hvis vi multipliserer begge delene med roten av to)

Nå finner vi ligningen til planet:

(Du har ikke glemt hvordan vi får ligningen til flyet, ikke sant? Hvis du ikke forstår hvor denne minusen kom fra, så gå tilbake til definisjonen av flyets ligning! Det er bare det før det viste seg at opprinnelsen til koordinatene tilhørte flyet mitt!)

Vi beregner determinanten:

(Du kan se at ligningen til planet sammenfaller med ligningen til den rette linjen som går gjennom punktene og! Tenk hvorfor!)

Nå regner vi ut vinkelen:

Vi må finne sinus:

Svar:

3. Et vanskelig spørsmål: hva tror du er et rektangulært prisme? Det er bare et parallellepiped du kjenner godt! Lag en tegning med en gang! Det er til og med mulig å ikke skildre basen separat, det er liten nytte av det her:

Flyet, som vi bemerket tidligere, er skrevet i form av en ligning:

Nå lager vi flyet

Vi komponerer umiddelbart ligningen til planet:

Ser etter en vinkel:

Nå er svarene på de to siste problemene:

Vel, nå er det på tide å ta en pause, for du og jeg er flotte og har gjort en god jobb!

Koordinater og vektorer. Avansert nivå

I denne artikkelen vil vi diskutere med deg en annen klasse problemer som kan løses ved hjelp av koordinatmetoden: avstandsproblemer. Du og jeg vil nemlig vurdere følgende tilfeller:

Beregning av avstanden mellom kryssede linjer.

Jeg har bestilt disse oppgavene etter hvert som kompleksiteten deres øker. Det viser seg å være det enkleste å finne avstand fra punkt til plan, og det vanskeligste er å finne avstand mellom kryssende linjer... Selv om selvfølgelig ingenting er umulig! La oss ikke utsette og umiddelbart gå videre til vurderingen av den første klassen av problemer:

Beregne avstanden fra et punkt til et plan

Hva trenger vi for å løse dette problemet?

1. Punktkoordinater

Så, så snart vi får alle nødvendige data, bruker vi formelen:

Du bør allerede vite hvordan vi konstruerer ligningen til planet fra de tidligere problemene som jeg diskuterte i den siste delen. La oss gå i gang med oppgavene med en gang. Ordningen er som følger: 1, 2, jeg hjelper deg med å løse, og i noen detalj, 3, 4 - bare svaret, du tar avgjørelsen selv og sammenligner. La oss begynne!

Oppgaver:

1. Gitt en kube. Lengden på kanten av kuben er. Nei-di-te avstand-i-ni fra se-re-di-us fra-kutt til flat-til-sti

2. Gitt rett-vil-naya fire-du-rekh-kull-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe kant side-ro-na os-no-va-nia er lik. Nei-di-te avstand-i-nie fra punkt til plan-til-sti hvor - se-re-di-na ribber.

3. I den høyrehendte trekantede pi-ra-mi-de med os-but-va-ni er bo-kov-kanten lik, og side-ro-na er-no-va- er lik. Nei-di-te avstand-i-nye fra toppen til flyet.

4. I et vanlig sekskullprisme er alle kanter like. Nei-di-te avstand-i-nye fra punkt til plan.

Løsninger:

1. Tegn en kube med enhetskanter, bygg et segment og et plan, angir midten av segmentet med bokstaven

Først, la oss starte med en enkel en: Finn koordinatene til et punkt. Siden da (husk koordinatene til midtpunktet av segmentet!)

Nå setter vi sammen ligningen til planet med tre punkter

\ [\ venstre | (\ begynnelse (matrise) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ slutt (matrise)) \ høyre | = 0 \]

Nå kan jeg begynne å se etter avstand:

2. Start på nytt med tegningen, som vi merker alle data på!

For pyramiden vil det være nyttig å tegne basen separat.

Selv det faktum at jeg tegner som en kylling med en pote hindrer oss ikke i å enkelt løse dette problemet!

