Hipoteza ravnih presjeka pri savijanju može se objasniti na primjeru: na bočnu površinu nedeformirane grede nanijet ćemo mrežu koja se sastoji od uzdužnih i poprečnih (okomitih na os) ravnih linija. Kao rezultat savijanja grede, uzdužne linije će imati zakrivljeni obris, a poprečne linije će praktički ostati ravne i okomite na zakrivljenu os grede.

Formulacija hipoteze ravnih presjeka: poprečni presjeci koji su ravni i okomiti na os grede prije, ostaju ravni i okomiti na zakrivljenu osu nakon deformacije.

Ova okolnost svedoči: at je ispunjen ravna hipotezašto se tiče i

Uz hipotezu o ravnim presjecima, postavlja se pretpostavka: uzdužna vlakna grede se ne pritiskaju jedno na drugo tijekom njegovog savijanja.

Zovu se hipoteza ravnih presjeka i pretpostavka Bernulijeva hipoteza.

Razmislite o gredi pravokutnog poprečnog presjeka koja prolazi kroz čisto savijanje (). Odaberimo element grede sa dužinom (slika 7.8. A). Kao rezultat savijanja, poprečni presjeci grede će se rotirati, formirajući kut. Gornja vlakna su komprimirana, a donja rastegnuta. Radijus zakrivljenosti neutralnog vlakna se označava sa.

Uslovno pretpostavljamo da vlakna mijenjaju svoju dužinu, dok ostaju ravna (slika 7.8. B). Zatim apsolutno i relativno izduženje vlakna udaljenog na udaljenosti y od neutralnog vlakna:

Pokažimo da uzdužna vlakna, koja nisu podvrgnuta napetosti ili kompresiji tokom savijanja grede, prolaze kroz glavnu središnju os x.

Budući da se dužina grede ne mijenja tokom savijanja, uzdužna sila (N) koja se javlja u poprečnom presjeku mora biti nula. Elementarna uzdužna sila.

S obzirom na izraz :

Faktor se može izvaditi iz predznaka integrala (ne zavisi od varijable integracije).

Izraz predstavlja poprečni presjek grede oko neutralne osi x. Ona je nula kada neutralna osa prolazi kroz težište poprečnog presjeka. Posljedično, neutralna os (nulta linija), kada je greda savijena, prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Očigledno je da je moment savijanja povezan s normalnim naponima koji nastaju u točkama poprečnog presjeka šipke. Elementarni moment savijanja stvoren elementarnom silom:

,

gdje je aksijalni moment inercije poprečnog presjeka u odnosu na neutralnu x-osu, a omjer je zakrivljenost ose grede.

Rigidnost grede u savijanju(što je veći, manji je polumjer zakrivljenosti).

Rezultirajuća formula predstavlja Hookeov zakon u savijanju za štap: moment savijanja koji se javlja u poprečnom presjeku proporcionalan je zakrivljenosti ose grede.

Izražavanje radijusa zakrivljenosti () iz formule Hookeovog zakona za štap tokom savijanja i zamjena njegove vrijednosti u formulu , dobijamo formulu za normalna naprezanja () u proizvoljnoj tački poprečnog presjeka grede, udaljenoj na udaljenosti y od neutralne ose x:.

Apsolutne vrijednosti momenta savijanja () i udaljenosti od točke do neutralne ose (y koordinate) treba zamijeniti u formulu za normalna naprezanja () u proizvoljnoj točki poprečnog presjeka grede. Da li će napon u datoj točki biti vlačni ili tlačni, lako je odrediti iz prirode deformacije grede ili iz dijagrama momenata savijanja čije su ordinate položene na stranu komprimiranih vlakana grede.

Formula pokazuje: normalni naponi () variraju po visini poprečnog presjeka grede prema linearnom zakonu. Na sl. 7.8, prikazan je dijagram. Najveća naprezanja prilikom savijanja grede javljaju se u tačkama koje su najudaljenije od neutralne ose. Ako se povuče linija u poprečnom presjeku grede paralelno s neutralnom x-osi, tada nastaju ista normalna naprezanja u svim njenim točkama.

Nekomplikovana analiza normalne dijagrame stresa pokazuje da kada je greda savijena, materijal koji se nalazi blizu neutralne ose praktički ne radi. Stoga, kako bi se smanjila težina grede, preporučuje se odabir takvih oblika poprečnog presjeka u kojima se većina materijala uklanja s neutralne osi, kao što je, na primjer, I-greda.

Ravno poprečno savijanje greda. Unutrašnje sile savijanja. Diferencijalne zavisnosti unutrašnjih napora. Pravila za provjeru dijagrama unutrašnjih sila savijanja. Normalna i posmična naprezanja savijanja. Analiza čvrstoće za normalna i posmična naprezanja.