Nå er det enkelt å finne koordinatene til et punkt

Siden koordinatene til punktet, altså

2. Siden koordinatene til punkt a er midtpunktet til segmentet, da

Vi kan også finne koordinatene til ytterligere to punkter på planet uten problemer. Vi komponerer likningen til planet og forenkler den:

\ [\ venstre | (\ venstre | (\ begynnelse (matrise) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (matrise)) \ høyre |) \ høyre | = 0 \]

Siden punktet har koordinater:, beregner vi avstanden:

Svar (veldig sjelden!):

Vel, skjønte det? Det virker for meg som om alt her er like teknisk som i eksemplene vi vurderte med deg i forrige del. Så jeg er sikker på at hvis du mestrer det materialet, vil det ikke være vanskelig for deg å løse de resterende to problemene. Jeg vil bare gi svarene:

Beregne avstanden fra en rett linje til et plan

Faktisk er det ikke noe nytt her. Hvordan kan en linje og et plan plasseres i forhold til hverandre? De har alle muligheter: krysser hverandre, eller en rett linje er parallell med planet. Hva tror du er avstanden fra en rett linje til planet som denne rette linjen skjærer? Det virker for meg som det er tydelig her at en slik avstand er lik null. En uinteressant sak.

Det andre tilfellet er vanskeligere: her er avstanden allerede null. Men siden linjen er parallell med planet, er hvert punkt på linjen like langt fra dette planet:

Og dermed:

Og dette betyr at oppgaven min er redusert til den forrige: vi leter etter koordinatene til et hvilket som helst punkt på en rett linje, vi ser etter flyets ligning, vi beregner avstanden fra et punkt til planet. Faktisk er slike oppgaver ekstremt sjeldne på eksamen. Jeg klarte å finne bare ett problem, og dataene i det var slik at koordinatmetoden ikke var særlig anvendelig for det!

La oss nå gå videre til en annen, mye viktigere problemklasse:

Beregne avstanden fra et punkt til en rett linje

Hva trenger vi?

1. Koordinater til punktet vi ser etter avstanden fra:

2. Koordinater til ethvert punkt som ligger på en rett linje

3. Koordinater til retningsvektoren til en rett linje

Hvilken formel bruker vi?

Hva betyr nevneren til en gitt brøk for deg, så det burde være klart: dette er lengden på retningsvektoren til en rett linje. Det er en veldig vanskelig teller her! Uttrykket betyr modulen (lengden) til vektorproduktet til vektorer og Hvordan beregne kryssproduktet, studerte vi i forrige del av arbeidet. Oppdater kunnskapen din, de vil være veldig nyttige for oss nå!

Dermed vil algoritmen for å løse problemer være som følger:

1. Vi leter etter koordinatene til punktet vi leter etter avstanden fra:

2. Vi ser etter koordinatene til ethvert punkt på den rette linjen som vi ser etter avstanden til:

3. Bygg en vektor

4. Bygg retningsvektoren til den rette linjen

5. Regn ut kryssproduktet

6. Vi ser etter lengden på den resulterende vektoren:

7. Regn ut avstanden:

Vi har mye arbeid, og eksemplene vil være ganske komplekse! Så fokuser nå all oppmerksomheten din!

1. Dana er en høyre-vil-naya trekantet pi-ra-mi-da med en topp. Ett hundre-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy er lik, du-så-det er lik. Nei-di-de avstand-i-nye fra se-re-di-ny av bo-ko-th ribben til den rette linjen, hvor punktene og er se-re-di-ny av ribbeina og så -fra- veterinær-men.

2. Lengden på ribbene og den rektangulære pa-ral-le-le-pi-pe-da er henholdsvis like, og Nei-di-avstanden fra topp til rett

3. I riktig sekskullprisme er alle kantene på en sverm like finn-di-avstanden fra et punkt til en rett linje

Løsninger:

1. Vi lager en pen tegning der vi merker alle dataene:

Vi har mye jobb med deg! Først vil jeg beskrive med ord hva vi vil se etter og i hvilken rekkefølge:

1. Koordinater av punkter og

2. Punktkoordinater

3. Koordinater av punkter og

4. Koordinater til vektorer og

5. Kryssproduktet deres

6. Lengden på vektoren

7. Lengden på vektorproduktet

8. Avstand fra til

Vel, vi har mye arbeid å gjøre! Vi går i gang og bretter opp ermene!

1. For å finne koordinatene til pyramidens høyde, må vi kjenne koordinatene til punktet. Dens anvendelse er lik null, og ordinaten er lik Abscissen, er den lik lengden på segmentet. Siden er høyden til en likesidet trekant, den er delt i forhold, tellende fra toppen, heretter. Til slutt fikk vi koordinatene:

Punktkoordinater

2. - midten av segmentet

3. - midten av segmentet

Midtpunktet i segmentet

4.Koordinater

Vektorkoordinater

5. Vi beregner kryssproduktet:

6. Lengden på vektoren: den enkleste måten er å erstatte at segmentet er midtlinjen i trekanten, som betyr at den er lik halve grunnflaten. Så.