10. JEDNOSTAVNE VRSTE OTPORA. FLAT BEND

10.1. Opći koncepti i definicije

Savijanje je vrsta opterećenja u kojoj je šipka opterećena momentima u ravninama koje prolaze kroz uzdužnu os šipke.

Šipka za savijanje naziva se greda (ili šipka). U nastavku ćemo razmatrati pravolinijske grede čiji poprečni presjek ima barem jednu os simetrije.

U otpornosti materijala razlikuje se ravno, koso i složeno savijanje.

Ravan krivina je krivina u kojoj sve sile koje savijaju gredu leže u jednoj od ravni simetrije grede (u jednoj od glavnih ravnina).

Glavne ravni inercije grede su ravnine koje prolaze kroz glavne ose poprečnih presjeka i geometrijsku os grede (x-osa).

Kosi savijanje je zavoj u kojem opterećenja djeluju u jednoj ravnini koja se ne podudara s glavnim ravninama inercije.

Složeno savijanje je krivina u kojoj opterećenja djeluju u različitim (proizvoljnim) ravninama.

10.2. Određivanje unutrašnjih sila savijanja

Razmotrimo dva tipična slučaja savijanja: u prvom, konzolna greda je savijena koncentriranim momentom M o; u drugom, koncentrisanom silom F.

Metodom mentalnih presjeka i sastavljanjem jednadžbi ravnoteže za odsječene dijelove grede određujemo unutrašnje sile u oba slučaja:

Ostatak jednadžbi ravnoteže očito je identično jednak nuli.

Dakle, u opštem slučaju ravnog savijanja u presjeku grede, od šest unutrašnjih sila nastaju dvije - moment savijanja M z i posmična sila Q y (ili pri savijanju u odnosu na drugu glavnu osu - moment savijanja M y i sila smicanja Q z).

U ovom slučaju, u skladu s dva razmatrana slučaja opterećenja, ravninsko savijanje se može podijeliti na čisto i poprečno.

Čista krivina je ravna krivina u kojoj samo jedna od šest unutrašnjih sila nastaje u poprečnim presjecima šipke - moment savijanja (vidi prvi slučaj).

Poprečno savijanje- savijanje, pri kojem, osim unutrašnjeg momenta savijanja, u poprečnim presjecima šipke nastaje i poprečna sila (vidi drugi slučaj).

Strogo govoreći, samo čisto savijanje spada u jednostavne vrste otpora; poprečno savijanje se konvencionalno naziva jednostavnim vrstama otpora, budući da se u većini slučajeva (za dovoljno dugačke grede) učinak poprečne sile u proračunima čvrstoće može zanemariti.

Prilikom određivanja internih napora, pridržavat ćemo se sljedećeg pravila znakova:

1) poprečna sila Q y smatra se pozitivnom ako teži okretanju razmatranog elementa grede u smjeru kazaljke na satu;

2) moment savijanja M z se smatra pozitivnim ako se, kada se element grede savija, gornja vlakna elementa stisnu, a donja rastegnuta (pravilo kišobrana).

Dakle, rješenje problema određivanja unutrašnjih sila savijanja će se graditi prema sljedećem planu: 1) u prvoj fazi, s obzirom na ravnotežne uslove konstrukcije u cjelini, određujemo, ako je potrebno, nepoznate reakcije oslonci (imajte na umu da za konzolnu gredu, reakcije u ugrađivanju mogu biti i ne pronađene ako uzmemo u obzir gredu sa slobodnog kraja); 2) u drugoj fazi odabiremo karakteristične presjeke grede, uzimajući za granice presjeka točke primjene sila, točke promjene oblika ili dimenzija grede, točke pričvršćivanja grede; 3) u trećoj fazi određujemo unutrašnje sile u presjecima grede, uzimajući u obzir uvjete ravnoteže za elemente grede na svakom od presjeka.

10.3. Diferencijalna ograničenja savijanja

Uspostavimo neke odnose između unutarnjih sila i vanjskih opterećenja na savijanje, kao i karakteristične karakteristike Q i M dijagrama, čije će poznavanje olakšati konstrukciju dijagrama i omogućiti vam kontrolu njihove ispravnosti. Radi pogodnosti, označićemo: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Odaberimo mali element dx na presjeku grede sa proizvoljnim opterećenjem na mjestu gdje nema koncentrisanih sila i momenata. Budući da je cijela greda u ravnoteži, tada će i dx element biti u ravnoteži pod djelovanjem posmičnih sila, momenata savijanja i vanjskog opterećenja na njega. Budući da se Q i M općenito mijenjaju duž ose grede, u presjecima elementa dx pojavit će se posmične sile Q i Q + dQ, kao i momenti savijanja M i M + dM. Iz uvjeta ravnoteže odabranog elementa dobivamo

∑ F y = 0 Q + q dx - (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 - (M + dM) = 0.

Iz druge jednačine, zanemarujući pojam q dx (dx / 2) kao beskonačno malu količinu drugog reda, nalazimo

Pozivaju se relacije (10.1), (10.2) i (10.3) diferencijalne zavisnosti D.I. Žuravskog u savijanju.

Analiza gornjih diferencijalnih ovisnosti o savijanju omogućuje nam da uspostavimo neke značajke (pravila) za iscrtavanje momenata savijanja i posmičnih sila:

a - u područjima gdje nema raspoređenog opterećenja q, dijagrami Q su ograničeni pravim linijama paralelnim sa bazom, a dijagrami M su ograničeni kosim pravim linijama;

b - u područjima gdje se na gredu primjenjuje raspodijeljeno opterećenje q, dijagrami Q ograničeni su kosim ravnim linijama, a dijagrami M ograničeni kvadratnim parabolama. U ovom slučaju, ako je parcela M izgrađena "na rastegnutom vlaknu", tada je konveksnost

rabola će biti usmjerena u smjeru q djelovanja, a ekstrem će se nalaziti u dijelu gdje Q dijagram seče osnovnu liniju;

c - u odsjecima gdje je koncentrisana sila primijenjena na gredu na Q dijagramu doći će do skokova po veličini i u smjeru date sile, a na M dijagramu će doći do savijanja sa vrhom usmjerenim u smjeru djelovanje ove sile; d - u presjecima gdje se koncentrirani moment primjenjuje na snop na dijagramu

re Q neće biti promjena, a na M dijagramu će biti skokova za vrijednost ovog trenutka; d - u odsjecima gdje je Q> 0, moment M raste, i u dijelovima gdje je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalna naprezanja pri čistom savijanju ravne šipke

Razmotrite slučaj čistog ravnog savijanja grede i izvedite formulu za određivanje normalnih napona za ovaj slučaj. Napominjemo da je u teoriji elastičnosti moguće dobiti točnu ovisnost za normalna naprezanja pri čistom savijanju, ali ako se ovaj problem rješava metodama otpornosti materijala, potrebno je uvesti neke pretpostavke.

Postoje tri takve hipoteze u savijanju:

a - hipoteza ravnih presjeka (Bernoullijeva hipoteza)

- presjeci koji su ravni prije deformacije ostaju ravni i nakon deformacije, ali se samo rotiraju oko određene linije, koja se naziva neutralna os presjeka grede. U tom slučaju će se vlakna grede koja leže s jedne strane neutralne ose rastegnuti, a s druge će se stisnuti; vlakna koja leže na neutralnoj osi ne mijenjaju svoju dužinu;

b - hipoteza o postojanosti normalnih napona

niy - naprezanja koja djeluju na istoj udaljenosti y od neutralne osi konstantna su po širini šipke;

c - hipoteza o odsustvu bočnih pritisaka - ko-

Siva uzdužna vlakna se ne pritiskaju jedno na drugo.

Za konzolnu gredu opterećenu raspoređenim opterećenjem intenziteta kN/m i koncentriranog momenta kN tangencijalnih napona pri dopuštenom tangencijalnom naprezanju kN/cm2. Dimenzije grede m; m; m.

Projektni model za problem pravog poprečnog savijanja

Rice. 3.12

Rješenje problema "ravna poprečna krivina"

Određivanje reakcija podrške

Horizontalna reakcija u ugradnji je nula, jer vanjska opterećenja u smjeru z-ose ne djeluju na gredu.

Odabiremo smjerove preostalih reaktivnih sila koje nastaju u brtvi: usmjerite vertikalnu reakciju, na primjer, prema dolje, a trenutak - u smjeru kazaljke na satu. Njihove vrijednosti se određuju iz jednačina statike:

Sastavljajući ove jednadžbe, smatramo da je trenutak pozitivan pri rotaciji u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a projekcija sile je pozitivna ako se njen smjer poklapa s pozitivnim smjerom y-ose.

Iz prve jednadžbe nalazimo trenutak završetka:

Iz druge jednadžbe - vertikalna reakcija:

Pozitivne vrijednosti koje smo dobili za trenutak i vertikalna reakcija u prekidu ukazuju na to da smo pogodili njihov smjer.

U skladu s prirodom pričvršćivanja i opterećenja grede, njezinu dužinu dijelimo na dva dijela. Duž granica svakog od ovih presjeka ocrtavamo četiri poprečna presjeka (vidi sliku 3.12), u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja metodom presjeka (ROSU).

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desni dio grede. Zamijenite njegovo djelovanje na preostaloj lijevoj strani sa silom smicanja i momentom savijanja. Radi praktičnosti izračunavanja njihovih vrijednosti, odbačenu desnu stranu grede prekrivamo komadom papira, poravnavajući lijevu ivicu lista s presjekom koji se razmatra.