7. Vi vurderer lengden på vektorproduktet:

8. Til slutt finner vi avstanden:

Puh, det er det! Ærlig talt, løsningen på dette problemet ved bruk av tradisjonelle metoder (gjennom konstruksjoner) ville være mye raskere. Men her har jeg redusert alt til en ferdig algoritme! Jeg tror at løsningsalgoritmen er klar for deg? Derfor vil jeg be deg løse de resterende to problemene på egen hånd. La oss sammenligne svarene?

Igjen, jeg gjentar: det er lettere (raskere) å løse disse problemene gjennom konstruksjoner, og ikke ty til koordinatmetoden. Jeg har demonstrert denne løsningen bare for å vise deg en universell metode som lar deg "fullføre ingenting".

Tenk til slutt på den siste klassen med problemer:

Beregning av avstanden mellom kryssede linjer

Her vil problemløsningsalgoritmen være lik den forrige. Hva vi har:

3. Eventuelle vektorforbindelsespunkter til den første og andre rette linjen:

Hvordan finner vi avstanden mellom rette linjer?

Formelen er som følger:

Telleren er modulen til det blandede produktet (vi introduserte det i forrige del), og nevneren er den samme som i forrige formel (modulen til vektorproduktet til retningsvektorene til de rette linjene, avstanden mellom hvilke Vi leter etter).

Jeg vil minne deg på det

deretter formelen for avstanden kan skrives om som:

En slags determinant delt på en determinant! Selv om jeg, for å være ærlig, ikke har tid til vitser her! Denne formelen er faktisk veldig tungvint og fører til ganske kompliserte beregninger. Hvis jeg var deg, ville jeg bare brukt det som en siste utvei!

La oss prøve å løse flere problemer ved å bruke metoden ovenfor:

1. I riktig trekantprisme er alle kantene like, finn avstanden mellom de rette linjene og.

2. Gitt et høyrehendt trekantet prisme, er alle kantene på os-no-vasjonen til en sverm like ribbe og se-re-di-brønn ribber yav-la-et-sya square-ra-tom. Nei-di-te avstand-i-nie mellom straight-we-mi og

Jeg bestemmer det første, og basert på det bestemmer du det andre!

1. Tegn et prisme og merk de rette linjene og

Punkt C-koordinater: deretter

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

Punktkoordinater

Vektorkoordinater

\ [\ venstre ((B, \ overhøyrepil (A (A_1))) \ overhøyrepil (B (C_1))) \ høyre) = \ venstre | (\ begynne (matrise) (* (20) (l)) (\ begynne (matrise) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ slutt (matrise)) \\ (\ begynne (matrise) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (matrise)) \\ (\ begynnelse (matrise) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ right | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

Vi tar for oss kryssproduktet mellom vektorer og

\ [\ overhøyrepil (A (A_1)) \ cdot \ overhøyrepil (B (C_1)) = \ venstre | \ begynne (matrise) (l) \ begynne (matrise) (* (20) (c)) (\ høyrepil i) & (\ høyrepil j) & (\ høyrepil k) \ slutt (matrise) \\\ begynne (matrise) ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ slutt (matrise) \\\ begynnelse (matrise) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ right | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ overhøyrepil k + \ frac (1) (2) \ overhøyrepil i \]

Nå beregner vi lengden:

Svar:

Prøv nå å fullføre den andre oppgaven nøye. Svaret på det vil være:.

Koordinater og vektorer. Kort beskrivelse og grunnleggende formler

En vektor er et rettet linjestykke. - begynnelsen av vektoren, - slutten av vektoren.
Vektoren er betegnet med eller.

Absolutt verdi vektor - lengden på segmentet som representerer vektoren. Det er angitt som.

Vektorkoordinater:

,
hvor er endene av vektoren \ displaystyle a.

Summen av vektorer:.

Produkt av vektorer:

Punktprodukt av vektorer:

Det er vanlig å kalle en vektor et segment som har en gitt retning. Både begynnelsen og slutten av vektoren har en fast posisjon, ved hjelp av hvilken retningen til vektoren bestemmes. La oss se nærmere på hvordan man bygger en vektor basert på gitte koordinater.