Podsjetimo da posmična sila koja nastaje u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti sve vanjske sile (aktivne i reaktivne) koje djeluju na dio grede koji razmatramo (tj. Vidljive). Stoga sila smicanja mora biti jednaka algebarskom zbiru svih sila koje vidimo.

Navedimo i pravilo predznaka za silu smicanja: vanjska sila koja djeluje na razmatrani dio grede i teži da ovaj dio "zarotira" u odnosu na presjek u smjeru kazaljke na satu, uzrokuje pozitivnu silu smicanja u presjeku. Takva vanjska sila je uključena u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

U našem slučaju vidimo samo reakciju oslonca, koji rotira dio grede koji vidimo u odnosu na prvi dio (u odnosu na rub lista papira) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Zbog toga

kN.

Moment savijanja u bilo kojem presjeku mora uravnotežiti moment koji stvaraju nama vidljive vanjske sile, u odnosu na presjek koji se razmatra. Prema tome, jednak je algebarskom zbiru momenata svih napora koji djeluju na dio grede koja se razmatra, u odnosu na presjek koji se razmatra (drugim riječima, u odnosu na ivicu lista papira). U tom slučaju vanjsko opterećenje, savijanje razmatranog dijela grede s konveksnošću prema dolje, uzrokuje pozitivan moment savijanja u presjeku. A trenutak stvoren takvim opterećenjem uključen je u algebarski zbir za definiciju sa znakom plus.

Vidimo dva pokušaja: reakciju i trenutak prekida. Međutim, sila ima rame u odnosu na presjek 1 jednako nuli. Zbog toga

kN m.

Uzeli smo znak plus jer reaktivni moment savija vidljivi dio snopa ispupčenjem prema dolje.

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada, za razliku od prvog dijela, sila ima rame: m. Dakle

kN; kN m.

Odjeljak 3. Zatvarajući desnu stranu grede, nalazimo

kN;

Odjeljak 4. Zatvorite lijevu stranu grede krilom. Onda

kN m.

kN m.

.

Koristeći pronađene vrijednosti, crtamo dijagrame sila smicanja (sl. 3.12, b) i momenata savijanja (sl. 3.12, c).

Ispod neopterećenih dijelova dijagram posmične sile prolazi paralelno s osi grede, a pod raspodijeljenim opterećenjem q, duž nagnute ravne linije prema gore. Ispod reakcije oslonca na dijagramu je skok naniže za vrijednost ove reakcije, odnosno za 40 kN.

Na dijagramu momenta savijanja vidimo pregib ispod reakcije potpore. Ugao savijanja usmjeren je prema reakciji oslonca. Pod raspoređenim opterećenjem q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. U odjeljku 6 na dijagramu postoji ekstrem, budući da dijagram posmične sile na ovom mjestu ovdje prolazi kroz nultu vrijednost.

Odredite potreban promjer poprečnog presjeka grede

Normalno stanje naprezanja je kako slijedi:

,

gdje je moment otpora grede pri savijanju. Za gredu kružnog poprečnog preseka ona je jednaka:

.

Najveći moment savijanja u apsolutnoj vrijednosti javlja se u trećem dijelu grede: kN cm.

Tada se traženi promjer grede određuje formulom

cm.

Prihvatamo mm. Onda

kN / cm2 kN / cm2.

Prenapon je

,

šta je dozvoljeno.

Provjeravamo čvrstoću grede za najveća posmična naprezanja

Najveća posmična naprezanja koja nastaju u poprečnom presjeku kružne grede izračunavaju se po formuli

,

gdje je površina poprečnog presjeka.

Prema dijagramu, posmična sila s najvećom algebarskom vrijednošću je kN. Onda

kN / cm2 kN / cm2,

odnosno ispunjen je uslov čvrstoće za posmična naprezanja, i to sa velikom marginom.

Primjer rješavanja problema "ravna poprečna krivina" br. 2

Stanje primjera problema na pravoj poprečnoj krivini

Za gredu oslonjenu na nosač opterećenu raspodijeljenim opterećenjem intenziteta kN / m, koncentriranu silu kN i koncentrirani moment kN dopušteno smično naprezanje kN / cm2. Raspon greda m.

Primjer problema ravnog savijanja - projektni model

Rice. 3.13

Rješavanje primjera problema pravog savijanja

Određivanje reakcija podrške

Za dati nosač sa šarkama, potrebno je pronaći tri reakcije potpore :, i. Budući da na gredu djeluju samo okomita opterećenja okomita na njezinu os, vodoravna reakcija fiksnog zakretnog ležaja A jednaka je nuli :.

Smjerove vertikalnih reakcija i birajte proizvoljno. Na primjer, usmjerimo obje vertikalne reakcije prema gore. Da bismo izračunali njihove vrijednosti, sastavljamo dvije jednadžbe statike:

Podsjetimo da je rezultirajuće linearno opterećenje, ravnomjerno raspoređeno na presjeku dužine l, jednako, odnosno jednako površini dijagrama ovog opterećenja i primjenjuje se na težište ovog dijagrama, tj. u sredini dužine.

;

kN.

Vršimo provjeru:.

Podsjetimo da se sile čiji se smjer podudara s pozitivnim smjerom osi y projiciraju (projiciraju) na ovu os sa predznakom plus:

to je istina.

Iscrtavanje posmičnih sila i momenata savijanja

Dužinu grede dijelimo na zasebne dijelove. Granice ovih dionica su točke primjene koncentriranih napora (aktivne i / ili reaktivne), kao i točke koje odgovaraju početku i kraju djelovanja raspodijeljenog opterećenja. U našem problemu postoje tri takve oblasti. Duž granica ovih presjeka ocrtavamo šest poprečnih presjeka u kojima ćemo izračunati vrijednosti posmičnih sila i momenata savijanja (slika 3.13, a).

Odjeljak 1. Odbacimo mentalno desni dio grede. Radi praktičnosti izračunavanja sile smicanja i momenta savijanja koji nastaju u ovom dijelu, dio grede koji smo odbacili pokrivamo komadom papira, poravnavajući lijevi rub komada papira sa samim presjekom.

Sila smicanja u presjeku snopa jednaka je algebarskom zbroju svih vanjskih sila (aktivnih i reaktivnih) koje vidimo. U ovom slučaju vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga

kN.

Znak plus se uzima jer sila rotira vidljivi dio snopa u odnosu na prvi dio (rub lista papira) u smjeru kazaljke na satu.

Moment savijanja u presjeku grede jednak je algebarskom zbroju momenata svih sila koje vidimo u odnosu na presjek koji se razmatra (odnosno u odnosu na rub lista papira). Vidimo reakciju oslonca i linearnog opterećenja q, raspoređenog na beskonačno malu dužinu. Međutim, snaga ima rame na nuli. Rezultirajuće linearno opterećenje je također nula. Zbog toga

Odjeljak 2. Kao i prije, prekrićemo cijelu desnu stranu grede komadom papira. Sada vidimo reakciju i opterećenje q koji djeluju na dužinu presjeka. Rezultirajuće linearno opterećenje je jednako. Pričvršćen je na sredini dugog dijela. Zbog toga

Podsjetimo da prilikom određivanja predznaka momenta savijanja, mi mentalno oslobađamo vidljivi nam dio grede od svih stvarnih nosača i zamišljamo ga kao da je uklješten u razmatranom presjeku (tj. lijevom rubu lista papira mi je mentalno predstavljen kao kruti pečat).

Odeljak 3. Zatvorite desnu stranu. Dobijamo

Odjeljak 4. Desnu stranu grede zatvorite limom. Onda

Sada, da bismo kontrolirali ispravnost proračuna, prekrićemo lijevu stranu grede komadom papira. Vidimo koncentriranu silu P, reakciju desnog oslonca i linearno opterećenje q, raspoređenu na beskonačno malu dužinu. Rezultirajuće linearno opterećenje je nula. Zbog toga

kN m.

Odnosno, sve je tačno.

Odjeljak 5. Kao i prije, zatvorite lijevu stranu grede. Će imati

kN;

kN m.

Odjeljak 6. Ponovo zatvorite lijevu stranu grede. Dobijamo

kN;

Koristeći pronađene vrijednosti, crtamo dijagrame sila smicanja (sl. 3.13, b) i momenata savijanja (sl. 3.13, c).

Pazimo da ispod neopterećenog presjeka dijagram posmične sile ide paralelno s osi grede, a pod raspoređenim opterećenjem q, duž ravne linije koja pada nadolje. Na dijagramu su tri skoka: ispod reakcije - gore za 37,5 kN, ispod reakcije - gore za 132,5 kN, i pod P silom - dolje za 50 kN.

Na dijagramu momenata savijanja vidimo pregibe pod koncentriranom silom P i pod reakcijama oslonca. Uglovi pregiba usmjereni su prema ovim silama. Pod raspoređenim opterećenjem intenziteta q, dijagram se mijenja duž kvadratne parabole, čija je konveksnost usmjerena prema opterećenju. Pod koncentriranim momentom - skok od 60 kN·m, odnosno po veličini samog momenta. U sekciji 7 na dijagramu nalazi se ekstrem, budući da dijagram sile smicanja za ovaj dio prolazi kroz nultu vrijednost (). Odredite udaljenost od odjeljka 7 do lijevog oslonca.