Tegn et koordinatsystem (x, y, z) i rommet, merk enhetssegmenter på aksene.
Sett til side de ønskede koordinatene på to akser, tegn linjer fra dem med en stiplet linje parallelt med aksene, til de krysser hverandre. Lær skjæringspunktet, som du vil koble med en stiplet linje til origo.
Tegn en vektor fra origo til det resulterende punktet.
Sett ønsket nummer på den tredje aksen, tegn en stiplet linje gjennom dette punktet, som vil være parallelt med den konstruerte vektoren.
Fra slutten av vektoren tegner du en stiplet linje parallelt med den tredje aksen til den skjærer linjen fra forrige punkt.
Koble til slutt opprinnelsen og det resulterende punktet.

Noen ganger er det nødvendig å konstruere en vektor som vil være et resultat av addisjon eller subtraksjon av andre vektorer. Derfor vil vi nå vurdere operasjoner med vektorer, vi vil lære å legge til og subtrahere dem.

Vektoroperasjoner

Geometriske vektorer kan legges til på flere måter. For eksempel er den vanligste måten å legge til vektorer på trekantregelen. For å legge til to vektorer i henhold til denne regelen, er det nødvendig å arrangere vektorene parallelt med hverandre slik at begynnelsen av den første vektoren faller sammen med slutten av den andre, mens den tredje siden av den resulterende trekanten vil være vektoren til sum.

Du kan også beregne summen av vektorer ved å bruke parallellogramregelen. Vektorer skal starte fra ett punkt, parallelt med hver vektor, du må tegne en linje slik at du ender opp med et parallellogram. Diagonalen til det konstruerte parallellogrammet vil være summen av disse vektorene.

For å trekke fra to vektorer må du legge til den første vektoren og vektoren som vil være motsatt av den andre. Til dette brukes også trekantregelen, som har følgende formulering: forskjellen på vektorer som overføres på en slik måte at deres opprinnelse sammenfaller er en vektor hvis begynnelse sammenfaller med slutten av vektoren som skal trekkes fra, samt slutten av vektoren som skal reduseres.

OBS, kun I DAG!

ANNEN

For å utføre vektoraddisjonsoperasjonen, er det flere måter som, avhengig av situasjonen ...

En vektor er et matematisk objekt som er preget av retning og størrelse. I geometri kalles en vektor ...

I matematikk betyr en vektor et segment av en gitt lengde med en retning og koordinater i X-, Y-, Z-aksene Spørsmålet om ...

Vinkelen mellom to vektorer som går ut fra samme punkt er den nærmeste vinkelen, rotasjonen som, av den første vektoren ...

Hvis du kjenner de romlige koordinatene til to eller flere punkter i et bestemt system, er oppgaven: hvordan finne lengden ...

Det er mulig å bestemme lengden på et segment på forskjellige måter. For å finne ut hvordan du finner lengden på et segment, er det nok å ha i ...

Akselerasjon er hastigheten med hvilken hastigheten endres. Denne mengden er vektor, den har sin egen retning og måles i m / s 2 (i ...

Ved å bruke gimbal-regelen bestemmes retningene til magnetiske linjer (på en annen måte kalles de også magnetiske linjer ...

I tegninger bygges bilder av geometriske kropper ved hjelp av projeksjonsmetoden. Men for dette ene bildet...

Ordet "ordinat" kommer fra det latinske "ordinatus" - "ordnet i rekkefølge". Ordinaten er rent matematisk ...

Modulen til et tall kalles også absoluttverdien til dette tallet på en annen måte. Hvis under tegnet til modulen er det ...

For å finne koordinatene til toppunktet til en likesidet trekant, hvis koordinatene til de to andre toppunktene er kjent, ...

Du lurer på hvordan du kan regne ut og finne midtlinjen til en trekant. Kom så i gang. Finn lengden på midtlinjen ...

La oss vurdere mer detaljert hva er akselerasjon i fysikk? Dette er en melding til kroppen om ytterligere hastighet per tidsenhet. ...

Før vi lærer å finne arealet til et parallellogram, må vi huske hva et parallellogram er og hva ...

Tegn et koordinatsystem (x, y, z) i rommet, merk enhetssegmenter på aksene.
Sett til side de ønskede koordinatene på to akser, tegn linjer fra dem med en stiplet linje parallelt med aksene, til de krysser hverandre. Lær skjæringspunktet, som du vil koble med en stiplet linje til origo.
Tegn en vektor fra origo til det resulterende punktet.
Sett ønsket nummer på den tredje aksen, tegn en stiplet linje gjennom dette punktet, som vil være parallelt med den konstruerte vektoren.
Fra slutten av vektoren tegner du en stiplet linje parallelt med den tredje aksen til den skjærer linjen fra forrige punkt.
Koble til slutt opprinnelsen og det resulterende punktet.