Pure bend naziva se takva krivina u kojoj se radnja odvija samo moment savijanja(sl. 3.5, a). Mentalno nacrtajmo ravninu presjeka I-I okomito na uzdužnu os grede na udaljenosti * od slobodnog kraja grede, na koji se primjenjuje vanjski moment m z. Provešćemo radnje slične onima koje smo mi izvodili pri određivanju napona i deformacija prilikom torzije, i to:

• 1) sastaviti jednadžbe ravnoteže za mentalno odsječeni dio dijela;
• 2) odrediti deformaciju materijala dela na osnovu uslova kompatibilnosti deformacija elementarnih zapremina datog preseka;
• 3) rješavamo jednadžbe ravnoteže i kompatibilnosti deformacija.

Iz stanja ravnoteže odsječenog dijela grede (slika 3.5, b)

dobijamo da je moment unutrašnjih sila M z jednak momentu spoljnih sila t: M = t.

Rice. 3.5.

Moment unutrašnjih sila stvaraju normalni naponi o v usmjereni duž x-ose. Kod čistog savijanja nema vanjskih sila, tako da je zbir projekcija unutrašnjih sila na bilo koju koordinatnu os nula. Na osnovu toga zapisujemo uslove ravnoteže u obliku jednakosti

gdje A- površina poprečnog presjeka grede (štapa).

Kod čistog savijanja, vanjske sile F x, F, F v kao i trenuci vanjskih sila t x, t y jednaki su nuli. Stoga su ostale jednačine ravnoteže identično jednake nuli.

Iz uslova ravnoteže za o> 0 slijedi da

normalan stres sa x u presjeku uzimaju i pozitivne i negativne vrijednosti. (Iskustvo pokazuje da pri savijanju materijal donje strane šipke na sl.3.5, a rastegnut, a gornji stisnut.) Slijedom toga, u poprečnom presjeku za vrijeme savijanja postoje takvi elementarni volumeni (prijelaznog sloja od kompresije do napetosti), u kojima nema produženja ili sabijanja. To - neutralni sloj. Linija presjeka neutralnog sloja sa ravninom poprečnog presjeka naziva se neutralna linija.

Uslovi kompatibilnosti za deformacije elementarnih zapremina tokom savijanja formiraju se na osnovu hipoteze o ravnim presecima: ravni pre savijanja poprečni preseci grede (vidi sliku 3.5, b) ostati ravna čak i nakon savijanja (slika 3.6).

Kao rezultat djelovanja vanjskog momenta, greda se savija, a ravnine sekcija I-I i II-II rotiraju jedna u odnosu na drugu za ugao dy(sl. 3.6, b). Kod čistog savijanja, deformacija svih presjeka duž osi grede je ista, stoga je polumjer p do zakrivljenosti neutralnog sloja grede duž x osi isti. Jer dx= str K dip, tada je zakrivljenost neutralnog sloja 1 / p k = dip / dx i konstantan je duž dužine grede.

Neutralni sloj nije deformisan, njegova dužina prije i poslije deformacije je jednaka dx. Ispod ovog sloja materijal se rasteže, a iznad se sabija.

Rice. 3.6.

Vrijednost istezanja rastegnutog sloja koji se nalazi na udaljenosti y od neutralnog je ydq. Izduženje ovog sloja:

Tako je u usvojenom modelu dobijena linearna raspodjela deformacija u zavisnosti od udaljenosti datog elementarnog volumena do neutralnog sloja, tj. po visini presjeka grede. Pretpostavljajući da ne postoji međusobni pritisak paralelnih slojeva materijala jedan na drugi (o y = 0, a, = 0), zapisujemo Hookeov zakon o linearnoj napetosti:

Prema (3.13), normalni naponi u poprečnom presjeku grede su linearno raspoređeni. Naprezanje elementarne zapremine materijala najudaljenijeg od neutralnog sloja (slika 3.6, v), maksimum i jednak

? Zadatak 3.6

Odrediti granicu elastičnosti čelične oštrice debljine / = 4 mm i dužine / = 80 cm, ako njeno savijanje u polukrug ne uzrokuje trajnu deformaciju.

Rješenje

Napon savijanja o v = Ey/ p k. Uzmimo y max = t/ 2 i p k = / / To.

Granica elastičnosti mora odgovarati uslovu sa yn> c v = 1/2 kE t / 1.

Odgovor: oh = ] / 2 do 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; Granica tečenja ovog čelika je na> 1800 MPa, što je više nego kod najtrajnijih opružnih čelika. ?

? Problem 3.7

Odrediti minimalni polumjer bubnja za namotavanje trake debljine / = 0,1 mm grijaćeg elementa od legure nikla, u kojem se materijal trake ne deformira plastično. Modul E = 1,6 10 5 MPa, granica elastičnosti σ yn = 200 MPa.

odgovor: minimalni radijus r = V 2? ir / a yM = U? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?

1. Zajedničkim rješenjem prve jednačine ravnoteže (3.12) i jednačine kompatibilnosti deformacija (3.13) dobijamo

Značenje E/ p k φ 0 i isti je za sve elemente dA integracijsko područje. Dakle, ova jednakost je zadovoljena samo pod uslovom

Ovaj integral se zove statički moment površine poprečnog presjeka oko osez? Koje je fizičko značenje ovog integrala?

Uzmimo ploču konstantne debljine /, ali proizvoljnog profila (slika 3.7). Okačimo ovu ploču na tačku WITH tako da bude u vodoravnom položaju. Označimo simbolom y m specifičnu težinu materijala ploče, zatim težinu elementarne zapremine sa površinom dA je jednako dq= y JdA. Budući da je ploča u stanju ravnoteže, tada od jednakosti do nule projekcija sila na osu at dobiti

gdje G= y M tA je težina ploče.

Rice. 3.7.

Zbir momenata sila svih sila oko ose z prolaz u bilo kojem dijelu ploče je također nula:

S obzirom na to Y c = G, zapiši

Dakle, ako je integral oblika J xdA po oblasti A je jednako

nula onda x c = 0. To znači da se tačka C poklapa sa težištem ploče. Dakle, iz jednakosti S z = J ydA = 0 u roku

savijanjem slijedi da je težište poprečnog presjeka grede na neutralnoj liniji.

Otuda vrijednost sa poprečni presjek grede je nula.

• 1. Neutralna linija savijanja prolazi kroz težište poprečnog presjeka grede.
• 2. Težište poprečnog presjeka je centar redukcije momenata vanjskih i unutrašnjih sila.

Cilj 3.8

Zadatak 3.9

2. Zajedničkim rješenjem druge jednačine ravnoteže (3.12) i jednačine kompatibilnosti deformacija (3.13) dobijamo

Integral J z= J y 2 dA pozvao moment inercije poprečne

presjek grede (šipa) u odnosu na z-os, prolazeći kroz težište poprečnog presjeka.

Dakle, M z = E J z / p k. S obzirom na to c x = Her x = Ey/ p do i E/ p k = sjekira / y, dobijamo zavisnost normalnih napona Oh pri savijanju:

1. Napon savijanja u datoj točki presjeka ne ovisi o modulu normalne elastičnosti E, ali zavisi od geometrijskog parametra poprečnog presjeka J z i udaljenosti at od ove tačke do težišta poprečnog preseka.

2. Maksimalni napon savijanja javlja se u elementarnim zapreminama koje su najudaljenije od neutralne linije (vidi sliku 3.6, v):

gdje W z- moment otpora poprečnog presjeka u odnosu na osu Z-

Uvjet za čistu čvrstoću na savijanje sličan je uvjetu za linearnu vlačnu čvrstoću:

gdje [a m | - dozvoljeno naprezanje savijanja.

Očigledno je da su unutrašnje zapremine materijala, posebno blizu neutralne osi, praktično neopterećene (vidi sliku 3.6, v). Ovo je u suprotnosti sa zahtjevom za minimiziranjem potrošnje materijala konstrukcije. Neki načini za prevazilaženje ove kontradikcije biće prikazani u nastavku.

Kod ravnog čistog savijanja u poprečnom presjeku šipke nastaje samo jedan faktor sile - moment savijanja M x(sl. 1). Jer Q y = dM x / dz = 0, onda M x= konstantno i čisto pravo savijanje može se ostvariti kada je šipka opterećena parovima sila koje se primjenjuju na krajnjim dijelovima šipke. Od momenta savijanja M x po definiciji je jednak zbiru momenata unutrašnjih sila oko ose Oh ona je povezana s normalnim naprezanjima jednadžbom statike, koja proizlazi iz ove definicije

Formulirajmo premise teorije čistog direktnog savijanja prizmatične šipke. Da bismo to učinili, analiziramo deformacije modela šipke izrađene od materijala niskog modula, na čiju je bočnu površinu nanesena rešetka uzdužnih i poprečnih ogrebotina (slika 2). Budući da poprečni rizici tijekom savijanja šipke parovima sila primijenjenih u krajnjim presjecima ostaju ravni i okomiti na zakrivljene uzdužne rizike, to nam omogućuje zaključak da hipoteze ravnog presjeka, koja, kako pokazuje rješenje ovog problema metodama teorije elastičnosti, prestaje biti hipoteza, postajući egzaktna činjenica - zakon ravnih preseka. Mjereći promjenu udaljenosti između uzdužnih rizika, dolazimo do zaključka da je hipoteza o ne tlaku uzdužnih vlakana valjana.

Ortogonalnost uzdužnih i poprečnih ogrebotina prije i nakon deformacije (kao odraz djelovanja zakona ravnih presjeka) također ukazuje na odsustvo smicanja, posmičnih naprezanja u poprečnim i uzdužnim presjecima šipke.

Slika 1. Odnos unutrašnjeg napora i napetosti

Slika 2. Model čistog savijanja

Tako se čisto ravno savijanje prizmatične šipke svodi na jednoosnu napetost ili kompresiju uzdužnih vlakana naprezanjima (indeks G biće izostavljeni u nastavku). U ovom slučaju dio vlakana je u zoni napetosti (na slici 2 to su donja vlakna), a drugi dio je u zoni kompresije (gornja vlakna). Ove zone su odvojene neutralnim slojem. (n-n), ne mijenjajući svoju dužinu, naponi u kojima su jednaki nuli. Uzimajući u obzir prethodno formulirane preduslove i pretpostavivši da je materijal štapa linearno elastičan, tj. Hookeov zakon u ovom slučaju ima oblik: , izvodimo formule za zakrivljenost neutralnog sloja ( - radijus zakrivljenosti) i normalna naprezanja. Preliminarno napominjemo da je konstantnost poprečnog presjeka prizmatične šipke i momenta savijanja (M h = konst), osigurava konstantnost radijusa zakrivljenosti neutralnog sloja duž dužine štapa (slika 3, a), neutralni sloj (n-n) opisano lukom kruga.

Razmotrimo prizmatičnu šipku u uvjetima ravnog ravnog zavoja (slika 3, a) sa presjekom simetričnim oko okomite osi OU. Ovaj uvjet neće utjecati na konačni rezultat (da bi bilo moguće pravo savijanje, os Oh sa glavna osi inercije poprečnog presjeka, koja je os simetrije). Osa Ox postavite na neutralni sloj, položaj koga unapred nepoznato.

a) shema proračuna, b) naprezanja i naprezanja

Slika 3. Fragment čiste krivine šipke

Razmislite o elementu izrezanom iz šipke s dužinom dz, koji je prikazan na skali sa iskrivljenim proporcijama radi jasnoće na Sl. 3, b... Budući da su deformacije elementa određene relativnim pomakom njegovih tačaka od interesa, jedan od krajnjih presjeka elementa može se smatrati stacionarnim. S obzirom na njihovu malenost, pretpostavljamo da se točke poprečnog presjeka, kad se zakrenu za ovaj kut, ne kreću duž lukova, već duž odgovarajućih tangenti.

Izračunajmo relativnu deformaciju uzdužnog vlakna AB, udaljena od neutralnog sloja za u:

Iz sličnosti trouglova C00 1 i 0 1 BB 1 sledi to

Pokazalo se da je uzdužna deformacija linearna funkcija udaljenosti od neutralnog sloja, što je direktna posljedica zakona ravnih presjeka

Ova formula nije prikladna za praktičnu upotrebu, jer sadrži dvije nepoznanice: zakrivljenost neutralnog sloja i položaj neutralne ose Oh od koje se meri koordinata at. Za određivanje ovih nepoznanica upotrijebit ćemo jednadžbe ravnoteže statike. Prvi izražava zahtjev jednakosti nuli uzdužne sile

Zamjenom u ovu jednačinu izraz (2)

i uzimajući u obzir to dobijamo

Integral na lijevoj strani ove jednadžbe je statički moment poprečnog presjeka šipke u odnosu na neutralnu os Oh, koja može biti jednaka nuli samo oko centralne ose. Dakle, neutralna os Oh prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

Druga jednadžba ravnoteže statike je ona koja povezuje normalne napone sa momentom savijanja (koji se lako može izraziti u terminima vanjskih sila i stoga se smatra datom vrijednošću). Zamjena izraza za. napona, dobijamo:

i s obzirom na to gdje J x- glavni centralni moment inercije oko ose Oh, za zakrivljenost neutralnog sloja dobijamo formulu

Slika 4. Normalna distribucija naprezanja

koju je prvi dobio C. Coulomb 1773. godine. Da odgovara znakovima momenta savijanja M x i normalnih napona na desnoj strani formule (5) stavlja se znak minus, budući da je at M x> 0 normalna naprezanja kod y> 0 ispada kontraktivno. Međutim, u praktičnim proračunima prikladnije je, ne pridržavajući se formalnog pravila znakova, odrediti naprezanja po modulu i staviti znak po značenju. Normalni naponi pri čistom savijanju prizmatične šipke su linearna funkcija koordinata at i dostižu najveće vrijednosti u vlaknima najudaljenijim od neutralne ose (slika 4), tj.

Ovdje se uvodi geometrijska karakteristika , dimenzija m 3 i tzv moment otpora pri savijanju. Pošto za dato M x naprezanja max?što manje to više Š x, trenutak otpora je geometrijska karakteristika poprečnog presjeka čvrstoće na savijanje. Navedimo primjere izračunavanja momenata otpora za najjednostavnije oblike poprečnog presjeka. Za pravokutni presjek (sl. 5, a) imamo J h = bh 3/12, y max = h / 2 i Š x = J x / y maks = bh 2/6. Slično za krug (slika 5 , a J x =d 4 /64, y max = d / 2) dobijamo Š x =d 3/ 32, za kružni prstenasti presjek (sl. 5, v), koji